SRO om brugen af differentialligninger i fysik

INDLEDNING

I denne opgave vil jeg fokusere på anvendelsen af det matematiske i fysikken. Denne opgave kigger nærmere på anvendelsen af eksponentielle funktioner i fysik, men også på hvordan man opstiller en differentialligning for en fysisk problemstilling. En differantialligning er ikke en ligning som man normalt kender den. Den har i modsætning til andre ligninger ikke et eller flere tal som løsning, men en eller flere funktioner som løsning. For at illustrere anvendelsen af matematikken i fysik har jeg udført en række forsøg for at understøtte de valgte, fysiske love – der alle bygger på eksponentiel udvikling og afbilleder hvordan man kan opskrive en differentialligning for disse. De fysiske love der vil blive forklaret og udført eksperimentelt omhandler Newtons afkølingslov, svækkelsesloven og henfaldsloven. Disse kan alle opstilles ved eksponentielle funktioner, og derved kan der også opstilles en differentialligning for disse. Det matematiske fag optræder i opgaven som et redskab til at understøtte de forventninger, vi har til vores udførte forsøg i fysik. Den matematiske metode ligger vægt på anvendelsen af eksponentielle funktioner, samt differentiering og differentialligninger. Den naturvidenskabelige metode kommer til udtryk igennem forsøg og dataindsamling. Ud fra dataindsamlinger opsættes en teori om, at vores data vil danne en eksponentiel udvikling, og at der kan opsættes en differentialligning, og en løsning til denne ligning.

Opgaven vil altså indeholde konkrete eksempler, men også eksperimentelt udført arbejde, der vil underbygge teorien om, at de udgør en eksponentiel udvikling.

EKSPONENTIELLE FUNKTIONER

Når man snakker om differentiable funktioner, er differentialkvotienten f´(x) et udtryk for væksthastigheden. En eksponentiel udvikling kan udtrykkes ved en funktion af formen: som vi kender det fra en ret linje, har en eksponentiel funktion ingen hældningskoefficient. Den eksponentielle vækst fremgår af differentialkvotienten, der er tangenthældningen til tidspunktet x, og angiver netop den hastighed, som væksten forgår med, i det øjeblik. For den eksponentielle vækst gælder det: heraf ses det, at væksthastigheden er proportional med funktionsværdien I andre tilfælde, hvor eksponentielle funktioner optræder i beskrivelse af vækstprocesser, vælger man at udtrykke forskriften: her benytter man, at og indfører . Dette medfører, at , og forskriften for f, kan udtrykkes: differentierer vi dette udtryk, kommer vi frem til resultatet: ved at benytte denne forskrift er det let at se om funktionen er aftagende eller stigende, da et negativt , vil bestemme at funktionen er aftagende.

En eksponentielt aftagende funktion af typen har en såkaldt halveringskonstant der betegnes: Der vil i løbet af opgaven …