SRO om bevægelse i Fysik A og Matematik A

Side 1

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

STX 2.g 2.a

Side 1

2g - opgave_{Skolebakken 13}_{5800 Nyborg}

i studie-

retningsfag^{ÅR 2009/2010}

STX 2.g

Tlf.

Fag: Studieretningsopgave

STX 2.g

Klasse: 2a

Faglærer: Anders Sørensen & Elmer Bonde

Område: Matematik og Fysik

Problemformulering: Se side 2.

Opgaven afleveres fredag den 19. februar 2010 kl. 14.00 på kontoret i to kopier

Side 2

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 2

Problemformulering

Opgave 2: Raketaffyring.

Ved hjælp af matematiske formler er det muligt at lave en model for bevægelse i tyngdefeltet.

Opgavens mål er at beskrive en rakets bane i tyngdefeltet.

1. Bevægelse i 1 dimension

Forklar sammenhængen mellem stedfunktion, hastighedsfunktion og acceleration ved hjælp af differentialregning .

Udled formlerne for stedfunktion, hastighedsfunktion og accelerationsfunktionen for en bevægelse med hhv. konstant hastighed og konstant acceleration.

2. Lodret affyret raket

På vedlagte video (2.MOV) kan en raketaffyring betragtes. Rakettens fremdrift skyldes at vand smides bagud med meget stor hastighed. Raketten tømmes for vand inden for den første meter og derefter er det kun tyngdekraften der virker på den.

• Undersøg om der er overensstemmelse mellem rakettens bevægelse og bevægelsesligningerne udledt under punkt 1.

• Bestem rakettens maksimale højde.

3. Bevægelse i 2 dimensioner

Giv en matematisk beskrivelse af det skrå kast.

Stikord: Banekurve, uafhængig bevægelse, maksimal kastelængde ( x), max stighøjde (y).

max

4. Skråt affyret raket

På vedlagte video (3.MOV) kan en raketaffyring betragtes.

• Undersøg om der er overensstemmelse mellem rakettens bevægelse og bevægelsesligningerne udledt under punkt 3.

5. Fjederkanon

Raketten kunne skydes af med en kraftig fjederkanon, som består af en fjeder, der presses 1,00m sammen.

• Bestem størrelsen af fjederkonstanten i fjederkanonen, hvis raketten skal opnå samme

begyndelseshastighed som raketten i 2.MOV. Antag m =1,00kg.

raket

• Bestem hvor meget denne fjeder skal presses sammen for at for at raketten kan opnå samme

begyndelseshastighed som raketten i 3.MOV. Antag m =1,00kg.

raket

Side 3

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 3

Indhold

Problemformulering .......................................................................................................................................... 2 Bevægelse i en dimension ................................................................................................................................. 4 Bevægelse med konstant hastighed .................................................................................................................. 5 Bevægelse med konstant acceleration.............................................................................................................. 5 Lodret affyret raket ........................................................................................................................................... 6 Det skrå kast ...................................................................................................................................................... 8 Skråt affyret raket ............................................................................................................................................ 10 Fjederkanon ..................................................................................................................................................... 11 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 12

Side 4

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 4

Bevægelse i en dimension

Når man snakker om bevægelse i en dimension betragter man bevægelsen som en lineærbevægelse. Når man skal afbillede en bevægelse i en dimension bruger man oftest en (t,s)- graf eller en (t,v)-graf. En (t,s)-graf beskriver den strækning som er tilbagelagt op af y-aksen og tidsintervallet hen ad x-aksen.

Hastighed:

En stedfunktion er en funktion som beskriver den tilbagelagte strækning som funktion af tiden t.

Middelhastigheden beskriver hastigheden i et tidsinterval fra t til t, mens strækning ændrer sig

1 2 fra s til s.

1 2

𝑣_{𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙} = →𝑣_{𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙} =

Δ𝑠 𝑠_{2} − 𝑠_{1}
Δ𝑡 𝑡_{2} − 𝑡_{1}

Da s(t) er en funktion for den tilbagelagte strækning, kender vi fra differentialregning at hældningskoefficienten v er det samme som middel den afledte stedfunktion, s´(t). Deraf får vi:

𝑣 ( 𝑡) =𝑠´ ( 𝑡)

Acceleration:

Accelerationen angiver ændringen i hastighed pr.

tid. Her bruger vi en (t,v)-grafen til at afbillede sammenhængen. Her har vi tiden ud af x-aksen og hastigheden op ad y-aksen. I tidsrummet t til t

1 2 ændrer hastigheden sig fra v til v. Dette kaldes

1 2 middelaccelerationen.

𝑎_{𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙} = →𝑎_{𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙}

Δ𝑣 𝑣_{2} − 𝑣_{1}
Δ𝑡 𝑡_{2} − 𝑡_{1}

Da hastighedsfunktionen, v(t), er en funktion for hvilken hastighed man bevæger sig med som funktion af t, kender vi fra differentialregning at hældningskoefficienten a er det samme som middel den afledte hastighedsfunktion. Deraf får vi:

𝑎 ( 𝑡) =𝑣´(𝑡)

Side 5

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 5

Bevægelse med konstant hastighed

Stedfunktion for konstant hastighed:

For en stedfunktion med konstant hastighed får vi en lineær graf hvis vi sætter det ind i en (t,s)-graf, se fig. 3.

Dette at betyder at hældningskoefficienten er i lige med v og så gælder følgende.

0

𝑣_{0} =

Δ𝑠

Δ𝑡

Ud fra dette får vi at stedfunktionen er som følgende, når hastigheden er konstant:

𝑣_{0} = →Δ𝑠=𝑣 ∙ Δ𝑡→𝑠 −𝑠_{0} =𝑣_{0} ∙ ( 𝑡 − 0) →𝑠(𝑡)=𝑣_{0} ∙ 𝑡+ 𝑠_{0}

Δ𝑠

Δ𝑡

0 s(t) fortæller om den strækning der er tilbagelagt, hvilket også er det samme som areal under grafen som er markeret med røde streger på fig. 3.

Bevægelse med konstant acceleration

Hastighedsfunktion med konstant acceleration:

For en hastighedsfunktion med konstant acceleration får vi en lineær graf hvis vi sætter det ind i en (t,v)-graf, se fig. 4. Dette betyder at hældningskoefficienten er i lige med a og så gælder følgende:

0

𝑎_{0} =

Δ𝑣

Δt

Ud fra dette får vi at hastighedsfunktion er som følgende, når accelerationen er konstant:

𝑎_{0} = →𝑎_{0} ∙ ( 𝑡− 0) =𝑣− 𝑣_{0} →𝑣=𝑎 ∙ ( 𝑡− 0) + 𝑣_{0} →𝑣(𝑡)=𝑎_{0} ∙ 𝑡+ 𝑣_{0}

Δ𝑣

Δ𝑡

0

Side 6

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 6

Stedfunktion med konstant acceleration:

For en stedfunktion med konstant acceleration får vi en lineær graf hvis vi sætter den ind i (t,v)- graf, se fig. 4. Stedfunktion fortæller om den strækning der er tilbagelagt, altså det røde skraverede felt på fig. 4. Dvs. at stedfunktionen for en funktion med konstant acceleration kan bestemmes ved at bestemme areal under grafen. Vi kigger derfor på en firkant med rette vinkler for at bestemme arealet under grafen, og derefter ganger det med 0,5 for at finde arealet af trekanten.

𝑠=0.5 ∙ 𝑎∙ 𝑡∙ 𝑡→𝑠=0.5 ∙ 𝑎∙ 𝑡^{2}

Overstående er så stedfunktionen for en funktion med konstant acceleration, men vi mangler stadig at sætte starthastigheden på. Derfor har jeg lavet en anden graf for at bestemme stedfunktion til en funktion der har en starthastighed og en konstant acceleration, se fig. 5.

𝑠 ( 𝑡) =0.5 ∙ 𝑎∙ 𝑡∙ 𝑡+𝑣_{0} ∙ 𝑡+ 𝑠_{0} →
𝑠 ( 𝑡) = ∙ 𝑎∙ 𝑡^{2} + 𝑣_{0} ∙ 𝑡+ 𝑠_{0}

1

2

Accelerationsfunktionen

For en genstand som udelukkende er påvirket af tyngdekræften må den resulterende kraft være

F = F. Hvis genstanden har en massen, m, er 𝐹_{𝑡} = −𝑚 ∙𝑔, hvilket medfører følgende:

res t

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =−𝑚∙ 𝑔→𝑚∙𝑎=−𝑚∙ 𝑔→𝑎=−𝑔

                                                           𝑚
Genstanden har altså en konstant acceleration der svarer til –g, altså -9.82
                                                            2
                                                           𝑠

, hvis den kun bliver påvirket af tyngdekræften.

Lodret affyret raket

For en raket som bliver affyret lodret er det kun tyngdekraften der påvirker den. Vandet der sprøjter ud giver en positiv acceleration, og herefter er raketten kun overladt til tyngdekraften, dvs. vi burde have en genstand med konstant negativ acceleration, nemlig tyngdekraften. Derfor kan vi bruge stamfunktionsforskriften for en genstand med konstant acceleration som er,

𝑠 ( 𝑡) = ∙ 𝑎∙ 𝑡^{2} + 𝑣_{0} ∙ 𝑡+ 𝑠_{0}

1

2 her er a tyngdeaccelerationen, v

0 0 er rakettens hastighed efter den har nået sin topfart og s er begyndelses positionen.

Side 7

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 7

Jeg anvendte loggerpro 3, til at analysere vores raketaffyring med, og her er en graf over raketaffyringen, hvor vi har tiden hen ad x-aksen og strækning op ad y-aksen. Jeg antog Anders Sørensen var 1,9 meter høj.

Så lavede jeg regression på de tal som jeg fik da jeg analyserede affyringen i loggepro. Jeg fik at

                                2
forskriften for affyringen var s(t)=-8,23t +27,07t+8,41.

Hvis vi skal sætte den forskrift ind i ”stedfunktionsforskriften” ville vi få at stedfunktion for affyringen var,

𝑠 ( 𝑡) = ∙ −16,47∙ 𝑡^{2} + 27,07∙ 𝑡+ 8,41

1

2

Ud fra stedfunktionen kan vi se, at starthøjden for min analyse var 8,41 meter over jorden. Den startposition valgte jeg, fordi her var raketten overladt til tyngdekraften, fordi den var færdig med dens positive acceleration, som den fik i starten pga. udskydning af vandet i flasken. 27,07 var så starthastigheden for raketten (altså 8,41 meter over jorden). Og -16,47 er tyngdeaccelerationen.

                                                                            2
Vi kan se her at der er et eller andet galt. Tyngdeaccelerationen burde ligge omkring 9,82 m/s ,

men pga. fejl i loggerpro ligger den så højt. Den burde ud fra forsøget ligge omkring 10 m/s^{2}, da

vindmodstanden også påvirker vores forsøg. Startfarten og starthøjden varierer lidt fra den rigtige

                                                                          2
startfart og starthøjde, da jeg har lavet regression på tallene for at finde forskriften, men R -

værdien var på 0,996 så tallene giver et nogenlunde billede af raket affyringen.

For at bestemme toppunktet, altså hvor højt raketten kom op, differentiere man stedfunktion og sætter den i lige med 0, hvorefter man den fundne t-værdi for toppunktet ind i stedfunktionen:

𝑠 ( 𝑡) = ∙ −16,4688∙ 𝑡^{2} + 27,068∙ 𝑡+ 8,4092→𝑠^{ʹ} ´ ( 𝑡) =−16,4688∙ 𝑡− 27.068

1

2

𝑠^{′} ( 0) =1,64359
𝑠 ( 1,64359) =30,65 𝑚

           2
s(t) = -8,2344t + 27,068t + 8,4092

R² = 0,9996

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

s/m

t/s

s/m
Poly. (s/m)

Side 8

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 8

Dvs. under raketaffyringen kommer flasken op i 30,65 meters højde efter mine beregninger. I virkeligheden kom den nok højere op, men pga. fejl i loggerpro, kan vi ikke få en ordentlig forskrift for raket affyringen.

Men hvis vi antager at tyngdekraften og vindmodstanden tilsammen giver flasken en konstant

acceleration på -10,5 m/s^{2}, hvilket er mere realistisk. Og vi antager at så snart flasken lettede fra
jorden, havde den en hastighed på 27 m/s. Så ville flasken nå følgende højde:

𝑠 ( 𝑡) =− ∙ 10,5 ∙ 𝑡^{2} + 27 ∙ 𝑡+ 0

1

2

𝑠´ ( 𝑡) =−10,5𝑡+ 27
𝑠´ ( 0) =2,5714

𝑠 ( 2,5714) =34,71 𝑚

Dvs. den samlede påvirkning af raketten var -10.5 m/s^{2}, og flaskens starthastighed var på 27m/s

ville flasken nå op i 34,71 meters højde, hvilket lyder mere realistisk.

Det skrå kast

Det skrå kast består i at man kaster en genstand med en hastighed, hvorefter den kun er overladt til tyngdekraften. Banekurven som genstanden laver kaldes en kasteparabel. Der er to forudsætninger for det skrå kast. Den første er, at starthøjden er i lige med sluthøjden. Den anden er, at det kun er tyngdekraften der påvirker bolden, dvs. ingen luftmodstand.

Hastigheden v og skrives som en vektor,

0 hvor der er vinkel α i forhold til x-aksen.

Man kan så opløse vektoren i en vektor i x-aksens retning og en vektor i y-aksens retning. Vi får så følgende:

𝑣_{0𝑥} =𝑣_{0} ∙ cos ( 𝛼)
𝑣_{0𝑦} =𝑣_{0} ∙ sin ( 𝛼)
𝑣_{0}^{2} =𝑣_{0𝑥}^{2} + 𝑣_{𝑜𝑦}^{2}

da den kun er på virket af tyngdekraften, må det betyde at den har følgende accelerations vektor:

ā= ()

0

−𝑔

Hvilket betyder at accelerationen er 0 i x-aksens retning og –g i y-aksens retning.

Side 9

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 9

Tiden det tager for bolden at nå toppunktet kan bestemmes ved,

𝑡_{𝑡𝑜𝑝} = →𝑡_{𝑡𝑜𝑝} =

𝑣_{𝑜𝑦} 𝑣_{0} ∙ sin (𝛼)

𝑔 𝑔

Tiden hele kastet tager, må være dobbelt lang tid som det tager at nå toppen.

𝑡_{𝑘𝑎𝑠𝑡} =

2 ∙ 𝑣_{0} ∙ sin (𝛼)

𝑔

Når vi har kastet genstanden gælder det, at der kun er acceleration i y-aksens retning, da det kun er tyngdekraften som påvirker genstanden, og der ikke er nogen vindmodstand til at påvirke hastigheden i x-aksens retning. Kastevidden for genstanden kan beregnes ved,

𝑙=𝑡_{𝑘𝑎𝑠𝑡} ∙ 𝑣_{0𝑥} →𝑙= ∙ 𝑣_{𝑜} ∙ cos ( 𝛼),

2 ∙ 𝑣_{0} ∙ sin ( 𝛼)

𝑔

𝑑𝑎 2cos ( 𝛼) ∙ sin ( 𝛼) =sin ( 2𝛼), får man at kastevidden kan skrives som følgende,

𝑙=

2 ∙ 𝑣_{𝑜}^{2} ∙ sin (2𝛼)

𝑔

For at kastelængden bliver størst mulig skal sin i funktionen være størst mulig. Og det er den når

sin(2α)=1. Det betyder at den optimale vinkel er 45°. Når vinklen er 45° grader bliver kastet længst

muligt.

Stighøjden for et kast kan beregnes på følgende måde:

𝑠= ∙ 𝑎∙ 𝑡^{2} + 𝑣_{0} ∙ 𝑡+ 𝑦_{0}

1

2

da højden y = 0 går den ud.

0

𝑎=−𝑔
𝑡=

𝑣_{0} ∙ sin ( 𝛼)

𝑔

𝑣_{0} =𝑣_{0} ∙ sin (𝛼)

Vi får at stighøjden kan beregnes med følgende:

ℎ= ∙ ( −𝑔) ∙ () + 𝑣_{0} ∙ sin ( 𝛼) ∙ ()→ℎ= ∙

1 𝑣_{0} ∙ sin ( 𝛼)^{2} 𝑣_{0} ∙ sin ( 𝛼) 1 𝑣_{0}^{2} ∙ sin^{2} (𝛼)

2 𝑔 𝑔 2 𝑔

Side 10

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 10

Skråt affyret raket

For en raket som bliver affyret som et skråt kast er det kun tyngdekraften der påvirker den. Vandet der sprøjter ud giver en positiv acceleration, og herefter er raketten kun overladt til tyngdekraften, dvs. vi burde have en genstand med konstant negativ acceleration, nemlig tyngdekraften. Punktet hvor raketten er overladt til tyngdekraften kalder jeg v.

0

Jeg anvendte loggerpro 3, til at analysere vores raketaffyring med, og her er en graf over raketaffyringen, hvor vi har længden hen ad x-aksen og højden op ad y-aksen. Jeg antog Anders Sørensen var 1,9 meter høj.

Så lavede jeg regression på de tal jeg fik fra min analyse af filmen i loggerpro. Jeg fik forskriften for

                                 2
raket affyringen til at være s(t) = -3,045x + 14,23x + 8,22.

Hvis vi skal sætte den forskrift ind i ”stedfunktionsforskriften” ville vi få at stedfunktion for affyringen var,

y=-1.44x^{2} +9,68x+7,88

Ud fra analysen af filmen for det skrå kast, har jeg fået overstående funktion. Ved hjælp af følgende funktion vil jeg bestemme højden og så sammenligne det med højden vi har bestemt vha.

loggerpro.

                              1
Ligningen for banekurven er følgende :

𝑦=− ∙ 𝑥^{2} + ∙ 𝑥

𝑔 𝑣_{0𝑦}
2 ∙ 𝑣_{0𝑥}^{2} 𝑣_{0𝑥}

1

Fysik AB bogen 2 – side 212 – Opgave 3.3

y = -1.4406x^{2} + 9.6809x + 7.8819
R² = 0.9663

0.00

5.00

10.00

h/m 15.00

20.00

25.00

30.00

8.00

l/m

Skrå raket affyring

h/m
Poly. (h/m)

Side 11

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 11

Det betyder at v kan bestemmes til følgende,

0x

     𝑚
  9,82
                            𝑚
     𝑠
−      =−1,4406→𝑣     =1,85
  2∙𝑣                       𝑠
    0𝑥

2

2 𝑜𝑥

Herefter kan v bestemmes til følgende,

0y

14,233= →𝑣_{0𝑦} =17,87

𝑣_{0𝑦} 𝑚

1,84616 𝑠

Dette medfører at ∠α kan bestemmes til,

∠𝛼=tan^{−1} () →∠𝛼=tan ()→∠𝛼=84,10

𝑣_{0𝑦} 17,8723
𝑣_{0𝑥} 1,84616

−1

𝑣_{0} = √ 𝑣_{0𝑥}^{2} + 𝑣_{𝑜𝑦}^{2} →𝑣_{𝑜} =17.97

𝑚 𝑠

Den maksimale højde, som vi udledte formlen til i opgave 3, kan vi herefter beregne,

ℎ_{𝑚𝑎𝑥} = ∙ →ℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎ_{𝑚𝑎𝑥} ℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎℎ

1 𝑣_{0}^{2} ∙ sin^{2} (𝛼)

2 𝑔

= ∙ →ℎ_{𝑚𝑎𝑥} =16,35 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

1

2

(17.9674) ∙ sin^{2} (84,1024)

𝑚_{2}

𝑠

9.82_{2}

𝑚 𝑠

Det betyder, at raketten kom op i en højde på 16,35 fra positionen v. Sammenlignet med højde

0 fra loggerpro passer det meget godt, når man tænker på alle de andre dårlige resultater vi har fået fra loggerpro. Loggerpro havde bestemt h max 0 til 18,04 meter og v

.

Fjederkanon

Bestemmelse af fjederkonstant til 2. Mov

Hvis vi i stedet tog en fjederkanon og brugte til at skyde raketten af i stedet, hvilken fjederkonstant skulle fjederkanonen så have for at opnå samme begyndelses hastighed som raketten 2. MOV. Vi antager at raketten har en masse på 1,00 kg.

Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑘} =Δ𝐸_{𝑝𝑜𝑡} + Δ𝐸_{𝑘𝑖𝑛} →Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑘} = ( 𝑚 ∙ 𝑔∙ ℎ_{2} − 𝑚 ∙ 𝑔∙ ℎ_{1}) − ( ∙ 𝑚 ∙ 𝑣_{2}^{2} − ∙ 𝑚∙ 𝑣_{1}^{2})

1 1

2 2

Da h = 0 går den ud, fordi det er hvor meget fjederen afviger fra ligevægtspunktet. Og v går ud da

2 1

hastighed = 0, før kanonen bliver skudt af. Energien er bevaret, derfor er ændringen i den
mekaniske energi 0. Den potentielle energi for en fjeder kan bestemmes ved^{1}_{2} ∙ 𝑘∙ 𝑦_{0}^{2}, derfor får

vi følgende,

0= ∙ 𝑘∙ 𝑦_{0}^{2} − ∙ 𝑚∙ 𝑣_{2}^{2} →0= ∙ 𝑘∙ 1𝑚− ∙ 1.00𝑘𝑔∙ (27,068) →𝑘=732,68𝑁

1 1 1 1 𝑚^{2}

2 2 2 2 𝑠

Bestemmelse af fjederkonstant til 3. Mov

Jeg har brugt samme udgangsmåde som i opgaven med bestemmelse af fjederkonstant i 2. Mov.

Men her har vi i stedet en v hastighed på 17,9674.

0

Side 12

Studieretningsopgave 2010

19. februar 2010

2.a

Side 12

0= ∙ 𝑘∙ 𝑦_{0}^{2} − ∙ 𝑚∙ 𝑣_{2}^{2} →0= ∙ 𝑘∙ 1𝑚− ∙ 1.00𝑘𝑔∙ (17,9674) →𝑘 =322.83𝑁

1 1 1 1 𝑚^{2}

2 2 2 2 𝑠

Litteraturliste

Bøger:

- Elvekjær, Finn og Benoni, Torben, FysikABbogen 2, Systime A/S, 2006, 1. udgave

- Elvekjær, Finn og Degn Nielsen, Børge, Fysikkens Verden 2, Gjellerup & Gad,1989

- Clausen, Flemming og Schomacker, Gert og Tolnø, Jesper, Gyldensdals

Gymnasiematematik grundbog b2, Gyldendal, 2006, 1. udgave

- Bertelsen, Aksel, Tre dage hos Galileo, Systime DK, 2008, 1. udgave

Internet:

- http://www.da.wikipedia.org/wiki/Forside