TI-Nspire CAS: guide til matematik

TI-Nspire CAS: kommandoer og kontrol af dine svar

Find den beregning, du skal udføre i TI-Nspire CX CAS: ligninger, grafer, statistik eller differential- og integralregning. Hvert afsnit viser både input, resultatets betydning og en kontrol, du selv kan udføre.

Guiden handler om TI-Nspire CX CAS Student Software på computer. TI udbyder aktuelt Student-version 6.3.0; den offentlige eGuide og CAS-reference er mærket 6.4. Menunavne kan variere med sprog og version. En håndholdt CX II, en udgave uden CAS og onlineberegneren er andre produkter; følg deres egne vejledninger, når brugerfladen eller funktionen afviger.

Træn med dit holds program og de opgavetyper, I bruger. Matematik C, B og A på stx har forskellige faglige krav; de avancerede afsnit er ikke en påstand om, at alt stof hører til alle tre niveauer. Ved en prøve skal du følge den konkrete prøves regler for hjælpemidler. Øv også regning og forklaring uden programmet. En skærm med et facit forklarer ikke, hvorfor modellen eller metoden passer.

Indhold

• Gode råd til TI-Nspire™
• Kommandoer og genveje
  • Ligninger
  • Funktioner
  • Grafer
  • Statistik og sandsynlighedsregning
  • Vektorer
  • Differentialregning
  • Integralregning
  • Differentialligninger
  • Vektorfunktioner
  • Funktioner af to variable

Vælg et greb og forklar det

Prøv selv: Du skal finde skæringen mellem y=x² og y=2x. Hvilken ligning skal programmet løse?

Se forklaring og kontrol

Løs x²=2x. Kontrollen x(x−2)=0 giver x=0 og x=2. Punkterne er (0,0) og (2,4). Skriv både ligningen, løsningerne og punkternes betydning.

Manualer og faglig hjælp

Find kommandernes argumenter i TI’s CAS-reference og menuerne i TI’s eGuide. På TI’s versionsoversigt kan du vælge den rigtige softwarefamilie. Brug manualen til netop din udgave.

Læs mere om stikprøve- og populationsspredning hos OpenStax, mindste kvadraters regression hos NIST og chi-i-anden goodness of fit hos NIST.

TI-Nspire: indstillinger og gode arbejdsvaner

Sådan ser TI-Nspire™ ud

Et TI-Nspire-dokument består af opgaver og sider. En side indeholder en applikation, fx Beregninger eller Grafer. Find først din programudgave og versionsnummer under programmets hjælp/oplysninger, og vælg en manual til netop den udgave.

Opgaver og sider

Tilføj opgaver og sider

Et nyt dokument kan begynde med en Beregninger-side. I computerudgavens manual er vejen File → New Document → Add Calculator; en ekstra Beregninger-side indsættes via Insert → Calculator. De tilsvarende danske menuer hedder typisk Fil og Indsæt.

Sidesortereren giver overblik over dokumentets opgaver og deres sider.

Hver opgave kan bestå af flere sider. Hold sider til samme matematiske problem samlet, så dine definitioner kan bruges på tværs.

Indsæt-menuen bruges til at tilføje sider og opgaver. Vælg først, om du skal fortsætte i samme opgave eller begynde i et nyt variabelrum.

Hvis du vil indsætte en side af en bestemt type (fx Lister og Regneark), så kan du klikke på typen under “Indsæt”.

En almindelig definition gælder på siderne i samme opgave. En ny opgave giver et andet variabelrum; den sletter ikke arbejdet i den gamle opgave. Start derfor en ny opgave, når gamle værdier ellers ville forstyrre et nyt problem. Biblioteksfunktioner og lokale programvariable har andre regler.

Slet sider

Hvis en side skal fjernes, vælges den i sidesortereren, hvorefter sidens slettefunktion bruges. Kontrollér først, at du har valgt den rigtige side, og gem en kopi af dokumentet.

Skjul sider

Opgavens sider kan foldes sammen i sidesortererens oversigt. Det ændrer kun visningen; siderne bliver i dokumentet.

En sammenfoldet opgave kan åbnes igen med udvidelsesknappen i oversigten.

Kontrollér opgavenummeret, når du går tilbage til beregningerne.

Typer af sider

Der findes en række forskellige typer af sider, som kan indsættes i et dokument i TI-Nspire. Her er de typer, som du formentlig vil få mest brug for:

• Beregninger (til forskellige typer af beregninger)
• Grafer (til tegning af grafer)
• Geometri (til konstruktion af geometriske figurer)
• Lister og Regneark (til konstruktion af lister og import af datasæt)
• Diagrammer og statistik (til grafisk præsentation og undersøgelse af data)

Når en tom side beder om en applikation, vælger du fx Beregninger, Grafer eller Lister og Regneark. Vælg efter den konkrete opgave.

Opdel en side i flere vinduer

I nogle tilfælde kan det være smart at have flere typer af sider vist sammen, fx en side med beregninger og en side med grafer. Du kan få vist flere sidetyper sammen ved at opdele en side i vinduer.

Klik på “Sidelayout” i menuen og vælg den opdeling af siden, som du gerne vil have.

Et opdelt layout kan vise beregning og graf ved siden af hinanden. Kontrollér, at begge applikationer tilhører samme opgave, hvis grafen skal bruge din funktion.

Kommandoer (dokumentværktøjer)

Til hver type af side hører nogle kommandoer og værktøjer, som du kan anvende på siden.

Dokumentværktøjerne afhænger af den aktive applikation. I Beregninger finder du algebra, statistik og matricer; skift til Grafer, når du vil arbejde med grafvisningen.

Kataloget giver adgang til kommandoer, symboler og matematikskabeloner. Vælg en kommando og læs dens argumenter, inden du indsætter den.

Hvis en kommando har en guide, kan du slå guider til i kataloget og udfylde de navngivne felter. TI-manualens eksempel bruger LinRegMx med en X-liste og en Y-liste.

For ligningsløsning skal du både angive ligningen og den variabel, du vil løse for:

solve(Ligning,Var)

Matematiske symboler og konstanter

Her kan du se genvejene til en række matematiske symboler og konstanter, som ofte bruges:

Matematisk udtryk	Sådan skrives det	Endeligt udseende
Kvadratrod	sqrt(x)	√x
Pi	pi	π
Potens	x^n	xⁿ
Titalslogaritme	log(x)	log₁₀(x)
Naturlig logaritme	ln(x)	ln(x)
Uendelig	infinity	∞

Find symbolerne og skabelonerne i programmets katalog og hjælpeværktøjer. Kataloget kan vise den valgte kommandos syntax.

Eulers tal

Indsæt Euler-konstanten fra symbolerne eller brug exp(1). Bogstavet e på tastaturet er et variabelnavn, så det kan have en gemt værdi.

Når du indsætter Eulers tal ved hjælp af dokumentværktøjslinjen, så skriver TI-Nspire “e“. Hvis du blot skriver e på tastaturet, så opfatter TI-Nspire e som en variabel.

Kontrollér forskellen med et lille forsøg: Euler-konstanten giver en talværdi ved approksimation; en udefineret bogstavvariabel gør ikke. Brug katalogets Euler-konstant eller den indbyggede eksponentialfunktion, når e er et tal.

Benyt decimalpunktum i stedet for decimalkomma

Når vi skriver decimaltal, så benytter vi et komma, fx 5,67. På engelsk benyttes et punktum i stedet for, fx 5.67. Da TI-Nspire er et amerikansk produkt, så skal du benytte decimalpunktum i TI-Nspire i stedet for decimalkomma.

Ved import fra et regneark skal decimaltallene ende som tal i TI-Nspire. Prøv først med to celler, fx 1,5 og 2,5. Efter import skal summen være 4, ikke en tekststreng eller fire adskilte heltal. Tilpas kopien eller importindstillingen, hvis prøven fejler; ændr ikke hele datasættet uden at kontrollere resultatet.

Sæt eksempelvis en lille kontrolliste til data:={1.5,2.5}. Kommaerne adskiller listen, mens punktummerne er decimaltegn.

Beregn sum(data); i denne kontrolliste er resultatet 4.

Kontrollér også listens antal elementer. Her skal der være to.

Ved en større import kontrollerer du antal rækker, nogle kendte værdier og en sum eller et gennemsnit, før du går videre.

Regnearkets decimalindstillinger afhænger af Windows, macOS og lokalitet. Brug en kopi og programmets relevante importhjælp frem for en generel ændring af alle separatorer.

Vælg eksakt eller approksimeret værdi

Som udgangspunkt angiver TI-Nspire eksakte værdier, fx π frem for 3,14. I nogle tilfælde giver det mere mening at få en approksimeret værdi, dvs. en tilnærmet værdi. Det kan fx være i opgaver, hvor du skal angive resultatet i timer, minutter, kg, kr., m eller m².

En decimal i input kan give en approksimation. Du kan også anvende approx(udtryk), som gør formålet tydeligt uden en platformafhængig tastaturgenvej. I Windows-manualen bruges Ctrl+Enter.

Sammenlign 2*pi med approx(2*pi). Det første kan bevares som 2π; det andet er omtrent 6,28319.

En decimal i 2.*pi kan ligeledes udløse et tilnærmet resultat.

Gem helst det eksakte udtryk eller den uafrundede værdi til den videre beregning.

Vælg antal betydende cifre

I dokumentindstillingerne vælger du visning af cifre. Vælg fx en flydende visning, hvis du vil læse flere cifre i et mellemresultat.

Vis cifre ændrer visningen; brug den gemte beregning til næste trin.

Vis cifre styrer resultatets visning. Det er ikke det samme som at vælge beregningens interne nøjagtighed. Vælg en læsbar visning, og brug de gemte værdier frem for at indtaste et afrundet mellemresultat.

Afrundinger skal først foretages i konklusionen, så du anvender så høj præcision som muligt i alle beregninger. Du bør vurdere for hver opgave, hvor præcist svaret skal angives i konklusionen.

Vælg vinkelenhed (grader/radianer)

Hvis sinus, cosinus eller tangens indgår i en opgave på en eller anden måde, så skal du overveje, hvilken vinkelenhed du anvender.

Når du bruger de almindelige differential- og integralregler for sin(x) og cos(x), skal argumentet måles i radianer. Andre opgaver kan være formuleret i grader; læs enheden og kontrollér indstillingen.

f(t) = sin(t)

Hvis der er tale om opgaver i geometri fx vinkelberegninger eller vektorer, så skal du typisk anvende vinkelenheden grader.

Vinkelenheden vælges i dokumentindstillingerne. Kontrollér den igen, når du skifter mellem geometri og calculus.

Grad svarer til 360° i en hel omgang; Radian svarer til 2π i en hel omgang.

Gør brug af definitioner

Du kan definere funktioner, konstanter, vektorer mm. ved hjælp af definitionslighedstegnet “:=”, som du laver ved at skrive et kolon (:) efterfulgt af et lighedstegn (=).

Et eksempel er f(x):=x^2-2*x-3. Det definerer funktionen; f(4) giver derefter 5.

Definitionen følger den aktuelle opgave. En definition af selve x, fx x:=2, kan påvirke efterfølgende beregninger; kontrollér derfor variable, hvis et symbolsk udtryk pludselig bliver et tal.

Brug eksplicit gangetegn

I nedenstående formel for arealet af en trekant er der et implicit gangetegn mellem h og g:

A=½hg

Hvis du skriver formlen ind i TI-Nspire, så vil TI-Nspire opfatte hg som én variabel. TI-Nspire forstår altså ikke det implicitte gangetegn mellem de to variable.

For at TI-Nspire kan fortolke formlen korrekt, så skal du skrive udtrykket med eksplicitte gangetegn:

A=½·h·g

Vi anbefaler, at du altid sætter eksplicitte gangetegn, hvis du er i tvivl om, om TI-Nspire opfatter udtrykket korrekt.

Ingen forskel på store og små bogstaver

Almindelige variabelnavne i TI-Nspire skelner ikke mellem store og små bogstaver. Brug fx f og fstam til en funktion og dens stamfunktion; f og F er ikke to sikre forskellige navne.

Indsæt skærmbillede i fx Word

Du kan indsætte dine beregninger, grafer osv. fra TI-Nspire i Word (eller et andet program) ved at tage et skærmbillede.

Fang side kan kopiere den aktive side som billede. Et skærmbillede er et supplement til din forklaring, og du skal kontrollere, at hele det relevante input og output kan læses.

Indsæt et kontrolleret skærmbillede i din forklaring, hvis det hjælper. Windows bruger typisk Ctrl+V, macOS Cmd+V. Skriv også metode, relevante input, resultat og fortolkning som læsbar tekst. Se CAS og dokumentation i matematik.

Kontrollér indstillingerne før et resultat

Prøv selv: Forudsig sin(30), når vinkelenheden er grader, og sin(π/6), når den er radianer. Hvad bør de to tal være?

Se forklaring og kontrol

Begge skal give½. Men sin(30) i radianer giver et andet tal. Det er derfor inputenheden sammen med indstillingen, der afgør resultatet. Prøv derefter et nyt vinkelpar uden facit.

Vælg kommandoen til din matematikopgave

Vælg afsnittet efter det, du skal gøre. Du kan springe direkte til en kommando og dens kontrol frem for at læse guiden fra begyndelsen.

• Ligninger
• Funktioner
• Grafer
• Statistik og sandsynlighedsregning
• Vektorer
• Differentialregning
• Integralregning
• Differentialligninger
• Vektorfunktioner
• Funktioner af to variable

Fra opgave til kommando

Prøv selv: Vælg: Skal du løse en ligning, finde en værdi, tegne en graf eller undersøge data? Skriv dit formål, før du vælger en kommando.

Se forklaring og kontrol

At bestemme f(3) kræver indsættelse; at finde alle x med f(x)=3 kræver en ligning. De to opgaver har samme tal 3, men forskellige ubekendte.

Løs ligninger og uligheder med TI-Nspire CAS

Løs en ligning

En ligning løses vha. kommandoen:

solve(ligning,variabel)

Prøv solve(x^2-5*x+6=0,x). Løsningerne er x=2 og x=3. Indsæt begge i den oprindelige ligning: 4−10+6=0 og 9−15+6=0.

Omskriv en ligning

Du kan omskrive et udtryk eller en ligning med expand-kommandoen:

expand(udtryk/ligning)

Eksempel: expand((x+1)^2) giver x²+2x+1. Omskrivning ændrer formen; den løser ikke automatisk en ligning.

Løs en ulighed

En ulighed kan løses med solve-kommandoen:

solve(ulighed,variabel)

Eksempel: solve(x^2<4,x) giver −2<x<2. Endepunkterne er ikke med, fordi uligheden er skarp.

Isolér en variabel

Hvis du har en ligning med flere variable, så kan du isolere en af de variable vha. solve-kommandoen:

solve(ligning,variabel)

For solve(2*x+y+5=0,y) er resultatet y=−2x−5. Indsættelse giver 2x+(−2x−5)+5=0.

Løs en ligning med betingelser

Hvis du skal løse en ligning, isolere en variabel eller løse en ulighed med en eller flere betingelser, så skal du anvende solve-kommandoen efterfulgt af en lodret streg og betingelsen/betingelserne. Her kan du se kommandoen med hhv. én og to betingelser:

solve(ligning,variabel)|betingelse 1

solve(ligning,variabel)|betingelse 1 and betingelse 2

I radianer giver ligningen sin(x)=0 løsninger på formen x=kπ, hvor k er et helt tal. Brug solve(sin(x)=0,x) og læs programmets heltalsparameter.

n1 er et helt tal. Alle tal på formen n1 · π, hvor n1 er et helt tal, er altså løsninger til ligningen. Fx er –π, 2π og 17π løsninger.

Begræns med solve(sin(x)=0,x)|x>=0 and x<=5. Kontrollér, at vinkelenheden er radianer.

Ligningen har to løsninger i intervallet 0 ≤ x ≤ 5: x = 0 eller x = π.

Løs to ligninger med to ubekendte og andre ligningssystemer

Du kan løse to ligninger med to ubekendte med solve-kommandoen:

solve(ligning 1 and ligning 2,variabel 1,variabel 2)

Du kan udvide kommandoen, hvis du har flere ligninger med flere ubekendte, fx

solve(ligning 1 and ligning 2 and ligning 3,variabel 1,variabel 2,variabel 3)

Prøv solve(x+y=5 and 2*x-y=1,x,y). Her er x=2 og y=3. Begge oprindelige ligninger er opfyldt. Syntaxen med and og variabelnavne er dokumenteret i TI-reference 6.4.

En alternativ indtastning er en ligningssystemskabelon. Vælg antallet af ligninger og de ubekendte, inden ligningerne indtastes.

For vores system skal der være to ligninger, og de ubekendte er x og y.

Indtast x+y=5 og 2x−y=1 i de to ligningsfelter.

Den samme kontrol bruges ved en skabelon: Skriv de to ligninger, vælg x og y som ubekendte, og kontrollér svaret i begge ligninger. Ved ikke-lineære systemer kan en numerisk søgning finde én løsning uden at have fundet dem alle.

Prøv en løsning i den oprindelige ligning

Prøv selv: Undersøg (x²−1)/(x−1)=0. Hvorfor må x=1 ikke medtages, selv om tælleren er 0?

Se forklaring og kontrol

Nævneren er 0 ved x=1. Den oprindelige definitionsmængde udelukker derfor 1; den eneste rod er −1. En forkortet forskrift skal stadig bruges med den oprindelige betingelse.

Definér og undersøg funktioner i TI-Nspire

Definér en funktion

Funktioner kan defineres vha. definitionslighedstegnet. Du kan lave definitionslighedstegnet ved at skrive et kolon (:) efterfulgt af et lighedstegn (=).

Definér f(x):=x^2-2*x-3. Parenteserne angiver argumentet, og := gemmer forskriften.

En betingelse kan begrænse en beregning med |. Skeln mellem funktionens matematiske definitionsmængde og det udsnit, du viser på en graf. Notér fx x≥0 i din model, hvis negative x ikke giver mening.

Bestem funktionsværdi

Når f(x)=x²−2x−3, giver f(4) værdien 5. En funktionsværdi er et output til et bestemt input.

Bestem nulpunkter

Brug solve(f(x)=0,x). For denne f er løsningerne x=−1 og x=3.

Nulpunkterne for f er x₁ = -1 og x₂ = 3.

Bestem værdien af den uafhængige variabel

Brug solve(f(x)=5,x). Det spørger, hvilke input der giver output 5.

For vores f er svaret x=−2 eller x=4, fordi begge giver 5. Notér kun de løsninger, som ligger i modellens definitionsmængde.

Stykkevis definerede funktioner (gaffelforskrift)

Du kan finde en skabelon til stykkevis definerede funktioner under “Matematikskabeloner”:

Skabelonen har ét udtryk og én betingelse pr. gren. Vælg antallet af grene, og sørg for, at betingelserne beskriver grænsen entydigt.

Som et eget eksempel defineres g(x)=x² for x<0 og g(x)=2x+1 for x≥0. Indsæt de to forskrifter og betingelser i den stykkevise skabelon.

Kontrollér tre værdier: g(−2)=4, g(0)=1 og g(2)=5. Ved grænsen x=0 skal du vælge grenen x≥0.

Undersøg også g(x)=4 gren for gren. Den negative gren giver x=−2; den ikke-negative gren giver x=1,5. Kontrollér altid både ligningen og grenens betingelse.

Vejledninger til opgaver med funktioner

Prøv først indsættelse, nulpunkter og løsning til et valgt output. Forklar, hvilken størrelse der er ukendt i hvert spørgsmål.

Find input til et output

Prøv selv: For f(x)=x²−2x−3: find x, når f(x)=−4. Forklar, hvorfor der kun er én løsning.

Se forklaring og kontrol

Ligningen bliver(x−1)²=0 og giver x=1. Grafens bundpunkt har y=−4. Prøv bagefter et output mindre end−4, og forklar resultatet før du bruger CAS.

Tegn grafer og punktplot i TI-Nspire

Tegn grafen for en funktion

Åbn en side af typen “Grafer”:

Indtast forskriften ud for f1(x)=, og tryk Enter. Hvis f allerede er defineret i samme opgave, kan du skrive f(x) som forskrift.

Brug eksempelvis f(x):=x^2-2*x-3 i Beregninger i samme opgave.

Skriv f(x) i f1(x)-feltet. Funktionsdefinitionen skal være i samme opgave som grafen.

Efter Enter vises en parabel med nulpunkter −1 og 3 og bundpunkt (1,−4). Brug disse kendte punkter til at kontrollere grafen.

Tegn graferne for flere funktioner i samme koordinatsystem

Når du har tegnet grafen for en funktion, så kan du tilføje flere grafer under “Grafindtastning/redigér” → “Funktion”.

Indtast forskriften for den funktion, hvis graf du vil tilføje til koordinatsystemet, i linjen øverst i vinduet. Hvis du har defineret funktionen, så kan du nøjes med at skrive funktionens navn, fx g(x).

Under Tegn grafen for en funktion tegnede vi grafen for funktionen f. Vi tilføjer grafen for funktionen g(x) = sin(x) ved at skrive “sin(x)” ud for “f2(x)=”.

Lav et punktplot

For at kunne lave et punktplot, så skal du have defineret to lister med punkternes koordinater.

Definér to lister med koordinater

Du kan definere to lister med koordinater på en side af typen “Lister og Regneark”.

Hvis punkterne importeres fra et regneark, skal hver række give ét sammenhørende (x,y)-par. Prøv først et lille udsnit, og kontrollér decimaler og antal par. Se afsnittet om decimalpunktum.

Hvis ikke du har mulighed for at kopiere koordinaterne ind i TI-Nspire, så kan du indtaste koordinaterne.

Navngiv listerne, fx xs og ys. Et eget datasæt er xs:={1,2,3} og ys:={3,4,8}. Par 1 er (1,3), par 2 er (2,4), og par 3 er (3,8).

Plot punkterne i et koordinatsystem

Åbn en side af typen “Grafer”. Vælg derefter “Grafindtastning/Redigér” → “Punktplot”:

Punktplot har felter til X-listen og Y-listen. Angiv xs og ys i de tilsvarende felter.

Listerne skal have samme længde og bevare parringen mellem koordinaterne. Ombytning af listerne bytter aksernes betydning.

Kontrollér efter plotningen, at alle tre punkter (1,3),(2,4),(3,8) findes. Punkternes placering er en kontrol af input, ikke et bevis for en bestemt model.

Du kan tilføje aksetitler ved at vælge “Handlinger” → “Tekst”:

Indsæt tekstboksen, hvor den skal være, og tryk Enter, når du har skrevet aksetitlen.

Tegn et geometrisk objekt ud fra ligning

Du kan bruge denne fremgangsmåde til at tegne cirkler, parabler, linjer og andre geometriske objekter.

Åbn en side af typen “Grafer”. Vælg “Grafindtastning/Redigér” → “Ligningsskabeloner”:

Vælg den type objekt, som du vil tegne. Udfyld ligningen og tryk Enter.

Som konkret kontrol kan du vælge en cirkelskabelon og bruge centrum (2,−1) og radius 5.

Skabelonens centrumfelter skal være 2 og−1, og radiusfeltet skal være 5.

Ligningen er(x−2)²+(y+1)²=5². Kontrollér centrum(2,−1) og radius 5. Punkterne(7,−1) og(2,4) ligger på cirklen.

Vælg hvilket udsnit af koordinatsystemet, der vises (zoom)

I grafvinduet kan du vælge hvilket udsnit af koordinatsystemet, der vises. Du finder zoom-mulighederne under “Vindue/Zoom”:

Hvis du vil have vist samme skala på begge akser, så skal du vælge “Zoom - Kvadrat”.

Hvis du selv vil vælge, hvilket udsnit af koordinatsystemet der vises, så skal du vælge “Indstillinger for vindue”:

Et vindue med 0≤x≤20 og −5≤y≤30 viser kun det udsnit. En rod eller et ekstremum udenfor kan stadig eksistere.

Læs en graf med en modprøve

Prøv selv: Kan du konkludere, at x²−100 har ingen nulpunkter, hvis du kun ser grafen i−5≤x≤5?

Se forklaring og kontrol

Nej. Ligningen har rødder −10 og 10, som ligger uden for vinduet. Beregn kandidaterne, ændr vinduet, og kontrollér de to skæringer.

Vælg statistik og sandsynlighedsmodel i TI-Nspire

Her kan du finde relevante kommandoer inden for emnet Statistik og sandsynlighedsregning:

• Deskriptiv statistik
• Regression
• Kombinatorik
• Binomialfordeling
• Normalfordeling
• Hypotesetest

Skeln mellem data og model

Prøv selv: Du har observeret 8 successer i 10 forsøg. Hvilket tal beskriver de observerede data, og hvilket tal skal du kende for at beregne en binomialsandsynlighed under en hypotese?

Se forklaring og kontrol

8/10=0,8 beskriver stikprøvens andel. Under en nulhypotese bruges den antagne sandsynlighed p₀ i modellen. De to tal skal ikke automatisk sættes lig med hinanden.

Deskriptiv statistik i TI-Nspire: spredning og diagrammer

Ugrupperede observationer

Importér et datasæt til TI-Nspire™

Du kan importere et datasæt til TI-Nspire på en side af typen “Lister og Regneark”.

Kopiér først et lille udsnit fra regnearket og kontrollér, at decimaler bliver læst som tal. Følg importkontrollen under Gode råd, før hele datasættet kopieres.

Hvis ikke du har mulighed for at kopiere datasættet ind i TI-Nspire, så kan du indtaste datasættet.

Navngiv observationslisten, fx data. Et lille eget eksempel er data:={1,3}. Middelværdien er 2; brug det som en kontrol, før du arbejder med et større datasæt.

Er de enkelte observationsværdier optalt, kan du bruge de faktiske værdier som observationsliste og deres antal som frekvensliste. Er værdierne kun kendt som intervaller, bruges intervalmidtpunkterne som tilnærmelse; det forklares under Grupperede observationer.

Deskriptorer for ugrupperede observationer

Når observationslisten er navngivet, kan du vælge den i statistikdialogen. Kontrollér først antallet af observationer og et par kendte værdier.

I dialogen for en-variabel-statistik vælges den liste, der rummer observationerne. Alternativt kan du finde OneVar i kataloget og bruge guidens listefelt.

Tryk “OK”.

Vælg listen med data ud for “X1-liste”. Tryk “OK”.

Følg den egne kontrolliste data:={1,3} i tabellen. De to spredninger har forskellige nævnere. For kvartiler findes forskellige konventioner; kontrollér den regel, I har aftalt.

Deskriptor/værdi	Aflæses ud for	Kontrolliste {1,3}
Middelværdi	“x̄”	2
Sum af observationer	“Σx”	4
Spredning (standardafvigelse) for stikprøve	“sx := sn-1x”	√2 ≈ 1,41421
Spredning (standardafvigelse) for population	“σx := σnx”	1
Antal observationer	“n”	2
Mindste observation	“MinX”	1
Nedre kvartil	“Q1X”	Kontrollér kvartilreglen
Median	“MedianX”	2
Øvre kvartil	“Q3X”	Kontrollér kvartilreglen
Største observation	“MaxX”	3

Kvartilsættet er (“Q₁X”,”MedianX”,”Q₃X”).

Det udvidede kvartilsæt er (“MinX”,”Q₁X”,”MedianX”,”Q₃X”,”MaxX”).

Lav et prikplot, pindediagram, histogram eller boksplot

Navngiv observationslisten, før du bruger den som variabel i Data og Statistik. Brug samme liste som i dine beregninger.

Åbn en side af typen “Diagrammer og statistik”.

Vælg fx data={1,3}, når du prøver diagramtypen. Et prikplot skal da have en observation ved 1 og en ved 3.

Du kan vælge andre typer af diagrammer under “Diagramtyper”:

I et boksplot skal du kontrollere både kvartiler og whiskers. TI viser som udgangspunkt et modificeret boksplot, hvor mulige outliers tegnes særskilt; whiskers er derfor ikke altid minimum og maksimum.

Et histogram samler observationer i intervaller. Vælg en intervalbredde, der giver mening for måleenheden og data, og kontrollér, hvilke værdier der ligger i hver søjle.

Du kan ændre på histogrammets udseende (fx intervalbredden) under “Diagramegenskaber” → “Egenskaber for histogram” → “Søjleindstillinger”:

For heltalsdata kan en passende intervalbredde og justering af intervalstart adskille hvert heltal. En bredde på 0,1 er ikke en generel regel; kontrollér søjlernes antal og placering.

Lav flere boksplot på samme figur

Hvis du har to sæt observationer, så kan det være en god idé at tegne boksplot for begge sæt på samme figur.

Ved sammenligning af to boksplot skal samme skala og samme regel for whiskers bruges. En liste med kun fem opsummeringstal er ikke det samme som de oprindelige observationer.

Vælg derfor de faktiske observationslister til de to boksplot, når du har dem.

Sammenlign median, kvartilafstand, whiskers og eventuelle markerede outliers. En bredere boks viser større spredning i de midterste 50%, ikke automatisk større spredning efter alle mål.

Grupperede observationer

Importér et datasæt til TI-Nspire

Ved en beregning med intervalmidtpunkter erstattes alle observationer i hvert interval af midtpunktet. Det giver en tilnærmelse til fx middelværdi og standardafvigelse; det genskaber ikke de oprindelige data. En lineær interpolation i en sumkurve forudsætter en fordeling inden for intervallet og skal beskrives som en model.

Definér én liste med intervalmidtpunkter og en lige lang liste med intervalhyppigheder. Det følgende datasæt har otte intervaller af bredde 5. Midtpunkterne er 167,5; 172,5; 177,5; 182,5; 187,5; 192,5; 197,5; 202,5.

Herunder er et eksempel. Vi tager udgangspunkt i datasættet:

Interval	]165; 170]	]170; 175]	]175; 180]	]180; 185]	]185; 190]	]190; 195]	]195; 200]	]200; 205]
Intervalhyppighed	4	13	32	27	19	9	2	1

Brug fx midtpunkter:={167.5,172.5,177.5,182.5,187.5,192.5,197.5,202.5} og hyp:={4,13,32,27,19,9,2,1}.

Deskriptorer for midtpunktskodede observationer

Brug intervalmidtpunkterne som observationsliste og hyppighederne som frekvensliste. Beregningen beskriver den kodede tilnærmelse.

Vælg en-variabel-statistik med intervalmidtpunkterne som observationsliste og intervalhyppighederne som frekvensliste.

Tryk “OK”.

Vælg midtpunkterne i observationsfeltet og hyp i frekvensfeltet. Hyppighederne skal være ikke-negative heltal, og samlet skal der være mindst én observation.

Vælg listen med hyppigheder ud for “Frekvensliste”.

Tryk “OK”.

For de midtpunktskodede data er n=107 og summen 19412,5. Middelværdien er 19412,5/107≈181,425. De følgende kvartiler gælder den kodede midtpunktsliste og er ikke præcise kvartiler for de ukendte oprindelige observationer.

Deskriptor/værdi	Aflæses ud for	Midtpunktskodet eksempel
Middelværdi	“x̄”	181,43
Sum af observationer	“Σx”	19412,5
Spredning (standardafvigelse) for stikprøve	“sx := sn-1x”	6,94
Spredning (standardafvigelse) for population	“σx := σnx”	6,90
Antal observationer	“n”	107
Nedre kvartil	“Q1X”	177,5
Median	“MedianX”	182,5
Øvre kvartil	“Q3X”	187,5

Kvartilsættet er (“Q₁X”,”MedianX”,”Q₃X”).

Lav et histogram eller boksplot

Brug midtpunkter og hyppigheder sammen, når du tegner det grupperede datasæt. Kontrollér, at hver hyppighed hører til det rigtige interval.

Åbn en side af typen “Diagrammer og statistik”.

Vælg midtpunktslisten og hyppighedslisten som opsummerede data i histogrammet. Bin-indstillingerne skal passe til de otte intervaller.

Vælg nu “Diagramegenskaber” → “Tilføj Y-værdiliste”:

Vælg midtpunkter som X-liste og hyp som frekvens-/opsummeringsliste. Kontrollér, at søjlernes antal observationer summerer til 107.

Hvis du vil tegne et boksplot, så kan du ændre typen af diagram under “Diagramtyper” → “Boxplot”.

Hvis du vil tegne et histogram, så kan du tilpasse histogrammet under “Diagramegenskaber” → “Egenskaber for histogram” → “Søjleindstillinger” → “Lige store intervaller”:

For disse intervaller bruges bredde 5 og første grænse 165. TI-manualens histogram tæller en observation på en grænse med i intervallet til højre; ved import af en allerede grupperet tabel skal du derfor kende tabellens egen grænsekonvention.

Kontrollér de otte intervaller og de tilhørende hyppigheder. Ved et boksplot på midtpunktslisten gælder kvartilerne netop denne tilnærmelse.

Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn en sumkurve

Hvis du vil bestemme de kumulerede frekvenser eller tegne en sumkurve, så skal du definere en liste med det nedre intervalendepunkt for det første interval og alle de øvre intervalendepunkter.

Vi benytter nedenstående datasæt som eksempel:

Interval	]165; 170]	]170; 175]	]175; 180]	]180; 185]	]185; 190]	]190; 195]	]195; 200]	]200; 205]
Intervalhyppighed	4	13	32	27	19	9	2	1

Intervalendepunkterne kan gemmes som iep:={165,170,175,180,185,190,195,200,205}. Listen har ét punkt mere end de otte hyppigheder.

Til sumkurven bruges hyp0:={0,4,13,32,27,19,9,2,1}. Det første nul hører til kurvens begyndelse ved 165; det er ikke en ekstra observeret klasse.

Frekvenserne kan gemmes som frek:=hyp0/sum(hyp0). Summen er 107 og større end 0, så divisionen er defineret.

Frekvenserne summerer til 1. De beskriver andele af det samlede antal.

Gem de kumulerede frekvenser med kum:=cumulativeSum(frek). Det aktuelle officielle kommandonavn er cumulativeSum; vælg det i kataloget.

cumulativeSum(liste)

For frekvenslisten kan du bruge cumulativeSum(frek).

Kurvens ordinater er 0; 4/107; 17/107; 49/107; 76/107; 95/107; 104/107; 106/107; 1.

For netop denne udvidede liste med startnul er første værdi 0 og sidste værdi 1. For en almindelig kumuleret frekvensliste uden startnul er første værdi derimod den første klasses frekvens.

Åbn en side af typen “Diagrammer og statistik”.

Klik på “Klik for at tilføje variabel” på førsteaksen og vælg listen med intervalendepunkter.

Klik på “Klik for at tilføje variabel” på andenaksen og vælg listen med kumulerede frekvenser.

Brug iep på førsteaksen og kum på andenaksen. Der skal være ni sammenhørende koordinatpar.

Forbind punkterne i deres stigende rækkefølge. Den lineære kurve mellem grænserne er en interpolationsmodel; data fortæller ikke præcis, hvor observationerne lå inden for hvert interval.

Vælg vinduet, så hele intervallet fra 165 til 205 og frekvenserne fra 0 til 1 er synlige.

Kontrollér, at kurven ikke falder, at den starter i(165,0), og at den slutter i(205,1).

Træn en kontrol af dit datasæt

Vælg to beregnede deskriptorer og forklar dem med dataenes enhed. Brug øvelsen til at skelne mellem stikprøve- og populationsspredning.

Se forskellen på de to spredninger

Prøv selv: Brug data={1,3}. Beregn gennemsnittet og summen af de kvadrerede afvigelser. Hvilken nævner giver σx, og hvilken giver sx?

Se forklaring og kontrol

Gennemsnit 2; kvadrerede afvigelser 1+1=2. Population:√(2/2)=1. Stikprøve:√(2/(2−1))=√2. Ved kun én observation er stikprøvens nævner 0, så stikprøvespredningen er ikke defineret.

Regression i TI-Nspire: model og residualer

Definér to lister med data

For at kunne udføre regression på et datasæt, så skal du importere datasættet til TI-Nspire™. Du kan læse, hvordan du kan importere datasættet på siden Grafer.

Udfør regression

Her er en oversigt over regressions-kommandoer:

Regressionstype	Kommando
Lineær regression	LinRegMx x,y
Eksponentiel regression	ExpReg x,y
Potensregression	PowerReg x,y
Kvadratisk regression (andengradsregression)	QuadReg x,y
Sinusregression	SinReg x,y

“x” og “y” i kommandoerne er de to lister med data. Hvis du har kaldt listerne noget andet, så skal du udskifte “x,y” i kommandoerne med navnene på dine to lister (adskilt af et komma).

Læs stat.RegEqn sammen med koefficienterne i stat.results. LinRegMx bruger y=m·x+b. ExpReg bruger a·b^x, PowerReg bruger a·x^b, QuadReg bruger a·x²+b·x+c og SinReg bruger a·sin(bx+c)+d. Bogstaverne skal sammenholdes med netop den forskrift, du vil skrive; der findes ikke én universel ombytning af a og b. SinReg-forskriften bruger radianer, uanset dokumentets vinkelenhed. Ved eksponential-/potensregression skal data opfylde modellens og programmets domænekrav.

Prøv et eget datasæt: xs:={1,2,3} og ys:={3,4,8}. Kør LinRegMx xs,ys, og se derefter stat.results.

For dette datasæt er hældningen m=2,5 og konstantleddet b=0. Modellen er y=2,5x. Det er ikke en eksakt beskrivelse af alle tre observationer.

Du kan finde flere regressionskommandoer under “Statistik” → “Statistiske beregninger”:

I regressionsguiden vælges xs som X-liste og ys som Y-liste. Hvis en frekvensliste er relevant, skal den beskrive hyppighederne og passe til dataparrene.

Tryk “OK” for at få vist resultatet.

Tegn regressionskurve

Åbn en side med “Diagrammer og statistik”:

Tilføj xs til førsteaksen og ys til andenaksen. Det skal give punkterne(1,3),(2,4),(3,8).

Vælg “Undersøg data” → “Regression” og vælg derefter den type regression, som du arbejder med:

Den lineære regressionskurve har her forskriften y=2,5x. Et højt r² alene viser ikke, at modellen er egnet uden for det undersøgte område.

Tegn residualplot

Når du har tegnet en regressionskurve, så kan du tilføje et residualplot.

Tegn residualerne mod xs, enten med residualværktøjet eller ved at gemme res:=stat.Resid og plotte listerne xs og res. Et residual er observeret y minus modellens y.

Bestem residualspredning

Når du har tegnet en regressionskurve, så kan du bestemme summen af de residuelle kvadrater. Summen af de residuelle kvadrater kan bruges til at bestemme residualspredningen.

For vores tre datapunkter er residualerne 0,5; −1; 0,5. Summen af deres kvadrater er 0,25+1+0,25=1,5.

Ved almindelig lineær mindste-kvadraters-regression med både hældning og konstantled estimeres to koefficienter. Residualspredningen er da s=√(Σrᵢ²/(n−2)) for n>2. Formlen med n−2 må ikke automatisk bruges til alle regressionstyper eller til en lineær model med fastlåst konstantled.

s=√((r₁²+r₂²+…+rₙ²)/(n−2))

Vis residualer

Du kan få vist en liste med residualerne med kommandoen

stat.Resid

I vores eksempel giver stat.Resid residualerne 0,5; −1; 0,5. De to positive residualer ligger over linjen; det negative ligger under.

Gem listen som res:=stat.Resid, lige efter den regression du vil undersøge. En senere statistisk beregning kan ændre stat-variablerne.

Den gemte res-liste kan vises i Lister og Regneark ved at knytte en kolonne til res. Sæt xs ved siden af den, så dataparrenes rækkefølge kan kontrolleres.

Kontrollér, at res har samme antal elementer som xs, og at rækkefølgen stadig svarer til de samme datapunkter.

Vejledninger til opgaver om regression

Prøv flere modeller på de samme data, og begrund dit valg med situationen og residualerne. En høj forklaringsgrad alene afgør ikke, hvilken model der passer.

• Opgaver om lineær regression
• Opgaver om eksponentiel regression
• Opgaver om potensregression
• Opgaver om andengradsregression

Kontrollér residualspredningen

Prøv selv: For xs={1,2,3},ys={3,4,8} og y=2,5x: beregn residualerne og deres kvadratsum. Brug n−2.

Se forklaring og kontrol

Residualer 0,5;−1;0,5; kvadratsum 1,5. Derfor s=√(1,5/(3−2))≈1,22474. Med to punkter ville n−2 være 0; en linje gennem begge er ikke en selvstændig vurdering af residualspredning.

Kombinatorik med nPr og nCr i TI-Nspire

Permutationer

Kommandoen nPr(n,r) tæller udtagninger af r forskellige elementer blandt n, når rækkefølgen har betydning, og et element ikke må vælges igen.

nPr(n,r)

Prøv nPr(10,2). Første plads har 10 muligheder og anden plads 9, så 10·9=90.

Vi kan vælge 2 ud af 10 elementer på 90 forskellige måder, når rækkefølgen har betydning.

Kombinationer

Kommandoen nCr(n,r) tæller valg af r forskellige elementer blandt n, når rækkefølgen er ligegyldig, og et element ikke må vælges igen.

nCr(n,r)

Prøv nCr(10,2). Hvert uordnet par er talt to gange i 10·9, så antallet er 90/2=45.

Vi kan vælge 2 ud af 10 forskellige elementer på 45 forskellige måder, når rækkefølgen er ligegyldig og valget sker uden gentagelser.

Afgør om rækkefølgen tæller

Prøv selv: Tre personer A,B,C skal vælge to repræsentanter. Tæller AB og BA som forskellige valg? Hvad hvis der i stedet vælges en formand og en næstformand?

Se forklaring og kontrol

To repræsentanter uden forskellige roller:3 valg. To forskellige roller:6 valg. Brug nCr(3,2) i første tilfælde og nPr(3,2) i det andet.

Binomialfordeling og andele i TI-Nspire

Sandsynligheder i binomialmodellen

P(X = r)

Hvis X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, dvs. X~b(n,p), så kan du bestemme P(X = r) med kommandoen

binomPdf(n,p,r)

For X~Bin(10;0,4) bruges binomPdf(10,0.4,5). Den matematiske værdi er 252·0,4⁵·0,6⁵≈0,200658.

Vi konkluderer, at P(X = 5) = 0,201.

P(X ≤ r)

Hvis X er en binomialfordelt stokastisk variabel med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, dvs. X~b(n,p), så kan du bestemme P(X ≤ r) med kommandoen

binomCdf(n,p,r)

For samme model bruges binomCdf(10,0.4,5); den summerer sandsynlighederne for 0,1,…,5 og giver omtrent 0,833761.

Vi konkluderer, at P(X ≤ 5) = 0,834.

Bestem konfidensinterval for andel (p)

Kommandoen nedenfor beregner et normaltilnærmet konfidensinterval for en andel. Brug den, når observationerne og stikprøven passer til modellen, og tilnærmelsen er rimelig. Ved små antal successer/fiaskoer eller andele nær 0 eller 1 kan intervallet være misvisende; følg opgavens aftalte intervalmetode.

zInterval_1Prop x,n,k

x er antallet af successer, n er stikprøvens størrelse, og k er konfidensniveauet i decimaltal. Hvis du skal bestemme et 95%-konfidensinterval, så er k = 0,95. Skriv “stat.results” for at få vist konfidensintervallet.

I eksemplet bruges zInterval_1Prop 150,500,0.95. Andelen i stikprøven er 150/500=0,30; normaltilnærmelsen bruger 0,30±1,95996·√(0,30·0,70/500).

Grænserne er omtrent [0,25983;0,34017]. Et 95%-konfidensniveau beskriver metodens langsigtede dækningsandel ved gentagne stikprøver under dens antagelser; det er ikke en 95%-sandsynlighed for en fast ukendt parameter i netop dette realiserede interval.

Gå videre til binomialtest

Afsnittet Hypotesetest viser, hvordan halegrænser og signifikansniveau bruges i en binomialtest.

Træn hændelsen før beregningen

Skriv hændelsen med ≤, ≥ eller =, før du vælger kommando. Kontrollér derefter, om grænsens heltalsværdi skal medregnes.

Vælg den rigtige hale

Prøv selv: For X~Bin(10;0,4): skriv en kommando for P(X≥6), og forklar grænsen.

Se forklaring og kontrol

P(X≥6)=1−P(X≤5), så brug 1-binomCdf(10,0.4,5). Værdien er omtrent 0,166239. Brug af grænsen 6 i den kumulerede sandsynlighed ville også fjerne udfaldet 6.

Normalfordeling og fraktiler i TI-Nspire

Sandsynligheder i normalmodellen

For normalfordelingen bruger vi her μ som middelværdi og σ>0 som standardafvigelse. TI-kommandoens sidste argument er σ, ikke variansenσ². Nogle bøger skriver N(μ,σ²); kontrollér derfor notationens betydning.

normCdf(-∞,t,µ,σ)

For middelværdi 5 og standardafvigelse 1 bruges normCdf(−∞,4,5,1), hvor −∞ indsættes som uendelighedssymbol. Sandsynligheden er omtrent 0,158655.

Vi konkluderer, at P(X ≤ 4) = 0,159.

Bestem fraktiler

Når X er normalfordelt, så er α-fraktilen det tal x_α, der opfylder, at

P(X ≤ x_α) = α

x_α kan bestemmes med kommandoen

invNorm(α,μ,σ)

Kommandoen invNorm(α,μ,σ) svarer til at løse nedenstående ligning mht. x_α:

normCdf(-∞,x_α,µ,σ) = α

For middelværdi 4 og standardafvigelse 1 bruges invNorm(0.90,4,1). Resultatet er omtrent 5,28155.

Kontrollér ved at beregne normCdf(−∞,5,28155,4,1); resultatet skal ligge tæt på 0,90.

90%-fraktilen er x_0,90 ≈ 5,28, dvs. at

P(X ≤ 5,28) ≈ 90%

Tegn et histogram sammen med en normalfordelingskurve

Når du skal undersøge, om data tilnærmelsesvist er normalfordelt, så kan du tegne et histogram sammen med en normalfordelingskurve.

Definér din egen observationsliste som data, og kontrollér antal og enheder før diagrammet. Brug fx de samme importerede tal som i din beregning af gennemsnit og standardafvigelse.

Tegn derefter et histogram:

Vælg “Diagramegenskaber” → “Egenskaber for histogram” → “Søjleindstillinger” → “Lige store intervaller” for at justere søjlebredden:

Du kan tilføje en normalfordelingskurve under “Undersøg data” → “Vis normal PDF”:

Sammenlign histogrammets form med kurven, men variér også intervalbredden. Et pænt histogram beviser ikke normalfordeling eller uafhængighed.

Lav et QQ-plot

Når du har defineret en liste med data, så kan du lave et QQ-plot.

Brug den observationsliste data, som du vil undersøge. Et QQ-plot sammenligner dens ordnede værdier med en normalmodels forventede fraktiler.

Åbn en side af typen “Diagrammer og statistik”. Tilføj listen data til x-aksen.

Vælg “Diagramtyper” → “Normalfordelingsplot”:

En tilnærmelsesvis ret linje støtter, at normalmodellen kan være anvendelig. Systematiske krumninger og enkelte afvigende punkter bør undersøges; et plot kan ikke alene bevise modelantagelserne.

Træn sandsynlighed og fraktil

Skeln mellem en kendt x-grænse, hvor du søger en sandsynlighed, og en kendt sandsynlighed, hvor du søger en fraktil.

Kontrollér en fraktil

Prøv selv: En normalmodel har μ=10,σ=2. Hvad er medianen, og hvad sker der med 90%-fraktilen, hvis σ ændres til 4?

Se forklaring og kontrol

Medianen er 10. 90%-fraktilen er omtrent 12,56310 ved σ=2 og 15,12621 ved σ=4. Spredningen ændrer afstanden fra middelværdien, mens medianen bliver 10.

Hypotesetest i TI-Nspire: haler og konklusion

Binomialtest

En binomialtest bygger på H₀:p=p₀, et fast antal forsøg n og en relevant model for uafhængige forsøg med samme sandsynlighed. Vælg ensidet eller dobbeltsidet alternativ og signifikansniveau α, før du ser testresultatet.

Brug halesandsynlighederne til at afgøre den kritiske mængde. Vi anvender her reglen, at en relevant hale med sandsynlighed højst den valgte halegrænse er kritisk. Andre aftalte dobbeltsidede test kan definere p-værdien anderledes; skriv hvilken metode du bruger.

• Dobbeltsidet test med lige store halegrænser: Fordel α/2 til hver hale. En observation k er kritisk i venstre hale, hvis P(X≤k)≤α/2, eller i højre hale, hvis P(X≥k)≤α/2. De øvrige værdier udgør ikke-forkastningsmængden.
• Højresidet test: Brug P(X≥k)=1−P(X≤k−1), altså 1-binomCdf(n,p0,k-1) for k≥1. Forkast ved værdier, hvor denne hale er højst α.
• Venstresidet test: Brug binomCdf(n,p0,k). Forkast ved værdier, hvor denne hale er højst α.

invBinom(q,n,p0) kan hjælpe med at finde en kvantil nær en grænse. Kontrollér altid den fundne værdi og naboværdien med binomCdf. En diskret fordelingsfunktion springer, og lighed med grænsen kan ændre, om kvantilværdien selv skal være kritisk.

Den kritiske mængde består af de værdier i mængden {0, 1, …, n}, der ikke ligger i acceptmængden.

For n=50,p₀=0,3 og α=0,05 i testen med lige store halegrænser kan grænserne kontrolleres med P(X≤8)≈0,01825 og P(X≤9)≈0,04023 samt P(X≥23)≈0,01228 og P(X≥22)≈0,02509.

Ikke-forkastningsmængden er derfor {9,10,…,22}. Den kritiske mængde er {0,1,…,8}∪{23,24,…,50}. Det betyder ikke, at H₀ er bevist, når observationen er mellem 9 og 22.

Skriv H₀, H₁, signifikansniveau og den valgte haleregel, før du læser resultaterne. Afslut med, hvad testen kan og ikke kan sige om situationen.

χ²-test for uafhængighed

For at foretage et χ²-test for uafhængighed skal du definere din observationstabel som en matrix i TI-Nspire™. I observationsmatricen skal rækken og kolonnen “Total” ikke medtages.

Matrix-skabeloner kan findes under “Matematikskabeloner”:

Du kan også finde matricer under “Beregninger” → “Matricer og vektorer” → “Opret” → “Matrix”:

I den boks, der dukker op, skal du vælge antallet af rækker og antallet af kolonner. Tryk derefter på “OK”.

Som eget eksempel indtastes en 2×2-observationsmatrix med første række 30,20 og anden række 20,30. Der må ikke tilføjes en totalrække eller totalkolonne.

Du kan lave et uafhængighedstest ved at vælge “Statistik” → “Statistiske tests” → “χ²-uafhængighedstest”:

Vælg navnet på matricen med observationerne i den boks, der dukker op:

Vælg observationernes matrix. H₀ er uafhængighed; forventede antal beregnes af rækkesum·kolonnesum/samlet antal. I denne 2×2-tabel er alle fire forventede antal 25.

For denne tabel er χ²=4,df=1 og p≈0,04550. Med α=0,05 forkastes H₀ om uafhængighed under testens antagelser; testen viser ikke, hvilken variabel der eventuelt forårsager den anden.

df=(antal rækker−1)·(antal kolonner−1). Kontrollér uafhængige observationer og tilstrækkelige forventede antal, før χ²-tilnærmelsen bruges.

De forventede værdier kan bestemmes med kommandoen

stat.ExpMat

Det aktuelle referenceværks navn er stat.ExpMat. Her skal matricen indeholde 25 i hver af de fire celler. Læs også navnene i stat.results, hvis din version viser dem anderledes.

Bidragene til teststørrelsen kan bestemmes med kommandoen

stat.CompMat

Det aktuelle referenceværks navn er stat.CompMat. I eksemplet bidrager hver celle med (5²)/25=1, så summen bliver 4.

Forklar til sidst, hvad de observerede og forventede antal viser. Forkastning betyder belæg imod uafhængighed under modellen; den viser ikke i sig selv en årsagssammenhæng.

χ²-test for goodness of fit

Goodness of fit-test benyttes til at undersøge, om en række observerede værdier stemmer overens med de forventede værdier.

Ved en terning kan H₀ være, at alle seks sider har sandsynlighed 1/6 ved de uafhængige kast. H₁ er, at mindst én af sandsynlighederne afviger.

• H₀: p₁=p₂=…=p₆=1/6.
• H₁: Sandsynlighederne er ikke alle 1/6.

Det er nulhypotesen, vi tester.

I et GOF-test anvendes lister i stedet for matricer. Du skal først definere en liste med de observerede værdier. Du kan definere en liste med Tuborg-klammer: {}.

Definér obs:={6,12,8,14,14,18}. Det er en observationsliste med seks kategorier.

Listen viser, at vi i en række terningekast fik hhv. 6 1’ere, 12 2’ere, 8 3’ere, 14 4’ere, 14 5’ere og 18 6’ere.

De forventede værdier bestemmes ved at gange det samlede antal observationer med den forventede frekvens for hver observation. Vi kan bestemme det samlede antal observationer som summen af alle listens elementer med kommandoen

sum(liste)

sum(obs) er 72. Brug det samlede antal i alle forventede antal.

Hvis vi kaster en terning 72 gange og forventer at 1/6 af observationerne er 1’ere, 1/6 af observationerne er 2’ere osv, så er alle de forventede værdier:

72·(1/6)=12

Definér forv:={12,12,12,12,12,12}. De forventede antal summerer også til 72.

Du laver et GOF-test ved at vælge “Statistik” → “Statistiske tests” → “χ²-Goodness of Fit test”:

I den boks, der dukker op, skal du vælge listen med de observerede værdier ud for “Observeret liste” og listen med de forventede værdier ud for “Forventet liste”.

I dette fuldt specificerede eksempel med k=6 kategorier er df=k−1=5. Når en fordelings parametre estimeres af de samme data, kræver frihedsgraderne yderligere hensyn; k−1 er ikke en universel regel. Forventede antal skal være tilstrækkelige til χ²-tilnærmelsen.

Katalogkommandoen er chi2GOF obs,forv,5. Se bagefter stat.results for teststørrelse og p-værdi.

For disse tal er p≈0,156236, afrundet til 0,156 med tre decimaler.

Teststørrelsen aflæses ud for “χ²“. I eksemplet er teststørrelsen 8.

Bidragene til teststørrelsen kan bestemmes med kommandoen

stat.CompList

Bidragene er 3; 0; 4/3; 1/3; 1/3; 3. De summerer til 8. Det største bidrag kommer fra 1’ere og 6’ere med 3 hver.

Du kan vælge at tage udgangspunkt i formuleringerne herunder, når du skriver konklusionen. Husk at tjekke, at du i din konklusion svarer på det, der bliver spurgt til i opgaven.

• Hvis p≤α efter den valgte beslutningsregel, forkaster vi H₀. Resultatet giver belæg mod den angivne nulhypotese under testens antagelser; det beviser ikke enhver tænkelig alternativ forklaring.
• Hvis p>α, forkaster vi ikke H₀. Det er ikke et bevis for H₀; data har ikke givet tilstrækkeligt belæg mod den med denne test og dette signifikansniveau.

I terningeeksemplet er 0,156236>0,05. Vi forkaster derfor ikke H₀ ved 5%. Data giver ikke tilstrækkeligt belæg mod lige sandsynlighed for de seks sider under modellens antagelser.

Kommentér relevante afvigelser og testens antagelser. Bidragene viser, hvilke kategorier der trækker teststørrelsen op; de kan undersøges, selv om det samlede test ikke forkaster H₀.

Antallet af 1’ere og 6’ere giver de største bidrag, men deres bidrag ændrer ikke det samlede ikke-signifikante resultat i eksemplet.

Træn en konklusion om hypotesen

Skriv en konklusion i situationens egne ord og nævn modellens antagelser. En ikke-forkastet hypotese er ikke bevist.

Prøv præcis lighed ved halegrænsen

Prøv selv: Lad X~Bin(5;0,5) og α=0,0625 i testen med lige store halegrænser. P(X=0)=P(X=5)=1/32. Hvilke udfald er kritiske efter reglen hale≤α/2?

Se forklaring og kontrol

α/2=0,03125=1/32. Derfor er 0 og 5 kritiske, og ikke-forkastningsmængden er {1,2,3,4}. En kvantil kan selv ligge på en kritisk grænse; kontrollér derfor CDF og naboværdier.

Vektorer og enhedsvektorer i TI-Nspire

Definér en vektor

I TI-Nspire™ benytter vi ikke bogstaver med pile over, når vi definerer vektorer. Vi benytter blot bogstaver.

Brug en matrixskabelon med 2 rækker og 1 kolonne til en plan vektor. Et eget eksempel er a med koordinaterne 3 og 4; gem den som a.

Den plane vektor indtastes i en matrixskabelon med to rækker og én kolonne.

En rumvektor bruger fx 3 rækker og 1 kolonne. Vælg formen bevidst; en almindelig tal-liste og en matrix er forskellige inputtyper.

Brug tilsvarende en matrixskabelon til den rumlige vektor.

Vælg 3 rækker og 1 kolonne.

Bestem længden af en vektor

Længden af en vektor bestemmes vha. kommandoen:

norm(vektor)

For a=(3,4) er norm(a) lig 5, fordi√(3²+4²)=5.

Bestem en enhedsvektor

En ikke-nul-vektor a har en enhedsvektor a/‖a‖ med samme retning. Nulvektoren har ingen bestemt retning og kan ikke divideres med sin længde 0. Brug unitV til en ikke-nul-vektor.

unitV(vektor)

For a=(3,4) er unitV(a) vektoren (3/5,4/5). Dens længde er 1.

Bestem en determinant mellem to vektorer

Du kan bestemme determinanten mellem to vektorer ved at opskrive vektorerne i en 2×2-matrix og bruge kommandoen:

det(matrix)

En 2×2-matrix har to rækker og to kolonner; brug matrixskabelonen.

Du bestemmer determinanten det(a,b) ved at notere koordinaterne til a i venstre side af matricen og koordinaterne til b i højre side af matricen.

Som eksempel bestemmer vi det(a,b), når

a=(1,5), b=(2,3)

Determinanten er -7.

Bestem et skalarprodukt (prikprodukt)

Skalarproduktet (prikproduktet) af to vektorer kan bestemmes med kommandoen:

dotP(vektor 1,vektor 2)

For a=(4,3) og b=(2,7) er skalarproduktet 4·2+3·7=29. Indtast vektorerne i samme kompatible form, før du bruger dotP(a,b).

Skalarproduktet af a=(4,3) og b=(2,7) er 29.

Bestem et krydsprodukt (vektorprodukt)

Krydsproduktet af to vektorer i 3 dimensioner kan bestemmes vha. kommandoen:

crossP(vektor 1,vektor 2)

For a=(4,2,1) og b=(5,2,3) giver crossP(a,b) vektoren(4,−7,−2).

Krydsproduktet af a=(4,2,1) og b=(5,2,3) er (4,−7,−2).

Vejledninger til opgaver med vektorer

Kontrollér resultatets type: prikprodukt og determinant er tal, mens enhedsvektor og krydsprodukt er vektorer. Forklar resultatets betydning i situationen.

Kontrollér enhedsvektor og retning

Prøv selv: For a=(3,4): kontrollér længden af unitV(a). Kan samme fremgangsmåde bruges for(0,0)?

Se forklaring og kontrol

Enhedsvektoren(3/5,4/5) har længde√(9/25+16/25)=1. Ved nulvektoren ville der divideres med 0; den har ingen enhedsvektor med samme retning.

Differentialregning og ekstrema i TI-Nspire

Differentiér en funktion (bestem den afledte funktion)

Bestem f ‘(x)

Brug differentialskabelonen eller skriv derivative(f(x),x), som TI omsætter til den indbyggede d()-operator. Den almindelige apostrofnotation bruges særskilt i deSolve, ikke som en generel definition af den afledte.

df(x)/dx

Vælg differentialskabelonen, eller brug det læsbare kommandonavn derivative.

Et eget eksempel er f(x):=x^3-x; derivative(f(x),x) giver 3x²−1.

Definér den afledte med fm(x):=derivative(f(x),x).

Da vi ikke kan kalde den afledte for f ‘(x), så kalder vi den afledte for f_m(x) (m for “mærke”).

Nu er fm(2)=11. Det er tangenthældningen til f i x=2.

Bestem f ”(x)

Du kan benytte nedenstående notation til at bestemme den andenafledede, dvs. f ”(x):

d²f(x)/dx²

Tredje argument i derivative er ordenen;2 betyder andenafledt. Skabelonen har tilsvarende plads til anden afledning.

For f(x)=x³−x giver derivative(f(x),x,2) resultatet 6x.

Bestem differentialkvotient

Når du har defineret en funktion f, så kan du bestemme differentialkvotienten f ‘(x₀) med kommandoen

df(x)/dx ved x=x₀

Brug derivative(f(x),x)|x=2. Her bliver resultatet 11.

Hvis fm er defineret, kan du nøjes med fm(2).

fm(2) giver samme differentialkvotient 11, når fm er defineret som den afledte.

Løs ligninger med den afledte funktion

For f(x)=x³−x kan f′(x)=8 løses med solve(derivative(f(x),x)=8,x).

Med den gemte fm kan du skrive solve(fm(x)=8,x).

Fordi 3x²−1=8, er løsningerne x=−√3 eller x=√3. Kontrollér, at eventuelle modelbetingelser tillader begge.

Ligning for tangent

Du kan bestemme en ligning for tangenten til grafen for funktionen f i (x₀,f(x₀)) med kommandoen

tangentLine(f(x),x=x₀)

Til f(x)=x²−x−2 bruges tangentLine(x^2-x-2,x=4). Punktets højde er f(4)=10 og hældningen 7.

Tangenten til grafen for f i (4,f(4)) er givet ved ligningen y = 7x - 18.

Globale ekstrema

fMin kan finde kandidater til minimumssteder. I Approksimeret tilstand søger kommandoen iterativt efter ét lokalt minimum; output er ikke i sig selv en garanti for et globalt minimum på hele området.

fMin(<funktion>,<uafhængig variabel>)

Det samme forbehold gælder fMax ved numerisk søgning efter et maksimum. Til et globalt ekstremum skal du sammenligne alle relevante kandidater og randpunkter.

fMax(<funktion>,<uafhængig variabel>)

En graf hjælper med overblik. For en kontinuert funktion på et lukket interval undersøges randpunkter og indre kritiske punkter, herunder punkter hvor den afledte er 0 eller ikke findes. Kontrollér også, at intervallet ligger i definitionsmængden.

Du kan begrænse søgningen med de følgende intervalargumenter. Brug resultatet sammen med den matematiske kandidat- og randpunktskontrol.

fMin(<funktion>,<uafhængig variabel>,a,b)

fMax(<funktion>,<uafhængig variabel>,a,b)

Eksempel: Bestem toppunkt

For f(x)=−x²+2x+2 er f′(x)=−2x+2. Den afledte skifter fra positiv til negativ ved x=1; derfor er dette toppunktets førstekoordinat.

Toppunktets førstekoordinat er x = 1. Andenkoordinaten er f(1) = 3. Toppunktet har altså koordinaterne (1,3).

Eksempel: Bestem globale ekstremumspunkter i intervallet [-2;3]

Vi vil bestemme de globale ekstremumspunkter for

f(x) = 2x³ -3x² -12x + 2, -2 ≤ x ≤ 3

Den afledte er f′(x)=6x²−6x−12=6(x−2)(x+1). De indre stationære steder er derfor −1 og 2.

Sammenlign f(−2)=−2,f(−1)=9,f(2)=−18 og f(3)=−7. Her er de fire kandidater til de globale ekstrema.

Sammenligningen viser globalt minimum ved x=2 og globalt maksimum ved x=−1 i netop intervallet[−2,3].

Det globale minimum er -18, og det globale maksimum er 9. Det globale minimumspunkt er dermed (2,-18), mens det globale maksimumspunkt er (-1,9).

Vejledninger til opgaver om differentialregning

Du kan få hjælp til at bestemme en ligning for en tangent, bestemme minimum/maksimum og løse andre typer af opgaver om differentialregning i Opgaver om differentialregning.

Undersøg randen før global konklusion

Prøv selv: For f(x)=x³ på[−1,1] er f′(0)=0. Er x=0 globalt minimum eller maksimum?

Se forklaring og kontrol

Ingen af delene. f(−1)=−1 og f(1)=1, mens f(0)=0. Et stationært punkt er en kandidat, ikke et automatisk ekstremum. Prøv en anden funktion på et lukket interval og sammenlign alle kandidater.

Integralregning: stamfunktion, nettoareal og areal

Ubestemt integral

Find ubestemt integral i matematikskabelonerne, eller brug integral(udtryk,variabel).

Brug fx integral(2*x,x). En stamfunktion er x².

TI udelader normalt integrationskonstanten, medmindre den gives som argument. På et sammenhængende interval er alle stamfunktionerne til 2x på formen x²+C. Skriv C, når opgaven efterspørger den generelle stamfunktion.

Gem fx fstam(x):=integral(2*x,x), og kontrollér ved at differentiere fstam. Resultatet skal være 2x.

Da TI-Nspire ikke skelner mellem store og små bogstaver, så kan vi ikke kalde stamfunktionen for F(x). Vi kalder den derfor “f_stam“.

Bestemt integral

Ved et bestemt integral angives begge grænser: integral(udtryk,variabel,nedre,øvre).

For eksempel giver integral(2*x,x,-1,2) nettoværdien 3, fordi 2²−(−1)²=3.

Hvis f er defineret, kan du bruge integral(f(x),x,a,b). Et bestemt integral er fortegnet nettoareal; geometrisk areal kræver passende opdeling eller integration af den absolutte værdi.

Markér et område mellem graf og akse eller mellem to grafer

Du kan markere et område afgrænset af en graf og x-aksen eller et område afgrænset af to grafer på en side af typen “Grafer”.

Tegn fx f(x)=−3x²+12. Nulpunkterne −2 og 2 afgrænser området mellem grafen og x-aksen.

Brug grafværktøjets arealfunktion, hvis du vil markere området. Sammenhold markeringen med en selvstændig integralberegning.

Klik på grafen og derefter på x-aksen (eller først på den ene graf og derefter den anden).

For f(x)=−3x²+12 er nulpunkterne −2 og 2. Funktionen er ikke-negativ mellem dem, så det geometriske areal er integral(f(x),x,-2,2)=32. Hvis en graf skifter fortegn i et andet eksempel, kan én integralværdi give et mindre nettoareal end det samlede geometriske areal.

Vejledninger til opgaver om integralregning

Du kan få hjælp til at bestemme forskriften for en stamfunktion og løse andre typer af opgaver om integralregning i Opgaver om integralregning.

Skeln mellem nettoareal og areal

Prøv selv: For f(x)=2x på [−1,2] er det bestemte integral 3. Find det geometriske areal, og forklar hvordan fortegnet bruges.

Se forklaring og kontrol

Del ved nulpunktet 0. På [−1,0] er integralet −1, og på [0,2] er det 4. Det geometriske areal er 1+4=5; nettoarealet er −1+4=3.

Differentialligninger i TI-Nspire: deSolve og kontrol

Løs en differentialligning uden begyndelsesbetingelse

Du kan løse en differentialligning uden begyndelsesbetingelse med kommandoen

deSolve(differentialligning,uafhængig variabel,afhængig variabel)

Eksempel uden begyndelsesbetingelse

Brug deSolve(y’=2*y,t,y). Den generelle løsning er y(t)=C·exp(2t). Differentiering giver y′=2C·exp(2t)=2y.

Løs en differentialligning med begyndelsesbetingelse

Du kan løse en differentialligning af første orden med en begyndelsesbetingelse med kommandoen

deSolve(differentialligning and begyndelsesbetingelse,uafhængig variabel,afhængig variabel)

I deSolve skrives den første afledte som y’. Her er t den uafhængige variabel og y den afhængige. Det er denne kommandos notation; brug differentialskabelonen eller derivative i andre afledningsberegninger.

Eksempel med begyndelsesbetingelse

Brug deSolve(y’=2*y and y(0)=5,t,y). Løsningen er y(t)=5·exp(2t), og indsættelse af t=0 giver 5.

Ved deSolve(y’=2*y and y(5)=10,t,y) er løsningen y(t)=10·exp(2(t−5)). Her skal t=5 give 10; begyndelsespunktet behøver ikke ligge i t=0.

Tegn et hældningsfelt

Når du skal tegne et hældningsfelt, så skal du først åbne en side af typen “Grafer”.

Vælg derefter “Grafindtastning/Redigér” → “Differentialligninger”.

Indtast differentialligningen i feltet til højre for lighedstegnet. Da der står y1 i feltet til venstre for lighedstegnet, så skal du benytte y1 som den afhængige variabel. Hvis du vil tegne et hældningsfelt for differentialligningen y‘ = 2y, så skal du skrive “2*y1” i feltet til højre for lighedstegnet.

I den aktuelle eGuide vælges feltvisning under differentialligningens parametre. Vælg Slope for én aktiv 1.-ordens-ligning. Numerical Solution Method styrer de beregnede kurver; et tegnet felt er ikke en eksakt løsning.

Angiv fx begyndelsespunktet (0,5), hvis kurven skal opfylde y(0)=5. For relationen 2*y1 er hældningen 10 i dette punkt.

Kurven med dette begyndelsespunkt kan sammenholdes med 5·exp(2t). Zoom og numeriske indstillinger kan ændre gengivelsen, uden at selve differentialligningen ændres.

Brug tilføjelse af begyndelsesbetingelser, hvis du vil sammenligne flere kurver. Hold differentialligningen fast og ændr kun de valgte begyndelsesværdier.

Klik på “OK” for at få vist hældningsfeltet og løsningskurverne.

Som med andre grafer kan du zoome ind og ud og justere det udsnit af koordinatsystemet, der bliver vist.

Vejledninger til opgaver om differentialligninger

Du kan få hjælp til at løse forskellige typer af opgaver om differentialligninger i Opgaver om differentialligninger.

Kontrollér både ligning og begyndelse

Prøv selv: Prøv y(t)=10·exp(2(t−5)) i y′=2y og y(5)=10. Hvad ville y(0) være?

Se forklaring og kontrol

Differentiering giver 2y, og t=5 giver 10. Ved t=0 fås 10·exp(−10), ikke 10. Begyndelsesbetingelsens t-værdi skal bevares.

Vektorfunktioner og parameterkurver i TI-Nspire

Definér en vektorfunktion

Definér de to koordinatfunktioner, fx xk(t):=t og yk(t):=t^2. En vektorfunktion r(t) kan derefter samles af dem med en 2×1-matrixskabelon.

Saml xk(t) og yk(t) i en matrixskabelon med to rækker og én kolonne.

Ved at gemme koordinatfunktionerne hver for sig kan du både genbruge dem i matrixskabelonen og indsætte dem i grafens parameterfelter.

Bestem stedvektoren hørende til en t-værdi

For r(t)=(t,t²) er r(2)=(2,4). En stedvektor beskriver punktets placering til parameterværdien 2.

Differentiér en vektorfunktion

Du kan differentiere en vektorfunktion på samme måde, som du differentierer en funktion f(x).

Differentiér koordinaterne: xk′(t)=1 og yk′(t)=2t. Dermed er r′(t)=(1,2t); ved t=2 bliver den (1,4). Hvis t er tid, er det hastighedsvektoren i de valgte enheder.

Tegn en parameterkurve (banekurve)

Du kan tegne parameterkurven for en vektorfunktion på en side af typen “Grafer”.

I Graph Entry/Edit vælges Parametric, svarende til Parameterfremstilling. Angiv xn(t) og yn(t), og vælg tmin,tmax og tstep. For eget eksempel bruges t og t² med 0≤t≤2.

Et andet tekstligt eksempel er spiralen r(t)=(t·cos(t),t·sin(t)) for 0≤t≤5π. Brug radianer. Punktet ved t=0 er(0,0); ved t=π er punktet(−π,0).

r(t)=(t·cos(t),t·sin(t)), 0≤t≤5π

Du kan tegne parameterkurverne for flere vektorfunktioner i samme koordinatsystem ved at gentage fremgangsmåden.

Vejledninger til opgaver om vektorfunktioner

Du kan få hjælp til at løse forskellige typer af opgaver om vektorfunktioner i Opgaver om vektorfunktioner.

Skeln mellem sted og hastighed

Prøv selv: For r(t)=(t,t²): find r(2),r′(2) og farten, hvis koordinaterne måles i meter og t i sekunder.

Se forklaring og kontrol

Sted (2,4) m; hastighed (1,4) m/s; fart √(1²+4²)=√17≈4,12311 m/s. Fart er et tal, mens hastighed er en vektor.

Funktioner af to variable i TI-Nspire CAS

Definér en funktion af to variable

Definér fx f(x,y):=x^2+3*x*y+y^2. Argumenternes rækkefølge skal være den samme i definition og beregning.

Bestem en funktionsværdi

For eget eksempel er f(1,2)=11, fordi 1+6+4=11.

Tegn graf

Du kan tegne grafen for en funktion af to variable på en side af typen “Grafer”.

Vælg 3D-graftegning.

Indtast funktionsforskriften i linjen øverst på siden. Hvis du har defineret funktionen, så kan du nøjes med at skrive funktionen, fx f(x,y).

Under “Områdeindstillinger” kan du ændre, hvilken del af grafen der vises.

For f(x,y)=x²+3xy+y² kan z1(x,y)-feltet bruge f(x,y). Grafen viser højden z for par (x,y); en rotation af 3D-boksen ændrer synsvinklen, ikke forskriften.

Bestem de partielle afledede

Brug derivative(f(x,y),x) til fₓ=2x+3y og derivative(f(x,y),y) til fᵧ=3x+2y. Den anden variabel holdes konstant.

Differentialskabelonen kan også bruges; angiv udtrykkeligt, om du afleder efter x eller y.

Bestem de dobbeltafledede og de blandede afledede

Her er derivative(f(x,y),x,2)=2 og derivative(f(x,y),y,2)=2.

Ved andenafledning angives ordenen 2. Ved blandet afledning vælges først den ene variabel og derefter den anden.

Den blandede afledte kan findes med derivative(derivative(f(x,y),x),y). For dette polynomium er resultatet 3 i begge rækkefølger. Lighed mellem blandede afledte kræver passende glathed; den må ikke bruges som en ubetinget regel for enhver funktion.

Vejledninger til opgaver om funktioner af to variable

Dette afsnit viser programmets mulighed for funktioner af to variable. Afstem emnet og den nødvendige metode med dit eget holds forløb; programmet kan mere end et bestemt niveau kræver.

Hold den anden variabel konstant

Prøv selv: For f(x,y)=x²+3xy+y²: find fₓ(1,2), og forklar hvilke input der ændres i den partielle afledning.

Se forklaring og kontrol

fₓ=2x+3y, så fₓ(1,2)=8. x ændres, mens y holdes fast på 2. Den blandede afledte i dette glatte polynomium er 3.