Procentregning: formler, vækstrate, indekstal og opgaver med facit

Formler

Formlerne samlet

Bogstaverne er de samme i alle formlerne. B er begyndelsesværdien, altså tallet før ændringen. S er slutværdien efter ændringen. r er vækstraten: den procentvise ændring skrevet som decimaltal, så 15 % bliver 0,15, og et fald på 8 % bliver −0,08. Tallet 1 + r er fremskrivningsfaktoren, som mange bøger kalder F.

Dit niveau

Hvad skal du kunne på dit niveau?

Siden følger læreplanerne for stx fra 2024. I samfundsfag gælder linjen om beregninger også samfundsfag B på hf og htx.

Grundlaget

Procent, decimaltal og brøk

Procent betyder hundrededele. Ordet kommer af latin og betyder “for hvert hundrede”, og i aviser står der tit pct. i stedet for %. 100 % er det hele, altså tallet 1. Vil du skrive en procent som decimaltal, dividerer du derfor med 100, og vil du den anden vej, ganger du med 100: 37,5 % er 0,375, og 0,04 er 4 %.

Procent bruges på to måder, og du skal kunne skelne mellem dem. En andel er en del af et hele, fx 75 % af klassen, og den ligger som regel mellem 0 % og 100 %. En ændring er en stigning eller et fald i forhold til et udgangspunkt, og den kan godt være negativ eller over 100 %. Stiger et tal med 100 %, bliver det dobbelt så stort. Stiger det med 250 %, bliver det 3,5 gange så stort.

To grundformler

Procent af et tal, og hvor mange procent

Næsten alt i procentregning bygger på to små formler. Den første finder en del af et tal, den anden finder, hvor stor en del et tal er af et andet.

Formel: p % af K = p/100 · K

Sig det: p procent af K er p hundrededele gange K.

Eksempel: 35 % af 260 kr. er 0,35 · 260 = 91 kr.

Formel: a udgør a / b · 100 % af b

Sig det: a divideret med b, gange hundrede procent.

Eksempel: 18 af 24 elever har afleveret. 18 / 24 = 0,75, så 75 % har afleveret.

Spørg altid dig selv, hvad der er det hele, altså de 100 %. I det sidste eksempel er det klassen på 24, ikke de 18, der har afleveret. Vælger du det forkerte hele, får du et forkert tal, selv om regnestykket er rigtigt.

Vækst

Vækstrate og fremskrivningsfaktor

Når et tal ændrer sig med en procent, kan du regne ændringen ud for sig og lægge den til. Men det er hurtigere at gange med én faktor. Vækstraten r er procenten skrevet som decimaltal, r = p/100, og et fald giver en negativ vækstrate. Fremskrivningsfaktoren er 1 + r.

Formel: F = 1 + r, og omvendt r = F − 1

Sig det: F er én plus r, og r er F minus én.

Hvorfor virker det? Læg r · B til B, og sæt B uden for en parentes: S = B + r · B = B · (1 + r). Formlen siger altså det samme som “læg procenten til”, bare i ét skridt. Er F større end 1, stiger tallet. Ligger F mellem 0 og 1, falder det.

Regn med

Find slutværdien, ændringen eller startværdien

S = B · (1 + r) har tre størrelser. Kender du to af dem, kan du finde den tredje. De fleste opgaver i procentregning er netop en af de tre.

To slags ændring

Absolut og relativ ændring

En ændring kan måles på to måder. Den absolutte ændring er S − B, målt i det, du tæller: kroner, elever eller tons. Går tallet ned, får du et resultat med minus foran. Den relative ændring er ændringen i forhold til udgangspunktet, (S − B) / B, og den skrives i procent. Det er den, man kalder den procentvise ændring.

Formel: (S − B) / B = S / B − 1

Sig det: S minus B, divideret med B, er det samme som S divideret med B, minus én.

De to skrivemåder giver samme tal, fordi (S − B) / B = S / B − B / B, og B / B er 1. Den første viser, hvad der sker. Den anden er hurtigere at taste.

Samfundsfag og matematik

Procent og procentpoint

Når to procenttal sammenlignes, er der to forskellige svar. Forskellen mellem dem måles i procentpoint. Ændringen i forhold til udgangspunktet måles i procent.

Eksempel: Andelen af eleverne på en skole, der cykler i skole, falder fra 40 % til 30 %. Det er et fald på 10 procentpoint, fordi 40 − 30 = 10. Men det er et fald på 25 %, fordi 10 / 40 = 0,25. Skriver du “faldet med 10 %”, er det forkert.

I samfundsfag møder du det især i meningsmålinger. Går tilslutningen til et lovforslag fra 20 % til 24 %, er det en fremgang på 4 procentpoint og på 20 %. Den statistiske usikkerhed opgives også i procentpoint: står forslaget til 24 % med en usikkerhed på 3 procentpoint, kan man som regel være 95 % sikker på, at den rigtige andel ligger mellem 21 % og 27 %. Vejledningen til samfundsfag A bruger procentpoint på samme måde.

Skal du læse en hel tabel med procenter, så brug trinene i tabellæsning i samfundsfag.

Gang, læg ikke sammen

Flere ændringer efter hinanden

Ændrer et tal sig flere gange, ganger du fremskrivningsfaktorerne. Du må ikke lægge procenterne sammen, fordi hver ny ændring regnes af et nyt tal.

Formel: S = B · F₁ · F₂ · F₃

Sig det: S er B gange F et gange F to gange F tre.

Eksempel: En aktie stiger 50 % og falder bagefter 50 %. Lægger du sammen, får du 0 %. Ganger du, får du 1,5 · 0,5 = 0,75. Aktien er altså 25 % mindre værd end fra start, fordi faldet blev regnet af den højere kurs.

Eksempel: En pris stiger 12 %, falder 15 % og stiger 6 %. 1,12 · 0,85 · 1,06 ≈ 1,009, så prisen er samlet steget ca. 0,9 %. Summen 12 − 15 + 6 = 3 ville have givet 3 %.

Er det den samme ændring hver gang, bliver produktet en potens: efter n perioder er S = B · (1 + r)ⁿ. Det er en eksponentiel funktion, f(x) = b · aˣ, hvor b er startværdien, og a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren. Sig det: f af x er b gange a i x’te. Derfor hænger procentregning og eksponentielle funktioner sammen; se noten om eksponentiel vækst i noter til matematik.

Over flere perioder

Gennemsnitlig vækstrate

Den gennemsnitlige vækstrate er den faste procent, der giver samme samlede ændring over n perioder. Du finder den ved at tage den n’te rod af den samlede fremskrivningsfaktor.

Formel: r = ⁿ√(S / B) − 1

Sig det: r er den n’te rod af S divideret med B, minus én. I regneark og CAS skriver du (S / B)^(1 / n) − 1.

Eksempel med rigtige tal: Danmarks Statistiks forbrugerprisindeks (årsgennemsnit, 1900 = 100) var 7.260 i 2021 og 8.343 i 2025. Det er 4 år, så r = ⁴√(8.343 / 7.260) − 1 ≈ 0,035. Priserne steg i gennemsnit ca. 3,5 % om året. Kontrol: 7.260 · 1,035⁴ ≈ 8.331, og med flere decimaler i r rammer du 8.343.

Hvorfor tager du ikke gennemsnittet af de årlige stigninger? De var 7,7 %, 3,3 %, 1,4 % og 1,9 %, og gennemsnittet er ca. 3,6 %. Det er tæt på, men det er ikke den gennemsnitlige vækstrate, og forskellen vokser, når ændringerne svinger meget. Aktien, der steg 50 % og faldt 50 %, har et gennemsnit på 0 %, men en gennemsnitlig vækstrate på √0,75 − 1 ≈ −0,134, altså et fald på ca. 13,4 % pr. periode.

Antal perioder

Hvor mange perioder? Find n

Nogle gange kender du både B, S og r og skal finde antallet af perioder. Hvor længe går der, før en pris er fordoblet, hvis den stiger 4 % om året? Du skal løse 1,04ⁿ = 2.

Formel: n = log(S / B) / log(1 + r)

Sig det: n er logaritmen til S divideret med B, divideret med logaritmen til én plus r.

Her er n = log(2) / log(1,04) ≈ 17,7. Efter 17 år er prisen 1,95 gange så høj, efter 18 år 2,03 gange. Den er altså fordoblet i løbet af det 18. år.

Vejledningen til matematik C nævner netop logaritmen som vejen til at løse en ligning som aˣ = c, og på B og A står log og ln i kernestoffet. Du kan også løse ligningen i dit CAS-værktøj; skriv så ligningen og løsningen i besvarelsen, som beskrevet i CAS i matematik.

Rente

Renteformlen og renters rente

Renteformlen er procentregning med samme vækstrate i hver termin. K₀ er beløbet, du starter med, r er renten pr. termin, og n er antallet af terminer. Formlen kaldes også kapitalfremskrivningsformlen.

Formel: Kₙ = K₀ · (1 + r)ⁿ

Sig det: K n er K nul gange parentes én plus r i n’te.

Taleksempel: Du sætter 5.000 kr. på en konto med 2 % rente om året og rører dem ikke i tre år.

Andet år får du rente af 5.100 kr., ikke af 5.000 kr. Renten giver selv rente, og det kalder man renters rente eller rentes rente. Med simpel rente ville du kun få rente af de 5.000 kr., 100 kr. om året, og stå med 5.300 kr. efter tre år. Forskellen er 6,04 kr., men den vokser hvert år. Ifølge Lex regnes renten næsten altid sådan på de finansielle markeder.

Tilskrives renten hver måned, bruger du månedens rente som r og antallet af måneder som n. Renten skal altid passe til terminen.

Samfundsfag

Indekstal

Et indekstal viser en talrække i forhold til ét bestemt år, basisåret. Basisåret får tallet 100, og alle andre år regnes om til, hvor mange procent de er af basisåret. Så kan du se udviklingen med det samme, også når tallene er store eller har forskellige enheder.

Formel: indekstal = værdien i året / værdien i basisåret · 100

Sig det: indekstallet er årets værdi divideret med basisårets værdi, gange hundrede.

Indekstallet minus 100 er den procentvise ændring, men kun i forhold til basisåret. Indeks 92 betyder 8 % under basisåret. Mellem to andre år skal du regne den procentvise ændring i indekstallene.

Formel: (I₂ − I₁) / I₁ · 100 %

Sig det: I to minus I et, divideret med I et, gange hundrede procent.

Går indekset fra 110 til 121, er stigningen 11 / 110 = 10 %, ikke 11 %. Beviset for, at det virker, står i panelet nedenfor.

Vælg et normalt basisår. Lex anbefaler et år, der kan betragtes som normalt for perioden, og ikke et år, hvor tallet var præget af noget særligt som en strejke, en krise eller ekstremt vejr. Vælger du et år med et usædvanligt lavt tal, ser alle de andre år kunstigt høje ud. Ofte bruger man bare det første år i rækken.

Rigtige tal

Indekstal med rigtige tal: forbrugerprisindekset

Forbrugerprisindekset følger de priser, forbrugerne betaler for varer og tjenester, og den årlige ændring i procent kaldes inflationsraten. I Danmarks Statistiks tabel PRIS8 er 1900 basisår. I 2025 står indekset på 8.343, så priserne er ca. 83 gange så høje som i 1900. Tabellen her har regnet de seneste fem år om, så 2021 er basisår.

Omregningen er formlen fra før: 7.819 / 7.260 · 100 ≈ 107,7. Fra 2021 til 2025 steg priserne altså 14,9 %. Fra 2024 til 2025 er stigningen ikke de 2,1, som 114,9 − 112,8 giver, men 114,9 / 112,8 − 1 ≈ 1,9 %. Det er præcis den inflation, Danmarks Statistik selv opgiver for 2025 i tabel PRIS9.

Samme fælde gemmer sig i de nyeste månedstal. I tabel PRIS01 er 2025 basisår: gennemsnittet af årets tolv måneder er 100. I august 2026 stod indekset på 102,58. Det betyder, at priserne var 2,58 % over gennemsnittet for 2025, ikke at inflationen var 2,58 %. Inflationen måles mod samme måned året før, og i august 2025 stod indekset på 100,52, så 102,58 / 100,52 − 1 ≈ 2,0 %. Det er også det tal, tabellen selv viser som ændring i forhold til samme måned året før.

Finder du et forbrugerprisindeks med 2015 = 100, er det den ældre tabel PRIS111, som slutter med december 2025. Skriv altid tabellens navn, basisåret og den dag, du hentede tallene, når du bruger dem i en opgave.

Excel og regneark

Procentregning i regneark

I samfundsfag laver du som regel beregningerne i et regneark, og på matematik B og A må du bruge det i anden delprøve. Formlerne er de samme som på papir. Du skriver dem bare med cellernes navne. Står årene i kolonne A og værdierne i kolonne B, med første år i række 2, ser det sådan ud i Excel:

Resultatet af den første formel er et decimaltal, fx 0,15. Vælg procentformatet på fanen Hjem, så viser cellen 15 %. Dollartegnet i $E$1 og B$2 låser cellen eller rækken, så formlen bliver ved med at pege på vækstraten eller basisåret, når du trækker den ned gennem kolonnen. Tegnet ^ betyder “opløftet i”.

I samfundsfag skal resultaterne stå i en tabel og et diagram. Udvikling over tid vises som regel som en kurve. Har du to talrækker med forskellige enheder, fx priser i kroner og antal solgte varer, kan du regne begge om til indekstal med samme basisår. Så starter begge kurver i 100, og du kan sammenligne dem i ét diagram.

Prøven

Til prøven

På matematik C er prøven mundtlig. Du trækker et af mindst 8 eksamensspørgsmål og får ca. 24 minutters forberedelse og ca. 24 minutters eksamination. Procent- og rentesregning kan være et af spørgsmålene, og vejledningen lægger op til, at du begrunder renteformlen med et taleksempel.

På B og A er der en skriftlig prøve på 4 timer (B) og 5 timer (A). I første delprøve må du kun bruge formelsamlingen, så fremskrivningsfaktorer som 1,15 og 0,92 skal du kunne regne med i hånden. Den mundtlige prøve tager udgangspunkt i et fortrinsvis teoretisk spørgsmål med vægt på ræsonnement og bevisførelse. Øv derfor beviset for renteformlen.

I samfundsfag bruger du procentregningen, når du selv skal regne på tal fra en tabel: procentvis vækst, procentandele og indekstal. Se prøveformerne i eksamen i matematik og eksamen i samfundsfag.

Øv dig

Opgaver med facit

Regn opgaverne i hånden, som i første delprøve, og fold facit ud bagefter. Facit viser mellemregningerne, så du kan se, hvor du eventuelt gik galt. Opgave 8, 9 og 10 kræver en lommeregner eller et CAS-værktøj.

Se forskellen

Fejl, der koster