SRO: Radioaktivt henfald og differentialligninger | Matematik og Fysik

Side 1

Radioaktivt henfald og koblede differentielligninger

- SRO i fagene fysik og matematik

STX 2.g

Abstract:

This study examines the phenomenon radioactivity and involves the data that were collected during an experiment that examined Protactinium’s radioactivity and half-life period. First there is an explanation concerning ionized radiation and different kinds of decay: Later noise and background radiation is discussed and whether it is best to calculate for noise or background radiation. At last differential equations and combined differential equations is put into perspective, and especially how these combined differential equations can explain different decay chains. Here the example it how tellurium decay to iod that later decay to xenon.

Side 2

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

2

Indholdsfortegnelse

PROBLEMFORMULERING 3

TEORI 3

RADIOAKTIVITET 3

DE FORSKELLIGE RADIOAKTIVE HENFALD 3

HALVERINGSTID OG HENFALDSKONSTANT 4

FORSØG MED FOKUS PÅ HALVERINGSTIDEN AF PROTACTINIUM-234 4

FORSØGSOPSTILLING 5

DATABEHANDLING 5

DISKUSSIONEN 8

KONKLUSION 9

PERSPEKTIVERING 9

KILDER: 15

BILAG 16

BILAG 1: HALVERINGSTIDEN FOR PROTACTINIUM-234 16

BILAG 2: DE UBEARBEJDEDE DATA 21

BILAG 3: BAGGRUNDSSTRÅLING 21

BILAG 4: UDREGNING AF DEN GENNEMSNITLIGE BAGGRUNDSSTRÅLING 22

BILAG 5: UDREGNING AF GENNEMSNITLIG BAGGRUNDSSTØJ 22

BILAG 6: UDLEDNING AF HALVERINGSTIDEN VED BRUG AF HENFALDSKONSTANT 22

BILAG 7: GRAFISK FREMSTILLING AF DE KOBLEDE DIFFERENTIELLIGNINGER 24

Side 3

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

3

Problemformulering

Først vil jeg gennemgå teorien for radioaktivhenfald. Dette anvendes i et forsøg der omhandler halveringstiden af Protactinium-234.

Derefter vil jeg perspektivere til det sammensatte henfald af Tellur-131 via Iod-131 til Xenon-131, der kan beskrives ved hjælp af koblede differentialligninger.

Teori

Radioaktivitet

Radioaktivitet er et begreb indenfor kernefysik, der beskriver processen, hvor en atomkerne bliver omdannet, og udsender en ioniseret stråling. Fænomenet radioaktivitet blev opdaget af franskmanden Henri Becquerels i 1896, men det blev Rutherford der senere eksperimenterede med og definerede tre forskellige radioaktive

      1
henfald.

15 af de 90 grundstoffer, der forekommer naturligt på jorden, har radioaktive isotoper,

                                                             2
hvor størstedelen består af Kalium-40, thorium-232 samt Uran-235 og -238.

De forskellige radioaktive henfald

Der eksisterer fire former for radioaktivt henfald. Forskellen defineres, ud fra hvilken form for ioniseret stråling der bliver udsendt og hvordan kernen bliver påvirket.

1. Alfa-henfald er processen, hvor to protoner og to neutroner udsendes fra kernen. Disse protoner og neutroner betegnes Helium-4. Eftersom Helium-4 har meget større masse end både henfaldet fra beta-minus, beta-plus og gammahenfald, skal der meget mindre modstand til før strålingen bremses.

2. Beta-minus- og beta-plus henfald har nogle lighedstræk, da begge processer involverer omdannelsen af en kernepartikel. Beta-minus er processen, hvor en neutron forvandles til henholdsvis en proton, en elektron og en antineutrino.

Derefter udsendes antineutrinoen og elektronen. Neutrinoen registreres kun, da den bære noget energi med sig. Atomnummeret, Z, stiger på grund af omdannelsen af en neutron til en proton, mens nukleonnummeret er kontant.

Under beta-plus henfald omdannes en proton til en neutron, en positron og en neutrino. Neutrinoen og positronen sendes ud af kernen sammen, og ligesom i beta-minus henfaldet opdages neutrinoen ved, at den transporterer en energiudladning med sig. I beta-plus falder grundstofnummeret, mens nukleonnummeret er det samme.

3. Gamma-henfald er meget anderledes end de tre andre henfaldsformer, da den

1

Fysik i øjenhøjde - Jakobsen, Kurt, 2011

2

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Stråling_og_radi
oaktivitet/radioaktivitet

Ovenstående figur viser hvordan de forskellige radioaktive henfald påvirker antallet af neutroner og protoner. N er antallet af neutroner og z antallet af protoner

Side 4

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

4 stråling der udsendes ikke har masse. Gammahenfald opstår når et exciteret atom, under emission, udsender en foton. I denne proces går atomet fra exciteret tilstand til grundtilstand, men bliver ikke til et andet grundstof i

processen.^{3}

Halveringstid og henfaldskonstant

Halveringstiden er det tidsinterval, det tager for antallet af radioaktive kerner at blive halveret. Halveringstiden kan varierer fra få sekunder til milliarder af år. Man bruger især denne viden indenfor datering.

Henfaldet af et radioaktivt materiale kan beskrives ved tre ækvivalente matematiske funktioner. Den eksponentielfunktion der i størst udstrækning bliver brugt indenfor fysikken gør brug af halveringstiden, T.

1/2

𝑁 ( 𝑡) = 𝑁_{0} ∙ ()

1^{𝑡/𝑇_{½}}

2

Af ovenstående formel kan man tydeligt se, at når tiden, t, er lig T er halvdelen af

1/2

de radioaktive kerne henfaldet.

Den naturlige eksponentialfunktion er ofte brugt i matematikken, og denne funktion inddrager en henfaldskonstant kaldet k. Henfaldskonstanten, k, vil altid have negativt fortegn, da radioaktiviteten er ekspotentielt faldende. Henfaldskonstanten refererer til sandsynligheden for en enkelt kernes henfald pr. sekund. Sandsynligheden for henfaldet øges proportionelt med tiden.

𝑁 ( 𝑡) = 𝑁_{0} ∙ 𝑒^{−𝑘𝑡}

Derudover kan henfaldet af et radioaktivt materiale også beskrives med den almindelige eksponentielfunktion.

𝑁 ( 𝑡) = 𝑁_{0} ∙ 𝑎^{𝑡}

Hvor fremskrivningsfaktoren, a, vil være mindre end 1. Denne vil jeg ikke beskæftige mig med nu.

Forsøg med fokus på halveringstiden af Protactinium-234

Forsøgsvejledningen se bilag 1.

I forsøget skal der indgå en beholder med organisk opløsningsmiddel og uranylnitrat (UO (NO)) opløst i HCl. Derudover er der tilsat Uran-238, der er

2 3 2 henfaldet til Thorium-234, der herefter er henfaldet til Protactinium-234. Hvis beholderen omrystes, vil stoffet Protactinium-234 binde sig til det organiske opløsningsmiddel. Protactinium-234 er tungtopløseligt i polære væsker som HCl,

(aq) mens det er letopløseligt i upolærer opløsninger, som f.eks. et organisk opløsningsmiddel. Stoffet Protactinium-234 binder sig til det organiske opløsningsmiddel, der, på grund af sin lave densitet, diffunderer og koncentrerer sig i toppen af beholderen.

Herefter er det muligt, ved hjælp af en geiger-müller tæller, at udregne stoffets aktivitet.

3

Fysik i øjenhøjde - Jakobsen, Kurt, 2011

Side 5

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

5

238 234 4

92 90 2 ½

U Th+ He→
α-henfald, = 4,5 ⋅ 10^{9} a

τ

234 234 0

90 91 -1 ½ max

Th Pa+ e→
β-henfald, = 24 d E (β) = 0,2 MeV

τ

234 234 0

91 92 -1 ½ max

Pa U+ e→
β-henfald, = 70,8 s E (β) = 2,3 MeV

τ

234 234 0

91 92 -1 ½ max

Pa U+ e→
β-henfald, = 6,8 h E (β) = 0,5 MeV

τ

234 230 4

92 90 2 ½

U Th+ He→
α-henfald, = 2,5 ⋅ 10^{5} a

τ

Ovenstående henfaldskæde viser henfaldet fra Uran-238 til Thorium-234.

Henfaldskæden viser også, at energien fra beta-minus henfald er meget højere, når halveringstiden er lav.

Thorium-234, Thorium-230, Uran-238 og Uran-234 koncentrerer sig nederste i beholderen, så deres stråling trænger ikke op til GM-røret. Derudover vil plastik-hætten på GM-røret absorberer meget af alfa-strålingen. Derfor er det kun strålingen fra det Protactinium-234 med en halveringstid på 70.8 sekunder, der har reel indflydelse på forsøget. Enheden for aktiviteten er

Becquerel, der er lig s^{-1}.

Forsøgsopstilling

Tegningen til højre viser GM-røret, der tæller den ioniserede stråling, der udsendes af beholderen med det radioaktive materiale. Datamaterialet sendes derefter ned til en computer, der ved hjælp af logger-pro kan indsamle data.

Databehandling

Ubearbejdet datamateriale se bilag 2.

På baggrund af de data vi fik fra vores forsøg, har jeg lavet to eksponentielfunktioner.

Den ene eksponentielfunktion er den naturlige eksponentielfunktion, som har fremskrivningsfaktoren e og eksponenten –k gange med tiden, t. I den anden eksponentielfunktion indgår halveringstiden af et givent stof under tiden, t, og har fremskrivningsfaktoren ½. Begge eksponentielfunktioner har identiske RMSE-værdier og beskriver datamaterialet med samme nøjagtighed.

Først målte vi aktiviteten af baggrundsstrålingen, hvorefter jeg udregnede gennemsnittet af resultaterne. Dette gennemsnit, på 6,567, brugte jeg til at korrigere aktiviteten af de forsøgsresultaterne, vi havde fået fra forsøget med Protactinium-234.

Udregning af den gennemsnitlige baggrundsstråling se i bilag 3.

Side 6

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

6

En anden måde, hvorpå forsøgsresultaterne kan korrigeres, er ved at udregne den gennemsnitlige baggrundsstøj og trække dette gennemsnit fra forsøgsresultaterne.

Baggrundsstøjen findes ved at tage logaritmen til forsøgsresultaterne, hvorefter man

                                                    4
forkaster de data, der ikke kan beskrives ved en lineær regression . Disse data vil

ligge som sporadiske punkter langs x-aksen og må anses som støj. Bliver det radioaktive materiales aktivitet så lavt, at det overdøves af støjen, kan det radioaktive materiale ikke registreres.

Af de forkastede data, udregnes et gennemsnit, i dette tilfælde 10,677, som herefter defineres som baggrundsstøjen.

Udregningen af den gennemsnitlige baggrundsstøj se bilag 4.

Ud fra disse to metode har jeg udarbejdet to grafer korrigeret henholdsvis for den gennemsnitlige baggrundsstråling og den gennemsnitlige baggrundsstøj.

Nedenstående grafer viser Protactinium-234s henfald. Tiden er korregeret, så henfaldet begynder til tiden 0. Målingen indtil da anses før støj og forkastes derfor.

Derudover er både henfaldskonstanten og halveringstiden markeret på graferne.

Enheden for x-aksen er sekunder, og der er blevet målt i 10-sekundsintervaller.

Derudover er ”ny tid” en korregeret tid, hvor den første måling er til tiden -50.

Enheden for y-aksen er 10 Becquerel, svarende til en tælling pr. 10 sekund.

Derudover er den gennemsnitlige baggrundsstråling trukket fra resultaterne i graf 1, mens baggrundsstøjen er trukket fra i graf 2.

Graf 1

4

http://www.youtube.com/watch?v=T5ivNzK27tQ

Side 7

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

7

Graf 2

Som det fremgår af nedenstående graf, bliver resultaterne efter 400 sekunder for spredte til at kunne beskrives ved en lineær regression, og dette er en indikator på, at støjen overdøver aktiviteten fra det radioaktive materiale.

Derfor beskriver graf 1 og -2 også kun de første 400 sekunder, fordi det derefter ikke giver nogen mening. Hvis punkterne efter de 400 sekunder blev inddraget vil grafen beskrive henfaldsloven upræcist.

Sammenhængen mellem en logaritmisk funktion og eksponentielfunktion kan forklares matematisk se bilag 6:

Graf 3

Side 8

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

8

Diskussionen

Et forsøg som ovenstående vil altid kunne indeholde forskellige fejlkilder og usikkerhedsfaktorer.

En af de usikkerhedsfaktorer der kan have haft indflydelse på dette forsøg er, at det organiske opløsningsmiddel, som Protactinium-234 binder sig til, diffunderer op til overfladen gradvist, og dermed kan der blive tilført nyt radioaktivt materiale undervejs, som geiger-müller røret kan registrerer.

En anden usikkerhedsfaktor ved dette forsøg er, at vi ikke målte afstanden mellem geiger-müller og den radioaktive kilde, og derfor heller ikke ved om vi placerede røret, de anbefalede 10 cm over den radioaktive kilde. Dette må betragtes som en usikkerhed, men det er vanskeligt at afgøre, hvor stor indflydelse denne unøjagtighed har haft på datamaterialet.

Afvigelsen mellem vores data og tabelværdien udregnes for at afgøre validiteten af vores data. Er afvigelsen meget stor, er dette et tegn på mulige fejlkilder, som i nogen tilfælde kan afstedkomme en forkastelse af datamaterialet.

Jeg har i nedenstående tabel udregnet afvigelsen for de to halveringstider, jeg har fået ved henholdsvis at trække den gennemsnitlige baggrundsstøj - og den gennemsnitlige baggrundsstråling fra.

Afvigelsen er en numerisk værdi og har derfor ikke fortegn.

Tabellen viser, at afvigelsen vedrørende halveringstiden baseret på det datamateriale som er korrigeret for den gennemsnitlige baggrundsstøj, er meget mindre end afvigelsen der vedrører den halveringstid, der er baseret på det datamateriale, der er

Side 9

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

9 korrigeret for den gennemsnitlige baggrundsstrålingen. Ved at anvende den logaritmiske funktion, graf 3, blev det muligt at isolere støjen, og derved blev korregeringen foretaget med afsæt i baggrundsstøjen også mere præcis, end koregeringen som alene tog udgangspunkt i den gennemsnitlige baggrundsstråling.

Både graf 1 og graf 2 har usikkerheden ± 3.974. Dette kan ses på de to grafer, der

hvor halveringstiden også aflæses.

Graf 1 har en usikkerhed, der er noget lavere end afvigelsen, og derfor ligger halveringstiden så langt væk fra tabelværdien, at den ikke bekræfter denne. Dette er et argument for, at det konstantled der trækkes fra forsøgsresultaterne, i dette tilfælde den gennemsnitlige baggrundsstråling, ikke er præcist nok.

Da afvigelsen mellem graf 2 og tabelværdien er mindre end usikkerheden, afkræfter disse data ikke tabelværdien.

Konklusion

Forsøget er gået som forventet, og forsøgsresultaterne afviger ikke meget fra tabelværdien. Teorien og forsøgsresultatet understøtter således hinanden, og teorien viste sig brugbar i forhold til at beskrive henfaldet af Protactinium-234.

Det at den naturlige eksponentielfunktion, og den eksponentielfunktion der gør brug er halveringstid, er ækvivalente kommer ligeledes til udtryk på graf 1 og graf 2, da begge funktioner har sammen RMSE-værdi og derfor ligger oven i hinanden.

Derudover har jeg korregeret både for baggrundsstøj og baggrundsstråling og inddraget den logaritmiske funktion i forhold til isoleringen af støjen. Dette har gjort resultatet af den gennemsnitlige baggrundsstøj mere præcis, end hvis den logaritmiske funktion ikke var blevet inddraget. Dette er en af begrundelserne for, at afvigelsen er så lille.

Endelig tager en korregering vedrørende baggrundsstøjen højde for flere faktorer end baggrundsstrålingen, og derfor bliver en korregering på baggrund af baggrundsstøjen tættere på tabelværdien.

Perspektivering

Differentialligninger kan bruges indenfor mange forskellige områder inden for fysikken. I dette tilfælde vil jeg bruge differentialligninger til at beskrive sammenhængen mellem aktiviteten og den differentierede naturlige ekspotentiel funktion, hvorefter det bliver muligt at redegøre for sammenhængen mellem henfaldskonstanten og halveringstiden.

Til slut vil henfaldet af tre forskellige radioaktive materialer blive beskrevet ved hjælp af koblede differentialligninger.

Aktiviteten, A, beskriver antal henfaldende kerner efter et givent tidsinterval:

Side 10

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

10

Eftersom antallet af radioaktive kerner er faldende, kan delta N siges at have negativt fortegn.

Derudover kan aktiviteten også beskrives som antallet af kerner efter et givent tidsinterval gange en konstant, k.

Hvis vi nu betragter meget korte tidsintervaller, kan aktiviteten beskrives således: dvs.

Nu kan den naturlige eksponentialfunktionen indsættes i stedet for N som en mulig løsning, og derved får N, som funktion af tiden, betegnelsen N(t).

Da c er lig N(t) til tiden 0, kan c kaldes N(0)

Hvis vi differentierer N(t) får vi

Dette kan også omskrives til

Nu kan A sættes ind på N’(t)’s plads.

Dette bevis beskriver sammenhængen mellem aktiviteten, A, og antallet af kerner, N, og hvordan A kan anses som en afledt funktion af N. Her fremgår det også at

                                          5
aktiviteten og antallet af kerner falder proportionelt.

Ud fra henfaldskonstanten kan halveringstiden udledes. Dette er relevant, hvis man er interesseret i, hvor lang tid der går før et stofs radioaktivitet er halveret. Derudover bliver halveringstiden oftest brugt indenfor fysik, da den giver et bedre overblik over

5

Radioaktivt henfald - http://steen-toft.dk/mat//3g1/model/henfald.pdf

Side 11

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

11 det radioaktive materiales henfald, end henfaldskonstanten gør i den naturlige eksponentialfunktion. Udledning af halveringstiden se bilag 7.

Som tidligere nævnt kan henfaldet fra et stof til et andet, der til sidst henfalder til tredje, beskrives med koblede differentialligninger. Som konkret eksempel vil jeg bruge Tellur-131, der henfalder ved beta-minus henfald til Iod-131, der igen henfalder ved beta-minus henfald til Xenon-131.

På figuren ovenfor ses hvordan stof 1 kun henfalder, mens stof 2 forøges proportionelt med stof 1’s henfald, men henfalder dog også til stof 3 hvis forøgelse er proportionelt med stof 2’s henfald. Summen af de tre stoffer er naturligvis konstant.

                                              6
Stof 1 er Tellur-131 og har en halveringstid på 30.2 timer

Stof 2 er Iod-131 og har en halveringstid på 8.0233 dage.^{7}

Nu kan henfaldskonstanterne udregnes på baggrund af halveringstiderne:

I dette konkrete eksempel er startværdierne og k-værdierne:

k1=Tellurs henfaldskonstant
k2=Iods henfaldskonstant

                                      -1
Normalt er enheden for henfaldskonstanten, k, s

. I dette tilfælde er enheden for

                   -1
henfaldskonstanten time for derved at undgå meget små k-værdier.

Ved hjælp af koblede differentialligninger kan henfaldet af de tre stoffer beskrives.

Stof 1’s henfald beskrives ved differentielligningen:

Ud fra denne differentielligning kan N1 bestemmes:

6

Isotopes of Tellur -http://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_tellurium

7

Isotop kort - http://www.fysikkemifaget.dk/isotopkort

Side 12

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

12

Nu kan stof 2’s henfald beskrives. For stof 2 gælder, at antallet af kerner er proportionelt med antallet af kerner henfaldet fra stof 1. Her ses det, at der samtidig med at antallet af kerner stiger også sker et henfald af kerner til stof 3:

Denne differentialligning kan løses ved hjælp af panserformlen da den opfylder:

Nu kan værdier puttes ind i panserformlen, der i dette tilfælde er omskrevet en smule for derved at gøre det mere overskueligt.

A(t) er integralet af a(t).

Nu skal integralet af b*e^A(t) findes. Dette har jeg gjort ved brug af maple:

Dette sættes nu i stedet for b*e^A(t), og så kan c udregnes ved at sætte t lig 0. Dette

kan lade sig gøre, da vi ved at y er lig 0 til tiden 0.

Forøgelsen af stof 3 kan udregnes til sidst. Eftersom Xenon-131 er stabilt og ikke henfalder til et andet stof, opstår der akkumulation, af de kerner som er henfaldet fra Iod-131.

Denne differentielligning løses ved integration:

Side 13

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

13

Igen kan konstanten, i dette tilfælde c

2

, udregnes ved at sætte t lig 0, da y er lig 0 til

tiden 0. Dette gøres ved hjælp af solve-kommandoen i maple.^{8}

De tre formler står nedenfor, mens en grafisk fremstilling kan findes i bilag 7.

Med formlen N3(t) kan mængden af xenon til et givent tidspunkt udregnes.

8

Radioaktivt henfald - http://steen-toft.dk/mat//3g1/model/henfald.pdf

Side 14

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

14

Side 15

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

15

Kilder:

Jakobsen, Kurt: Fysik i øjenhøjde. Side 128-131. 1. udg. Nyt teknisk forlag, 2011.

(Bog)

http://www.denstoredanske.dk: Radioaktivitet. Udgivet af Gyldendal. Sidst opdateret:

Internetadresse:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Stråling_og_radio
aktivitet/radioaktivitet - Besøgt d. (Internet)

Radioaktivt henfald. Udgivet af Steen Toft Jørgensen. Internetadresse: http://steen-
toft.dk/mat//3g1/model/henfald.pdf - Besøgt d. (Internet)

www.youtube.com: Bevis for at en eksponentiel funktion er en ret linie i enkeltlogaritmisk papir. Udgivet af FriViden. Internetadresse:

http://www.youtube.com/watch?v=T5ivNzK27tQ - Besøgt d. (Internet)

http://www.fysikkemifaget.dk/: Isotopkort. Udgivet af Clio online. Internetadresse:
http://www.fysikkemifaget.dk/isotopkort - Besøgt d. (Internet)

http://en.wikipedia.org/: Isotopes of Tellur. Udgivet af wikipedia. Sidst opdateret:
Internetadresse: http://en.wikipedia.org/wiki/Isotopes_of_tellurium -

Besøgt d. (Internet)

Side 16

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

16

Bilag

Bilag 1: Halveringstiden for Protactinium-234

Formål:

Formålet med denne øvelse er at bestemme halveringstiden af Protactinium-234, som er omkring 70 s. Derudover arbejdes der med eksperimentelle metoder, herunder dataopsamling og fejlkilder. Teorien bag henfaldsloven behandles matematisk.

Teori:

Isotopen Protactinium-234 er medlem af Uran-238 henfaldsserien, hvis første led vi ser herunder:

Antallet af radioaktive kerner, N(t), af en bestemt type aftager eksponentielt ifølge Henfaldsloven:

𝑁 ( 𝑡) = 𝑁_{0} ∙ ()

1^{𝑡/𝑇_{½}}

2 hvor T er halveringstiden. Henfaldsloven er løsning til en differentialligning for N(t),

½ idet en vis fast procentdel henfalder indenfor et givent tidsinterval. I SRO-opgaven skal dette uddybes.

Den målte aktivitet A(t), aftager ligeledes eksponentielt med tiden, t, fra en startværdi A:

0

𝐴 ( 𝑡) = 𝐴_{0} ∙ ()

1^{𝑡/𝑇_{½}}

2

                                                           -1
Enheden for aktivitet er ”impulser pr. sek.” eller becquerel, hvor 1 Bq = s .

Aktiviteten der måles afhænger af antal kerner: A(t)=kꞏN(t), hvor k er

                                                               ln (2)
henfaldskonstanten som er relateret til halveringstiden gennem formlen: 𝑇 = .
                                                           ½
                                                                𝑘

Se side 136 i ”Fysik i øjenhøjde”.

Hvad sker der indeni Protactinium generatoren?

238 234 4

92 90 2

U Th+ He→
α-henfald, = 4,5 ⋅ 10^{9} a

τ

½

234 234 0

90 91 -1

Th Pa+ e→
β-henfald, = 24 d E (β) = 0,2 MeV

τ

½ | max

234 234 0

91 92 -1

Pa U+ e→
β-henfald, = 70,8 s E (β) = 2,3 MeV

τ

½ | max

234 234 0

91 92 -1

Pa U+ e→
β-henfald, = 6,8 h E (β) = 0,5 MeV

τ

½ | max

234 230 4

92 90 2

U Th+ He→
α-henfald, = 2,5 ⋅ 10^{5} a

τ

½

Side 17

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

17

Idéen med generatoren er, at separere noget protactinium fra en uran-opløsning for at eliminere tællinger fra andre isotoper i opløsningen. Dette foregår i flere trin:

• I flasken er der en opløsning med uransaltet uranylnitrat (UO (NO))

2 3 2 samt et organisk opløsningsmiddel (4-methyl-2-pentanon), der kan binde protactinium.

• Protactinium Pa-234 dannes ved henfald af thorium-234, der dannes ved henfald af uran-238.

• Vi opnår separationen af Pa-234 fordi det organiske opløsningsmiddel er lettere end vand og ikke er blandbart med opløsningen af uran-salt i koncentreret saltsyre.

• Når vi ryster de to væsker sammen, udtrækker det organiske opløsnings-middel netop Pa-234. Når de to væsker ikke længere forstyrres, vil de lagdeles efter deres forskellige densiteter, og alt forekommende Pa-234 vil findes i det øverste lag. Opdelingen sker gradvist ved diffusion.

• Vi kan umiddelbart herefter måle henfaldet af Pa-234 med et GM-rør i et forsøgsstativ anbragt tæt over beholderen.

Flere forhold er medvirkende til at sikre, at det netop er halveringstiden for Pa-

234, vi måler:

1) Th-234 forbliver i det nederste (lyse) vandholdige lag. β-strålingen fra Th-

234 og α-stråling fra Th-230 trænger næppe op gennem beholderen. Ved at beholde plastik-hætten på GM-røret absorberes en del af eventuel α-stråling.

2) U-234 og U-238 befinder sig i det nederste vandholdige lag, de udsender begge α-stråling.

3) Pa-234 udsender β-stråling med en maksimal energi på 2,3 MeV, hvilket er nok til at gennemtrænge både beholdervæggen og noget af den væske, som Pa-234 findes i.

4) Stråling fra nydannede Pa-234 kerner har ikke energi nok til at trænge fra det vandholdige lag op til GM-røret. Pa-234 dannes i to isomere former, der begge β-henfalder. Formen med halveringstiden ca 70 s har den

største E_{max} (β), og det er denne forms halveringstid, som vi bestemmer

ved eksperimentet.

Sikkerhed:

Man skal være særlig opmærksom på sikkerhed under forsøget, da der indgår stoffer som er både sundhedsskadelige og radioaktive. Læs sidste side.

Eksperimentelt:

Forsøget er relativt simpelt at udføre, men det der foregår er lidt kompliceret og dette har betydning for fortolkningen af målingerne samt den teori der forklarer målingerne.

Opstilling:

Side 18

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

18

GM-røret spændes op og tilsluttes

GM-røret spændes på et stativ så det peger nedad ca. 10-15 cm over bordet, hvor den radioaktive kilde skal placeres. Der er to muligheder for tilslutning af GM-røret til tællere.

1. LoggerPro: GM-røret forbindes først til en ”GM-forstærker” og så en

”LabQuest” fra Vernier, der via et USB-kabel tilsluttes en computer med

LoggerPro installeret.

LoggerPro findes under ”Alle programmer” 🡪 ”Vernier Software”.

2. Alternativt kan man bruge en traditionel tælleboks med elektronisk display og overføre målingerne til LoggerPro.

Udstyret tændes

Når alt udstyret er koblet sammen tændes LabQuest’en. LoggerPro finder automatisk ud af, at virke som Geiger-tæller og viser nederst til venstre, at den måler ”Radiation Counts”, dvs. tællinger af radioaktive partikler.

Målinger:

Klik på ikonet med ur og lineal (findes også under menuen ”Experiment” 🡪 ”Data Collection”) og indstil ”Length” til et passende interval (hellere lidt for langt, da man

kan afbryde når man vil) og vælg en tælletid på 10 ”seconds/sample”.

Måling af baggrundsstrålingen

Start en måleserie uden kilden ved at trykke ”Collect”.

Mål først på baggrundsstrålingen i f.eks. 100 sek. tre gange og find gennemsnittet for

10 sek. Den fundne værdi for gennemsnittet (i 10 sek.), kaldes A og den baggrund trækkes fra de efterfølgende målinger (der også typisk foretages i intervaller à 10 sek.).

Måling af halveringstid

• Geiger-Müller- røret anbringes så Protactinium generatoren lige akkurat kan flyttes ind under tælleren. Der skal bruges et meget følsomt GM-rør

(stor diameter).

• Indstil LoggerPro til kontinuert tælling i 10 sekunders intervaller. Vent med at trykke på Start (”Collect”) til kilden er placeret.

• Flasken med uran opløst i saltsyre rystes i ca. 5 sekunder og anbringes med bunden (den gennemsigtige ende) i vejret under GM-røret. Iagttag, at de to væsker lagdeler sig.

• Anbring GM-røret umiddelbart over beholderen og tryk på Start. Data opsamles med LoggerPro. Bemærk, at tælletallene først begynder at falde efter en indledende fase med stigende eller konstant tælletal.

Side 19

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

19

• Fortsæt målingerne indtil signalet (tælletallet) er sammenligneligt med baggrundsstrålingen.

• Der korrigeres for baggrundsstrålingen. Det korrigerede tælletal afsættes på y-aksen og tiden på x-aksen på en graf i LoggerPro.

• Halveringstiden bestemmes vha. eksponentiel regression på intervallet af målinger med faldende tælletal. Overvej hvordan man vurderer at tællingerne er faldende.

• Man kan opnå et højere tælletal (signal) og dermed mindre usikkerhed ved at lægge flere måleserier sammen. Overvej hvorfor dette er tilfældet.

• Resultatet sammenlignes med den forventede T (tabelværdien).

½

Diskussion:

• Hvor godt beskriver henfaldsloven målingerne?

• Hvor meget afviger T fra tabelværdien?

½

• Hvordan kan teorien eventuelt udvides til at tage højde for den indledende fase med diffusion?

• Hvilke fejlkilder er væsentlige og hvilken indflydelse har de på bestemmelsen af halveringstiden?

Side 20

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

20

Pa-234 generator – sikkerhedsforanstaltninger

Generatoren består af en forseglet gennemsigtig beholder, som er kemisk inaktiv, og som under normale omstændigheder er tæt. Under transport er generatoren omsluttet af en ydre beholder. Ved lang tids opbevaring skal den anbringes i et

100 mL bægerglas i den ydre beholder for at opsamle evt. udsivende opløsningsmiddel.

Ved brug skal generatoren vendes med hætten nederst. Efter brugen skal generatoren anbringes i sin glasbeholder og gemmes med hætten øverst.

Eksperimentel praksis

Man bør følge særlige sikkerhedsforanstaltninger ved håndtering af radioaktive materialer: Brug kittel, engangshandsker og evt. øjenbeskyttelse (briller). Vask hænder efter forsøget og undlad som altid at spise eller drikke i laboratoriet.

1) Målingen foretages ved at observere tælleraten over beholderen. Den lukkede beholder må ikke åbnes, ridses eller deformeres på nogen måde, ligeledes må beholderen ikke udsættes for kemikalier.

2) Rystningen af beholderen kan eventuelt foregå over en plastbakke med klud

(5 sekunder er passende).

3) Dataopsamlingen skal først påbegyndes, når lagdelingen er fuldendt.

Strålingsrisici

1) Den forseglede β-kilde flyttes altid indesluttet i sin transportbeholder.

2) Begræns bestrålingstiden (En måling bør max vare ca. 30 minutter).

3) Undgå unødig håndtering af præparatet.

4) Hold altid den maksimale afstand fra præparatet.

Side 21

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

21

Bilag 2: De ubearbejdede data

Bilag 3: Baggrundsstråling

Side 22

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

22

Bilag 4: Udregning af den gennemsnitlige baggrundsstråling

Bilag 5: Udregning af gennemsnitlig baggrundsstøj

Bilag 6: Sammenhæng mellem en eksponentielfunktion og en logaritmisk funktion

Bevis for at logaritmen til en eksponentialfunktion giver en lineær regression.

Først tages man logaritmen til begge sider af lighedstegnet, som det ses på billedet nedenfor:

Derefter bruges den logaritme regnerelg, der siger at logaritmen til to faktorer ganget med hinanden er lig, logaritmen til den ene faktorer ganget logaritmen til den anden faktorer.

Derefter er der en regnerelg, der siger at logaritmen til en faktor opløftet i en eksponent er lig eksponenten ganget logaritmen til faktoren.

Til sidst puttes omskrivningerne ind, og man får udtrykket:

Nu kan log(b) anses som et konstant led, log(1/2) som a-værdien i en lineær

                           9
regression mens x er den variable.

9

http://www.youtube.com/watch?v=T5ivNzK27tQ

Side 23

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

23

Bilag 7: Udledning af halveringstiden ved brug af henfaldskonstant b, der enten kan være aktiviteten eller antal kerner til tiden 0, kan forkortes væk på begge sider, så udtrykket kommer til at sådan her ud:

Den naturlige logaritme tages nu på begge sider. Da den naturlige logaritme til Eulers

konstant er lig 1, kan dette senere forkortes væk. Igen bruges regnereglen: ln ( 𝑎^{𝑥}) =

ln ( a) ∗ x t’erne på begge sider og ln(e) forkortes nu væk.

Ved at sige ln(2) i stedet for ln(0.5) skifter m fortegn. Derudover kan ln(2) puttes i nævneren på begge sider af lighedstegnet for derved at isolere T

1/2

Side 24

SRO: Matematik/Fysik: Radioaktivitet

4. marts 2014

24

Bilag 8: Grafisk fremstilling af de koblede differentielligninger