SRO om hoppende Bolde i Fysik A og Matematik B

Side 1

2012

SRO- Hoppende bolde i matematik og fysik

Side 2

Side 1 af 18

Abstract

The study investigates bouncing balls, in order to calculate the overall bouncing time of these balls. The terms infinite lines, impact factor and falling bodies are used for the calculation of this total bouncing time. There was an empirical study of bouncing balls in order to find the overall bouncing time. This bouncing time is compared with a video of a ball dropped from the height of

3m. Moreover, the ball's mechanical energy and energy conservation is described. The question of why a ball jumps at all and what happens inside the ball during the jump period is elucidated. The ball bounces because it gets added potential energy which is converted to kinetic energy and as the ball hits the ground it gets converted back into potential energy. When a ball bounces it be-comes compressed which makes the pressure higher and thus the temperature increases, and there is an adiabatic process inside the ball. The ball emits heat to the surroundings and therefore loses energy, which with time makes it stop jumping.

Side 3

Side 2 af 18

Indhold

Abstract ............................................................................................................................................................. 1 Problemformulering .......................................................................................................................................... 2 Indledning .......................................................................................................................................................... 3 Forsøgsbeskrivelse ......................................................................................................................................... 3 Teori: .................................................................................................................................................................. 3 Energibevarelse: ............................................................................................................................................ 3 Hvorfor hopper en bold ikke uendeligt? ....................................................................................................... 4 Stødtal ........................................................................................................................................................... 5 Faldloven ....................................................................................................................................................... 6 Kvotientrækker .............................................................................................................................................. 6 Den totale hoppetid .......................................................................................................................................... 8 tennisbold .................................................................................................................................................... 10 Bordtennisbold ............................................................................................................................................ 11 Boldens nedslagsfart ....................................................................................................................................... 12 Internationale regler for hoppehøjder ............................................................................................................ 13 Stødtal udregnet ud fra total tiden ..................................................................... Error! Bookmark not defined.

Fejlkilder og usikkerheder ............................................................................................................................... 14 Konklusion ....................................................................................................................................................... 15 Perspektivering .................................................................................................... Error! Bookmark not defined.

Litteraturlist ..................................................................................................................................................... 16 Bilag 1(tennisbold data) ................................................................................................................................... 17 Bilag 2 (bordtennisbold data) .......................................................................................................................... 18 Problemformulering

Der undersøges et forsøg om forskellige typer boldes hoppede-egenskaber. Redegør for teorien bag en hoppede bold. I matematik ses der på bolden som en uendelig række med hensyn til grænseværdi. Dette vil jeg belyse med regne eksempler. Forudsig derefter, på baggrund af matematikken, den totale hoppetid, og sammenlign den med den forsøgsbestemte tid.

Side 4

Side 3 af 18

Indledning

Jeg har valgt at beskæftige mig med undersøgelser af en hoppende bold, fordi jeg syndes det er spændende at man ud fra fysikkens love og matematikske formler kan forudsige, hvor lang tid en bold vil hoppe. Derudover er det sjovt at se på, hvad der sker inde i bolden når den hopper, hvordan energi forholdene er og hvorfor bolden overhovedet stopper med at hoppe. Derfor vil jeg i opgaven, bl.a. se på sammenhængen mellem boldens starthøjde og hoppe højde. Jeg vil bevise formlen for den totale hoppetid. Til dette skal jeg bruge uendelige rækker, som jeg vil belyse i matematik. Men jeg vil også se på hvordan en bolds hoppehøjde aftager for hvert hop. Jeg vil finde ud af hvad det skyldes, forklare om boldens energibevarelse og herunder inddrage mekanisk energi. Til sidst vil jeg finde stødtallet for en basket ball ud fra dens totale hoppetid.

Forsøgsbeskrivelse

Formålet med forsøget er at bestemme den totale hoppetid.

Vi startede med at sætte et målebånd fast på væggen i 3 meters højde. Vi tog enten en tennis-eller bordtennisbold, som blev sluppet fra starthøjden. Når bolden havde ramt jorden og hoppet op igen, greb vi den på det højeste punkt og aflæste højden på målebåndet. Dette gjorde vi fra forskellige starthøjder. Vi lavede forsøget 2 gange ved hver starthøjde for at få størst mulig sikkerhed i resultatet. Da vi havde noteret alle hoppehøjderne satte vi et kamera op og filmede at bolden blev tabt fra 3 meters højde til den lå stille. Denne film behandlede vi i logger pro, for at finde den teoretiske t.

total

Teori:

Energibevarelse:

Der er energibevarelse i bolden. Ifølge mekanikkens energisætning [1] er summen af kinetisk energi

og potentiel energi konstant: E + E =konstant. Potentiel energi er den energi en genstand fx en

pot kin bold, får når den bliver løftet op over nulniveauet, som defineres af forsøgsudøveren, det kan fx

være gulvet. Potentiel energi kan beskrives med formlen E =m*g*h hvoraf m=massen af

pot

1

Vejen til fysik AB1 side 84

Side 5

Side 4 af 18

                                                                           2
genstanden, målt i kilogram. g= tyndeaccelerationen, som er en konstant fastsat til 9,82 m/s og

h= højden over nulniveauet, målt i meter.

Kinetisk energi er bevægelses energi. Det er den energi boldens potentielle energi bliver

                                                                        1
omdannet til når den tabes fra højden h. kinetisk energi kan beskrives med formlen E = ∗ 𝑚 ∗
                                                                        2

kin 𝑣 [2] hvoraf m er massen og v er hastigheden, som måles i meter pr. sekund i anden potens.

Disse energibegreber kan bruges til at beskrive en bolds hoppe egenskaber. Bolden får først tilført potentiel energi, ved at blive løftet op til start højden h

1

. Når bolden tabes vil den falde mod jorden pga. tyndekraften, jo længere bolden falder, des jo mere af den potentielle energi vil blive omdannet til kinetisk energi. Altså er den potentielle energi størst lige idet bolden tabes og den kinetiske energi er størst lige før bolden rammer jorden. [2]

Hvorfor hopper en bold ikke uendeligt?

I teorien hopper bolden i uendelig lang tid, men alle ved jo at en bold stopper med at hoppe rimelig hurtigt. Grunden til at bolden i sidste ende ligger helt stille, skyldes flere ting. Hovedsagligt er det fordi, noget af den mekaniske

energi (E + E =E) bliver

pot kin mek omdannet til termisk energi idet bolden rammer jorden. Når bolden rammer jorden sker der en adiabatisk proces. Bolden bliver presset sammen, hvilket medfører at trykket inde i bolden stiger og det vil sige at temperaturen ligeledes stiger. Dette kan ses ud fra

idealgasloven 𝑝 ∗ 𝑉=𝑛 ∗ 𝑅∗ 𝑇 om n og R vides det at 𝑛∗ 𝑅=𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 så derfor ser formlen
således ud: 𝑝 ∗ 𝑉=𝑘∗ 𝑇 der kan ud fra dette ses at hvis trykket stiger, vil temperaturen ligeledes

stige. Når bolden retter sig ud og hopper op igen, vil trykket blive normalt, men

2

Dette afsnit bygger på viden fra hæftet: Hvordan hopper tennisbolde og bordtennisbolde? Side5-6

Side 6

Side 5 af 18 temperaturen T vil være lavere end før hoppet, da bolden har mistet termisk energi til omgivelserne. En del af denne varme bliver genvundet, da bolden optager varme fra omgivelserne, når den er i luften. Men hvorfor kan bolden så ikke blive ved med at hoppe? Det kan den ikke fordi termisk energi ikke kan omdannes til kinetisk energi eller potentiel energi. Det er ikke muligt at varme en boldt og den så begynder at hoppe. [3]

Stødtal

Stødtallet e beskriver forholdet mellem v

1 2 1 og v hvor v er boldens hastighed lige før den rammer jorden, v er boldens hastighed efter sammenstødet med jorden og v er boldens hastighed før

2 3

den rammer jorden 2. gang. Man må antage at v =v da den potentielle energi er den samme,

2 3

                                              𝑣
                                              2
boldens hastighed må derfor også være den samme. e = men da det er meget svært at måle
                                              𝑣
                                              1

hastigheden skrives formlen om, således at man kan udregne stødtallet e ud fra hoppehøjden. Ved at sætte den kinetiske energi lig med den potentielle energi kan man finde den hastighed bolden

falder med. Vi har tidligere set at E + E =konstant derfor kan vi sætte dem lig med hinanden og

pot kin antage at alt energien er inde i systemet og dermed ikke går tabt. [4]

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} =𝐸_{𝑝𝑜𝑡}

1

2

∗ 𝑚 ∗ 𝑣^{2} =𝑚 ∗ 𝑔∗ ℎ

2 ∗ ∗ 𝑚 ∗ 𝑣^{2} =2 ∗ 𝑚 ∗𝑔 ∗ ℎ

1

2

𝑚∗ 𝑣^{2} =2 ∗ 𝑚∗ 𝑔 ∗ ℎ

Massen kan fjernes, da den står på begge sider af lighedstegnet er det en ligegyldig factor. v står nu alene.

𝑣^{2} =2 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

𝑣= √ 2 ∗ 𝑔 ∗ℎ

v er nu isoleret og vi kan indsætte h

1 2 og h i formlen og får følgende:

3

Afsnittet bygger på viden fra fysik timerne.

4

Dette afsnit bygger på viden fra hæftet: Hvordan hopper tennisbolde og bordtennisbolde? Side9

Side 7

Side 6 af 18

𝑣_{1} = √ 2 ∗ 𝑔 ∗ℎ_{1} og 𝑣_{3} = √ 2 ∗ 𝑔∗ ℎ_{2} da der tidligere er fastslået at v =v må v altså kunne

2 3 2

skrives således 𝑣_{2} = √ 2 ∗ 𝑔∗ ℎ_{2}. Ud fra disse omskrivninger af v og v kan stødtallet e omskrives.

1 2

  𝑣    √ 2∗𝑔∗ℎ   ℎ
   2        2     2
e =  =       = √   = √ 𝛼 ud fra denne omskrivning er det muligt at udregne stødtallet ud fra
  𝑣    √ 2∗𝑔∗ℎ   ℎ
   1        1     1

h og h eller hældningstallet fra grafen over alle hoppehøjderne (se side 10).

1 2

Faldloven

Det er muligt at udregne hvor lang tid det tager for bolden at ramme jorden, altså faldtiden. En klog fysiker fra Italien ved navn Galileo Galilei undersøgte det frie fald og modbeviste Aristoteles'

                                                                      1
                                                                           2
teori om at tungt falder hurtigere end let. Derudover udregnede Galilei faldloven: 𝑠= 𝑔∗ 𝑡
                                                                      2

hvor s er den faldne strækning, g er tyngdeaccelerationen og t er faldtiden. [5] For at finde faldtiden

                                    2∗𝑠       2∗𝑠
                                 2
isoleres t og formlen ser nu således ud 𝑡 = ⇔𝑡= √ da s er den faldende strækning må s
                                     𝑔         𝑔

være lig med h når bolden er ved nulniveauet og formlen kan nu skrives 𝑡= √^{2∗ℎ}_{𝑔} det er

nødvendigt at kunne udregne t når boldens hoppende senere i opgaven vil se på hoppene som en uendelig kvotientrække.

Kvotientrækker

Endelige kvotientrækker

En kvotientrække er en række tal hvor der hver gang man går et skridt frem i rækken, ganges det

samme tal.^{6} Summen af en endelig kvotientrække med n led kan skrives: 𝑆=𝑎 + 𝑎∗ 𝑞+ 𝑎 ∗

𝑞^{2} +...+𝑎∗ 𝑞^{𝑛−1} hvis q ≠1 kan S beskrives med formlen: 𝑆=𝑎∗^{𝑞^{𝑛}}_{𝑞−1}^{−1}

Bevis: vi starter med at gange summen S med q.

𝑆∗ 𝑞=𝑎∗ 𝑞+𝑎∗ 𝑞 +...𝑎∗ 𝑞^{𝑛}

2

Nu tækkes summen fra summen multipliceret med q

𝑆∗ 𝑞− 𝑆=(𝑎∗ 𝑞+ 𝑎∗ 𝑞^{2} +...𝑎∗ 𝑞^{𝑛}) − (𝑎+ 𝑎∗ 𝑞+ 𝑎∗ 𝑞^{2} +...+𝑎∗ 𝑞^{𝑛−1})

5

http://da.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei

6

Hans Sloth: Renter med mere, Trip Forlag side 16

Side 8

Side 7 af 18

Herefter hæver vi parenteserne. Plus kan parentesen blot hæves, men i minus parentesen skal vi skifte fortegn.

𝑆∗ 𝑞− 𝑆=𝑎∗𝑞+ 𝑎∗ 𝑞 +...𝑎 ∗𝑞^{𝑛} − 𝑎− 𝑎∗ 𝑞− 𝑎∗ 𝑞^{2} −...−𝑎∗ 𝑞^{𝑛−1}

2

Hvis dette udtryk reduceres, får vi:

𝑆∗ 𝑞− 𝑆=𝑎∗ 𝑞^{𝑛} − 𝑎

For at isolere S

( 𝑞− 1) ∗ 𝑆=𝑎∗ ( 𝑞^{𝑛} − 1) ↔𝑆=𝑎∗

𝑞^{𝑛} − 1
𝑞− 1

Vi ved at vi ikke må dividere med 0, men dette vil ikke blive et problem da vi tidligere har defineret

at q≠1.

Man kan nu skrive formlen op med sumtegnet

         𝑛
        𝑞
 𝑛−1
∑    𝑎=
 𝑖=0

−1
𝑞−1

Et eksempel på en endelig række er opgave 5.11 hvor der bliver oplyst at der er 8 led, altså er n=8,
a=16 og q=0,5. For at finde summen af denne række sættes oplysningerne ind i formlen

∑^{𝑛−1}_{𝑖=0} 𝑎∗ 𝑞^{𝑖} =𝑎∗^{𝑞^{𝑛}} =16 ∗^{0,5^{8}}_{0,5−1} =31,875

−1 −1
𝑞−1

Uendelige kvotientrækker a er en startværdi, det kan fx være 1. Kvotienten q er en fremskrivningsfaktor. For eksempel hvis noget stiger med 7 % hver måned, så er fremskrivningsfaktoren 1,07. Fremskrivningsfaktoren q ganges med startværdien a for at finde ud, af hvor meget ekstra man har fået efter 1 måned.

Hvis 0<q<1 og n er uendelig stor vil q^{n} have grænseværdien 0 for n → ∞, da et hvilket som helst tal

opløftet i et tal mindre end 1 vil blive mindre og mindre hver gang n stiger med 1. Tallet vil komme så tæt på 0 at man konstatere at det er nul. Dette glæder ligeledes for tal mellem -1 og 0

overordnet kan intervallet beskrives sådan: | 𝑞 | <1 da q^{n} =0 kan ledet slettes, fordi 0-1 =-1.

sumformlen for en uendelig række kommer derfor til at se således ud: 𝑆_{𝑛}_{𝑞−1}^{−1} =𝑎∗^{𝑞^{𝑛}}

Side 9

Side 8 af 18

𝑆_{𝑛} =𝑎∗ =𝑎∗

−1 1
𝑞− 1 1 − 𝑞

Så summen af en uendelig kvotientrække er, hvis | 𝑞 | <1 lig med 𝑆=𝑎∗_{1−𝑞}^{1}

Et eksempel på en uendelig række er opgave 7.10 i Hans Sloth: Renter med mere, Trip Forlag side

21, hvor man bliver bedt om at finde a og q fra 7.1 og herefter bestemme summen på den uendelige kvotientrække.

a er startværdien og er i opgaven lig med 1 og q er 0,5, da værdien bliver halveret hver gang. [7]

𝑆=1 ∗ =2

1

1−0,5

Den totale hoppetid

For at finde ud af hvor lang tid en bold kan hoppe, finder vi den totale hoppetid. Til dette skal de uendelige rækker benyttes. Først findes t

1 2 1 2 og t som er faldtiden fra starthøjderne h og h

.

𝑡_{1} = √

2 ∗ ℎ_{1}

𝑔

𝑡_{2} = √

2 ∗ ℎ_{2}

𝑔

Forholdet mellem t og t udregnes.

1 2

𝑡_{2} 𝑔 ℎ_{2}
𝑡_{1} ℎ_{1}

= = √ =𝑒

√

2 ∗ ℎ_{2}

√

2 ∗ ℎ_{1}

𝑔

𝑡_{2} =𝑡_{1} ∗ 𝑒

Da det tager lige lang tid for bolden at hoppe op og ned er vi nød til at tilføje 2t i stedet for blot et enkelt.

2𝑡_{2} =2𝑡_{1} ∗ 𝑒

7

Hans Sloth: Renter med mere, Trip Forlag side

Side 10

Side 9 af 18

På samme måde kan man finde t ved at multiplicere t med stødtallet.

3 2

2𝑡_{3} =2𝑡_{2} ∗ 𝑒

Dette kan omskrives til

2𝑡_{3} =2𝑡_{1} ∗ 𝑒^{2}

For at finde summen af den totale hoppetid skal vi lægge alle hoppetiderne sammen.

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} + 2𝑡_{2} + 2𝑡_{3} + 2𝑡_{4} + ⋯

Men da det tager lang tid at beregne alle hoppetiderne vil vi finde en nemmere måde at udregne den på. Vi ved at en hver hoppetid kan udregnes ud fra t

1 og stødtallet i en potens.

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} + 2𝑡_{1} ∗ 𝑒+ 2𝑡_{1} ∗ 𝑒^{2} + 2𝑡_{1} ∗ 𝑒^{3} + ⋯

Vi sætter t uden for en parentes fra 2. led og får følgende.

1

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} + 2𝑡_{1} ∗ 𝑒(1 + 𝑒+ 𝑒^{2} + 𝑒^{3} + ⋯)

Indholdet i parentesen er en uendelig række, som derfor får summen_{1−𝑒}^{1}

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} + 2𝑡_{1} 𝑒∙

1

(1 − 𝑒)

t sættes uden for en parentes.

1

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} (1 + 2𝑒∙)

1

( 1 − 𝑒)

2*e ganges ind i tælleren.

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} (1 +)

2𝑒

( 1 − 𝑒)

1 omskrives til brøken^{(}_{(1−𝑒)}^{1−𝑒}^{)} for at de 2 brøker kan få en fælles nævner.

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} ( +)

( 1 − 𝑒) 2𝑒
(1 − 𝑒) ( 1 − 𝑒)

Side 11

Side 10 af 18

De 2 brøker lægges sammen.

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1} ()

1 − 𝑒+ 2𝑒
( 1 − 𝑒)

Brøken reduceres

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1}

(1 + 𝑒)
( 1 − 𝑒)

tennisbold

𝑒= √ 𝛼

𝑒= √ 0,5348^{8}

𝑒=0,7313

𝑡_{1} = √

2 ∗ ℎ_{1}

𝑔

𝑡_{1} =
√

2 ∗ 3 𝑚

9,82 𝑚

𝑠^{2}

⁄

𝑡_{1} =0,7817

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1}

(1 + 𝑒)
( 1 − 𝑒)

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =0,782 ∗

( 1 + 0,7313)
( 1 − 0,7313)

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 5,0365

8

Se bilag 1 for graf

Side 12

Side 11 af 18

Den absolutte afvigelse = t –t

total målt total teoretisk

9

=5,0365 s - 5,705 s

= -0,6685

Relativ afvigelse = ∙ 100 %

5,0365𝑠 − 5,705 𝑠

5,705 s

= -11,72 %

Bordtennisbold

Vi har valgt at frasortere de første 4 målinger, hvor starthøjden er over en meter, for at undgå en ekstrem stor afvigelse. Dette bliver uddybet yderligere under fejlkildeafsnittet.

𝑒= √ 𝛼

𝑒= 0,6827^{10}
√

𝑒=0,8263

𝑡_{1} = √

2 ∗ ℎ_{1}

𝑔

𝑡_{1} =
√

2 ∗ 3 𝑚

9,82 𝑚

𝑠^{2}

⁄

𝑡_{1} =0,7817s

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1}

(1 + 𝑒)
( 1 − 𝑒)

9

Se bilag 1 for billede af logger pro graf

10

Se bilag 2 for graf og tabel

Side 13

Side 12 af 18

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =0,782 ∗

( 1 + 0,8263)
( 1 − 0,8263)

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 8,216 s

Den absolutte afvigelse = t –t

total målt total teoretisk

=8,216 s - 8,373s

= - 0,157

Relativ afvigelse = ∙ 100 %

8,216 s − 8,373s

8,373 𝑠

= -1,875 %

Boldens nedslagsfart

Ud fra den mekaniske energisætning kan man udregne nedslagsfarten på en tilfældig bold.

𝑣= √ 2 ∗ 𝑔 ∗ℎ

Vi udregner nedslagsfarten fra forskellige højder, fx 3 m og 1 m

Side 14

Side 13 af 18

𝑣= 2 ∗ 9,82 ∗ 3𝑚=7,67594 ⁄
√ ⁄

𝑚 𝑚

𝑠^{2}

𝑠

𝑣= 2 ∗ 9,82 ∗ 1𝑚=4,4317 ⁄
√ ⁄

𝑚 𝑚

𝑠^{2}

𝑠

Vi kan se ud fra de to hastigheder at der er stor forskel alt efter hvilken højde bolden bliver tabt fra. Boldens hastighed har en stor betydning for vindmodstanden på bolden. Jo hurtigere bolden bevæger sig, jo mere vindmodstand er der og dette resultere i at energibevarelsen bliver dårligere når bolden bliver tabt fra en stor højde.

Internationale regler for hoppehøjder

Vi vil sammenligne vores bolde med de internationale regler for boldes hoppehøjder. På den måde kan vi konkluder om vores tennisbold og bordtennisbold opfylder kravene.

En tennisbold, der slippes fra en højde på 2,54 m, skal fra et betongulv hoppe op til mindst 1,35 m og højst 1,47 m.

En tennisbold, der slippes fra en højde på 30,5 cm over bordet, skal hoppe til en højde på mellem

22 og 25 cm.

Vi kan ud fra vores graf (se bilag) se at formlen for en tennisbolds hoppehøjde er y = 0,5348x +
2,8434 og formlen for en bordtennisbold er y = 0,6827x + 2,6243.

y = 0,5348 ∗ 254 cm + 2,8434=138,674 𝑐𝑚

𝑦 = 0,6827 ∗ 30,5 𝑐𝑚 + 2,6243=23,4467 𝑐𝑚

Ud fra disse kan vi se at vores bolde opfylder de internationale krav.

Stødtal udregnet ud fra total tiden

Vi lavede endnu et forsøg, hvor vi tabte en basket ball fra 4,5 meters højde og tog total tiden på et stopur.

t_{total} = 13,5 s

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑡_{1}

(1 + 𝑒)
( 1 − 𝑒)

Side 15

Side 14 af 18

𝑡_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} (1 + 𝑒)
𝑡_{1} ( 1 − 𝑒)

=

13,5 (1 + 𝑒)
0,7817 ( 1 − 𝑒)

=

17,27=

(1 + 𝑒)
( 1 − 𝑒)

17,27∗ ( 1 − 𝑒) = ( 1 + 𝑒)

16,27=18,27∗ 𝑒

𝑒= =0,89

16,27

18,27

Det er altså muligt at udregne stødtallet ud fra starthøjden og den totale hoppetid.

Fejlkilder og usikkerheder

Den største fejlkilde under forsøget er vores egen reaktionsevne. Mennesker har en forholdsvis hurtig reaktionsevne, men på trods af det giver det en stor usikkerhed, da vi ikke kan gribe bolden, når den er præcist ved sin maksimumshøjde. Der er ligeledes en usikkerhed ved aflæsningen af hoppehøjden på målebåndet. Endnu en fejlkilde er resultaterne fra logger pro, da vi selv har sat prikker der følger bolden og de derfor ikke er fuldstendig præcise og det er svært at vurdere hvornår bolden stopper med at hoppe, det er blot antaget.

Hvis vi medtog målinger over 1 meter på bordtennisbolden ville vi få en afvigelse på over 100 %, dette må skyldes vindmodstand. En bordtennisbold har en lille masse, men dog en stor overflade og dette medfører en drastisk vindmodstand i forhold til tennisbolden. Bordtennisbolden hopper derimod rigtig godt ved små højder, hvor den lave nedslagsfart gør at vindmodstanden ikke er så stor.

Tennisbolden har filt hele vejen rundt om sig, dette medfører en støddæmpning. Det vil altså gøre at bolden ikke hopper med sin optimale effekt.

I forsøget med basket bolden blev tiden målt med et stopur hvilket er en meget upræcis metode at måle en tid. Forsøget er lavet på et linoleums gulv hvilket er et dårligt hoppeunderlag.

Side 16

Side 15 af 18

Konklusion

Vi kan nu konkludere at en tennisbold hopper i ca. 5,5 sekunder og at en bordtennisbold hopper i ca. 8,25 sekunder.

Derudover har vi nu fundet ud af at der sker en adiabatisk proces inde i en hoppende bold og at der derfor ikke er fuld energibevarelse, da noget af energien bliver omdannet til termisk energi under et forhøjet tryk. Vi har set på sammenhængen mellem boldens starthøjde og hoppe højde og fundet ud af at sammenhængen kan beskrives med boldens stødtal e. Vi har bevist en endelig række og brugt dette til vider forklaring af en uendelig række. Vi har betragtet den totale tid som en uendelig række og fundet at t

1 er startværdien altså det samme som a og e er fremskrivningsfaktoren altså det samme som q. Vi har sammenlignet den udregnede totale hoppetid med hoppetiden på vores video. Til sidst fandt vi stødtallet for en basket ball ud fra den

totale hoppetid og starthøjden til at være e=0,89.

Side 17

Side 16 af 18

Litteraturlist

Fysik:

Henriksen, Henning; Hvordan hopper tennisbolde og bordtennisbolde? Fysikforlaget

http://da.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei tilgået den 2.2-2012

Nielsen, Knud Erik og Fogh, Esper; Vejen til fysik AB1 side 84

Sloth, Hans; Renter med mere, Trip Forlag

Side 18

Side 17 af 18

y = 0,5348x + 2,8434
R² = 0,9939

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

00 400 hoppehøjde højden tennisbold

Series1

Linear (Series1)

Bilag 1(tennisbold data)

Starthøjde i | Gennemsnti | Hoppehøjde | Hoppehøjde
cm | hoppehøjde | 1 | 2
300 | 154,5 | 154 | 155
250 | 140 | 140 | 140
200 | 112,5 | 110,5 | 114,5
150 | 89,5 | 91 | 88
100 | 59,5 | 63 | 56
80 | 46,75 | 44 | 49,5
60 | 36 | 37 | 35
50 | 27,5 | 26 | 29
40 | 24,75 | 25,5 | 24
30 | 18,25 | 18 | 18,5
20 | 10 | 9 | 11
10 | 4,75 | 5 | 4,5

Side 19

Side 18 af 18

y = 0,6827x + 2,6243
R² = 0,9967

0

20

40

60

80

0 hoppehøjde starthøjdel bordtennisbold med starthøjder fra

1m og der under

Series1

Linear (Series1)

y = 0,4623x + 13,786
R² = 0,9697

0

50

100

150

200

00 400 hoppehøjde starthøjde bordtennisbold med alle starthøjder

Series1

Linear (Series1)

Bilag 2 (bordtennisbold data)

Start Højde | Gennemsnit | Hoppehøjde 1 | Hoppehøjde 2
300 | 138,5 | 138 | 139
250 | 129,25 | 127,5 | 131
200 | 113 | 110 | 116
150 | 93,75 | 93 | 94,5
100 | 70 | 70 | 70
80 | 56,5 | 57 | 56
60 | 44,25 | 45 | 43,5
50 | 38,5 | 38 | 39
40 | 31 | 32 | 30
30 | 22,75 | 21,5 | 24
20 | 16,75 | 16 | 17,5
10 | 7,5 | 6,5 | 8,5