SRO i fysik og matematik om Fald med luftmodstand

Side 1

1

Abstract

This text will explain the terms that are a large part of physics today: Velocity and acceleration. The text will undergo the average speed, the average acceleration, gravitational acceleration and afterwards explain Newton’s second law which explains the connection between force, mass and acceleration. Furthermore the text will show how to find the motions for a terminal acceleration by integrating, which will give us an understanding of how the motion equations are connected together. The text will explain the two forces that affect the falling object. The fall will get analyzed and the velocity of a falling object on a graph will be explained. Then a mathematical equation of the velocity as a function of time will be made so that the velocity of both graphs, made on Loggerpro, and the graph made by the mathematical equation, will get compared and discussed. There will be looked at other planets due to a lot of factors are different from each planet, like the gravitational acceleration and the air’s density. To make the experiment more interesting, a mathematical equation of the velocity as a function of time of Venus will be included to see how different the motion on Venus is from earth. This text is made to so that the reader can experience a meaningful use of mathematics, to obtain an understanding of how an experiment is connected to mathematics. It can lead to a new understanding of the nature.

Side 2

2

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................. 1 Indledning .......................................................................................................................................................... 3 Hastighed og acceleration ................................................................................................................................. 3 Hastighed ....................................................................................................................................................... 3 Acceleration ................................................................................................................................................... 4 Tyngdeacceleration ................................................................................................................................... 5 Bevægelsesligninger for bevægelser i tyngdefelt ............................................................................................. 6 Fald med luftmodstand ..................................................................................................................................... 7 Matematisk model af bevægelsen med luftmodstand ..................................................................................... 9 Matematisk model for bevægelse med luftmodstand for én kageform ....................................................... 9 Matematisk model for bevægelse med luftmodstand for tre kageforme .................................................. 13 Hastigheds metoden.................................................................................................................................... 15 Matematisk model for bevægelse med luftmodstand for tre kageforme på Venus .................................. 15 Konklusion ....................................................................................................................................................... 17 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 18 Bilag ................................................................................................................................................................. 19

Side 3

3

Indledning

Jeg vil I denne opgave indledningsvist arbejde med en redegørelse af hastighed og accerelation og derefter komme lidt ind på nogle af dens underemner: Newtons anden lov og tyngdeaccerelationen. Derudover vil jeg finde bevægelsesligninger med konstant accerelation, ved at integrere og dermed give en forståele mellem sammenhængene af bevægelsesligningerne. Derefter vil det blive lidt mere avanceret. Jeg vil forklare hvordan et fald bliver påvirket af kræfter som påvirker hastigheden af kastet. Eksperimentelt vil der blive lavet en video med et faldende objekt. Faldet vil blive analyseret og derefter vil der blive lavet en matematisk model, som beskriver selve kastet der ender med at blive konstant på et givet tidspunkt.

Afslutningsvist vil jeg lave forsøget på Venus og se hvordan at hastigheden derefter kommer til at se ud på en anden planet da luftens den sitet og tyngdeaccerelation er anderledes fra planet til planet.

Hastighed og acceleration

I gamle dage havde man svært ved at forstå begreberne hastighed og acceleration. I dag er vi vant til at bruge begreberne hastighed og acceleration. Fx har vi ikke svært ved at forstå at hvis en dreng cykler 25

meter på 5 sekunder, vil det svare til at han cykler 5 m/s. Det har været en yderst vigtig udvikling for

                                               1
videnskaben at definere og kvantificere fysiske størrelser.

Der vil nu ses på begreberne hastighed og acceleration.

Hastighed

Hastigheden er forholdet mellem hvor langt man bevæger sig, og hvor meget tid man bruger på det.

Begrebet ”middelhastighed” vil nu blive forklaret.

Vi betegner hastigheden som ”v” mens at ”v_{middel} ” betegner vi som middelhastighed.

Hvis vi fx har en tilbagelagt strækning på 300 km og en forløbet tid på 3 timer, har vi en middelhastighed på

100 km/t, fordi:

𝑣_{𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙} = = = 100 𝑘𝑚/𝑡

𝑡𝑖𝑙𝑏𝑎𝑔𝑒𝑙𝑎𝑔𝑡 𝑠𝑡𝑟æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔 300 𝑘𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑙ø𝑏𝑒𝑡 𝑡𝑖𝑑 3 𝑡𝑖𝑚𝑒𝑟

1

Indsigt og udsyn: grundbog til almen studieforberedelse (s. 29)

Side 4

4

Man bruger ofte bogstavet ”s” for at angive et sted på en vis strækning, og også for at angive længden på strækningen fra 0-punktet.

Middelhastigheden kan også findes I et (t,s)-graf. Et (t,s)-graf beskriver beskriver tiden som funktion af stedet. Man kan man finde middelhastigheden på en et (t,s)-graf på en anderledes, men logisk nok måde .

Man kan finde middelhastigheden ”v_{middel} ” ved at finde hældningskoefficienten. Man skal blot finde

                                                                      𝑠 𝑠
                                                          2           2 − 1
punkterne: (t ,s ) og (t ,s ). Når man finder disse punkter kan man finde: 𝑣 =
           1 1    2 2
                                                             𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙
                                                                      𝑡 𝑡
                                                                      2 − 1

Hvis vi bruger bostavet ”t” til at angive den tid det har taget for at tilbagelægge strækningen ”s”, får vi følgende formel:

𝑣 =

𝑠 𝑡

Man skal altid overveje hvilken enhed størrelsen man har. Da man har besluttet sig for at standardenheden for en strækning er meter ”m” og standardenheden for tid er sekunder ”s”, er standardenheden for

hastighed målt i m/s.^{3}

Acceleration

Begrebet accerelation vil nu blive forklaret. Det kan gøres således:

2

Indsigt og udsyn: grundbog til almen studieforberedelse (s. 30)

3

Indsigt og udsyn: grundbog til almen studieforberedelse (s. 30)

Side 5

5

𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =

æ𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑖 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑 𝑓𝑜𝑟𝑙ø𝑏𝑒𝑡 𝑡𝑖𝑑

                                                                                    2
En acceleration betyder en ændring i hastighed per forløbet tid. SI-enheden for acceleration er også m/s .

På samme måde som man fandt middelhastigheden på en (t,s)-graf, kan man regne middelaccelerationen

             𝑣
              2
ud: 𝑎      =
     𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙
             𝑡
              1

−𝑣_{1}
−𝑡_{2}

Newtons anden lov

For enhver bevægelse for et objekt, er der en sammenhæng mellem bevægelsen af objektet og de kræfter som objektet bliver påvirket at. Ifølge Newtons 2. lov som er opstillet af Sir Isaac Newton, kan den anden lov formuleres på følgende facon:

”Hvis den samlede kraft på en genstand er forskellig fra 0, vil genstanden enten øge eller formindske fart,

                                                  4
eller den vil skifte bevægelsesretning – eller evt. begge dele.”

Mere matematisk, kan Newtons lov også opskrives:

F =

dp dt

Da impuls ”p” er lig masse gange hastighed, kan man omskrive Newtons anden lov, hvis massen er konstant til:

F = m

dv dt

Da hastighed ”v” og tiden ”t” er lig accerelation, kan man omskrive Newtons 2. lov på en simpel måde:

F = m a

                                                                  5
Vi har nu omskrevet Newtons 2. lov til: kraft er lig med masse gange acceleration.

Tyngdeacceleration

Objekter der befinder sig i et tyngdefelt oplever gravitation. Der er ingen indflydelse i tyngden selvom man er højt oppe i luften, så det gør lige meget om et objekt befinder sig på landjorden, eller om et objekt befinder sig i 10 kilometers højde. Stiger man 10 kilometer fra havoverfladen, vil den øgede afstand

4

FysikABbogen1 (s. 71)

5

http://rumfart.dk/vis.asp?id=184

Side 6

6

til Jordens massecenter sænke denne værdi med blot 0,03 m/s².^{6} En fysiker kaldt Galileo påviste

eksperimentelt, at alle frit faldene objekter under denne betingelse, udviser den samme konstante acceleration. Denne konstante acceleration kaldes tyngedeaccelerationen, og mere præcist kaldes det den lokale tyngdeacceleration. Slutresultatet er at alle frit faldene objekter i samme lokale tyngdefelt, ligegyldig

                                                                              2
masse, falder med én fælles konstant acceleration. I Danmark er tyngdeaccelerationen 9.82 m/s , hvilket er

det tal vi skal bruge senere i vores opgave. Der vil også blive arbejdet med andre planeter som har en helt

                                                                            2
anderledes tyngdeacceleration end på jorden. Venus har fx en tyngdeaccerelation på 8.87 m/s , hvilket er

ret tæt på jordens tyngdeaccerelationsværdi. Dette betyder at hvis man lader et objekt falde i luften, vil

                                                                                     7
den konstante accerelation være lidt langsommere end den konstante accerelation som der er på jorden.

Tyngdeaccerelation bliver betegnet med ”g”.

Bevægelsesligninger for bevægelser i tyngdefelt

I dette afsnit vil vi finde bevægelsesligninger, altså v(t) og s(t) ved hjælp af integration. For at finde dem skal vi først integrere den konstante acceleration i tyngdefeltet to gange:

a(t) = g = 9.82

v(t) til tidspunktet t er defineret som den tidsaflefte s’(t) af stedfunktionen s(t) [8]. Derfor gælder:

𝑣 ( 𝑡) = 𝑠′(𝑡)

For en jævn retlinjet bevægelse, er hastigheden konstant. For en bevægelse med en konstant accerelation ”a” vil vi både bestemme et udtryk for partiklens hastighed og for dens position. Det fremgår at a(t) til tidspunktet t er defineret som tidsafledte v’(t) af hastigheden [9]:

𝑣′(𝑡) = 𝑎(𝑡)

Nu ved vi, at hvis vi integrere ”a”, får vi ”v”, mens at hvis vi integrere ”v” får vi ”s”. Nu kan vi finde bevægelsesligningerne:

𝑣(𝑡) = ∫𝑎(𝑡)∗ 𝑑𝑡

6

http://da.wikipedia.org/wiki/Det_frie_fald

7

http://da.wikipedia.org/wiki/Tyngdeacceleration

8

FysikABbogen2 (s. 186-187)

9

Grundbogen 2 (s. 107)

Side 7

7

𝑠(𝑡) = ∫𝑣(𝑡) ∗𝑑𝑡

Vi sætter så tallene ind i integralet, og integrere det, for at få bevægelsesligningerne for en onstant accerelation:

𝑣(𝑡) = ∫9.82 ∗ 𝑑𝑡 = 9.82 ∗𝑡 + 𝑘

𝑠(𝑡) = ∫9.82∗ 𝑡 ∗𝑑𝑡 = ∗ 9.82∗ 𝑡^{2}

1

2

Her er s(t) gyldig for en jævn retlinje. Hvis der er begyndelseshastighed v og begyndelsessted s,

0 0

            10
så hedder s(t):

𝑠(𝑡) = ∗ 9.82 ∗ 𝑡_{2} + 𝑣_{0} ∗ 𝑡+ 𝑠_{0}

1

2

Nu har vi så fundet bevægelsesligningerne for en konstant accerelation, ved hjælp af integration. Der er funder frem til at der er en sammenhæng mellem bevægelsesligningerne. Vi ved nu at hvis vi integrere a(t) får vi v(t). Integrere vi v(t) så får vi s(t). Senere i opgaven vil vi lave en matematisk model for at finde et fald med en luftmodstand, hvor at vi vil lave en funktion som viser hastighed som funktion af tiden, v(t).Vi kan så derefter integrere v(t), for at finde s(t) som er et udtryk for partiklens position, for at påvise igen at det virker.

Fald med luftmodstand i det forrige afsnit er der blevet beskrevet hvordan man finder en bevægelsesligning på en konstant accerelation. I dette afsnit vil der blive fortalt om en bevægelse med en luftmodstand. Når der er en luftmodstand, betyder at der er en kraft som påvirker en gendstand i bevægelse. Denne kraft bliver kaldt luftmodstanden. Vi kan fx kigge på en bil i bevægelse. Hvis vi kigger på figur 1 i bilaget, kan vi se en bil som kører. Hvis bilen kører er den i bevægelse, den har en hastighed. Hastigheden vil vi betegne som ”v”, mens

at den kraft som den bliver påvirket af, nemlig luftmodstanden, vil vi betegne som ”F ”. Denne kraft er
                                                                     l

                                    11
proportional med kvadratet på hastigheden.

Vi får luftmodstanden til at være:

𝐹_{𝑙} =𝑘 ∗𝑣^{2}

10

GrundbogB2 (s. 107)

11

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Biler/Teknik/luftmodstand

Side 8

8 størrelsen ”k” afhænger af mange ting. Den afhænger af formen på objektet, objektets tværtsnitsareal og

                                                     12
luftens densitet, altså hvor tyk luften er. Derfor kan vi kalde ”k”:

k = ∗ ρ ∗ A ∗ Cw

1

2

Disse størrelser betyder:

Cw: Cw er en dimensionsløs faktor der afhænger af formen. Faktoren beskriver nemlig hvordan formen ser ud. Cw bruges til at kvantificere modstanden i luft eller vand.

ρ: rho er luftens densitet, som er målt i massefylde og volume. Ved havets overflade er rho 1.29 kg/m^{2}. Jo

højere oppe man kommer, jo mindre bliver luftens densitet. Vi regner med i vores forsøg, at vi er ved havoverfladen.

                        13
A: er objektets tværsnitsareal. Tværsnitsarealet spiller en rolle i luftmodstanden, fordi det jo højere

tværsnitsareal man har, jo mere kraft skal det til for at lave en bevægelse. Jo mindre tværsnitsareal jo mindre indsats skal man f.x bruge for at træde i pedalerne på en cykel for at komme fremad. Dette er en af grundende til at man i ”Tour De France” cykler med hovedet næsten ved rattet. Man gør det for at gøre sit tværsnitsareal mindre og dermed formindske luftmodstanden hvilket gør at man kan spare mere krafter.

Idét at vi nu har defineret ”k”, kan vi beskrive luftmodstanden F således:
                                                   l

                     1
          2                        2
𝐹   = 𝑘∗ 𝑣 = F    =   ∗ ρ ∗ A ∗ Cw ∗ v
  𝑙
                     2

l

Nu vil der blive beskrevet hvordan at et faldene objekt bliver påvirket af kræfter. I vores forsøg som vi har lavet, arbejder vi med et faldende objekt. Dette faldende objekt er påvirket af to slags kræfter:

Tyngdekraften som er den tiltrækningskraft på jorden som er udøvet på ethvert legeme ved dens overflade,

og luftmodstanden, som vi har beskrevet tidligere i dette afsnit. Tyngdekraften bliver kaldt F , mens at
                                                                           t

luftmodstanden er F_{l} som vi allerede har defineret foroven. Tyngdekraften på en genstand ved

                              14
jordoverfladen er givet ved formlen:

𝐹_{𝑡} = −𝑚 ∗ 𝑔

12

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Biler/Teknik/luftmodstand

13

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Biler/Teknik/luftmodstand

14

FysikABbogen 2 (s. 237)

Side 9

9

Når et objekt falder, vil luftmodstanden i starten være lille, så vi starter med en slags frit fald, med kun en

                                           1
                                                 2
lille påvirkning af tyngdekraften som heder: 𝑦 = − ∗ 𝑔 ∗𝑡 . Men hen ad vejs vil luftmodstanden vokse
                                           2

og vokse, og til sidst vil den modvirke tyngdekraften så luftmodstanden bliver absolut: 𝑣 = −𝑔 ∗ 𝑡.
                                                                        𝑦

Dette gør at objektet vil komme tl at få en konstant hastighed ved den absolutte luftmodstand. Ved den

konstante hastighed må: 𝐹_{𝑡} = 𝐹_{𝑙}, som er: 𝑘∗ 𝑣^{2} = 𝑚 ∗ 𝑔, dette er et udtryk for hastigheden ”v”.

Matematisk model af bevægelsen med luftmodstand

En matematisk model er en beskrivelse af virkelige forhold som kan analyseres med matematik. Der vil typisk blive lavet en forsimpling af de virkelige forhold, for at det bliver muligt at beskrive dem rent matematisk. Et eksempel på en matematisk model kan være Newtons love, som beskriver bevægelsen af et

                                    15
objekt ved hjælp af krafter som påvirker den.

Matematisk model for bevægelse med luftmodstand for én kageform

I dette afsnit vil der blive beskrevet om hvad der sker med et lodret kast af et objekt med luftmodstand. Vi har filmet et kast, hvor at vi lader et objekt falde. Det har vi så sat ind i loggerpro, hvor at vi vil arbejde med selve bevægelsen af kastet, og lave en matematisk model for et kast med luftmodstand, udfra den konstante hastighed vi fået målt. Vi vil til sidst sammenligne kastene i loggerpro og for det kast vi finder med den matematiske model.

15

http://da.wikipedia.org/wiki/Model_%28matematik%29

Side 10

10

Vi vil først starte med at finde Cw for vores kast.

              1
                             2
Idet at vi ved at: ∗ 𝜌 ∗ 𝐴∗ 𝐶𝑤∗ 𝑣 = 𝑚∗ 𝑔
              2

                           𝑚∗𝑔
Kan vi isolere Cw og få: 𝐶𝑤 =
                         1
                              2
                          ∗𝜌∗𝐴∗𝑣

2

Nu ved vi hvilke størrelser vi skal have for at finde Cw. Det første vi gør er at måle diameteren af kageformen for at finde tværsnitsarealet. Vi dividere diameteren med 2, for at få radius, hvor at vi så kan finde arealet:

                                                    3
Vi har før i opgaven defineret luftens densitet, rho til 1.29 kg/m ved havets overflade.

Tyngdeaccelerationen i Danmark er på 9.82 m/s^{2}

Vægten af kageformen, regner vi om til SI-enheden ”kg” for ikke at sludre med enheder.

Vores konstante hastighed bestemte vi til 1.55 ud fra vores tabel i loggerpro.

Vi putter så alle størrelserne ind i formlen, og finder faktoren af Cw:

Ifølge vores beregning, kan vi se at Cw, har en faktor på 0.48, hvilket giver en cirkelform ifølge figur

3, og på figuren foroven. Alle kageform-forsøgene skal alle have det samme Cw pga. formen er

A := ⋅π

⎛ 0.071 ⎞^{2}

⎜ | ⎟

⎜ 2 ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

.003959

Rho := 1.29

1.29

g := 9.82

9.82

m :=

0.3

1000

.0003

v := 1.55

1.55

C w :=

⎛ m g ⎞

⎝ ⎠

⋅

0.5 ⋅ Rho ⋅ A ⋅ v^{2}

.480179

Side 11

11

den samme.^{16}

Det som vi er interesseret i nu, er så selve beskrivelsen af hele processen, specielt overgangen mellem de to krafter. Vi har newtons lov, som er:

                                                       𝑘
                                        2                  2
Newtons anden lov: 𝐹 = 𝑚 ∗𝑎 → 𝑚∗ 𝑎 = 𝑘∗ 𝑣 − 𝑚 ∗𝑔 → 𝑎 =  ∗ 𝑣  − 𝑔
                                                       𝑚

                                                                         𝑘
                                              ′                      ′       2
Som vi også havde sagt tidligere i opgaven, så gav 𝑎 = 𝑣 , så vi ender med at have: 𝑣 = ∗ 𝑣 −
                                                                        𝑚

𝑔, hvilket også er en differentialligning. Denne differentialligning kan vi løse vha. et CAS.værktøj.

Men først skal vi finde ”k”. For at finde ”k” kan vi gøre således ved at isolere ”k” udfra denne

formel som beskrev hastigheden ved den konstante accerelation, nemlig 𝐹 = 𝐹 :
                                                            𝑡   𝑙

Vi tager så v^{2} over på den anden side af lighedstegnet, så den bliver en nævner.

Vi har størrelserne g,m og v. Det sætter vi så ind i formlen for at finde ”k”:

Fordi at vi har fundet ”k”, kan vi sætte ”k” ind i formlen:

Som vi skrev tidligere var 𝑎 = 𝑣^{′}. Vi definere så a til at være v'

Massen og hastigheden kender vi allerede. Vi løser så differentialligningen med CAS-værktøjet.

Syntaksen vil være:

16

http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient

   2
k ⋅ v = m ⋅ g

   2
k ⋅ v = g ⋅ m

k =

m ⋅ g

v^{2}

k =

g ⋅ m

v^{2}

k :=

0.0003 ⋅ 9.82

1.55^{2}

.001226

                 2
a :=        ⋅ 1.55 - 9.82

k

0.0003

-1.77636e-15

a = vm ⎛ x ⎞

⎝ ⎠

-1.77636e-15 = vm ⎛ x ⎞

⎝ ⎠

Side 12

12

Fordi det er udefineret, solver vi ”v” for at få et grafisk billede af selve bevægelsen med de to krafter:

Fordi der er så mange muligheder, tager vi den den første, og plotter det ind i en graf for at se det grafiske billede af bevægelsen af de tro krafter.

Vi har så lavet en matematisk model som beskriver hastigheden som funktion af tiden, nemlig hele bevægelsen. Man kan tydeligt se et forløb. Selve bevægelsen som starter med at have en lille luftmodstand, men som så langsomt får en stor luftmodstand, så hastigheden af faldet til sidst bliver konstant ved ca. -1.55. Dette billede ligner ikke helt det vi havde lavet i loggerpro, da den vi

                 2
desolve v' =   ⋅ v - 9.82 and v ⎛ 0 ⎞ = 0, t , v

⎛ k ⎞

⎜ | ⎟

⎜ m ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

.322581 ⋅ ln ⎛ v - 1.55 ⎞ - .322581 ⋅ ln ⎛ v + 1.55 ⎞ = 4.08741 ⋅ t

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

solve ⎛.322581 ⋅ ln ⎛ v - 1.55 ⎞ - .322581 ⋅ ln ⎛ v + 1.55 ⎞ = 4.08741 ⋅ t , v ⎞

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

v = and > -1. or v = and

               t                  t                               t
-1.55 ⋅ 318366. - 1.      318366. - 1.             -1.55 ⋅ 318366. + 1.

⎛ | ⎞ | ⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟ | ⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠

318366. + 1^{t} 318366. + 1^{t} 318366. - 1^{t}

        t
318366. + 1.

318366. - 1^{t}

≤ -1.

vr ⎛ t ⎞:=

⎝ ⎠

               t
-1.55 ⋅ 318366. - 1.

⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

318366. + 1^{t}

"Done"

1

-2

-1

Side 13

13

⎜⎜ ⎟⎟ 1 2 3 4

-3

-2

-1

vr ⎛ t ⎞:=

⎝ ⎠

              t
-2.67 ⋅ 1565.24 - 1.

⎛ ⎞

⎝ ⎠

1565.24 + 1^{t}

"Done" har i loggerpro ikke bliver konstant, som den burde, men mærkeligt stiger. Dette kan skyldes vægten på kageformen, som gør at den ikke bliver helt tydelig.

Matematisk model for bevægelse med luftmodstand for tre kageforme

Vi vil nu lave den samme fremgangsmåde, som vi lavede i det første forsøg, men nu med 3 kageforme, for at se hvilken rolle som vægten spiller i forsøget. Tværsnitsarealet vil stadig forblive det samme, fordi vi putter blot kageformene ind i hinanden, hvilket har ingen indflydelse i tværtsnitsarealets størrelse. Vi laver en mindre version af alle de beregninger som vi har lavet i forsøg 1 med én kageform.

Vi har målt:

Massen: 0.0009 kg

Hastigheden: 2.67 m/s

Vi indsætter indsætter størrelserne i formlen for at finde Cw, som helst skal give det samme resultat som forrige forsøg:

Cw viste sig at blive 0.48, som også var det samme som i sidste forsøg. Faktorerne passer godt fordi at efter teorien ændres formen heller ikke selvom at vægten bliver større.

Udregningen kan ses på bilag tekst

1. Vi løser så differentialligningen, og

C w :=

⎛ m g ⎞

⎝ ⎠

⋅

0.5 ⋅ Rho ⋅ A ⋅ v^{2}

.485473

Side 14

14 får funktion vr(t):

Vi kan her tydeligt se fra funktionen i loggerpro (figur 4 i bilaget), og den funktion foroven som vi har regnet i TI-interactive, at de ligner hinanden. De ligner hinanden, fordi at figur 4 har en tydelig konstant accerelation, i forhold til det første forsøg. Man kan tydeligt se at den får et forløb, hvor at den er på vej mod at blive konstant.

Hvis vi sammenligner det med det første forsøg, kan man se at vægten spiller en rolle i hastigheden. Jo tungere objektet er, jo hurtigere falder objektet. Vi kan også se at med en større vægt, vil der forekomme en tydeligere konstant accerelation.

Vi vil nu integrere vr(t), for at få s(t) og bevise, at hvis vi integrere vr(t), vil vi få s(t), som beskriver hastigheden til et givet tidspunkt.Vi integrere så vr(t):

Når vi nu har integreret den, har vi fundet s(t). Nu kan vi se om den passer med grafen. Vi indsætter s(0.5) og s(1), for at se hvad hastigheden er når der er gået hhv. 0.5 sekunder og 1 sekund, og aflæser den på grafen foroven:

Vi kan så aflæse på grafen foroven, at det passer meget fint. Ved 1 sekund, kan vi allerede se på

grafen, at hastigheden er konstant. Vores konstante hastighed var -2.67 m/s, hvilket vi også fik det

til.

s ⎛ t ⎞:= ⌠ ⎛ vr ⎛ t ⎞ ⎞ t

⎝ ⎠ ⌡ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

¶

"Done" s ⎛ 0.5 ⎞

⎝ ⎠

-1.35312 s ⎛ 1 ⎞

⎝ ⎠

-2.67046

Side 15

15

Hastigheds metoden

I dette afsnit vil vi prøve at bevise at vi kan finde hastigheden "v". Vi vil prøve at finde hastigheden ved at solve "v" i formlen Cw. Hvis vi kan bevise dette, kan vi også finde hastigheden på en anden planet. Vi prøver først at finde den konstante hastighed, på forsøget med én kageform.

Hastigheden var -1.55 m/s, hvilket er det tal som vi skal finde. Vi definere først alle de størrelser vi
har. Vores Cw er en form faktor. Den er 0.48, som vi før også havde målt den til. Massen = 0.0003,
mens tyngdeaccerelation = 9.82. Rho = 1.29 mens at tværsnitsarealet = 0.003959. Vi sætter alle

størrelserne ind i formlen for Cw, og solver den sidste størrelse "v", for at finde den konstante hastighed.

Vi får så et meget nøjagtigt tal, som fortæller os om den konstante hastighed. At vi har bevist dette, betyder at vi kan finde den konstante hastighed for en bevægelse for andre planeter.

Matematisk model for bevægelse med luftmodstand for tre kageforme på Venus

Vi vil nu undersøge hvordan en bevægelse kommer til at se ud på planeten Venus. Vi vil først finde den konstante hastighed, som den vil være hvis vi var på Venus. Vi har størrelserne: 0.48 som er vores fortsatte form faktor ”Cw”. Vores tværsnitsareal ”A” som forsat 0.003959, mens at

tyngdeaccerelationen på Venus er noget anderledes end på jorden, den er 8.87 m/s^{2}. Fordi at der
er 96,5% Carbon dioxid på Venus^{17}, kan vi regne med at luftens densitet rho = 67 kg/m^{2}.^{18}

Nu mangler vi vægten "m" som, som vi bestemmer til 3 kageforme. Den kan findes på følgende måde:

17

http://en.wikipedia.org/wiki/Venus

18

http://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Venus

solve 0.48 =, v

⎛ 0.0003 9.82 ⎞

⎜ | ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

⋅

2

⋅ 1.29 ⋅.003959 ⋅ v^{2}

v = 1.55033 or v = -1.55033

m := ⋅ 8.87

.0009

9.82

.000813

Side 16

16

Vægten vil være anderledes på Venus. Den vil være lettere på grund af tyngdeaccerelationen er lavere. [19] Derfor for at finde vægten, dividere vi vores masse som vi målte på jorden med jordens tyngdeaccerelation. Derefter ganger vi det så med Venus' tyngdeaccerelation. Så har vi vægten, som den vil være på planeten Venus.

Nu har vi så har defineret alle størrelserne. Vi sætter dem ind i formlen, og solver "v"

Vi laver så samme fremgangsmåde som vi har gjort i alle de andre udregninger. Udregningen af denne kan ses i bilag tekst 2. Vi får så en hastighed som funktion af tiden på venus:

Vi kan så på denne graf se, at det er sådan at bevægelsen vil se ud. Faldet vil ikke være så hurtigt som på jorden, og hvis man slap et objekt, vil den nærmest gå i ”slowmotion”.

19

http://da.wikipedia.org/wiki/Tyngdeacceleration

solve 0.48 =, v

⎛ 0.000813 8.87 ⎞

⎜ | ⎟

⎜ 1 ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

⋅

2

⋅ 67 ⋅.003959 ⋅ v^{2}

v = .336567 or v = -.336567

v ⎛ t ⎞:=

⎝ ⎠

                    t
-.336567 ⋅ 7.7815e22 - 1.

⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

7.7815e22 + 1^{t}

"Done"

1 2 3 4

-1

Side 17

17

Konklusion

Jeg har i denne opgave arbejdet med lodrette kast med luftmodstand. Derudover har jeg forklaret begreberne hastighed og accerelation, kommet ind på hvordan man finder middelhastighed og middelaccerelation på (t,s)-grafer, samt forklaret sammenhængen mellem kraft, masse og accerelation.

Desuden har jeg fundet bevægelsesligningerne for en konstant bevægelse ved hjælp af integration, og forklaret hvordan at bevægelsesligningerne hænger sammen. Jeg har beskrevet hvordan at en faldende objekt som er i bevægelse vil blive påvirket af kræfter, hvilket er vigtigt for at forstå hvorfor at vores graf bliver konstant. Ydermere har jeg lavet en matematisk model af en bevægelse med luftmodstand, hvor jeg har analyseret og sammenlignet dem med andre modeller. Derudover har jeg lavet en graf for faldet på planeten Venus, hvor at jeg har fundet frem til at hastigheden der er en del lavere.

Side 18

18

Litteraturliste

Bøger:

Finn Elvekjær, Torben Benoni - FysikABbogen 1

Finn Elvekjær, Torben Benoni - FysikABbogen 2

Flemming Clausen, Gert Schomacker, Jesper Tolnø – Gyldendas Gymnasiematematik Grundbog B2

Anne Okkels Olsen, Arne Jørgensen, Bjarne Troelsen, Dietrich Harbsmeier, Jens Frørup Madsen, Johannes Iversen og Poul René Bertelsen - Indsigt og udsyn: grundbog til almen studieforberedelse

Websites:

http://da.wikipedia.org/wiki/Det_frie_fald

http://da.wikipedia.org/wiki/Model_%28matematik%29

http://da.wikipedia.org/wiki/Tyngdeacceleration

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./Biler/Teknik/luftmodstand

http://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Venus

http://en.wikipedia.org/wiki/Drag_coefficient

http://en.wikipedia.org/wiki/Venus

http://rumfart.dk/vis.asp?id=184

Side 19

19

Bilag

Indsigt og udsyn: grundbog til almen studieforberedelse

Side 20

20

Bilag tekst 1

Vi skal bare lave samme fremgangsmåde som i sidste fosøg, men nu med en andet masse og hastighed. Vi sætter så tallene ind i ”k” formlen, som vi havde isoleret i første forsøg.

Vi sætter så størrelserne ind:

Vi definere så a til at være v':

Vi løser så differentialligningen med CAS-værktøj. Syntaksen vil være:

k :=

0.0009 ⋅ 9.82

2.67^{2}

.00124

                 2
a :=        ⋅ 2.67 - 9.82

k

0.0009

0.

a = vm ⎛ x ⎞

⎝ ⎠

0. = vm ⎛ x ⎞

⎝ ⎠

Side 21

21

Fordi det er udefineret, solver vi v for at få et grafisk billede af hastigheden:

Vi tager så den første, og plotter det ind i en graf for at se det grafiske billede:

Bilag tekst 2

Vi sætter så størrelserne ind

                 2
desolve v' =   ⋅ v - 9.82 and v ⎛ 0 ⎞ = 0, t , v

⎛ k ⎞

⎜ | ⎟

⎜ m ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

.187266 ⋅ ln ⎛ v - 2.67 ⎞ - .187266 ⋅ ln ⎛ v + 2.67 ⎞ = 1.37749 ⋅ t

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

solve ⎛.187266 ⋅ ln ⎛ v - 2.67 ⎞ - .187266 ⋅ ln ⎛ v + 2.67 ⎞ = 1.37749 ⋅ t , v ⎞

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

v = and > -1. or v = and

              t                   t                               t
-2.67 ⋅ 1565.24 - 1.      1565.24 - 1.             -2.67 ⋅ 1565.24 + 1.

⎛ | ⎞ | ⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟ | ⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠

1565.24 + 1^{t} 1565.24 + 1^{t} 1565.24 - 1^{t}

        t
1565.24 + 1.

1565.24 - 1^{t}

≤ -1.

   2
k ⋅ v = m ⋅ g

   2
k ⋅ v = .000813 ⋅ g

k =

m ⋅ g

v^{2}

k =

.000813 ⋅ g

v^{2}

k :=

0.000813 ⋅ 8.87

.336567^{2}

.063661

a := ⋅.7

k

0.000813

2

0.

Side 22

22

Vi definere så a til at være v' massen er:

Hastigheden er:

Vi løser så differentialligningen med CAS-værktøj. Syntaksen vil være:

Fordi det er udefineret, solver vi v:

a = vm ⎛ x ⎞

⎝ ⎠

0. = vm ⎛ x ⎞

⎝ ⎠

m := 0.000813

.000813

v := .336567

.336567

                 2
desolve v' =   ⋅ v - 8.87 and v ⎛ 0 ⎞ = 0, t , v

⎛ k ⎞

⎜ | ⎟

⎜ m ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟
⎝ | ⎠

1.48559 ⋅ ln ⎛ v - .336567 ⎞ - 1.48559 ⋅ ln ⎛ v + .336567 ⎞ = 78.3034 ⋅ t

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

solve ⎛ 1.48559 ⋅ ln ⎛ v - .336567 ⎞ - 1.48559 ⋅ ln ⎛ v + .336567 ⎞ = 78.3034 ⋅ t , v ⎞

⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

v = and > -1. or v =

                    t                     t
-.336567 ⋅ 7.7815e22 - 1.       7.7815e22 - 1.

⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

7.7815e22 + 1^{t} 7.7815e22 + 1^{t}

                    t                     t
-.336567 ⋅ 7.7815e22 + 1.       7.7815e22 + 1.

⎛ | ⎞
⎜⎜ | ⎟⎟
⎝ | ⎠

7.7815e22 - 1^{t} 7.7815e22 - 1^{t}

and ≤ -1.