Det gyldne snit: formlen, udledningen og en måleskabelon til billeder

Det gyldne snit er en deling af et linjestykke i en lang og en kort del, så hele stykket forholder sig til den lange del, som den lange del forholder sig til den korte. Forholdet hedder φ, udtales fi, og er (1 + √5)/2, altså en plus kvadratroden af fem, divideret med to, cirka 1,618. Den lange del er altså cirka 61,8 % af det hele, og den korte cirka 38,2 %.

Af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie· Sidst opdateret 7. oktober 2026

Kort fortalt

Hvad er det gyldne snit?

Tag en lineal på 20 cm, og sæt et mærke ved 12,36 cm. Hele linealen delt med 12,36 giver 1,618, og 12,36 delt med de 7,64 cm, der er tilbage, giver også 1,618. Det er det gyldne snit: det samme forhold to gange. Tallet hedder φ, og du møder det igen i femkanten, i Fibonacci-tallene og i mange påstande om kunst og natur, hvoraf en del ikke holder. Her får du definitionen, udledningen, φ’s egenskaber, femkanten med trigonometri, en konstruktion med passer og lineal, Fibonacci-tallene, en måleskabelon til billeder, kildekritik med tal, idéer til SRP og opgaver med facit.

Se udledningen af φ
Brug måleskabelonen på et billede
Idéer til SRP

Dit niveau

Hvor hører emnet hjemme i matematik?

Ikke kernestof

Det gyldne snit står ikke i kernestoffet på matematik C, B eller A. Vejledningerne til alle tre niveauer nævner det som et eksempel på samarbejde med de kreative fag ud fra geometri og trigonometri.

Bygger på kernestof

Udledningen bruger en andengradsligning, beviserne bruger ensvinklede trekanter, Pythagoras’ sætning og cosinus. Det er stof fra matematik C, så du kan følge det meste af siden fra 1.g.

Supplerende stof på B og A

Vejledningerne til B og A foreslår forløb om geometriens grundlag med dele af Euklids “Elementer”. Fibonacci-tallene og Binets formel er heller ikke kernestof, men de er gode til et SRP i matematik A.

På denne side

Definitionen

Definitionen: samme forhold to gange

Del et linjestykke i et punkt, så du får en lang del og en kort del. Delingen er det gyldne snit, når hele stykket delt med den lange del giver præcis det samme som den lange del delt med den korte. Euklid kalder det at dele en linje i “yderste og mellemste forhold” (“Elementer”, bog VI, definition 3). På dansk findes også det gamle ord højdeling.

Formel: hele / lang = lang / kort = φ

Sig det: hele delt med den lange er lig den lange delt med den korte, og det er fi.

Bogstavet φ er det græske fi, nummer 21 i det græske alfabet. Du kan også møde det skrevet ϕ; det er samme bogstav. Navnet “det gyldne snit” er ikke græsk, men fra 1800-tallet: Lex fører det tilbage til Martin Ohm, en tysk matematiker, i 1835. Før ham talte astronomen Johannes Kepler om “det guddommelige forhold”.

Tjek med en lineal på 20 cm

ForholdUdregning
Hele delt med lang20/12,36 ≈ 1,618
Lang delt med kort12,36/7,64 ≈ 1,618
Lang delt med hele12,36/20 = 61,8 %
Kort delt med hele7,64/20 = 38,2 %

Huskeregel

Den lange del er 61,8 % af det hele, den korte 38,2 %.

Det er de to tal, du skal bruge, når du lægger snittet på et billede eller en side. Et mærke ved 62,5 % eller ved to tredjedele er en anden deling.

Udled selv

Udled φ med en andengradsligning

Udledningen kræver kun stof fra matematik C: et forhold, en andengradsligning og løsningsformlen. Derfor er den et godt bevis at kunne sige højt, både i timen og i et SRP.

Gennemregnet

Udledningen trin for trin

1. Sæt den korte del til 1

Kald den lange del x, og lad den korte del være 1. Det må du godt, fordi et forhold ikke afhænger af enheden. Hele stykket er så x + 1.

2. Skriv definitionen som en ligning

(x + 1) / x = x / 1. Sig det: x plus en divideret med x er lig x divideret med en.

3. Gang med x på begge sider

x + 1 = x², og flyttet over på én side: x² − x − 1 = 0. Sig det: x i anden minus x minus en er lig nul.

4. Brug løsningsformlen

Her er a = 1, b = −1 og c = −1. Diskriminanten er d = b² − 4ac = 1 + 4 = 5, så x = (1 + √5)/2 eller x = (1 − √5)/2. Sig det: en plus kvadratroden af fem, divideret med to, eller en minus kvadratroden af fem, divideret med to.

5. Vælg den positive løsning

(1 − √5)/2 ≈ −0,618 er negativ, og et forhold mellem to længder er positivt. Tilbage står φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618034.

Den negative løsning er ikke værdiløs. Den er lig 1 − φ og lig −1/φ, og den dukker op igen i Binets formel for Fibonacci-tallene længere nede. Her på siden kalder vi den ψ, udtales psi.

Sig det: psi er en minus fi, og det er minus en divideret med fi, cirka minus nul komma seks en otte.

Uddybning

Ja. Tallet 5 er ikke et kvadrattal, så √5 er irrationalt. Var φ = (1 + √5)/2 en brøk, så var √5 = 2φ − 1 også en brøk, og det er umuligt. Sig det: kvadratroden af fem er to fi minus en.

Grækerne så det med en figur. Femkantens diagonaler danner inde i midten en ny, mindre femkant, hvis diagonaler danner en endnu mindre, og sådan kan man blive ved uden ende. Ifølge Lex var den endeløse række af femkanter en af grundene til, at pythagoræerne indså, at diagonal og side ikke har en fælles måleenhed.

Mange bøger kalder den lange del a og den korte b og sætter φ = a/b. Så bliver definitionen (a + b)/a = a/b. Del med b over og under brøkstregen, og du får (φ + 1)/φ = φ, som er den samme ligning. Sig det: a plus b divideret med a er lig a divideret med b. Vælg den skrivemåde, din lærer bruger, og hold den hele vejen.

Egenskaber

Regn med φ: tre egenskaber

Fordi φ løser x² − x − 1 = 0, kan du regne med φ uden lommeregner. Tre omskrivninger går igen i beviserne længere nede.

Hurtigt opslag

Fi i tre omskrivninger

φ² = φ + 1
Betyder: Fi i anden er fi plus en, cirka 2,618.
Husk: Står direkte i ligningen x² − x − 1 = 0.
1/φ = φ − 1
Betyder: En divideret med fi er fi minus en, cirka 0,618.
Husk: Del φ² = φ + 1 med φ. Derfor har φ og 1/φ de samme decimaler.
φ³ = 2φ + 1
Betyder: Fi i tredje er to fi plus en, cirka 4,236.
Husk: Gang φ² = φ + 1 med φ, og brug φ² = φ + 1 igen. Hver potens af φ kan skrives som et tal gange φ plus et tal.

Den anden omskrivning giver også en kædebrøk. Skriv φ = 1 + 1/φ, og sæt det samme udtryk ind for φ i nævneren, igen og igen: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Sig det: fi er en plus en divideret med en plus en divideret med en plus og så videre.

Stopper du kæden efter et, to, tre, fire og fem led, får du 1, 2, 3/2, 5/3 og 8/5. Det er forholdet mellem to naboer i Fibonacci-tallene, og det er den første forbindelse mellem φ og Fibonacci-tallene. Lex bruger netop kædebrøken til at vise den.

Rektanglet

Det gyldne rektangel og spiralen

Et rektangel er gyldent, når den lange side delt med den korte er φ. Klip et kvadrat af med siden lig den korte side, og det rektangel, der bliver tilbage, er igen gyldent.

Beviset: lad siderne være φ og 1. Kvadratet er 1 × 1, og resten er 1 bredt og φ − 1 højt. Forholdet er 1/(φ − 1), og fordi φ − 1 = 1/φ, er det lig φ. Sig det: en divideret med fi minus en er fi.

Klipper du kvadrater af igen og igen, får du en række kvadrater, der bliver mindre og mindre, og tegner du en kvartcirkel i hvert, får du en spiral. Brug ikke spiralen som bevis for φ i et billede. Matematikeren George Markowsky viser, at man kan bygge samme slags spiral af rektangler med et hvilket som helst forhold, fx 2:1. En spiral er ikke i sig selv et tegn på det gyldne snit.

Et rektangel på 21 × 34 cm er tæt på gyldent, fordi 34/21 ≈ 1,619, og 21 og 34 er Fibonacci-tal.

Geometri og trigonometri

Femkanten, pentagrammet og cos 36°

Vejledningerne til matematik C, B og A peger på geometri og trigonometri som vejen ind i det gyldne snit, og den regulære femkant er stedet. I en regulær femkant er alle sider og vinkler lige store, og hver vinkel er 108°. Diagonalen er φ gange så lang som siden, og der, hvor to diagonaler krydser hinanden, deles hver af dem i det gyldne snit. Tegner du alle fem diagonaler, får du en stjerne med fem takker, et pentagram.

Bevis

Beviset: diagonalen er φ gange siden

1. Find den spidse trekant

Tag en side i femkanten og de to diagonaler, der går fra sidens endepunkter til det modsatte hjørne. De danner en ligebenet trekant med topvinklen 36° og to vinkler på 72° ved grundlinjen. Kald grundlinjen 1, som er femkantens side, og de to lange sider x.

2. Halvér en vinkel ved grundlinjen

Halveringslinjen deler 72° i to gange 36° og rammer den modsatte lange side. Den ligger langs en af femkantens andre diagonaler. Nu er den store trekant delt i to: en lille trekant med vinklerne 36°, 72° og 72°, altså samme vinkler som den store, og en ligebenet trekant med vinklerne 36°, 36° og 108°.

3. Find længderne

I den lille trekant er to vinkler 72°, så siderne over for dem er lige lange: halveringslinjen er 1 lang. Trekanten med 36°, 36° og 108° er ligebenet, så stykket fra toppen ned til skæringspunktet er også 1. Resten af den lange side er x − 1.

4. Brug ensvinklethed

Ensvinklede trekanter har proportionale sider. I den store trekant er lang side delt med grundlinje x/1, og i den lille er det 1/(x − 1). Altså x/1 = 1/(x − 1), som giver x² − x − 1 = 0. Den positive løsning er φ, så diagonalen er φ gange siden. Sig det: x divideret med en er lig en divideret med x minus en.

Beviset giver mere med sig. Skæringspunktet deler den lange side i stykkerne 1 og x − 1, og x/1 = φ. Det er to diagonaler, der krydser hinanden, så hver af dem deles i det gyldne snit.

Og nu trigonometrien. Tag trekanten af to nabosider og en diagonal: siderne er 1 og 1, diagonalen er φ, og vinklerne er 108°, 36° og 36°. Tegn højden fra hjørnet med 108°. Den rammer midt på diagonalen, så du får en retvinklet trekant med hypotenusen 1, den hosliggende katete φ/2 og vinklen 36°.

Formel: cos 36° = φ/2 ≈ 0,809

Sig det: cosinus til seksogtredive grader er fi halve, cirka nul komma otte nul ni.

Tjek på lommeregneren: cos(36°) = 0,809017, og φ/2 = 0,809017. Samme greb i den spidse trekant fra beviset, hvor siderne er φ, φ og 1, giver cos 72° = 1/(2φ) ≈ 0,309. Sig det: cosinus til tooghalvfjerds grader er en divideret med to fi.

Euklid bruger netop den spidse trekant. I “Elementer”, bog IV, sætning 10, konstruerer han en ligebenet trekant, hvor hver vinkel ved grundlinjen er dobbelt så stor som topvinklen, og han bygger konstruktionen på bog II, sætning 11, som deler en linje i det gyldne snit. I sætning 11 bruger han trekanten til at tegne en regulær femkant i en cirkel.

Pentagrammet var kendt i antikken. Lex skriver, at pythagoræerne brugte figuren som deres hemmelige tegn, og at den i folketraditionen blev kaldt marekors.

Konstruktion

Konstruer snittet med passer og lineal

Du kan finde snitpunktet på et linjestykke uden at regne, kun med passer og lineal. Konstruktionen her bruger Pythagoras’ sætning, så du kan bevise den med stof fra matematik C.

Trin for trin

Konstruktionen på et linjestykke på 10 cm

1. Rejs en vinkelret linje i Q

Kald linjestykket PQ. Tegn en linje vinkelret på PQ gennem Q, og afsæt punktet R på den, så QR er halvt så lang som PQ, her 5 cm.

2. Tegn PR

Forbind P og R. Efter Pythagoras er PR = √(10² + 5²) = √125 ≈ 11,18 cm. Sig det: kvadratroden af ti i anden plus fem i anden.

3. Træk QR fra

Sæt passeren i R med radius RQ, og tegn en bue, der skærer PR i punktet T. Så er PT ≈ 11,18 − 5 = 6,18 cm.

4. Flyt PT ned på PQ

Sæt passeren i P med radius PT, og tegn en bue, der skærer PQ i S. Nu er PS ≈ 6,18 cm og SQ ≈ 3,82 cm, og S deler PQ i det gyldne snit.

Beviset: med PQ = 10 er PR = √125 = 5√5, så PS = PT = 5√5 − 5 = 5(√5 − 1). Forholdet er PQ/PS = 10 / (5(√5 − 1)) = 2/(√5 − 1). Gang over og under brøkstregen med √5 + 1, så nævneren bliver 5 − 1 = 4: forholdet er 2(√5 + 1)/4 = (1 + √5)/2 = φ.

Sig det: to divideret med kvadratroden af fem minus en er en plus kvadratroden af fem, divideret med to, og det er fi.

Historien

Euklid undgik at angive længder, fordi nogle linjestykker ikke kan måles med en fælles enhed, og i bog II skriver han ikke med forhold. Han stiller opgaven med arealer: del en linje, så rektanglet af hele linjen og den korte del er lige så stort som kvadratet på den lange del.

Sæt den korte del til 1 og den lange til x, så står der (x + 1) · 1 = x², og det er den samme ligning, x² − x − 1 = 0. Sig det: x plus en gange en er lig x i anden.

Hans konstruktion begynder med et kvadrat på hele linjen og hviler på bog II, sætning 6, og på Pythagoras’ sætning, som er bog I, sætning 47. I bog VI, sætning 30, løser han samme opgave igen, nu med forhold, og i bog IV bruger han delingen til femkanten.

Euklid levede omkring 325-265 f.Kr. og arbejdede i Alexandria. “Elementer” består af 13 bøger og var ifølge Lex grundlaget for at studere matematik som et deduktivt system helt frem til 1900-tallet.

Bog I-VI kom på dansk i en ny oversættelse i 2021 ved Claus Glunk, Hanne Eggert Strand, Chr. Marinus Taisbak og Chr. Gorm Tortzen (Gyldendal). Den forrige danske oversættelse, Thyra Eibes, er mere end 100 år ældre.

Talfølgen

Fibonacci-tallene og det gyldne snit

Fibonacci-tallene begynder med 1 og 1, og hvert nyt tal får du ved at lægge de to forrige sammen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Lex begynder med 0, og det ændrer ikke resten.

Formel: F(n + 1) = F(n) + F(n − 1), med F(1) = F(2) = 1

Sig det: F af n plus en er F af n plus F af n minus en.

Sådan en regel, hvor et tal regnes ud fra tallene før det, kalder Lex en rekursiv definition. Følgen er opkaldt efter Leonardo fra Pisa, som fik tilnavnet Fibonacci. I bogen “Liber abbaci” fra 1202 regner han på, hvor mange kaninpar der er efter et antal måneder, når hvert par får et nyt par hver måned, fra det selv er to måneder gammelt. Svaret er tallene. Navnet fortæller ikke hele historien: Parmanand Singhs artikel i tidsskriftet Historia Mathematica fra 1985 hedder “The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India”, altså de såkaldte Fibonacci-tal i oldtidens og middelalderens Indien.

Naboforholdet går mod φ

ForholdVærdi
2/12
3/21,5
5/31,6667
8/51,6
13/81,625
21/131,6154
34/211,6190
55/341,6176
89/551,6182
144/891,6180

Forholdet hopper over og under φ, og afstanden bliver mindre for hvert skridt. Det er de samme brøker, som kædebrøken gav.

Læg kvadrater med siderne 1, 1, 2, 3, 5 og 8 op ad hinanden, så hvert nyt kvadrat dækker den lange side af det, du har bygget indtil nu. De fylder præcis et rektangel på 8 × 13, for 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 104 = 8 · 13. Rektanglet er næsten gyldent: 13/8 = 1,625.

Matematik A og SRP

Formel: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5

Sig det: F af n er fi i n’te minus psi i n’te, divideret med kvadratroden af fem.

Formlen giver tallet direkte. Fordi ψⁿ bliver meget lille, er F(n) det hele tal, der ligger nærmest φⁿ/√5. Et eksempel: φ²⁰/√5 ≈ 6765,00003, så F(20) = 6765. Sig det: fi i tyvende divideret med kvadratroden af fem.

Formlen bærer Jacques Binets navn, fordi han offentliggjorde den i 1843, men Abraham de Moivre havde den allerede i 1718 (MacTutor).

Kald højresiden G(n). Fordi φ² = φ + 1, gælder φⁿ⁺¹ = φⁿ + φⁿ⁻¹ for alle n: gang bare φ² = φ + 1 med φⁿ⁻¹. Sig det: fi i n plus første er fi i n’te plus fi i n minus første.

Det samme gælder ψ, fordi ψ løser samme ligning. Træk de to fra hinanden, og del med √5, så får du G(n + 1) = G(n) + G(n − 1). G følger altså Fibonacci-reglen.

Tjek starten: G(1) = (φ − ψ)/√5 = √5/√5 = 1, og G(2) = (φ² − ψ²)/√5 = (φ + 1 − ψ − 1)/√5 = 1. Sig det: G af en er fi minus psi, divideret med kvadratroden af fem, og det er en. To ens starttal og samme regel giver samme tal hele vejen, så G(n) = F(n) for alle n. Det sidste skridt er et induktionsbevis.

Del Binets formel for F(n + 1) med formlen for F(n). Fordi ψ ligger mellem −1 og 0, går ψⁿ mod 0, når n vokser, mens φⁿ vokser. I grænsen er det kun φ-leddene, der tæller, og forholdet går mod φⁿ⁺¹/φⁿ = φ.

Springer du et tal over, F(n + 1)/F(n − 1), ganger du to naboforhold sammen, og det går mod φ · φ = φ² ≈ 2,618. Sig det: fi gange fi er fi i anden. Det tal kommer igen i planterne herunder.

Tag tre naboer i følgen. Det yderste par ganget sammen afviger med præcis 1 fra kvadratet på det midterste: 5 · 13 = 65 og 8² = 64, og 8 · 21 = 168 og 13² = 169. Lex skriver formlen F(n + 1) · F(n − 1) − F(n)² = (−1)ⁿ.

Lex nævner også en tælleopgave: antallet af måder at lægge fliser på 1 × 2 på en gang, der er 2 bred og n lang, er det (n + 1)’te Fibonacci-tal. Prøv selv med n = 4: der er 5 måder.

Natur og kildekritik

I naturen: hvad holder, og hvad holder ikke

Påstanden om Fibonacci-tal i planter er undersøgt med store optællinger, og den holder ofte, men ikke altid. Lex nævner grankogler, solsikker og ananas; vi bruger solsikken, fordi den er talt med en metode, man kan efterprøve.

Tre optællinger og opslag

Solsikker: 565 af 768

I et borgerforskningsprojekt fra 2012 dyrkede folk deres egne solsikker, og forskerne Jonathan Swinton og Erinma Ochu samlede data fra 657 blomsterhoveder. I det sikreste datasæt var 565 af 768 spiraltal Fibonacci-tal, og 67 havde en anden fast Fibonacci-struktur. Omkring hvert fjerde spiraltal var altså ikke et Fibonacci-tal.

Små tal beviser lidt

Swinton og Ochu gentager en advarsel fra Cooke (2006): Fibonacci-tallene og deres nærmeste slægtninge dækker alle tallene fra 1 til 17 på nær tre. Tæller du 5 eller 8 spiraler på en lille plante, er det ikke et stærkt bevis. Store tal som i solsikken siger mere.

Bladstilling: brøker af en omgang

Lex beskriver tre typer. Vinklen mellem to blade, der følger efter hinanden op ad stænglen, er 180° hos bøg, 120° hos halvgræsserne og 144° hos eg. Det er 1/2, 1/3 og 2/5 af en omgang. Tæller og nævner er Fibonacci-tal med ét tal imellem, og de næste brøker i rækken er 3/8 og 5/13 omgang, altså 135° og ca. 138,5°.

Fortsætter du brøkerne, nærmer vinklen sig 360°/φ² ≈ 137,5°, den gyldne vinkel. Den deler en hel omgang i det gyldne snit: 137,5° og 222,5°, og 222,5/137,5 ≈ 1,618. Sig det: tre hundrede og tres grader divideret med fi i anden.

Hvorfor planter kommer tæt på de tal, er forskningen ikke enig om. Swinton og Ochu kalder forklaringerne konkurrerende, og de bruger netop blomsterne uden Fibonacci-tal til at udfordre dem. Skriv derfor “ofte” og “i den største optælling”, ikke “altid”.

Prøv selv

Find et blad nederst på stænglen, og følg bladene opad i den retning, de skruer. Tæl, hvor mange omgange du går rundt om stænglen, og hvor mange blade du passerer, til der sidder et blad lige over det første. Brøken omgange delt med blade er afstanden mellem to blade i dele af en omgang. Gang med 360°, så har du vinklen.

Hos bøg er det 1 omgang og 2 blade, så 1/2 · 360° = 180°. Tæl på flere planter af samme art, og skriv, hvor mange der passede med en Fibonacci-brøk. Ét eksempel er en anekdote, ti optællinger er data.

Billeder og layout

Det gyldne snit i et billede: en måleskabelon

Lex skriver, at snittet ofte bruges til at fremhæve det, der bærer betydning i et billede eller en bygning. Om det gælder netop dit billede, kan du måle. I et billede lægger du fire linjer: to lodrette 38,2 % og 61,8 % inde fra venstre og to vandrette 38,2 % og 61,8 % nede fra toppen. Linjerne krydser hinanden i fire punkter. Med skabelonen undersøger du, om det vigtigste i billedet ligger på en af linjerne eller i et af punkterne.

Måleskabelonen

Læg skabelonen på et foto på 4000 × 3000 pixel

1. Find billedets mål

Se bredde og højde i billedets oplysninger, her 4000 pixel bredt og 3000 pixel højt.

2. Regn de lodrette linjer ud

38,2 % af 4000 er 1528, og 61,8 % af 4000 er 2472. Linjerne står 1528 og 2472 pixel inde fra venstre.

3. Regn de vandrette linjer ud

38,2 % af 3000 er 1146, og 61,8 % af 3000 er 1854. Linjerne står 1146 og 1854 pixel nede fra toppen.

4. Tegn og mål

Tegn linjerne i et billedprogram, eller mål med en lineal på en udskrift. Skriv ned, hvor motivets vigtigste del står, i procent af bredden og højden.

5. Sammenlign med de andre skabeloner

Står motivet ved 33 % eller 67 %, følger billedet snarere tredjedelsreglen end det gyldne snit. Står det midt i billedet, følger det ingen af dem.

Tre skabeloner, du kan forveksle

Linjer indeSkabelon
38,2 % og 61,8 %Det gyldne snit
37,5 % og 62,5 %Ottendedele
33,3 % og 66,7 %Tredjedele

Ottendedelene, 3/8 og 5/8, er en hurtig tilnærmelse, fordi 3, 5 og 8 er Fibonacci-tal. Men 5/3 ≈ 1,667 er 3 % større end φ. Sig det: fem tredjedele er cirka en komma seks seks syv. Tredjedelsreglen giver forholdet 2 mellem de to dele og er en anden skabelon. Står et motiv 34 % inde, kan du ikke skrive, at billedet følger det gyldne snit.

Huskeregel

Mål først, påstå bagefter.

Skriv procenten ned, og sammenlign med alle tre skabeloner, før du skriver “gyldent snit” i en analyse.

Uddybning

Lex skriver, at Fibonacci-tallene, især indtil 1600-tallet, blev brugt til at sætte marginerne i bøger: 3 dele ind mod ryggen, 5 foroven, 8 i ydersiden og 13 forneden. Vil du prøve det på en side, du selv sætter op, så lad de fire marginer stå i forholdet 3 til 5 til 8 til 13, fx 15, 25, 40 og 65 mm.

Samme skabelon som i billedet kan bruges på en plakat eller en forside: læg det vigtigste ved 38,2 % eller 61,8 %, og mål, om det ser anderledes ud end ved en tredjedel.

Kildekritik

Kunst og bygninger: mål, belæg og hensigt

Mange påstande om det gyldne snit i kunst og bygninger hviler på et mål, der ligger tæt på 1,6. Et mål er ikke belæg for en hensigt. Matematikeren George Markowsky gennemgik i 1992 en lang række af de udbredte påstande i tidsskriftet The College Mathematics Journal. Han satte en grænse: et målt forhold mellem 1,58 og 1,66 kan være φ, uden for den er det ikke. Selv inden for grænsen kræver en påstand mere end målet.

Fem påstande holdt op mod kilderne

Parthenon i Athen

Lex’ artikel om templet giver målene 30,9 × 69,5 m og skriver, at forholdet 4:9 synes at bestemme mange af templets proportioner, også facadens højde mod dens bredde. 69,5/30,9 ≈ 2,25, og det er 9/4, ikke φ ≈ 1,618 eller φ² ≈ 2,618, altså hverken fi eller fi i anden. Lex’ artikel om det gyldne snit siger derimod, at facaden “kan indskrives i et gyldent rektangel”. Markowsky påpeger, at figurerne, der viser det, lader dele af templet stå uden for rektanglet, og at målene varierer fra kilde til kilde. Når to opslag i samme leksikon er uenige, så skriv det, og vælg det, der giver tal.

FN-bygningen i New York

Sekretariatsbygningen er 505 fod høj og 287 fod bred efter de mål, FN selv opgav til Markowsky. 505/287 ≈ 1,76, og det ligger uden for grænsen 1,58-1,66.

Fechners rektangler

Påstanden om, at mennesker foretrækker det gyldne rektangel, hviler især på Gustav Fechners forsøg i 1860’erne. Forsøgspersonerne valgte mellem kun 10 rektangler, og mange valgte andre end det gyldne. Markowsky vurderer, at det langtfra er et overbevisende bevis.

Seurat og Leonardo

Roger Fischler gennemgik Georges Seurats skrifter, skitser og malerier og fandt, at Seurat ikke byggede dem på det gyldne snit. Leonardo da Vinci tegnede illustrationerne til Luca Paciolis bog om “den guddommelige proportion”, men ifølge Markowsky nævner hans biografer ikke, at han brugte forholdet i andre værker.

Navlen og kroppen

Lex nævner billedhuggeren Polyklets idealfigur, hvor navlen deler højden i det gyldne snit. Markowsky kalder meget af arbejdet om kroppen et eksempel på pyramidologernes fejlslutning: måler man mange nok længder på noget kompliceret, finder man altid et par, der giver omkring 1,6.

Der findes også belagt brug. Arkitekten Le Corbusier udviklede proportionssystemet Modulor ud fra menneskekroppen og det gyldne snit og brugte det til at fastsætte målene i boligblokken Unité d’Habitation i Marseille, bygget 1947-1952, som Lex beskriver. Og matematikeren Luca Pacioli udgav i 1509 bogen “De Divina Proportione”, “Om den guddommelige proportion”. Her er hensigten en del af selve værket. Det er forskellen på en målt lighed og en dokumenteret brug.

Tre spørgsmål til enhver påstand om snittet

  1. Hvilke mål bygger påstanden på, og hvor kommer de fra?
  2. Ligger forholdet mellem 1,58 og 1,66, når du selv regner det ud?
  3. Er der belæg for hensigten, fx kunstnerens egne skrifter, skitser eller et proportionssystem som Modulor?

Til SRP

Det gyldne snit i SRP

Et SRP har som regel to fag: mindst ét af dem skal være på A-niveau, og mindst ét skal være et studieretningsfag. Det står i læreplanen for studieretningsprojektet, og vejledningen fra 2024 gentager det. Læreplanen siger også, at området og problemstillingen skal give mulighed for fagligt samspil mellem de to fag. Det er altså ikke nok med et afsnit om φ efterfulgt af et afsnit om et digt eller et tempel. Byg problemformuleringen, så det sidste spørgsmål kun kan besvares med begge fag: matematikken giver et tal eller et bevis, og det andet fag afgør, hvad det betyder.

Se flere råd i SRP i matematik og i problemformulering til SRP.

Fire fagkombinationer med en indgang

Matematik A og dansk A

Inger Christensens digtsamling “alfabet” fra 1981 kombinerer alfabetet med Fibonacci-tallene, og ifølge Lex må systemet stoppe ved bogstavet n, fordi tallene vokser så hurtigt. Matematikken kan forklare væksten med φ; dansk står for analysen af digtene. Lad danskdelen undersøge, hvad væksten gør ved digtenes gentagne påstand om, at tingene findes. Lex kalder samlingen “en besværgelse af, at tingene findes og skal findes”.

Matematik A og historie A

Euklids “Elementer” er en matematikhistorisk kilde, og vejledningerne til matematik B og A nævner forløb om geometriens grundlag med dele af værket. En opgave kan følge forholdet fra Euklids arealsætning til renæssancen, hvor Pacioli i 1509 kaldte det en guddommelig proportion, og spørge, hvorfor navnet skiftede undervejs. Den danske oversættelse fra 2021 gør det muligt at citere Euklid på dansk.

Matematik A og oldtidskundskab C

Har du matematik A som studieretningsfag, kan oldtidskundskab C være det andet fag. Begynd med Lex’ to artikler, der er uenige om Parthenons facade: 4:9 i den ene, et gyldent rektangel i den anden. Matematikken regner målene efter med Markowskys grænse, og oldtidskundskab undersøger, hvilke kilder der kan vise en hensigt hos arkitekterne Iktinos og Kallikrates. Se også SRP i oldtidskundskab.

Matematik A og musik A

Lex nævner Pelle Gudmundsen-Holmgreens “Tricolore 1” (1966, uropført 1991), hvor Fibonacci-tallene indgår i kompositionen. Musik står for analysen af værket; matematikken viser, hvordan talrækken former forløbet. Diskussionen kan samle dem: kan man høre talrækken, eller står den kun i partituret?

Tre problemformuleringer, du kan bygge videre på

  1. Matematik og dansk: Redegør for Fibonacci-tallene, og bevis, at forholdet mellem to naboer går mod φ. Analysér, hvordan talrækken former digtene i Inger Christensens “alfabet”. Diskutér, hvad den matematiske form betyder for læsningen af samlingen.
  2. Matematik og oldtidskundskab: Redegør for det gyldne snit i den regulære femkant, og bevis, at diagonal og side står i forholdet φ. Analysér målene på Parthenon ud fra Lex og Markowsky. Vurdér, om der er belæg for, at grækerne brugte forholdet bevidst.
  3. Matematik og historie: Redegør for Euklids konstruktion i “Elementer”, bog II, sætning 11, og bevis den. Analysér, hvordan Pacioli i 1509 gjorde forholdet til en guddommelig proportion. Diskutér, hvorfor navnet “det gyldne snit” først kom i 1800-tallet.

Øv dig

Opgaver med facit

Regn opgaverne i hånden, og fold facit ud bagefter. Facit viser mellemregningerne, så du kan se, hvor du eventuelt gik galt.

Den lange del er 30/φ ≈ 18,54 cm, og den korte er 30 − 18,54 = 11,46 cm. Tjek: 30/18,54 ≈ 1,618 og 18,54/11,46 ≈ 1,618.

φ² = ((1 + √5)/2)² = (1 + 2√5 + 5)/4 = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2. Og φ + 1 = (1 + √5)/2 + 2/2 = (3 + √5)/2. De to er ens. Sig det: tre plus kvadratroden af fem, divideret med to.

Del φ² = φ + 1 med φ: φ = 1 + 1/φ. Træk 1 fra på begge sider: 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618. Sig det: en divideret med fi er fi minus en.

55/34 ≈ 1,618, som ligger inden for 1,58-1,66. 40/30 ≈ 1,333, som ligger uden for. Kun det første er gyldent efter grænsen. Lærredets form siger dog intet om, hvor maleren har placeret motivet.

233, 377 og 610. 610/377 ≈ 1,61804, og φ ≈ 1,61803.

Diagonalen er φ · 6 ≈ 9,71 cm. Sig det: fi gange seks. Med trigonometri: halvdelen af diagonalen er 6 · cos 36° ≈ 4,854 cm, så diagonalen er ca. 9,71 cm.

3/8 · 360° = 135°. Den gyldne vinkel er ca. 137,5°, så forskellen er 2,5°.

1500/4000 = 37,5 %. Det er præcis 3/8 og 0,7 procentpoint fra 38,2 %. Med det mål alene kan du ikke skelne ottendedelene fra det gyldne snit, men du kan udelukke tredjedelsreglen. Skriv begge muligheder, og vurdér med resten af billedet.

Skriv φ³ som φ · φ², og brug φ² = φ + 1. Så er φ³ = φ(φ + 1), og ganget ud er det φ² + φ. Brug φ² = φ + 1 en gang til: (φ + 1) + φ, altså 2φ + 1.

Indsæt φ = (1 + √5)/2: 2φ + 1 = 1 + √5 + 1 = 2 + √5 ≈ 4,236. Sig det: to plus kvadratroden af fem.

Til prøven og i timen

I timen og til SRP: det, du gør, siger og viser

Gør

  1. Regn φ ud med en andengradsligning, og forklar, hvorfor den negative løsning forkastes.
  2. Mål et billede i procent af bredde og højde, og sammenlign med 38,2 %, 37,5 % og 33,3 %.
  3. Tjek en påstand om snittet mod grænsen 1,58-1,66, og led efter belæg for hensigten.

Sig

  • “Forholdet mellem [hele og lang] er lig forholdet mellem [lang og kort], og det giver x² − x − 1 = 0.”
  • “Motivet står [procent] inde fra venstre, og det ligger tættest på [skabelonen].”
  • “Målet giver forholdet [tal], og det ligger [inden for eller uden for] grænsen 1,58-1,66.”
  • “Et mål tæt på 1,618 viser ikke alene, at [kunstneren] brugte snittet bevidst.”

Vis

  • Udregningen med diskriminanten 5 og tallet 1,618 som den positive løsning.
  • En figur eller et foto med de fire linjer tegnet ind og procenterne skrevet på.
  • En tabel med mål, forhold og kilde for hver påstand, du undersøger.

Til årskarakteren: Brug måleskabelonen, når du analyserer et billede i timen eller i en aflevering, og skriv tallene med i teksten.

Bygger på Vejledning til matematik C, stx, november 2025 og Læreplan for studieretningsprojektet, stx, 2017.

Se forskellen

Fejl, der koster

✗ Det gyldne snit er 1,618.

✓ φ er cirka 1,618; det præcise tal er (1 + √5)/2.

φ er irrationalt, så decimalerne slutter aldrig. Sig det: en plus kvadratroden af fem, divideret med to.

✗ 5/8 er det gyldne snit.

✓ 5/8 er en tilnærmelse; snittet ligger ved 61,8 %, ikke 62,5 %.

5/3 ≈ 1,667 er 3 % fra φ.

✗ Tredjedelsreglen er det samme som det gyldne snit.

✓ Tredjedelsreglen lægger linjerne ved 33,3 % og 66,7 %.

Forholdet mellem delene er 2, ikke 1,618.

✗ x² − x − 1 = 0 har kun én løsning.

✓ Ligningen har to løsninger, og den negative forkastes.

Et forhold mellem to længder er positivt.

✗ En spiral i et billede viser det gyldne snit.

✓ En spiral kan bygges af rektangler med næsten ethvert forhold.

Markowsky viser en spiral af rektangler i forholdet 2:1.

✗ Et mål på 1,6 beviser, at kunstneren brugte snittet.

✓ En hensigt kræver belæg ud over målet.

Fx kunstnerens egne skrifter, skitser eller et proportionssystem som Modulor.

✗ Det gyldne snit er kernestof i matematik.

✓ Det står ikke i kernestoffet på C, B eller A.

Vejledningerne nævner det som samarbejde med de kreative fag.

Klik og se

Test dig selv

Vælg den rigtige sætning. Du får svaret med det samme.

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hvilken er rigtig?

Hurtigt opslag

Alle begreberne samlet

Det gyldne snit
Betyder: Delingen, hvor hele/lang = lang/kort
Husk: Den lange del er 61,8 %
φ, udtales fi
Betyder: (1 + √5)/2 ≈ 1,618
Husk: Positiv løsning til x² − x − 1 = 0
ψ, udtales psi
Betyder: (1 − √5)/2 ≈ −0,618
Husk: Den negative løsning, lig 1 − φ
Gyldent rektangel
Betyder: Lang side delt med kort side er φ
Husk: Klip et kvadrat af, og resten er gyldent
Fibonacci-tallene
Betyder: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 og så videre
Husk: Læg de to forrige sammen
Binets formel
Betyder: F(n) = (φⁿ − ψⁿ)/√5
Husk: Giver F(n) uden de forrige tal
Regulær femkant
Betyder: Diagonal delt med side er φ
Husk: Diagonalerne deler hinanden i snittet
Pentagram
Betyder: Femstjernen af femkantens diagonaler
Husk: Pythagoræernes tegn ifølge Lex
Den gyldne vinkel
Betyder: 360°/φ² ≈ 137,5°
Husk: Deler en omgang i snittet
Kædebrøk
Betyder: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …))
Husk: Tilnærmelserne er Fibonacci-brøker
Markowskys grænse
Betyder: Et målt forhold mellem 1,58 og 1,66
Husk: Uden for grænsen er det ikke φ
Modulor
Betyder: Le Corbusiers proportionssystem
Husk: En belagt, bevidst brug af snittet

Spørgsmål og svar

Det gyldne snit er en deling af et linjestykke, hvor hele stykket delt med den lange del giver det samme som den lange del delt med den korte. Forholdet er φ ≈ 1,618, og den lange del er cirka 61,8 % af det hele.

φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618. Sig det: fi er en plus kvadratroden af fem, divideret med to. Formlen er den positive løsning til andengradsligningen x² − x − 1 = 0.

Læg to lodrette linjer 38,2 % og 61,8 % inde fra venstre og to vandrette 38,2 % og 61,8 % nede fra toppen. Mål, hvor motivet står, i procent, og sammenlign med ottendedelene (37,5 % og 62,5 %) og tredjedelsreglen (33,3 % og 66,7 %).

Forholdet mellem to naboer i Fibonacci-tallene går mod φ, fx 144/89 ≈ 1,6180. Binets formel skriver hvert Fibonacci-tal med φ og ψ.

Nej. Det gyldne snit lægger linjerne ved 38,2 % og 61,8 %, tredjedelsreglen ved 33,3 % og 66,7 %. Forholdet mellem delene er 1,618 i det ene og 2 i det andet.

Fibonacci-tal, og dermed tilnærmelser til φ, findes ofte i planter, men ikke altid. I den største optælling af solsikker var 565 af 768 spiraltal Fibonacci-tal, og omkring hvert fjerde var ikke. Hvorfor planter rammer tallene, er forskningen ikke enig om.

Rejs en vinkelret linje i det ene endepunkt med halvdelen af linjestykkets længde, forbind til det andet endepunkt, træk den halve længde fra med passeren, og flyt resten ned på linjestykket. Euklid konstruerer delingen i “Elementer”, bog II, sætning 11.

Ja, med matematik A og fx dansk A, historie A, oldtidskundskab C eller musik A. Et SRP har som regel to fag: mindst ét af dem skal være på A-niveau, og mindst ét skal være et studieretningsfag.

Golden ratio eller golden section. Euklid kaldte delingen yderste og mellemste forhold, og på dansk findes også ordet højdeling.

Det er ikke kernestof på matematik C, B eller A. Vejledningerne nævner det som et eksempel på samarbejde med de kreative fag, og det bygger på kernestof som andengradsligninger, ensvinklede trekanter og trigonometri.

Om forfatteren

Siden her er skrevet af Emil Brandt Rex, gymnasielektor i dansk og historie. Alt på Studiekompasset bygger på fagenes læreplaner og vejledninger, og hver side har sine kilder stående nederst. Finder du en fejl, så skriv til mig, og den bliver rettet.

Kilder

Kilder

Hænger sammen med

Se også

Næste skridt

Udled φ i hånden i dag, uden at kigge, og sig hvert trin højt. Kan du det, så tag et foto fra din egen telefon, og læg måleskabelonen på det.

Gå til udledningen

Gå til måleskabelonen

Del siden

Send linket til en, der kan bruge hjælpen.

Kopiér linkMailFacebook