SRO om regnbuen

Side 1

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

STX 2.g

1

2g - opgave_{STX 2.g}

            Skolebakken 13
i studie-   5800 Nyborg

retningsfag^{Tlf.}_{ÅR 2010/2011}

Fag: Matematik/Fysik

STX 2.g

Klasse: 2.a

Faglærer:

Område: Naturvidenskab; Forklaring af regnbuen

Problemformulering:

I skal redegøre for, hvordan brydningsloven (Snells Lov) kan udledes ved at anvende differentialregning (Fermats princip). Herudover skal I anvende Snells lov til at forklare og redegøre for, hvordan en regnbue opstår.

Side 2

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

2

Indholdsfortegnelse

Abstract ......................................................................................................................................................... 3 Indledning ...................................................................................................................................................... 4 Snells Lov ....................................................................................................................................................... 4 Regnbuen ....................................................................................................................................................... 7 Regnbuens farver .......................................................................................................................................... 8 Lysstrålens vej igennem en cirkelformet vanddråbe .................................................................................... 9 Lysets spredning .......................................................................................................................................... 10 Regnbuens bue ............................................................................................................................................ 11 Biregnbuen .................................................................................................................................................. 12 Alexanders mørke bånd ............................................................................................................................... 14 Konklusion ................................................................................................................................................... 15 Litteraturliste ............................................................................................................................................... 16 Bilag ............................................................................................................................................................. 17

Side 3

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

3

Abstract

The purpose of this study is to show how the rainbow arises. The rainbow is one of nature’s most fascinating phenomena and it is created when two completely different contrasts meet. The warm beam from the sun meets the cold wet raindrop and it is almost like magic. But we all know that it is not magic and the phenomenon can be explained by using Fermat’s principle and Snell’s law. By using Fermat’s principle we can derive Snell’s law, and this can be used to explain the arising of the rainbow. Others phenomena related to the rainbow are the double rainbow and Alexander’s Band. The double rainbow is a second rainbow above the first and it is less visible. Alexander’s Band is a dark band between the two rainbows.

Side 4

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

4

Indledning

Når modsætninger mødes, sker der ofte det mest storslåede. Når de varme solstråler rammer våde kolde regndråber skabes en af naturens mest velkendte lysfænomener - nemlig regnbuen. Næsten alle har under eller efter en regnbyge, set den farverige bue hen over himlen og næsten alle der har set det, ved hvor fantastisk det er at overvære naturen i sit bedste.

Men hvordan kan det være at dette smukke fænomen opstår, når disse modsætninger mødes? Til at forklare dette fænomen skal naturvidenskaben benyttes. Først redegøres for, hvordan Snells lov kan udledes ved at anvende differentialregning, hvor Fermats princip benyttes. Herefter anvendes Snells lov til at forklare og redegøre for, hvordan regnbuen opstår.

Snells Lov

Når en lysstråle overgår fra et materiale til et andet brydes strålen. Det betyder altså at strålen ikke går direkte igennem det nye materiale, men at den derimod brydes i brydningsvinklen 𝑏. Den vinkel som strålen brydes i afhænger af, hvilket materiale den går fra og til. Dette skyldes, at lysets hastighed ikke er det samme i to forskellige materialer. Lysstrålen vil altså derfor ændre retning.

Betragter vi en lysstråle, som skal fra punktet A til punktet B, ville det virke naturligt at antage, at lysstrålen ville tage den korteste vej. Men Fermats princip siger, at lysstrålen faktisk vælger den hurtigste vej. Har vi derfor en vandret plan linje mellem de to faste punkter, er vi nødt til at kende det punkt P, hvor lysstrålen går fra det første materiale det det andet, for at finde den tid det tager lysstrålen at komme fra punkt A til punkt B.

Figur 1.^{1}

På figuren ses en lysstråle der skal bevæge sig fra A til B med tilfældigt valgte værdier a, e og d.

Ud fra disse kan vi bestemme lysstrålens vej fra

A til B.

1

Udleverede ark (opgaveformulering)

e = 3

i i b b

Side 5

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

5

Til dette er vi nødt til at have den samlede længde fra punktet A til B. Vi får altså:

| 𝐴𝐵 | = | 𝐴𝑃 | + | 𝑃𝐵 |

Indsætter vi normalen(se figur 1) i punktet P, får |𝐴𝑃| og |𝑃𝐵| en simpel geometrisk betydning. Vi kan nu vha. pyhagoras bestemme længderne:

|𝐴𝑃|= 𝑥 + 𝑎^{2}

√^{2}

|𝑃𝐵|= √ ( 𝑥− 𝑑)^{2} + 𝑒^{2}

Herefter kan vi opstille afstandsformlen som funktion af x:

|𝐴𝐵| ( 𝑥) = 𝑥 + 𝑎^{2} + √ ( 𝑥− 𝑑)^{2} + 𝑒^{2}

√^{2}

Hvis vi lader lysets hastighed i det første materiale være 𝑐_{1} og lysets hastighed i det andet
materiale være 𝑐_{2}, kan vi opskrive en formel for tiden t, idet vi ved at:

𝑡=

𝑠𝑡𝑟æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑

𝑡= + = +

|𝐴𝑃| |𝑃𝐵| √ 𝑥^{2} + 𝑎^{2} √ ( 𝑥− 𝑑)^{2} + 𝑒^{2}
𝑐_{1} 𝑐_{2} 𝑐_{1} 𝑐_{2}

Ved hjælp af formlen for tiden kan vi opskive en forskrift for t som funktion af x, hvorefter vi optimerer for tiden:

𝑡(𝑥)= +

√ 𝑥^{2} + 𝑎^{2} √ ( 𝑥− 𝑑)^{2} + 𝑒^{2}
𝑐_{1} 𝑐_{2}

Vi bestemmer differentialkvotienten:

𝑡^{′} ( 𝑥) =

𝑐_{2} · 𝑥· √ 𝑥^{2} − 2 · 𝑑· 𝑥+𝑑^{2} + 𝑒^{2} + ( 𝑐_{1} · 𝑥− 𝑐_{1} · 𝑑) · √ 𝑥^{2} + 𝑎^{2}
𝑐_{1} · 𝑐_{2} · √ 𝑥^{2} + 𝑎^{2} · √ 𝑥^{2} − 2 · 𝑑· 𝑥+ 𝑑^{2} + 𝑒^{2}

Herefter finder vi det globale minimum, idet lyset jo tager den hurtigste vej. Vi antager at

𝑥≠0 ∧ 𝑥≠𝑑:

𝑐_{2} · 𝑥· √ 𝑥^{2} − 2 · 𝑑· 𝑥+ 𝑑^{2} + 𝑒^{2} + ( 𝑐_{1} · 𝑥− 𝑐_{1} · 𝑑) · √ 𝑥^{2} + 𝑎^{2}
𝑐_{1} · 𝑐_{2} · √ 𝑥^{2} + 𝑎^{2} · √ 𝑥^{2} − 2 · 𝑑· 𝑥+ 𝑑^{2} + 𝑒^{2}

=0

Idet vi ved at^{𝑎}_{𝑏} =0 er det samme som 𝑎=0, får vi:

𝑐_{2} · 𝑥· 𝑥 − 2 · 𝑑· 𝑥+ 𝑑^{2} + 𝑒^{2} + ( 𝑐_{1} · 𝑥− 𝑐_{1} · 𝑑) · 𝑥 + 𝑎^{2} =0

√^{2} √^{2}

Side 6

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

6

Denne ligning kan umiddelbart ikke løses vha. CAS. Vi benytter derfor nogle hjælpeligninger.

Vi har at vinklen 𝑖 (se figur 1)har følgende sammenhæng med |𝐴𝑃|:

sin ( 𝑖) =

𝑥

√ 𝑥^{2} + 𝑎^{2}

⇕ 𝑥 + 𝑎^{2} =

√^{2}

x sin ( 𝑖)

Ligeledes har vi, at vinklen 𝑏 (se figur 1)har følgende sammenhæng med |𝑃𝐵|:

sin ( ) =

𝑑− 𝑥
√ ( 𝑥− 𝑑)^{2} + 𝑒^{2}

⇕ √ ( 𝑥− 𝑑)^{2} + 𝑒^{2} =

𝑑− 𝑥

sin ( )

Sammenfatter vi de to hjælpeligninger med vores overstående ligning får vi:

𝑐_{2} · 𝑥· + ( 𝑐_{1} · 𝑥− 𝑐_{1} · 𝑑) · =0

𝑑− 𝑥 x

sin ( 𝑏) sin ( 𝑖)

Udtrykket faktoriseres vha. CAS-værktøj

( 𝑐_{1} · sin ( 𝑏) − 𝑐_{2} · sin ( 𝑖)) · 𝑥· =0

𝑥− 𝑑
sin ( 𝑖) · sin ( 𝑏)

Benytter vi nulregelen får vi

𝑥=0 ∨ 𝑥=𝑑∨ 𝑐_{1} · sin ( ) − 𝑐_{2} · sin ( 𝑖) =0

Eftersom vi antog at 𝑥≠0 ∧ 𝑥 ≠𝑑 må der gælde:

( 𝑐_{1} · sin ( 𝑏) − 𝑐_{2} · sin ( 𝑖)) =0

Omskriver vi dette får vi:

𝑐_{1} · sin ( 𝑏) =𝑐_{2} · 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑖)

Det betyder altså, at der gælder følgende sammenhæng, hvis lysstrålen skal tage den hurtigste vej fra punktet A til punktet B:

𝑐_{1} · sin ( 𝑏) =𝑐_{2} · 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑖)

Den overstående formel kaldes for brydningsloven eller Snells lov. En anden variation af formlen er:

𝑐_{1} sin ( 𝑖) sin ( 𝑖)
𝑐_{2} sin (𝑏) sin (𝑏)

= ⟺𝑛=

Side 7

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

7

Tallet n kaldes for det relative brydningsforhold eller brydningsindekset.

Når en lysstråle rammer en overflade, bliver alt lys ikke brudt.

En del af lyset vil blive reflekteret. Når indfaldsvinklen 𝑖 overstiger en vis grænse 𝑖 vil alt lys
                                                                  𝑔𝑟æ𝑛𝑠𝑒

blive reflekteret. Her er det vigtigt at bemærke at udfaldsvinklen 𝑢 bliver lig med indfaldsvinklen 𝑖

𝑢=𝑖

Denne kaldes for refleksionsloven.

Regnbuen

Regnbuer dannes af sollys og vandråber - oftest regndråber. Regndråber er ikke dråbeformede, som de fleste tror, men derimod er de kugleformede. Det var en tysk munk der i 1304 [2] indså sammenhænget mellem regndråbens form og regnbuen. Vha. et forsøg med en kugleformet glaskugle fyldt med vand opdagede han, at regnbuen skyldes lysstråler, der brydes og reflekteres i det indre af regndråben og derefter rammer øjet i en bestemt vinkel. Hans opdagelse gik dog i glemmebogen og det var først 300 år senere, at franskmanden René Descartes lavede samme forsøg. Han offentliggjorde sine resultater i 1637, og det er disse resultater, der var de første fremskridt inden for forskningen af regnbuen.

Descartes undersøgte, hvad der skete med lysstråler, når de brydes og reflekteres i regndråber.

Han opdagede, at når et bundt lysstråler rammer en dråbe, brydes de, idet de rammer regndråbens overflade. De forskellige stråler brydes forskelligt, afhængigt af hvor på dråben de rammer. De reflekteres herefter i dråbens bagvæg, hvorefter de kommer ud af dråben igen efter endnu en brydning.

Figur 3^{3}

Vi kan på figur 3 se en tendens til, at lyset koncentrer sig i en bestemt vinkel. Undersøger man dette nærmere, ser man, at vinklen er 42ᵒ i forhold til det indfaldne lys.

En stor del af det lys, som reflekteres af dråben kan derfor ses i denne vinkel og det er på denne måde, at regnbuen opstår. Der kommes nærmere ind på vinkelen 42ᵒ senere.

2

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s23

3

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s24

Side 8

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

8

Descartes fandt også frem til, hvorfor regnbuen har form som en halvcirkel og hvorfor den altid ses i retningen modsat solen. Hvis vi forstiller os, at iagttageren af regnbuen står med ryggen mod solen, kan iagttageren se sin egen skygge på jorden og det sted, hvor skyggen af hovedet rammer jorden kaldes for antisolpunktet [4]. Alle de solstråler som kastes tilbage af regndråben mod øjet i en vinkel på 42ᵒ i forhold til antisolpunktet bidrager til regnbuen. Derved dannes der en kegle af tilbagekastede solstråler mod øjet, og man ser regnbuen tegne sig på himmelen. Eftersom regnbuen er begrænset af horisonten, kan man ikke se en hel regncirkel, men kun en regnbue.

Den ses i modsat retning af solen, idet lyset tilbagekastes af regndråberne. Det er ikke muligt at se dette, hvis iagttageren har fronten vendt mod solen.

Solens højde over horisonten bevirker, hvor på himlen regnbuen er. Iagttager man regnbuer på forskellige tidspunkter på dagen, opdager man, at jo højere solen står på himlen, desto lavere er regnbuen. Ved middagstid, hvor solen står højest på himlen, vil regnbuen være helt forsvundet under horisonten, hvorimod den ved solop- og nedgang er meget høj, idet solen står meget lavt på himlen.

Regnbuens farver

Det der karakteriserer regnbuen er dens farver. Violet, blå, grøn, gul, orange og rød. Men hvordan kan det lade sig gøre, at sollysets hvidgule stråler kan frembringe alle disse farver. Descartes kunne ikke finde en forklaring på dette, men det kunne englænderen Isaac Newton [5] derimod. Han sagde, at hvidt lys indeholder alle bølgelængder i det synlige spektrum - dvs. alle farver. Når man blander grønt, rødt, blåt lys osv. sammen, kan man derfor danne hvidt lys. Omvendt kan man under de rigtige omstændigheder spalte lysets bestanddele i dens enkeltfarver og derved få alle regnbuens farver.

Figur 4.^{6}

Når lys passerer fra luft til vand, vil lyset som nævnt tidligere brydes og afbøjes i en vinkel. Men

Newton opdagede, at forskellige farver også afbøjes forskelligt. I luft er afbøjningsforskellen relativ lille, og er derfor ikke synlig under normale omstændigheder. Men i overgangen fra luft til vand er afbøjningsforskellen stor nok til, at man kan se det med det blotte øje. Violet lys afbøjes mest og rødt lys afbøjes mindst.

Rækkefølgen af regnbuens farver er derfor heller ikke helt tilfældig. Det er sådan i en regndråbe, at violet lys vil blive afbøjet ca. 2ᵒ mere end rødt lys. Derfor er regnbuens inderste farve altid violet og den yderste altid rød. Herimellem kommer blå, grøn, gul og orange. Men eftersom dette

4

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s25

5

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s27

6

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s28

Side 9

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

9 betyder, at forskellige farver fra samme regndråbe rammer jordoverfladen forskelligt pga.

afbøjningsforskellen, må den regnbue, vi ser på himlen være dannet af forskellige regndråber.

Den røde farve i regnbuen kommer fra regndråber højere oppe på himlen end de regndråber der giver den violette farve. (se figur 4)

Lysstrålens vej igennem en cirkelformet vanddråbe

Tidligere så vi på brydningen af en lysstråle på en plan overflade. Men det kunne også tænkes, at grænseoverfladen mellem punkterne A og B ikke var en ret linje, men derimod en cirkelbue - fx en regndråbe. I dette sammenhæng vil vinklerne i forhold til normalen stadig opfylde Snells lov og refleksionsloven. Disse principper kan benyttes til at forklare et meget kendt naturfænomen - nemlig regnbuen.

Vi benytter her Snells lov, refleksionsloven og brydningsindekset. Brydningsindekset fra luft til vand er ca. 1,33 [7]. Det betyder, at lysets hastighed gennem luft er ca. 1,33 gange så stor som hastigheden gennem vand.

Hvis vi forstiller os, at solen indsender en lysstråle vandret ind mod en cirkulær vanddråbe i punktet B med indfaldsvinklen 𝑖 til normalen, som ved en cirkel er radius [8], så vil denne brydes i vinkelen 𝑏. (se figur 2)

Figur 2.^{9}

Strålen rammer derefter dråbens bagvæg i punktet C. Noget af lyset brydes ud af dråben, men resten af strålen reflekteres i punktet C. Følger vi denne stråle, ser vi at den igen brydes, så dens retnings danner den samme vinkel𝑖 med normalen, som den ramte dråben med.

Af firkant BCDO (figur 2) ses, at:

∠𝑂=360 − 4𝑏.

I firkant BQDO er vinkelsummen altså

𝑖+ 𝑠+ 𝑖+ ( 360 − 4𝑏) =360^{10}

⇕ Ligningen løses for s vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑠=4𝑏− 2𝑖

7

Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A, s 64

8

Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A, s 61

9

Udleverede ark (opgave formulering)

10

Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A, s 62

Lysstråle

Side 10

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

10

Den overstående formel for spredningsvinklen forklarer faktisk regnbuen og andre lignende

lysfænomener på himlen.^{11}

Farverne i en regnbue dannes, fordi det relative brydningsforhold 𝑛 er forskelligt fra hinanden afhængigt af lysets farve.

Lysets spredning

Idet solens lys indeholder alle farver i det synlige spektrum brydes disse forskelligt afhængigt af farven. Benytter vi brydningsloven får vi: sin ( 𝑖) sin (𝑏)

=𝑛

⇕ Ligningen løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

=sin^{−1} ()

sin ( 𝑖) 𝑛

Vi kan nu opskrive spredningsvinklen 𝑠 som funktion af indfaldsvinklen 𝑖, idet sammenhænget mellem 𝑏 og 𝑖 fra det overstående benyttes. Vi får altså

𝑠 ( 𝑖) =4 · (sin^{−1} ()) − 2𝑖^{12}

sin ( 𝑖) 𝑛

Vi tegner grafen for funktionen. Eftersom n er forskellig fra farve til farve, tegner vi grafen for hver af farverne.

11

Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A, s 61-62

12

Fysikkens verden 2, Elvekjær og Nielsen, 2. udg, GAD, s. 66

Side 11

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

11

                                                                            13
På den ovenstående graf ses sammenhænget mellem indfaldsvinklen 𝑖 og spredningsvinklen 𝑠. Som vi kan

se på grafen, er der et interval af indfaldsvinkler, der alle sammen giver spredningsvinkler, som er forholdsvis tæt på hinanden. Disse spredningsvinkler er også, som vi kan se, de største spredningsvinkler.

                                                                         14
Det er derfor, at tilbagekastningen af lyset er særlig intens, når strålen spredes maksimalt.

Regnbuens bue

Tidligere blev det nævnt at 𝑛 er forskellig fra farve til farve. Det er forklaringen på, hvorfor regnbuen farver

                                                                             15
har følgende rækkefølge; violet, blå, grøn, gul, orange og rød. Vi bruger programmet Regnbuen til at

forklare dette yderligere.

Betragter vi farven rød kan vi se at den har en brydningsindeks på 1,329. Farven violet har derimod en brydningsindeks på 1,343. Det betyder altså at violet lys bevæger sig 0,014 gange hurtigere gennem vand end rødt lys.

Vha. af programmet Regnbuen kan vi se, at den maksimale vinkel vi ser det tilbagekastede violette lys er

                                                            16
40,6ᵒ og den maksimale vinkel vi ser det tilbagekastede røde lys er 42,7ᵒ .

Vi kan nu bestemme, hvor stor en bue regnbuen spænder over. Vi får:

42,7 − 40,6 =2,1

Denne spænding kan dog også bestemmes vha. CAS. Tager vi hhv. brydningsindekset for violet lys og for rødt lys får vi: Vi starter med at bestemme den vinkel, hvor det tilbagekastede violette lys kan ses;

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑠 ( 𝑖) =4 · (sin^{−1} ()) − 2𝑖

sin ( 𝑖)

1,343

𝑠^{′} ( 𝑖) =0

Ligningssystemet løses numerisk for 𝑖 vha. CAS-værktøjet Maxima.

𝑖≈58,83029

Der blev fundet en løsning. Der kan dog sagtens være flere løsninger.

Herefter indsættes den fundne løsning ind i vores funktion:

𝑠 ( 58,83029) =40,64588

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓.

Vi bestemmer nu den vinkel, hvor det tilbagekastede røde lys kan ses:

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑠 ( 𝑖) =4 · (sin^{−1} ()) − 2𝑖

sin ( 𝑖)

1,329

𝑠′ ( 𝑖) =0

13

Bemærk at akserne er i radianer, hvor vi her regner i grader.

14

Udleverede ark (Opgave formulering)

15

Downloadet fra www.datalyse.dk/buen/index.htm

16

Data for alle farver, se bilag 1.

Side 12

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

12

Ligningssystemet løses numerisk for 𝑖 vha. CAS-værktøjet Maxima.

𝑖≈59,64299

Der blev fundet en løsning. Der kan dog sagtens være flere løsninger.

Herefter indsættes den fundne løsning ind i vores funktion:

𝑠 ( 59,64299) =42,66337

Når vi kender vinklerne for hhv. violet og rødt lys, som er den øverste og nederste farve for regnbuen, kan den bue som regnbuen spænder over findes på samme måde som tidligere. Vi får et resultat på 2,01749 . Sammenligner vi dette resultat med resultatet fra programmet Regnbuen, kan vi se, at buen, som regnbuen spænder over, med god tilnærmelse er på 2ᵒ .

Vha. programmet Regnbuen kan vi ændre vi på indfaldsvinklen - dvs. højden af solen over horisonten. Vi ser, at dette ikke har en indvirkning på, hvor stor en bue regnbuen spænder over. Derimod ser vi at det

bevirker, hvor på himlen regnbuen ses.^{17}

Inde i programmet kan vi også ændre på, hvor iagttageren af regnbuen står. Igen ser vi her, at det ikke ar en indvirkning på, hvor stor en bue regnbuen spænder over - altså vi ser regnbuen i samme vinkler, men derimod bevæger regnbuen sig i takt med iagttageren. Det betyder altså at to iagttagere ikke ser den samme regnbue, idet de ikke har præcis den samme position.

Biregnbuen

Man kan være så heldig ikke bare at se en regnbue på himlen, men derimod hele to regnbuer.

Den regnbue, som omtales mest og som har været omtalt indtil nu, kaldes for hovedregnbuen.

Den anden regnbue ligger over hovedregnbuen og kaldes for biregnbuen. Den kan ses ca. 9ᵒ over hovedregnbuen og dens farver er noget svagere end hovedregnbuens.

Biregnbuen dannes, som hovedregnbuen, ved at sollysets stråler tilbagekastes fra regndråber.

Lysstrålerne har bare gennemgået en ekstra spejling inde i regndråben. Dette er også forklaringen på, at biregnbuens farver er svagere end hovedregnbuens. For hver gang en lysstråle spejles, er der noget af lyset der bliver brudt og dermed mistes. Da lyset fra en biregnbue har gennemgået to spejlinger, har den altså mistet mere lys end hovedregnbuen.

Rækkefølgen af farverne i biregnbuen kommer i modsat rækkefølge af hovedregnbuen - altså rød inderst og violet yderst. Princippet er det samme som ved hovedregnbuen - det røde lys afbøjes mindre end det violette lys, og pga. den ekstra spejling i regndråben bliver

rækkefølgen af farverne vendt om.^{18}

Når der dannes en biregnbue kan strålegangen igennem en regndråbe beskrives således:

2 · ( 𝑖−) + 2 · ( 180 − 2 ·) =2 · 𝑖− 6 · + 360

17

Se illustration bilag 2 og 3

18

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s28

Side 13

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

13

Vi ser altså at lysstrålen drejer vinklen 180 + 2𝑖− 6 mere end i modsat retning af, hvor den

kom fra [19]. Denne vinkel kalder vi spredningsvinklen s

𝑠=180 + 2𝑖−6𝑏

Vi kan nu opskrive spredningsvinklen som funktion af indfaldsvinklen, hvis vi benytter sammenhængen mellem 𝑏 og 𝑖.

=sin^{−1} ()

sin ( 𝑖) 𝑛

𝑠(𝑖)=180 + 2𝑖− 6 ·(sin^{−1} ())

sin ( 𝑖) 𝑛

Vha. 𝑠(𝑖) kan vi bestemme, hvor stor en bue biregnbuen spænder over. Vi finder først den vinkel, hvorved de tilbagekastede violette lys kan ses:

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑠(𝑖)=180 + 2 · 𝑖−6 · (sin^{−1} ())

sin ( 𝑖)

1,343

𝑠^{′} ( 𝑖) =0

Ligningssystemet løses numerisk for 𝑖 vha. CAS-værktøjet Maxima.

𝑖≈71,52151

Der blev fundet en løsning. Der kan dog sagtens være flere løsninger.

Vi kender nu indfaldsvinklen og kan vha. 𝑠 ( 𝑖) bestemme spredningsvinklen:

𝑠 ( 71,52151) =53,47776

Det betyder altså, at vi kan se det tilbagekastede violette lys i vinklen 53,5 i forhold til den indkommende stråle.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓.

Ligeledes bestemmer vi den vinkel, hvorved de tilbagekastede røde lys kan ses:

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑠(𝑖)=180 + 2 · 𝑖−6 · (sin^{−1} ())

sin ( 𝑖)

1,329

𝑠′ ( 𝑖) =0

Ligningssystemet løses numerisk for 𝑖 vha. CAS-værktøjet Maxima.

𝑖≈71,97181

19

Regnbuen, eksperimenter og simulation s. 21

Side 14

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

14

Der blev fundet en løsning. Der kan dog sagtens være flere løsninger.

Vi kender nu indfaldsvinklen og kan vha. 𝑠 ( 𝑖) bestemme spredningsvinklen:

𝑠(71,97181)=49,83667

Det betyder altså, at vi kan se det tilbagekastede røde lys i vinklen 49,8 i forhold til den indkommende stråle.

Buen, som biregnbuen spænder over, kan nu bestemmes således:

53,47776 − 49,83667 =3,64109

Det betyder altså, at buen en biregnbuen spænder over er ca. 3,6 . Sammenfatter vi dette resultat med resultatet fra programmet Regnbuen, som er 3,7 [20], kan vi sige, at der er en meget god overensstemmelse mellem de to resultater.

Man bemærker måske, at der er en forskel på 1,6ᵒ på bredden mellem hovedregnbuen og biregnbuen, dette skyldes, at biregnbuen reflekteres to gange inde i regndråben og da lysstråler spredes mere for hver refleksion, forklarer dette, hvorfor biregnbuen er bredere end hovedregnbuen.

Igen ved biregnbuen gælder der, at hverken indfaldsvinklen eller iagttagerens position har en indvirkning på de vinkler, som vi ser det tilbagekastede lys i. Blot bevirker det, hvor på himlen vi ser regnbuen.

Alexanders mørke bånd

Et andet fænomen der ses i sammenhæng med regnbuen er Alexanders mørke bånd. Hvis både hovedregnbuen og biregnbuen er synlige, kan man af og til observere at himlen er mørkere imellem de to regnbuer end udenfor regnbuerne. Dette blev allerede beskrevet i år 200 af den græske filosof Alexander af Afrosdisias [21]. Båndet er derfor i dag opkaldt efter ham.

Båndet bliver skabt, fordi solens stråler afbøjes og reflekteres når de rammer regndråberne. Når disse så danner en hovedregnbue, vil strålerne altid blive sendt tilbage i en vinkel af 42,7ᵒ eller mindre. De vil aldrig tilbagekastes af en større vinkel. Det betyder altså at det spredte lys falder indenfor hovedregnbuen og derfor vil området udenfor hovedregnbuen virke mørkere. For biregnbuen, vil det tilbagekastede lys ses i vinklen 49,8ᵒ eller større, aldrig mindre. Det betyder altså det det spredte lys falder udenfor biregnbuen og derfor vil området indenfor biregnbuen virke mørkere. Resultatet er altså et mørkt bånd mellem de to buer - Alexanders mørke bånd.

20

Se Bilag 2 og 3

21

Lys. Fænomener i Naturen, 1 udg., s28

Side 15

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

15

Konklusion

Vi har ud fra Fermats princip udledt Snells lov. Det har vi gjort ved at optimere for tiden, idet lys altid tager den hurtigste vej mellem to punkter og vi fik resultatet:

𝑐_{1} · sin ( 𝑏) =𝑐_{2} · 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑖)

Ved at benytte sammenhænget mellem brydningsvinklen 𝑏 og indfaldsvinklen 𝑖, kunne vi opskrive spredningsvinklen som funktion af i. Denne brugte vi til at forklare, hvordan regnbuen dannes og rækkefølgen af regnbuens farver. Regnbuen dannes ved at solens lysstråler brydes og reflekteres i regndråberne.

Herudover fandt vi ud af at der dannes en ekstra regnbue - biregnbuen. Den dannes efter samme princip, som den anden regnbue med den forskel, at den spejles en ekstra gang i regndråben.

Til sidste fandt vi frem til, hvorfor himlen virker mørkere mellem de to regnbuer. Dette skyldes, at lyset her ikke reflekteres tilbage.

Side 16

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

16

Litteraturliste

Lys Fænomener i Naturen, 1 udg. Høst og Søn

Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog A

Regnbuen, eksperimenter og simulation, Henningsen Carl

Fysikkens verden 2, Elvekjær og Nielsen, 2. udg, GAD

Side 17

[navn fjernet] 2.a 18-02-11

17

Bilag

Bilag 1 Date for alle farverne

Bilag 2 Regnbuens kegle

Bilag 3 Regnbuens kegle

Som det ses ud fra bilag 2 og 3 har solens højde ingen indvirkning på den vinkel, hvor det tilbagekastede lys ses. Derimod bevirker den hvor på himlen regnbuen ses.

Farve | Bølgelængde | Brydningsindeks | Maksimal afbøjningsvinkel | minimal afbøjningsvinkel

𝜆 𝑛 for primær regnbue for sekundær regnbue

Violet | 404,7 nm | 1,343 | 40,6 | 53,5
Blå | 434,0 | 1,340 | 41,1 | 52,7
Blå | 480 | 1,337 | 41,5 | 51,9
Grøn | 546,1 | 1,334 | 41,9 | 51,2
Gul | 587,3 | 1,333 | 42,1 | 50,9
Orange | 643,9 | 1,331 | 42,4 | 50,4
Rød | 656,3 | 1,331 | 42,4 | 50,4
Rød | 768,2 | 1,329 | 42,7 | 49,8

solhøjde

h/° | 40
Bue 1 | 40,6

violet/°

Bue 1 | 42,7

rød/°

Bue 2 | 49,8

violet/°

Bue 2 | 53,5

rød/° solhøjde

h/° | 8
Bue 1 | 40,6

violet/°

Bue 1 | 42,7

rød/°

Bue 2 | 49,8

violet/°

Bue 2 | 53,5

rød/°