SRO - Per Nørgårds uendelighedsrække og det binære talsystem

Side 1

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 1 af 11

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse ...................................................................................................................... 1 Indledning med opgaveformulering ............................................................................................. 1 Den kromatiske uendelighedsrække ............................................................................................ 2 Det binære talsystem .................................................................................................................... 4 Det binære talsystem og uendelighedsrækkerne .......................................................................... 5 Uendelighedsrækken i Voyage into the Golden Screen, 2. sats ................................................... 6 Diatonisk uendelighedsrække ...................................................................................................... 8 Konklusion ................................................................................................................................... 9 Litteraturliste ................................................................................................................................ 9 Bilag 1 ........................................................................................................................................ 10 Bilag 2 ........................................................................................................................................ 10 Bilag 3 ........................................................................................................................................ 10 Bilag 4 ........................................................................................................................................ 10 Bilag 5 ........................................................................................................................................ 11 Indledning med opgaveformulering

I 1959 fandt Per Nørgård uendelighedsrækken (læg mærke til ordvalget – Per Nørgård siger selv, at han ikke opfandt men fandt uendelighedsrækken) – et komplekst begreb, der indebære både musik, men også en masse matematik. Jeg vil i denne opgave undersøge dette fascinerende begreb, først og fremmest ved at finde ud af hvad uendelighedsrækken er, derefter vil jeg kigge på det binære talsystem og så på hvordan uendelighedsrækken hænger sammen med det binære talsystem.

Herefter vil jeg analysere brugen af den kromatiske uendelighedsrække i ”Voyage into the Golden Screen” af Per Nørgård og til sidst vil jeg lave den diatoniske uendelighedsrækkes første 64 toner – både vist på noder og beskrevet ved binære tal.

Til dette formål har jeg i særdeleshed brugt internettet, hvor der er en side om Per Nørgård, der fortæller meget godt om hans uendelighedsrække, men jeg har også brugt bøger – bl.a. også om det binære talsystem. Men uendelighedsrækken er mere noget, man skal fordybe sig i, for at forstå - så bøger og andet af den slags, kan ikke give svar på det hele.

Side 2

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 2 af 11

Jeg vil her i opgaven gå igennem opgaveformuleringen kronologisk, fordi det er den eneste måde hvorpå, man virkeligt vil kunne forstå, hvad der sker.

Den kromatiske uendelighedsrække

Uendelighedsrækken eller uendeligtæppet består af tre elementer: to toner og intervallet imellem dem. Dette giver en uendelig strøm af toner. Denne række kan være kromatisk, diatonisk, den kan opbygges med kvinter eller noget helt fjerde, men i første omgang vil jeg beskæftige mig med den kromatiske uendelighedsrække.

Når en to-delt kromatisk uendelighedsrække skal opbygges, skal vi have to kromatiske toner, altså to toner med en lille sekund imellem dem. Hvis vi tager udgangspunkt i tonen c og lader den gå en lille sekund opad, vil det se sådan her ud: Disse to toner kører hver deres løb, men de venter hele tiden på hinanden, sådan at den første tones række skifter, den anden tones række skifter, den første tones række skifter etc. Uendelighedsrækken kan køre i omvending-retvending, retvending-omvending, retvending-retvending eller omvending-omvending. Den mest sete uendelighedsrække kører i omvending-retvending, så det vil jeg også bruge her. Når den kører i

                                                                          1
omvending-retvending betyder det, at den første tone er kontrær, den anden tone er medvind – altså

går den første tone i modsat retning af det interval, det er afhængigt af og den anden følger bare med intervallet. I den kromatiske uendelighedsrække vil det første interval være en lille sekund

opad, eller man kan også sige +1. Når dette interval kommer i omvending fra første tone, bliver det

til -1 og så kan vi indsætte den næste tone i uendelighedsrækken (se bilag 1a) Den næste tone finder

vi ved at tage det samme interval (+1) i retvending fra anden tone, så den næste tone bliver altså +1

fra anden tone (se bilag 1b).

Det næste interval mellem de to næste toner (des og h) er en stor sekund nedad eller -2. I omvending fra den første tones række (altså er det her fra tonen h) vil den nye tone være en stor

sekund højere eller +2. Den anden tones række (her tonen d) vil gå en stor sekund op eller +2. (se

bilag 1c)

Intervallet derefter (mellem h og d) er en lille terts opad eller +3. Den første tones række vil derfor
gå en lille terts ned (-3) og den anden tones række vil gå en lille terts op (+3). (se bilag 1d) Dermed

har vi de første otte toner af uendelighedsrækken, som herfra vil fortsætte ud i det uendelige på samme måde.

1: Interview med Per Nørgård

Side 3

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 3 af 11

Når man har to toner af uendelighedsrækken, har man med det samme 4 toner, med 4 toner

har vi 8 toner og sådan kan vi fortsætte^{2} – ja, det er faktisk en eksponentiel funktion, der her

kommer frem.

Når Per Nørgård snakker om uendelighedsrækken, snakker han også om nogle ’åbne hierakier’. Det betyder, at det enkelte element i rækken indgår i uendeligt mange forskellige

sammenhænge^{3}. I et åbent hierarki er der ikke noget lag, der er over- eller underordnet noget andet,

                                            4
men derimod styrer alle lag hinanden i en sameksistens

. Dette betyder, at man kan finde uendelighedsrækken i uendelighedsrækken (dette kan både være fra andre tonehøjder, i retvending,

                        5
omvending eller strakt ud i tid

). Uendelighedsrækken kan genfindes ved kun at tage hver 4. tone eller hver 16. tone, hver 8. tone giver rækken i omvending. Faktisk kan vi opstille en regel der hedder, at alle lige tal giver rækken i omvending og alle ulige tal giver rækken i retvending – men

              6
bare transponeret .

Uendelighedsrækken har en stor lighed med fraktaler. Kort sagt er fraktaler nogle uregelmæssige geometriske figurer med skalainvarians. Som eksempel kan vi tage et blomkålshoved, skyerne eller kysten. Ved iterationsprocessen er der fremkommet en kurve, der er uendelig og hvor man kan forstørre et udsnit af kurven og se, at det er identisk med resten af

kurven^{7} – præcis det samme, der gælder for uendelighedsrækken. Når vi i fraktalgeometrien

snakker om iterationsprocessen, snakker vi i uendelighedsrækkerne om den måde, uendelighedsrækken er bygget op – ved projektion af intervaller. Som sagt kan uendelighedsrækken genfindes i sig selv ved at tage eks. hver 16. tone – dette begreb er også kaldet selvsimilaritet, altså at hvis vi forstørrer kurven, kommer der en identisk kurve frem. Naturen består nærmest kun af sådanne fraktaler – så dermed kan man godt forstå, at Per Nørgård siger, at han fandt uendelighedsrækken, for det begynder at ligne mere og mere, at uendelighedsrækken er en naturlig ting.

Når Per Nørgård bruger uendelighedsrækken i sine kompositioner, bruger han bl.a. noget, han

                                                                               8
kalder bølgelængder. Bølgelængden er det antal toner, der er mellem det antal af toner, han vælger

(med udgangspunkt i uendelighedsrækken). F.eks. kan han tage hver 3. tone (her tælles der fra 0, da

                                       9
der ikke har vist sig noget endnu når tiden starter

) i uendelighedsrækken og her frem kommer en

2: Interview med Per Nørgård

3: www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/uhierarki.html

4: Interview med Per Nørgård

5: www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/uhierarki.html

6: ibid

7: Den Store Danske Enzyklopædi > fraktal

Side 4

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 4 af 11

8: Interview med Per Nørgård

9: ibid ny melodi, der er en del af rækken – det kaldes altså, at han har taget bølgelængde 3. Han siger, at de bølgelængder, der giver nye melodier er de ulige, 3, 5, 7 etc. Per Nørgård har lavet en melodi med bølgelængde 5 til Ole Sarvigs digt, ’Himmelkim’, der er et firestemmigt værk (for SSAA), der indeholder tre arrangementer og to melodier (den første og sidste sats er det samme arrangement med forskellig tekst, den første, anden og fjerde sats har samme melodi). Denne melodi med bølgelængde 5 er den melodi, der er i de tre af satserne. I bilag 2 ses første sats af ’Himmelkim’, hvor Per Nørgård har brugt uendelighedsrækken med udgangspunkt i tonen G (i 1. sopranen – uendelighedsrækken er også i 2. sopranen, hvor den har udgangspunkt i tonen es (dog med lille variation))

I anden sats, Som året går, tager han udgangspunkt i uendelighedsrækken fra E. (se bilag 3) I uendelighedsrækken er der hele tiden interferens – et mellemværende mellem to toner, et

mellemværende, man ikke kan sætte ord på og ikke kan tage og føle på^{10}. De to toner i

uendelighedsrækken har hver deres placering og retning, men det er svært at forklare deres

                                                                             11
mellemværende. Per Nørgård siger, at dybest set er interferens skaberen af uendelighedsrækken .

Det binære talsystem

I det binære talsystem eller totalssystemet er basis 2 og cifrene, man kan bruge, er 0 og 1, hvor

0 ikke skal tælles med og 1 skal tælles med. F.eks. kan et binært tal hedde Heri har det

bagerste tal en værdi på 2^{0} eller 1, det næste har en værdi på 2^{1} eller 2, det næste har en værdi på 2^{2}

eller 4 og sådan fortsætter man med at addere potensen med 1, så langt, som der er brug for. Altså

                                                                7    6     5
ville dette eksempel i titalssystemet (det system, vi anser for normalt) blive 1*2 + 0*2 + 0*2 +

1*2^{4} + 0*2^{3} + 1*2^{2} + 1*2^{1} + 1*2^{0} = 151. Vi kan opstille et skema over værdierne på de første 9 cifre

(eftersom systemet læses bagfra):

Plads nr. 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Værdi 2^{8} 2^{7} 2^{6} 2^{5} 2^{4} 2^{3} 2^{1} 2^{1} 2^{0}

De fleste elektroniske maskiner fungerer efter det binære talsystem – f.eks. computeren, hvor

1 svarer til at den er tændt og 0 svarer til at den er slukket. Fordelen ved talsystemet er, at det er så nemt at læse for en maskine fordi det kun består af de to tal. Når vi snakker om computere er det sådan, at 0 og 1 kaldes bits – og ordet bit stammer fra det engelske binary digit (binært ciffer).

Hvis man skal addere binære tal med hinanden gælder der tre regneregler^{12}:
10: http://www.dr.dk/P2/lyttilnyt/tema/Uendelighed/171009.htm

Side 5

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 5 af 11

11: Interview med Per Nørgård

12: Jessen, Møller & Mørk: Tal, Geometri og Funktioner, Gyldendal 1997, s. 97

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10

                                        13
Den lille tabel i det binære talsystem ser sådan ud :

* 0 1

0 0 0

1 0 1

I multiplikation er regnereglerne desuden de samme, som vi kender fra titalssystemet.

Matematikeren Leibnitz skrev i 1703 en afhandling om det binære talsystem. Han indså at nullet var ingenting, og ettallet var det, hele matematikken voksede ud fra. Desuden kunne han se en tydelig parallel til kristendommens skabelsesberetning, hvor verden blev skabt ud af intet, 0, af

Gud, 1^{14}.

Det binære talsystem og uendelighedsrækkerne

En meget nemmere måde at konstruere uendelighedsrækkerne på end ved projicering af intervaller talsystem rækken er ved hjælp af det binære talsystem – og fordelen ved denne metode er, at vi dermed kan sige hvad hvilket som helst nummer tone i rækken vil være.

Når vi skal finde ud af, hvilken tone i uendelighedsrækken, et specielt nummer er, skal vi læse de binære tal fra venstre mod højre. 1-tallene skal adderes med hinanden og hver gang, vi møder et 0-tal, skifter vi fortegn

                          15
på trinnet i uendelighedsrækken . I skemaet til venstre

herfor, er der opstillet de to talsystemer, titalssystemet og det binære talsystem og i den sidste søjle er det tilsvarende trin (ud fra tone 0) i uendelighedsrækken. Vi kan eks. kigge på tallet 9 i titalssystemet, der hedder 1001 i det binære talsystem, hvor vi starter med et 1-tal, så kommer der et 0, der gør at trinnet ind til videre hedder -1,

så kommer der endnu et 0, der gør at trinnet så hedder +1 og til sidst kommer der et 1-tal som

adderes med det sidste 1-tal og så er det niende trin i uendeligheds-

Titals- Det Trin i systemet binære uendeligheds-

0 0 0

1 1 1

2 10 -1

3 11 2

4 | 100 | 1
5 | 101 | 0

6 110 -2

7 | 111 | 3

8 1000 -1

9 1001 2

10 1010 0

11 1011 1

Side 6

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 6 af 11

13: ibid

14: Jessen, Møller & Mørk: Tal, Geometri og Funktioner, Gyldendal 1997, s. 99

15: http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/ukonstruktion03.html

rækken altså +2.

Uendelighedsrækken i Voyage into the Golden Screen, 2. sats

                                                7     7
I første sats af værket klinger der næsten kun to akkorder: G og Ab – altså to septimakkorder

med en lille sekunds afstand. De første 7 takter af anden sats er en overgang fra første sats til anden sats – hvor g og as er dominerende elementer (og de to første toner i en kromatisk uendelighedsrække startende fra g). Denne overgang kan kaldes en overgang fra stilstanden i første sats til bevægelsen i anden sats – lige så vel som titlen på værket indikerer både stilstand og

                                    16
bevægelse ved voyage/rejse og screen/skærm . Denne bevægelse, der er i anden sats, er den

kromatiske uendelighedsrækkes første 1024 toner.

De første 7 takter af anden sats (overgangen fra første til anden sats) består kun af tonerne g, as, fis, a, as, g, f og b (de første 8 toner af den kromatiske uendelighedsrække). Tonerne er spredt ud på instrumenterne. I starten er melodien meget uklar og svævende – man kunne også sige abstrakt – men det bliver klarere i takt 6 og 7 og så til sidst helt klokkeklart, når vi kommer til takt 8.

I takt 6-7 spiller fagotten og klarinetten rækken sådan, at fagotten har 1., 3., 5. og 7. tone mens klarinetten har 2., 4., 6. og 8. tone. Fagotten ligger altså ud med at spille den første tone i rækken og holder den mens klarinetten spiller den anden tone i rækken og holder den, og sådan overlapper de hinanden ind til klarinetten spiller sit b og fagotten holder sit f. Her fremkommer så en af de fascinerende ting ved uendelighedsrækken: de to stemmer er hver for sig motiviske spejlbilleder af

hinanden – intervalmæssigt gør de det samme, men med omvendt bevægelsesretning^{17}. Dette sker

fordi, som tidligere nævnt, at lige tal gengiver rækken i omvending.

(se skematisk oversigt over næste afsnit i bilag 4)

I takt 8 begynder fløjten i det hurtigste melodirytme af instrumenterne at spille uendelighedsrækken – den spiller ottendedele. Fløjten bliver her vores udgangspunkt for de andre instrumenter, fordi det er den, der ender med at spille flest toner af uendelighedsrækken – dermed ikke sagt, at fløjten er den vigtigste stemme. Klarinetten spiller fjerdedele, og den starter på fløjtens anden tone – det gør, at den påbegynder en ny uendelighedsrække en lille sekund over udgangspunktet. Hornet spiller halvnoder på hver fjerde tone fra fløjtens første tone –

Side 7

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 7 af 11 uendelighedsrækken i retvending, oboen spiller en punkteret fjerdedel (eller tre ottendedele) og derefter en ottendedelspause, den star-

16: Palle og Ursula Andkjær Olsen: Ny Musik efter 1945, Systime 2001, s. 231

17: Palle og Ursula Andkjær Olsen: Ny Musik efter 1945, Systime 2001, s. 232 ter på fløjtens fjerde tone og er derfor forskudt i forhold til hornet (som i princippet har samme nodeværdi) med en ottendedel. Oboen starter en stor sekund over fløjten. Strygergruppen

(bestående af to 1. violiner, tre 2. violiner og en bratsch) spiller hver 32. tone en lille sekund under fløjten – de er startet på fløjtens anden tone. Harpen starter på fløjtens 8. tone med at spille hver 8.

tone – det giver en uendelighedsrække, hvis udgangspunkt er en lille terts over fløjten. På fløjtens 7.

tone starter fagotten med at spille hver 16. tone, det giver uendelighedsrækken med starttone en stor sekund under fløjten. Trompeten starter på fløjtens 64. tone med at spille hver 64. tone – uendelighedsrækken en forstørret kvart (tritonus) over fløjten. Sidst, men slet ikke mindst, starter trombone, klokkespil og klaver på fløjtens 256. tone med at spille hver 156. tone

(uendelighedsrækken en lille sekst over fløjten). Det betyder, at disse instrumenter kun når at spille de fire første toner af uendelighedsrækken: es, e, d og f.

På den måde har Per Nørgård altså lagt de hurtige toner i det svage instrument, fløjten, og derfra i de stærkere instrumenter helt op til trombonen, som kun når at spille fire toner – de fire toner, som man vil huske bedst, for ikke nok med, at stort set alle instrumenter spiller samme tone, som trombonen, når den spiller (nogle instrumenter holder deres tone fra tidligere, da det ikke passer med, at de skal skifte tone der), er tonerne, trombonen spiller med på, i hele orkestret i fortissimo eller bare forte. Selvom fløjten er det instrument, der hele tiden spiller, er det meget svært at høre fløjten. Man hører alle tonerne fordi de andre instrumenter spiller dem på skift, så man får hele fløjtens stemme med, uden egentligt rigtigt at høre den – det er genialt gjort af Per Nørgård.

Titlen på dette værk, har Per Nørgård taget fra en sang af Donovan (skotsk folkesanger), som så også hedder ”Voyage into the Goden Screen” (for tekst til sang se bilag 5). Dette valg af titel tror jeg ikke er tilfældigt, for hvis man læser sangteksten illustrerer den faktisk dette værk fantastisk. De første to strofer handler om stilstand, altså 1. sats, mens der i tredje strofe pludselig kommer bevægelse – i starten let, så man ikke engang rører græsset, men så er der en dugdråbe, der bliver opdaget og dette fører til at kærlighedens og viljens kræfter bliver tilkaldt, der udspiller sig en symfoni af tang. Der er nogle gennemborende højdepunkter og dette ’bejeweled cask’ skulle da aldrig være, hvad Per Nørgård mener, er uendelighedsrækken?

Side 8

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 8 af 11

Diatonisk uendelighedsrække

Titalssystemet | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11
Det binære | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011

talsystem

Trin i | 0 | 1 | -1 | 2 | 1 | 0 | -2 | 3 | -1 | 2 | 0 | 1

uendelighedsrækken

12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22
1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 | 10001 | 10010 | 10011 | 10100 | 10101 | 10110
2 | -1 | -3 | 4 | 1 | 0 | -2 | 3 | 0 | 1 | -1

23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33
10111 | 11000 | 11001 | 11010 | 11011 | 11100 | 11101 | 11110 | 11111 | 100000 | 100001
2 | -2 | 3 | 1 | 0 | 3 | -2 | -4 | 5 | -1 | 2

34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43
100010 | 100011 | 100100 | 100101 | 100110 | 100111 | 101000 | 101001 | 101010 | 101011
0 | 1 | 2 | -1 | -3 | 4 | 0 | 1 | -1 | 2
44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53
101100 | 101101 | 101110 | 101111 | 110000 | 110001 | 110010 | 110011 | 110100 | 110101
1 | 0 | -2 | 3 | 2 | -1 | -3 | 4 | -1 | 2

54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63
110110 | 110111 | 111000 | 111001 | 111010 | 111011 | 111100 | 111101 | 111110 | 111111
0 | 1 | -3 | 4 | 2 | -1 | 4 | -3 | -5 | 6

64

1000000

1

Side 9

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 9 af 11

Konklusion

Jeg har undersøgt nogle af de mange hemmeligheder, der er i uendelighedsrækken – men slet ikke alle. Jeg har fundet ud af, hvordan uendelighedsrækken fungerer, hvordan det binære talsystem fungerer og hvordan uendelighedsrækken og de binære tal kunne sættes sammen ved at addere

1’erne med hinanden i det binære tal og så ændre fortegn hver gang man støder på et 0 – så har man til sidst det trin fra udgangspunktet i uendelighedsrækken, det binære tal passer til.

”Voyage into the Golden Screen”, 2. sats er konstrueret ned i mindste detalje fra Per Nørgårds side (hvilket ikke efterlader plads til, at musikerne kan improvisere), dermed indeholder stykket også mange sider af og finesser ved uendelighedsrækken.

Til sidst har jeg selv prøvet at udforme et udsnit af en uendelighedsrække – og oplevet hvor stor en hjælp, de binære tal i virkeligheden er, når man skal lave denne række.

Litteraturliste

- www.pernoergaard.dk o > Strukturer i musikken > Uendelighedsrækken

▪ > Introduktion

▪ > Konstruktioner

• > Projektion af intervaller

• > Binære tal

▪ > Åbne hierarkier

▪ > Bølgelængder

▪ > Fraktaler o > Udvalgte værker > Voyage into the Golden Screen

- www.dr.dk/P2/lyttilnyt/tema/Uendelighed/

- Palle og Ursula Andkjær Olsen: Ny musik efter 1945, Systime 2001

- Per Nørgård: Voyage into the Golden Screen, 2. sats,

- Jensen, Møller & Mørk: Tal, Geometri og Funktioner, Gyldendal 1997

- Den Store Danske Encyklopædi

- Interview med Per Nørgård (udleveret på CD)

- Leif Thomsen: Unendlicher Empfang, Edition Wilhelm Hansen 2000

- Per Nørgård: Himmelkim, Edition Wilhelm Hansen 2003

Side 10

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 10 af 11

Bilag 1 a.

b.

c.

d.

Bilag 2^{18}

18: Per Nørgård: Himmelkim - Edition Wilhelm Hansen 2003

Bilag 3^{19}

19: ibid

Bilag 4

Instrument | Nodeværdi | Starter på tone nr. | Interval fra fløjten | Spiller
Fløjter | ottendedele | 1 | prim | Hver tone
Klarinet | fjerdedele | 2 | Lille sekund over | Hver 2. tone
Horn | halvnoder | 1 | prim | Hver 4. tone

Obo 3^{1} / + 1/8-pause 4 Stor sekund over Hver 4. tone

8

Harpe 5^{1} / + 3^{1} / -pauser 8 Lille terts over Hver 8. tone

8 8

Fagot 5 ¼ + 3 ¼-pauser 7 Stor sekund over Hver 16. tone
Strygere 15 ¼ + 1/4-pause 2 Lille sekund under Hver 32. tone
Trompet 19^{1} / + 41^{1} / -pauser 64 Tritonus over Hver 64. tone

8 8

Side 11

Musik og matematik 7. 2. -08

Studieretningsopgave Per Nørgårds uendelighedsrække

Holstebro Gymnasium Side 11 af 11

Trombone 4^{1} / + 152^{1} / -pauser 256 Lille sekst over Hver 156. tone

8 | 8

Klokkespil 9^{1} / + 147^{1} / -pauser 256 Lille sekst over Hver 156. tone

8 | 8

Klaver 9^{1} / + 147^{1} / -pauser 256 Lille sekst over Hver 156. tone

8 | 8

Bilag 5

Voyage into the Golden Screen^{20}

20: http://www.allthelyrics.com/song/978737/