Ligninger og uligheder: regn, forklar og kontrollér

Ligninger og uligheder: vælg metode og kontrollér

Find først grundmængden, vælg en metode, og kontrollér dine løsninger i den oprindelige ligning. Guiden hjælper dig fra et enkelt regnetrin til ligningssystemer og intervaller.

Den grundlæggende ligningsløsning indgår i matematik C, B og A på stx. Detaljer om den afledte funktion og de avancerede ligningstyper afhænger af niveau og undervisning. Her regner vi med reelle tal, medmindre andet står udtrykkeligt. Følg dit holds stof og den konkrete opgaves krav til hjælpemidler.

Kompendiets opbygning

• Noter
• Symboler i matematik
• Løsning af ligninger
• Førstegradsligninger
• Andengradsligninger
• Tredjegradsligninger
• Andre typer af ligninger
• Ligningssystemer
• Løsning af uligheder
• Grundmængde og løsningsmængde
• Proportionalitet
• Opgaver om ligninger

Vælg ud fra ligningens form

Det du ser	Første greb	Det du kontrollerer
3x + 4 = 10	Saml led og isolér x.	Det fundne tal giver samme værdi på begge sider.
(x − 1)(x + 2) = 0	Brug nulreglen.	Produktet er 0; en sum er en anden situation.
√(x + 6) = x	Undersøg grundmængde og fortegn, og isolér roden.	Kandidater efter kvadrering opfylder originalen.
To ligninger med x og y	Brug substitution eller elimination.	Det samme par opfylder begge ligninger.
−3x > 9	Del med −3 og vend tegnet.	Endepunktet er ikke med i en skarp ulighed.

Vælg første skridt

Prøv selv: I (x − 2)(x + 5) = 0: Vil du gange parenteserne ud eller bruge nulreglen?

Se forklaring og kontrol

Nulreglen er kortest: x = 2 eller x = −5. Prøv begge i produktet. Ved (x − 2)(x + 5) = 7 kan du ikke sætte hver faktor lig med 0.

Ligninger: noter om metoder og grundmængde

Matematiske symboler

• ∨: “eller”.
  • Eksempel: “x = 5 ∨ x = 7″ læses “x er lig med 5 eller x er lig med 7″.
  • Forklaring til dette trin: Huskeregel: “∨” betyder “eller”, fordi den står med spidsen nedad og kan vælte enten til højre eller venstre.
• ∧: “og”.
  • Eksempel: x = 2 ∧ y = 4 læses “x er lig med 2 og y er lig med 4″.
  • Forklaring til dette trin: Huskeregel: “∧” betyder “og”, fordi den står på både højre og venstre “ben”.
• ⇒: Implikationspilen “⇒” betyder “medfører” eller “hvis… så”.
  • Eksempel: “x = 3 ⇒ x² = 9″ betyder, at “x = 3 medfører at x² = 9″. Sagt på en anden måde: “hvis x = 3, så er x² = 9″.
  • Når vi skriver udtryk under hinanden, så vender vi implikationspilen, så den er lodret: ⇓.
  • ⇒ er “ensrettet”, fordi den peger i den retning, som vi skal læse sammenhængen “x = 3 ⇒ x² = 9″ betyder, at hvis x = 3, så er x² = 9, men den modsatte sammenhæng gælder ikke nødvendigvis. I eksemplet gælder den modsatte sammenhæng ikke: hvis x² = 9, så er x ikke nødvendigvis lig med 3, da x også kan være −3.
• ⇔: Biimplikationspilen “⇔” betyder “ensbetydende med” eller “hvis og kun hvis”.
  • Eksempel: “x = 3 ∨ x = −3 ⇔ x² = 9″ betyder, “at x = 3 eller x = −3 er ensbetydende med, at x² = 9″. Sagt på en anden måde: “x = 3 eller x = −3 hvis og kun hvis x² = 9″.
  • Når vi skriver udtryk under hinanden, så vender vi biimplikationspilen, så den er lodret: ⇕.
  • ⇔ er “dobbeltrettet”, dvs. at den kan ses som en “dobbelt” implikationspil: “x = 3 ∨ x = −3 ⇔ x² = 9″ betyder, at “x = 3 ∨ x = −3 ⇒ x² = 9″ OG “x² = 9 ⇒ x = 3 ∨ x = −3″.

Løsning af ligninger

• Vi løser en ligning med hensyn til en ubekendt ved at isolere den ubekendte på den ene side af lighedstegnet.
  • I en enkel lineær ligning kan vi isolere den ubekendte ved at udføre samme tilladte regneoperation på begge sider. Division med et udtryk, der indeholder x, kræver en særskilt undersøgelse af, hvornår udtrykket er 0. Kontrollér kandidater efter kvadrering i den oprindelige ligning.
  • Eksempler på regneoperationer:
    • At trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
    • At gange med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af lighedstegnet.
    • Vi kan tage kvadratroden på begge sider, når begge udtryk er ikke-negative. Husk, at √(x²) = |x|, og at x² = r for r > 0 giver x = ±√r. For r = 0 er der kun løsningen x = 0.
    • At tage en logaritme til udtrykkene på begge sider af lighedstegnet (hvis begge udtryk er positive).
• En ligning kan løses på flere måder, dvs. at der ikke findes én rigtig måde at løse en ligning på. Nogle måder kan dog være smartere end andre, forstået på den måde at de kræver færre skridt, eller at udregningerne er mindre komplicerede. Herunder kan du se et eksempel, hvor vi har løst en ligning på to forskellige måder:

	Metode 1 (smart)			Metode 2 (knap så smart)
	(2)/(3)x + (1)/(3) = 2			(2)/(3)x + (1)/(3) = 2
⇓ Forklaring til dette trin: Vi ganger med 3.			⇓ Forklaring til dette trin: Vi omskriver 2 til en brøk.
	2x + 1 = 6			(2)/(3)x + (1)/(3) = (6)/(3)
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 1 fra.			⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 1/3 fra.
	2x = 5			(2)/(3)x = (5)/(3)
⇓ Forklaring til dette trin: Vi dividerer med 2.			⇓ Forklaring til dette trin: Vi ganger med 3.
	x = (5)/(2)			2x = 5
			⇓ Forklaring til dette trin: Vi dividerer med 2.
				x = (5)/(2)

• Vi kan tjekke om et tal er en løsning til en ligning ved at indsætte tallet i stedet for den ubekendte i ligningen. Hvis ligningen er opfyldt, så er tallet en løsning til ligningen. Fx er 2 en løsning til ligningen x + 1 = 3, fordi 2 + 1 = 3.
• En ligning kan have ingen, én, flere eller uendeligt mange løsninger. Fx:
  • Ligningen x² = −1 har ingen reelle løsninger, fordi x² ≥ 0 for alle reelle x. Kvadratet er 0, når x = 0.
  • Ligningen 2x + 4 = 8 har én løsning: x = 2.
  • Ligningen 2x² + 8x − 24 = 0 har to løsninger: x = −6 eller x = 2.
  • Ligningen x − x = 0 har uendeligt mange løsninger, fordi x − x = 0 for alle værdier af x.
• Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

Nulreglen

• Nulregel: Et produkt er 0, hvis og kun hvis mindst én af faktorerne er 0:

p · q = 0 ⇔ p = 0 eller q = 0

• Eksempel:

	x2 +2x = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi sætter x uden for en parentes.
	x · (x + 2) = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi bruger nulreglen.
	x = 0 ∨ x + 2 = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi isolerer x i ligningen x + 2 = 0 ved at trække 2 fra.
	x = 0 ∨ x = −2

Grafisk løsning

• Vi kan løse en ligning grafisk ved at bestemme skæringspunkterne mellem to grafer. Hvis vi kalder udtrykket på den ene side af lighedstegnet for f(x) og udtrykket på den anden side for g(x), så er ligningens løsning førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for f og g.
• Hvis en ligning har mere end én løsning, så vil graferne have mere end ét skæringspunkt. Vær opmærksom på, at der kan ligge skæringspunkter uden for det vindue, som dit CAS-værktøj bruger som standard, når du tegner grafer.
• Eksempel: Vi vil løse ligningen 3x − 2 = 4x + 5. Vi tegner derfor graferne for f(x) = 3x − 2 og g(x) = 4x + 5.

Indsættelse af x = −7 giver 3 · (−7) − 2 = −23 og 4 · (−7) + 5 = −23. Graferne mødes derfor i (−7; −23), og ligningen har løsningen x = −7.

Andengradsligninger

• En andengradsligning er en ligning på formen ax² + bx + c = 0, hvor a ≠ 0.
• Konstanten d = b² − 4ac kaldes diskriminanten.
• Diskriminantformlen:
  • Hvis d > 0, så har andengradsligningen to løsninger: x = (−b − √(d))/(2a) eller x = (−b + √(d))/(2a).
  • Hvis d = 0, så har andengradsligningen én løsning: x = (−b)/(2a).
  • Hvis d < 0, så har andengradsligningen ingen reelle løsninger.

To ligninger med to ubekendte

• To ligninger med to ubekendte kan løses på flere måder, fx med substitutionsmetoden eller “lige store koefficienters metode“.
• Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

Substitutionsmetoden

1. Vi isolerer den ene af de ubekendte i den ene ligning.
   Som eksempel ser vi på nedenstående ligningssystem:
   x + y = 0
   2x − y = 3
   Vi isolerer x i den første ligning:
   x + y = 0
   ⇓
   x = −y
2. Når vi har isoleret den ene af de ubekendte i den ene ligning, så har vi den ene ubekendte udtrykt ved den anden ubekendte. Vi indsætter udtrykket i den anden ligning.
   I eksemplet indsætter vi −y i stedet for x i den anden ligning:
   2· (−y) − y = 3
3. Vi løser ligningen fra trin 2 med hensyn til den ubekendte.
   Vi løser den ligning vi opstillede under trin 2:
   2· (−y) − y = 3
   ⇓
   −3y = 3
   ⇓
   y = −1
4. Vi kender nu værdien af den ene af de ubekendte. Vi indsætter værdien i det udtryk, som vi fandt i trin 1.
   Vi indsætter y = −1 i x = −y og bestemmer x:
   x = − (−1)
   = 1
   Løsningen er x = 1 og y = −1.

Lige store koefficienters metode

1. Vi ganger den ene ligning med et tal, så koefficienten foran den ene af de ubekendte bliver lige så stor som koefficienten foran den samme ubekendte i den anden ligning.
   Som eksempel ser vi på nedenstående ligningssystem:
   x + y = 0
   2x − y = 3
   Vi ganger den første ligning med 2, så koefficienten foran x bliver 2 ligesom i den anden ligning:
   2· (x + y) = 2 · 0
   ⇓
   2x + 2y = 0
2. Vi trækker de to ligninger fra hinanden ved at trække udtrykkene på venstre side af de to lighedstegn fra hinanden og udtrykkene på højre side af de to lighedstegn fra hinanden. Derefter isolerer vi den ubekendte.
   Vi trækker de to ligninger fra hinanden og isolerer y:
   2x + 2y − (2x −y) = 0 − 3
   ⇓
   2x + 2y − 2x + y = −3
   ⇓
   3y = −3
   ⇓
   y = −1
3. Vi kender nu værdien af den ene ubekendte. Vi indsætter værdien i en af ligningerne og isolerer den anden ubekendte.
   Vi indsætter y = −1 i den første ligning og isolerer x:
   x + (−1) = 0
   ⇓
   x − 1 = 0
   ⇓
   x = 1
   Løsningen er x = 1 og y = −1.

Løsning af uligheder

• Vi løser en ulighed med hensyn til en ubekendt ved at isolere den ubekendte på den ene side af ulighedstegnet.
  • Vi isolerer den ubekendte i en ulighed ved hjælp af regneoperationer, fx at lægge et tal til. Alle regneoperationer skal udføres på begge sider af ulighedstegnet. I nogle tilfælde skal ulighedstegnet vendes, fx hvis vi ganger/dividerer med et negativt tal.
  • Eksempler på regneoperationer:
    • Vi kan lægge det samme tal til på begge sider af ulighedstegnet.
    • Vi kan trække det samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet.
    • Vi kan gange med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af ulighedstegnet. Når vi ganger med et negativt tal, så skal vi vende ulighedstegnet.
    • Vi kan dividere med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af ulighedstegnet. Når vi dividerer med et negativt tal, så skal vi vende ulighedstegnet.
• Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

Grundmængde

• En lignings eller uligheds grundmængde G er den mængde af tal, som det er tilladt at sætte ind i ligningen/uligheden.
• Eksempel: En ulighed er givet ved x − 5 < ln(x). Den naturlige logaritme (ln) er defineret for de positive reelle tal, så grundmængden er G = ]0;∞[.

Løsningsmængde

• En lignings eller uligheds løsningsmængde L er den mængde af tal, som løser ligningen/uligheden.
• Vi bestemmer en lignings eller uligheds løsningsmængde ved at løse ligningen/uligheden og derefter sammenholde de mulige løsninger med grundmængden. Løsningsmængden består af alle de mulige løsninger, der også ligger i grundmængden.
• Eksempel: En ligning er givet ved ln(x) · (x² − 9) = 0. Grundmængden er G = ]0;∞[. Vi løser ligningen med nulreglen:

ln(x) · (x² − 9) = 0
⇓
x = −3 ∨ x = 1 ∨ x = 3

Da x = −3 ikke ligger i grundmængden G = ]0;∞[, så er løsningsmængden L = {1,3}.

Proportionalitet (ligefrem og omvendt)

• y er proportional med x, hvis y = k · x, hvor k ≠ 0.
• Konstanten k kaldes proportionalitetsfaktoren.
• Hvis y = k · x, hvor k ≠ 0, så er x = (1)/(k) · y, dvs. at når y er proportional med x, så er x også proportional med y. Vi siger, at x og y er “ligefrem proportionale”, “indbyrdes proportionale” eller blot “proportionale”.
• Hvis y = k · (1)/(x), hvor k ≠ 0, så er x og y omvendt proportionale.

Et overblik med kontrol

Prøv selv: En elev deler x(x − 4) = 0 med x og får kun x = 4. Hvad mangler?

Se forklaring og kontrol

Divisionen kræver x ≠ 0. Nulreglen giver også x = 0. Indsættelse viser, at begge værdier løser den oprindelige ligning.

Matematiske symboler i ligningsløsning

⇒ (implikationspil)

Implikationspilen “⇒” betyder “medfører” eller “hvis… så”.

Her er et eksempel på brug af implikationspilen:

x = 3 ⇒ x² = 9

Ovenstående eksempel læses “x = 3 medfører at x² = 9″. Eller sagt på en anden måde: “Hvis x = 3, så er x² = 9″.

Pilens retning angiver sammenhængen mellem de to udtryk før og efter pilen.

a = 3 ⇒ b = 4

a = 3 ⇐ b = 4

Det øverste udtryk herover betyder, at hvis a = 3, så er b = 4. Det nederste udtryk betyder, at hvis b = 4, så er a = 3.

Når vi skriver udtryk under hinanden eller laver beregninger, der står under hinanden, så vender vi implikationspilen, så den er lodret: ⇓.

Vi genbruger eksemplet fra før:

	x	=	3
⇓
	x2	=	9

Implikationspilen er “ensrettet”, da den peger i den retning, som vi skal læse sammenhængen. Den modsatte sammenhæng gælder ikke nødvendigvis. Fx gælder der, at hvis x = 3, så er x² = 9:

x = 3 ⇒ x² = 9

Den modsatte sammenhæng gælder ikke. Hvis x² = 9, så er x ikke nødvendigvis lig med 3, da ligningen x² = 9 har to løsninger: x = 3 og x = −3.

⇔ (biimplikationspil)

Biimplikationspilen “⇔” betyder “ensbetydende med” eller “hvis og kun hvis”.

Her er et eksempel på brug af biimplikationspilen:

x = 3 ∨ x = −3 ⇔ x² = 9

Ovenstående eksempel læses “At x = 3 eller x = −3 er ensbetydende med, at x² = 9″. Eller sagt på en anden måde: “x = 3 eller x = −3 hvis og kun hvis x² = 9″.

Når vi skriver udtryk under hinanden eller laver beregninger, der står under hinanden, så vender vi biimplikationspilen, så den er lodret: ⇕.

Vi genbruger eksemplet fra før:

	x = 3 ∨ x = −3
⇕
	x2 = 9

Biimplikationspilen er “dobbeltrettet” og kan ses som en “dobbelt” implikationspil.

x = 3 ∨ x = −3 ⇔ x² = 9

Ovenstående udtryk betyder altså, at

x = 3 ∨ x = −3 ⇒ x² = 9 OG x² = 9 ⇒ x = 3 ∨ x = −3

∨ (eller)

Tegnet “∨” betyder “eller”. Fx kan vi skrive “x = −2 eller x = 3″ således

x = −2 ∨ x = 3

Udtrykket “x = 5 ∨ x = 7″ læses “x er lig med 5 eller x er lig med 7″.

Du kan evt. bruge følgende huskeregel: “∨” betyder “eller”, fordi den står med spidsen nedad og kan vælte enten til højre eller venstre.

Vi benytter ofte “∨” i forbindelse med løsning af ligninger, der har flere løsninger. Hvis fx en andengradsligning har to løsninger, så kan vi bruge “∨” til at angive de to løsninger:

	x2 − 2x − 3 = 0
⇓
	x = −1 ∨ x = 3

Andengradsligningen x² − 2x − 3 = 0 har altså to løsninger: x = −1 eller x = 3.

∧ (og)

Tegnet “∧” betyder “og”. Fx kan vi skrive “x = −1 og y = 3″ således

x = −1 ∧ y = 3

Udtrykket “x = 2 ∧ y = 4″ læses “x er lig med 2 og y er lig med 4″.

Du kan evt. bruge følgende huskeregel: “∧” betyder “og”, fordi den står på både højre og venstre “ben”.

Vi benytter bl.a. “∧” i forbindelse med løsning af ligningssystemer. Vi kan fx bruge “∧” til at angive løsningen til to ligninger med to ubekendte:

	x + y	=	2
	x − y	=	6
⇓
	x = 4	∧	y = −2

Ligningssystemet herover har løsningen x = 4 og y = −2.

Brug symbolerne præcist

Prøv selv: Er x = 2 ⇒ x² = 4 og x² = 4 ⇒ x = 2 begge sande?

Se forklaring og kontrol

Den første er sand. Den anden er falsk, fordi x = −2 også giver 4. Skriv x² = 4 ⇔ x = −2 ∨ x = 2. I et system skal ligningerne være opfyldt samtidig; det udtrykkes med ∧.

Ligningsløsning: vælg den relevante metode

Begynd med de tilladte x-værdier, og se derefter på ligningens form. En lineær ligning kan isoleres. Et produkt lig med 0 inviterer til nulreglen. Grafer kan give overblik, mens en formel eller algebra kan kontrollere kandidaterne.

Følg afsnittene om regneregler, nulreglen og grafisk løsning nedenfor. Skriv altid løsningsmængden til den oprindelige ligning.

Regneregler til at løse en ligning

Løs en ligning ved at isolere den ubekendte

Vi løser en ligning ved at finde alle de værdier af den ubekendte, der opfylder ligningen.

At løse ligningen betyder at finde alle tilladte værdier, som opfylder den. I en enkel lineær ligning kan vi isolere den ubekendte på den ene side. I andre ligninger kan faktorisering, en formel eller en graf være et bedre valg. Her isolerer vi x:

2x + 8 = 10

Vi isolerer den ubekendte i en ligning ved hjælp af regneoperationer. Alle regneoperationer skal udføres på begge sider af lighedstegnet. Her er en række eksempler på regneoperationer, som vi kan bruge, når vi løser en ligning:

• Vi kan lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan gange med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan dele med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan tage kvadratroden på begge sider, når begge udtryk er ikke-negative. Husk, at √(x²) = |x|, og at x² = r for r > 0 giver x = ±√r. For r = 0 er der kun løsningen x = 0.
• Vi kan tage en logaritme til udtrykkene på begge sider af lighedstegnet (hvis begge udtryk er positive).

Tænk på lighedstegnet som en balance: De to sider har samme værdi. Addition og subtraktion af det samme tal samt multiplikation og division med en konstant forskellig fra 0 bevarer løsningerne. Hvis du dividerer med et udtryk, der indeholder x, skal du først undersøge, hvornår udtrykket er 0. Kvadrering kan give ekstra løsningskandidater; kontrollér derfor dem i den oprindelige ligning.

Eksempel

Vi løser ligningen 3x − 4 = 2x + 6:

	3x − 4	=	2x + 6
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 4 til på begge sider af lighedstegnet.
	3x − 4 + 4	=	2x + 6 + 4
⇓ Forklaring til dette trin: Vi reducerer ligningen.
	3x	=	2x + 10
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 2x fra på begge sider af lighedstegnet.
	3x − 2x	=	2x + 10 − 2x
⇓ Forklaring til dette trin: Vi reducerer ligningen.
	x	=	10

Ligningen 3x − 4 = 2x + 6 har løsningen x = 10.

Ligninger kan løses på flere måder

En ligning kan løses på flere måder, dvs. at der ikke findes én rigtig måde at løse en ligning på (men der findes et rigtigt svar!). Nogle måder kan dog være smartere end andre, fordi de kræver færre skridt, eller fordi udregningerne er mindre komplicerede.

Herunder kan du se et eksempel, hvor vi har løst en ligning på to forskellige måder:

	Metode 1 (smart)			Metode 2 (knap så smart)
	(2)/(3)x + (1)/(3) = 2			(2)/(3)x + (1)/(3) = 2
⇓ Forklaring til dette trin: Vi ganger med 3.			⇓ Forklaring til dette trin: Vi omskriver 2 til en brøk.
	2x + 1 = 6			(2)/(3)x + (1)/(3) = (6)/(3)
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 1 fra.			⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 1/3 fra.
	2x = 5			(2)/(3)x = (5)/(3)
⇓ Forklaring til dette trin: Vi dividerer med 2.			⇓ Forklaring til dette trin: Vi ganger med 3.
	x = (5)/(2)			2x = 5
			⇓ Forklaring til dette trin: Vi dividerer med 2.
				x = (5)/(2)

Metode 1 er smartere end metode 2, fordi den kræver færre skridt, og fordi udregningerne er enklere, da der ikke indgår så mange brøker.

Tjek løsningen til en ligning

Du kan tjekke, om et tal er en løsning til en ligning ved at indsætte tallet i stedet for den ubekendte i ligningen. Hvis ligningen er opfyldt, dvs. hvis udtrykkene på højre og venstre side af lighedstegnet er ens, så er tallet en løsning til ligningen.

Eksempel

Vi vil tjekke, om x = 2 er en løsning til andengradsligningen

2x² + 4x − 16 = 0

Vi indsætter x = 2 i udtrykket på venstre side af lighedstegnet:

2 · 2² + 4 · 2 − 16 = 2 · 4 + 4 · 2 − 16
= 8 + 8 − 16
= 0

Da udtrykket på venstre side af lighedstegnet er 0, så opfylder x = 2 ligningen. Vi har altså vist, at x = 2 er en løsning til ligningen.

Ligninger kan have ingen, én, flere eller uendeligt mange løsninger

En ligning kan have ingen, én, flere eller uendeligt mange løsninger. Her er fire eksempler:

• Ligningen x² = −1 har ingen reelle løsninger, fordi x² ≥ 0 for alle reelle x. Kvadratet er 0, når x = 0.
• Ligningen 2x + 4 = 8 har én løsning: x = 2.
• Ligningen 2x² + 8x − 24 = 0 har to løsninger: x = −6 eller x = 2.
• Ligningen x − x = 0 har uendeligt mange løsninger, fordi x − x = 0 for alle værdier af x.

Løs ligninger i et CAS-værktøj

Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

En ekstra kandidat efter kvadrering

Prøv selv: Løs √(x + 6) = x. Hvilke kandidater overlever kontrollen?

Se forklaring og kontrol

Grundmængden kræver x ≥ −6, og lighed med den ikke-negative rod kræver x ≥ 0. Kvadrering giver x² − x − 6 = 0, altså x = 3 eller x = −2. Kun 3 opfylder originalen: √9 = 3, mens √4 ≠ −2.

Nulreglen: faktoriser og find alle rødder

Hvad er nulreglen?

Sætning. Nulreglen.

Et produkt er 0, hvis og kun hvis mindst én af faktorerne er 0:

p · q = 0 ⇔ p = 0 eller q = 0

Nulreglen fortæller, at hvis et produkt er 0, så er mindst én af faktorerne 0, dvs. at hvis p · q = 0, så er p = 0, q = 0 eller p = 0 og q = 0.

Nulreglen fortæller også, at hvis mindst én af faktorerne i et produkt er 0, så er produktet også 0, dvs. at hvis p = 0 eller q = 0, så er p · q = 0.

Eksempel: Løs ligningen x · (x − 3) = 0

Vi løser nedenstående ligning med nulreglen:

x · (x − 3) = 0

På højre side af lighedstegnet står der 0. Udtrykket på venstre side er et produkt:

x · (x − 3)

De to faktorer er hhv. x og x − 3. Ifølge nulreglen er mindst én af faktorerne 0, dvs. at

x = 0 eller x − 3 = 0

Vi omskriver den sidste ligning ved at lægge 3 til på begge sider af lighedstegnet:

x = 0 eller x = 3

Ligningens løsning er x = 0 eller x = 3.

Løs ligninger ved at faktorisere og benytte nulreglen

Vi kan benytte nulreglen til at løse en ligning, hvis udtrykket på den ene side af lighedstegnet er et produkt, og udtrykket på den anden side af lighedstegnet er 0. Vi kan altså ikke løse nedenstående ligning med nulreglen, idet udtrykket på venstre side ikke er et produkt:

e^x − 5 = 0

I nogle tilfælde kan vi omskrive et udtryk, der ikke er et produkt, så vi får et produkt. Herunder er et eksempel, hvor vi omskriver en ligning ved at sætte 4 uden for en parentes:

	4x − 20	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi sætter 4 uden for en parentes. Derved får vi et produkt: 4 · (x − 5).
	4 · (x − 5)	=	0

I eksemplet herover har vi omskrevet et udtryk, 4x − 20, der ikke er et produkt, til et udtryk, 4 · (x − 5), som er et produkt af 4 og x − 5.

Vi kan nu benytte nulreglen til at løse ligningen. Ifølge nulreglen er mindst en af faktorerne 0. Da 4 > 0, så er x − 5 = 0:

	4 · (x − 5)	=	0
⇓
	x − 5	=	0
⇓
	x	=	5

Ligningen 4x − 20 = 0 har løsningen x = 5.

Eksempel: Løs ligningen xe^x + 2e^x = 0

Vi løser ligningen xe^x + 2e^x = 0 ved at faktorisere xe^x + 2e^x og derefter bruge nulreglen:

	xex + 2ex	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi sætter ex uden for parentesen: xex + 2ex = ex(x + 2).
	ex · (x + 2)	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Nulreglen bruges på faktorerne ex og x + 2.
	ex = 0	∨	x + 2 = 0
⇓ Forklaring til dette trin: ex er positiv for alle reelle x og kan derfor ikke være 0. Kun x + 2 = 0 kan give en løsning.
	x + 2	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi isolerer x i ligningen x + 2 = 0 ved at trække 2 fra på begge sider af lighedstegnet.
	x	=	−2

Ligningen xe^x + 2e^x = 0 har løsningen x = −2.

Eksempel: Løs ligningen x² + 2x = 0

Herunder ses en andengradsligning:

x² + 2x = 0

Vi løser ligningen ved at sætte x uden for en parentes og derefter bruge nulreglen:

	x2 + 2x = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi sætter x uden for en parentes.
	x · (x + 2) = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi bruger nulreglen.
	x = 0 ∨ x + 2 = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi isolerer x i ligningen x + 2 = 0 ved at trække 2 fra på begge sider af lighedstegnet.
	x = 0 ∨ x = −2

Ligningens løsning er x = 0 eller x = −2.

Produkt eller sum

Prøv selv: Løs (x − 1)(x + 4) = 0, og forklar, hvorfor samme regel ikke løser (x − 1) + (x + 4) = 0.

Se forklaring og kontrol

Produktet giver x = 1 eller x = −4. Summen giver 2x + 3 = 0, altså x = −1,5. Nulreglen kræver et produkt med værdien 0.

Grafisk ligningsløsning og kontrol af rødder

Grafisk løsning af en ligning

Vi kan løse en ligning grafisk ved at bestemme skæringspunkterne mellem to grafer. Hvis vi kalder udtrykket på den ene side af lighedstegnet for f(x) og udtrykket på den anden side for g(x), så kan vi omskrive ligningen til

f(x) = g(x)

Løsningen til ligningen er de x−værdier, hvor de tilhørende funktionsværdier er ens, dvs. at løsningen er førstekoordinaterne til skæringspunkterne mellem graferne for f og g.

Vi forklarer fremgangsmåden mere detaljeret i nedenstående eksempel.

Hvis en ligning har mere end én løsning, så vil graferne have mere end ét skæringspunkt. Vær opmærksom på, at der kan ligge skæringspunkter uden for det vindue, som dit CAS-værktøj bruger som standard, når du tegner grafer.

Eksempel: Løs ligningen 3x − 2 = 4x + 5

Vi vil løse ligningen

3x − 2 = 4x + 5

Udtrykket på venstre side af lighedstegnet kalder vi for f(x), mens udtrykket på højre side af lighedstegnet kaldes for g(x), dvs. at

f(x)=3x−2
g(x)=4x+5

Vi omskriver ligningen ved at bruge funktionerne f(x) og g(x):

3x−2=4x+5
⇓
f(x)=g(x)

Ved skæringspunktet har funktionerne samme værdi. Tegn begge grafer i samme koordinatsystem, og undersøg de x-værdier, hvor f(x) = g(x). Kontrollér koordinaterne med ligningen.

Et grafværktøj kan finde skæringspunkter i et valgt område. Notér funktionernes forskrifter, søgeområdet og de fundne koordinater, så en anden kan kontrollere aflæsningen.

Ved x = −7 har begge funktioner værdien −23. Skæringspunktet er (−7; −23), så løsningen er x = −7.

Vi kan tjekke at løsningen er korrekt ved at sætte x = −7 ind i ligningen:

3· (−7)−2=−23
4· (−7)+5=−23

x = −7 er en løsning til ligningen, da udtrykkene på begge sider af lighedstegnet har samme værdi.

Eksempel: Løs ligningen x² − 3 = 2x

Vi vil løse ligningen

x² − 3 = 2x

Tegn f(x) = x² − 3 og g(x) = 2x i samme koordinatsystem. Undersøg kandidater ved at beregne begge funktionsværdier.

Ved x = −1 er begge funktionsværdier −2; ved x = 3 er de begge 6. Skæringspunkterne er (−1; −2) og (3; 6). Ligningen har derfor løsningerne −1 og 3.

Eksempel: Løs ligningen x² + 2x − 3 = 0

Vi vil løse ligningen

x² + 2x − 3 = 0

Udtrykket på venstre side af lighedstegnet kalder vi for f(x), dvs. at

f(x) = x² + 2x − 3

Vi omskriver ligningen ved at bruge funktionen f(x):

x² + 2x − 3 = 0
⇓
f(x)=0

Nulpunkter er x-værdier, hvor f(x) = 0. Tegn f(x) = x² + 2x − 3, og kontrollér de aflæste x-værdier ved indsættelse. Førsteaksen svarer til y = 0.

Indsættelse viser f(−3) = 0 og f(1) = 0. Grafen skærer førsteaksen i (−3; 0) og (1; 0), så løsningerne er x = −3 eller x = 1.

Eksempel: Løs ligningen eˣ = x² + 2

Vi vil løse ligningen

e^x = x² + 2

Tegn f(x) = e^x og g(x) = x² + 2. Et numerisk skæringsværktøj giver en kandidat, som kontrolleres ved at beregne forskellen mellem de to funktionsværdier.

Løsningen er omtrent x = 1,319, hvor begge funktionsværdier er omtrent 3,740. Højere præcision giver x ≈ 1,3190737. At se ét skæringspunkt i et grafvindue er ikke i sig selv bevis for, at der ikke findes andre.

Eksempel: Løs ligningen 11x² + 3x = x³ + 9

Vi vil løse ligningen

11x² + 3x = x³ + 9

Tegn f(x) = 11x² + 3x og g(x) = x³ + 9. Undersøg flere grafvinduer, og kontrollér også ligningen algebraisk eller med en symbolsk løsning.

Et smalt grafvindue kan skjule den største løsning. Efter omskrivning kan forskellen faktoriseres som (x + 1)(x² − 12x + 9), så alle tre kandidater kan bestemmes uden at gætte et vindue.

Løsningerne er x = −1, x = 6 − 3√3 ≈ 0,803848 og x = 6 + 3√3 ≈ 11,196152. De tilhørende fælles funktionsværdier er 8, omtrent 9,519 og omtrent 1412,481. Kontrollér med uafrundede tal, før koordinaterne afrundes.

Vælg et grafvindue

Prøv selv: For f(x) = (x − 1)(x − 12): Er én synlig rod i vinduet 0 ≤ x ≤ 5 alle løsninger?

Se forklaring og kontrol

Nej. Nulreglen giver rødderne 1 og 12. Udvid vinduet, og kontrollér begge i forskriften. En numerisk graf viser et udsnit; den beviser ikke en udtømmende optælling.

Førstegradsligninger efter samling af led

Hvad er en førstegradsligning?

Definition. Førstegradsligning.

En førstegradsligning er en ligning på formen

a · x + b = 0, a ≠ 0

a og b er reelle tal.

Førstegradsligninger skrives også af og til “1. gradsligninger”.

En førstegradsligning kan efter samling af led skrives ax + b = 0 med a ≠ 0. Graden aflæses i den reducerede polynomielle form. Fx reduceres x² + x = x² + 3 til x − 3 = 0; den er lineær, selv om x² stod i den oprindelige skrivemåde.

Her er en række eksempler på førstegradsligninger og ligninger af højere grad:

Ligning	Type af ligning
x − 7 = 0	Førstegradsligning
x3 − x + 5= 0	Tredjegradsligning
−x2 − 8 = 0	Andengradsligning
2x − 8 = 0	Førstegradsligning
2x2 + 5x − 2 = 0	Andengradsligning
x3 − 2x2 + 4x − 9 = 0	Tredjegradsligning

Antal løsninger

En førstegradsligning har én løsning.

Løs en førstegradsligning

Vi kan løse en førstegradsligning ved at isolere den ubekendte på den ene side af lighedstegnet. Vi isolerer den ubekendte ved hjælp af regneoperationer:

• Vi kan lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan gange med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af lighedstegnet.
• Vi kan dele med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af lighedstegnet.

Eksempel: Løs ligningen 3x − 9 = 0

Vi løser ligningen 3x − 9 = 0. Først lægger vi 9 til på begge sider af lighedstegnet, derefter deler vi med 3:

	3x − 9	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 9 til på begge sider af lighedstegnet.
	3x	=	9
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med 3 på begge sider af lighedstegnet.
	x	=	3

Førstegradsligningen 3x − 9 = 0 har løsningen x = 3.

Eksempel: Løs ligningen 4x − 7 = 2x + 9

Vi løser ligningen 4x − 7 = 2x + 9. Først isolerer vi leddene med x på venstre side af lighedstegnet ved at lægge 7 til på begge sider og derefter trække 2x fra. Til sidst isolerer vi x ved at dele med 2:

	4x − 7	=	2x + 9
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 7 til på begge sider af lighedstegnet.
	4x	=	2x + 16
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 2x fra på begge sider af lighedstegnet.
	2x	=	16
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med 2 på begge sider af lighedstegnet.
	x	=	8

Førstegradsligningen 4x − 7 = 2x + 9 har løsningen x = 8.

En ligning efter reduktion

Prøv selv: Løs 4x + 6 = 2x − 8. Hvad sker der i stedet ved 4x + 6 = 4x − 8?

Se forklaring og kontrol

Den første giver 2x = −14 og x = −7; begge sider bliver −22. Den anden reduceres til 6 = −8 og har ingen løsning. Ved 4x + 6 = 4x + 6 er alle reelle x løsninger.

Tredjegradsligninger og gentagne rødder

Hvad er en tredjegradsligning?

Definition. Tredjegradsligning.

En tredjegradsligning er en ligning på formen

a · x³ + b · x² + c · x + d = 0, a ≠ 0

a, b, c og d er reelle tal.

Tredjegradsligninger kaldes også “3. gradsligninger”.

Koefficienten a skal være forskellig fra 0 efter samling af led. Graden aflæses i den reducerede polynomielle form; led, der går ud mod hinanden, tæller ikke med. x³ + 3 = 0 er af tredje grad, mens x² + x = 0 er af anden grad.

Her er en række eksempler på ligninger af forskellig grad:

Ligning	Type af ligning
x3 + x2 − 3x + 7 = 0	Tredjegradsligning
−x2 + 2x − 9 = 0	Andengradsligning
−x3 + x2 − 2 = 0	Tredjegradsligning
2x + 3 = 0	Førstegradsligning
2x3 − 7 = 0	Tredjegradsligning
x3 = 0	Tredjegradsligning

Tredjegradsligninger har 1, 2 eller 3 reelle løsninger

En tredjegradsligning med reelle koefficienter og a ≠ 0 har én, to eller tre forskellige reelle løsninger. En gentaget rod tælles kun én gang i denne optælling. Tælles komplekse rødder med deres multiplicitet, er der tre rødder.

Herunder er tre eksempler.

Ligning	Løsninger
2x3 + x2 − 3x + 6 = 0	x = −2
x3 + 2x2 − 15x − 36 = 0	x = −3 ∨ x = 4
x3 + x2 − 2x = 0	x = −2 ∨ x = 0 ∨ x = 1

Løs en tredjegradsligning

Vi benytter typisk et CAS-værktøj til at bestemme løsningerne til en tredjegradsligning. I nogle tilfælde kan vi dog også løse tredjegradsligninger i hånden. Herunder gennemgår vi to eksempler:

1. Ligninger på formen ax³ + bx² + cx = 0
2. Ligninger på formen ax³ + d = 0

Løs ligninger på formen ax³ + bx² + cx = 0

En tredjegradsligning, hvor d = 0, er på formen ax³ + bx² + cx = 0. Ligninger på denne form kan løses ved at benytte nulreglen, og derefter løse den andengradsligning, der fremkommer.

Først sætter vi x uden for en parentes på venstre side af lighedstegnet. Derefter benytter vi nulreglen:

	ax3 + bx2 + cx = 0
⇕ Forklaring til dette trin: Vi sætter x uden for en parentes.
	x · (ax2 + bx + c) = 0
⇕ Forklaring til dette trin: Vi benytter nulreglen.
	x = 0 ∨ ax2 + bx + c = 0

Tredjegradsligningen har løsningen x = 0. Vi kan bestemme eventuelle andre løsninger ved at løse andengradsligningen ax² + bx + c = 0. Vi gennemgår metoden til at løse en andengradsligning på siden Diskriminantformlen.

Eksempel: Løs ligningen x³ − 3x² + 2x = 0

Vi skal løse ligningen x³ − 3x² + 2x = 0.

Først sætter vi x uden for en parentes og bruger nulreglen:

	x3 − 3x2 + 2x = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi sætter x uden for en parentes.
	x · (x2 − 3x + 2) = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi benytter nulreglen.
	x = 0 ∨ x2 − 3x + 2 = 0

x² − 3x + 2 = 0 er en andengradsligning. Vi bestemmer diskriminanten:

d = (−3)² − 4 · 1 · 2
= 9 − 8
= 1

Diskriminanten, d, er 1. Da d > 0, så har andengradsligningen to løsninger. Vi bestemmer løsningerne:

x₁ = (−(−3) − √(1))/(2 · 1)
= (3 − 1)/(2)
= (2)/(2)
= 1
x₂ = (−(−3) + √(1))/(2 · 1)
= (3 + 1)/(2)
= (4)/(2)
= 2

Andengradsligningen x² − 3x + 2 = 0 har løsningerne x₁ = 1 og x₂ = 2. Dermed har vi, at

	x3 − 3x2 + 2x = 0
⇓
	x = 0 ∨ x2 − 3x + 2 = 0
⇓
	x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2

Tredjegradsligningen x³ − 3x² + 2x = 0 har løsningen x = 0, x = 1 eller x = 2.

Løs ligninger på formen ax³ + d = 0

En tredjegradsligning, hvor b = 0 og c = 0, er på formen ax³ + d = 0. Vi kan løse tredjegradsligninger på formen ax³ + d = 0 ved at isolere x³ på den ene side af lighedstegnet og derefter bestemme kubikroden.

Eksempel: Løs ligningen 2x³ − 16 = 0

Vi skal løse ligningen 2x³ − 16 = 0. Først isolerer vi x³ på den ene side af lighedstegnet:

	2x3 − 16	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 16 til på begge sider af lighedstegnet.
	2x3	=	16
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med 2 på begge sider af lighedstegnet.
	x3	=	8

Vi har nu isoleret x³ på den ene side af lighedstegnet. Vi bestemmer kubikroden:

	x3	=	8
⇓
	x	=	2

Tredjegradsligningen 2x³ − 16 = 0 har løsningen x = 2.

Løs ligninger i et CAS-værktøj

Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

En gentaget rod

Prøv selv: Hvor mange forskellige reelle løsninger har (x − 2)²(x + 1) = 0?

Se forklaring og kontrol

Der er to: 2 og −1. Roden 2 har multiplicitet 2. Ligningen er af tredje grad, men behøver ikke have tre forskellige reelle løsninger.

Eksponentielle ligninger, potenser og vinkler

Eksponentielle ligninger

En eksponentiel ligning kan skrives b · a^x = c. For a > 0, a ≠ 1, b ≠ 0 og c/b > 0 får du a^x = c/b og x = log(c/b)/log(a). Begge logaritmer skal have samme base. Hvis c/b ≤ 0, er der ingen reel løsning under disse forudsætninger. Ved a = 1 eller b = 0 skal du undersøge den konstante ligning særskilt.

Ligninger med potenser

Ved xⁿ = k afhænger de reelle løsninger af n. For et positivt lige heltal n giver k > 0 to løsninger, k = 0 én og k < 0 ingen. For et positivt ulige heltal n er der én reel løsning for hvert reelt k. Ved b · xⁿ = k med b ≠ 0 dividerer du først med b. En kvadratrod kræver et ikke-negativt udtryk under roden. Isolér roden, undersøg fortegnene, og kontrollér eventuelle kandidater efter kvadrering.

Trigonometriske grundligninger

I cos(v) = k og sin(v) = k kræver reelle løsninger −1 ≤ k ≤ 1. I radianer gentages sinus− og cosinusværdier med perioden 2π; tangens gentages med π og er ikke defineret ved π/2 + nπ. En invers trigonometrisk funktion giver typisk en hovedværdi. Undersøg de øvrige vinkler og begræns dem til opgavens interval. Fx giver sin(v) = 0 vinklerne v = nπ, hvor n er et helt tal. Brug den vinkelenhed, opgaven angiver.

Logaritme og periode

Prøv selv: Løs 3 · 2^x = 24 og sin(v) = 0 for 0 ≤ v ≤ 2π i radianer.

Se forklaring og kontrol

Den første giver 2^x = 8, altså x = 3. Den anden giver 0, π og 2π i det lukkede interval. Ved 3 · 2^x = −24 findes ingen reel løsning; en eksponentialfunktion med positiv base er positiv.

Ligningssystemer: krav der gælder samtidig

Et ligningssystem består af ligninger, der skal gælde samtidig. Vælg substitution eller elimination, og kontrollér det fundne par i alle oprindelige ligninger. Undersøg også, om ligningerne beskriver samme linje eller parallelle linjer.

Ligningssystemer og skæring mellem linjer

Hvad er et ligningssystem?

Når vi har to eller flere ligninger, der skal være opfyldt på samme tid, så kalder vi ligningerne for et ligningssystem. Her er et ligningssystem med to ligninger:

2x − y	=	−1
3x + 2y	=	16

I ovenstående ligningssystem er der to ligninger og to ubekendte. Der behøver ikke at være lige mange ligninger og ubekendte i et ligningssystem. Her er et eksempel på et ligningssystem, hvor der er flere ligninger end ubekendte:

2x + 3y	=	3
−x + 2y	=	−5
x + 4y	=	−1

En løsning til et ligningssystem er nogle værdier af de ubekendte, der opfylder alle ligninger i ligningssystemet. Her er et eksempel:

2x − y	=	−1
3x + 2y	=	16

x = 2 og y = 5 er en løsning til ovenstående ligningssystem, idet

2 · 2 − 5	=	−1
3 · 2 + 2 · 5	=	16

Eksempel: Bestem skæringspunktet mellem to linjer ved at løse et ligningssystem

Vi kan få brug for at løse ligningssystemer i mange forskellige typer af opgaver, fx når vi bestemmer skæringspunktet mellem to linjer.

To linjer l og m er givet ved ligningerne nedenfor. Du kan tegne dem og kontrollere skæringspunktet ved indsættelse i begge ligninger.

l:	y = 2x + 3
m:	y = −2x + 11

Da skæringspunktet mellem l og m både ligger på l og på m, så opfylder skæringspunktets koordinater både ligningen for l og ligningen for m. Skæringspunktets koordinater opfylder altså ligningssystemet bestående af linjernes ligninger:

y	=	2x + 3
y	=	−2x + 11

Vi kan bestemme koordinaterne til skæringspunktet mellem l og m ved at løse ligningssystemet. Ligningssystemets løsning er x = 2 og y = 7, dvs. at skæringspunktets koordinater er (2,7).

To ligninger med to ubekendte

Et ligningssystem med to ligninger, der indeholder to ubekendte, kaldes for “to ligninger med to ubekendte”.

Her er et eksempel på to ligninger med to ubekendte:

2x − 3y	=	4
−x + 4y	=	0

Vi gennemgår en række metoder til at løse to ligninger med to ubekendte på siden To ligninger med to ubekendte.

Løs et ligningssystem i et CAS-værktøj

Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

Kontrollér hele systemet

Prøv selv: Er (x; y) = (2; 1) en løsning til x + y = 3 og 2x − y = 0?

Se forklaring og kontrol

Parret opfylder første ligning, men 2 · 2 − 1 = 3 ≠ 0. Det er derfor ikke en løsning til systemet. Begge ligninger skal holde.

To ligninger med to ubekendte: metoder

Hvad er “to ligninger med to ubekendte”?

To ligninger med to ubekendte er et ligningssystem med to ligninger, der indeholder to ubekendte. Her er et eksempel:

2x − 4y = 0

3x + 2y = 3

Ovenstående ligningssystem indeholder to ligninger med to ubekendte: x og y.

Løs to ligninger med to ubekendte

To ligninger med to ubekendte kan løses på flere forskellige måder. Ligningssystemet kan fx løses i hånden med substitutionsmetoden eller lige store koefficienters metode. Ligningssystemet kan også løses i et CAS-værktøj.

Substitutionsmetoden

Her gennemgår vi substitutionsmetoden. Vi gennemgår metoden ved hjælp af et eksempel:

1.	Vi isolerer den ene af de ubekendte i den ene ligning. Som eksempel ser vi på nedenstående ligningssystem: x+ y = 0 2x − y = 3 Vi isolerer x i den første ligning: x + y = 0 ⇓ x = −y
2.	Når vi har isoleret den ene af de ubekendte i den ene ligning, så har vi den ene ubekendte udtrykt ved den anden ubekendte. Vi indsætter udtrykket i den anden ligning. I eksemplet fandt vi, at x = −y. Vi indsætter derfor −y i stedet for x i den anden ligning: 2· (−y) − y = 3
3.	Vi løser ligningen fra trin 2 med hensyn til den ubekendte. Vi løser den ligning, som vi opstillede i eksemplet under trin 2: 2· (−y) − y = 3 ⇓ −3y = 3 ⇓ y = −1 Ligningen har løsningen y = −1.
4.	Vi kender nu værdien af den ene af de ubekendte. Vi indsætter værdien i det udtryk, som vi fandt i trin 1. I eksemplet fandt vi i trin 3, at y = −1. Vi indsætter y = −1 i udtrykket x = −y, som vi fandt i trin 1: x = − (−1) = 1 Løsningen er x = 1 og y = −1.

Eksempel

Vi vil løse nedenstående ligningssystem:

3x − 4y	= 10
x + 2y	= 0

Vi benytter substitutionsmetoden:

1.	Vi isolerer x i den nederste ligning i ligningssystemet: x + 2y = 0 ⇓ x = −2y
2.	Vi indsætter −2y i stedet for x i den øverste ligning i ligningssystemet: 3 · (−2y) − 4y = 10
3.	Vi løser ligningen fra trin 2: 3 · (−2y) − 4y = 10 ⇓ −6y − 4y = 10 ⇓ − 10y = 10 ⇓ y = −1 Ligningen har løsningen y = −1.
4.	Vi indsætter y = −1 i ligningen fra trin 1: x = − 2 · (−1) = 2 Ligningssystemet har løsningen x = 2 og y = −1.

Lige store koefficienters metode

Her gennemgår vi lige store koefficienters metode. Vi gennemgår metoden ved hjælp af et eksempel:

1.	Vi ganger den ene ligning med et tal, så koefficienten foran den ene af de ubekendte bliver lige så stor som koefficienten foran den samme ubekendte i den anden ligning. Som eksempel ser vi på nedenstående ligningssystem: x + y = 0 2x − y = 3 Vi ganger den første ligning med 2, så koefficienten foran x bliver 2 ligesom i den anden ligning: 2· (x + y) = 2 · 0 ⇓ 2x + 2y = 0 Vi har nu omskrevet ligningssystemet til 2x + 2y = 0 2x − y = 3
2.	Vi trækker de to ligninger fra hinanden ved at trække udtrykkene på venstre side af de to lighedstegn fra hinanden og udtrykkene på højre side af de to lighedstegn fra hinanden. Derefter isolerer vi den ubekendte. I eksemplet trækker vi de to ligninger fra hinanden og isolerer y: 2x + 2y − (2x −y) = 0 − 3 ⇓ 2x + 2y − 2x + y = −3 ⇓ 3y = −3 ⇓ y = −1 Ligningen har løsningen y = −1.
3.	Vi kender nu værdien af den ene ubekendte. Vi indsætter værdien i en af ligningerne og isolerer den anden ubekendte. I eksemplet indsætter vi y = −1 i den første ligning og isolerer x: x + (−1) = 0 ⇓ x − 1 = 0 ⇓ x = 1 Ligningssystemets løsning er x = 1 og y = −1.

Eksempel

Vi vil løse nedenstående ligningssystem:

2x − 3y	= −13
−x − y	= −1

Vi benytter lige store koefficienters metode:

1.	Vi ganger den nederste ligning i ligningssystemet med 3, så koefficienten foran y bliver −3 ligesom i den øverste ligning i ligningssystemet: −x − y = −1 ⇓ 3 · (−x − y) = 3 · (−1) ⇓ −3x − 3y = −3 Vi har nu omskrevet ligningssystemet til 2x − 3y = −13 −3x − 3y = −3
2.	Vi trækker de to ligninger fra trin 1 fra hinanden: 2x − 3y − ( −3x − 3y ) = −13 − (−3) ⇓ 2x − 3y + 3x + 3y = −13 + 3 ⇓ 5x = −10 ⇓ x = −2 Ligningen har løsningen x = −2.
3.	Vi indsætter x = −2 i den nederste ligning i det oprindelige ligningssystem og isolerer y: − (−2) − y = −1 ⇓ 2 − y = −1 ⇓ −y = −3 ⇓ y = 3 Ligningssystemets løsning er x = −2 og y = 3.

CAS-værktøj

Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

Én, ingen eller uendeligt mange

Prøv selv: Sammenlign x + y = 4 med 2x + 2y = 8. Hvad ændres, hvis højresiden i anden ligning bliver 9?

Se forklaring og kontrol

Med 8 er anden ligning blot den første ganget med 2; alle par på linjen x + y = 4 løser systemet. Med 9 bliver kravene modstridende, så der er ingen løsning. Ved x + y = 4 og x − y = 0 er den eneste løsning (2; 2).

Uligheder: fortegn, endepunkter og intervaller

Løs en ulighed ved at isolere den ubekendte

I en enkel lineær ulighed kan vi isolere den ubekendte på den ene side. Andre uligheder kan kræve en fortegnsundersøgelse og flere intervaller. Hvis du vil gange eller dividere med et udtryk, der indeholder x, skal dets fortegn først kendes; ellers må du skelne mellem tilfælde. Her isolerer vi x i en lineær ulighed:

2x − 5 < 0

Vi isolerer den ubekendte i en ulighed ved at benytte regneoperationer. Herunder kan du se en række eksempler på regneoperationer:

• Vi kan lægge det samme tal til på begge sider af ulighedstegnet.
• Vi kan trække det samme tal fra på begge sider af ulighedstegnet.
• Vi kan gange med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af ulighedstegnet. Når vi ganger med et negativt tal, så vender vi ulighedstegnet.
• Vi kan dele med det samme tal (dog ikke 0) på begge sider af ulighedstegnet. Når vi deler med et negativt tal, så vender vi ulighedstegnet.

Alle regneoperationer skal udføres på begge sider af ulighedstegnet, dvs. at hvis vi fx lægger 5 til på venstre side af ulighedstegnet, så skal vi også lægge 5 til på højre side af ulighedstegnet.

Vær opmærksom på, at ulighedstegnet i nogle tilfælde skal vendes, fx hvis vi ganger eller dividerer med et negativt tal.

Eksempel: Løs uligheden 5x − 7 < 3x + 3

Vi løser uligheden 5x − 7 < 3x + 3:

	5x − 7	<	3x + 3
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 7 til på begge sider af ulighedstegnet.
	5x	<	3x + 10
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 3x fra på begge sider af ulighedstegnet.
	2x	<	10
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med 2 på begge sider af ulighedstegnet.
	x	<	5

Uligheden har løsningen x < 5.

Eksempel: Løs uligheden −4x + 7 ≤ −2x − 5

Vi løser uligheden −4x + 7 ≤ −2x − 5:

	−4x + 7	≤	−2x − 5
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 7 fra på begge sider af ulighedstegnet.
	−4x	≤	−2x − 12
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 2x til på begge sider af ulighedstegnet.
	−2x	≤	−12
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med 2 på begge sider af ulighedstegnet.
	−x	≤	−6
⇓ Forklaring til dette trin: Vi ganger med −1 på begge sider af ulighedstegnet. Da vi ganger med et negativt tal, så vender vi ulighedstegnet.
	x	≥	6

Uligheden har løsningen x ≥ 6.

Bemærk, at vi har vendt ulighedstegnet i sidste trin, da vi har ganget med et negativt tal.

Da vi løste uligheden, så sluttede vi af med at dele med 2 og derefter gange med −1. Vi kunne også have valgt at dele med −2 og derved “spare” et trin:

	−2x	≤	−12
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med −2 på begge sider af ulighedstegnet. Da vi deler med et negativt tal, så vender vi ulighedstegnet.
	x	≥	6

Løs uligheder i et CAS-værktøj

Et CAS-værktøj kan hjælpe med beregningen. Angiv hele ligningen, uligheden eller ligningssystemet og de ubekendte, notér eventuelle begrænsninger eller søgeområder, og kontrollér resultatet i den oprindelige opgave.

Det negative tal

Prøv selv: Løs −3x + 2 > 11, og afgør, om endepunktet er med.

Se forklaring og kontrol

−3x > 9. Division med −3 vender tegnet, så x < −3. Intervallet er ]−∞; −3[. x = −3 giver lighed, så endepunktet er ikke med. Prøv fx −4, som giver 14 > 11.

Grundmængde og løsningsmængde

Grundmængde

Definition. Grundmængde.

En lignings eller uligheds grundmængde G er den mængde af tal, som det er tilladt at sætte ind i ligningen/uligheden.

Hvilke tal, der kan sættes ind i en ligning eller ulighed, afhænger af ligningen/uligheden. Hvis der fx indgår en kvadratrod eller en brøk med x i nævneren i en ligning eller ulighed, så er der nogle tal, som vi ikke kan sætte ind i ligningen/uligheden. Eksempelvis er 1/x ikke defineret for x = 0, så hvis 1/x indgår i en ligning eller ulighed, så er 0 ikke en del af grundmængden.

Vi kan notere grundmængden på flere måder:

• Hvis grundmængden er alle de reelle tal, så skriver vi G = ℝ.
• Hvis grundmængden er alle de reelle tal, undtagen ét tal k, så skriver vi G = ℝ ∖ { k }. Fx kan vi notere alle de reelle tal undtagen 2 således: ℝ ∖ { 2 }.
• Hvis grundmængden er et interval, så skriver vi fx G = [a;b]. Husk at være opmærksom på, hvilken vej de kantede parenteser vender. Grundmængden kan også bestå af flere intervaller, fx G = ]−∞;−1] ∪ ]1;∞[.

Eksempel: x² + x − 7 = 0

En ligning er givet ved

x² + x − 7 = 0

Vi vil bestemme ligningens grundmængde.

Vi bemærker først, at den ubekendte, x, kun indgår i udtrykket på venstre side af lighedstegnet. Da vi kan sætte ethvert reelt tal ind i udtrykket x² + x − 7, så er grundmængden alle de reelle tal:

G = ℝ

Eksempel: √x + 2 = x

En ligning er givet ved

√(x) + 2 = x

Vi vil bestemme ligningens grundmængde.

Udtrykket på venstre side af lighedstegnet indeholder √(x). Da vi ikke kan bestemme kvadratroden af et negativt tal, så kan vi ikke sætte negative tal ind i udtrykket på venstre side af lighedstegnet.

Udtrykket på højre side af lighedstegnet er x. Vi kan derfor indsætte alle reelle tal i udtrykket på højre side af lighedstegnet.

De tal, som vi kan sætte ind i udtrykkene på begge sider af lighedstegnet, er de positive reelle tal og 0, så grundmængden er de positive reelle tal og 0:

G = [0;∞[

Eksempel: x − 5 < ln(x)

En ulighed er givet ved

x − 5 < ln(x)

Vi vil bestemme ulighedens grundmængde.

Først bemærker vi, at vi kan sætte ethvert reelt tal ind i udtrykket x − 5 på venstre side af lighedstegnet.

Derefter ser vi på udtrykket på højre side af ulighedstegnet: ln(x). Den naturlige logaritme, ln, er defineret for de positive reelle tal, så vi kan kun sætte positive reelle tal ind i udtrykket på højre side af ulighedstegnet.

De tal, som vi kan sætte ind i udtrykkene på begge sider af ulighedstegnet, er de positive reelle tal, så grundmængden er de positive reelle tal:

G = ]0;∞[

Eksempel: √(x² − 4) > 5

En ulighed er givet ved

√(x² − 4) > 5

Vi vil bestemme ulighedens grundmængde.

Udtrykket på venstre side af ulighedstegnet indeholder en kvadratrod. Da vi ikke kan bestemme kvadratroden af et negativt tal, så skal x² − 4 ≥ 0.

Vi løser uligheden:

	x2 − 4	≥	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi lægger 4 til på begge sider af ulighedstegnet.
	x2	≥	4
⇓ Forklaring til dette trin: Vi betragter først ligningen x² = 4 Ligningen har to løsninger: x = 2 eller x = −2. Hvis x er større end 2, så bliver x² større end 4. Tilsvarende bliver x² større end 4, hvis x < −2. Uligheden x² ≥ 4 har derfor løsningen x ≥ 2 eller x ≤ −2.
	x ≥ 2	∨	x ≤ −2

Uligheden x² − 4 ≥ 0 har løsningen x ≥ 2 ∨ x ≤ −2. Mængden af tal, som vi kan sætte ind i udtrykket √(x² − 4), er dermed ]−∞;−2] ∪ [2;∞[.

Den ubekendte, x, indgår ikke i udtrykket på højre side af ulighedstegnet i uligheden √(x² − 4) > 5.

Ulighedens grundmængde er

G = ]−∞;−2] ∪ [2;∞[

Løsningsmængde

Definition. Løsningsmængde.

En lignings eller uligheds løsningsmængde L er den mængde af tal, som løser ligningen/uligheden.

Vi bestemmer en lignings eller uligheds løsningsmængde ved at løse ligningen/uligheden og derefter sammenholde de mulige løsninger med grundmængden. Løsningsmængden består af alle de mulige løsninger, der også ligger i grundmængden.

Eksempel: 3 · (√x + 2) > 18

En ulighed er givet ved

3 · ( √(x) + 2 ) > 18

Ulighedens grundmængde er G = [0;∞[.

Vi vil bestemme ulighedens løsningsmængde.

Vi løser uligheden:

	3 · ( √(x) + 2 )	>	18
⇓ Forklaring til dette trin: Vi deler med 3 på begge sider af ulighedstegnet.
	√(x) + 2	>	6
⇓ Forklaring til dette trin: Vi trækker 2 fra på begge sider af ulighedstegnet.
	√(x)	>	4
⇓ Forklaring til dette trin: Vi kvadrerer udtrykkene på begge sider af ulighedstegnet, dvs. at vi sætter udtrykkene i anden: ( √(x) )2 = x 42 = 16
	x	>	16

Da intervallet ]16;∞[ er en del af grundmængden G = [0;∞[, så er løsningsmængden

L = ]16;∞[

Eksempel: 1/(x − 1) · (x² − 1) = 0

En ligning er givet ved

(1)/(x−1) · (x² − 1) = 0

Vi vil bestemme ligningens løsningsmængde.

Først bestemmer vi grundmængden. x² er defineret for alle værdier af x, så der er ikke nogen begrænsninger på, hvilke tal vi kan sætte ind i udtrykket x² − 1.

Da vi ikke kan dividere med 0, så kan vi ikke sætte x = 1 ind i brøken (1)/(x−1). Grundmængden er derfor alle de reelle tal undtagen 1:

G = ℝ ∖ { 1 }

Vi løser nu ligningen med nulreglen:

	(1)/(x−1) · (x2 − 1)	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi bruger nulreglen: a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
	(1)/(x−1) = 0	∨	x2 − 1 = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Ligningen (1)/(x−1) = 0 har ingen løsninger. Uanset hvad vi deler 1 med, så får vi aldrig 0. Ligningen x² − 1 = 0 omskrives ved at lægge 1 til på begge sider af lighedstegnet.
	x2	=	1
⇓ Forklaring til dette trin: Ligningen x² = 1 har to løsninger: x = −1 eller x = 1
	x = −1	∨	x = 1

Da x = 1 ikke ligger i grundmængden G = ℝ ∖ { 1 }, så er løsningsmængden

L = {−1}

Eksempel: ln(x) · (x² − 9) = 0

En ligning er givet ved

ln(x) · (x² − 9) = 0

Vi vil bestemme ligningens løsningsmængde.

Først bestemmer vi grundmængden. x² er defineret for alle værdier af x, så der er ikke nogen begrænsninger på, hvilke tal vi kan sætte ind i udtrykket x² − 9.

Da ln(x) er defineret for x > 0, så er grundmængden alle de positive reelle tal:

G = ]0;∞[

Vi løser nu ligningen med nulreglen:

	ln(x) · (x² − 9)	=	0
⇓ Forklaring til dette trin: Vi bruger nulreglen: a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
	ln(x) = 0	∨	x2 − 9 = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Ligningen ln(x) = 0 har løsningen x = 1.
	x = 1	∨	x2 − 9 = 0
⇓ Forklaring til dette trin: Ligningen x² − 9 = 0 omskrives ved at lægge 9 til på begge sider af lighedstegnet.
	x = 1	∨	x2 = 9
⇓ Forklaring til dette trin: Ligningen x² = 9 har to løsninger: x = −3 eller x = 3.
	x = 1	∨	x = −3	∨	x = 3

Da x = −3 ikke ligger i grundmængden G = ]0;∞[, så er løsningsmængden

L = {1,3}

Grundmængden kommer først

Prøv selv: Løs (x² − 4)/(x − 2) = 0. Kan x = 2 bruges?

Se forklaring og kontrol

Grundmængden er ℝ ∖ {2}. Tælleren er 0 ved ±2, men x = 2 er ikke tilladt i originalen. Løsningsmængden er {−2}. Forkortning til x + 2 ændrer ikke den oprindelige begrænsning.

Proportionalitet: vælg den rigtige sammenhæng

Ved ligefrem proportionalitet er forholdet y/x konstant for x ≠ 0. Ved omvendt proportionalitet er produktet x · y konstant, og x = 0 er ikke tilladt. Se både forskriften og modellens betingelser, før du vælger typen.

Ligefrem proportionalitet og konstant forhold

Hvad vil det sige, at y er proportional med x?

Definition. Ligefrem proportionale størrelser.

y er proportional med x, hvis der findes en konstant k ≠ 0, så

y = k · x

Konstanten k kaldes proportionalitetsfaktoren.

Ligefrem proportionalitet betyder, at y ændres med samme faktor som x: Når x ganges med λ, ganges y også med λ. Fx giver en fordobling af x en fordobling af y. Hvis k er negativ, er y aftagende som funktion af x; ordet proportional betyder derfor ikke nødvendigvis, at begge tal vokser.

Eksempel

To størrelser, x og y, er proportionale med proportionalitetsfaktoren k = 3. Dermed er

y = 3 · x

Vi vil udfylde en tabel med sammenhørende værdier:

x	1	2	4	8
y	3

Vi kan udfylde tabellen på to måder:

1. Vi kan indsætte værdier af x i ligningen y = 3 · x og bestemme de tilhørende værdier af y.
2. Vi kan benytte, at når x fordobles, så fordobles y også.

Vi får følgende tabel:

x	1	2	4	8
y	3	6	12	24

Ligefrem proportionale størrelser

Når y er proportional med x, så findes der en konstant k ≠ 0, så

y = k · x

Vi omskriver ligningen:

	y	=	k · x
⇕ Forklaring til dette trin: Vi dividerer med k. Da k ≠ 0, så kan vi dividere med k.
	(1)/(k) · y	=	x

Da x = (1)/(k) · y, så er x proportional med y med proportionalitetsfaktoren (1)/(k). Når y er proportional med x, så er x altså også proportional med y. Vi siger, at x og y er “ligefrem proportionale”, “indbyrdes proportionale” eller blot “proportionale”.

Eksempel

Hvis y er proportional med x med proportionalitetsfaktoren k = 4, så er x proportional med y med proportionalitetsfaktoren k = 1/4.

Eksempler på ligefrem proportionale størrelser

Her er en række eksempler på proportionale størrelser.

Vægt og pris for bland-selv-slik

I en slikbutik er prisen på bland-selv-slik 7 kr. pr. 100 gram. Der er dermed følgende sammenhæng mellem prisen p for bland-selv-slik (i kr.) og vægten v (i 100 gram):

p = 7 · v

Prisen og vægten af bland-selv-slik er altså proportionale med proportionalitetsfaktoren k = 7.

At prisen og vægten er proportionale betyder bl.a., at hvis vi fordobler vægten af slik, så fordobles prisen.

Masse og volumen af et stof

Der er følgende sammenhæng mellem massen af et stof (m), volumenet (V) og densiteten (ρ):

m = ρ · V

Massen m og volumen V er ligefrem proportionale, når densiteten ρ holdes konstant for materialet under de samme betingelser. Densiteten er da proportionalitetsfaktoren. Hvis fx temperaturen ændrer densiteten, skal den ændring indgå i modellen.

Lineær sammenhæng

Når to størrelser x og y er proportionale, så findes der en konstant k ≠ 0, så

y = k · x

Da ligningen er på formen y = a · x + b, hvor b = 0, så er der en lineær sammenhæng mellem x og y. Når to størrelser er proportionale, så er der altså en lineær sammenhæng mellem størrelserne. Det omvendte gælder ikke nødvendigvis: Hvis der er en lineær sammenhæng mellem x og y, så er x og y ikke nødvendigvis proportionale.

En linje gennem nul?

Prøv selv: Er y = 5x og y = 5x + 2 begge ligefrem proportionale med x?

Se forklaring og kontrol

Kun y = 5x er ligefrem proportional. For x ≠ 0 er y/x da konstant 5. Konstantleddet 2 i den anden forskrift gør forholdet afhængigt af x. Ved y = −5x er størrelserne stadig proportionale, selv om y aftager, når x vokser.

Omvendt proportionalitet og konstant produkt

Hvad vil det sige, at y er omvendt proportional med x?

Definition. Omvendt proportionale størrelser.

y er omvendt proportional med x, hvis der findes en konstant k ≠ 0, så

y = k · (1)/(x)

Konstanten k kaldes proportionalitetsfaktoren.

Omvendt proportionalitet betyder y = k/x for x ≠ 0: Når x ganges med en faktor λ ≠ 0, divideres y med λ. Hvis x fordobles, halveres y. Beskrivelsen af, at y aftager, når x vokser, passer til positive x og positiv k; den gælder ikke uden disse fortegnsbetingelser.

Vi kan omskrive ligningen y = k · (1)/(x) ved at gange med x. Dermed får vi:

x · y = k

Størrelserne x og y er altså omvendt proportionale, hvis der findes en konstant k ≠ 0, så x · y = k.

Hvis y er omvendt proportional med x, så er x også omvendt proportional med y, idet

	y	=	k · (1)/(x)
⇕ Forklaring til dette trin: Vi isolerer x på venstre side af lighedstegnet ved at gange med x og dividere med y.
	x	=	k · (1)/(y)

Eksempel

To størrelser, x og y, er omvendt proportionale med proportionalitetsfaktoren k = 16. Dermed er

y = 16 · (1)/(x)

Vi vil udfylde en tabel med sammenhørende værdier:

x	1	2	4	8
y	16

Vi kan udfylde tabellen på to måder:

1. Vi kan indsætte værdier af x i ligningen y = 16 · (1)/(x) og bestemme de tilhørende værdier af y.
2. Vi kan benytte, at når x fordobles, så halveres y.

Vi får følgende tabel:

x	1	2	4	8
y	16	8	4	2

Eksempler på omvendt proportionale størrelser

Her er en række eksempler på omvendt proportionale størrelser.

Længde og bredde af rektangel med konstant areal

Arealet af et rektangel afhænger af længden l og bredden b:

A = l · b

Vi vil tegne rektangler med et areal på 12, dvs. at

l · b = 12

Ligningen viser, at længden og bredden er omvendt proportionale. Det betyder fx, at hvis vi fordobler længden af rektanglet, så skal vi halvere bredden af rektanglet.

Gas ved konstant temperatur: Tryk og volumen

For en bestemt mængde gas ved konstant temperatur er tryk og volumen omtrent omvendt proportionale, når idealgasmodellen er en passende tilnærmelse. Der findes da en konstant k, så

p · V = k

p er det absolutte tryk, fx målt i bar, og V er volumen, fx målt i liter. Under de nævnte betingelser er produktet p · V konstant. Modellen skal vurderes, hvis temperatur, gasmængde eller afvigelsen fra idealgas ændres.

Potens-sammenhæng

Når y er omvendt proportional med x, så findes der en konstant k ≠ 0, så

y = k · (1)/(x)

Vi kan også skrive ligningen således:

y = k · x⁻¹

Vi bemærker, at ligningen er på formen y = b · x^a, hvor b = k og a = −1. Når sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved en ligning på formen y = b · x^a, så er der en potenssammenhæng mellem x og y. Når x og y er omvendt proportionale, så er der altså tale om en potenssammenhæng. Det omvendte gælder ikke nødvendigvis: Hvis der er en potenssammenhæng mellem x og y, så er x og y ikke nødvendigvis omvendt proportionale.

Hold produktet fast

Prøv selv: Et rektangel har areal 18. Find bredden ved længde 3 og 6.

Se forklaring og kontrol

b = 18/l giver bredderne 6 og 3. Produktet l · b er konstant 18. Længden 0 er ikke tilladt i modellen, og fysiske sidelængder skal være positive.

Opgaver om ligninger: metode og kontrol

Regn og forklar uden CAS

Notér grundmængden, vælg en metode, og vis de afgørende omskrivninger. Isolér i en lineær ligning, brug nulreglen ved et produkt lig med 0, og undersøg fortegn ved en ulighed. Kontrollér bagefter i originalen.

Kontrollér et svar fra CAS

Indtast hele ligningen og angiv den ubekendte. Skeln mellem en symbolsk løsning og en numerisk kandidat i et bestemt søgeområde. Notér input, grundmængde, resultat og kontrol. Ved en prøve følger du opgavens regler for hjælpemidler.

Forklar dit metodevalg

Prøv selv: Løs 5(x − 2) = 3x + 4 uden CAS. Hvilke trin vil du forklare?

Se forklaring og kontrol

Udvid til 5x − 10 = 3x + 4, træk 3x fra, læg 10 til, og del med 2. x = 7 giver 25 på begge sider. Et CAS-resultat kan kontrolleres med den samme indsættelse.

Løs f(x) = 0 og find relevante nulpunkter

Løs f(x) = 0

Et nulpunkt er et punkt (x; 0) på grafen, hvor f(x) = 0. Undersøg først funktionens definitionsmængde, og vælg en metode ud fra forskriften.

Polynomium eller produkt

Et andengradspolynomium giver en andengradsligning. Et produkt kan løses med nulreglen: (x² − 4)e^x = 0 giver x = −2 eller x = 2, da e^x > 0. I (x² − 5x + 6)ln(x) = 0 kræver logaritmen x > 0; de tilladte rødder er 1, 2 og 3.

Graf og numerisk løsning

En graf kan vise nulpunkter i det viste område. Et numerisk værktøj kan finde kandidater; kontrollér dem i f(x), og undersøg, om andre rødder kan ligge uden for søgeområdet.

Forklaring til dette trin

En faktor er et tal eller udtryk, der er ganget sammen med et andet tal eller udtryk. Fx består 2·x af faktorerne 2 og x.

At forskriften består af mindst to faktorer betyder altså, at forskriften består af mindst to udtryk, der er ganget sammen.

Nulpunkt med en begrænsning

Prøv selv: Bestem nulpunkterne for f(x) = (x − 3)(x + 2), når x ≥ 0.

Se forklaring og kontrol

Nulreglen giver kandidaterne 3 og −2. Kun 3 ligger i definitionsmængden x ≥ 0. Det relevante nulpunkt er derfor (3; 0).

Løs f′(x) = 0 og undersøg stationære punkter

Løs f′(x) = 0

Bestem først den afledte funktion, og undersøg, hvor den er defineret. Løs derefter ligningen med en metode, der passer til f′. Hvis f′ er et andengradspolynomium, kan en formel eller faktorisering bruges. Hvis f′ er et produkt, kan nulreglen bruges inden for definitionsmængden.

Løsningerne er stationære kandidater. Undersøg fortegnet for f′ eller anden relevant information for at afgøre, om der er et ekstremum. Ved optimering skal du også undersøge relevante endepunkter og steder, hvor f ikke er differentiabel. En numerisk løsning kræver kontrol af både input og søgeområde.

Forklaring til dette trin

En faktor er et tal eller udtryk, der er ganget sammen med et andet tal eller udtryk. Fx består 2·x af faktorerne 2 og x.

At forskriften består af mindst to faktorer betyder altså, at forskriften består af mindst to udtryk, der er ganget sammen.

Stationær er ikke altid ekstrem

Prøv selv: For f(x) = x³: Hvad viser f′(x) = 0?

Se forklaring og kontrol

f′(x) = 3x² giver x = 0. Den afledte er positiv på begge sider, så punktet er hverken maksimum eller minimum. Undersøg fortegn eller anden relevant information efter løsningen af f′(x) = 0.

Faglige kilder

Regneregler og løsningskontrol kan undersøges i OpenStax: lineære ligninger, rodligninger og løsningskandidater, uligheder og intervaller og lineære ligningssystemer. Se også ligefrem og omvendt proportionalitet og betingelserne for gasmodellen.