SRO om Nuklearmedicinsk fysik

Side 1

1

SRO 2015

Fag: Matematik og fysik

Lærere:

STX 2.g

Skole:

STX 2.g

OPGAVEFORMULERING

Titel: Nuklearmedicinsk fysik

I opgaven skal du kort redegøre for arbejdsgangen vedrørende fabrikering og anvendelse af Tc-mærket DPD på Nuclearmedicinsk Afdeling, Århus Sygehus, herunder skal du redegøre for den eksperimentelle opstilling ved knoglescintigrafi samt ”fortolkning” af knoglescintigrafi optagelser-ne. Nedenstående spørgsmål hjælper dig på vej.

• Beskriv kort princippet i Technetium ”Malkekoen”

99

    1                         99                99
                   −
Tc*  dannes ved et 𝛽 -henfald af Mo. Den dannede Tc*- har en exitationsenergi på

140,5keV og henfalder til grundtilstanden

• Opskriv henfaldsskemaet og henfaldsdiagrammet for henfaldet af^{99} Mo. Beregn Q-værdien

for henfaldet.

• Forklar hvordan man matematisk kan modellere antallet (og dermed aktiviteten) af^{99} Mo,

99

Tc* og^{99} Tc i henfaldskæden der foregår i malkekoen.

                                                2
o Forklar hvordan differentialligningerne (6) fremkommer .

o Løs ligning 1. i (6) vha. ”separation af de variable” og eftervis at (7) og (8) er løsnin-ger til differentialligningerne nr. 2 og 3 i (6). Omskriv de tre udtryk for antal kerner til udtryk for aktivitet, A(t).

1

Undertiden skrives^{99} Tc* som^{99} Tc m, da exciterede kerner også kaldes metastabile kerner

2

Ligningsnumrene i de følgende punkter henviser til det udleverede dokument ”Matematiske_modeller…..doc”

Side 2

2

o Anvend det udledte udtryk for A (t) til at plotte en graf over aktiviteten af^{99} Tc*

2 som funktion af tiden, hvis man ikke udvasker technetium til undersøgelser. Plot

også grafen for aktiviteten af^{99} Mo (dvs. A (t)) i samme koordinatsystem. For at

1 kunne plotte funktionen skal du kende

2

. Denne værdi skal du finde ud fra de ud-

                            99
levere måledata for aktiviteten af

                                   99
Tc*. Brug i dine plots at start-aktiviteten af

Mo

er på 43 GBq, at startaktiviteten for^{99} Tc* er 0.

                                       99      99
• Diskuter kort aktivitetskurvernes forløb for Tc* og Mo. Hvornår er det bedst at mal-

ke/eluere generatoren?

• På Nuklearmedicinsk afdeling elueres Technetium-generatoren (Malkekoen) hver morgen inden dagens patienter ankommer. Producer nu selv grafer (i samme koordinatsystem) for

           99     99
aktiviteten af Tc* og Mo for de første 48 timer (dvs. 2 malkninger).

Demonstrer evt. hvorledes dine producerede udtryk for aktiviteterne A (t) og A (t) kan anvendes

1 2 til at løse problemstillingen beskrevet på det vedlagte bilag omhandlende en akut patient.

Ved en undersøgelse indsprøjtes Tc-mærket DPD i en patient. I det følgende skal du regne på det-

te. En person der vejer 70 kg får indsprøjtet en mængde^{99} Tc*med aktiviteten 700MBq.
• Beregn massen af den mængde^{99} Tc* som blev indsprøjtet?

I det følgende antages at kroppen består af vand. I DATABOGEN er anført halveringstykkelsen for absorption af gammastråling i vand.

• Find halveringstykkelsen af 𝛾-stråling i vand. Hvorfor er det rimeligt at antage at kun en vis brøkdel af strålingen absorberes i kroppen.

Det antages at 60 % af fotonerne afsætter deres energi samt at^{99} Tc* øjeblikkeligt fordeles jævnt i
kroppen. Endvidere antages at^{99} Tc*ikke udskilles fra kroppen.

• Hvor stor er den absorberede dosis og den ækvivalente dosis, som patienten modtager i løbet af behandlingen.

Du skal gennemføre et eksperiment hvor halveringstykkelsen af 𝛾-stråling i bly bestemmes. Øvel-sen udføres på Risskov Gymnasium. Ved vurderingen vil der blive lagt vægt på formidlingen af ud-førelsen af forsøget, præsentation af data samt behandlingen af data.

Side 3

3

ABSTRACT

This paper examines how the technetiumgenerator at the Department of Nu-clear Medicine, Aarhus University Hospital, works, as it produces the radioac-

tive substance^{99} Tc*. The isotope^{99} Tc* is frequently used in the creation of

scintigraphy, which in other words is an internal picture of the body and its or-

gans. In order to obtain as big an activity of^{99} Tc* as possible, you have to leach

the generator at an exact time, which can be calculated by using a number of differential equations expressed in a multi-compartment model that explains

the radioactive decays. To understand how an amount of^{99} Tc* leads to the

creation scintigraphy, it is necessary to explain the physics behind the gamma

cameras. These cameras works in connection with the injection of^{99} Tc*in the

patient’s body, which is the reason why, an example on an examination of pa-tient is calculated and analysed in this study. During this paper it is described why Compton scattering of photons appears, which is developed further in the experiment dealing with the half-value layer of gamma radiation in lead. The

                                 99           99
investigations in this paper showed that Mo decays to Tc* inside the genera-

tor by a beta minus decay. The use of differential as mathematical method de-

scribes that^{99} Tc* reaches its maximum activity after 23.1 hours, which there-

fore is the proper time to leach the generator. To do a scintigraphy you have to

inject a patient with a compound of^{99} Tc*, which the gamma camera subse-
quently registers because of the flashes that the photons in^{99} Tc* emit. If pho-

tons that contain energy between 30 keV and 10 MeV affect a material such as human tissue Compton scattering occurs, which means that a photon liberate a part of its energy to an electron. It results in the shaping of a new photon that has another direction and is smaller than the regular one. Compton scattering also appears in the experiment, which is concluded in light of the difference be-tween the first and second measurement.

Side 4

4

INDHOLDSFORTEGNELSE

OPGAVEFORMULERING ............................................................................................................................................ 1 ABSTRACT ..................................................................................................................................................................... 3 INDLEDNING ................................................................................................................................................................. 5 TECHNETIUMGENERATOREN ................................................................................................................................. 5 HENFALDET I TECHNETIUMGENERATOREN ..................................................................................................... 6 KOMPARTMENTMODELLEN.................................................................................................................................... 7 ISOTOPERNES AKTIVITET ....................................................................................................................................... 8 AKTIVITETEN UDEN ELUERING ............................................................................................................................. 9 AKTIVITETEN MED ELUERING ............................................................................................................................. 10 MEDICINSK ANVENDELSE ...................................................................................................................................... 11 STRÅLINGSCASE ........................................................................................................................................................ 12 DYBDEDOSISKURVER .............................................................................................................................................. 13 COMPTONSPREDNING ............................................................................................................................................. 14 HALVERINGSTYKKELSEN AF GAMMASTRÅLING I BLY ................................................................................ 15 KONKLUSION .............................................................................................................................................................. 17 LITTERATURLISTE ................................................................................................................................................... 19 BILAG ............................................................................................................................................................................. 20

Side 5

5

NUKLEARMEDICINSK FYSIK

INDLEDNING

Isotopen^{99} Tc* er det mest anvendte radioaktive sporstof indenfor medicinalverdenen til billed-

dannelse af kroppens indre funktioner – herunder scintigrafi, hvis formål er at danne såkaldte funktionsbilleder, der herigennem oplyser om organernes fysiologiske funktioner. I denne opgave

redegøres der for produceringen af^{99} Tc* i technetiumgeneratoren på Nuklearmedicinsk Afdeling

på Aarhus Universitetshospital. Henfaldene i denne generator illustreres ved brug af kompart-mentmodellen, som også benyttes til at opskrive udtrykkene henfaldsmedlemmernes antal af ker-

                                         99
ner og aktivitet. Dernæst analyseres aktiviteten af

Tc*, hvor der tages højde for den daglige elue-

                                   99
ring af technetiumgeneratoren, således at Tc* er klar til dagens undersøgelser. I tråd med dette

forklares forståelsen bag gammakameraet og muliggørelsen af billeddannelse ved brug af radioak-tive sporstoffer. Herved analyseres isotopernes adfærd, hvilket underbygges yderligere af en fiktiv strålingscase samt det eksperimentelle forsøg: Halveringstykkelsen af gammastråling i bly.

TECHNETIUMGENERATOREN

Technetiumgeneratoren, som ses på billedet til højre [3], har den

                          99                      99
funktion, at den kan producere Tc*. Da halveringstiden for Tc*

er på kun 6 timer [4], medfører det, at hospitalerne selv må produ-cere stoffet, hvilket altså er generatorens funktion. Det foregår således, at technetiumgeneratoren består af en ionbyttersøjle,

hvor^{99} Mo sidder bundet, der henfalder til^{99} Tc* med en halve-
ringstid på 67 timer. ”Da^{99} Mo har en længere halveringstid end

99

Tc*, vil mængden af radioaktivt^{99} Tc* efterhånden vokse op,

                                       99            5
indtil der nås en aktivitet, der er bestemt af Mo’s aktivitet.”

Denne graf over de to isotopers aktivitet vises under afsnittet ”aktiviteten uden eluering”. Isoto-

pen^{99} Tc* har andre kemiske egenskaber end^{99} Mo, hvilket muliggør den adskillelse, som hænder

3

Billedhenvisning: Det udleverede dokument:”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 7.

4

Udregnet vha. det udleverede excel-ark: Tc_henfald_elever.xls

5

”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 6.

Side 6

6 ved at gennemskylle ionbyttersøjlen med en saltvandsopløsning. Denne proces kaldes for en elue-

ring og udskiller således en^{99} Tc*-forbindelse. Denne forbindelse hældes dernæst i forskellige præ-
fabrikerede opløsninger, der ved omrystning kan danne den eksakte^{99} Tc*-forbindelse, som ønskes

til den givne undersøgelse.

HENFALDET I TECHNETIUMGENERATOREN

I technetiumgeneratoren henfalder^{99} Mo til^{99} Tc* ved et betaminushenfald, hvilket hænder, når

der er for mange neutroner inde i en isotops kerne. ”Ved denne proces omdannes en neutron til en proton. Desuden udsendes en lille partikel uden ladning og næsten uden masse. Den kaldes en an-

                                                                          99
tineutrino og betegnes 𝑉 .” Derfor ser henfaldet i technetiumgeneratoren således ud: 𝑀𝑜 →
                    𝑒                                                     42

̅^{6}
𝑇𝑐^{∗} + 𝑒_{−1}^{0} + 𝑉_{𝑒}.

43

99

̅

Henfaldsdiagrammet for denne henfaldskæ-de er vist på figuren til højre [7]. Herpå ses det,

at^{99} Tc* henfalder til grundtilstanden^{99} Tc,

som faktisk også er radioaktivt, da den hen-

falder til^{99} Ru ved et betaminushenfald. ”(…),

men halveringstiden for denne proces er så

stor (2.1 ∙ 10^{5} år), at^{99} Tc i praksis kan betrag-

            8
tes som stabil.”

Jeg vil nu beregne henfaldets Q-værdi, hvilket defineres som henfaldets tilvækst i kinetisk energi –

altså 𝑄 = Δ𝐸_{𝑘𝑖𝑛}. En proces’ Q-værdi kan beregnes ud fra Einsteins formel, der her skrives som:
𝑄 = −Δ𝑚 ∙ 𝑐^{2}, hvor −Δ𝑚 er massetabet og c er lysets hastighed. Da det er et betaminushenfald,

                                   99  ∗     99
findes massetilvæksten således: Δ𝑚 = 𝑚( 𝑇𝑐 ) − 𝑚 ( 𝑀𝑜 ) = − 0.101457 ⟦ 𝑢 ⟧ . Da fortegnet er
                                   43        42

negativt er der altså tale om et massetab, hvilket medfører, at henfaldets Q-værdi bliver følgende:

𝑄 = 0.101457 ⟦ 𝑢 ⟧ ∙ (2.99792 ∙ 10^{8} ⟦^{𝑚}_{𝑠} ⟧) = 15.14 𝑝𝐽.

2

6

Gjøe, Tommy, m.fl. Orbit 2. Aarhus: Systime 1998: S. 28.

7

Billedhenvisning:”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 6.

8

Claussen, Carsten, m.fl. Spektrum – Fysik II. København: Gyldendal 2004: S. 240

Side 7

7

KOMPARTMENTMODELLEN

Den ovenfor beskrevne henfaldskæde, hvor^{99} Mo henfalder til^{99} Tc*, som dernæst henfalder til

grundtilstanden^{99} Tc, kan man matematisk modelleres ved brug af følgende kompartmentmodel [9]:

For modellen gælder, at N er antallet af kerner og k er lig henfaldskonstanten, som beskrives ved

    ln (2)
𝑘 =    , hvorom 𝜏 1 er det radioaktive isotops halveringstid. På baggrund af denne model kan der
     𝜏
                2

1

2 opstilles tre differentialligninger, som hver især beskriver antallet af kerner for hver tilstand.

                               99
Jeg kigger først på antallet af kerner i

Mo, som svarer til N

1 på figuren, hvilket beskrives ved føl-

                     𝑑𝑁
                       1
gende differentialligning: = −𝑘 ∙ 𝑁 .
                             1   1
                      𝑑𝑡

Da^{99} Mo henfalder til^{99} Tc*, betyder det, at antallet af kerner i^{99} Mo mindskes som funktion af ti-

den, hvilket også begrunder det negative fortegn for k

1

. Løsningen til denne ligning finder jeg ved isolere variablen N. Når det er gjort benyttes det bestemte integral, hvilket får udtrykket til at se

således ud: ∫_{𝑁_{0}}^{𝑁}_{𝑁}^{1} 𝑑𝑁 = − ∫_{0}^{𝑡} 𝑘 𝑑𝑡. Integralets startgrænser, N og 0, udgør her startværdien for

0 henholdsvis antallet af kerner og tiden. Dette integral løses, hvorefter jeg benytter den omvendte

                                                                      −𝑘∙𝜏
funktion til 𝑙𝑛, hvilket medfører, at løsningen differentialligningen er: 𝑁 ( 𝜏 ) = 𝑁 ∙ 𝑒
                                                          1      01

Ovenstående løsning er også bedre kendt som henfaldsloven.

                                  99
Herefter kigger jeg på antallet af kerner i

Tc*, som altså svarer til N

2 på ovenstående figur, hvor-

                                           𝑑𝑁
                                             2
ved dette beskrives ved følgende differentialligning: = 𝑘 ∙ 𝑁 − 𝑘 ∙ 𝑁
                                                 1   1   2   2
                                           𝑑𝑡

Da^{99} Tc* udgør det andet medlem i henfaldskæden, modtager den de henfaldne kerner fra^{99} Mo,
samtidig med at den selv mister kerner i og med, at den henfalder til^{99} Tc. Løsningen til denne lig-

                          𝑘
                           1
                                   −𝑘     −𝑘           −𝑘 ∙𝜏
                                     1      2            2
ning er angivet som: 𝑁 ( 𝜏 ) = ∙ 𝑁 ( 𝑒 − 𝑒    ) + 𝑁  ∙ 𝑒
                  2            01                  02
                        𝑘 −𝑘
                         2  1

∙𝜏 ∙𝜏

9

Billedhenvisning:”Matematiskemodeller_del3_elever_v2…docx”: S. 4.

Side 8

8

                                                              𝑑𝑁
                                                                2
                                                        ′
For at eftervise denne løsning differentieres den, da det gælder, at 𝑁 ( 𝜏 ) = :
                                                        2
                                                               𝑑𝑡

                       −𝑘 ∙𝜏      −𝑘 ∙𝜏            −𝑘 ∙𝜏
                         1          2                2
𝑁 ′ ( 𝜏 ) =  ∙ 𝑁 ( −𝑘 ∙ 𝑒   + 𝑘 ∙ 𝑒   ) + 𝑁 ∙ −𝑘 ∙ 𝑒
 2             01   1          2          02    2
        𝑘
         2

𝑘_{1}
−𝑘_{1}

Dernæst indsætter jeg løsningen for henholdsvis N og N i differentialligningen således:

1 2

𝑑𝑁_{2}

𝑑𝑡

                       𝑘
                       1
           −𝑘 ∙𝜏                −𝑘     −𝑘           −𝑘 ∙𝜏
             1                    1      2            2
= 𝑘 ∙ 𝑁  ∙ 𝑒   − 𝑘  ∙ (   ∙ 𝑁 ( 𝑒   − 𝑒    ) + 𝑁  ∙ 𝑒   )
   1   01         2         01                  02
                     𝑘 −𝑘
                      2  1

∙𝜏 ∙𝜏

                                                                        𝑑𝑁
                                                                          2
                                                                  ′
Jeg udfører ovenstående trin for at kunne identificere leddene i henholdsvis 𝑁 ( 𝜏 ) og , da de
                                                                 2
                                                                        𝑑𝑡

lig hinanden. Dette formår jeg ved at reducere udtrykkene ved bl.a. at lave falske brøker, gange ind m.m., hvilket medfører at leddene altså identificeres, og løsningen hermed eftervises.

Antallet af kerner i^{99} Tc, som er det sidste led, N, på figuren, består af de henfaldne kerner fra

3

99

                                                        𝑑𝑁
             99                                           3
Tc* i og med, at Tc er grundtilstanden. Dette kan beskrives således: = 𝑘 ∙ 𝑁 .
                                                               2  2
                                                         𝑑𝑡

Løsningen til denne ligning ses nedenstående:

                  −𝑘     −𝑘
        𝑘        𝑒      𝑒
         1
                                     −𝑘 ∙𝜏
                                       2
𝑁 ( 𝜏 ) =   ∙ 𝑁 (     −     ) + 𝑁  ∙ 𝑒   + (𝑁   + 𝑁  + 𝑁  )
 3            01                 02          01    02   03
       𝑘           𝑘
        2           2

∙𝑘_{2}
−𝑘_{1} 𝑘_{1}

2 1

∙𝜏 ∙𝜏

For at eftervise denne løsning benyttes følgende udtryk: 𝑁 + 𝑁 + 𝑁 = 𝑁 + 𝑁 + 𝑁 .
                                               1    2   3    01    02   03

I dette udtryk isoleres N

3 1 2

, hvorefter løsningerne for N og N indsættes således:

                                  𝑘
                                  1
                          −𝑘∙𝜏             −𝑘     −𝑘           −𝑘 ∙𝜏
                                             1      2           2
𝑁  = 𝑁  + 𝑁   + 𝑁  − 𝑁  ∙ 𝑒  − (     ∙ 𝑁 ( 𝑒   − 𝑒    ) + 𝑁  ∙ 𝑒   )
 3    01    02   03   0                01                 02
                                𝑘 −𝑘
                                 2  1

∙𝜏 ∙𝜏

Der er altså nu opstillet to udtryk for N

3

, hvorved disse reduceres, hvilket, ligesom i eftervisningen for N, medfører, at leddene i de to udtryk kan identificeres, som hermed efterviser løsningen.

2

ISOTOPERNES AKTIVITET

I forrige afsnit blev de tre udtryk for antallet af kerner som funktion af tiden beskrevet, som alle kan omskrives til aktivteten som funktion af tiden. Dette gøres ved brug af følgende formel for

aktiviteten: 𝐴 ( 𝜏) = 𝑘 ∙ 𝑁(𝜏). Denne formel siger at for at finde aktiviteten af en isotop, så skal

antallet af isotopens kerner ganges med dens tilhørende henfaldskonstant, hvilket giver følgende:

1. 𝐴_{1} ( 𝜏) = 𝐴_{01} ∙ 𝑒^{−𝑘_{1}}^{∙𝜏}

                     −𝑘      −𝑘          −𝑘 ∙𝜏
                       1       2           2
2. 𝐴 ( 𝜏 ) =   ∙ 𝐴 ( 𝑒    − 𝑒    ) + 𝐴 ∙ 𝑒
    2             01                 02
           𝑘
            2

𝑘_{2}
−𝑘_{1}

∙𝜏 ∙𝜏

                      −𝑘    −𝑘
           𝑘         𝑒     𝑒
            3
                                            −𝑘 ∙𝜏
                                              2
3. 𝐴 ( 𝜏 ) =   ∙ 𝐴  (    −      ) + 𝑘 ∙ 𝑁 ∙ 𝑒   + 𝑘  ∙ (𝑁 + 𝑁  ) + 𝐴
    3             01                3   02         3    01   02    03
           𝑘          𝑘      𝑘
            2          2      1

∙𝑘_{2}
−𝑘_{1}

2 1

∙𝜏 ∙𝜏

Side 9

9

AKTIVITETEN UDEN ELUERING

                                         99        99
Jeg ønsker at opstille en graf over aktiviteten for Mo samt Tc* som funktion af tiden, hvilket

gøres ud fra ovenstående udtryk for henholdsvis A og A For at kunne gøre dette for først^{99} Mo

1 2.

benytter jeg oplysningerne om, at dets startaktivitet er 43 GBq og halveringstid 67 timer, hvilket

                                              1
                                      −0.0103455⟦
                                              ℎ
giver følgende forskrift: 𝐴 ( 𝜏 ) = 43 ⟦ 𝐺𝐵𝑞 ⟧ ∙ 𝑒 . Dernæst findes forskriften for aktivi-
                     1

⟧ ∙𝜏

teten af^{99} Tc* ved at benytte, at^{99} Tc* har startaktiviteten 0 GBq samt en halveringstid på 6 timer.
Som det ses i udtrykket for A, indgår A, der her ændrer sig, da det kun er 90% af^{99} Mo, som hen-

2 01

        99                                                                99
falder til Tc*. Derfor bliver 𝐴 = 0.9 ∙ 43 ⟦ 𝐺𝐵𝑞 ⟧ = 38.7 ⟦ 𝐺𝐵𝑞 ⟧ . Da startaktiviteten for Tc*er
                         01

lig 0 kan sidste led i udtrykket slettes, og hermed er forskriften følgende:

                                                  1              1
                                         −0.0103455⟦    −0.1140608 ⟦
                                                  ℎ              ℎ
𝐴 ( 𝜏 ) =                  ∙ 38.7 ⟦ 𝐺𝐵𝑞 ⟧ ∙ (𝑒       − 𝑒           )
 2             1
       0.1140608 ⟦
               ℎ

0.1140608 ⟦_{ℎ}^{1} ⟧
⟧−0.0103455⟦_{ℎ}^{1} ⟧

⟧∙𝜏 ⟧∙𝜏

                    99       99
Grafen for aktiviteten af Mo samt Tc* som funktion af tiden vises nedenstående:

                                          99                   99
På ovenstående graf ses, at aktiviteten i starten af Tc* stiger i takt med, at Mo henfalder, indtil

                                                   99
den når til en given aktivitet, hvorefter den selv henfalder til Tc. Da technetiumgeneratoren på

Nuklearmedicinsk Afdeling på Aarhus Sygehus elueres hver morgen kl. 07, antager jeg, at aktivite-

ten af^{99} Tc* er størst efter 24 timer i og med, at den malkes én gang i døgnet. Denne antagelse vil

jeg kontroltjekke ved brug af differentialregning, som herved gør det muligt at beregne ved hvilket

Side 10

10

timetal, at den største aktivitet for^{99} Tc* forekommer. Denne udregning er lavet ved brug af
Maples solve-funktion: 𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒 ( 𝐴_{2}^{′} ( 𝜏) = 0,𝜏) = 23.14. På baggrund af denne beregning samt kon-

troltjek med grafen og monotonilinjen (bilag 1) kan jeg konkludere, at her er tale om et lokalt

maksimum, og derfor er aktiviteten af^{99} Tc* er størst efter 23 timer og 8 minutter. Det medfører,

at min antagelse er acceptabel i og med, at Nuklearmedicinsk Afdeling eluerer generatoren for

99

Tc* kun 52 minutter senere, end hvor dets aktivitet er størst.

AKTIVITETEN MED ELUERING

Som benævnt ovenfor eluerer Nuklearmedicinsk Afdeling technetiumgeneratoren én gang i døg-

net. Jeg antager, at der her elueres helt i bund, således at der intet^{99} Tc* er tilbage. Det betyder

                                       99                               99
altså, at for hver eluering er startaktiviteten for Tc* lig 0, hvorimod startaktiviteten for Mo (A )

01

i udtrykket for A er lig 0.9 gange aktiviteten for^{99} Mo (A) til det givne tidspunkt. For at eksempli-

2 1

                                     99
ficere hvordan forskriften for aktiviteten af Tc* ændrer sig for hver eluering, vises nu den for-

skrift, som forekommer, efter technetiumgeneratoren er elueret første gang:

                                                  1              1
                                         −0.0103455⟦    −0.1140608 ⟦
                                                  ℎ              ℎ
𝐴 ( 𝜏 ) =                  ∙ 30.2 ⟦ 𝐺𝐵𝑞 ⟧ ∙ (𝑒       − 𝑒           )
 2             1
       0.1140608 ⟦
               ℎ

0.1140608 ⟦_{ℎ}^{1} ⟧
⟧−0.0103455⟦_{ℎ}^{1} ⟧

⟧∙𝜏 ⟧∙𝜏

Grafen for aktiviteten af^{99} Mo samt^{99} Tc* som funktion af tiden, hvor der tages højde for at der

dagligt elueres, ser således ud:

Side 11

11

Det ses på ovenstående graf, at aktiviteten af den mængde^{99} Tc*, som der elueres, mindskes i takt
med, at^{99} Mo henfalder. Det er årsagen til, at Nuklearmedicinsk Afdeling ugentligt får leveret en ny
generator mod tilbagelevering af den gamle – fordi aktiviteten af^{99} Tc* bliver for lille til, at det

længere kan benyttes.

MEDICINSK ANVENDELSE

Isotopen^{99} Tc* benyttes, som benævnt førhen, til

scintigrafi. En sådan undersøgelse blev mulig at udføre i 1958, hvor den amerikanske ingeniør Hal

O. Angers opfandt gammakameraet. Gammakame-raet danner nemlig et billede af de indsprøjtede radioaktive sporstoffers fordeling i kroppen, hvor dets detektorhoved ses på figuren til højre [10]:

Billeddannelse af de radioaktive sporstoffer foregår ved, at en gammafoton absorberes i krystal-len, hvilket medfører, at der udsendes et lysglimt. Lyslederen placeret bag krystallen fordeler det-te lysglimt til en række fotomultiplikatorer, hvorved disse dernæst ”afgiver en elektrisk impuls, der er proportional med den modtagne lysmængde, som igen er afhængig af, hvor lysglimtet kom.” [11] Fotonernes energi og placering kan herved bestemmes, når signalerne fra alle fotomultiplikatorer analyseres samtidig – og det er netop hvad, der skaber billeddannelsen.

Det stof, hvori^{99} Tc* er iblandet, som skal indsprøjtes i patienten ved bl.a. scinti-

grafi, varierer afhængig af, hvilken del af kroppen, man ønsker at undersøge. For

                                                               99
eksempelvis ved udføring knoglescintigrafi, indsprøjtes et stof bestående af Tc*

og fosfat. Det medfører nemlig, at^{99} Tc* vil optages i knoglevævet, og specielt de

steder, hvor omsætningen af knoglevæv er størst, hvilket bl.a. optræder ved knog-lebrud, vækstzonerne, betændelse, kræft m.m. Et eksempel på en sådan knoglescintigrafi ses på billedet til højre [12], hvilket er undersøgelsen af en 8-årig

10

Billedhenvisning: Claussen, Carsten, m.fl. Spektrum – Fysik II. København: Gyldendal 2004: S. 240

11

Claussen, Carsten, m.fl. 2004: S. 240

12

Billedhenvisning: Samme: S. 241

Side 12

12 pige, som uden tvivl er i voksealderen, hvilket kan ses i og med, at lysglimtet fra de radioaktive sporstoffer optræder i vækstzonerne såsom knæleddene. Scintigrafi kan dog også benyttes i man-ge andre sammenhænge – som f.eks. ved hjerte- og lungeundersøgelser.

STRÅLINGSCASE

På Nuklearmedicinsk Afdeling ville en typisk case være, at en patient på eksempelvis 70 kg ved en

undersøgelse vil få indsprøjtet en mængde^{99} Tc* med aktiviteten 700 MBq ind i sig. Massen af
denne mængde^{99} Tc* beregnes ved først at benytte formlen for aktiviteten, hvori N er isoleret og

                                        99
                            2
værdien af k er indsat således: 𝑁 = . Da jeg ved, at Tc* har en halveringstid på 6 timer, bli-
                         ln (2)

𝐴∙𝜏_{1}

                  700 ⟦ 𝑀𝐵𝑞
                                      13
ver N følgende: 𝑁 =           = 2.2 ∙ 10 . Dette tælletal omregner jeg til mol (1 𝑚𝑜𝑙 =
                      ln (2)

⟧ ∙6 ⟦ ℎ ⟧

6.02 ∙ 10^{23})^{13} for således at kunne beregne massen af^{99} Tc* ved 𝑚 = 𝑛 ∙ 𝑀, hvor molarmassen er
givet ved 98.0 g/mol og stofmængden ved 36.3 pmol. Det medfører, at massen af den mængde

99

Tc*, som sprøjtes ind i patienten, er: 𝑚 = 36.3 ⟦ 𝑝𝑚𝑜𝑙 ⟧ ∙ 98.0 ⟦_{𝑚𝑜𝑙}^{𝑔} ⟧ = 3.6 ⟦ 𝑛𝑔 ⟧.

For at finde ud af hvorledes halveringstykkelsen af^{99} Tc* forholder sig i kroppen, antager jeg, at

                                                    99         14
kroppen består af vand, hvorved halveringstykkelsen i vand for Tc* er 5 cm . Jeg antager altså,

at det kun er en vis brøkdel af det indsprøjtede^{99} Tc*, som absorberes i patientens krop. Denne

antagelse vil jeg bekræfte ved at eksemplificere en situation, hvori en patients krop bestråles.

Herved forudsætter jeg, at en gennemsnitlig menneskekrop maksimalt er 20 cm dybt, hvilket be-tyder, at jeg her tager udgangspunkt i bestrålingen af det tykkeste område. I og med at halverings-

tykkelsen for^{99} Tc* er 5 cm, når det altså at halveres 4 gange i løbet af dets passering af de 20 cm,

                                                        1    1
hvilket medfører, at følgende brøkdel ikke absorberer strålingen: ( ) = . Denne beregning er
                                                        2    16

4 dog baseret på det område, hvor kroppen er dybest, og kan derfor ikke generaliseres til hele krop-pen. Derfor benytter jeg nu en dybde på 10 cm i stedet, hvilket medfører at stoffet kun halveres 2

                                                1    1
gange, og derfor undslipper følgende brøkdel strålingen: ( ) = . Her ses altså, at dybden på det
                                                2    4

2 bestrålede område har sammenhæng med størrelsen på brøkdel, som ikke absorberer strålingen.

13

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Enhedssystemer,_konstanter_og_normaler/Av

ogadros_konstant

14

Strandgaard Andersen, Erik, m.fl. Databog – Fysik & Kemi. København N: F&K Forlaget: S. 216.

Side 13

13

På baggrund af disse eksempler kan jeg altså konkludere, at mine antagelser er korrekte.

Patienten, som får sprøjtet^{99} Tc* i sig, vejer 70 kg. Denne information vil jeg benytte til at beregne

den absorberede dosis samt ækvivalente dosis, som patienten modtager i løbet af behandlingen.

Jeg antager derfor, at 60% af fotonerne afsætter deres energi, og at^{99} Tc* øjeblikkeligt fordeles

jævnt i patientens krop uden at udskilles derfra. Dernæst beregner jeg den absorberede dosis ud

              𝐸
               𝑎𝑏𝑠                                                          99
fra formlen: 𝐷 = . Den absorberede energi, E , beregner jeg ved at gange tælletallet for Tc*
               𝑚

abs med dets tilhørende exitationsenergi på 140.5 keV samt til sidst 0.6 (fra antagelsen om de 60%)

således: 𝐸_{𝑎𝑏𝑠} = 140.5 ⟦ 𝑘𝑒𝑉 ⟧ ∙ 2.2 ∙ 10^{13} ∙ 0.6 = 0.296 ⟦ 𝐽 ⟧. Herved kan jeg nu beregne den absor-

                         0.296 ⟦ 𝐽 ⟧
berede dosis til følgende: 𝐷 =  = 4.23 ⟦ 𝑚𝐺𝑦 ⟧ .
                         70 ⟦ 𝑘𝑔 ⟧

Enheden Gy er givet ved_{𝑘𝑔}^{𝐽}, hvilket også er gældende for enheden Sv, som beskriver den ækviva-

lente dosis, hvilken jeg beregner ud fra formlen: 𝐻 = 𝑄 ∙ 𝐷. ”Q er en særlig kvalitetsfaktor. Dens

værdi afhænger af strålingens energi, men især af strålingens art.” [15] For gammastråling, hvilket

99

Tc* defineres som, er Q-værdienlig 1, hvilket medfører, at 𝐻 = 1 ∙ 4.23 ⟦ 𝑚𝐺𝑦 ⟧ = 4.23 ⟦ 𝑚𝑆𝑣 ⟧.

DYBDEDOSISKURVER

På ovenstående case beregnede jeg størrelsen af den absorberede dosis samt den ækvivalente dosis, som den patienten på 70 kg modtog i løbet af sin behandling. Det viser sig, at der er en sammenhæng mellem dosispro-centen og dybden af det område, der bestråles, hvilket er illustreret på figu-ren til højre [16]. Jeg vælger at tage gangspunkt i den røde kurve, som fremkommer, når behandlingsgeneratoren er indstillet til 4 MV.

Denne kurves maksimale dosis optræder i dybden 1.1 cm, hvilket betyder, at dosisprocenten i denne dybde altså er 100 %. Den røde kurve aflæses således, at ”i dybden 10.0 cm er dosisprocen-

15

Gjøe, Tommy, m.fl. Orbit 2. Aarhus: Systime 1998: S. 49.

16

Billedhenvisning: K. Christensen, Brian. Uddrag fra Medicinsk Fysik. Fysikforlaget 2005: S. 45.

Side 14

14 ten 63%. Det betyder, at hvis der i dybden 1.1 cm afsættes en dosis på 2.00 Gy, vil der i dybden

10.0 cm afsættes en dosis på 63% af 2.00 Gy, hvilket er 1.26 Gy (…).”^{17} Det er dog bemærkelses-

værdigt, at den kurvernes maksimale dosis først optræder efter en dybde på 0 cm, hvilket kan for-klares ud fra teorien om fotoners comptonspredning, som uddybes nedenfor.

COMPTONSPREDNING

Comptonspredning hænder, hvis fotonerne har en energi mellem 30 keV og 10 MeV, hvilket er gældende for de to kurver på figuren ovenfor. Som illustreret på figuren nedenfor [18] foregår comp-tonspredning således, at en foton afgiver noget af sin energi til en elektron, der oftest er placeret i en af de yderste skaller, hvorved denne elektron løsriver sig fra sit atom. I og med at fotonen har afgivet noget af sin energi til elektronen, medfører det, at der dannes en ny og lidt mindre foton, som lø-ber i en lidt anden ret-ning – den bliver altså comptonspredt så at sige. En foton comptonspredes indtil den når en energi på 30 keV, hvor comptonspredningen her erstattes af fotoelektrisk effekt. Der altså er tale om comptonspredning, så snart en foton i det definerede energiinterval rammer et stof som eksempelvis menneskevæv, hvilket forklarer, hvorfor den maksimale dosis på ovenstående kurve først optræder i en vis dybde menneskevæv efter 0 cm. Princippet med comptonspredning illustreres også i mit eksperimentelle forsøg, hvilket beskrives nedenfor.

17

K. Christensen, Brian. Uddrag fra Medicinsk Fysik. Fysikforlaget 2005: S. 45.

18

Billedhenvisning: K. Christensen, Brian. 2005: S. 40

Side 15

15

HALVERINGSTYKKELSEN AF GAMMASTRÅLING I BLY

I forbindelse med vores SRO-undervisningsforløb udførte vi et forsøg på Risskov Gymnasium, hvis formål var at bestemme halveringstykkelsen af en gammakilde i bly. For at udføre dette eksperi-

                                      137
ment benyttede vi et GM-rør, en gammakilde (

Cs), blyplader, en stang, stativer, LoggerPro samt

LabQuest, hvilket vi opstillede som vist nedenstående:

Efter at have opstillet materialerne som vist ovenstående, målt tykkelsen af blypladerne, tilsluttet GM-røret til LabQuest-udstyret og dernæst til LoggerPro, påbegyndte vi forsøget, som bestod af i alt 8 målinger varende 180 sekunder stykket. Disse måleresultater er angivet nedenstående:

På ovenstående måleresultater det tælletal, som GM-røret registrerede, for hver måling angivet.

                                                     1
Derudover er spredningen, √ 𝑁, samt den relative usikkerhed, , beregnet, da de beretter om,
                                                    √ 𝑁

hvor stor en usikkerhed, der forekommer. I LoggerPro har jeg afbildet en graf for tælletallene som funktion af blypladernes tykkelse, hvorpå jeg har fittet en funktion med udgangspunkt i svækkel-

sesloven: 𝐼 ( 𝑥) = 𝐼_{0} ∙ 𝑒^{−𝜇∙𝑥}. I denne formel gælder, at I er intensiteten, x er tykkelsen og 𝜇 er ab-

                                      ln (2)
sorptionskoefficienten, som er givet ved 𝜇 = , hvorom 𝑥 1 er halveringstykkelsen, som netop
                                       𝑥
                                        1
                                                   2

2 er forsøgets formål at bestemme.

Side 16

16

Denne graf ses nedenstående:

Forskriften for ovenstående funktion er: 𝑁 ( 𝑥) = 1.211 ∙ 𝑒^{−0.1072∙𝑥} − 769.5. Årsagen til, at tælle-

tallet her kan benyttes i stedet for intensiteten, er, at tælletallet og intensiteten er proportionale –

altså 𝑁 = 𝑘 ∙ 𝐼. Det vil sige, at hvis k ganges ind på begge sider af lighedstegnet i svækkelsesloven,
så fremkommer følgende udtryk: 𝑘 ∙ 𝐼 ( 𝑥) = 𝑘 ∙ 𝐼_{0} ∙ 𝑒^{−𝜇∙𝑥} ⟺ 𝑁 ( 𝑥) = 𝑁_{0} ∙ 𝑒^{−𝜇∙𝑥}. Det ses her, at

sidste led i de to udtryk er ens, hvilket netop også er det led, hvori absorptionskoefficienten og herved halveringstykkelsen, som vi ønsker at finde, indgår i.

I forskriften aflæses absorptionskoefficienten til at være 𝜇 = 0.1072. Denne benytter jeg til at

                                                               ln (2)
beregne halveringstykkelsen, som isoleres i formlen og herved bliver: 𝑥 1 = = 6.4660 mm.
                                                               0.1072
                                                            2

                                                 137
Det vil altså sige, at forsøget giver en halveringstykkelse for

Cs i bly på 6.47 mm., hvilket jeg nu

gerne vil sammenligne med dets tabelværdi. Isotopen^{137} Cs henfalder inde i kernen til^{137} Ba* ved

både gamma- og betaminusstråling, men da betaminusstrålerne bliver fanget inde i kernen, er det

derfor kun gammastrålerne, som undslipper. På baggrund af dette er det herved^{137} Ba*, som jeg

sammenligner med, hvis tabelværdi for halveringstykkelsen i bly er 6.5 mm. Vores forsøgsværdi

                                              6.4660 ⟦ 𝑚𝑚 ⟧ −6.5 ⟦ 𝑚𝑚 ⟧
afviger derfor følgende antal procent fra tabelværdien:       ∙ 100 = −0.52. Det vil
                                                  6.5 ⟦ 𝑚𝑚 ⟧

altså sige, at vores forsøgsværdi kun afviger 0.5% fra tabelværdien.

Side 17

17

I forhold til comptonspredning, som kan eksemplificeres yderligere igennem dette forsøg, ses det på både grafen og målingerne, at det største tælletal forekommer ved anden måling, hvor der alt-så var påsat én blyplade. Herved er tælletallet ved målingen uden nogle blyplader altså lavere, hvilket ses i og med, at det er lig 9274, hvorimod det maksimale tælletal med én blyplade er

10224. Det skyldes altså, som førhen forklaret, at fotonerne ved målingen med én blyplade comp-tonspredes, når de rammer blypladen, hvilket målingen uden en blyplade ikke har mulighed for.

                                               137
I og med at vores forsøgsværdi for halveringstykkelsen af

Cs i bly kun afviger 0.5% fra tabelvær-dien, medfører det, at det er begrænset, hvor meget forsøget kan optimeres. Fejlkilder, som dog muligvis kunne spille en rolle, ville bl.a. være baggrundsstrålingen, som der i forskriften er taget højde for med konstantleddet C. Dog er baggrundsstrålingen ikke konstant, hvilket er et faktum, som kan påvirke forsøget. Derudover er forholder afstanden fra gammakilden til den første blyplade sig heller ikke konstant, hvilket skaber usikkerheder, da afstanden helst skulle forblive den samme. En anden væsentlig usikkerhed er gammakildens afstand til GM-røret, da en stor af-stand forårsager lave tælletal i og med, at atmosfærisk luft bremser en vis procentdel af strålingen

– dog er det ved denne opstilling en afstand på kun 2 cm.

KONKLUSION

I denne opgave omhandlende nuklearmedicinsk fysik beskrev jeg først technetiumgeneratoren,

     99              99
                                                     99     99  ∗   0
hvori Mo henfalder til Tc* ved følgende betaminushenfald: 𝑀𝑜 → 𝑇𝑐 + 𝑒  + 𝑉 . Dette
                                                     42     43     −1     𝑒

̅

henfalds Q-værdi beregnede jeg til at være lig 15.14 pJ. Når^{99} Tc* er dannet henfalder det ligeledes

                     99
videre til grundtilstanden Tc, hvorved denne henfaldskæde kan beskrives ved brug af kompart-

mentmodellen. Heri opskrives tre differentialligninger, hvis løsninger beskriver antallet af kerner for hver enkelt af henfaldsmedlemmerne. Disse tre løsninger omregnede jeg til aktivitet ved brug

af formlen 𝐴 ( 𝜏) = 𝑘 ∙ 𝑁(𝜏). Udtrykkene for A og A arbejdede jeg videre på ved i A at benytte

1 2 1

                99
halveringstiden for Mo på 67 timer og dets startaktivitet på 43 GBq. I A indsatte jeg halverings-

2

tiden for^{99} Tc* på 6 timer og dets startaktivitet på 0 GBq. I dette udtryk tog jeg også højde for at
𝐴_{01} = 0.9 ∙ 𝐴( 𝑀𝑜^{99}_{.}) til det givne tidspunkt. Ved således at analysere aktiviteten for henholdsvis

99

Mo og^{99} Tc*, med henblik på den daglige eluering af technetiumgeneratoren, fandt jeg ved brug

                                      99
af differentialregning frem til, at aktiviteten af Tc* optræder størst efter ca. 23 timer.

Side 18

18

Dernæst redegjorde jeg for gammakameraets billeddannelse, hvilket udgjorde den fysiske forstå-else bag den efterfølgende strålingscase. I denne case beregnede jeg, at den vilkårlige patient fik

indsprøjtet 3.6 ng.^{99} Tc* i sig i forbindelse med behandlingen. Herved fastlog jeg også ved enkelte

beregninger, at det kun er en brøkdel af ovenstående mængde stråling, som absorberes i kroppen.

I og med at patienten vejede 70 kg, kunne jeg beregne, at vedkommende modtog en absorberet dosis på 4.23 mGy og en ækvivalent dosis på 4.23 mSv i løbet af behandlingen. I tråd med disse dosisudregninger analyserede jeg dybdedosiskurverne, hvilke afspejler fænomenet comp-tonspredning, som forekommer, når en foton afgiver noget af sin energi til en elektron, og der herved dannes en ny foton med en mindre energi og anden retning. Herved begrunder dette fæ-nomen, hvorfor energien af en foton forekommer højere i kontakt med et materiale som f.eks.

menneskevæv, end hvis den ikke var. I forsøget Halveringstykkelsen af gammastråling i bly blev fotonernes comptonpredning også illustreret, hvor dette forsøges formål var at bestemme halve-

               137
ringstykkelsen for Cs i bly, som vi fik til 6.47 mm., hvilket kun afviger 0.5% fra tabelværdien.

Side 19

19

LITTERATURLISTE

- Avogrados konstant:

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Enhedssystemer,_k
onstanter_og_normaler/Avogadros_konstant

- Claussen, Carsten, m.fl. Spektrum – Fysik II. København: Gyldendal 2004

- Det udleverede dokument: ”Matematiskemodeller_del_3…doc”: S. 6.

- Det udleverede excel-ark: ”Tc_henfald_elever.xls”

- Gjøe, Tommy, m.fl. Orbit 2. Aarhus: Systime 1998

- K. Christensen, Brian. Uddrag fra Medicinsk Fysik. Fysikforlaget 2005.

- Strandgaard Andersen, Erik, m.fl. Databog – Fysik & Kemi. København N: F&K Forlaget

Side 20

BILAG
Bilag 1:
Funktionens lokale maksimumssted er følgende:
solve(f_2′(x) = 0, x) = 23.14236635
Dette facit kontroltjekker jeg ved at udføre en monotonilinje.
Herved beregner jeg den afledte funktion til de x-værdier over og under 23.14:
f_2′(20) = 0.1379337226
f_2′(25) = −0.0595734820
Det ses altså på ovenstående fortegn, at funktionen først vokser,
for dernæst at aftage, hvilket gør x = 23.14 til det lokale maksimum.
x          23.14
f′(x)   +    0    −
f(x)      lok. maks.
20