Differentialkvotienter | SRO i Fysik og Matematik

Side 1

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 1 af 16

Problemformulering^{1}

• Gør rede for begrebet differentialkvotient og for fortolkning af differentialkvotient som en funktions væksthastighed.

• Gør rede for sammenhængen mellem de forskellige måder, hvorpå man kan opskrive forskriften for en eksponentielt aftagende udvikling.

f(t) = b · a^{-k·t} = b·(½)^{t/t½}

I redegørelsen skal indgå udledning af de formler, som knytter konstanterne a, k og t

½ sammen.

I besvarelsen kan man også komme ind på de tilsvarende formler for en eksponentiel voksende udvikling.

• Gør rede for, at antallet N af radioaktive kerner i et radioaktivt præparat må være bestemt STX 2.g

N’(t) = -k · N(t)

Hvor k betegner den brøkdel af kernerne, som henfalder pr. tidsenhed.

Gør rede for, at funktionen N(t)=N ·e^{-k·t} er en løsning til denne ligning.

0

Giv på denne baggrund en fortolkning af henfaldskonstanten k for en radioaktiv isotop.

• Undersøg henfaldsloven for radioaktivt henfald eksperimentelt.

• Gør rede for, hvad der forstås ved aktiviteten A(t) af et radioaktivt præparat, og udled den matematiske formel for A(t).

• Find ud af, hvad der forstås ved en radioaktiv henfaldskæde.

Opstil en model for en henfaldskæde og udfør en simulering af modellen.

1

Taget direkte fra den udleverede problemformulering

Side 2

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 2 af 16

English abstract

This paper is prepared by three students in the subject’s math and physics. The students were set out to investigate in the conceptions of differential calculus and radioactive decay, and other concepts that relates to these two. The paper also describes the use and definition of differential

quotient. The students defined some of the concepts including the decay law; N (t) = (½)^{t/T½} · N,

0 and found out of the formulas that are used in math and physics in differential calculus and radioactive decay. To find these formulas the students used the tools, they have learned in school in math and physics. To test the credibility of these formulas, the students did an experiment with

                137
radioactive decay of Ba*. In this experiment the students found out that they get a half-life

56 period, which is only 3.8 % different from the table value, and their conclusion is that the experiment proves the credibility of the decay law, because the graph gives an exponential development.

Indledning

Vi vil i denne opgave prøve at kombinere vores teorier i henholdsvis matematik og fysik, til at undersøge bl.a. differentialkvotienter, radioaktivitet og henfaldsloven, og hermed undersøge sammenhænge mellem de to fags måder at arbejde på.

Desuden vil vi se om nogle matematiske værktøjer også kan sammenlignes med dem fra fysik.

Der vil vi bl.a. komme omkring computerprogrammet Excel, da dette er et godt værktøj til at finde forskriften for en eksponentiel udvikling. Da vi ved fra den daglige undervisning at der er flere måder at redegøre for en eksponentiel udvikling vil vi nu forsøge at finde sammenhænge imellem dem, dette kan man bl.a. ved hjælp af differentialregning.

Side 3

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 3 af 16

Historien bag differentialregning

Differentialregningen optrådte først sådan rigtigt i slutningen af 1600-tallet og menes herefter at fuldende den naturvidenskabelige revolution, som var i voldsomt opgør med den katolske kirke og det aristoteliske verdensbillede i 1500-tallet.

Et problem som differentialregningen var hjælpen til var, at finde tangenter til kurver.

Nogle år senere kommer videnskabsmændene, englænderen Isaac Newton og tyskeren Gottfried Wilhelm Leibniz kommer tilfældigvis til at bruge den samme metode til at bestemme tangenthældninger med.

Newton og Leibniz kom i en voldsom strid om hver der i virkeligheden havde fremsat differentialregningen og beskyldte hinanden for at have stjålet ideen.

I vores tid ved vi at Newton og Leibniz hverken stjal fra hinanden eller snød hinanden da, Newton var den første med ideen som blev udviklet i årene , Newton offentliggjorde ikke sine ideer, som først udkom 7 år efter hans død i 1734. Leibniz modsat udviklede sin metode i løbet af flere år hvorefter metoderne først blev offentliggjort i [2].

2

Kilde: Jessen, Claus m.fl.: Geometri, differentialregning og sandsynligheder, Gyldendalske boghandel, 1.udg. 1998

Side 4

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 4 af 16

Begrebet differentialkvotient og funktioners væksthastigheder

Differentialkvotienten fortæller om en funktions ”øjeblikkelige” ændringshastighed.

For at kunne beregne en differentielkvotient skal vi bruge følgende grundlæggende regneregler [3]:

Funktion f(x) Diffentialkvotient f’(x)

0 konstant 0 x 1

ax+b a
x^{2} 2x

0

X^{3} 3x^{2}

0

1/x
-1/2· x

0

Differentialkvotientens grafiske betydning er at, den er lig med hældningen af tangenten til funktionens graf. Man bruger differentialkvotienten til bl.a. at bestemme ekstrema, da det er der, hvor differentialkvotienten er lig med 0. Dvs. hvor der er en vandret tangent.

En funktions væksthastighed er lig med funktionens differentialkvotient, når en størrelse y beskrives med en differentiabel funktion af én variabel.

Fortolkning af differentialkvotient:

Hvis f’(x) er positiv for alle x i et interval, så er f(x) voksende i intervallet

Hvis f’(x) er negativ for alle x i et interval, så er f(x) aftagende i intervallet

Hvis f’(x) er 0 for alle x i et interval, så er f(x) konstant i intervallet

3

Kilde: Clausen, Flemming m.fl.: Gyldendals Gymnasiematematik B2 Grundbog, Gyldendalske boghandel, 1.udg. 2006.

Side 5

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 5 af 16

Sammenhænge mellem eksponentielle udviklinger

En eksponentiel aftagende udvikling kan opskrives på 3 forskellige måder. Én mulighed inden for fysikken, én mulighed inden for matematikken og én mulighed inden for grafprogrammet Excel.

                                                    2
Inden for fysikken opskrives forskriften således: )( btf ⋅=

1

⎛ 1 ⎞^{/}^{Tt}

2

⎜ ⎟

⎝ ⎠

                                                     t
Inden for matematikken opskrives forskriften således: abtf ⋅=)(

Inden for grafprogrammet Excel opskrives forskriften således: =)(tf ⋅ eb^{⋅−}^{tk}

For at knytte til fysikken og Excel til matematikkens forskrift, omskriver vi dem:

Fysik:

)( ⋅= bbtf ⋅≡ ⋅≡ ⎜ ⎟ ab^{t}

⎛ ⎞^{t}
⎛ 1 ⎞^{/}^{Tt}^{2} ⎛ 1 ⎞ 1
2 2 T_{1}

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ 2 ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

Excel:

   ⋅− tk          ttk
⋅=)( ebtf   )(   abeb ⋅≡⋅=

−

Udledning af sammenhængen mellem de forskellige måder, hvorpå man kan opskrive forskriften for en eksponentiel aftagende udvikling.

                        2
)(              bebabtf ⋅=⋅=⋅=

1

⎛ 1 ⎞^{/}^{Tt}

2

⋅− tkt

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Da b går igen i alle leddene reduceres b:

⎜ ⎟^{2}

1

⎛ 1 ⎞^{/}^{Tt}

2

ea^{⋅−}^{tkt} ==

⎝ ⎠

Side 6

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 6 af 16

For at få potenserne ned for benyttes det at tage ln af hele leddet.

             1
         ⎛  / Tt
             2
         ⎜ ⎛ 1 ⎞
      ⋅− tkt
( ) ( ) ea == lnlnln
         ⎜
          2
         ⎜ ⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 ⎛ 1 ⎞

lnln ⋅=⋅−=⋅ / Tttkta

⎟

⎟

⎟

⎝ ⎠

⎞

⎜ ⎟

2 2

Da t går igen i alle leddene reduceres t:

2

1

1 1

2

ka ⋅=−= lnln

T

Da vi ved at ln −=)2ln( sætter vi ln(-2) ind på ln plads og får:

2 2

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

1

−)2ln(
ln ka =−=

T

Så flyttes der rundt på lna og -k og der fås:

2

1

)2ln(

ln ak =−=

T

Side 7

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 7 af 16

Radioaktive kerner og dens sammenhænge

Her vil vi gøre rede for, at antallet af radioaktive kerner i et radioaktivt præparat må være bestemt af

N’(t) = -k · N(t)

Først opskriver vi en formel for antallet af radioaktive kerner i tiden t:

-∆N = k ·N ·∆t

Vi sætter ∆N til at være negativ, fordi:

∆N = N – N

2 1

Altså N

2 1 er antallet af kerner efter ∆t og N er antallet af kerner før ∆t, derfor må ∆N blive negativt.

Vi vil nu skrive formlen, som en proportional sammenhæng, y = ax, da vi ser at når N bliver dobbelt

så stort, så må ∆N også blive dobbelt så stort. Og når ∆t bliver dobbelt så stort, så må ∆N også blive dobbelt så stort. Derved ser vi at der er en proportional sammenhæng:

− Nk ⋅=

Δ t

Δ N

⋅−= Nk

Δ t

Δ N

Så omskriver vi formlen, så den passer med vores første ligning:

N’(t) = -k · N(t)

Q.E.D

Herefter vil gøre rede for, at funktionen_{0})( ⋅= eNtN^{⋅−}^{tk} er en løsning til ligningen
)()´( tNktN ⋅−=:

Side 8

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 8 af 16

Først sættes N(t) ind på N(t)´s plads i ligningen)()´( tNktN ⋅−=

            ⋅− tk
)´(      ⋅⋅−= eNktN

0

Så differentieres)( ⋅= eNtN^{⋅−}^{tk}

0

      ⋅− tk
)´( NketN ⋅⋅−=
            0

Vores resultat skulle gerne blive)()´( tNktN ⋅−= og da vi ved hvad N(t) er, kan vi rykke rundt, så

N(t) bliver lig med N’(t):

            ⋅− tk
)´(      ⋅⋅−= eNktN

0

Herefter kan vi se, at:

)()´( tNktN ⋅−=

Q.E.D

Vi vil her give en fortolkning af henfaldskonstanten k for en radioaktiv isotop:

- I starten af forrige udledning skrev vi en formel for antallet af radioaktive kerner i tiden t:

tNkN Δ⋅⋅=Δ−

Ud fra denne formel isolerer vi k:

Δ⋅ tN

Δ N

k =

Herefter kan vi sige noget om k: k er sandsynligheden for de kerner, der vil henfalde pr. sek.

Side 9

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 9 af 16

Henfaldsloven

Vi vil undersøge henfaldsloven for radioaktivt henfald eksperimentel, ved at lave et forsøg om Bariums halveringstid.

Formål:

                                                        *137
At gennemføre et forsøg til bestemmelse af halveringstiden for Ba
                                                    56

Teori:

                                                     137
En åben radioaktiv kilde (en minigenerator) indeholder isotopen
                                                     55

Cs

, der er betaaktiv med en halveringstid på 30 år.

55 − 1

137 0

      137
Cs Ba* e→ +
       56

Ved henfaldet dannes_{56} Ba^{*137}, hvor * angiver at bariumkernen er ustabil og henfalder under

udsendelse af gammastråling.

56

137

       137
Ba* Ba→ +
        56

γ

Det er T for det sidste henfald, der bestemmes i dette forsøg. Ba-isotopen kan udvaskes af kilden

½ med en sur opløsning af NaCl, mens Cs-isotopen forbliver i kilden.

Materialer:

Minigenerator, lille plasticflaske, udtræksvæske, GM-rør, tæller, forsøgsstativ, stopur, reagensglas.

Opstilling:

Opstillingen samles som vist på figuren.

Side 10

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 10 af 16

Forsøgets udførelse:

Baggrundsstrålingen findes ved at registrere antallet af tællinger i 5 min. Under denne måling skal minigeneratoren fjernes fra GM-røret.

Herefter anvendes opstillingen skitseret i figur 2.

Straks efter at opløsningen er presset gennem minigeneratoren fjernes minigeneratoren, og man starter en måleserie.

Man måler fortløbende antallet af tællinger i 10 sek.

Måleresultater: Kan ses på Bilag 1

Graferne:

Graf 1:

Korrigeret tælletal som funktion af tiden^{-0,0043x}
y = 433,4e
R^{2} = 0,9763

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

600 700

Tiden t

Korrigeret tælletal Tk

På grafen ses det korrigeret tælletal som funktion af tiden i et normalt koordinatsystem. Man kan

                                                     2
se, at punkterne ligger tilnærmelsesvis tæt på tendenslinjen, og R = 0,9763. Herudfra kan vi

konkludere, at de korrigeret tælletal som funktion af tiden, giver en eksponentiel udvikling.

Side 11

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 11 af 16

Graf 2:

Korrigeret tælletal som funktion af tiden_{R}_{2}_{= 0,9763}

y = 433,4e^{-0,0043x}

1

10

100

1000

600 700

Tiden t

Korrigeret tælletal Tk

På denne graf ses de korrigeret tælletal som funktion af tiden i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Punkterne ligger tilnærmelsesvis tæt på den rette linje, og at det bliver en lineær funktion på enkeltlogaritmisk skala. Derfor kan vi konkludere at det er en eksponentiel udvikling.

Databehandling:

Henfaldsloven er det antal kerner N, der henfalder efter tiden t.

Tid Antal radioaktive kerner t/T½

Side 12

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 12 af 16

Her ud fra kan vi udlede formlen:

0

2

1

⎛ 1 ⎞^{/}

2

)( NtN = ⋅

Tt

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Hvor N er antal kerner ved start og T½ er halveringstiden.

0

Vi kan se ud fra formlen, at henfaldsloven er en eksponentiel udvikling. Dette stemmer i overens med vores resultater, da de gav en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

Henfaldskonstanten k [k] = 1/s = Bq

Vi har bestemt k til at være:

T ½

)2ln(

k =

Vi har fundet halveringstiden ved at aflæse på graferne. Fremgangsmåde kan ses på Bilag 2.

Vi har fundet vores halveringstid til at være ca. 160 sek., ved at aflæse på grafen. Dette regner vi om til min., da tabelværdien er i min.:

T ≈=.min7,266,2½

60 sek.160

T ½ =

Tabelværdien for T½ for^{137} Ba = 2,6 min.

56

Herefter finder vi afvigelsen i %:

1,06,28,2 =−

er forskellen på vores fundne værdi og tabelværdien

Så finder vi afvigelsen i %:

Side 13

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 13 af 16

=⋅ %8,3%100

6,2

1,0

Begrebet Aktiviteten A(t)

Vi vil forsøge at gøre rede for, hvad der forstås ved aktiviteten A(t) af et radioaktivt præparat, og udleder den matematiske formel for A(t):

Antallet N af kerner til tiden defineres med formlen:

⎜ ⎟^{2/1}

       T
NN ⋅=
  0

2

⎛ 1 ⎞ t

⎝ ⎠

Da A(t) står for Aktiviteten som henfalder pr. tid benyttes formlen som udtrykker, at aktiviteten er proportionel med antallet af kerner:

NkA ⋅=

Da N i den første formel svarer til N i den sidste formel, sætter vi N fra den første formel ned i den sidste og får et udtryk deraf:

⎜ ⎟^{2/1}

       T
NkA ⋅⋅=
  0

2

⎛ 1 ⎞ t

⎝ ⎠

Derefter indfører vi betegnelsen  NkA ⋅= og skriver den om på en anden form:
                                   00

⎜ ⎟^{2/1}

      T
AA ⋅=
 0

2

⎛ 1 ⎞ t

⎝ ⎠

Derved kan vi nu konkludere, at A er lig med aktiviteten til tiden t=0.

0

                                                                  4
Fra ovenstående formel ser vi også at aktiviteten afhænger eksponentielt af tiden .

4

Kilde: Elvekjær, Finn: Fysikbogen, Gads forlag, 1.udg. 2002

Side 14

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 14 af 16

Radioaktiv henfaldskæde og simulering

Når en atomkerne henfalder og udsender stråling sker det på et tilfældigt tidspunkt, som er umuligt at forudsige. Men inden for et bestemt tidsinterval er det faktisk muligt at finde frem til en sandsynlighed for at henfaldet finder sted.

Det sker ofte, at de kerner, som er dannet ved et radioaktivt henfald, selv er radioaktive. Disse datterkerner henfalder altså igen til et tredje stof, som måske igen er radioaktivt. Vi får det man kalder en henfaldskæde. Den stråling, der måles fra et radioaktivt præparat, stammer hermed både fra moderkernen og fra alle datterkernerne.

Vi kan kigge på et eksempel, hvor der dannes en datterkerne, der selv henfalder, men til et stabilt stof. Antallet af kerner for moderkernen er N

1 2 3

, for datterkernen N og for den stabile kerne N

.

Moderkernens henfaldskonstant kalder vi k, og datterkernens k.

1 2

Situationen kan beskrives vha. følgende diagram [5]:

Som før har vi:

; NkANkA ⋅=⋅=
           222111

I løbet af dt (betegner den tid der er gået)

5

Kilde: http://www.langkaer.dk/data_proj_2002/y_2002/FY/noter/henfald.doc

N N N

1 2 3

A A

1 2 k k

1 2

Moderkerne Datterkerne

Stabil kerne

Side 15

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 15 af 16

For moderkernen:

Antal kerner til rest = Antal kerner i start – Antal henfaldne kerner
⋅−= dtANN

førefter 1,1,1

For datterkernen:

Antal kerner til rest = Antal kerner i start + Bidraget fra moderkernen + Antal henfaldne kerner
⋅−⋅+= dtAdtANN

førefter 21,2,2

For den stabile kerne:

Antal kerner til rest = Antal kerner i start + Bidraget fra datterkernen
⋅+= dtANN

førefter 2,3,3

Ved hjælp af computerprogrammet FPro kan vi udføre en simulering af en henfaldskæde.

Vi har følgende startværdier og konstanter:

N = 1e4

1

k = 0,227261 min^{-1}

1

k = 0,025864 min^{-1}

2

dt = 0,05 min^{-1}

Side 16

Studieretningsopgave i Fysik og Matematik 5. december

[navn fjernet] og [navn fjernet] 2008

Side 16 af 16

Dermed ses grafen:

På grafen ses det tydeligt at kernetallet for de tre isotoper varierer, men der gælder at

N +N +N = 1e4

1 2 3

Konklusion

Formålet med denne opgave var, at finde ud af sammenhænge hvorpå matematik og fysik arbejder sammen.

Da vi har vist, at henfaldsloven er en eksponentiel udvikling og ved at bestemme forskellige udledninger ved hjælp af differentialregning ser vi, at sammenhængen mellem de to fag optræder meget i den daglige brug i både fysik og matematik.

I afsnittet hvor der redegøres for de udledninger som knytter konstanterne a, k og T sammen,

½ udgør et meget fint eksempel på sammenhænge mellem fysik, matematik og computerprogrammer i det daglige arbejde. Så er uden at vide af det, benyttes sammenhængene helt ubevist.