Elektricitet og kredsløb: forstå beregningen

Elektricitet og kredsløb: forstå beregningen

Har du en spænding, en strøm eller en tegning af et kredsløb? Find først de punkter og grene, oplysningerne gælder for. Vælg derefter en lov, skriv dens betingelser, og kontrollér fortegn og enheder.

Her arbejder du især med simple stationære kredsløb på Fysik B og A stx. Der findes også vekselstrøm og tidsafhængige forløb; de behandles med de særskilte betingelser i teksten. Din opgave og klassens undervisningsbeskrivelse afgør det konkrete omfang.

Vælg første greb

Oplysninger og mål	Første greb	Betingelse eller kontrol
Ladning og tid	Igns = ΔQ/Δt	Gennemsnit er ikke automatisk strømmen i hvert øjeblik.
Spænding og strøm	R = U/I eller P = UI	I ≠ 0 ved division; konstant R kræver ohmsk karakteristik.
Forgreninger og flere modstande	Markér knudepunkter; brug serie/parallel eller Kirchhoff.	Parallel betyder samme to knudepunkter, ikke blot samme placering i tegningen.
Kilde med indre modstand	Up = U0 − RiI	Fortegnskonvention og kilde-model skal passe til belastningen.

Vælg hvad du vil finde

Prøv selv: Du kender U og I ved et målepunkt. Vil du finde ladning, modstand eller den afsatte effekt? Hvilken oplysning mangler, hvis du vil finde ladningen?

Se forklaring og kontrol

Modstanden ved punktet er U/I og effekten UI. Ladning kræver også tidsrummet; ved konstant strøm er ΔQ = IΔt. Én beregning af U/I beviser ikke, at R er konstant.

Elektrisk strøm og ladningsbærere

Elektrisk strøm er transport af elektrisk ladning. I en metaltråd bæres strømmen af negativt ladede elektroner; i en væske kan både positive og negative ioner bidrage. Strømmens vedtagne retning er den retning, en positiv ladning ville bevæge sig.

Strømstyrke måles i ampere

Størrelsen af en elektrisk strøm (strømstyrken) kaldes I. Enheden for I er ampere. Læs mere på siden om strømstyrke.

Strøm i ledere

I simple elektriske kredsløb transporteres ladningen gennem ledere, fx metaltråd. Materialer leder strøm forskelligt; ionopløsninger kan også lede. Ladede partikler kan desuden danne strøm i vakuum, så ikke alle strømme kræver et materiale.

Materialers evne til at lede strøm kaldes for materialernes ledningsevne. Læs mere om ledningsevne på siderne om resistans og resistivitet.

Strøm i kredsløb kan drive apparater

En almindelig batteridrevet pære kræver en lukket strømvej gennem pæren for at lyse vedvarende. Læs videre om kredsløb og deres betingelser.

Vekselstrøm og jævnstrøm er to strømtyper

Vekselstrøm og jævnstrøm er to forskellige strømtyper. Vekselstrøm og jævnstrøm dannes på forskellige måder og har forskellige egenskaber. Læs mere på siden om vekselstrøm og jævnstrøm.

Retning og bærere

Prøv selv: Elektroner drifter mod venstre i en metaltråd. Hvilken vej peger den vedtagne strøm? Hvad kan ændre sig i en ionopløsning?

Se forklaring og kontrol

Den vedtagne strøm peger mod højre, modsat de negative elektroner. I en ionopløsning kan positive og negative ioner bevæge sig hver sin vej og begge bidrage til strømmen.

Vekselstrøm og jævnstrøm i kredsløb

Vekselstrøm og jævnstrøm er to overordnede strømtyper.

Vekselstrøm findes i elnettet

Vekselstrøm skifter retning i tiden; frekvensen fortæller, hvor ofte et periodisk forløb gentages. Symbolet ~ bruges på fx vekselspændingsforsyninger.

Generatorer kan danne vekselspænding ved, at den magnetiske flux gennem en spole ændres. Det kan ske ved bevægelse af spolen i et magnetfelt eller ved bevægelse af magnetfeltet i forhold til spolen. Den skiftende spænding kan drive en strøm, der skifter retning i det tilsluttede kredsløb.

Jævnstrøm dannes af batterier

Jævnstrøm har én vedtagen retning, men strømstyrken behøver ikke være konstant. Et batteris elektrokemiske processer kan opretholde en spændingsforskel, der driver strøm i et tilsluttet kredsløb. Plus og minus angiver polernes polaritet.

Et batteri har en pluspol og en minuspol. Elektrokemiske processer opretholder en spændingsforskel mellem polerne. I en lukket ydre metallisk leder drifter elektroner fra minus mod plus, mens den vedtagne strøm har modsat retning.

Lyn, statiske udladninger og strømme ved nervesignaler er korte, tidsafhængige forløb. De skal ikke uden videre behandles som den stationære jævnstrøm, vi bruger i batteri-resistor-beregninger.

I opgaver om simple stationære kredsløb bruger man ofte en reguleret jævnspændingsforsyning. En forsyning kan omdanne vekselspænding til jævnspænding. Forsøgets faktiske instruktion afgør strømtype og opstilling.

Retning eller størrelse

Prøv selv: En strøm er 0,2 A det første sekund og 0,4 A det næste, med samme retning. Er den vekselstrøm?

Se forklaring og kontrol

Nej. Den har samme retning og er jævnstrøm, selv om størrelsen varierer. Stationær strøm ville derimod være konstant i tiden.

Strømstyrke og måling med amperemeter

Strømstyrke måles i ampere

Strømstyrken I angiver ladningstransport pr. tid gennem et valgt tværsnit. Over tidsrummet Δt er gennemsnittet I_gns = ΔQ/Δt. Hvis strømmen varierer, er den øjeblikkelige strøm I(t) = dQ/dt. Her regner vi især på stationær strøm.

I_gns = ΔQ/Δt

Q måles i enheden coulomb. En coulomb er en bestemt mængde ladning.

Enheden for elektrisk strøm er ampere. Ampere betyder det samme som coulomb pr. sekund:

1 A = 1 C/s

Strømstyrke måles med et amperemeter

Man kan måle strømstyrke med et amperemeter. Man kan indstille et multimeter til at være et amperemeter (funktionen A):

Et amperemeter sættes i serie i den gren, hvis strøm du vil måle. Dets indre modstand er ideelt 0 og i praksis lille. Det skal ikke sættes direkte på tværs af en spændingskilde som et voltmeter, da det næsten kan kortslutte kilden. Brug den anviste lavspændingsopstilling og lærerens godkendelse i et forsøg.

Ladning gennem et tværsnit

Prøv selv: 2,0 C passerer et tværsnit på 4,0 s. Find gennemsnitsstrømmen. Kan du heraf fastslå strømmen i hvert enkelt øjeblik?

Se forklaring og kontrol

I_gns = 2,0 C/4,0 s = 0,50 A. Målingen af samlet ladning og tid bestemmer gennemsnittet; strømmen kan godt have varieret undervejs.

Spændingsforskel, fortegn og måling

Hvad er spændingsforskel?

Spændingsforskel er forskellen i elektrisk potential mellem to valgte punkter. Hvis U = V_B − V_A, er ændringen i elektrisk potentiel energi ΔE_el = QU for en ladning Q. Spændingsforskellen kan være positiv, negativ eller 0.

U = ΔE_el/Q

Q er en fortegnet ladning. En elektron har ladningen −e; en positiv ion har positiv ladning. Ladningens fortegn skal derfor med, hvis du beregner en ændring i potentiel energi.

Spændingsforskellen U måles i V (volt). V betyder det samme som J/C (joule pr. coulomb). Energien E_el har enheden J, og ladningen Q har enheden C.

Forskellen på spænding, spændingsforskel og spændingsfald

Man bruger tit begreberne spænding, spændingsforskel og spændingsfald om det samme fænomen i Fysik, selvom begreberne ikke betyder helt det samme.

Elektrisk potential i et punkt er elektrisk potentiel energi pr. ladning i forhold til et valgt nulpunkt. Potentialets absolutte reference kan vælges; spændingsforskellen mellem to punkter er det, du måler med et voltmeter. Spænding er derfor ikke det samme som en energimængde.

Et spændingsfald betegner et fald i potential langs en valgt gennemløbsretning. Over en resistor i strømmens vedtagne retning er faldets størrelse IR ≥ 0; den fortegnede potentialændring er −IR. Kilden kan omvendt give en potentialstigning. Energioverførslen afhænger også af ladningens fortegn.

Spændingsforskel har fortegn, når punkternes rækkefølge er valgt. Hvis V_B − V_A = 6 V, er V_A − V_B = −6 V. Bytter du voltmeterets ledninger, skifter målingens fortegn. Absolutværdien er forskellens størrelse, men er ikke selve den fortegnede forskel.

Spændingsforskel dannes af en spændingskilde

En spændingskilde er en enhed, som har en spændingsforskel over sig og kan opretholde spændingsforskellen over længere tid. Et batteri er et eksempel på en spændingskilde, da et batteri har en spændingsforskel mellem sine to poler. Spændingskilder bruges til at drive strømmen i elektriske kredsløb.

Læs mere på siden om spændingskilder.

Spændingsforskel måles med et voltmeter

Man kan måle spændingsforskel med et voltmeter. Man kan indstille et multimeter til at være et voltmeter (funktionen V):

Voltmeterets to måleledninger sættes på de to punkter, hvis spændingsforskel du undersøger. De er parallelforbundet med komponenten; et ideelt voltmeter har uendelig stor indre modstand, så målingen ikke ændrer kredsløbet. Et virkeligt voltmeter har stor, endelig modstand.

For en pære måles mellem punktet på hver side af pæren. Skriv, hvilken ledning der angiver det positive målepunkt, så fortegnet kan fortolkes.

Ohms lov beskriver sammenhængen mellem spændingsforskel, strøm og resistans

Ohms lov viser sammenhængen mellem spændingsforskel, strømstyrke og resistans over en komponent eller et kredsløb. Læs mere på siden om Ohms lov.

Bevar punkternes rækkefølge

Prøv selv: V_A = 3 V og V_B = 9 V. Find V_B − V_A og forskellen med omvendt rækkefølge.

Se forklaring og kontrol

V_B − V_A = 6 V, mens V_A − V_B = −6 V. Størrelsen er 6 V i begge tilfælde, men de fortegnede målinger er forskellige.

Resistans og korrekt modstandsmåling

Hvad er resistans?

Elektrisk resistans (modstand) R er et mål for, hvor svært det er for elektrisk strøm at passere igennem et apparat eller en komponent (Forklaring: Komponenter er elementer i et kredsløb. Et elektrisk apparat består typisk af mange forskellige komponenter, der er bygget sammen.). Jo højere resistans, jo mindre strøm kan passere ved en bestemt spændingsforskel over apparatet/komponenten.

Resistans måles i enheden ohm (Ω). Ohm betyder det samme som volt pr. ampere (V/A).

En resistor giver resistans

En resistor er en komponent, der bruges for sin elektriske modstand. Andre komponenter, fx kondensatorer, spoler og motorer, er ikke dermed resistorer, selv om de også kan have modstand. Ideelle ledninger har R = 0 i modellen; almindelige virkelige ledninger har typisk en lille, endelig modstand.

Når man regner på et simpelt kredsløb, modelleres forbindelsesledninger ofte med R = 0. Det er en tilnærmelse, hvis deres faktiske modstand er lille i forhold til resistorernes. En komponent kan også have andre egenskaber end modstand.

Resistans afhænger af materialet og af lederens udformning

I en metaltråd giver det elektriske felt ladningsbærerne energi, som overføres til materialet ved vekselvirkning med bl.a. gitterets vibrationer og urenheder. Derved opstår modstand og varme. Modstanden afhænger af materialet, temperaturen og lederens geometri.

Forskellige strømledere har forskellig resistans af to grunde:

1. Forskellige materialer har forskellig resistivitet. Resistivitet er materialets modstand mod at lede strøm. Læs mere om resistivitet på næste side.
2. For samme ensartede materiale og temperatur giver en længere leder større resistans, mens større tværsnitsareal giver mindre resistans. Sammenlign kun formerne, når disse betingelser er opfyldt.

Resistans måles med et ohmmeter

Et ohmmeter kan måle en afkoblet resistors modstand. Multimeterets Ω-funktion bruges på en spændingsløs komponent; forsyningen skal være frakoblet. Parallelle veje i resten af kredsløbet kan ellers ændre måleresultatet.

Måleledningerne sættes på resistorens to ender i den anviste lavspændingsopstilling. Instrumentet bruger selv en lille teststrøm. En måling i Ω-funktionen på en spændingsforsynet komponent er ikke en korrekt modstandsmåling.

Indre og ydre resistans

Man skelner mellem indre og ydre resistans:

• Indre resistans repræsenterer i den enkle kilde-model kildens interne tab og spændingsfald. Det er en modelstørrelse, som kan afhænge af belastning, temperatur og ladetilstand.
• Ydre resistans er resistansen gennem den ydre del af et kredsløb. Den ydre del af kredsløbet er hele den del af kredsløbet, der ligger uden for spændingskilden.

Læs mere om indre resistans på siden om spændingskilder.

Resistans kan beregnes ud fra Ohms lov

Ved et målepunkt med I ≠ 0 kan forholdet R = U/I bestemmes. For en ohmsk komponent er R konstant ved de fastholdte betingelser. For en ensartet leder med kendt materiale og geometri kan resistansen også beregnes med ρl/A.

• Brug R = U/I fra Ohms lov ved I ≠ 0.
• Brug R = ρl/A for en ensartet leder med kendt resistivitet og geometri.

Vurder måleområdet

Prøv selv: En komponent giver U/I = 10 Ω ved ét punkt og 15 Ω ved et andet. Er den vist at være ohmsk med konstant R?

Se forklaring og kontrol

Nej. Hvis betingelserne er sammenlignelige, varierer forholdet, så én konstant R beskriver ikke begge punkter. Undersøg især temperaturen og komponenttypen.

Resistivitet, geometri og temperatur

Hvad er resistivitet?

Resistivitet (ρ) er et mål for, hvor svært strøm har ved at løbe gennem et materiale. Resistivitet har enheden Ω ⋅ m (ohm gange meter).

Materialers evne til at lede strøm kaldes også for materialernes ledningsevne. Materialer med en høj resistivitet har altså en lav ledningsevne.

Slå resistivitetens værdi og den tilhørende temperatur op i den angivne databog eller en dokumenteret materialetabel. Værdien kan også afhænge af sammensætning og urenheder.

Formel for sammenhæng mellem resistivitet og resistans

For en ensartet leder med konstant tværsnit gælder R = ρl/A ved den angivne temperatur. Længden l og tværsnitsarealet A skal være positive. Formlen viser, at større l giver større R, mens større A giver mindre R, når de øvrige størrelser holdes faste. R = ρl/A

R = ρl/A

hvor:

• ρ er materialets resistivitet målt i Ω ⋅ m.
• R er resistansen i komponenten eller kredsløbet målt i Ω.
• l er lederens længde målt i m.
• A er lederens tværsnitsareal målt i m².

Ved konstant tværsnit, samme materiale og temperatur er R proportional med l og omvendt proportional med A. Isolerer du ρ, får du ρ = RA/l. Enhedskontrollen giver Ω · m²/m = Ω · m.

Resistiviteten afhænger af materialets atomare struktur

Resistiviteten afhænger af materialets ladningsbærere og deres vekselvirkning med materialets struktur. Derfor kan forskellige materialer have meget forskellige værdier.

Metaller indeholder mobile elektroner og har ofte lav resistivitet. Feltet driver en gennemsnitlig drift, mens vekselvirkning med bl.a. gitterets vibrationer og urenheder begrænser ledningen. Mobile elektroner betyder derfor ikke, at metaltrådens modstand er 0.

Materialer som gummi og visse plasttyper har stor resistivitet og få mobile ladningsbærere. For fx træ og vandholdige materialer afhænger ledningsevnen også af fugt og sammensætning.

Resistivitet afhænger af temperaturen

For de fleste metaller stiger resistiviteten normalt med temperaturen. Gitterets kraftigere vibrationer påvirker ledningen. Visse halvledere og termistorer har den modsatte tendens, så du skal kende materialet og temperaturintervallet.

Resistivitet kan bestemmes ved forsøg

En leders resistivitet kan bestemmes ved forsøg.

Ved en kendt, ikke-nul strøm I måles spændingsfaldet U over den ensartede leder. Ved det målte punkt er R = U/I. Hold især temperatur og kontaktforhold under kontrol, hvis du undersøger et materiale eller en ohmsk karakteristik.

R = U/I

Resistiviteten ρ kan derefter bestemmes vha. formlen for sammenhængen mellem resistans og resistivitet:

ρ = RA/l

l er lederens længde, og A er lederens tværsnitsareal. Begge dele måles ved forsøget.

Enheder og isolering

Prøv selv: I en konstrueret opgave er ρ = 2,0 · 10⁻⁸ Ω · m, l = 2,0 m og A = 1,0 mm². Find R, og kontrollér ρ igen.

Se forklaring og kontrol

1,0 mm² = 1,0 · 10⁻⁶ m². Derfor er R = 0,040 Ω. Baglæns giver RA/l = 0,040 · 10⁻⁶/2,0 Ω · m = 2,0 · 10⁻⁸ Ω · m. Den opgivne ρ er en konstrueret værdi, ikke en tabelværdi for et bestemt metal.

Ohms lov og ohmske karakteristikker

Hvad er Ohms lov?

For en ohmsk komponent gælder U = RI med konstant R ved de benyttede betingelser, herunder temperaturen. U er da proportional med I. At beregne forholdet U/I ved ét målepunkt viser ikke i sig selv, at komponenten følger Ohms lov.

Man skelner indimellem mellem Ohms 1. lov (Ohms lov) og Ohms 2. lov (Ohms udvidede lov).

I nogle skolematerialer kaldes U₀ = (R_i + R_y)I for Ohms 2. lov eller Ohms udvidede lov. Den kombinerer Ohms lov med sløjfeloven for en enkel kilde-model og en ydre ohmsk resistans.

Ohms 1. lov

Hvad er Ohms 1. lov?

For en ohmsk komponent gælder U = RI med konstant R ved de benyttede betingelser, herunder temperaturen. U er da proportional med I. At beregne forholdet U/I ved ét målepunkt viser ikke i sig selv, at komponenten følger Ohms lov.

Ohms lov er:

U = RI

hvor:

• U er spændingsforskellen mellem de to punkter målt i V (volt).
• R er resistansen i komponenten eller kredsløbet målt i Ω (ohm).
• I er strømmen mellem punkterne målt i A (ampere).

Grafen for Ohms lov er en ret linje

Ved konstant R er U proportional med I, så U som funktion af I er en ret linje gennem (0,0) med hældning R. Ved konstant U er I = U/R derimod omvendt proportional med R. De tre størrelser er ikke alle indbyrdes ligefremt proportionale.

En ohmsk U-I-karakteristik ved fastholdte betingelser har hældning R. En glødepæres temperatur kan stige med strømmen, og en diode har en ikke-lineær karakteristik; én universel konstant R beskriver derfor ikke alle målepunkter.

Man afbilder tit Ohms lov grafisk i forsøg, hvor man efterviser Ohms lov.

Ohms 2. lov (Ohms udvidede lov)

Ohms udvidede lov bruger den enkle kilde-model med indre resistans. Læs modellens betingelser og udledning i afsnittet om spændingskilder.

Læs karakteristikkens betingelse

Konstrueret målepunkt	U	I	U/I
Samme temperatur, punkt 1	2 V	0,20 A	10 Ω
Samme temperatur, punkt 2	4 V	0,40 A	10 Ω
Anden komponent, punkt 3	4 V	0,25 A	16 Ω

De to første punkter passer til R = 10 Ω, men flere målinger og usikkerheder afgør, hvor godt modellen holder. Det tredje punkt hører til en anden komponent og må ikke uden videre lægges på samme rette karakteristik.

Ohm med en betingelse

Prøv selv: En ohmsk resistor er 12 Ω ved den angivne temperatur og har 6,0 V over sig. Find I. Hvad skal du kontrollere, hvis den bliver varm?

Se forklaring og kontrol

I = U/R = 6,0/12 A = 0,50 A. Kontrollér, om R stadig kan behandles som 12 Ω ved den nye temperatur; formlen med samme konstante R kan ellers give forkert strøm.

Strømvej og energi i et kredsløb

Lukket strømvej i et elektrisk kredsløb

Et elektrisk kredsløb er et netværk af forbundne komponenter og ledninger. Det kan have åbne grene og forgreninger. I den simple batteri-resistor-model kræver en vedvarende strøm en lukket ledende vej og en drivende spændingsforskel; en lukket vej alene garanterer ikke strøm.

En lukket strømvej kan fx forbinde kildens pluspol, en resistor og minuspolen. Markér ledninger og knudepunkter, og følg hele strømvejen. Serie og parallel afgøres af forbindelserne mellem knudepunkterne.

Et kredsløb består af:

• en spændingskilde, som leverer energi og kan drive strøm i den tilsluttede vej, fx et batteri
• en eller flere komponenter (Forklaring: Komponenter er elementer i et kredsløb. Et elektrisk apparat består typisk af mange forskellige komponenter, der er bygget sammen.), her en pære
• ledninger, der danner det lukkede kredsløb.

I en metaltråd drifter negativt ladede elektroner fra minus mod plus i det ydre kredsløb under afladning. Det elektriske felt overfører energi til ladningsbærerne, og materialets vekselvirkninger omsætter energien. I en glødepære bliver elektrisk energi til varme og lys; strømmen og elektronerne bliver ikke brugt op.

Læs mere om omdannelse af elektrisk energi på siden om elektrisk effekt.

Elektrondrift og vedtagen strømretning

Det ydre kredsløb er ledninger og komponenter uden for spændingskilden. Under afladning drifter elektroner i en metaltråd fra minus mod plus; den vedtagne strømretning er modsat.

Strømretningen er defineret ved positiv ladningstransport. Negative ladningsbærere drifter derfor modsat den vedtagne strøm. I en ionledende væske kan positive og negative ioners bevægelser begge bidrage til samme vedtagne strømretning.

En vedvarende strøm i en simpel batterikobling kræver en lukket vej

For at holde en almindelig batteridrevet pære tændt skal der være en lukket strømvej gennem pæren og tilbage til kilden. En afbrydelse stopper den stationære strøm; kilden kan stadig have en spændingsforskel mellem sine poler.

Hvis forbindelsen afbrydes, kan ladning kortvarigt omfordeles, men der kan ikke opretholdes stationær strøm gennem den åbne vej. En lukket vej kræver desuden en drivende spænding for at give strøm.

Åben og lukket vej

Prøv selv: En idealiseret 6 V-kilde og en 10 Ω-resistor har en åben afbryder i serie. Hvad bliver den stationære strøm? Hvad bliver den, når den lukkes?

Se forklaring og kontrol

Åben vej: I = 0. Lukket vej: I = 6 V/10 Ω = 0,60 A, hvis kilden er ideel og ledningerne har R = 0. Kilden kan godt have 6 V mellem sine poler, selv om I = 0.

Kirchhoffs strøm- og spændingslove

Kirchhoffs love er to love om elektricitet. Lovene beskriver hhv. strømmen og spændingen i et elektrisk kredsløb eller gennem nogle komponenter (Forklaring: Komponenter er elementer i et kredsløb. Et elektrisk apparat består typisk af mange forskellige komponenter, der er bygget sammen.) eller apparater i et kredsløb.

Kirchhoffs 1. lov

Kirchhoffs 1. lov beskriver strømmen i et kredsløb

Kirchhoffs 1. lov beskriver strømmen i et elektrisk kredsløb eller gennem nogle komponenter i et elektrisk kredsløb.

Ved et knudepunkt uden ophobning af ladning er summen af strømme ind lig med summen af strømme ud. I et stationært kredsløb gælder derfor ΣI_ind = ΣI_ud. Det er ladningen, der bevares; strømmen bliver ikke brugt op i en komponent.

Ved et knudepunkt kan I₁ være strøm ind, mens I₂ og I₃ er strøm ud. Uden ladningsophobning gælder I₁ = I₂ + I₃.

Kirchhoffs 1. lov siger så, at:

I₁ = I₂ + I₃

Kirchhoffs 1. lov bruges især til at regne på kredsløb med parallelforbindelser , dvs. kredsløb, hvor strømmen deler sig. Loven gælder dog også for serieforbindelser, hvor strømmen ikke deler sig.

Kirchhoffs 2. lov (spændingsloven)

Kirchhoffs 2. lov beskriver fortegnede spændingsændringer

Kirchhoffs 2. lov beskriver spændingsfaldet i et elektrisk kredsløb eller gennem nogle komponenter.

For to resistorer i serie er spændingsfaldenes sum lig med det samlede fald:

U_total = U₁ + U₂

Formlen er en specialanvendelse af sløjfeloven: det samlede fald over to resistorer i serie er summen af deres fald. Den almindelige sløjfelov gælder også kredsløb med flere komponenter og kilder.

Den fulde sløjfelov er:

I den simple kredsløbsmodel er den fortegnede sum af spændingsændringer rundt i en lukket sløjfe 0: ΣΔV = 0. Vælg en omløbsretning. Fra minus til plus gennem en kilde bidrager +U, mens passage gennem en resistor i strømmens retning bidrager −IR. Du kan også gå mod strømmen; så vendes fortegnet for resistoren.

En spændingskilde kan f.eks. levere en spændingsstigning på 60 V. Kredsløbets komponenter giver så et samlet spændingsfald på 60 V ifølge Kirchhoffs 2. lov.

Bevis for Kirchhoffs 2. lov

Vi viser serie-specialtilfældet ved at se på spændingsfaldene U₁ og U₂ over to resistive komponenter. Det er en følge af energibevarelse; den generelle sløjfelov er allerede angivet ovenfor.

Strømmen afsætter energi i begge komponenter. Den samlede afsatte energi er:

E_total = E₁ + E₂

Den samme ladning Q bevæger sig gennem alle komponenterne i en serieforbindelse. Energien afsat i hver komponent pr. ladning Q er så:

E_total/Q = E₁/Q + E₂/Q

Spændingsfald er defineret som afsat energi pr. ladning. Vi kan altså omskrive udtrykket til:

U_total = U₁ + U₂

Knude og sløjfe

Prøv selv: 0,80 A løber ind i en knude, og 0,30 A ud i den ene gren. Find den anden grenstrøm. Kontrollér en sløjfe med en 6 V-kilde og fald på 2 V og 4 V.

Se forklaring og kontrol

Den anden gren fører 0,50 A ud: 0,80 = 0,30 + 0,50. Sløjfen giver +6 − 2 − 4 = 0 V. Ved omvendt omløbsretning bliver alle fortegn vendt: −6 + 2 + 4 = 0 V.

Serie- og parallelkobling af resistorer

Serieforbindelse og parallelforbindelse (seriekobling og parallelkobling) er to måder, som komponenter (Forklaring: Komponenter er elementer i et kredsløb. Et elektrisk apparat består typisk af mange forskellige komponenter, der er bygget sammen.) eller apparater kan sidde på i et elektrisk kredsløb.

Serieforbindelse

Hvad er en serieforbindelse?

En serieforbindelse (seriekobling) indebærer, at nogle komponenter/apparater sidder direkte i forlængelse af hinanden i et kredsløb. Kredsløbet forgrener sig altså ikke mellem komponenterne.

En lukket strømvej kan fx forbinde kildens pluspol, en resistor og minuspolen. Markér ledninger og knudepunkter, og følg hele strømvejen. Serie og parallel afgøres af forbindelserne mellem knudepunkterne.

Regneregler for serieforbindelser

Vi bruger to regneregler for serieforbindelser:

Strømmen I er den samme gennem alle komponenterne i en serieforbindelse. Kredsløbet forgrener sig ikke mellem komponenterne, så strømmen gennem den første komponent er nødt til også at løbe igennem den anden komponent.

For to komponenter i serieforbindelse gælder altså, at:

I₁ = I₂

Reglen kommer af Kirchhoffs 1. lov.

Spændingsfaldet U_total over en serieforbindelse er lig med summen af spændingsfaldet over hver komponent. For to komponenter i serieforbindelse gælder altså:

U_total = U₁ + U₂

Reglen kommer af Kirchhoffs 2. lov.

Parallelforbindelse

Hvad er en parallelforbindelse?

To komponenter er parallelkoblede, når begge deres ender er forbundet til de samme to knudepunkter via ideelle ledninger. De har derfor samme spændingsforskel. Strømmen kan være forskellig i grenene og afhænger af hver grens modstand. Tegningens placering alene afgør ikke koblingen.

En lukket strømvej kan fx forbinde kildens pluspol, en resistor og minuspolen. Markér ledninger og knudepunkter, og følg hele strømvejen. Serie og parallel afgøres af forbindelserne mellem knudepunkterne.

Regneregler for parallelforbindelser

Vi bruger to regneregler for parallelforbindelser:

I stationær tilstand giver knudepunktsloven den samlede strøm som summen af grenstrømmene:

I_total = I₁ + I₂

Spændingsfaldet U er det samme over hver komponent i en parallelkobling. Alle komponenterne er nemlig tilsluttet samme spændingsforskel. Dvs.:

U₁ = U₂

Erstatningsresistansen for en serie- eller parallelforbindelse

Formlerne her på siden bruges tit til at beregne erstatningsresistansen for en serie- eller parallelforbindelse. Læs mere om beregning af erstatningsresistans på næste side.

Følg knudepunkterne

Kobling med 2 Ω og 4 Ω ved 6 V	Forbindelse	Strøm	Spændingsfald
Serie	A → 2 Ω → B → 4 Ω → C; ingen gren ved B.	1 A gennem begge.	2 V og 4 V.
Parallel	Begge resistorer har én ende ved A og én ende ved B.	3 A og 1,5 A; i alt 4,5 A.	6 V over begge.

Her er kilden ideel og modstandene ohmske. Fælles nodebogstaver viser forbindelsen uden at kræve en bestemt tegning eller farve.

Samme komponenter, anden kobling

Prøv selv: To resistorer på 2 Ω og 4 Ω tilsluttes en ideel 6 V-kilde. Find strømmen i serie og de to grenstrømme i parallel.

Se forklaring og kontrol

Serie: R = 6 Ω og I = 1 A; spændingsfaldene er 2 V og 4 V. Parallel: begge har 6 V over sig, så grenstrømmene er 3 A og 1,5 A. Kilden leverer derfor 4,5 A. Tegn de fælles knudepunkter før beregningen.

Erstatningsresistans og blandede koblinger

Hvad er erstatningsresistans?

Erstatningsresistansen er modstanden i én resistor, der ved de to ydre tilslutningspunkter giver samme forhold mellem U og I som den oprindelige resistorkobling. Her bruger vi ohmske resistorer og ideelle ledninger i et stationært kredsløb.

Erstatningsresistans for en serieforbindelse

En lukket strømvej kan fx forbinde kildens pluspol, en resistor og minuspolen. Markér ledninger og knudepunkter, og følg hele strømvejen. Serie og parallel afgøres af forbindelserne mellem knudepunkterne.

Erstatningsresistansen R for de to komponenter er:

R = R₁ + R₂

Man kan altså udskifte de to komponenter med én komponent med erstatningsresistansen R.

Kontrollér koblingen ved at identificere de samme knudepunkter, før du regner. Den korte øvelse nedenfor viser en blandet kobling.

Bevis for formlen

Vi bruger regnereglerne for seriekobling med ohmske resistorer. I den følgende udledning vælges I ≠ 0, så division med I er tilladt. Er strømmen 0, er spændingsfaldene også 0; koblingens erstatningsresistans er stadig R₁ + R₂:

• Spændingsfaldet U over seriekoblingen er givet ved U = U₁ + U₂
• Strømmen er den samme gennem de to resistorer, da der ikke er nogen forgreninger mellem resistorerne: I₁ = I₂ = I

Erstatningsresistansen R findes ud fra Ohms lov:

R = U/I = (U₁ + U₂)/I = U₁/I + U₂/I

U₁/I er resistansen R₁ for den første resistor, og U₂/I er resistansen R₂ for den anden resistor, så:

R = R₁ + R₂

Erstatningsresistans for en parallelforbindelse

En lukket strømvej kan fx forbinde kildens pluspol, en resistor og minuspolen. Markér ledninger og knudepunkter, og følg hele strømvejen. Serie og parallel afgøres af forbindelserne mellem knudepunkterne.

For parallelkoblede resistorer med R₁ > 0 og R₂ > 0 er erstatningsresistansen bestemt af:

1/R = 1/R₁ + 1/R₂

Man kan altså indsætte R₁ og R₂ i formlen og løse for R. De to komponenter kan så erstattes med en komponent med erstatningsresistansen R.

Kontrollér koblingen ved at identificere de samme knudepunkter, før du regner. Den korte øvelse nedenfor viser en blandet kobling.

Bevis for formlen

Vi bruger stationære strømme, samme spændingsforskel over begge resistorer og positive, endelige resistanser:

• Strømmen I i kredsløbet deler sig, så I₁ går igennem den første resistor, og strømmen I₂ går igennem den anden resistor.
• Spændingsfaldet U er det samme over alle de parallelkoblede komponenter.

Strømmen gennem hver resistor kan nu skrives ud fra Ohms lov:

I₁ = U/R₁ og I₂ = U/R₂

Vi indsætter i formlen I = I₁ + I₂:

I = U/R₁ + U/R₂

⇔

I = U(1/R₁ + 1/R₂)

⇔

I/U = 1/R₁ + 1/R₂

Ohms lov giver R = U/I ved ikke-nul målestrøm. For at dele med U i denne udledning antager vi U ≠ 0. Vi får I/U = 1/R og dermed formlen nedenfor. Ved U = 0 er både grenstrømmene 0; koblingens modstand er stadig bestemt af resistorernes værdier.

1/R = 1/R₁ + 1/R₂

Undersøg grænsetilfældet

Ændring i en parallelgruppe	Modelfølge	Beregningsgreb
En gren er afbrudt.	Ingen stationær strøm i den gren.	Grenens ledningsevne er 0; udelad bidraget.
En ideel ledning kortslutter gruppens to knuder.	Gruppens erstatningsresistans er 0.	Undlad 1/0. I en virkelig kilde begrænses strømmen af bl.a. indre modstand.
Alle grene har positive, endelige R.	Req er mindre end den mindste grenresistans.	Brug 1/Req = Σ(1/Rj).

Kortslutningseksemplet er en matematisk model, ikke en forsøgsinstruktion.

Forenkl indefra

Prøv selv: En 6 Ω-resistor er parallel med to 3 Ω-resistorer i serie. Gruppen sidder i serie med 2 Ω. Find R og strømmen ved 8,0 V.

Se forklaring og kontrol

De to 3 Ω i serie giver 6 Ω. To 6 Ω i parallel giver 3 Ω. Hele koblingen giver derfor 5 Ω og I = 8,0/5 A = 1,6 A. Gruppens spænding er 4,8 V og hver gren fører 0,80 A, så knudepunktsloven er opfyldt.

Spændingskilder og indre resistans

Hvad er en spændingskilde?

En spændingskilde overfører energi til kredsløbet og opretholder en spændingsforskel mellem sine poler. I et batteri sker energiomdannelsen ved elektrokemiske processer; elektroner og ioner indgår forskellige steder. Batterier og strømforsyninger er eksempler på spændingskilder.

Spændingsforskellen U mellem to valgte punkter er ændringen i elektrisk potentiel energi pr. fortegnet ladning Q, når Q ≠ 0:

U = ΔE_el/Q

En spændingskilde tilfører energi til ladningerne inde i spændingskilden. Spændingskilden har altså en spændingsforskel mellem sine poler (Forklaring: De to ender af spændingskilden.).

Spændingsforskellen over spændingskilden = spændingsforskellen over det ydre kredsløb

I det ydre kredsløb forbinder ledninger og komponenter kildens poler. Under afladning driver spændingsforskellen en strøm og overfører energi til komponenterne. Den ydre del kan fx bestå af en resistor eller pære; den vedtagne strøm går fra plus mod minus gennem denne del.

Spændingsforskellen U mellem spændingskildens to poler er lige så stor som spændingsforskellen U over det ydre kredsløb. Hvis et batteri har en spændingsforskel på f.eks. 12 V over sine poler, sker der altså også et spændingsfald på 12 V i kredsløbet, som batteriet indgår i.

Symboler for spændingskilder

Et batterisymbol har en lang streg for pluspolen og en kort streg for minuspolen. En idealiseret jævnspændingskilde kan også angives med en cirkel og +/−; en vekselspændingskilde med en cirkel og ~. Navngiv kilden og polariteten, så en tegning kan aflæses uden en farvekode.

Symbolerne kan kombineres på forskellige måder for at vise typen af spændingskilde og strøm. Læs om, hvad jævnstrøm og vekselstrøm er, på siden om strøm.

Indre modstand i en spændingskilde

I en enkel kilde-model repræsenterer R_i tab og spændingsfald inde i kilden. Modellen består af en ideel spændingskilde med hvilespænding U₀ i serie med R_i. En ideel spændingskilde har R_i = 0; virkelige batteriers indre forhold kan afhænge af temperatur, ladetilstand og belastning.

En ideel spændingskilde har ingen indre resistans i modellen. For en virkelig kilde kan man over et begrænset arbejdsområde bruge den ideelle kilde i serie med R_i, så tabet og polspændingens fald kan beregnes.

Polspænding og hvilespænding

Hvad er polspænding og hvilespænding?

Polspændingen U_p er spændingsforskellen over spændingskildens to poler.

Ved afladning og I ≥ 0 falder polspændingen med strømmen i modellen U_p = U₀ − R_iI. Når I = 0, er U_p = U₀, hvilespændingen. Det er ikke et universelt maksimum: ved opladning har strømmen modsat fortegn i denne konvention, så polspændingen kan være større end U₀.

Hvilespændingen U₀ kaldes indimellem for den elektromotoriske kraft. Begrebet er dog misvisende, da en spændingsforskel ikke er en kraft.

Formel for sammenhæng mellem polspænding, hvilespænding og indre resistans

Ved konstant U₀, R_i og afladningsstrøm med den valgte fortegnskonvention er sammenhængen:

U_p = U₀ − R_iI

Formlen kommer af Ohms lov. Ohms lov siger, at R_iI er lig med spændingsfaldet U_i over spændingskildens indre resistans. Spændingskildens polspænding U_p må være lig med hvilespændingen U₀ minus det spændingsfald U_i, som sker over den indre resistans.

Grafisk afbildning af polspændingen

Hvis den enkle kilde-model passer til måleområdet, er U_p som funktion af I en ret linje. Den korte tabel nedenfor viser, hvordan skæring og negativ hældning aflæses.

I modellen U_p = U₀ − R_iI er grafens skæring med U_p-aksen U₀. Hældningen er −R_i, så indre resistans findes som det negative af hældningen. Aksernes rækkefølge og enheder skal med.

Ohms 2. lov tager højde for spændingskildens indre resistans

For en kilde med indre resistans R_i og en ydre ohmsk erstatningsresistans R_y giver sløjfeloven U₀ = (R_i + R_y)I. I skolesprog kaldes det også Ohms udvidede lov. Det er den enkle kilde-model, ikke en formel for enhver komponentkobling. U₀ = (R_i + R_y)I

Ohms 2. lov er:

U₀ = (R_i + R_y)I

hvor:

• U₀ er spændingskildens hvilespænding målt i V.
• R_i er spændingskildens indre resistans målt i Ω.
• R_y er kredsløbets ydre resistans målt i Ω.
• I er strømstyrken i kredsløbet målt i A.

Bevis for Ohms 2. lov

Ohms 2. lov er egentlig bare en omskrivning af Ohms lov, som er praktisk, hvis man fokuserer på spændingsfald og resistans i spændingskilden.

Polspændingen U_p er spændingsfaldet over det ydre kredsløb med resistansen R_y. Ohms lov siger, at:

U_p = R_yI

Vi så højere oppe på siden, at U_p er givet ved:

U_p = U₀ − R_iI

Så

U₀ − R_iI = R_yI

⇔

U₀ = (R_i + R_y)I

Vi har hermed eftervist Ohms 2. lov.

Fra punkter til indre modstand

I i A	Up i V
0	9,0
0,5	8,5
1,0	8,0

De konstruerede punkter giver hældning (8,0 − 9,0)/(1,0 − 0) V/A = −1,0 Ω. Skæringen er U₀ = 9,0 V og R_i = 1,0 Ω. Et målt batteri kræver desuden vurdering af usikkerhed og det relevante arbejdsområde.

Polspænding og hældning

Prøv selv: Modellen har U₀ = 9,0 V, R_i = 1,0 Ω og R_y = 8,0 Ω. Find strøm og polspænding. Hvad er hældningen i en U_p-I-graf?

Se forklaring og kontrol

I = 9,0/(1,0 + 8,0) A = 1,0 A. U_p = 9,0 − 1,0 · 1,0 V = 8,0 V, også R_yI. Grafens hældning er −1,0 V/A = −1,0 Ω; resistansen er det negative af hældningen.

Elektrisk effekt i kredsløbsmodellen

Elektrisk effekt er hastigheden, hvormed elektrisk energi overføres eller omsættes. Den kan blive til varme, lys, bevægelse eller kemisk energi. Gennemsnitseffekten er P_gns = ΔE/Δt. Ved konstant jævnstrøm er P = UI; for tidsafhængige størrelser er den øjeblikkelige effekt p(t) = u(t)i(t).

Ved vekselstrøm med sinusform gælder P_gns = U_rmsI_rmscos φ. Det bliver produktet af effektivværdierne, når φ = 0, fx for en ren resistor. Man må ikke generelt gange to maksimumværdier og kalde resultatet gennemsnitseffekt.

Effekt, energi og enheder

Gennemsnitseffekten er P_gns = ΔE/Δt, hvor ΔE er den overførte eller omsatte energi i joule (J), og Δt er tidsrummet i sekunder (s). Effekt måles i watt: 1 W = 1 J/s. Er effekten konstant, bliver energien ΔE = PΔt; ellers skal den øjeblikkelige effekt summeres over tiden.

I formlen P = UI måles U over komponenten i volt (V), mens I gennem den måles i ampere (A). Den passive fortegnskonvention lader I gå ind ved den pol, der betegnes positiv for U. Så angiver P > 0 energi ind i komponenten og P < 0 energi ud. I de korte resistorøvelser her regnes med positiv afsat effekt.

Effekt og tidsrum

Prøv selv: En idealiseret komponent får konstant 6 V og 0,20 A i 30 s. Find effekt og tilført energi. Kan du kalde hele energien nyttig varme uden at kende komponenten?

Se forklaring og kontrol

P = UI = 1,2 W og ΔE = PΔt = 36 J. Energiens fordeling kan være varme, lys eller arbejde, så nyttig varme kræver oplysninger om komponent og tab.

Joules lov og resistivt energitab

Hvad er Joules lov?

Joules lov beskriver den resistive afsætning af effekt: P = RI² = U²/R for en resistor med R > 0. I en almindelig modstand bliver denne energi til varme. En glødepære udsender også lys, og en motor kan udføre mekanisk arbejde, så hele apparatets input er ikke nødvendigvis varme i den ønskede genstand.

Formel for Joules lov

Joules lov kan skrives på forskellige måder, afhængig af om man ser på afsat effekt eller varmeudvikling.

For en resistor med positiv R er den øjeblikkelige resistive effekt:

P = RI²

eller

P = U²/R

hvor:

• P er den afsatte effekt i resistoren målt i W.
• R er resistansen målt i Ω.
• I er strømstyrken målt i A.
• U er spændingsforskellen over resistoren målt i V.

Hvis I og R er konstante i hele tidsrummet Δt, er den resistivt afsatte energi:

ΔE = RI²Δt

eller

ΔE = (U²/R)Δt

hvor:

• ΔE er den afsatte varmeenergi i resistoren målt i J.
• R er resistansen målt i Ω.
• I er strømstyrken målt i A.
• Δt er tidsrummets længde målt i s.

En almindelig varme-resistor omsætter elektrisk energi til varme, men den nyttige varme til fx vand kan være mindre på grund af tab til omgivelserne. En glødepære udsender både varme og lys. En håndmixer bruger også energi til bevægelse, så dens totale input UI kan ikke uden videre sættes lig med varme i en bestemt del. Ved varierende strøm er ΔE = ∫ I(t)²R(t) dt for den resistive afsætning.

Bevis for Joules lov

Vi udleder effektformlerne for en ohmsk resistor i den simple kredsløbsmodel. Når vi bagefter går fra effekt til energi med PΔt, antager vi konstante størrelser i tidsrummet.

Ohms lov er:

U = RI ⇔ I = U/R

Formlen for elektrisk effekt er:

P = UI

De to versioner af Ohms lov indsættes i formlen for elektrisk effekt.

Her indsættes U = RI:

P = UI = RI · I = RI²

Her indsættes I = U/R:

P = UI = U · (U/R) = U²/R

Vi har nu eftervist de to versioner af Joules lov, der beskriver den afsatte effekt i en resistor. Vi kan omskrive de to formler, så de i stedet beskriver den afsatte varmeenergi i resistoren.

Ved konstant effekt i tidsrummet er P = ΔE/Δt. Derfor kan vi isolere ΔE ved at gange med Δt:

P_gns = ΔE/Δt

Vi indsætter udtrykket i formlen P = RI²:

P = ΔE/Δt = RI²

⇔

ΔE = RI²Δt

Vi indsætter også P_gns = ΔE/Δt i P = U²/R:

P = ΔE/Δt = U²/R

⇔

ΔE = (U²/R)Δt

Vi har nu også eftervist de versioner af Joules lov, der beskriver varmeudviklingen i resistoren.

Forsøg og rapport om Joules lov

I et forsøg kan du sammenligne beregnet elektrisk energi med en målt temperaturstigning. Beskriv strøm, spænding, tidsrum, usikkerheder og varmeafgivelse til omgivelserne. En forskel er ikke automatisk et brud på energibevarelsen.

Hvad holdes fast?

Prøv selv: En resistor på 20 Ω fører konstant 0,30 A i 40 s. Find afsat energi. Vil større R altid give større effekt?

Se forklaring og kontrol

P = RI² = 1,8 W og ΔE = 72 J. Ved samme I stiger P med R. Ved samme U falder P = U²/R derimod, når R stiger. Skriv altid, hvad der holdes fast.

Transformator som næste emne

Hvis opgaven handler om vindingstal og eltransport, kan du læse den eksisterende forklaring om transformation i fysik. De stationære kredsløb her dækker ikke alle vekselstrømsforhold.

Faglige kilder

Kontrollér Ohms lovs betingelser, resistivitet og lederens geometri, serie- og parallelkobling og Kirchhoffs love og fortegn hos OpenStax. MITs kredsløbskursus viser den afgrænsede kredsløbsmodel og dens ligninger. NISTs SI-definitioner angiver ampere og elementarladningen.