Geometri og vektorer: metoder til opgaver

Geometri og vektorer: vælg metode til opgaven

Du har punkter, vektorer eller en geometrisk figur og skal finde en vinkel, afstand eller ligning. Begynd med, hvad opgaven spørger efter, og vælg metoden i oversigten. Læs betingelserne, før du regner, og kontrollér resultatet i de oprindelige oplysninger.

Vektorregning og determinantmetoderne hører til matematik A på stx efter 2024-læreplanen. Analytisk plangeometri og optimering behandles på B og A. Grundlæggende trekantberegning indgår også på C. Stoffet på dit hold og den konkrete opgave afgør, hvilke metoder og hjælpemidler du skal bruge.

I formlerne viser fede bogstaver vektorer, fx a og b. Et punkt skrives som et koordinatpar, fx P = (2,3). Vektorer og punkter kan have samme tal som koordinater uden at være samme slags objekt.

Vælg ud fra opgavens ord

Det du skal finde	Første greb	Kontrollér
Vinkel eller vinkelret	Skalarprodukt og vektorlængder	Vektorerne er forskellige fra nulvektoren, når en vinkel skal findes.
Parallel eller areal	Determinant i planen	Retninger er ikke nulvektorer; areal får absolutværdi.
Afstand eller projektion	Forbindelsesvektor, distanceformel eller projektion	Afstanden er ikke-negativ; projektionsretningen er ikke nul.
Linje, cirkel eller skæringspunkt	Ligning eller parameterfremstilling	Objektet er veldefineret, og punktet opfylder alle ligninger.
Størst eller mindst	Begrænsning, målfunktion og ekstremumsundersøgelse	Geometrisk interval, kritiske steder og endepunkter.

Vælg størrelsen først

Prøv selv: En opgave giver to punkter og spørger om afstanden. Skal du begynde med en cirkelligning eller en forbindelsesvektor?

Se forklaring og kontrol

Begynd med B − A og vektorens længde. En cirkelligning bliver relevant, hvis opgaven også giver et centrum og spørger om punkter i en fast afstand fra det.

Vinkel mellem to vektorer

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme vinklen mellem to vektorer eller to linjestykker.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem vinklen mellem a og b.
• Bestem vinklen mellem linjestykket BE og linjestykket CE.

Metode

1. Identificér eller bestem vektorerne

Som det første skal du identificere eller bestemme to vektorer, alt efter om du skal bestemme vinklen mellem to vektorer eller to linjestykker:

• To vektorer: Identificér de to vektorer, som du skal bestemme vinklen mellem.
• To linjestykker: Vinklen ved det fælles endepunkt A findes med vektorerne AB og AC. Aflæs endepunkterne, og træk A’s koordinater fra B’s og C’s koordinater. Begge vektorer skal pege ud fra det hjørne, hvis vinkel du søger.

2. Bestem vinklen

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

cos(v) = (a · b)/(|a| · |b|)

For to vektorer a og b, der begge er forskellige fra nulvektoren, beskriver formlen deres vinkel v. Indsæt koordinaterne, beregn skalarprodukt og længder, og brug arccos. Vælg 0° ≤ v ≤ 180°, hvis du arbejder i grader. Nulvektoren har ingen retning og derfor ingen sådan vinkel.

3. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive vinklen mellem vektorerne afrundet til et passende antal decimaler.

Vinkel og nulvektor

Prøv selv: Find vinklen mellem a = (1,0) og b = (1,1). Kan samme formel bruges med a = (0,0)?

Se forklaring og kontrol

Skalarproduktet er 1, og længderne er 1 og √2. Derfor er cos(v) = 1/√2 og v = 45°. Ved a = (0,0) bliver nævneren 0, og vektorens vinkel er ikke defineret.

Skalarprodukt af to vektorer

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme skalarproduktet af to vektorer i planen.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem skalarproduktet af vektorerne a og b.
• Bestem skalarproduktet af a og b, når t = 1.

Metode

1. Identificér vektorerne

Som det første skal du identificere de to vektorer, som du skal bestemme skalarproduktet af.

I nogle tilfælde indgår der en ukendt konstant (typisk t) i den ene eller begge vektorernes koordinater. I opgaveformuleringen får du givet den værdi af konstanten, som du skal bruge, når du løser opgaven. Aflæs værdien af konstanten, t.

2. Bestem skalarproduktet

Bestem skalarproduktet af vektorerne:

(a₁,a₂) · (b₁,b₂) = a₁b₁ + a₂b₂

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

Hvis der indgår en ukendt konstant, fx t, i en af vektorernes koordinater, så skal du indsætte den værdi af konstanten, som du aflæste i trin 1.

3. Afslut opgaven

Afslut med skalarproduktets værdi. Resultatet er et tal, ikke en vektor. Bevar et eksakt resultat, når input er eksakt; afrund først til sidst, hvis opgaven kræver en tilnærmelse.

Et tal som resultat

Prøv selv: Beregn (2,−3) · (4,1). Hvordan ændres resultatet, hvis den anden vektor vendes om?

Se forklaring og kontrol

2 · 4 + (−3) · 1 = 5. Den modsatte vektor er (−4,−1), og prikproduktet bliver −5. Begge resultater er tal.

Undersøg ortogonale vektorer

Her undersøger du, om to vektorer i planen er ortogonale. For to vektorer forskellige fra nulvektoren betyder det, at vinklen mellem dem er 90°.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Undersøg, om a og b er ortogonale.
• Er de to vektorer ortogonale?

Metode

1. Identificér vektorerne

Som det første skal du identificere de to vektorer.

I nogle tilfælde indgår der en ukendt konstant (typisk t) i den ene eller begge vektorernes koordinater. I opgaveformuleringen får du givet den værdi af konstanten, som du skal bruge, når du løser opgaven. Aflæs værdien af konstanten, t.

2. Bestem skalarproduktet

Bestem skalarproduktet af vektorerne:

(a₁,a₂) · (b₁,b₂) = a₁b₁ + a₂b₂

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

Hvis der indgår en ukendt konstant, fx t, i en af vektorernes koordinater, så skal du indsætte den værdi af konstanten, som du aflæste i trin 1.

3. Afslut opgaven

Du kan afgøre om vektorerne er ortogonale eller ej ved at se på værdien af skalarproduktet:

• Hvis begge vektorer er forskellige fra nulvektoren, og skalarproduktet er 0, står de vinkelret på hinanden. Nulvektoren har også skalarprodukt 0 med enhver vektor og er ortogonal i den algebraiske betydning, men den har ingen retning eller vinkel.
• Hvis skalarproduktet ikke er 0, så er vektorerne ikke ortogonale.

Afslut opgaven ved at konkludere, om vektorerne er ortogonale eller ej.

Kontrollér det rette hjørne

Prøv selv: Er (2,1) og (−1,2) ortogonale? Hvad viser testen for (0,0) og (2,1)?

Se forklaring og kontrol

Prikproduktet er −2 + 2 = 0, og begge første vektorer er forskellige fra nulvektoren, så vinklen er 90°. Nulvektorens prikprodukt er også 0, men der findes ingen vinkel ved nulvektoren.

Bestem t for ortogonale vektorer

Her gennemgår vi, hvordan du kan løse opgaver, hvor du får oplyst, at to vektorer er ortogonale og skal bestemme værdien af den konstant, t, der indgår i den ene eller begge vektorers koordinater.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Vektorerne a og b er ortogonale. Bestem tallet t.
• Bestem t, så vektorerne a og b er ortogonale.

Metode

1. Identificér vektorerne

Du får oplyst, at to vektorer er ortogonale. Som det første skal du identificere de to vektorer. Den ene eller begge vektorers koordinater indeholder en ukendt konstant (typisk t).

2. Bestem t

For to vektorer forskellige fra nulvektoren er vinklen 90°, netop når skalarproduktet er 0. Den algebraiske ortogonalitetsbetingelse er

a · b = 0

Bestem konstanten, t, ved at sætte skalarproduktet af de to vektorer lig med 0 og løse ligningen for t.

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

3. Afslut opgaven

Angiv alle tilladte værdier af t, og indsæt dem i begge vektorer og skalarproduktet. Hvis opgaven handler om retninger eller en vinkel på 90°, skal begge vektorer stadig være forskellige fra nulvektoren.

Find og prøv parameteren

Prøv selv: Bestem t, så (t,2) og (1,−1) er ortogonale. Kontrollér også, at ingen bliver nulvektor.

Se forklaring og kontrol

Prikproduktet er t − 2. Det er 0 ved t = 2. Vektorerne (2,2) og (1,−1) er begge forskellige fra nulvektoren og har prikprodukt 0.

Bestem t for parallelle vektorer

Her gennemgår vi, hvordan du kan løse opgaver, hvor du får oplyst, at to vektorer er parallelle og skal bestemme værdien af den konstant, t, der indgår i den ene eller begge vektorers koordinater.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem de værdier af t, for hvilke vektorerne er parallelle.
• Vektorerne a og b er parallelle. Bestem t.

Metode

1. Identificér de to vektorer

Du får oplyst, at to vektorer er parallelle. Som det første skal du identificere de to vektorer. Den ene eller begge vektorers koordinater indeholder en ukendt konstant (typisk t).

2. Bestem t

For to vektorer i planen, der begge er forskellige fra nulvektoren, er determinanten 0, netop når de er parallelle. Determinanten beregnes som det(a,b) = a₁b₂ − a₂b₁. Den algebraiske betingelse er

det(a,b) = 0

Bestem konstanten, t, ved at sætte determinanten lig med 0 og løse ligningen for t.

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

3. Afslut opgaven

Angiv alle tilladte værdier af t, og kontrollér dem ved indsættelse. Hvis en værdi giver en nulvektor, er determinanten stadig 0, men nulvektoren har ingen retning. Den værdi må ikke bruges som bevis for to parallelle retninger.

Determinant og retning

Prøv selv: Bestem t, så (t,2) og (3,1) er parallelle. Hvad ville det(a,b) = 0 fortælle, hvis a var nulvektoren?

Se forklaring og kontrol

Determinanten er t · 1 − 2 · 3 = t − 6, så t = 6. (6,2) = 2(3,1), hvilket kontrollerer paralleliteten. En nulvektor giver også determinant 0, men har ingen retning.

Areal med determinant og punkter

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme arealet af en trekant eller et parallelogram udspændt af 2 vektorer eller bestemme arealet af en trekant ud fra hjørnepunkternes koordinater.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne a og b.
• I et koordinatsystem i planen er givet to punkter A og B samt en vektor q. Bestem arealet af den trekant, som vektor q og vektor AB udspænder.
• Tre punkter er givet ved B(2,1), C(4,1) og D(3,3). Bestem arealet af trekant BCD.

Metode

1. Identificér punkterne eller vektorerne

Som det første skal du identificere de punkter og/eller vektorer, som du skal bestemme arealet ud fra. Det kan enten være 3 punkter, 2 punkter og en vektor eller 2 vektorer.

Hvis du skal bestemme arealet af en trekant eller et parallelogram udspændt af to vektorer, og du får oplyst begge vektorers koordinater, så kan du gå direkte til trin 3.

2. Bestem vektorerne

Du skal nu bestemme én eller to vektorer, afhængig af, om du skal bestemme arealet af et område udspændt af vektorer eller arealet af en trekant ud fra hjørnepunkternes koordinater:

• Område udspændt af vektorer: Du får typisk koordinaterne til én vektor. Den anden kan være en forbindelsesvektor mellem to punkter, fx PQ. Dens koordinater er Q’s koordinater minus P’s koordinater.
• Trekant ud fra hjørnepunkter: Bestem to vektorer, der udspænder den trekant, som du skal bestemme arealet af. De to vektorer skal have samme startpunkt.

For A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) og C(x_C,y_C) er de to vektorer AB = (x_B − x_A, y_B − y_A) og AC = (x_C − x_A, y_C − y_A). De har samme startpunkt A.

3. Bestem arealet af trekanten eller parallelogrammet

To vektorer AB og AC udspænder en trekant og et parallelogram.

Arealet af trekanten er givet ved

A_trekant = |det(AB,AC)|/2

Arealet af parallelogrammet er givet ved

A_{parallelogram} = |det(AB,AC)|

Bestem determinanten for de to vektorer, og tag dens absolutte værdi. Trekanten har halvdelen af parallelogrammets areal. Hvis punkterne ligger på samme rette linje, er determinanten og arealet 0; der dannes da ingen ikke-degenereret trekant.

4. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive arealet af trekanten eller parallelogrammet afrundet til et passende antal decimaler.

Samme startpunkt, to arealer

Prøv selv: A = (1,1), B = (4,1), C = (1,3). Find trekantens areal, og forklar forskellen til parallelogrammet.

Se forklaring og kontrol

AB = (3,0), AC = (0,2). Determinanten er 6, så trekantens areal er 3 og parallelogrammets 6 kvadratenheder. Ombytning af de to vektorer ændrer determinantens fortegn, men ikke arealet.

Projektion af en vektor

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme projektionen af en vektor på en anden vektor.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem koordinatsættet til projektionen af vektor a på vektor b.
• Bestem koordinatsættet til projektionsvektoren proj_a(b).

Metode

1. Identificér de to vektorer

Som det første skal du identificere to vektorer: den vektor, som du skal projektere, og den vektor, som du skal projektere på.

2. Bestem projektionsvektoren

Projektionen af a på b er givet ved formlen nedenfor, når b ≠ (0,0). Projektionsvektoren ligger på den linje, som b udspænder:

proj_b(a) = ((a · b)/|b|²) · b

Brug vektorerne fra trin 1, og kontrollér, hvilken vektor du projekterer på. En negativ koefficient foran b betyder, at projektionen peger modsat b. Kontrollér resultatet p med (a − p) · b = 0. Nulvektoren kan projekteres på en ikke-nulvektor og giver p = (0,0).

3. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive koordinaterne til projektionsvektoren (afrundet til et passende antal decimaler).

Projektionens fortegn

Hold b = (1,0) fast. Sammenlign de tre tilfælde med p = ((a · b)/(b · b))b. Resten a − p er vinkelret på b i alle tre tilfælde.

a	a · b	Projektion p	Rest a − p
(2,3)	2	(2,0), samme retning som b	(0,3)
(−2,3)	−2	(−2,0), modsat b	(0,3)
(0,3)	0	(0,0), ingen retning	(0,3)

Projektion og rest

Prøv selv: Projekter a = (−2,3) på b = (1,0). Kontrollér restvektorens prikprodukt med b.

Se forklaring og kontrol

Koefficienten er (−2)/1 = −2, så p = (−2,0), modsat b. Resten er (0,3), og (0,3) · (1,0) = 0. Projektion på b = (0,0) ville ikke være defineret.

Afstand mellem to punkter

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme afstanden mellem to punkter i planen, længden af et linjestykke i planen eller længden af en vektor i planen.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem afstanden fra B til Q.
• Bestem afstanden |GT|.
• Bestem længden af vektoren NM.

Metode

1. Aflæs to punkter

Som det første skal du aflæse koordinaterne til to punkter:

• Hvis du skal bestemme afstanden mellem to punkter, så skal du aflæse koordinaterne til de to punkter.
• Hvis du skal bestemme længden af et linjestykke, så skal du aflæse koordinaterne til linjestykkets endepunkter.
• Hvis du skal bestemme længden af en forbindelsesvektor (dvs. en vektor mellem to punkter), så skal du aflæse koordinaterne til start- og slutpunktet.

2. Bestem forbindelsesvektoren

Under trin 1 aflæste du koordinaterne til to punkter, A(x₁,y₁) og B(x₂,y₂). Som det næste skal du bestemme forbindelsesvektoren mellem de to punkter:

AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)

3. Bestem længden af forbindelsesvektoren

Afstanden mellem to punkter, A og B, er den samme som længden af linjestykket AB og længden af forbindelsesvektoren AB:

|AB| = |AB|

Du skal nu bestemme længden af forbindelsesvektoren:

|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

4. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive afstanden mellem punkterne, længden af linjestykket eller længden af vektoren (alt efter hvad der spørges efter i opgaveformuleringen).

Husk enheden, hvis der er oplyst en enhed i opgaven.

Afstandens fortegn

Prøv selv: Find afstanden mellem A = (−1,2) og B = (2,6). Giver B til A en anden afstand?

Se forklaring og kontrol

AB = (3,4), så afstanden er √(9 + 16) = 5. BA = (−3,−4) har også længden 5. Retningen ændres, men afstanden er ikke-negativ og den samme.

Afstand fra punkt til linje

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme afstanden mellem et punkt og en linje. Vejledningen kan bruges, uanset om linjens ligning er på formen y = ax + b eller ax + by + c = 0.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem afstanden fra punktet P til linjen l.
• Benyt en formel til at bestemme afstanden fra P til l.
• Bestem afstanden fra cirklens centrum C til linjen t, der er tangent til cirklen.

Metode

1. Aflæs punktets koordinater

Som det første skal du aflæse koordinaterne til det punkt, som du skal bestemme afstanden fra. Punktets koordinater er typisk givet i opgaveformuleringen eller bestemt i en tidligere delopgave.

2. Aflæs linjens ligning

Du skal nu aflæse en ligning for den linje, som du skal bestemme afstanden til. Linjens ligning er typisk givet i opgaven.

Omskriv eventuelt linjen til Ax + By + C = 0, hvor A og B ikke begge er 0. Den form omfatter også lodrette linjer som x = 3. En lodret linje kan ikke skrives som y = ax + b.

3. Bestem afstanden fra punktet til linjen

For P(x₀,y₀) og linjen Ax + By + C = 0 er afstanden d = |Ax₀ + By₀ + C|/√(A² + B²). Absolutværdien gør afstanden ikke-negativ. For y = ax + b bliver formlen d = |ax₀ − y₀ + b|/√(a² + 1).

4. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive afstanden fra punktet til linjen afrundet til et passende antal decimaler. Husk enheden, hvis der er nævnt en enhed i opgaven.

En lodret linje

Prøv selv: Find afstanden fra P = (−2,3) til x = 1. Hvad gør du med ligningen 0x + 0y + 1 = 0?

Se forklaring og kontrol

Linjen er x − 1 = 0, så d = |−2 − 1|/√1 = 3. Den anden ligning har A = B = 0 og er ikke en linje; distanceformlen kan ikke bruges.

Bestem linjens ligning

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme en ligning for en linje.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Linjen l går gennem punktet A. Bestem en ligning for linjen l.
• Bestem en ligning for linjen l på formen ax + by + c = 0.

Metode

1. Identificér to punkter eller et punkt og en vektor

Som det første skal du aflæse én af følgende tre ting:

• to forskellige punkter på linjen. Det samme punkt gentaget bestemmer ikke en entydig linje.
• et punkt på linjen og en retningsvektor forskellig fra nulvektoren.
• et punkt på linjen og en normalvektor forskellig fra nulvektoren.

Hvis du har aflæst et punkt og en normalvektor, så kan du gå direkte til trin 3.

2. Bestem en normalvektor

Du skal nu bestemme en normalvektor for linjen. Fremgangsmåden afhænger af, om du har aflæst to punkter på linjen eller ét punkt og en retningsvektor:

• To punkter: Bestem forbindelsesvektoren mellem de to punkter. Du bestemmer forbindelsesvektoren mellem to punkter, A(x_A,y_A) og B(x_B,y_B), ved at trække startpunktets koordinater fra slutpunktets koordinater:

AB = (x_B − x_A, y_B − y_A)

Til en retningsvektor r = (r₁,r₂) kan du vælge tværvektoren n = (−r₂,r₁) som normalvektor. Kontrollen r · n = 0 viser, at de står vinkelret. Da punkterne er forskellige, er begge vektorer forskellige fra nulvektoren.

• Punkt og retningsvektor: Brug n = (−r₂,r₁) som normalvektor til den givne ikke-nulvektor r. Den modsatte normalvektor giver den samme linje.

3. Bestem en ligning for linjen

I de forrige trin har du aflæst mindst ét punkt A(x₀,y₀) på linjen og aflæst eller bestemt en normalvektor n for linjen:

n = (a,b)

Benyt punktets og normalvektorens koordinater til at opstille en ligning for linjen:

a · (x − x₀) + b · (y − y₀) = 0

Benyt evt. dit CAS-værktøj til at omskrive ligningen, så du får en ligning på formen

ax + by + c = 0

4. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive linjens ligning.

Én linje, flere ligninger

Prøv selv: Find en ligning gennem P = (2,1) med retning r = (0,3). Kontrollér normalvektoren.

Se forklaring og kontrol

Vælg n = (−3,0). Prikproduktet med r er 0. Ligningen er −3(x − 2) = 0, altså x = 2. Den er lodret og kan ikke skrives y = ax + b.

Parameterfremstilling for en linje

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme en parameterfremstilling for en linje i planen.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem en parameterfremstilling for den linje, der går gennem punkterne C og D.
• Bestem en parameterfremstilling for l.
• Linjen l går gennem punktet A og er parallel med BC. Bestem en parameterfremstilling for l.

Metode

1. Identificér to punkter eller et punkt og en vektor

Som det første skal du aflæse én af følgende tre ting:

• to forskellige punkter på linjen.
• et punkt og en retningsvektor forskellig fra nulvektoren.
• et punkt og en normalvektor forskellig fra nulvektoren.

Hvis du har aflæst et punkt og en retningsvektor, så kan du gå direkte til trin 3.

2. Bestem en retningsvektor

Du skal nu bestemme en retningsvektor for linjen. Fremgangsmåden afhænger af, om du har aflæst to punkter på linjen eller ét punkt og en normalvektor:

• To punkter: Bestem forbindelsesvektoren mellem de to punkter. Du bestemmer forbindelsesvektoren mellem to punkter, A(x_A,y_A) og B(x_B,y_B), ved at trække startpunktets koordinater fra slutpunktets koordinater:

AB = (x_B − x_A, y_B − y_A)

Forbindelsesvektoren er en retningsvektor for linjen.

• Punkt og normalvektor: Til n = (n₁,n₂) kan du vælge r = (−n₂,n₁) som retningsvektor. Kontrollér n · r = 0. Normalvektoren og retningsvektoren skal være forskellige fra nulvektoren.

3. Bestem en parameterfremstilling

I de forrige trin har du aflæst mindst ét punkt A(x₀,y₀) på linjen og aflæst eller bestemt en retningsvektor r for linjen:

r = (r₁,r₂)

Benyt punktet og retningsvektoren til at bestemme en parameterfremstilling for linjen:

(x,y) = (x₀,y₀) + t · (r₁,r₂)

4. Afslut opgaven

Angiv parameterfremstillingen og parameterens tilladte værdier. t ∈ ℝ giver hele linjen, når r ≠ (0,0). Et lukket, begrænset parameterinterval beskriver et linjestykke. Et interval som t ≥ 0 beskriver en halvlinje. Kontrollér et punkt ved at finde én fælles t-værdi, som giver både dets x- og y-koordinat.

Samme parameter i begge koordinater

Prøv selv: Linjen er (x,y) = (1,2) + t(2,−1). Ligger Q = (5,0) på den? Hvad ændres ved 0 ≤ t ≤ 1?

Se forklaring og kontrol

t = 2 giver både x = 5 og y = 0, så Q ligger på hele linjen. Med 0 ≤ t ≤ 1 beskriver udtrykket kun stykket mellem (1,2) og (3,1); Q er da ikke med.

Vinkel mellem linje og førsteakse

Her bestemmer du vinklen mellem en linje og førsteaksen og skelner mellem den mindste vinkel og en orienteret hældningsvinkel.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem den spidse vinkel v mellem l og førsteaksen.
• Bestem den vinkel, som linjen danner med førsteaksen.
• Bestem linjens hældningsvinkel.

Metode

1. Aflæs linjens ligning og omskriv evt. ligningen

Aflæs først linjens ligning. En ikke-lodret linje kan skrives y = ax + b. En lodret linje x = c danner vinklen 90° med førsteaksen.

Isolér y, hvis linjen ikke er lodret. Ved Ax + By + C = 0 kræver det B ≠ 0. Hvis B = 0 og A ≠ 0, er linjen lodret, og du kan ikke bruge en endelig hældningskoefficient.

2. Aflæs linjens hældningskoefficient

Aflæs linjens hældningskoefficient a i linjens ligning y = ax + b.

3. Bestem hældningsvinklen

Hvis du bruger CAS, skal du angive hele formlen og alle koordinater og kontrollere resultatet i opgavens oprindelige oplysninger. Vælg den krævede vinkelenhed, hvis der indgår vinkler. Kommandoer og menuer afhænger af værktøjet og dets version.

For en ikke-lodret linje er hældningskoefficienten a knyttet til en vinkel v ved

a = tan(v)

arctan(a) giver i grader en hovedværdi mellem −90° og 90°. Den mindste vinkel mellem linjen og førsteaksen er |arctan(a)|. Hvis opgaven bruger en hældningsvinkel i intervallet 0° ≤ v < 180°, lægger du 180° til en negativ hovedværdi. Angiv den konvention, du bruger.

4. Afslut opgaven

Den mindste vinkel er mellem 0° og 90°. Den er 0° for en vandret linje og 90° for en lodret linje, så den er ikke altid spids. For en ikke-lodret linje kan den også beregnes som arctan(|a|).

Angiv den vinkel, opgaven spørger om, og dens vinkelenhed. Skeln mellem den mindste vinkel og en orienteret hældningsvinkel. Afrund først det endelige resultat.

To vinkelkonventioner

Prøv selv: For y = −x + 2: Find den mindste vinkel med førsteaksen og hældningsvinklen i 0° ≤ v < 180°.

Se forklaring og kontrol

arctan(−1) = −45°. Den mindste vinkel er 45°. Hældningsvinklen i det angivne interval er 135°. En lodret linje har vinklen 90°, selv om arctan-formlen ikke kan bruges med en endelig hældning.

Cirklens centrum og radius

Her gennemgår vi, hvordan du kan aflæse en cirkels radius og koordinaterne til cirklens centrum i en ligning for cirklen.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum.
• Bestem centrum C og radius r for cirklen.

Metode

1. Aflæs cirklens ligning

Omskriv ligningen til formen (x − a)² + (y − b)² = k. Hvis ligningen står på udvidet form, kan du fuldføre kvadratet i x og y. En egentlig cirkel kræver k > 0.

(x − a)² + (y − b)² = r²

Aflæs cirklens ligning.

2. Aflæs koordinaterne til centrum

Cirklen givet ved ligningen (x − a)² + (y − b)² = r² har centrum i punktet C(a,b). Aflæs koordinatsættet til centrum i cirklens ligning.

Vær opmærksom på, at der er et minus i hver af parenteserne i ligningen, så hvis en cirkel fx er givet ved ligningen (x − 2)² + (y − 3)² = r², så er koordinatsættet til cirklens centrum C(2,3) og ikke C(−2,−3).

3. Aflæs radius

Hvis udtrykket på højre side af lighedstegnet i cirklens ligning er på formen r², så kan du aflæse cirklens radius r direkte i cirklens ligning. Hvis der fx står 5², så er radius r = 5.

Hvis højre side er et positivt tal k, bestemmer du den positive radius som kvadratroden af k. Ved k = 0 består løsningen kun af centrum; ved k < 0 findes ingen reelle punkter.

r = √k

Hvis der fx står 16, så er radius

r = √16 = 4

4. Afslut besvarelsen

Afslut besvarelsen ved at angive cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum.

Fortegn i centrum

Prøv selv: Find centrum og radius i (x + 2)² + (y − 1)² = 25. Hvad hvis højre side er −1?

Se forklaring og kontrol

Centrum er (−2,1), og radius er 5. Ved højre side −1 findes ingen reelle punkter, fordi summen af to kvadrater ikke er negativ. Ved højre side 0 er centrum det eneste punkt.

Bestem cirklens ligning

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme en ligning for en cirkel, når du kender koordinaterne til cirklens centrum samt cirklens radius, cirklens diameter eller afstanden fra cirklens centrum til en tangent til cirklen.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem en ligning for cirklen C.
• Bestem en ligning for C₁.
• Opstil en ligning for C₂.

Metode

1. Aflæs koordinaterne til cirklens centrum

Som det første skal du aflæse koordinaterne til cirklens centrum (a,b). Koordinatsættet er typisk givet i opgaven, men du kan også have bestemt det i en tidligere delopgave.

2. Aflæs eller bestem cirklens radius

Hvis du får oplyst cirklens radius r i opgaven, så kan du gå videre til trin 3.

Hvis du ikke får oplyst cirklens radius r, så skal du bestemme r. Her kan du se, hvordan du typisk kan bestemme radius:

• Hvis diameteren d er oplyst og d > 0: Bestem radius som

r = d/2

• Hvis en given linje er tangent til cirklen: Radius er den positive afstand fra centrum til tangenten. En vilkårlig linjes afstand til centrum er ikke nødvendigvis cirklens radius.
• Hvis du får oplyst et punkt, der ligger på cirklen: Cirklens radius er afstanden mellem cirklens centrum og punktet på cirklen. Du kan få hjælp til at bestemme afstanden i vejledningen Bestem afstanden mellem to punkter.

3. Afslut opgaven

Cirklen med centrum i (a,b) og radius r er givet ved ligningen

(x − a)² + (y − b)² = r²

Bestem en ligning for cirklen ved at indsætte koordinaterne til cirklens centrum og cirklens radius i ovenstående ligning.

Afslut opgaven ved at angive cirklens ligning.

Radius fra en tangent

Prøv selv: Centrum er (1,2), og x = 4 er en tangent. Opstil cirklens ligning, og kontrollér et punkt.

Se forklaring og kontrol

Afstanden fra centrum til tangenten er 3. Derfor er (x − 1)² + (y − 2)² = 9. Punktet (4,2) ligger både på tangent og cirkel, da 9 + 0 = 9.

Tegn og kontrollér en cirkel

Her kan du få hjælp til at tegne en cirkel i et CAS-værktøj.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Tegn cirklen i et koordinatsystem.
• Tegn cirklen C.

Metode

Som det første skal du aflæse en ligning for den cirkel, som du skal tegne. Cirklens ligning er typisk givet i opgaven.

Tegn ligningen som en implicit kurve, eller brug x = a + r cos(θ), y = b + r sin(θ) for 0 ≤ θ ≤ 2π i radianer og r > 0. Vælg samme skala på begge akser, så en cirkel ikke vises som en ellipse. Kontrollér centrum og de fire punkter (a ± r,b) og (a,b ± r). Menuer og kommandoer afhænger af værktøj og version.

Kontrolpunkter til tegningen

Prøv selv: For centrum (1,−2) og radius 2: Find fire kontrolpunkter, og forklar aksernes skala.

Se forklaring og kontrol

Punkterne er (3,−2), (−1,−2), (1,0) og (1,−4). De ligger alle 2 enheder fra centrum. Én enhed skal have samme tegnede længde på begge akser, ellers ser cirklen oval ud.

Skæringspunkter mellem linjer og cirkler

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme skæringspunkterne mellem to linjer, to cirkler eller en linje og en cirkel.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Skæringspunkterne mellem cirklen og linjen kaldes A og B. Bestem koordinatsættene til A og B.
• Bestem skæringspunktet mellem linjerne.
• Bestem koordinatsættet til punktet A.

Metode

1. Identificér de to linjer/cirkler og deres ligninger eller parameterfremstillinger

Som det første skal du identificere de to linjer og/eller cirkler, som du skal bestemme skæringspunkterne mellem.

I nogle opgaver står der eksplicit, hvilke objekter (linjer/cirkler) du skal bestemme skæringspunkterne mellem. I andre opgaver står der, at du skal bestemme koordinatsættet til et eller flere punkter. Du kan læse ud af opgaven, hvilke objekter der skærer hinanden i de punkter, som du skal bestemme koordinatsættene til.

Hver linje/cirkel er givet ved en ligning eller parameterfremstilling. Aflæs en ligning eller parameterfremstilling for hver linje/cirkel.

Hvis der ikke er givet en ligning/parameterfremstilling for det ene eller begge objekter, så skal du først bestemme en ligning eller parameterfremstilling. Du kan få hjælp til at bestemme en ligning eller parameterfremstilling for en linje i vejledningerne Bestem en ligning for linjen på formen ax + by + c = 0 og Bestem en parameterfremstilling for en linje.

2. Opstil et ligningssystem og løs det

Skæringspunkterne mellem to objekter er de punkter, hvis koordinater opfylder objekternes ligninger/parameterfremstillinger. Fx vil koordinaterne til skæringspunktet mellem to linjer opfylde begge linjers ligninger.

Løs ligningssystemet med en passende algebraisk eller digital metode. Ved en linje y = ax + b kan du indsætte udtrykket for y i cirklens ligning og løse for x; beregn derefter y. Ved to parameterfremstillede linjer skal du bruge hver sin parameter, fx t og s, og sætte både x- og y-koordinater lig hinanden. Et CAS-resultat skal kontrolleres i begge oprindelige ligninger.

3. Afslut opgaven

Skæringspunkternes koordinater er løsningerne til ligningssystemet. Afslut opgaven ved at angive koordinatsættene med almindelig notation, fx (−2,0).

En linje og en egentlig cirkel har 0, 1 eller 2 reelle skæringspunkter. Ét punkt betyder tangering. To forskellige linjer har 0 eller 1 skæringspunkt; sammenfaldende linjer har uendeligt mange. To forskellige cirkler har højst 2 skæringspunkter, mens sammenfaldende cirkler har uendeligt mange. Kontrollér objektets forudsætninger og alle fundne punkter; et grafvindue kan skjule et skæringspunkt.

Samme cirkel, forskellige skæringer

Indsæt linjens y-værdi i x² + y² = 4. Den tilbageværende ligning afgør, hvor mange reelle punkter linjen og cirklen har fælles.

Linje	Ligning efter indsættelse	Fælles punkter
y = 0	x2 = 4	(−2,0) og (2,0)
y = 2	x2 = 0	(0,2), tangent
y = 3	x2 = −5	Ingen reelle skæringspunkter

Ingen, ét eller to punkter

Prøv selv: Undersøg skæringerne mellem x² + y² = 4 og linjerne y = 0, y = 2 og y = 3.

Se forklaring og kontrol

Ved y = 0 fås x = ±2, altså to punkter. Ved y = 2 fås x = 0, altså tangeringen (0,2). Ved y = 3 fås x² = −5 og ingen reelle skæringspunkter. Indsæt hvert fundet punkt i begge ligninger.

Omkreds, areal og volumen

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme omkredsen, arealet eller volumenet (rumfanget) af en geometrisk figur eller opstille et udtryk, der beskriver en figurs omkreds, areal eller volumen

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem omkredsen af figuren, når x = 2 og h = 7.
• Bestem skabets volumen og overfladeareal udtrykt ved længden l og bredden b.
• Opstil et udtryk, der beskriver arealet af skulpturen udtrykt ved r og h.

Metode

1. Identificér de figurer, der indgår i opgaven

Opgaven tager udgangspunkt i én eller flere geometriske figurer. Som det første skal du identificere den eller de figurer, der indgår i opgaven.

2. Identificér figurernes mål og ukendte længder

I nogle opgaver er alle figurernes mål oplyst. I andre opgaver er nogle af målene ukendte. Ukendte længder bliver typisk omtalt med et bogstav, fx kaldes en ukendt højde typisk h.

Du skal identificere de størrelser, der er givet i opgaven, både konkrete mål og ukendte længder (fx r, h eller l).

3. Identificér den eller de formler, som du skal bruge

Som det næste skal du identificere formlen for omkredsen, arealet eller volumenet (alt efter hvad der efterspørges i opgaven) for hver af de geometriske figurer, der indgår i opgaven. Du kan typisk finde formlerne i en formelsamling.

Del en sammensat figur i kendte dele. Arealer eller volumener kan lægges sammen, når delenes indre ikke overlapper. Ved overlap skal det fælles område kun tælles én gang. Omkredsen består af den ydre rand: Fælles kanter mellem delene tælles ikke med.

Ved overfladeareal kan en bagside eller bund være skjult på tegningen. Undersøg, om den er med i den overflade, opgaven spørger om. Areal måles i kvadratenheder og volumen i kubikenheder.

Hvis en halvcirkel er sat på et kvadrats ene side, indgår den fælles side inde i figuren. Den ydre omkreds består derfor af kvadratets tre andre sider og halvcirklens buelængde. Halvcirklens diameter tælles ikke som en ekstra ydre kant.

4. Afslut opgaven

Hvis alle mål er kendte, indsætter du dem i de relevante formler og beregner den efterspurgte omkreds, det areal eller den volumen, opgaven spørger om. Angiv længdeenhed, kvadratenhed eller kubikenhed efter størrelsen.

Hvis nogle mål er ukendte, indsætter du de kendte størrelser og bevarer de ukendte som variable. Resultatet er et udtryk eller en funktion for den efterspurgte størrelse. En ligning opstår, når udtrykket sættes lig med en værdi eller et andet udtryk.

Den fælles kant forsvinder

Prøv selv: Et kvadrat med side 4 får en halvcirkel med diameter 4 på den øverste side. Find den ydre omkreds og det samlede areal.

Se forklaring og kontrol

Omkredsen er 3 · 4 + π · 2 = 12 + 2π længdeenheder. Arealet er 4² + (π · 2²)/2 = 16 + 2π kvadratenheder. Den fælles diameter er indre kant og tælles ikke med i omkredsen.

Optimering af geometriske figurer

Bestem sammenhængen mellem en figurs ukendte mål

Her gennemgår vi, hvordan du kan opstille en ligning, der beskriver sammenhængen mellem en geometrisk figurs ukendte mål.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem s udtrykt ved r.
• Bestem keglens radius r udtrykt ved keglestubbens højde h.

Metode

1. Identificér de ukendte mål

Som det første skal du identificere de to ukendte mål, som du skal bestemme en sammenhæng mellem. Du kan typisk aflæse størrelserne i opgaveformuleringen. Hvis der fx står “Bestem s udtrykt ved h“, så er de to ukendte mål s og h.

2. Identificér den værdi, der er givet i opgaven, og den tilhørende formel

I opgaven får du oplyst figurens omkreds, areal eller volumen.

I mange tilfælde får du også oplyst en formel for figurens omkreds/areal/volumen, eller også har du bestemt formlen i en tidligere delopgave. I formlen indgår de to ukendte mål, som du identificerede under trin 1. Hvis du hverken har fået oplyst eller har bestemt formlen, så kan du bestemme formlen med metoden beskrevet på siden Bestem omkreds, areal eller volumen af en figur.

Indsæt den værdi af omkredsen/arealet/volumenet, som du har fået oplyst, i formlen.

3. Afslut opgaven

Isolér den størrelse, opgaven efterspørger. Ved fx h udtrykt ved s skal h stå alene. Undersøg også, hvilke værdier af s der giver tilladte, positive geometriske mål, og om division eller kvadratrod begrænser definitionsmængden.

Bestem en funktion, der beskriver en figurs omkreds, areal eller volumen

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme en funktion, der beskriver en figurs omkreds, areal eller volumen som en funktion af én af figurens længder.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem figurens omkreds som funktion af sidelængden s.
• Vis, at legehusets volumen kan beskrives ved V(b) = 0,75b² + 13,5b.

Metode

1. Identificér de ukendte mål

I opgaven indgår en figur. To af figurens mål er ukendte. Det kan fx være en højde h og en radius r. Identificér de to ukendte mål.

2. Identificér en formel

Du kan bestemme en funktion, der beskriver figurens omkreds, areal eller volumen (alt efter hvad opgaven efterspørger), ved at tage udgangspunkt i en formel, der beskriver omkredsen/arealet/volumenet.

I mange tilfælde får du oplyst formlen i opgaven, eller også har du bestemt formlen i en tidligere delopgave. I formlen indgår de to ukendte mål, som du identificerede under trin 1. Hvis du hverken får oplyst formlen eller har bestemt den i en tidligere delopgave, så kan du bestemme den med metoden beskrevet på siden Bestem omkreds, areal eller volumen af en figur.

3. Identificér sammenhængen mellem de ukendte mål

Som det næste skal du identificere en ligning, der beskriver sammenhængen mellem de to ukendte mål, som du identificerede under trin 1. Du kan have opstillet ligningen i en tidligere delopgave. Hvis ikke du har opstillet ligningen endnu, så kan du få hjælp til at opstille den i afsnittet Bestem sammenhængen mellem en figurs ukendte mål.

Den af de to ukendte størrelser, der ikke skal indgå i funktionsudtrykket, skal være isoleret på den ene side af lighedstegnet i ligningen. Hvis ikke størrelsen allerede er isoleret, så skal du isolere den.

4. Afslut opgaven

Indsæt udtrykket fra trin 3 i formlen fra trin 2. Resultatet er en funktion af én af de ukendte længder. Angiv det geometrisk tilladte interval; en algebraisk værdi uden for intervallet beskriver ikke figuren.

Hvis du får givet et funktionsudtryk i opgaven og skal vise, at udtrykket er korrekt, så kan det være nødvendigt at reducere det udtryk, som du har opstillet, så det bliver identisk med det, der er givet i opgaven.

Minimér/maksimér en figurs omkreds, areal eller volumen

Her gennemgår vi, hvordan du kan bestemme den værdi af en variabel, der giver en figur den mindste/største omkreds eller det mindste/største areal eller volumen.

Eksempler på opgaveformuleringer

Formuleringerne viser, hvad denne opgavetype beder dig finde:

• Bestem h, så tøndens volumen bliver så stort som muligt.
• Bestem den værdi af s, der gør beholderen mindst mulig, når 0 < s < 10.

Metode

1. Identificér den variable og afgør, hvad du skal minimere/maksimere

Du skal bestemme den værdi af en variabel, der minimerer eller maksimerer en figurs omkreds, areal eller volumen.

Start med at identificere den variable, og aflæs derefter, om det er figurens omkreds, areal eller volumen, der skal minimeres eller maksimeres.

2. Identificér en funktion

Som det næste skal du identificere en funktion, der beskriver figurens omkreds, areal eller volumen (alt efter hvad opgaven efterspørger), og som afhænger af den variabel, som du identificerede under trin 1.

Funktionen kan være givet i opgaven, eller du kan have bestemt den i en tidligere delopgave. Hvis ikke du har fået oplyst eller har bestemt funktionen, så kan du bestemme funktionen med metoden beskrevet i afsnittet Bestem en funktion, der beskriver en figurs omkreds, areal eller volumen.

3. Bestem nulpunkterne for den afledte funktion

Bestem f′, hvor den eksisterer, og find de tilladte løsninger til f′(x) = 0. Undersøg desuden indre punkter, hvor f er defineret, men ikke differentiabel, og de endepunkter, som tilhører definitionsmængden. Alle disse steder kan være kandidater til et globalt ekstremum. For en arealfunktion begynder den stationære undersøgelse med

A‘(x) = 0

Du kan se bort fra eventuelle løsninger, der ligger uden for funktionens definitionsmængde.

4. Bestem differentialkvotientens fortegn omkring nulpunktet

Undersøg fortegnet for den afledte på hvert interval mellem kritiske punkter og eventuelle brud. Brug fx faktorisering og en fortegnstabel. Ét tilfældigt testpunkt kan fastlægge et intervals fortegn, når du allerede har vist, at fortegnet ikke skifter inde i intervallet. To tilfældige funktionsværdier alene beviser ikke monotoniforholdene.

• Hvis den afledte er positiv til venstre og negativ til højre for et stationært punkt, er punktet et lokalt maksimumssted: Funktionen går fra voksende til aftagende.
• Hvis den afledte er negativ til venstre og positiv til højre, er punktet et lokalt minimumssted: Funktionen går fra aftagende til voksende.

At f′(x) = 0 er ikke tilstrækkeligt til et ekstremum. Fx er x = 0 stationært for f(x) = x³, men funktionen vokser på begge sider. Hvis der er flere kandidater, sammenligner du deres funktionsværdier og undersøger resten af definitionsmængden.

På et lukket interval sammenligner du værdierne i relevante kritiske punkter og begge endepunkter, når funktionen er kontinuert på intervallet. På et åbent eller halvlukket interval undersøger du også grænseadfærden ved de udelukkede endepunkter. En værdi, der kun nærmes ved et udelukket endepunkt, er ikke et opnået maksimum eller minimum.

5. Afslut opgaven

Afslut opgaven ved at angive den værdi af den variable, der minimerer eller maksimerer omkredsen, arealet eller volumenet (alt efter hvad opgaven efterspørger). Husk at angive en enhed, hvis der er oplyst en enhed i opgaven.

Hvis du skal bestemme figurens mindste/største omkreds, areal eller volumen, så skal du bestemme funktionsværdien hørende til den værdi af den variable, som du netop har bestemt.

Læs fortegnet som et forløb

For f(x) = −(x − 2)² på [0,4] er f′(x) = 4 − 2x. Den afledtes fortegn forbinder regningen med funktionens bevægelse.

Sted eller interval	Fortegn for f′	Funktionens forløb
0 ≤ x < 2	Positivt	Voksende
x = 2	0	Lokalt maksimum: positivt til negativt
2 < x ≤ 4	Negativt	Aftagende

Kontrollér også endepunkterne: f(0) = f(4) = −4, mens f(2) = 0. Derfor er 0 det globale maksimum på det angivne interval.

Fra begrænsning til maksimum

Prøv selv: Et rektangel har omkreds 20. Udtryk arealet ved siden x, og find maksimum. Hvorfor er f′ = 0 ikke altid nok?

Se forklaring og kontrol

Den anden side er 10 − x, og 0 < x < 10. A(x) = x(10 − x); A′(x) = 10 − 2x. Fortegnet er positivt før 5 og negativt efter 5, så maksimum er 25 ved x = 5. Til sammenligning har x³ afledt 0 ved 0 uden et ekstremum.

Bestem punktets koordinater

At bestemme koordinatsættet til P er en målbeskrivelse, ikke én bestemt regnemetode. Find først, hvilke oplysninger der udpeger punktet.

Geometrisk skæringspunkt

Ved en linje og en cirkel eller to linjer løser du begge ligninger samtidigt. Kontrollér det samme koordinatpar i begge objekter.

Røringspunkt til en tangent

For en funktion y = f(x) med en given tangenthældning m løser du f′(x) = m på definitionsmængden. Hver tilladt løsning x₀ giver et punkt (x₀,f(x₀)). Der kan være flere eller ingen sådanne punkter. En cirkeltangent undersøges med cirklens og linjens oplysninger.

Punkt på en parameterkurve

Ved en oplyst t-værdi indsætter du samme t i alle koordinatfunktioner. Ved en akse løser du den relevante koordinat lig med 0. Ved et dobbeltpunkt søger du to forskellige parameterverdier, der giver samme punkt. Vandrette og lodrette tangenter kræver en undersøgelse af koordinatfunktionernes afledte; en hastighedsvektor lig med nul kræver særskilt analyse.

Funktion af to variable

Ved en differentiabel funktion f(x,y) finder du stationære kandidater ved at løse f_x = 0 og f_y = 0 samtidigt. Kandidaterne skal klassificeres; begge afledte lig med 0 beviser ikke et maksimum eller minimum. Randpunkter kræver en særskilt undersøgelse, hvis opgaven handler om et globalt ekstremum.

Et tal eller et punkt

Prøv selv: I (x,y) = (1,2) + t(2,−1) finder du t = 3. Er svaret til en koordinatopgave nu 3?

Se forklaring og kontrol

Nej. Indsættelse i begge koordinater giver P = (7,−1). Parameteren beskriver, hvor på kurven du er; punktets koordinater er det efterspurgte par. Kontrollér også eventuelle begrænsninger på t.

Videre i matematik

Se trekantens areal med grundlinje, højde eller sinus og analytisk rumgeometri, hvis opgaven handler om tre koordinater.

Faglige kilder

Undersøg skalarprodukt, vinkler og projektion i OpenStax, projektionens betingelser og kontrol hos Ohio State University og afstand og cirklens ligning i OpenStax. Ved optimering kan du kontrollere kritiske punkter og endepunkter og sammenligning af mulige ekstremumssteder hos MIT.