SRP om Egyptisk Matematik i Historie A og Matematik A

Side 1

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

STX 3.g

1

Ægyptisk matematik

Studieretningsopgave

Udarbejdet af: [navn fjernet] fag: Historie (A) og matematik (A)

Vejledere:

STX 3.g

Abstract

This assignment is dealing with the ancient Egypt in the period BC, river cultures and the construction of the Egyptian society during The New Kingdom of Egypt. The study investigates the role of mathematics during this period as well as it discusses the original purpose of the mathematic source Papyrus Rhind. This paper is based on limited sources since the sources from this period are few. Several history books have been used to form a comprehensive view of the Egyptian structure of society. A math-book based on the sources available has also been used to describe and explain the knowledge of mathematics which the Egyptians were in possession of.

The study shows that the location of the Egyptian society, along the Nile, was essential to the structure of society during this period. The Egyptian society was divided into three, the pharaoh as the ruling power and the civil servants as the ones maintaining law and order for example by practicing their knowledge of mathematics. The bottom of this “pyramid” was constituted of the farmers, craftsmen and slaves who were the producing part of society. The study accounts for the four basic arithmetical operations, area calculations and fractions used by the Egyptian officials, which are all explained by the use of several examples. This paper also contains a discussion whether Papyrus Rhind is a mathematical manual for the use of the Egyptian officials in their everyday life or if it is proof of a deeper mathematical comprehension. It is possible to conclude that the Egyptian society during BC was high developed and that their knowledge of mathematics played a major role towards this development as well as it was of great importance to pharaoh in his attempt to maintain a well functioned society.

Side 2

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

2

Indholdsfortegnelse

ABSTRACT .................................................................................................................................. 1 INDHOLDSFORTEGNELSE ............................................................................................................ 2 INDLEDNING .............................................................................................................................. 3 FLODKULTURER .......................................................................................................................... 3 SAMFUNDETS OPBYGNING UNDER DET NYE RIGE ....................................................................... 4 MATEMATIKKENS BETYDNING FOR DET NYE RIGE: ..................................................................... 6 DET ÆGYPTISKE TALSYSTEM ....................................................................................................... 8 DE FIRE ELEMENTÆRE REGNINGSARTER ................................................................................... 11 ADDITION OG SUBTRAKTION ................................................................................................................................................ 11 MULTIPLIKATION ............................................................................................................................................................... 13 DIVISION ......................................................................................................................................................................... 14 AREAL BEREGNINGER – LANDMÅLING ...................................................................................... 18 REKTANGLER .................................................................................................................................................................... 18 RELEVANTE OPGAVER .............................................................................................................. 20 OPGAVE 505 – PESU OPGAVE ............................................................................................................................................. 20 OPGAVE 708 – FORDELING ................................................................................................................................................. 23 DISKUSSION ANGÅENDE PAPYRUS RHIND ................................................................................ 25 KONKLUSION ........................................................................................................................... 28 LITTERATURLISTE ..................................................................................................................... 30 BILAG: ...................................................................................................................................... 31

Side 3

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

3

Indledning

Det gamle Ægypten blev samlet til et stort rige allerede omkring 3000 f. Kr., hvilket var atypisk for datidens riger [1]. Det er en kultur præget af mystik samt et samfund, som er blomstret op langs Nilens frodige breder.

Denne opgave omhandler en redegørelse af det ægyptiske samfund under Det Nye Rige (ca. 1550-

1070 f.Kr.) samt begrebet flodkultur. Yderligere vil der forekomme en kobling mellem det ægyptiske samfund i denne periode og brugen af samt behovet for matematikken. Der redegøres for forskellige matematiske begreber bl.a. de fire elementære regningsarter samt brøktallene og hvilke matematiske metoder, som blev benyttet i datidens Ægypten. Der diskuteres desuden ud fra kilden Papyrus Rhind, hvorvidt dette blot var en matematisk håndbog til hverdagsbrug eller om det var et udtryk for højere matematisk forståelse og tankegang.

Det bør nævnes, at kilderne fra denne periode er få, sommetider beskadigede samt svære at tolke.

Dette medfører visse usikkerheder i forhold til fakta og ”gætterier” fra forskernes samt arkæologernes side. Visse kilder kan være præget af religiøse og politiske tendenser, som man bør tage forbehold for (dette er primært de monumentale tekster [2]). Kilderne som giver indblik i matematikkens brug i det ægyptiske samfund er primært arkivmateriale, i hvilket der som oftest ikke forekommer samme religiøse og politiske tendens som i de monumentale skrifter.

Flodkulturer

Hvor der er vand er der liv, hvilket også forklarer opblomstringen af flere kendte og velhavende kulturer med rig tilgang til flodsystemer. Begrebet flodkultur er et udtryk for et samfund, som er opbygget på baggrund af tilgangen til flodens vand. De mest velkendte civilisationer som er opstået langs floder, er i Pakistan ved floden Indus, i Mesopotamien ved Eufrat og Tigris, ved den kinesiske flod Hwang-Ho og ved Nilen i Ægypten. [3]

Disse floder lagde grunden for et rigt landbrugssamfund, idet det var muligt at kunstvande sine afgrøder. Sammenlignet med agerbrug beliggende med blot regnvand som vandresurse var afgrøderne langs floderne langt frodigere og

1

Information om samling er hentet fra bogen ”Verdens historie 1” af Tønnes Bekker-Nielsen, John T. Lauridsen og

Niels Kayser Nielsen s. 24
2

Viden om forskellige kilder samt deres troværdighed er hentet fra bogen ”Ansigt til Ansigt med Ægypten” af Torben

Holm-Rasmussen s. 14-17
3

Informationen om disse fire flodkulturer er hentet fra hjemmesiden http://others.sensagent.com/flodkultur/sv-sv/

Side 4

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

4 det var muligt at høste op til tre gange pr. år (på højsletter og i bjergene forekom kun en årlig høst) [4]. Dette rige landbrug gjorde det muligt at forsørge et samfund langs med floden uden, at alle behøvede at beskæftige sig med landbruget, hvilket åbnede dørene for andre fuldtids-erhverv, som ikke tidligere havde været muligt. Dermed tilkom håndværkere, embedsmænd, skrivere og soldater, som alle kunne praktisere deres håndværk og senere leve af bøndernes afgrøder. Dette gjorde også det ægyptiske omfordelings-system af resurser til en optimal samfundspolitik. [5] Desuden blev samfundet mere systematisk, da der nu var akademisk uddannede embedsmænd, som bl.a. kunne opretholde lov og orden. Disse nye erhverv var grundlaget for byens oprindelse, da folk samledes her. Sammenlignet med tidligere, hvor man havde levet i landsbyer udelukkende opbygget på baggrund af landbruget. Vandingssystemerne krævede, at man som bønder samarbejdede om vedligeholdelse m.m. hvilket skabte nye mere sammenknyttede landsbyer langs

       6
floderne.

Samfundets opbygning under Det Nye Rige

Det Nye Rige som strækker sig over perioden f. Kr. kaldes Ægyptens storhedstid.

Årsagen er primært landets geografiske ekspansion og den politiske samt økonomiske magtstilling, der var i landet under denne periode. Perioden kommer efter den anden mellemtid (ca. 1650 –

1551 f. Kr.), som var en periode præget af en fredelig invadering af Ægypten, primært fra Syrien og Palæstina. Landet herskedes i denne mellemtid af de såkaldte Hyksos-konger (ordet kommer af ægyptisk og betyder ”herskere over fremmedlande”). Det var ægypteren Ahmose som fordrev disse konger fra landet og startede landets storhedstid.

Samfundet i Det Nye Rige byggede på en tredeling af befolkningen. Øverst sad faraoen som havde enevælde, denne farao repræsenterede Gud på jorden og det var ham (der har i historien været meget få kvindelige faraoer og teologisk set burde det ikke være muligt med kvindelige faraoer), som skulle opretholde den oprindelige ”perfekte tilstand” på jorden. Dette skete bl.a. ved at opretholde et velfungerende samfund. Man skulle som farao ”udøve sandheden (ma’at)”, hvilket

4

Information om høst og flodernes betydning er hentet fra bøgerne ”Ansigt til ansigt med Ægypten” af Torben Holm-

Rasmussen samt bogen ”Verdens historie 1” af Tønnes Bekker-Nielsen m.fl.
5

Omfordelingssystemet defineres i afsnittet ”Samfundets opbygning under Det Nye Rige”

6

Informationen om flodernes betydning for samfundets opbygning er hentet fra bogen ”Verdens historie 1” af Torben Holm-Rasmussen m.fl. s. 20-22

Side 5

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

5 vil sige at opretholde kosmos [7]. Dette gjorde faraoen ved hjælp af ofringer til guderne, disse ofringer skete i et af de mange templer. Udover disse ofringer var det også faraoens opgave at udøve lov og orden i det pågældende samfund. Faraoen synede udadtil som en stor og altid sejrende mand, hvilket bl.a. illustreres i det meget brugte billede af en farao, som hugger en fjende ned med sin kølle [8]. Desuden omtales uheldige begivenheder, som ikke passer til idealet om den mægtige farao sjældent blandt ægypterne. For at faraoen skulle være i stand til at opretholde denne magtposition og pålidelighed overfor sit folk, var et velfungerende samfund altafgørende, alle skulle bidrage og ingen skulle snydes, det er bl.a. her matematikken spiller en stor rolle.

Faraoens arbejde var omfattende og blev derfor bl.a. uddelegeret til embedsmænd og præster, som kunne være uddannede skrivere og derfor forstod sig på matematik samt kunsten at læse, forstå og skrive de omkring 800 forskellige hieroglyffer [9] samt skriften på papyrus og ostraka, kaldet hieratisk skrift. Disse embedsmænd var delt ind i forskellige administrationer. Et eksempel på en administration var civiladministrationen, som stod for landbrugets regulering, at opkræve de nødvendige skatter samt opretholde ro og orden i samfundet. [10]

De lærde skrivere studerede og lærte gennem gamle tekster, hvordan man som ægypter kunne blive ”et rigtigt menneske”, der blev derfor i Ægypten, skabt et menneskeideal om at være tavs eller tiende. Uddraget af visdomsteksten ”Ptahhoteps visdomstekst” illustrere dette menneskeideal [11]. Idealet som her fremstilles stemmer godt overens med datidens samfund og den rolle de forskellige mennesker havde. Man skulle lytte til magthaveren, faraoen, og udelukkende ytre sin mening, hvis man kunne bidrage med noget positivt og nyttigt for det samlede samfund.

Ved hjælp af dette menneskesyn undgik man også som magthaver ubehagelige konflikter og oprør, som kunne sætte faraoens magtposition i fare. Det var vigtigt for faraoen i denne periode, præcis som for alle andre magthavere selv den dag i dag, at opretholde lov og orden og

7

Ordet Kosmos kommer af Græsk og er en samlet betegnelse for hele universet, men kan også bruges om bl.a.

solsystemet.
8

Billedet er vedhæftet i bilag 1

9

Hieroglyffer er ægyptisk og betyder ”gudens ord”

10

Informationen om administrationerne og samfundets konstruktion er hentet fra bogen ”Ansigt til Ansigt med

Ægypten” af Torben Holm-Rasmussen
11

Uddraget af teksten kan findes under bilag, bilag 2

Side 6

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

6 nogenlunde velstand i samfundet for at undgå en oprørsk befolkning og i værste fald rigets fald, som det var tilfældet med de tidligere ægyptiske riger. [12]

Nederst i denne tredelte ”pyramide” var bønderne, håndværkerne, slaverne og soldaterne

(soldaterne arbejdede også som bønder, når de ikke sloges for faraoen), som sammen stod for at brødføde hele befolkningen, da samfundet byggede på en fordelingspolitik. Alle bidrog med noget og senere blev midlerne omfordelt. Bøndernes bidrag var mad i form af korn og lignende, hvor embedsmændenes bidrag bestod i deres kundskaber f.eks. om matematik, når kornet senere skulle fordeles mellem samfundets indbyggere.

Dette tredelte samfund var opbygget omkring Nilen og var derfor en typisk flodkultur. Nilen var Ægypternes vigtigste resurse da den dannede de økologiske forhold for befolkningen og Herodots, den græske historieforfatter, karakterisering af Ægypten; ”Ægypten er Nilens gave” forekommer derfor meget passende.

Det var Nilen som delte året ind i dets tre årstider; oversvømmelsesperioden, akhet, perioden hvor kornet såedes og modnedes, peret og tørkeperioden, hvor bønderne høstede, shemu. Specielt under oversvømmelsesperioden var det altafgørende for Ægypternes afgrøder og dermed eksistens at kunne kontrollere vandet og der blev derfor udviklet vandingssystemer, som matematikken havde en større andel i. Udover vandingssystemerne havde matematikken også andre betydninger for det Ægyptiske samfund [13].

Matematikkens betydning for Det Nye Rige:

Det vil være naturligt at stille spørgsmålstegn ved behovet for matematik i et landbrugssamfund som Det Nye Rige. Det viser sig dog, at matematikken spillede en større rolle og var altafgørende for et velfungerende samfund og for faraoens magtposition. Med en fordelingspolitik som Ægyptens var det nødvendigt at kunne omfordele resurserne, her primært maden, retfærdigt og i rette mængder. Denne omfordeling skete formentlig ved hjælp af skrivernes matematiske kundskaber. I den matematiske kilde Papyrus Rhind fremgår flere eksempler på matematisk

12

Der opstår stridigheder under Det Nye Rige bl.a. pga. uroligheder i samfundet og korruption indenfor

fordelingssystemet.
13

Se afsnittet ”Matematikkens betydning i Det Nye Rige”

Side 7

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

7 fordeling af brød, beregning af mængden korn som skulle til for at brygge x antal liter øl mm. [14] jævnfør Herodot og hans beretninger fra Ægypten, som man ved han besøgte, benyttedes matematikken også i de situationer hvor Nilen havde taget noget af bondens jordlod. Da man betalte en hvis skat til faraoen afhængig af, hvor stort et areal man ejede, blev jordlodens areal beregnet på ny og skatten omkorrigeret. Ifølge Herodot er dette årsagen til landmålerkunstens opståen. Man bør dog være opmærksom på, at Herodot besøgte Ægypten omkring 450 f.Kr. og altså ikke samtidig med Det Nye Rige, hvilket gør kilden til en beretning og den græske historieforfatter til andenhånds kilde. Desuden var formålet med Herodots rejse at fremstille matematikkens brug som noget positivt og brugbart for hans eget hjemland, Grækenland. Dette kan have medført en positiv tendens overfor matematikkens brug i dagligdagen og hans troværdighed kan derfor diskuteres. Ud fra den matematiske kilde Papyrus Rhind, som bl.a.

indeholder arealberegninger, kan Herodots udsagn og observationer om ikke bekræftes, så dog

           15
understøttes.

Matematikkens vigtighed for det ægyptiske samfund bliver bekræftet i slutningen af Det Nye Rige

(). Ægypten har mistet mange af sine indtægtskilder, hvilket medfører en økonomisk krise og inflation i landet. Krisen fører til et sammenbrud i statsforvaltningen, hvilket igen medfører korruption blandt embedsmændene, dem som tidligere havde sørget for, at fordelingssystemet fungerede optimalt og forløb retmæssigt. Uden embedsmændenes pålidelighed og matematiske kundskaber er det ikke muligt at opretholde den ægyptiske samfundsopbygning. Denne situation skaber en oprørsk befolkning, hvilket i sidste ende resultere i Det Nye Riges fald og faraoens afgang, præcis som det har været tilfældet med de tidligere ægyptiske riger. [16] Dette bekræfter matematikkens vigtighed under Det Nye Rige, ikke mindst for befolkningen, men også for faraoens mulighed for at opretholde sin magtposition i samfundet.

14

Eksempler på denne brug af matematik er opgaverne 505 og 708 som senere vil blive beregnet hentet fra bogen

”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 116 og 122
15

Herodots kilde er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 7

16

Informationen om faldet af Det Nye Rige samt de tidligere riger er hentet fra bogen ”Ansigt til ansigt med Egypten”

s. 13

Side 8

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

8

Det ægyptiske talsystem^{17}

Vores viden om det ægyptiske talsystem stammer fra tre hovedkilder, Papyrus Rhind, Læderrullen og Papyrus Moskva. Papyrus Rhind, som er den primære og mest indholdsrige matematiske kilde blev fundet ved templet Ramesseum (Ramses II’s dødetempel), ligeledes gjorde læderrullen.

Papyrus Rhind er fra ca. 1650 f. Kr., altså ca. 100 år inden Det Nye Riges oprindelse. Kilden er den mest omfattende matematiske kilde, som omhandler ægyptisk matematik og den indeholder

blandt andet_{𝑛}^{2} -tabellen, som senere vil blive omtalt i denne fremstilling. Læderrullen stammer fra

samme periode som Papyrus Rhind. Videnskabsmændene blev skuffede, da de i 1927 ved hjælp af kemisk behandling fik rullet rullen ud uden at beskadige den. Indholdet var ikke så omfattende, som de havde forventet, men der fandtes dog to tabeller med summer af stambrøker, et fænomen som også vil blive omtalt yderligere. Papyrus Moskva er en smule ældre end de to foregående og indeholder 25 opgaver skrevet af ægypterne. Som matematiker anses Papyrus Rhind som værende hovedkilden og det er denne man tager udgangspunkt i, hvilket også er tilfældet for denne opgave.

Ægyptologiens fader, sådan omtales J. F. Champollion ofte, da det var franskmandens oversættelse af Rosettestenen, som lagde grunden for forståelsen af ægypternes skriftsystem, hieroglyfferne. Disse hieroglyffer er bedst kendt som udsmykninger på væggene i de mange gravkamre, men bruges også indenfor matematikken. De er svære at tyde, idet de både består af billeder og lyde. Rosettestenen blev fundet under Napoleon i 1799 af franske soldater, som var i færd med at anlægge et fort i Rosette i Nildeltaet. På stenen var der indgraveret tekster med tre forskellige skrifttyper, hieroglyffer, demotisk skrift [18] samt græsk skrift. Ægypterne benyttede sig primært at hieroglyffer men også af hieratisk skrift, som er hieroglyffer skrevet med kursivform oftest nedskrevet på papyri. Denne hieratiske skrivestil er svær at tyde og volder ofte videnskabsmændene problemer, hvilket også resulterer i forskellige oversættelser af de samme tekster og matematiske begreber.

17

Basis kundskaberne om Rosettestenen samt ægypternes skriftsystem er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af

Jesper Frandsen s.
18

Dette er en ægyptisk kursivskrift

Side 9

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

9

Det ægyptiske talsystem er et titalssystem, det er dog intet positionssystem, da tegnenes

betydning ikke afhænger af deres position, men af deres ”udseende”^{19}, udover dette havde

ægypterne intet tegn for nul.

20

Her ses det ægyptiske titalssystem repræsenteret med hieroglyffer samt hieratisk skrift. Dette med tilhørende oversættelse.

Skal andre tal udtrykkes, sker dette ved hjælp af et additionsprincip, hvilket enklest kommer til udtryk ved hjælp af et eksempel.

Her fremstilles additionsprincippet udtrykt med henholdsvis hieroglyffer og hieratisk skrift med tilhørende oversættelser

Det fremgår af eksemplet at henholdsvis enere, tiere, hundrede osv. fremstilles individuelt med deres individuelle tegn. Tegnene skal læses fra højre mod venstre.

19

Information om positionssystem er hentet fra hjemmesiden

http://www.datamuseum.dk/site_dk/historie/karvestok/
20

Skemaet over hieroglyffer, den hieratiske skrift, additionsprincippet samt tilhørende oversættelse er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 15 og s. 16

Side 10

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

10

Ovenstående talsystem giver udelukkende mulighed for at fremstille hele tal. Dette løste ægypterne ved hjælp af brøker. Ægypterne kendte kun til stambrøker, altså brøker med tælleren

1, den eneste undtagelse var brøken^{2}_{3}. Der fandtes fire symboler for fire bestemte stambrøker

skrevet med hieratisk skrift.

                                                                 21
De fire eneste brøker som havde sine egne symboler udtrykt ved hieratisk skrift.

Skulle man skrive andre brøker, foregik det forskelligt afhængigt af om dette gjordes med hieroglyffer eller hieratisk skrift. Ved brug af hieroglyffer skrives symbolet over de symboler

som danner nævneren i brøken. For eksempel på følgende måde: Brøken_{25}^{1} skrives med

hieroglyffer:

Den samme brøk opskrives nu ved hjælp af hieratisk skrivestil:

Som det fremgår af eksemplet markeres brøker i dette tilfælde med en prik over de symboler, som udgør nævneren. Man udelader altså altid tælleren til fordel for tegnet eller en prik over

nævneren. I den følgende opgave vil brøken^{1}_{𝑛} skrives 𝑛̅ og brøken^{2}_{3} som 3. Desuden benyttede

̿ ægypterne sig heller ikke af henholdsvis additionstegn og subtraktionstegn, hvilket heller ikke vil

21

Brøkerne er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 16

Side 11

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

11 være tilfældet i denne opgave. En addition mellem stambrøker vil derfor komme til at se ud som følger:

Nutidens addition af stambrøker (vilkårligt eksempel) eksempel)

Ægypternes addition af stambrøker (vilkårligt

1

10

  1   1  1
+   +  +
  13 34  51

10 + 13 + 34 + 51

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

Som nævnt fandtes der ikke symboler for andre brøker end stambrøkerne samt brøken 3.

̿

Ønskedes andre brøker udtrykt, skete dette ved hjælp af addition mellem forskellige stambrøker.

Det fremgår af kilderne at ægypterne har antaget at dette altid kunne lade sig gøre, dog uden at

være bevidste om det. Man kunne således ikke forestille sig brøken^{2}_{7} (for at tage et vilkårligt

eksempel), men udtrykte i stedet dette ved hjælp af en sum af forskellige stambrøker.

7 7 = , fandt ægypterne dermed ikke som et acceptabelt svar, da stambrøkerne ikke er
     7

̅ ̅^{2}

forskellige. De ville i stedet have fremstillet svaret på følgende måde: 4 28 =
                                                              7

̅ ̅ ̅ ̅ ̅^{2}

De fire elementære regningsarter

Ved regning og forståelse af de fire elementære regningsarter, addition, subtraktion, multiplikation og division, er det vigtig ikke at gøre dem uafhængige af hinanden, da ægypterne benyttede sammenhængene mellem disse fire.

Addition og subtraktion.

Sammenhængen mellem addition og subtraktion kan fremstilles på følgende måde:

a - b = c ⬄ a = b + c

Denne sammenhæng kender vi og benytter vi også i dagens matematik og det var også en sammenhæng som ægypterne kendte til og benyttede.

Med hieroglyffer var det enkelt at addere tal med hinanden. De forskellige kendte symboler af samme type blev adderet med hinanden og blev summen større end ti ændredes tegnet til det som lå ”højere” i titalssystemet. En addition med hieroglyffer kan derfor se ud på følgende måde:

Side 12

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

12

234 + 98 = 332

Billedet viser en addition skrevet med hieroglyffer samt oversættelse

Når der derimod skal foretages en addition med hieratisk skrift, bliver det en smule mere kompliceret, idet tallene ikke udelukkende skrives som enere, tiere osv. Ud fra kilderne lader det dog ikke til, at ægypterne har haft nogle større problemer med disse former for addition, da der forekommer meget få fejl (årsagen kan dog være, at de har skrevet ”kladder” eller været i besiddelse af additionstabeller, hvilke der dog ikke er fundet nogle levn fra). Et additionsskema med hieratisk skrift kan se således ud: [22] billedet forestiller en addition med hieratisk skrift oversat til nutidens tal

Det bør her bemærkes, at symbolerne for henholdsvis 2000, 6000, 9000 og 10 000 forekommer, samt symbolet for ”resultatet i alt” .

22

Kundskaberne om addition og subtraktion samt eksemplerne er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 19-20

Side 13

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

13

Subtraktion foretages også ved hjælp af addition. Dette kan lade sig gøre eftersom a-b kan løses

                                                   23
ved at stille spørgsmålet ”hvad skal jeg addere til b for at få a?”

. Denne metode kaldes at komplettere og kommer til at ligne en addition.

Multiplikation

Præcis som subtraktion bygger også multiplikation på addition. Det foregår på den måde, at tallet som multipliceres med et andet, adderes med sig selv det ønskede antal gange. Ægypterne havde et system for dette, som fremgår tydeligst ved hjælp af et eksempel, som nu vil blive foretaget og forklaret trinvis.

Multiplikation mellem tallene 10 og 58

Første faktor Anden faktor Forklaring af de forskellige trin

1 58 Venstre kolonne benyttes til at finde en kombination af tal, hvis sum er den første faktor i multiplikationen (i dette tilfælde 10).

Tallet i venstre kolonne er samtidig også det tal den anden faktor skal multipliceres med for at give tallet i højre kolonne.

\ 2 116 Den anden faktor fordobles her og da tallet to er med til at danne summen ti i venstre kolonne, markeres dette med en skrå streg foran tallet.

4 232 Endnu en fordobling finder sted, men da den ønskede sum ti fortsat ikke kan dannes må fordoblingerne fortsætte.

\ 8 464 Man fortsætter med at fordoble den anden faktor (i dette tilfælde

58) indtil der findes en sum i venstre kolonne som er tilstrækkelig til at danne den første faktor.

Resultat 580 Når summen i venstre kolonne er tilstrækkelig, skal tallene i højre kolonne adderes for at nå frem til resultatet. Det er her vigtigt, at lægge mærke til at tallet i venstre kolonne aldrig overskrider værdien af den første faktor man skal finde. Additionen sker på følgende måde:

10 · 58 = (2+8)·58 = 2·58 + 8·58 = 116 + 464 = 580

23

Denne definition er taget direkte fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 20

Side 14

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

14

Som det fremgår af ovenstående eksempel bygger metoden på, at man i venstre kolonne finder den første faktor og ud fra de tal som danner summen af den første faktor kan finde de tal, som skal adderes for at få det endelige svar (tallene i den højre kolonne). Som det også fremgår af eksemplet tager denne metode udgangspunkt i, at alle tal kan findes ved hjælp af 2-talssystemet,

da venstre kolonne består af tallene 2^{n}, at et hvert-tal kan findes på denne måde er fakta, men det

antages, at ægypterne ubevidst har gjort denne antagelse.

I visse situationer har skriverne været i stand til at ”se en smutvej”, hvilket har resulteret i at visse trin i metoden er blevet hoppet over. Dette vidner om matematisk overblik og forståelse. [24]

Division^{25}

Ægypterne byggede division på multiplikation. De omskrev derfor divisionsstykker til multiplikationsstykker på følgende måde: 𝑎 𝑏

= x ⬄ a = b ·x

Der blev dermed opskrevet én ligning med én ubekendt, som kunne udregnes med kundskaber om multiplikation. Metoden demonstreres ved hjælp af et eksempel med tilhørende forklaringer.

              360
Divisionsstykket: = x ⬄ 360 = 20·x
               20

x’et vil nu blive udledt ved hjælp af den ægyptiske metode:

Anden faktor Første faktor Forklaring af de forskellige trin

(x)

1 20 Det første tal i højre kolonne er den første faktor i multiplikationsstykket (i dette tilfælde 20) og der vil, præcis som tidligere forklaret ved multiplikation, ske en konstant

                                                  n
fordobling i denne kolonne. I venstre kolonne benyttes igen 2 .

Der er nu fokus på højre kolonne, da man ønsker at finde den

24

Kundskaberne om ægypternes måde at multiplicere på er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper

Frandsen s. 20-23
25

Kundskaberne om ægypternes måde at dividere på er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s.

23-24

Side 15

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

15

sum ved hjælp af tallene i denne, som giver a i ligningen a=b·x

(i dette tilfælde tallet 360).

\ 2 40 Den første fordobling foretages i højre kolonne samtidig som

venstre kolonne nu hedder 2^{1}

4 80 Da man fortsat ikke kan danne summen 360 af tallene i højre kolonne fortsætter fordoblingen.

8 160 Endnu en fordobling finder sted

\ 16 320 Fordoblingen stoppes, da yderligere fordobling vil give tallet

640, hvilket er større end den ønskede sum. Det undersøges nu, om det er muligt at danne summen 360 af tallene i højre kolonne.

Resultat 18 Det fremgår, at der gælder: 40+320=360 (det er derfor disse tal

er markerede med skrå streger). Tallene i venstre kolonne benyttes nu for at definere x.

Der gælder følgende:

(2+16)·20=360 ⬄ 18·20=360 ⬄^{360}_{20} = 18

Det er ikke altid muligt at udføre division udelukkende ved hjælp af 2-talssystemet og der forekommer derfor også divisionsmetoder, hvor brøker indgår.

Division ved hjælp af 2

̅

-følgen er en metode som tillader et ikke helt tal som resultat. Denne metode vil blive demonstreret med et eksempel fra kilden Papyrus Rhind. [26]

19

8

=x ⬄ 8·x = 19

Anden faktor Første Forklaring af de forskellige trin

(x) faktor

1 8 Divisionen foregår på samme måde som i foregående skema dog med en ændring i linje tre og ned.

26

Regnestykket er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 24

Side 16

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

16

\ 2 16 Fordobling finder sted

2 4 Sker en yderligere fordobling vil næste tal blive 32 og dermed

̅ overskride den ønskede sum (i dette tilfælde 19), dermed tænkes der nu anderledes og ved hjælp af brøker halveres der nu i begge kolonner i stedet for at fordoble (det er i dette tilfælde de 8, som halveres). Dette gøres, da det fortsat ikke er muligt at danne summen 19 i højre kolonne.

\ 4 2 Halveringen ved hjælp af brøker fortsætter til den ønskede sum

̅ opnås i højre kolonne.

\8 1 Sidste halvering foretages, idet den ønskede sum (i dette tilfælde

̅

19) nu kan dannes ved hjælp af addition.

Resultat 2 𝟒 𝟖 Den ønskede sum bestemmes nu ud fra de brugbare tal i højre

̅ ̅ kolonne og den anden faktor x, kan bestemmes ud fra tallene i den venstre.

8·(2+ 4 + 8)= 19 ⬄^{19}_{8} = 2 4 8

̅ ̅ ̅ ̅

Ligeledes kan division finde sted ved hjælp af 3

̿

-følgen, dette foregår som i ovenstående skema, dog med den ændring, at der i tredje linje indsættes 3

̿ ̅ i stedet for 2

, herefter foregår de følgende trin identisk med de ovenstående, blot med den ændring at hvor der i ovenstående eksempel står

4

̅ ̅ i den venstre kolonne, nu vil stå 3 osv.. I visse tilfælde formår skriveren at ”se en smutvej” og hopper dermed visse led over, præcis som det var tilfældet ved multiplikation. Ovenstående metoder var praktiske, når ægypterne skulle beregne divisionsstykker, hvor tælleren var højere end nævneren.

Ægypterne benyttede også^{2}_{𝑛} -tabellen, som egentlig er 50 små opgaver skrevet på formen^{2}_{𝑛}, hvor

nævneren n kan antage alle ulige værdier op til 101 [27]. Årsagen til at brøker med en lige nævner ikke forekommer i tabellen er, at det altid vil være muligt at forkorte disse til stambrøker, fx kan

27

Informationen om_{𝑛}^{2} -tabellen er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 30-35. tabellen kan

ses i bilag 3

Side 17

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

17

brøken_{36}^{2} forkortes til stambrøken_{18}^{1}. I tabellen opløses^{2}_{𝑛} altså til den sum af stambrøker som

skal til for at danne brøken^{2}_{𝑛}. Her var ægypterne opmærksomme på at jo færre stambrøker den

pågældende brøk blev opløst i desto bedre. Denne tabel gav en mulighed for at dividere på en anden måde end ovenstående og var samtidig en lempelig metode ifald man ønskede at udregne et divisionsstykke, hvor tælleren var mindre end nævneren. Division ved hjælp af tabellen demonstreres samt forklares ved hjælp af et tilfældigt eksempel.

         4
Eksempel:
         11

                               28
Brøken      Multiplikationsfaktoren , Forklaring

eventuelle nævner

11 1 I første kolonne skrives stambrøken 11 og i den anden

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ skrives den faktor 11 der skal multipliceres med for at

̅ ̅ ̅ ̅

give brøken/brøkerne i den første kolonne. Derfor står
der i anden kolonne her 1, idet der gælder: 1 ·11 = 11

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

6 66 2 En fordobling af stambrøken 11 finder her sted, hvilket

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ er årsagen til, at der står 2 i den højre kolonne. Der

                    2               2
gælder følgende 2 ·11 = , dette kan ifølge -tabellen
                    11              𝑛

̅ ̅ ̅ ̅ også skrives som summen af de to stambrøker 6 66,

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ hvilket er årsagen til, at dette står i den venstre kolonne.

\ 3 33 4 Der sker endnu en fordobling i begge kolonner. Det er i

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ den højre kolonne, vi skal finde vores tæller, enten som en sum af flere forskellige ”multiplikationsfaktorer”, eller som en enkelt. Ved hjælp af fordobling fremkommer tælleren 4 i højre kolonne og svaret på divisionsstykket står derfor i den venstre kolonne

(derfor den skrå streg udfor denne)

28

Ordet ”multiplikationsfaktor” er ikke et ord brugt af ægypterne, men blot et ord som jeg fandt egnet i denne sammenhæng.

Side 18

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

18

Resultat 𝟑 𝟑𝟑

̅ ̅ ̅ ̅ ̅

                   4
                      ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Der gælder altså følgende: = 3 33 , dette er
                   11

resultatet udtrykt med stambrøker, som ægypterne ville have gjort det.

           2                                                               2
Således blev -tabellen benyttet til at finde fordoblingen af den første stambrøk, altså finde , som
           𝑛                                                               𝑛

i dette tilfælde var_{11}^{2} = 6 66. Dette for at de kunne fortsætte deres fordoblingsprincip igennem

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ hele divisionsstykket.

Division byggede således i det gamle Ægypten på kundskaberne om addition og multiplikation samt læren om brøker.

Areal beregninger – landmåling

Som tidligere nævnt tyder alt på, at ægypterne benyttede matematikken til landmåling. For at muliggøre dette, var det nødvendigt, at de var i stand til at beregne arealer. Ud fra den matematiske kilde Papyrus Rhind og Papyrus Moskva ved vi, at de foretog sådanne beregninger. I det følgende afsnit vil der forekomme arealberegning samt forklaringer af et rektangel, hvilket er en form, man må formode markerne omkring Nilen kan have haft og dermed arealberegninger som skriverne formentlig har foretaget.

Rektangler

En typisk form for en mark kan være et rektangel. Ægypternes fremgangsmåde til

arealberegninger af rektangler foregår ved hjælp af samme metode som i dag: højde · bredde. Ud

fra eksemplet som forekommer i opgave 49 i Papyrus Rhind, vil metoden blive forklaret. I beregningen af arealer er det vigtigt at være opmærksom på ægypternes brug af enheder.

Enheden khet var den almindelige enhed for mål af længder. 1 khet kan oversættes til 100 alen, hvilket også vil ske i eksempelet. Ægypterne benyttede sig samtidig af en arealenhed kaldet

alenstrimmel som svarer til 1 alen · 1 khet. Brugen af disse enheder samt metoden til beregninger

af et rektangels areal vil blive demonstreret samt forklaret ud fra følgende eksempel. [29]

29

Eksemplet stammer fra opgave 49 i Papyrus Rhind hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 62

Side 19

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

19

Rektanglets sider er henholdsvis 10 khet og 1 khet, arealet beregnes ved hjælp af den ægyptiske

metode. Altså højde · bredde ⬄ 10 khet · 1 khet

Første faktor Anden faktor Forklaring af de forskellige trin

1 1000 De første tre linjer udgør et multiplikationsskema som det tidligere er set i denne opgave. Det er multiplikationen mellem 10 khet og 1 khet, som finder sted, denne multiplikation foregår på præcis samme måde, som det er beskrevet i afsnittet om multiplikation. I anden kolonne ses det hvordan de 10 khet omregnes til 1000 alen på følgende

på måde: 10 khet · 100 = 1000 alen (dette ud fra enhederne,

som står beskrevet ovenfor)

10 10 000 Tidobling forekommer i begge kolonner

\ 100 100 000 I venstre kolonne står nu de 100 alen (det samme som den ene side på 1 khet blot omregnet), som man ønskede at finde. Arealet står dermed i den højre kolonne og er altså

100 000 alen^{2}

10 af 100 000 10 000 Skriveren har ikke ladet sig nøje med denne enhed, men

̅ ̅ ̅ ̅ ønsker arealenheden alenstrimmel. Ud fra enheden for

                                      2
alenstrimmel (se ovenfor), fremgår det at alen skal divideres

med 100 for at antage enheden alenstrimmel. Dette gøres af

skriveren i to trin. Først tages 10 af de 100 000 alen^{2}, hvilket

̅ ̅ ̅ ̅ giver 10 000.

10

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ af 10

1000

I dette trin tager skriveren 10 af den allerede fundne 10 af resultatet, hvilket giver det endelige resultat 1000 alenstrimmel. I disse to sidste trin benytter skriveren sig altså af sine kundskaber om stambrøker, i stedet for blot at dividere de to tal 100 000 og 100 med hinanden.

Side 20

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

20

Ved hjælp af ovenstående metode var det muligt for ægypterne at beregne arealer af rektangler, så længe de kendte de to siders mål. Denne metode vil derfor være specielt relevant, hvis man forestiller sig det fænomen, hvor Nilen ”har taget noget” af bondens mark og nogle af siderne dermed er blevet mindre, præcis som Herodot skildre det i sin kilde. Ægypterne var også i stand til at beregne arealerne af mange andre figurer, bl.a. trekanter, cirkler og trapezer, hvilket dog anses mindre relevant i denne opgave, idet et rektangel formentlig er den mest lempelige og brugte figur for en mark.

Relevante opgaver

For at understøtte samt bekræfte matematikkens nødvendighed og anvendelsesområder i

Ægypten beregnes to opgaver, hvoraf begge stammer fra kilden Papyrus Rhind. De er begge relevante i forhold til anvendelsen af matematikken i den Ægyptiske hverdag, i Ægyptens

                                  30
landbrugssamfund samt fordelingssystem.

Opgave 505 – Pesu opgave^{31}

Denne opgave er en pesu-opgave. Pesu er et mål for korns udnyttelse ved bagning af brød og brygning af øl. Et højt pesu for brød betyder at brødene er små og omvendt, samtidig som et højt pesu for øl betyder, at der er brygget en stor mængde tynd øl og ved et lavt pesu at der er brygget en mindre mængde stærk øl. Der findes opgaver, som indeholder pesu og beregning af dette i hovedkilden Papyrus Rhind samt kilden Papyrus Moskva [32]. Formlen for pesu ser således ud:

Pesu =

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑟ø𝑑 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑚æ𝑛𝑔𝑑𝑒 ø𝑙 𝑚æ𝑛𝑔𝑑𝑒 𝑏𝑦𝑔 𝑚å𝑙𝑡 𝑖 ℎ𝑒𝑘𝑎𝑡

Hekat er et rummål, som benyttedes til måling af korn, der gælder 1 hekat = ca. 4,8 l

Opgaven beregnes

1) Der gælder følgende sammenhæng mellem pesu, mængde korn og antal brød/krukker øl:

   200 𝑏𝑟ø𝑑
15 =      +          , hvor b = pesu for brødet og ø = pesu for øllet

𝑏 ø

10 𝑘𝑟𝑢𝑘𝑘𝑒𝑟 ø𝑙

Ud fra linje 2 og 3 vises det at sammenhængen er korrekt opstillet.

30

Opgaverne er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 116 og s. 122

31

Begge opgaveformuleringer er vedlagt i bilag 4

32

Kundskaberne om målet Pesu er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 38 - 41

Side 21

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

21

Korn: 15 hekat

Brød (bagt ved hjælp af denne mængde korn): 200 stk.

Øl (brygget af resten af kornet): 10 krukker

Vi ved, at der gælder (for enkelthedens skyld behandles henholdsvis brødets og øllets pesu i første omgang hver for sig):

Pesu =

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑟ø𝑑 𝑚æ𝑛𝑔𝑑𝑒 𝑘𝑜𝑟𝑛,𝑚å𝑙𝑡 𝑖 ℎ𝑒𝑘𝑎𝑡

Da mængden af korn, i sammenhængen vi forsøger at bevise, er udtrykt som antal brød og pesu, isoleres mængden af korn i ovenstående ligning.

             𝑎𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑟ø𝑑 200 𝑏𝑟ø𝑑
Mængde korn =        =
               𝑝𝑒𝑠𝑢

𝑏

Ved hjælp af samme metode udledes øllet:

Pesu =

𝑚æ𝑛𝑔𝑑𝑒 ø𝑙 𝑚æ𝑛𝑔𝑑𝑒 𝑘𝑜𝑟𝑛,𝑚å𝑙𝑡 𝑖 ℎ𝑒𝑘𝑎𝑡

Kornmængden isoleres:

           𝑚æ𝑛𝑔𝑑𝑒 ø𝑙
Mængde korn =      =
              𝑝𝑒𝑠𝑢

10 𝑘𝑟𝑢𝑘𝑘𝑒𝑟 ø𝑙 ø

Da der sammenlagt benyttes 15 hekat korn til bagning samt brygningen, må der gælde følgende sammenhæng:

   200 𝑏𝑟ø𝑑
15 =     +

𝑏 ø

10 𝑘𝑟𝑢𝑘𝑘𝑒𝑟 ø𝑙

Sammenhængen er dermed bevist.

2) Ifølge linje 4 gælder der: 10

̅ ̅ ̅ ̅ af brødets pesu b er lig øllets pesu ø. Der må derfor gælde

følgende sammenhæng: 10 · b = ø

̅ ̅ ̅ ̅

3) b og ø bestemmes.

Der kan ud fra ovenstående opgaver opstilles to ligninger med to ubekendte.

          200 𝑏𝑟ø𝑑
Ligning 1: 15 = +
             𝑏

10 𝑘𝑟𝑢𝑘𝑘𝑒𝑟 ø𝑙 ø

Ligning 2: ø = 10 · b

̅ ̅ ̅ ̅

Udtrykket for ø i ligning 2 indsættes nu på ø’s plads i ligning 1, hvilket gør det muligt at isolere b.

   200   10
15=   +
        ̅ ̅ ̅
    𝑏   10

̅

∙𝑏

Side 22

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

22

For at muliggøre addition mellem de to brøker, kræves en fællesnævner. I dette tilfælde vil en lempelig fællesnævner være b. der divideres derfor med 10

̅ ̅ ̅ ̅ i både tæller og nævner i

brøken_{10}_{̅}_{̅}_{̅}^{10}_{̅}_{∙𝑏}. Hvilket giver følgende:

   200  100 300
15 =  +   =
    𝑏   𝑏    𝑏

                      300
b isoleres af ligningen: b = = 20
                      15

brødets pesu er dermed 20 værdien for b indsættes i ligning 2 og ø beregnes:

ø = 10 ·20 = 2

̅ ̅ ̅ ̅ øllets pesu er dermed 2.

4) Der gøres rede for udregningerne i kilden PM24

I linje 1-3 formuleres det i opgaven, hvilken mængde korn man har og hvor meget brød og øl man får ud af dette.

I linje 4 forklares forholdet mellem brødets pesu og øllets pesu

I linje 6 defineres det, hvad man skal multiplicere brøken 10

̅ ̅ ̅ ̅ med for at få en hel, hvilket

giver multiplikationsstykket 10·10 = 1. Stambrøken skal altså multipliceres med 10 for at få

̅ ̅ ̅ ̅ en hel (med ordet ”regn” menes der derfor i dette tilfælde multiplikation).

I linje 7 multipliceres de ti krukker øl med de ti, som det kræver for at skabe en hel (hentet fra linje 6), hvilket giver 100. Dette trin i beregningen kan sammenlignes med det trin, hvor

vi finder en fællesnævner og dermed dividere de 10 med 10^{̅}^{̅}^{̅}^{̅} i brøken_{10}_{̅}_{̅}_{̅}^{10}_{̅}_{∙𝑏} i opgave 3.

I linje 8-9 adderes de 200 brød med de 100 (dette er altså den samme addition som blev foretaget i opgave 3). Derefter divideres den fundne sum 300 med mængden af korn, som er 15 hekat (med ordet ”regn” menes der derfor i dette tilfælde division). At resultatet af divisionen vises.

I linje 11-12 findes 10

̅ ̅ ̅ ̅ af brødets pesu, hvilket man ud fra opgaven ved er øllets pesu. Dette gøres ved hjælp af multiplikation mellem de to tal og ordet ”regn” betyder derfor i dette tilfælde multiplikation. Øllets pesu på 2 vises.

Side 23

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

23

Opgave 708 – fordeling

Denne opgave fremstiller en metode til fordeling af brød, hvilket var nødvendigt i Ægyptens fordelingssamfund. Opgaven indeholder to opgaver, hvilke ikke har noget med hinanden at gøre, medmindre at der står noget i opgave 40, Papyrus Rhind, som ikke er oplyst.

Del 1 – opgaven formuleret af Jesper Frandsen, forfatter til ”Ægyptisk matematik”

Der opstilles en differensrække ud fra følgende oplysninger:

Summen af brød: 60

Største del: 23 differens: 5 2

̅

23+(23-5 2)+(23-2·5 2)+(23-3·5 2)+(23-4·52) = 60

̅ ̅ ̅ ̅

De fem faktorer beregnes:

1. 23 = 23 brød
2. 23-5 2 = 17,5 brød

̅

3. 23-2·5 2 = 12 brød

̅

4. 23-3·5 2 = 6,5 brød

̅

5. 23-4·52 = 1 brød

̅

Resultatet viser fordelingen af brød mellem de fem mænd.

Del 2 – den oprindelige opgave, som stammer fra PR40

Der opstilles ud fra opgavens oplysninger to ligninger med to ubekendte.

b = største del i differensrækken d = differensen mellem delene i differensrækken

Ligning 1:

1/7 (b+(b-d)+(b-2d))=(b-3d)+(b-4d)

3b-3d=7(2b-7d) ⬄ 46d=11b

Ligning 2 (skrevet på formelen for ægypternes metode til beregning af summen s af en differensrække):

s = 2 n(2b-d(n-1))

̅

Side 24

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

24

Hvor der gælder: s = den samlede sum af differensrækken n = antal led differensrækken består af
i denne opgave gælder der derfor: s= 100 brød n = 5 mænd

100 = 2 ·5(2b-d(5-1)) ⬄ 5b-10d

̅ b isoleres af ligning 1:

   46𝑑
b =
   11

udtrykket for b indsættes i ligning 2 og d isoleres:

      46𝑑
100 = 5· – 10d
       11

      46𝑑  110𝑑 120𝑑
100 = 5· -    =
       11  11    11

120d = 100·11

   1100 55
d=    =
   120  6

Differensen i differensrækken er dermed^{55}_{6}, denne værdi indsættes i ligning 1 og b isoleres

46d = 11b

    55
  46∙
    6
b=
   11

  15
b=  ≈ 38,3 brød
   3

De forskellige dele i differensrækken kan nu beregnes:

1. b≈38,3 brød

2. (b-^{55}_{6}) ≈ 29,2 brød

       55
3. (b-2· ) ≈ 20,0 brød
       6

       55
4. (b-3· ) ≈ 10,8 brød
       6

       55
5. (b-4· ) ≈ 1,7 brød
       6

Side 25

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

25

Diskussion angående Papyrus Rhind^{33}

Historikere samt matematikere har svært ved at opnå enighed om, hvorvidt Papyrus Rhind var en praktisk lærebog til dagligdagsbrug i det gamle Ægypten eller om det er et bevis for en dybere matematisk forståelse samt abstrakt tankegange allerede 1650 f. kr. I det følgende afsnit vil der med udgangspunkt i to matematikeres vidt forskellige holdninger blive diskuteret og fundet argumenter for og imod, for henholdsvis det ene og det andet matematiske synspunkt.

De to matematikere G.J. Toomer og A.B. Chase er af to forskellige overbevisninger, hvad angår hensigten med Papyrus Rhind. Toomer mener at Papyrus Rhind blot var en praktisk lærebog, hvorimod Chase er af den opfattelse, at ægypterne var i stand til at tænke abstrakt og ønskede at udvikle matematikken ”for its own sake”, som han selv udtrykker det.

Opgave 40 [34] i Papyrus Rhind kan både benyttes til at tale for og imod ægypternes matematiske kunnen. Opgaven omhandler fordelingen af brød, hvilket kunne have været særdeles relevant i det gamle Ægypten og kilden kan dermed understøtte G.J. Toomers holdning om brugen af Papyrus Rhind. Skriveren udelader også visse mellemregninger samt opgavens resultat, som det er set så ofte før i Papyrus Rhind. Manglende mellemregninger og hyppigt forekomne fejl i Papyrus Rhind kan vidne om, at skriverne ikke har været så lærde og matematikkyndige som A.B. Chase påstår.

Samtidig kan kilden også bruges som modargument mod ovenstående antagelse. Årsagen er, at eksemplet og dets resultat er urealistisk (se resultat ovenfor) og derfor formentlig ikke kan have været et eksempel fra virkeligheden, men måske blot en måde for skriverne at formidle deres matematiske kundskaber til deres elever på. Altså blot en vilkårlig måde at formulere en opgave på ved hjælp af virkelighedstro objekter. Dette er en egenskab, som er ganske sofistikeret og vidner om forståelse.

En stor del af opgaverne, som indgår i de forskellige fundne kilder, er formuleret ved hjælp af dagligdagstermer og omhandler fordeling af bl.a. brød samt opmåling og arealberegning af marker

(en stor del af de kilder, som omhandler arealberegninger indledes med, at det er en mark der

33

En del af informationen om historikerne holdninger samt argumenter er hentet fra hjemmesiden

http://openlearn.open.ac.uk/mod/oucontent/view.php?id=397149&printable=1. Citater fra de to historikere er

vedhæftet i bilag 4.
34

Denne kilde/opgave er vedhæftet i bilag 5

Side 26

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

26 tages udgangspunkt i). Samtidig indledes en del af kilderne med ”Hvis en skriver siger til dig…” ”Giv ham da svaret…” og lignende personlige henvendelser, hvilket vidner om dagligdagsbrug samt et forsøg på at lære eleverne konkrete problemstillinger, som de vil kunne blive stillet overfor i virkeligheden. Disse fakta kan bekræfte Toomers holdning om kilden Papyrus Rhind, da det ville være naturligt samt logisk at formulere opgaverne således, hvis hensigten med disse var dagligdagsbrug. Men samtidig kan det også have været et udtryk for skrivernes pædagogik samt fantasi i forhold til deres elever. Præcis som det i dag er meget brugt at benytte virkelighedstro

objekter/fænomener i formuleringen af matematikopgaver. Et eksempel på en sådan opgave kan

fx. være fisks formering, som sker eksponentielt. Denne opgave vil ikke være formuleret på baggrund af interessen for fiskene, men fordi elever skal lære at håndtere eksponentielle funktioner. Opgave 40 i Papyrus Rhind er ikke den eneste opgave, som ifølge A.B. Chase indeholder virkelige fænomener, som er urealistiske og fænomener, som ikke har forekommet i Ægypten. Dette styrker altså hans argument om, at det blot er en opgaveformulering og ikke et hverdagsproblem. Det er dog bemærkelsesværdigt, hvor relevante en stor del af opgaverne, som stammer fra Papyrus Rhind, er i forhold til datidens ægyptiske samfund, hvor sådanne beregninger var nødvendige, primært for at få fordelingssystemet til at fungere.

I afsnittet om de elementære regningsarter samt afsnittet om brøker fremgår det, at beregninger foretages ved hjælp af forholdsvis besværlige og unødvendigt komplicerede metoder. Disse komplicerede metoder vidner ifølge Toomer om mindre matematisk forståelse. Samtidig som han mener, at metoderne har forhindret ægypterne i at udvikle matematikken yderligere. Der er noget der tyder på, at de ikke har haft den store matematiske forståelse, hvilket bl.a. fremgår i deres behandling samt opfattelse af brøker. Det faktum at ægypterne udelukkende kan forestille sig

stambrøker samt brøken^{2}_{3} vidner om begrænset forståelse. At de derudover kun kan forestille sig

brøker med en tæller større end 1, som summen af forskellige stambrøker, bekræfter den manglende forståelse og sætter visse begrænsninger for matematikkens udvikling. Det ville formentlig have været for kompliceret og besværligt for ægypterne at have udviklet matematikken til et højere niveau med de midler, de havde til rådighed. Det kan igen diskuteres, hvilket formål denne videreudvikling af matematikken skulle have tjent. Da ægypterne i princippet var i besiddelse af de matematiske færdigheder, de havde behov for, for at opretholde et velfungerende samfund.

Side 27

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

27

For at understøtte Chases argument, kan man dog bekræfte ægypternes matematiske færdigheder til en hvis grad, idet der hersker bred enighed blandt matematikere, om at de brugte metoder er korrekte. En del af deres metoder bruger matematikere den dag i dag (eksempelvis beregning af et rektangels areal og i princippet også formen for summen s i en differensrække, i dag er formen dog en smule omformuleret, men princippet er identisk).

                                                                           2
Det faktum at ægypterne var i besiddelse af flere forskellige matematiske hjælpemidler bl.a. -
                                                                           𝑛

tabellen, kan vidne om et behov for hjælp for at fuldføre matematiske beregninger. Dette vidner igen om mindre matematisk forståelse, samtidig som det kan få Papyrus Rhind til at fremstå som et opslagsværk i stedet for en samling af abstrakte matematiske tanker.

I Papyrus Rhind forekommer der ingen beviser for ægypternes matematiske handlinger. Udover dette er der meget få regler eller sætninger, som vi i dag kalder det (et enkelt eksempel på en

sætning forekommer dog i opgave 61B, som er en anvisning af, hvordan man bestemmer^{2}_{3} af en

stambrøk med ulige nævner [35]). Udover dette er det udelukkende konkrete opgaver, som beregnes og til dels forklares. De manglende forklaringer og mellemregninger, samt mangel på beviser for deres handlinger kan igen sætte spørgsmålstegn ved ægypternes matematiske forståelse samt deres ønske om virkelig at forstå og udvikle deres matematiske kundskaber. Chase vælger i denne sammenhæng at sammenligne opgaverne, som indgår i Papyrus Rhind med babylonisk matematik, som stammer fra ca. 2400 f. kr., altså tidligere end Det Nye Rige. Der hersker blandt matematikere stor enighed om, at babyloniernes opgaver ikke blot var opgaver, men samtidig matematiske regler, eksempelvis for beregningen af en trekants areal. Chase vælger at opfatte opgaverne i Papyrus Rhind ligeledes, på trods af at det ikke fremgår nogen steder. Dette svækker hans argument, samtidig som det vidner om fejlagtig analyse af kilden.

Man bør tage forbehold for kildernes tilstand samt det tolkningsdilemma der ligger i dem, når man sammenligner forskellige holdninger til Papyrus Rhind. Da det altid er et spørgsmål om ”øjnene der ser”, hvilket er særdeles relevant i forhold til disse kilder, kan kilderne tolkes forskelligt, hvilket formentlig vil medføre forskellige holdninger, om det er tilfældet i denne situation vides ikke.

35

Denne sætning/viden om dens eksistens er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 37

Side 28

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

28

Med alle disse argumenter både for den ene og den anden holdning, kan det være svært, om ikke umuligt, at komme frem til en konklusion. Da vi ikke har yderligere oplysninger om kilden Papyrus Rhind, må man muligvis blot affinde sig med, at det er et omdiskuteret emne, hvis svar er et fortolkningsspørgsmål.

Konklusion

Redegørelsen af begrebet flodkulturer samt det ægyptiske samfund som opstod langs Nilen, har bekræftet vigtigheden af tilgangen til vand samt de udviklingsmuligheder denne geografiske beliggenhed giver. Det store afkast afgrøderne har givet årligt har lagt grunden og givet mulighederne for udviklingen af et samfund, som ikke tidligere har været udbredt, et samfund hvor flere forskellige erhverv spiller en stor rolle. Dette har igen medført behovet for en fordelingspolitik, som det er set under Det Nye Rige i Ægypten. For at opretholde et velfungerende samfund med denne politik samt samfundsopbygning har de matematiske kundskaber været påkrævede. Dette har lagt grunden for tredelingen af det ægyptiske samfund med faraoen som overhoved, embedsmændene som styrede landet på baggrund af faraoens ønsker og ordre og til sidst bønder og håndværkere, som var den del af samfundet som forsørgede resten af samfundet med råvarer og materielle resurser.

Matematikkens rolle er blevet defineret, som et middel til at opretholde et velfungerende samfund samt sikre faraoens magtposition. Der er i opgaven blevet redegjort for de fire elementære regningsarter, brøktallene samt arealberegninger. Alle matematiske kundskaber, som har været nødvendige redskaber i det ægyptiske samfund. Brugen af matematikken i praksis er fremstillet ved hjælp af et par eksempler, som begge stammer fra kilden Papyrus Rhind.

På baggrund er den matematiske kilde, Papyrus Rhind, er det blevet diskuteret, hvorvidt denne blot er en praktisk håndbog til dagligdagsbrug eller om det er et bevis for en større matematisk forståelse samt et ønske om at udvikle matematikken til et højere niveau. Det er umiddelbart svært at konkludere noget reelt, idet historikerne og matematikkerne er så uenige om kildens oprindelige formål. Da det er muligt, at finde argumenter til fordel for både den ene og den anden part, må dette spørgsmål fortsat være op til den enkelte.

Side 29

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

29

Det må dog kunne konkluderes, at det ægyptiske samfund under Det Nye Rige har været yderst velfungerende og højt udviklet. Årsagen til denne høje udvikling har til dels været samfundets geografiske placering langs Nilen men uden de matematiske kundskaber, de havde til rådighed havde samfundet ikke kunne fungere som det gjorde for over 3000 år siden.

Side 30

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

30

Litteraturliste

Bøger:

Bekker-Nielsen, Tønnes med flere, ”Verdens historie 1 fra oldtid til 1750”, udgivet i 1996 Frandsen, Jesper, ”Ægyptisk matematik”, udgivet i 1996

Holm-Rasmussen, Torben, ”Ansigt til ansigt med Ægypten”, udgivet i 1993

Holm-Rasmussen, Torben, ”Politikkens bog om det gamle Egypten”, udgivet i 2003

Hjemmesider:

http://others.sensagent.com/flodkultur/sv-sv/

http://www.datamuseum.dk/site_dk/historie/karvestok/

http://openlearn.open.ac.uk/mod/oucontent/view.php?id=397149&printable=1

http://www.matematiksider.dk/pi.html

Side 31

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

31

Bilag

Bilag 1 – Farao nedhugger fjende ca. 3100 f.kr. [36]

Bilag 2 – Uddrag af visdomsteksten ”Ptahhoteps visdomstekst” [37]

”Hvis du er en fortræffelig mand som sidder i din herres råd, så saml opmærksomheden om noget nyttigt, din tavshed er bedre end snakken.

Tal kun, når du ved, du har en løsning.

Det er den kyndige, der taler i rådet, at tale er sværere end alt andet arbejde, den, der forstår det, får gavn af det”

Bilag 3 -_{𝒏}^{𝟐} - tabellen^{38}

36

Billedet er hentet fra bogen ”Ansigt til ansigt med Ægypten” af Torben Holm-Rasmussen s. 15

37

Uddraget er hentet fra bogen ”Ansigt til ansigt med Ægypterne” af Torben Holm-Rasmussen s. 29

38

Tabellen er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af Jesper Frandsen s. 31

Side 32

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

32

Bilag 4 – opgaver^{39}

39

Begge opgaver er hentet fra bogen ”Ægyptisk matematik” af ”Jesper Frandsen” s. 116 og s. 122

Side 33

[navn fjernet] 3.x [navn fjernet] Skole

Af

33

Bilag 5 – forskellige holdninger til ægyptisk matematik [40]

40

De to forskellige holdninger angående Papyrus Rhind er hentet fra mit eget bilag vedhæftet med opgaveformuleringen