SRO om alkohol i Kemi A og Matematik A

Side 1

ABSTRACT

This paper contains a characterization of the function types: linear, exponen-tial, power and logarithmic. The meaning of the constants and variables are presented. The graphs of the functions are presented in a normal coordinate system. There is, as well, an explanation of logarithmic coordinate system and proofs of which function types that are linear in these coordinate systems. The result of the proof is that exponential functions are straight lines in a semi-logarithmic coordinate system and exponential functions are straight lines in a double-logarithmic coordinate system. The chemical properties of alcohols are presented and discussed. Furthermore a method to define the alcohol-content of alcohol-containing liquid is presented and discussed, based on experimental method. This study examiners also methods of creating ethanol, for example fermentation. It also contains a mathematic approach to describe the carbon dioxide production under fermentations. The result from the fermentations shows that the carbon dioxide production can be explained with a linear and a power regression.

Side 2

Side 2 af 16

Indholdsfortegnelse

Afsnit 1: Indledning............................................................................................................................................ 3 Afsnit 2: Funktioners egenskaber ...................................................................................................................... 3

2.1 Lineær funktion ....................................................................................................................................... 3

2.2 Eksponentiel udvikling ............................................................................................................................. 4

2.3 Potens udvikling....................................................................................................................................... 4

2.4 Logaritme ................................................................................................................................................. 5 Afsnit 3: Rette linjer i logaritmiske koordinatsystemer ..................................................................................... 6

3.2 Eksponentielle udviklinger i enkeltlogaritmisk koordinatsystemer ........................................................ 6

3.3 Potens funktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem ....................................................................... 7 Afsnit 4: Alkoholers opbygning og kemiske egenskaber ................................................................................... 7

4.1 Navngivning ............................................................................................................................................. 7

4.2 Primære, sekundære og tertiære alkoholer ............................................................................................ 8

4.3 Oxoforbindelsers fremstilling .................................................................................................................. 8 Afsnit 5: Eksperimentel metode til at bestemme alkoholindholdet i væsker ................................................... 9

5.1 Destillation ............................................................................................................................................... 9

5.2 Redoxtitreringen ...................................................................................................................................... 9

5.3 Beregning af ethanol indholdet ............................................................................................................. 11 Afsnit 6: Produktion af alkohol ........................................................................................................................ 12

6.1 Ethanol ved addition af vand til ethen .................................................................................................. 12

6.2 Gæring ................................................................................................................................................... 13

6.3 CO_{2} produktionen ved en gæringsproces .............................................................................................. 13

Afsnit 7: Konklusion ......................................................................................................................................... 14 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 15 Bilag 1: Teoretisk beregning af ethanolindholdet ved gæring ........................................................................ 16

Side 3

Side 3 af 16

Figur 1: Grafen for den lineære funktions udseende

Afsnit 1: Indledning

Alkohol (ethanol) anvendes i mange forskellige sammenhænge. Det bruges både som rusmiddel og til en række tekniske formål. Ethanol anvendes industrielt bl.a. som opløsningsmiddel og som rensemiddel i husholdningen. Ethanol har den egenskab, at det kan opløse både polære og upolæ-re stoffer. Ethanol bruges også til fremstilling af andre organiske stoffer som ethere og som brændstof til biler.

Opgaveemnet Alkohol er blevet behandlet ud fra et samarbejde mellem fagene matematik A og kemi B. I opgaven afgrænses emnet til primært at omhandle vækstmodeller, rette linjer i logarit-miske koordinatsystemer, produktion af alkohol, bestemmelse af alkoholindholdet i væsker samt CO produktionen ved en gæring. Til løsning af problemstillingerne benyttes matematiske om-

2 skrivninger af matematiske formler, samt data fra eksperimentelt arbejde.

I første del af opgaven vil jeg indledningsvis redegøre for de grundlæggende egenskaber ved de fire funktionstyper nævnt i opgaveformuleringen. I det efterfølgende afsnit anvender jeg matema-tiske omskrivninger til undersøgelse af hvilke funktioner, der danner rette linjer i logaritmiske koordinatsystemer. Her beskriver jeg desuden den logaritmiske skala. Ved næste afsnit fremgår en redegørelse af alkohols kemiske egenskaber, hvor jeg bl.a. indfører begreber som primære, sekundære og tertiære alkoholer og beskriver de mulige processer ved en oxidation af alkoholer.

Dernæst fremgår en eksperimentel bestemmelse af ethanolindholdet i forskellige væsker. Afslut-ningsvis omtaler jeg metoder til produktion af alkohol, og ud fra målte værdier fra en gæringspro-ces undersøger jeg ved hjælp af mit CAS-værktøj, hvilken vækstmodel, der bedst beskriver CO

2 produktion ved en gæringsproces. Alle benyttede materialer kan findes i litteraturlisten på s. 16.

Afsnit 2: Funktioners egenskaber

2.1 Lineær funktion

En lineær funktion har regneforskriften

𝑓 ( 𝑥) =𝑎∙ 𝑥 + 𝑏,

hvor 𝑎 og 𝑏 er konstanter, og 𝑓

( 𝑥

) og 𝑥 er koordinatsættet for et vilkår-ligt punkt på den rette linje. Hældningskoefficienten 𝑎 afgør funktionens monotoni. Hvis 𝑎 < 0 så er funktionen aftagende, er 𝑎 > 0 er funktionen

voksende og er 𝑎 = 0 er funktionen konstant og parallel med x-aksen.

𝑏 er skæringspunktet på y-aksen, den rette linje går altså gennem punk-

tet (0,b). 𝐷𝑚 ( 𝑓) =𝑅 og 𝑉𝑚 ( 𝑓) =𝑅 når 𝑎 ≠ 0, se figur 1

Side 4

Side 4 af 16

Figur 3: Grafer over potensudviklinger indtegnet i et normalt koordinatsystem

Figur 2: Grafer over eksponentielle udviklin-ger indtegnet i et normalt koordinatsystem

Ud fra to punkter ( 𝑥_{1},𝑦_{1}) og (𝑥_{2},𝑦_{2}) på linjen kan 𝑎 og 𝑏 bestemmes med formlerne:

𝑎 =

𝑦_{2} − 𝑦_{1}
𝑥_{2} − 𝑥_{1}

𝑏 = 𝑦 − 𝑎∙ 𝑥_{1}

1

2.2 Eksponentiel udvikling

Regneforskriften for den eksponentielle udvikling er

𝑓 ( 𝑥) =𝑏 ∙ 𝑎^{𝑥},

hvor 𝑎 og 𝑏 er konstanter, og 𝑓 ( 𝑥) og 𝑥 er koordinatsættet for et hvilket som helst punkt på grafen. Fremskrivnings-faktoren 𝑎 fortæller, hvor hurtigt værdien af 𝑓(𝑥) vokser.

Er 𝑎 > 1 er 𝑓(𝑥) eksponentiel voksende, og er 0< 𝑎 < 1 så er 𝑓(𝑥) eksponentielt aftagende. Begyndelsesværdien 𝑏 er skæringspunktet på andenaksen og 𝑏 > 0. Desuden er

𝐷𝑚 ( 𝑓) = 𝑅 og 𝑉𝑚 ( 𝑓) =𝑅^{+}, se figur 2

𝑎 og 𝑏 kan beregnes ud fra to punkter ( 𝑥_{1},𝑦_{1}) og (𝑥_{2},𝑦_{2}) på grafen med formlerne:

𝑎 =
√^{1}^{𝑦_{2}}_{𝑦_{1}}

𝑥 − 𝑥

2

𝑏 =

𝑦_{1}
𝑎^{𝑥}

1

2.3 Potens udvikling

Forskriften for potensudviklinger er

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥^{𝑎},

hvor 𝑎 og 𝑏 er konstanter, og 𝑓(𝑥) og 𝑥 er koordinatsættet for et vilkårligt punkt på grafen. 𝑎 kaldes eksponenten, og hvis 0< 𝑎 <1 er potensudviklingen voksende med aftagende hældning. Er 𝑎 >1 er 𝑓(𝑥) voksende med stigende hældning, og hvis 𝑎 < 0 er 𝑓(𝑥) aftagende. Potensudviklinger går gennem punktet ( 1,𝑏), fordi 𝑏 er

lig 𝑓(𝑥) værdien for 𝑥 = 1. 𝐷𝑚 ( 𝑓) =𝑅^{+} og 𝑉𝑚 ( 𝑓) = 𝑅^{+}, se figur 3

Side 5

Side 5 af 16

Ud fra to punkter ( 𝑥_{1},𝑦_{1}) og (𝑥_{2},𝑦_{2}) på grafens linje kan 𝑎 og 𝑏 bestemmes med formlerne:

𝑎 = =

𝑙𝑜𝑔()

𝑦_{2}
𝑦_{1}

𝑙𝑜𝑔()

𝑥_{2}
𝑥_{1}

𝑙𝑜𝑔 ( 𝑦_{2}) − 𝑙𝑜𝑔 (𝑦_{1})
𝑙𝑜𝑔 𝑥_{2} − 𝑙𝑜𝑔 (𝑥_{1})

()

𝑏 =
     𝑎

𝑦_{1}
𝑥_{1}

2.4 Logaritme

Der findes både den naturlige logaritme med grundtal 𝑒 og 10-talslogaritmen med grundtal 10.

Her beskrives 10-talslogaritmen, som er betegnet hvor 𝑙𝑜𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔_{10} ( 𝑥).

log

Definitionen af 10-talslogaritmen er:

𝑙𝑜𝑔 ( 𝑥) =𝑦 ⇔𝑥 =10,

𝑦

hvor 𝑥 > 0. 𝐷𝑚(𝑙𝑜𝑔) = 𝑅^{+} og 𝑉𝑚(𝑙𝑜𝑔)= 𝑅. 10-talslogaritmen er den omvendte funktion til

eksponentialfunktionen 𝑒𝑥𝑝 . 10-talslogaritmefunktionen log er monotont voksende, fordi
                        10                           10

log_{𝑎} er voksende, når grundtallet 𝑎 >1. Grafen for en logaritmefunktion går gennem punktet
( 1,0), fordi 𝑙𝑜𝑔_{10} ( 1) =0. Desuden gælder det at log_{10} ( 10) = 1 , se figur 4

Logaritmeregnereglerne gælder for positive reelle tal 𝑎 og 𝑏 og reelle tal 𝑥. Regnereglerne benyt-tes til at omdanne vanskelige multiplikationer eller divisioner til mere simple additioner eller sub-traktioner:

1) 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑎∙ 𝑏) =𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏

       𝑎
2) 𝑙𝑜𝑔 ( ) =𝑙𝑜𝑔 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏
       𝑏

3) 𝑙𝑜𝑔𝑎^{𝑝} = 𝑝 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎

Figur 4 - Det grafiske billede af 10-talslogaritmefunktionen

Side 6

Side 6 af 16

Afsnit 3: Rette linjer i logaritmiske koordinatsystemer

3.1 Den logaritmiske skala

En logaritmisk skala er inddelt efter forholdsprincippet, som siger, at lige lange afstande svarer til lige store forhold. Hvis man som eksempel ser på tallene 0,1, 1, 10, 100, ..., så er afstanden mellem tallene på den logaritmiske skala den samme, fordi forholdet mellem tallene er konstant (nemlig

10)^{1}, se figur 5. Desuden er akser med logaritmisk skala inddelt i dekader, hvor der mellem hver

dekade er et fast forhold på 10.

                                                                               2
Figur 5: den logaritmiske skala sammen med en sædvanlig skala, således at x er afsat ud fra log(x)

3.2 Eksponentielle udviklinger i enkeltlogaritmisk koordinatsystemer

Enkeltlogaritmiske koordinatsystemer har en normal inddelt x-akse, og en y-akse der er inddelt efter den logaritmiske skala.

Grafen for funktionen 𝑓(𝑥) er en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvis 𝑓 er en eks-ponentiel udvikling. Dette kan bevises således:

𝑓(𝑥) =𝑏∙ 𝑎^{𝑥}

⇔ 𝑙𝑜𝑔(𝑓 ( 𝑥))= 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑏∙ 𝑎^{𝑥})

⇔ 𝑙𝑜𝑔(𝑓 ( 𝑥))= 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑏) + 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑎^{𝑥})

⇔ 𝑙𝑜𝑔(𝑓 ( 𝑥))= 𝑙𝑜𝑔 ( 𝑎) ∙ 𝑥+ 𝑙𝑜𝑔(𝑏)

⇔ 𝑦 = 𝑎_{1} ∙ 𝑥 +𝑏_{1},

hvor 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥), 𝑎 = log (𝑎) og 𝑏 =log (𝑏). Vi kan se at forskriften for en ret linje forekommer,

når forskriften for den eksponentielle udvikling indsættes i logaritmefunktionen. Eksponentielle udviklinger giver altså en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvor man på 𝑦-aksen

afsætter log(𝑓 ( 𝑥)) og på 𝑥-aksen afsætter de normale 𝑥-værdier. Da 𝑎_{1} og 𝑏_{1} er konstanter, kan de
erstattes af et hvilket som helst tal, som er defineret for 𝑎 og 𝑏 (𝑏 > 0,𝑎 ≠0). Dermed er alle eks-

ponentielle udviklinger en ret linje i et semilogaritmisk koordinatsystem.

1

(Carstensen & Fransen, Matematik 2 for obligatorisk niveau, 1989) s. 38 - 40

2

Billedet er lånt fra (Carstensen & Fransen, Matematik 2 for obligatorisk niveau, 1989) s. 39

(Logaritmeregnereglerne 1) og 3) fra afsnit 2.4 anvendes)

Side 7

Side 7 af 16

3.3 Potens funktioner i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem

I et dobbelt logaritmisk koordinatsystem er begge akser inddelt som logaritmiske skalaer.

Grafen for funktionen 𝑓(𝑥) danner en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, hvis 𝑓 er en potens udvikling, fordi:

𝑓 ( 𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥^{𝑎}

⟺ log(𝑓 ( 𝑥)) =log ( 𝑏∙ 𝑥^{𝑎})

⟺ log(𝑓 ( 𝑥)) = log ( 𝑏) + log ( 𝑥^{𝑎})

⟺ log(𝑓 ( 𝑥)) =𝑎 ∙ log ( 𝑥) + log ( 𝑏)

⟺ 𝑦 = 𝑎_{1} ∙ 𝑥+ ∙ 𝑏_{1},

hvor 𝑦 = log(𝑓 ( 𝑥)), 𝑥 =log ( 𝑥) og 𝑏 =log ( 𝑏). Vi kan se, at forskriften for en ret linje forekommer,

når forskriften for en potensudvikling indsættes i logaritmefunktionen. Da ( log𝑥,logf(x)) ligger

på en ret linje, og 𝑎_{1} og 𝑏_{1} er konstanter, er alle potensudviklinger en ret linje i et dobbeltlogarit-

misk koordinatsystem.

Afsnit 4: Alkoholers opbygning og kemiske egenskaber

Alkoholer er organiske forbindelser, der består af en carbonkæde, hydrogenatomer og en eller flere OH-grupper (også kaldet hydroxygrupper). Alkoholers kemiske egenskaber afhænger af OH-

gruppens placering på carbonkæden.^{3}

4.1 Navngivning

Når alkoholer og andre organiske forbindelser skal navngives anvendes et regelsæt kaldet IUPAC.

Ved alkoholer starter man med at finde molekylets længste carbonkæde, som indeholder OH-gruppen, og den navngives, som var det en uforgrenet alkan. Dernæst skal C-atomerne nummere-res, således at OH-gruppen får lavest mulige nummer. Så tilføjes nummeret på C-atomet med hy-droxygruppen samt suffikset –ol til navnet. Hvis der er forgreninger, angives sidekædernes place-ring og navne som ved andre organiske stoffer [4]

3

Hele afsnit 4 er baseret på (Mygind, Nielsen, & Axelsen, BASISKEMI B, 2011) s. 144 - 153

4

Se side 175-177 i (Mygind, Nielsen, & Axelsen, BASISKEMI B, 2011) for forklaring af navngivning af organiske stoffer

(Logaritmeregnereglerne 1) og 3) fra afsnit 2.4 anvendes)

Side 8

Side 8 af 16

Eksempel for navngivning af strukturformel:

CH C C C H

3 3

C H_{3}

CH

3

O H

H

Da den længste kæde med OH-gruppen er på 5 C-atomer, og OH-gruppen sidder på C-atom nr. 2, bliver ”efternavnet” Buthan-2-ol. Da der er 2 identiske forgreninger hver med et C-atom, bliver ”fornavnet” 3,3-dimethyl. Altså hedder denne sekundære alkohol 3,3-dimethylbuthan-2-ol

4.2 Primære, sekundære og tertiære alkoholer

Der skelnes mellem primære, sekundære og tertiære alkoholer, hvis generelle formler er:

R H C

H

O H

R_{1} C R_{2} R_{1} C R_{3}

H

O H

R_{2}

O H

Primær sekundær Tertiære

𝑅 er et radikal, som står i stedet for resten af alkoholernes opbygning. Ud fra formlerne kan vi se, at OH-gruppen ved primære alkoholer sidder på et endestillet C-atom, mens OH-gruppen ved se-kundære alkoholer er placeret på et C-atom, der sidder inde i carbonkæden. Ved tertiære alkoho-ler sidder OH-gruppen på et C-atom inde i kæden ved en forgrening.

4.3 Oxoforbindelsers fremstilling

Alkoholer kan oxideres ved en kraftig og en mild oxidation. Ved kraftige oxidationer omdannes carbonskelettet oftest til carbondioxid. En sådan oxidation forekommer blandt andet ved for-brænding af ethanol. Ved milde oxidationer bevares carbonskelettet. Her oxyderes primære alko-holer til aldehyder, som så oxideres videre til carboxylsyrer, mens sekundære alkoholer oxideres til ketoner. Disse stofklasser kan blandt andet skrives således:

R C

H R_{2}

O O

R_{1} C

O H

C O

R_{1}

Aldehyd Carboxylsyre Keton

Her kan vi se, at et aldehyd forekommer, hvis to H-atomer i en 𝐶𝐻_{3} -gruppe erstattes med et dob-
beltbundet O-atom. En carboxylsyre fås ved at erstatte alle H-atomer i en 𝐶𝐻_{3} -gruppe med en hydro-
xygruppe og et dobbeltbundet O-atom. Desuden fremkommer en Keton ved, at H-atomer fra en 𝐶𝐻_{2} -

gruppe erstattes med et dobbeltbundet O-atom. På grund af dobbeltbindingen mellem O-atomet og C-atomer er både ketoner, carboxylsyrer og aldehyder alkener

Side 9

Side 9 af 16

Figur 6: Destillationsopstilling

Alkoholen ethanol oxideres den ved en mild oxidation til ethanal og så videre til ethansyre:

CH C O H CH C

3 3

H

H

H

O

O

O H

CCH

3 ox ox

Ethanol Ethanal Ethansyre

(primær) (aldehyd) (Carboxylsyrer)

Her kan man desuden se, hvorledes det via suffikser angives, om det er en alkohol, aldehyd etc.

Afsnit 5: Eksperimentel metode til at bestemme alkoholindholdet i væsker

Alkoholindholdet i en væske kan bestemmes ved redoxtitrering. Til dette kan man producere sin egen alkohol blanding ved gæring (se afsnit 6.2) eller anvende en væske, som i forvejen indehol-der ethanol så som vin og cider.

5.1 Destillation

For at lave en redoxtitrering skal ethanolen fra de anvendte væsker først destilleres. Destillationen foregår ved, at der afmåles 100mL af en væske, som overføres til en 250mL rundkolbe. Dernæst samles destillationsopstillingen som vist på figur

6, og opvarmningen af rundkolben påbegyndes.

Under opvarmningen destilleres al ethanolen over i en 100mL målekolbe. Så fyldes målekolben op med demineraliseret vand til stregen, og der ry-stes. I målekolben er der altså 100mL etha-

nol/vand-blanding, som teoretisk set indeholder præcis den mængde ethanol, der fandtes i de

100mL af væsken. Dette blev gjort med cider, hvidvin og den selvproducerede alkohol blanding.

5.2 Redoxtitreringen

Ved redoxtitreringen overføres 20,0mL 0,0200м kaliumpermanganatopløsning til en 100mL ko-nisk kolbe, og der tilsættes et par mL koncentreret svovlsyre til kolben. Med en automat pipette overføres 262μL af alkoholsdestillatet til kolben (Da automatpipetterne ikke fungerede optimalt,

svingede 𝑚_{𝑑𝑒𝑠𝑡𝑖𝑙𝑙𝑎𝑡} fra titrering til titrering). Derefter henstår kolben i 10minutter, hvor ethanolen

oxideres til ethansyre af permanganat.

Side 10

Side 10 af 16

Det afstemte reaktionsskema ser således ud:

𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝑉𝐼𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 𝐼𝐼

5 𝑂𝐻 + 4 𝑀𝑛 + 12 𝐻^{+} → + 4 𝑀𝑛^{2+}

𝐼 −𝐼𝐼𝐼𝐼 𝐼 𝐼 𝐼𝐼𝐼 𝐼

𝐶𝐻_{3} 𝐶𝐻_{2} 𝑂_{4}^{−} 5𝐶𝐻_{3} 𝐶𝑂𝑂𝐻 + 11𝐻_{2} 𝑂 (𝑠𝑢𝑟)

(rødviolet) (grumset rød)

Reaktionsskemaet for redoxreaktionen blev afstemt ved, at der først indsættes oxidationstal på alle atomer undtagen hydrogen og oxygen. Så findes stigningen og faldet i oxidationstallene:

𝐶 4 ↑

↑↓ 20

𝑀𝑛 5 ↓

Så optælles ladninger på begge sider af reaktionspilen, og der tilsættes 𝐻^{+} -ioner, således at der er

lige mange ladninger på begge sider af reaktionspilen:

Venstresiden: 4 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 + 12𝐻^{+}

Højresiden: 8 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒

Til sidst tilsættes der et antal 𝐻_{2} 𝑂 molekyler, så antallet af atomer bliver ens på begge sider af

reaktionspilen. I denne redoxreaktion blev der tilføjet 11 𝐻 𝑂 til højresiden.
                                                  2

Efter 10 minutter er al ethanolen fuldstændig oxideret til ethansyre. Der vil dog stadig være per-manganat tilbage i blandingen, da der blev tilsat et overskud af stoffet. Dette ses ved, at blandin-gen stadig er rødlig.

Efter reaktionen med ethanol bestemmes overskuddet at permanganat ved titrering med jern(II)ioner, her er redoxreaktionen afstemt på samme måde som forrige:

5𝐹𝑒^{2+} + 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−} + 8𝐻^{+} →5𝐹𝑒^{3+} + 𝑀𝑛^{2+} + 4𝐻_{2} 𝑂

(Grumset rød) (svagt lysegult)

Titreringen foregår ved, at en 25mL burette fyldes med 0100 м ammoniumjern(II)- sulfatopløsning, og buretten nulstilles, så der ikke er luft i hanen. Så titreres indhol-det i kolben, som vist på figur 7 [5], indtil omslag fra rødviolet til svagt lysegul på én dråbe. Volumen af ammoniumjern(II)sulfatopløsningen noteres, i dette tilfælde var

𝑉 (( 𝑁𝐻_{4})_{2} 𝐹𝑒 ( 𝑆𝑂_{4})_{2}) =15,1𝑚𝐿.

5

Figuren er lånt fra øvelsesvejledningen (L&Ruddannelse)

Figur 7

Side 11

Side 11 af 16

På samme måde blev resten af ethanol/vand-blandingerne titreret, se nedenstående tabel

Titrering Egen 1 Egen 2 Cider Hvidvin 𝒎 292µL 292µL 262µL 277µL 𝒂𝒍𝒌𝒐𝒉𝒐𝒍𝒔𝒅𝒆𝒔𝒕𝒊𝒍𝒍𝒂𝒕

𝑽 (( 𝑵𝑯_{𝟒})_{𝟐} 𝑭𝒆 ( 𝑺𝑶_{𝟒})_{𝟐}) 11,8mL 10,4mL 15,01mL 7,9mL

Det er ikke nødvendigt at anvende indikator ved titreringen, da 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−} fungerer som indikator.
Idet titreringen slår over i farveløs, er ækvivalentpunktet fundet og 𝑚 ( 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−}) =0.

5.3 Beregning af ethanol indholdet

Først beregnes den tilsatte stofmængde permanganat:

𝑛 = 𝑐∙ 𝑉 =0.020𝑀∙ 20,0𝑚𝐿 =𝟎.𝟒𝒎𝒎𝒐𝒍

Så beregnes overskuddet af permanganat efter reaktion med ethanol ved cideren:

𝑛_{𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑} ( 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−}) = = = =𝟎.𝟑𝟎𝟐𝒎𝒎𝒐𝒍

𝑛_{𝐹𝑒} 2+ 𝑉∙ 𝑐 15.1𝑚𝐿 ∙ 0.100𝑚𝑜𝑙/𝐿

5 5 5

Her divideres der med 5, fordi stofmængdeforholdet 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−} ∶𝐹𝑒^{2+} =1:5

Dernæst beregnes stofmængden af permanganat, der har reageret med ethanol

𝑛 ( 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−}) =0.4𝑚𝑚𝑜𝑙− 0.302𝑚𝑚𝑜𝑙 =𝟎.𝟎𝟗𝟖𝒎𝒎𝒐𝒍

𝑟𝑒𝑎𝑔𝑒𝑟𝑒𝑡

Så findes den ækvivalente stofmængde ethanol

𝑛 =0.098𝑚𝑚𝑜𝑙 ∙^{5}_{4} =𝟎.𝟏𝟐𝟐𝟓𝒎𝒎𝒐𝒍

𝑒𝑡ℎ𝑎𝑛𝑜𝑙

Her ganges der med^{5}_{4}, fordi stofmængdeforholdet 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−} ∶𝐶𝐻_{3} 𝐶𝐻_{2} 𝑂𝐻 = 4:5

Til sidst beregnes indholdet af ethanol som volumenprocent

𝑉_{%} = = = = =𝟐.𝟒𝟒𝟗%

𝑉_{𝑒𝑡ℎ𝑎𝑛𝑜𝑙} (𝑀∙ 𝑛)/𝜌 7.1525𝜇𝐿
𝑉_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} 292𝜇𝐿 292𝜇𝐿 292𝜇𝐿

46.068 ∙ 0.1225𝑚𝑚𝑜𝑙/0.789

𝑔 𝑔 𝑚𝑜𝑙 𝑚𝐿

Ud fra beregninger var der 2,449 % ethanol i cideren^{6}

6

Densitet for ethanol er fundet på s. 113 i (Andersen, Jespersgaard, & Østergaard)

Side 12

Side 12 af 16

På samme måde blev værdier til de resterende blandinger fundet, se nedenstående tabel

𝑛_{𝑜𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑} ( 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−}) 𝑛_{𝑟𝑒𝑎𝑔𝑒𝑟𝑒𝑡} 𝑛_{𝑒𝑡ℎ𝑎𝑛𝑜𝑙} 𝑽_{% 𝒆𝒕𝒉𝒂𝒏𝒐𝒍} 𝑉

( 𝑀𝑛𝑂_{4}^{−})

% 𝑒𝑡ℎ𝑎𝑛𝑜𝑙 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘

Egen 1 0,236mmol 0,164mmol 0,205mmol 4,099 % 7,99 %^{7}

Egen 2 0,208mmol 0,192mmol 0,24mmol 4,799 % 7,99 %

Cider 0,302mmol 0,098mmol 0,1225mmol 2,449 % 4,5 %

Hvidvin 0,158mmol 0,242mmol 0,3025mmol 6,049 % 12,5 %

Den oprindelige mængde ethanol i de forskellige væsker er meget højere end de målte værdier.

Dette skyldes primært, at destillationsopstillingen ikke har været tæt. På den måde er noget af

ethanolen fordampet og mængden af ethanol i ethanol/vand-blandingerne blevet mindre. Ved den

egenproducerede alkoholblanding er ethanolindholdet formindsket yderligere, fordi der i starten af gæringsprocessen var oxygen tilstede, som gjorde, at noget af sukrosen blev brugt til respirati-on og ikke til produktion af ethanol.

Afsnit 6: Produktion af alkohol

6.1 Ethanol ved addition af vand til ethen

Ethanol kan fremstilles ved addition af vand til ethen (𝐻_{2} 𝐶 =𝐶𝐻_{2}). Reaktionen foregår ved højt

tryk, fx 80atm, og høj temperatur, fx 300 ͦ𝐶. Blandingen af ethylen og vand ledes igennem et kornet katalysatorlag, der kan bestå af kiselgur fugtet med fosforsyre. Reaktionen er ufuldstændig, og reaktionsblandingen recirkuleres derfor igennem katalysatorlaget. Ved denne metode er det mu-ligt at opnå et ethanol indhold tæt på 100 %. Det er vigtigt at ethylen er af høj renhedsgrad, fordi urenheder nedsætter udbyttet af ethanol. Reaktionsskemaet ser således ud:

𝐶_{2} 𝐻_{4} ( 𝑞) + 𝐻_{2} 𝑂 ( 𝑔) ⇆𝐶𝐻_{3} 𝐶𝐻_{2} 𝑂𝐻

Reaktionen forskydes mod højre grundet det høje tryk inde i katalysatorlaget. Den producerede ethanol ved addition af vand til ethen anvendes til tekniske formål. [8]

7

Resultat er fundet ved beregninger, se bilag 1

8

(http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/Organisk_kemi_og_stoftyper/alkohol/alkohol_(

Teknisk_fremstilling))

Side 13

Side 13 af 16

6.2 Gæring

Alkohol kan også produceres ved gæring, hvor sukrose, demineraliseret vand og gær kommes i en konisk kolbe, og et gærrør monteres. Under gæringen spalter gærcellerne sukrosen til ethanol og kuldioxid. Gæringen slutter, når alt sukrosen er opbrugt og gærcellerne døde. Under gæringspro-cessen forsvinder noget af massen, fordi den dannede kuldioxid frigives gennem gærrøret.

Den dannede ethanol ved gæring bruges til drikkeforbrug. Ved gæringen kan ethanolindholdet ikke blive meget over 12 %, idet gærcellerne ikke kan tåle større ethanolkoncentrationer.

6.3 CO produktionen ved en gæringsproces

2

For at finde den vækstmodel der bedst beskriver 𝐶𝑂_{2} produktionen ved en gæringsproces, blev
𝐶𝑂_{2} produktionen målt. Til det blev en række sammenhørende værdier af tiden målt i timer og
massetabet målt i mg fundet.^{9}

For at bestemme hvilken vækstmodel der bedst beskriver 𝐶𝑂_{2} produktionen, blev regressioner

samt determinantværdier for de fire vækstmodeller nævnt i afsnit 1 fundet ved hjælp af TI’s CAS-værktøj der beregner regressioner. For at kunne lave alle regressionerne blev det første sæt sammenhørende værdier ændret fra 0 til 0,1. Denne ændring spiller ingen væsentlig rolle grundet det høje antal af målinger. Desuden blev grafer for de fire regressioner og grafen over de sam-menhørende værdier (den lilla) indsat i nedenstående koordinatsystem:

9

I (SØ, Gærdata til elever) kan alle målingerne findes

Side 14

Side 14 af 16

Ud fra regressionernes determinantværdi kan vi se, at det er potensudviklingens vækstmodel, der

bedst muligt beskriver 𝐶𝑂_{2} produktionen. Grafen for potenssammenhængen er næsten lineær,

fordi eksponenten er nær 1. Determinantværdien for den lineære regression er også tæt på 1. Det-te skyldes at der i starten af gæringen, hvor produktionen af ethanol er høj, er en potenssammen-hæng mellem tiden og CO

2 produktionen og efterhånden som ethanol produktionen falder, bliver

det en lineær sammenhæng, hvor 𝑎 =0.

Afsnit 7: Konklusion

Der er blevet redegjort for funktionstyperne nævnt i problemformuleringen. Ved hjælp af mate-matiske omskrivninger af matematiske formler kan der konkluderes, at eksponentielle udviklin-ger danner rette linjer i enkeltlogaritmiske koordinatsystemer samtidig med, at potensudviklinger giver rette linjer i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem.

Ud fra det eksperimentelle arbejde kan der konkluderes, at man ved destillering og derefter re-doxtitrering i en hvis grad kan bestemme ethanolindholdet i en væske. Her er det dog vigtigt, at destillationsopstillingen er 100 % tæt, for at undgå at ethanolen fordamper. Ethanolindholdet blev desuden fundet ved hjælp af matematiske beregninger.

Ethanol kan blandt andet produceres ved gæring, her fås det fulde udbytte dog ikke, eftersom at gærcellerne i starten bruger noget af sukkeret til respiration. Ønsker man et højt ethanol indhold fremstiller man ethanol ved addition af vand til ethen. Ud fra målte værdier og matematiske re-

gressioner kan der konkluderes, at 𝐶𝑂_{2} produktionen bedst beskrives ved hjælp af de 2 matemati-

ske vækstmodeller kaldet potensudviklingen og den lineære funktion. I første del af fasen er der tale om en potenssammenhæng, mens der i sidste del af gæringen er tale om en lineær udvikling.

Side 15

Side 15 af 16

Litteraturliste

Andersen, S. E., Jespersgaard, P., & Østergaard, G. O. DATABOG fysik kemi. København N: F & K forlaget.

Carstensen, J., & Fransen, J. (1989). I Matematik 2 for obligatorisk niveau (s. 19-49). Herning: systime a/s.

Carstensen, J., Frandsen, J., & Studsgaard, J. (2006). MAT A1 stx. Viborg: Systime.

Carstensen, J., Frandsen, J., & Studsgaard, J. (2006). MAT A2 stx. Viborg: Systime.

Egebo, L. A., Paludan-Müller, P., Torp, K. C., & Ussing, S. (2005). I Biologi til tiden (s. 144-145). Århus:

Nucleus.

Hansen, S. (u.d.). Gærdata til elever. Hentet fra www.lectio.dk.

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/Organisk_kemi_og_stoftyper/alkohol/

alkohol_(Teknisk_fremstilling). (u.d.).

L&Ruddannelse. (u.d.). Måling af ethanolindhold i øl og vin. Hentet fra www.lectio.dk.

Mygind, H., Nielsen, O. V., & Axelsen, V. (2011). BASISKEMI B. Hasse & Søns Forlag.

Mygind, H., Nielsen, O. V., & Axelsen, V. (2011). BASISKEMI C. Haase & Søns Forlag.

Side 16

Side 16 af 16

Bilag 1: Teoretisk beregning af ethanolindholdet ved gæring

Nedenstående tabel indeholder data fra gæringen

𝒎_{𝒔𝒖𝒌𝒓𝒖𝒔𝒆} 𝑽_{𝒔𝒖𝒌𝒓𝒐𝒔𝒆} 𝑽_{𝑯}_{𝟐}
𝝆_{𝒔𝒖𝒌𝒓𝒐𝒔𝒆}

10

𝑶

25,80g 1,587 16,265mL 200,21mL 𝑔 𝑚𝐿

Volumenprocenten af ethanol beregnes ud fra reaktionsskemaet:

𝐶_{12} 𝐻_{22} 𝑂_{11} + 𝐻_{2} 𝑂 → 4 𝐶𝐻_{3} 𝐶𝐻_{2} 𝑂𝐻+ 4𝐶𝑂_{2}

Sukkerets stofmængde beregnes:

𝑛_{𝑠𝑢𝑘𝑟𝑜𝑠𝑒} = = =𝟎,𝟎𝟕𝟓𝟑𝟕𝟑𝟑𝟔𝒎𝒐𝒍

𝑚 25,80 𝑔

𝑀

342,296 𝑔 𝑚𝑜𝑙

Massen af ethanol beregnes:

𝑚_{𝑒𝑡ℎ𝑎𝑛𝑜𝑙} =𝑛 ∙ 𝑀 = ( 0,07537336𝑚𝑜𝑙∙ 4) ∙ 46,068 =𝟏𝟑,𝟖𝟖𝟗𝟐𝒈

𝑔 𝑚𝑜𝑙

Til sidst beregnes indholdet af ethanol som volumenprocent

𝑉_{%} = = = = = 𝟕,𝟗𝟗%

𝑉_{𝑒𝑡ℎ𝑎𝑛𝑜𝑙} 𝑚/𝜌 17.303𝑔
𝑉_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} 𝑉_{𝑠𝑢𝑘𝑟𝑜𝑠𝑒} + 𝑉_{𝐻_{2}}_{𝑂} 16,257𝑚𝐿+ 200.21𝑚𝐿 216,467𝑚𝐿

13.8892𝑔/0.789

𝑔 𝑚𝐿

Teoretisk set var der 7,99 % ethanol i mit eget bryg

10

(Andersen, Jespersgaard, & Østergaard) s. 120