SRP om Kvantemekanik i Fysik A og Matematik A

Problemformulering

I. Gør rede for de matematiske begreber, der spiller en rolle i opstillingen og løsningen af Schrödinger-ligningen, herunder komplekse tal og hilbertrum. II. Løs schrödingerligningen i tilfældet: Partikel i endimensional potentialbrønd.

III. Diskuter også schrödinger-ligningen anvendt på brintatomet og sammenlign med Bohrs atommodel, der byggede på De Broglies hypotese om materiebølger.

som for reelle tal Vi skal nu kigge på en størrelse, der især kommer til at spille en rolle for den senere matematik. Vi skal nemlig definere den komplekst konjugerede for et komplekst tal: Definition 1.2 For ethvert komplekst tal z = x+iy defineres den komplekst konjugerede, z*, som: z* = x -iy For konjugering gælder nogle regneregler, som følger herunder men ikke bevises: Givet de komplekse tal z og w er: Sidste regel illustrerer at et komplekst tal minus sit konjugerede kun kan være lig 0, hvis tallet ikke har nogen imaginærdel – med andre ord skal det være reelt. Dette skal vi bruge senere. Modulus Vi skal også definere hvad der forstås ved modulus for et komplekst tal: Definition 1.3: Ved modulus for et komplekst tal z = x +iy forstås størrelsen: |z| = Som det kan ses, er modulus altså altid et positivt reelt tal. Jeg vil egentlig ikke bruge modulus til særlig meget. Jeg vil blot vise, at der for ethvert komplekst tal z = x +iy gælder: –(iy) = x + y = │z│ Denne enkle relation skal nemlig vise sig at være vigtig i den senere matematik.

Komplekse funktioner

Vi skal nu kigge kort på den komplekse funktionsteori og den komplekse funktion, som er vigtig for kvantemekanikken – nemlig den naturlige eksponentialfunktion. En kompleks funktion er en funktion, hvis definitions- og værdimængde tilhører . Man skriver normalt: w = f(z) Den komplekse funktionsteori er ret abstrakt, da et komplekst tal ikke ligesom de reelle tal kan afbildes i et sædvanligt 2-dimensionalt koordinatsystem. For som indikeret i skrivemåden, virker en kompleks funktion ved at sende et komplekst tal fra z-planen over i en ny plan kaldet w-planen, w = u + iv: Da u og v er bestemt for hvert reelt tal x og y, kan de opfattes som uafhængige funktioner af disse to variable således at: En kompleks funktion har altså en real- og en imaginærdel, der virker uafhængigt af hinanden på det Vil man tilbage til formen (x,y) kan man blot gange de reelle tal (x,0) og (y,0) med i.

Også …