Faglige mål i matematik A, forklaret
Du står ved tavlen til mundtlig eksamen med et spørgsmål om differentialregning, og censor skriver noget ned, mens du taler. Det, der bliver bedømt, står ikke i din lærebog. Det står i læreplanens tolv faglige mål, og dem er der sjældent nogen, der har vist dig.
Af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie
På denne side
- Det, du bliver bedømt efter
- 1. Du skal forklare og bruge stoffet
- 2. Du skal kunne føre et bevis
- 3. Du skal beherske symbolsproget
- 4. Du skal kunne skifte repræsentation
- 5. Du skal kunne dit digitale værktøj
- 6. Du skal bruge matematik på virkeligheden
- 7. Du skal diskutere modellens rækkevidde
- 8. Du skal kunne læse matematik
- 9. Du skal formidle klart og dokumenteret
- 10. Du skal sætte matematik i sammenhæng
- 11. Du skal undersøge og vurdere selv
- 12. Du skal kende fagets metode
- Sådan vejer det ved prøven
- Sådan bruger du målene i morgen
Fra censorstolen
Det, du bliver bedømt efter
Når jeg sidder som censor, lægger jeg ikke rigtige svar sammen til en karakter. Læreplanen siger, at bedømmelsen er en vurdering af, i hvilken grad din præstation opfylder de faglige mål, og at der gives én karakter ud fra en helhedsvurdering. Det gælder både skriftligt og mundtligt. Målene er ikke en beskrivelse af undervisningen. De er selve målestokken.
Ikke alle tolv mål er i spil samme dag. Ved den skriftlige prøve vægtes syv af dem. Ved den mundtlige prøve fire: at redegøre for grundlæggende begreber, teorier og metoder, at gennemføre ræsonnementer og vise kendskab til teoriens opbygning, at bruge symbol- og formelsproget og at formidle et emne. De øvrige mål arbejder du med gennem de tre år, blandt andet i studieretningsprojektet.
Mål 1-3
Teorien og symbolsproget
De tre mål er matematikken indefra: hvad begreberne betyder, hvorfor sætningerne gælder, og hvordan du skriver det ned. Tre af den mundtlige prøves fire mål ligger her.
Mål 1 af 12 · læreplanens ord
1. Du skal forklare og bruge stoffet
“redegøre for et bredt udvalg af matematiske begreber, teorier og metoder samt kunne anvende dem i problemløsning og modellering”
Redegøre lyder som noget, du bare siger. Vejledningen er mere præcis: du skal kunne forklare hvorfor og hvordan et bestemt begreb, en teori eller en metode bruges i netop den situation, du står i, og du skal kunne bruge den bagefter. Du kender formlen for en eksponentiel funktion. Målet handler om, at du også kan sige, hvorfor lige den model passer til en bakteriekultur, der fordobles med jævne mellemrum, og derefter regne fordoblingskonstanten ud. Bredt udvalg betyder, at det gælder på tværs af alle hovedområder, ikke kun det stof, du har haft sidst.
Sådan viser du det: Til den mundtlige prøve forklarer du undervejs, hvorfor du vælger netop den sætning eller metode, i stedet for bare at bruge den. Skriftligt skriver du en linje om, hvad du gør og hvorfor, før du regner.
✗ For f(x) = x^3 + 3x^2 er f'(x) = 3x(x + 2). Differentialkvotienten f'(x) er hældningen af tangenten i røringspunktet, og man finder den ved at differentiere forskriften efter reglerne.
✓ For f(x) = x^3 + 3x^2 er f'(x) = 3x(x + 2), som er nul i x = -2 og i x = 0. Tangentens hældning er positiv før x = -2, negativ mellem x = -2 og x = 0 og positiv igen efter x = 0. Fordi fortegnet for f'(x) skifter fra plus til minus i x = -2 og fra minus til plus i x = 0, har grafen lokalt maksimum i x = -2 og lokalt minimum i x = 0.
Begge versioner har samme funktion og samme f'(x). Den første stopper ved definitionen. Den anden bruger fortegnet for f'(x) til at afgøre, hvad grafen gør, og det er anvendelsen, censor kan bedømme.
Mål 2 af 12 · læreplanens ord
2. Du skal kunne føre et bevis
“følge og gennemføre matematiske ræsonnementer og beviser og derigennem demonstrere viden om opbygningen af matematisk teori”
Matematik på A-niveau er bygget deduktivt: definitioner først, så sætninger, så beviser. En sætning består af en præmis og en påstand, og en fyldestgørende præsentation indeholder begge dele. Vejledningen skriver, at du som hovedregel skal møde matematiske argumenter for alle faglige påstande i faget. Tag sinusrelationen. Du opfylder ikke målet ved at kunne bruge den på en trekant. Du opfylder det, når du kan udlede den ved tavlen, sige hvad der er forudsat, og forklare hvorfor det ene skridt følger af det andet.
Sådan viser du det: Gennemgå beviset ved tavlen, og sig sætningens forudsætninger højt, før du går i gang. Vis derefter, at du kan følge et argument videre, når censor spørger ind til noget, du ikke havde forberedt.
✗ Man må gerne lægge logaritmerne sammen, når tallene ganges, det står i formelsamlingen, og jeg har tjekket det efter med 10 og 100.
✓ log(a) + log(b) = log(a*b), fordi 10^(log(a) + log(b)) = 10^log(a) * 10^log(b) = a*b, og det tal, man opløfter 10 i for at få a*b, er netop log(a*b).
Den anden fører hvert skridt tilbage til definitionen af logaritmen. Den første henviser til en formelsamling, og en henvisning er ikke et bevis.
Mål 3 af 12 · læreplanens ord
3. Du skal beherske symbolsproget
“forstå og anvende matematisk symbol- og formelsprog”
Matematisk tekst er tæt pakket med symboler, og du skal kunne både læse dem og bruge dem selv. Det gælder mængdenotation, intervaller og betegnelserne for talmængderne N, Z, Q og R. Et udtryk som C = [5;uendelig[ skal give mening med det samme, også når det står midt i en opgavetekst. Ved den skriftlige prøve viser du målet i det små. Skriver du løsningen til f'(x) > 0 som et interval i stedet for en sætning på dansk, har du gjort det, der bliver kigget efter. Bagest i formelsamlingen står en liste over standardsymbolerne.
Sådan viser du det: Skriv dine svar med korrekt notation, også når du har travlt: intervaller som intervaller, mængder som mængder, funktioner med argument. Brug de samme symboler mundtligt, når du taler dig gennem et bevis.
✗ Jeg integrerer x^2 + 1 = 1/3x^3 + x = 9 + 3 = 12, så arealet under grafen er 12.
✓ Arealet er integralet fra 0 til 3 af (x^2 + 1) dx = [x^3/3 + x] med grænserne 0 og 3. Den nedre grænse giver 0, så arealet er 9 + 3 = 12.
Den anden sætter dx, grænser og stamfunktion, hvor de hører til, og bruger kun lighedstegn mellem lige store størrelser. Den første er en notatkæde.
Mål 4-6
Værktøjerne og anvendelsen
Her flytter du matematikken: fra en form til en anden, ind i dit digitale værktøj og ud i andre fag og i din omverden.
Mål 4 af 12 · læreplanens ord
4. Du skal kunne skifte repræsentation
“vælge, benytte og oversætte mellem repræsentationer af matematiske objekter”
Den samme sammenhæng kan stå på flere måder: som en forskrift, som en graf, som et datasæt eller som en ligning. Målet er, at du kan vælge den form, opgaven kalder på, og oversætte mellem dem uden at tabe noget undervejs. Vejledningen nævner fire steder, hvor det især gælder: funktioner og deres grafer, samspillet mellem f og f’, geometriske figurer som tegning eller parameterfremstilling, og stokastiske fænomener som data, diagram eller sandsynlighedsmodel. Ser du, at grafen for f’ ligger under x-aksen, og kan du oversætte det til, at f er aftagende, og videre til et monotoniinterval skrevet med symboler, så har du målet.
Sådan viser du det: Læg en graf, en tabel eller en figur ind, hvor den støtter dit svar, og skriv eller sig, hvad man skal se på den. En figur uden en sætning om, hvad den viser, tæller ikke som en oversættelse.
✗ På grafen kan man se, at antallet vokser hurtigt, og at kurven starter omkring 3 og bliver ved med at stige derefter.
✓ Grafen går gennem (0, 3) og (5, 96), så begyndelsesværdien er 3, og 3 * a^5 = 96 giver a = 2. Forskriften er f(x) = 3 * 2^x, og tabellen viser samme fordobling pr. trin.
Den anden oversætter to punkter på grafen til en forskrift og videre til tabellen. Den første beskriver kun, hvordan kurven ser ud.
Mål 5 af 12 · læreplanens ord
5. Du skal kunne dit digitale værktøj
“anvende digitale værktøjer til modellering og matematisk problemløsning”
Det her mål bliver prøvet direkte i delprøve 2, hvor du har alle hjælpemidler. Du skal kunne lave regression, løse ligninger, tegne grafer og importere data fra et regneark. Og du skal dokumentere, hvad du gjorde, i et omfang, hvor en anden kan genskabe din løsning ud fra din besvarelse. Læg mærke til to formuleringer i opgavesættet. “Bestem ved beregning” betyder, at svaret skal bygge på et formeludtryk kombineret med en kommando som solve. “Bestem ved aflæsning” betyder, at du skal aflæse præcist på en graf med en indbygget kommando. De to ting er ikke frit valg.
Sådan viser du det: Skriv i delprøve 2 præcis, hvilken kommando du brugte, og hvad du gav den som input. Læs opgaveordlyden efter for beregning eller aflæsning, før du vælger metode.
✗ Jeg tastede det hele ind i Maple og fik x = 5,06, så svaret på opgaven er 5,06.
✓ Jeg løste 3 * 2^x = 100 med solve i Maple og fik x = 5,06. Overslaget bekræfter det: 3 * 2^5 = 96, altså lige under 100, så løsningen skal ligge lige over 5.
Den anden viser ligningen, kommandoen og et overslag, der kontrollerer maskinens svar. Den første efterlader læseren uden at vide, hvad der blev løst.
Mål 6 af 12 · læreplanens ord
6. Du skal bruge matematik på virkeligheden
“benytte matematik som middel til at formulere, analysere og løse problemer inden for faget selv eller andre fagområder og i relation til omverdenen”
Det her mål peger på studieretningsprojektet og på det forløb, der forbereder dig til det. Du kan skrive SRP i matematik sammen med et andet fag eller i matematik alene, hvis problemstillingen egner sig til det. Kernen er, at du ved, hvad matematik bidrager med, når det møder noget andet. Arbejder du med indkomstfordeling sammen med samfundsfag, er det matematikken, der leverer regressionen og usikkerheden, og samfundsfaget, der leverer forklaringen på, hvorfor kurven ser sådan ud. Du skal kunne holde de to ting fra hinanden og alligevel binde dem sammen.
Sådan viser du det: Skriv i din SRP et afsnit om, hvad matematikken svarer på, og hvad det andet fag svarer på. Til den mundtlige prøve trækker du et eksempel fra et flerfagligt forløb ind, når samtalen åbner for det.
✗ Kulstof-14 bruges til at bestemme alderen på gamle fund, og det er matematik, fordi man regner med halveringstid.
✓ Trækullet indeholder 62 % af det oprindelige kulstof-14. Med halveringstiden 5730 år løser jeg 0,5^(t/5730) = 0,62 og får t = 3950 år, som altså er fundets alder.
Den anden oversætter et fund til en ligning og et tal med enhed. Den første siger, at matematik bliver brugt, uden at bruge den.
Mål 7-9
Modellen og formidlingen
Alle tre står på den skriftlige prøves liste. De handler om at bygge en model, læse en tæt tekst og gøre rede for det, du har fundet.
Mål 7 af 12 · læreplanens ord
7. Du skal diskutere modellens rækkevidde
“opstille, bearbejde og fortolke matematiske modeller til beskrivelse af fænomener inden for forskellige fagområder samt diskutere modellers anvendelse og rækkevidde”
En model er en forenkling, og målet handler lige så meget om forenklingen som om regnearbejdet. Du skal kunne opstille modellen, arbejde med den og fortolke resultatet, og du skal kunne sige, hvor langt den rækker. Vejledningen bruger frit fald som eksempel: først en model med tyngdekraften alene, derefter en model, der tager luftmodstand med. Andre ting, der hører til rækkevidden, er forskellen på at interpolere og ekstrapolere, skjulte variable, hvor to størrelser kun ser ud til at hænge sammen, og usikkerhed i de data, modellen bygger på. Modellering indgår i begge delprøver.
Sådan viser du det: Slut hver modelopgave med to linjer: hvad modellen gælder for, og hvor den holder op med at passe. Skriv det tydeligt, hvis du regner ud over det interval, dine data dækker.
✗ Modellen N(t) = 50 * 1,4^t, hvor t er antal timer, rammer de otte målinger fra de første seks timer, så efter tre døgn er der 1,7 * 10^12 bakterier i skålen.
✓ N(t) = 50 * 1,4^t, hvor t er antal timer, rammer de otte målinger fra de første seks timer, men modellen forudsætter fri næring. Efter tre døgn giver den 1,7 * 10^12 bakterier, og næringen i skålen slipper op forinden.
Begge versioner bygger på de samme otte målinger. Den anden navngiver forudsætningen om fri næring og siger, hvor modellen holder op med at gælde. Den første regner videre, som om den gjaldt for evigt.
Mål 8 af 12 · læreplanens ord
8. Du skal kunne læse matematik
“læse og bearbejde tekster med matematikfagligt indhold”
Matematiske tekster læses ikke som en roman. Vejledningen kalder det tætte, formeltunge sprog en barriere i sig selv og skriver, at det stiller andre krav til tempo, til refleksion undervejs og til genlæsning end mange andre fag. Målet er, at du selv kan tilegne dig matematisk tekst uden at have fået den forklaret først. Ved den skriftlige prøve møder du det som en opgavetekst på en halv side om en situation fra virkeligheden, hvor du selv skal finde ud af, hvad der er variabel, hvad der er givet, og hvad der bliver spurgt om.
Sådan viser du det: Læs opgaveteksten to gange, og streg de tal og betingelser under, der skal med i modellen, før du regner. Sæt farten ned, når teksten er tæt, i stedet for at læse videre og gætte.
✗ I artiklen står der en formel med et integraltegn, som viser, hvor ulige indkomsterne er fordelt i landet.
✓ Artiklen definerer Gini-koefficienten som to gange arealet mellem Lorenz-kurven og linjen y = x. Med L(x) = x^2 er arealet integralet fra 0 til 1 af (x-x^2) dx = 1/6, så Gini bliver 1/3.
Den anden bruger tekstens definition til en udregning. Den første beskriver, hvordan formlen ser ud, og det viser ikke, at den er læst.
Mål 9 af 12 · læreplanens ord
9. Du skal formidle klart og dokumenteret
“formidle emner med matematikfagligt indhold mundtligt og skriftligt”
Formidling er ikke pynt, det giver point. I hvert eneste skriftligt opgavesæt står fire krav øverst: præsentation, dokumentation, figurer og konklusion. Du skal præsentere opgavens matematiske indhold, vise mellemregninger eller forklare din brug af værktøjet, lave tydelige figurer og slutte med en konklusion. Mundtligt handler det om at gennemføre en matematisk argumentation med definitioner, sætninger og beviser inde i. Du må gerne støtte dig til noterne fra forberedelsen, men vejledningen siger klart, at oplæsning eller afskrift direkte fra noterne ikke i sig selv tæller positivt.
Sådan viser du det: Følg de fire krav fra opgavesættet i hvert eneste delspørgsmål, også de korte. Ved tavlen lægger du noterne ned og taler ud fra det, du skriver.
✗ 1500 * 1,03^x = 3000, x = 23,45, så svaret er 23 år, det har jeg regnet ud på lommeregneren.
✓ Jeg vil vide, hvornår beløbet er fordoblet, så jeg løser 1500 * 1,03^x = 3000. Divideret med 1500 giver det 1,03^x = 2, og med logaritmer bliver x = ln(2)/ln(1,03) = 23,4 år.
Den anden siger, hvad der spørges om, og hvorfor hvert skridt følger af det forrige. Den første kan kun læses af den, der allerede har regnet den.
Mål 10-12
Perspektivet og fagets metode
Ingen af dem står på prøvernes lister. Du viser dem undervejs og i studieretningsprojektet: du løfter blikket, vælger metode selv og forklarer, hvordan faget arbejder.
Mål 10 af 12 · læreplanens ord
10. Du skal sætte matematik i sammenhæng
“perspektivere matematik gennem eksempler med udgangspunkt i matematikkens historie eller gennem inddragelse af aspekter af videnskab, teknologi, samfund eller kultur”
Du skal ikke kunne perspektivere alt. Målet siger eksempler, og sådan bliver det også brugt til eksamen: ét sted i din fremlæggelse løfter du blikket ud af matematikken. Det kan være historien bag stoffet. Sandsynlighedsregningen voksede for eksempel ud af spørgsmål om hasardspil i 1600-tallet, længe før nogen brugte den til forsikring eller medicin. Det kan også være teknologi, samfund eller kultur. Pointen i vejledningen er, at matematik er noget, mennesker har udviklet gennem årtusinder, og at faget stadig er i udvikling.
Sådan viser du det: Læg ét perspektiv ind i din mundtlige fremlæggelse, dér hvor det passer til emnet. Ét gennemarbejdet eksempel dækker målet, og du behøver ikke have et til hvert eneste spørgsmål.
✗ Matematik har været vigtigt i mange år, og allerede de gamle grækere brugte matematik til at bygge templer og handle.
✓ Euklid beviste omkring 300 f.v.t. i Elementer, at der findes uendeligt mange primtal. De samme primtal bærer i dag RSA-kryptering, hvor sikkerheden hviler på, at store tal er svære at faktorisere.
Den anden binder et navngivet resultat til en nutidig anvendelse. Den første er en stemning om fortiden uden matematik i.
Mål 11 af 12 · læreplanens ord
11. Du skal undersøge og vurdere selv
“undersøge problemstillinger og udvikle og vurdere løsninger, hvor fagets viden og metoder anvendes”
De andre mål handler om at kunne noget bestemt. Det her handler om, hvad du gør, når der ikke er en opskrift. Du får en problemstilling, du vælger selv metoden, og du vurderer bagefter, om løsningen holder. Vejledningen skriver, at kompetencen navnlig bygges op gennem arbejdet med modellering, og at den er det innovative element i flerfagligt samarbejde og i studieretningsprojektet. Det er også her, du skal kunne skifte spor: virker din første metode ikke, skal du kunne finde en anden i stedet for at gå i stå.
Sådan viser du det: Vis i SRP eller et projekt, hvordan du valgte metode, hvad du forkastede, og hvorfor. Til eksamen siger du, hvad du ville gøre i stedet, hvis den metode, du er i gang med, ikke fører videre.
✗ Jeg prøvede mig frem med forskellige mål og fandt, at 12 gange 8 meter gav et stort areal, så det valgte jeg.
✓ Med 40 meter hegn er A(x) = x(20-x), og A'(x) = 20-2x er nul for x = 10. Da A”(x) = -2, er der maksimum: 10 gange 10 meter giver 100 kvadratmeter mod 96 ved 12 gange 8.
Den anden undersøger med fagets metode og vurderer resultatet mod et alternativ. Den første prøver sig frem og kan ikke vide, om noget slår det valgte.
Mål 12 af 12 · læreplanens ord
12. Du skal kende fagets metode
“demonstrere viden om fagets identitet og metoder”
Det her lyder abstrakt, men vejledningen gør det konkret. Du viser målet på to måder: når du forklarer, hvordan et stykke matematisk teori er bygget op af definitioner, sætninger og beviser, og når du i en modellering viser, at du kender samspillet mellem matematik og det andet fag. Der er ikke tænkt et selvstændigt forløb om videnskabsteori. Målet lever inde i de forløb, du alligevel har. Det bliver afgørende i studieretningsprojektet, hvor du skal kunne sige, hvordan matematikkens metode ligner og adskiller sig fra dit andet fags.
Sådan viser du det: Sig i din fremlæggelse, hvad der er definition, hvad der er sætning, og hvad der er bevis, i stedet for at lade det flyde sammen. I SRP skriver du et kort metodeafsnit om matematikkens fremgangsmåde over for dit andet fags.
✗ Matematik er et fag, hvor man regner og bruger formler fra formelsamlingen til at finde det rigtige svar på opgaverne.
✓ Matematik bygger på definitioner og beviser. Når vi har vedtaget, hvad en differentialkvotient er, gælder der for f(x) = x^2, at f'(x) = 2x for alle x, fordi det er bevist ud fra definitionen, ikke fordi vi har afprøvet mange tal.
Den anden viser, hvad der gør faget deduktivt: et bevis gælder i alle tilfælde. Den første beskriver en elevs arbejdsdag.
Bedømmelsen
Sådan vejer det ved prøven
Ved den skriftlige prøve giver pointtallet kun en foreløbig karakter. Derefter vurderes besvarelsen som helhed, og den endelige karakter er en bedømmelse af, hvor meget din besvarelse viser af de faglige mål. Derfor kan to besvarelser med samme pointtal ende forskelligt, hvis den ene formidler klart og den anden ikke gør.
Handling
Sådan bruger du målene i morgen
- Åbn din undervisningsbeskrivelse. Ved hvert forløb står, hvilke faglige mål og hvilket kernestof forløbet dækker. Det er den kobling, dine eksamensspørgsmål bygger på, og den ligger allerede færdig.
- Tag et af de udleverede eksamensspørgsmål og skriv ud for det, hvordan du vil vise hvert af de fire mundtlige mål med netop det spørgsmål. Kan du ikke placere ræsonnement og bevis, ved du, hvor du skal læse.
- Ret din seneste skriftlige aflevering igennem efter de fire ord fra opgavesættet: præsentation, dokumentation, figurer, konklusion. Det er formidlingsmålet oversat til en tjekliste, og det koster point i hvert delspørgsmål.
- Øv et bevis højt uden noter, gerne for en klassekammerat. Oplæsning fra noter tæller ikke i sig selv positivt, og forskellen mærkes med det samme, når du står ved tavlen.
- Skriv to linjer om rækkevidde, hver gang du er færdig med en model: hvad den gælder for, og hvor den holder op med at passe. Det er den halvdel af modelleringsmålet, der let bliver glemt.
Spørgsmål og svar
Om forfatteren
Siden her er skrevet af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie. Alt på Studiekompasset bygger på fagenes læreplaner og vejledninger, og hver side har sine kilder stående nederst. Finder du en fejl, så skriv til mig, og den bliver rettet.
Næste skridt
Prøveformen, tiden og hjælpemidlerne i matematik står samlet på fagets eksamensside.