SRO: Differentialligninger og kemiske reaktioners hastighed

Indledning

Denne SRO opgave omhandler differentialligninger og kemiske reaktionernes hastighed. Vi skal udføre et forsøg som omhandler reaktionshastigheden mellem persulfationer og iodidioner, mens koncentrationerne bliver ændret.

Denne opgave er tværfaglig mellem kemi og matematik. Den matematiske del består i at gennemgå separation af de variable, som derefter kan bruges til at udlede 1, og 2. orden i den kemiske del. Derover vil begreber som reaktionsorden og reaktionshastighed blive beskrevet. Til sidst vil der blive opskrevet nogle eksempler fra hverdagen.

Teori

Jeg vil starte teoriafsnittet med at vise beviset for separation af de variable. Teorien bag separation bruges til udregning af 1. og 2. ordens reaktion, som vil blive forklaret senere i teoriafsnittet. Man benytter separation af de variable til at løse differentialligninger af typen:  󰇛󰇜  󰇛󰇜. Her er g og kendte, mens y = f(x) skal findes. Sætning: Lad h(x) være kontinuert i intervallet I, og lad g(y) være kontinuert og forskellig fra nul i intervallet J. Der gælder så at: Hvis f(x) er løsning til Så er f(x) også løsning til: Bevis: Jeg antager at betingelserne er opfyldt. Dermed har h en stamfunktion H: På samme måde som med h, så har g også en stamfunktion, nemlig G. Jeg tager fat i den oprindelige ligning: Herfra divideres der med G(y) på begge sider af lighedstegnet: Herefter benyttes trin 1: Benytter herfra at h(x) = H’(x): Trækker H’(x) fra på begge sider: Integrerer 󰇛 󰇜 og får dermed en konstant ovre på modsatte side: Lægger H(x) til på begge sider: Reaktionshastighed er ændringen af en reaktants eller et produkts koncentration pr. tid. Man kan kun angive én reaktant eller ét produkts hastighed ad gangen. Derfor er det vigtigt at opgive hvilken af reaktionsdeltagerne reaktionshastigheden er baseret på.

Hvis man vil finde den gennemsnitlige reaktionshastighed, skal der anvendes et lille tidsinterval Δt omkring det tidspunkt som skal beregnes.

Herfra lader man Δt gå mod nul, dermed går brøken mod differentialkvotienten af [A] med hensyn til t: Hvis man fx har målt koncentrationen af A forskellige tidspunkter kan man finde reaktionshastigheden i et bestemt punkt ved at finde værdien af tangentens hældningskoefficient i det bestemte punkt.

Reaktionshastigheden afhænger af reaktanternes koncentrationer. Jeg antager at jeg finder følgende hastighedsudtryk: M er ordenen for koncentration af A og ligeledes er n ordenen for koncentration for B. Den totale reaktionsorden er 󰇛 󰇜. Eksponenterne i hastighedsudtrykket vedrøres af begrebet reaktionsorden.