SRO om Rumraketter i Matematik A og Fysik A

Side 1

Indholdsfortegnelse:

Teori ……………………………………………………………………………….s. 3

- Raketligningen………………………………………………………………...s. 3

- Separationsmetoden………………………………………………………...…s. 7

- Rumskibs baner i et gravitationsfelt………………………………..………....s. 10

Forsøg……………………………………………………………………………..s. 13

- Raketbanen…………………………………………………………………....s. 13

- Brændstof…………………………………………………………………..…s. 15

- Rakettens acceleration……………………………………………….………..s. 16

Opgaver………………………………………………………………...……….….s. 17

Konklusion……………………………………………………………………....…s. 20

Litteraturliste……………………………………………………………………….s. 23

Side 2

SRO

19.12.’08 PP/PK

2 af 23

Teori:

Vi har alle prøvet at puste en ballon op, hvorefter vi har givet slip på mundingen og set den flyve rundt i rummet. Det der sker er at, luften i ballonen skaber et tryk der får luften til at sive ud og dermed får ballonen til at flyve i den modsatte retning. En raket fungerer på samme måde. Et tryk i raketten presser brændstoffet ud gennem raketdyssen. Der sker altså en aktion for hvilke der er en lige så stor og modsat rettet reaktion, som Newtons 3. lov lyder. Denne modsat rettede reaktion er altså hvad der driver raketten.

Raketligningen:

Ud fra raketligningen kan man bestemme rakettens hastighed efter en bestemt masse brændstof er brugt, når den befinder sig et sted hvor den ikke er påvirket af andre ydre kræfter. Man kan altså for eksempel bruge den, hvis man vil finde ud af hvor meget brændstof der skal bruges for at nå fra et punkt til et andet til en bestemt tid. For at bestemme raketligningen må man først kigge på begreberne: impuls og impulsbevarelse. Impuls, også kaldet bevægelsesmængde, er et produkt af hastighed og masse af et objekt. Definitionen af et legemes impulsvektor er: . Newtons

2. lov formuleres som følgende: ’’en resulterende kraft er lig ændringen i et legemes impuls’’. Det kan skrives matematisk således: . Hvor er den totale ydre kraft i et system og er systemets samlede impuls. Den resulterende kraft for et objekt er altså lig objektet impulstilvækst pr. tid. Betragter vi en raket der befinder sig langt fra andre masser, så den ydre kraft kan antages at være lig 0, er impulsen konstant. Der er altså tale om impulsbevarelse. Ændringen i objektets hastighed til tiden er altså lige så stor som objektets masseændring, bare modsat gående. I en raket er masseændringen jo negativ hvor hastigheden er positiv. De opvejer hinanden, og derfor er der bevarelse af impulsen. Vi kan nu gå i gang med at udlede selve

Side 3

SRO

19.12.’08 PP/PK

3 af 23 raketligningen:

Vi har en raket med massen når den har brugt en mængde brændstof og massen når fyldt. Når raketten affyres, sendes brændstoffet ud med hastigheden i forhold til raketten. Det antages at denne hastighed er konstant. Når rakettens brændstof sendes af sted med hastigheden , må raketten accelerere i den modsatte retning pga. impulsbevarelse, med samme kraft. Da den ydre kraft kan antages at være lig 0 får vi:

Vi betragter to tidspunkter tæt på hinanden, t og t + dt. Rakettens skalære hastighed er

V og massen er m. I løbet af dt ændres massen med dm og – dm er massen af det brugte brændstof. Vi kan så opstille en retliniet bevægelse:

Jeg ganger parentesen ud:

Jeg forkorter:

Da vi arbejder med et meget lille tidsrum, hvor raketten ikke når at accelerere betydeligt eller at sende noget brændstof ud, er:

Vi får så, da massen og hastigheden er afhængig af tiden:

Det første led er impulsændringen til tiden og det sidste led er masseændringen til tiden.

Side 4

SRO

19.12.’08 PP/PK

4 af 23

Jeg flytter det sidste led til den anden siden af lighedstegnet:

Jeg omskriver nu til en differentialligning:

Jeg kan så bruge separationsmetoden (som er bevist i næste afsnit) til at løse:

Seperationsmetoden lyder således:

Jeg indsætter så g(m) og h(v) i løsningen:

Da ligningen er gældende i intervallet til og hastighedens interval er 0 til

, kan vi bestemme det bestemte integral:

Jeg kan så isolere :

Side 5

SRO

19.12.’08 PP/PK

5 af 23

Da hastigheden V er modsatrettet rakettens hastighed, vil en af disse værdier være g negative. Når vi laver disse to hastigheder til numerisk værdier, sker følgende:

Hvilket giver:

Jeg har så fundet raketligningen, der er gældende i et system hvor ingen ydre kræfter spiller ind. Skal vi kigge på en raket i forbindelse med jorden, må vi altså arbejde videre på beviset. Før arbejdede vi med impulssætningen sat lig 0, da ingen ydre kræfter spillede ind, og impulsen derfor er bevaret. Nu bliver raketten påvirket af tyngdekraften, som formindsker rakettens acceleration, og luftmodstanden, som giver et tab i rakettens hastighed. Vi har fundet frem til raketligningen:

Da raketten sendes lodret op, altså modsat tyngdeaccelerationen, i tiden t bliver rakettens sluthastighed, hvis vi ser bort fra luftmodstanden:

Vi kan bruge denne ligning til at, finde rakettens hastighed efter at raketmotorerne har kørt i tiden t, hvor raketten stadig befinder sig så tyngdeaccelerationen med god tilnærmelse stadig er konstant.

Tager man luftmodstanden med i beregningerne, må formlen skrives således:

Side 6

SRO

19.12.’08 PP/PK

6 af 23

Hvor V er det tab af rakettens hastighed som luftmodstanden giver. Men da

L beregninger med luftmodstanden vil give nogle meget komplicerede formler, ser vi kun på opsendelser hvor der ses bort fra luftmodstanden.

Vi har nu kigget på en raketligning der gælder, når en raket befinder sig i rummer, uden af blive påvirket af nogle ydre kræfter. Vi har ligeledes kigget på en raketligning, der kan bruges til at finde en rakets sluthastighed, når den har været affyret fra jordoverfladen.

Seperationsmetoden:

Lader man h være kontinuer i et x-interval og g være kontinuer i et y-interval samt forskellig fra 0, da g i løsningsmetoden skal være nævner i en brøk. Da er:

Når man bruger seperationsmetoden, samler man altså alle led med den ene variable på den ene side af lighedstegnet og alle led med den anden variable på den anden sige.

H og g skal være kontinuerte da kontinuerte funktioner vides at have en stamfunktion.

Desuden er kontinuer når er kontinuer.

Vi ved at: er stamfunktion til , hvilket vil sige at: er tilsvarende stamfunktion til , det vil sige at:

Side 7

SRO

19.12.’08 PP/PK

7 af 23

Jeg vil nu bevise sætningen for seperationsmetoden:

Vi har ligningen:

Jeg flytter over på venstre side af lighedstegnet:

Da vi ved at:

Kan vi substituere ind i ligningen som så hedder:

Da vi også ved at:

Kan vi omskrive ligningen til:

Hele venstre side kan vi skrive som en sammensat funktion hvor det gælder at: : ydre argument uændret gange med det indre argument differentieret. Jeg går her modsat af dette. Jeg minusser samtidig alle led med .

Jeg sætter ind i parentesen, ved brug af reglen: :

Side 8

SRO

19.12.’08 PP/PK

8 af 23

Jeg skriver ligningen som stamfunktion i stedet for differentieret:

Højre side bliver lig k, da vi har fundet det ubestemte integral. Jeg flytter så over til venstre side:

Da hedder ligningen så:

Da er lig og er lig hedder funktionen:

Vi kan bare fjerne k, da det kommer tilbage ved integration. Jeg har nu bevist seperationsmetoden, som jeg brugte til at udlede raketligningen.

Jeg vil vise et eksempel på brug af seperationsmetoden:

Vi har ligningen med to variable:

X er alle reelle tal og y = R.

I disse intervaller anvender jeg seperationsmetoden:

Integreret bliver det så:

Side 9

SRO

19.12.’08 PP/PK

9 af 23

Jeg finder løsningen gennem punktet , som ligger i intervallet for x og y. Jeg indsætter punktet for at bestemme k:

Ligningen hedder nu:

Jeg ganger igennem med 2, for at fjerne brøkerne:

Så isolerer jeg y:

Det er den positive løsning der er vores løsning, da vi har valgt punktet: .

Løsningen på ligningen der går gennem er altså:

Rumskibs baner i et gravitationsfelt:

En raket der befinder sig i rummet, påvirket af en stor masses gravitation, vil bevæge sig i forskellige baner alt efter massens størrelse og afstand dertil. De fire klassiske keglesnit som en raket (og alt andet i rummet) vil bevæge sig efter i et gravitationsfelt er den jævne cirkelbane, den ovale cirkel, altså ellipsen, parablen og hyperblen. De to masser kan selvfølgelig også falde direkte mod hinanden og kollidere.

Isaac Newton forklarede hvordan to masser i universet påvirker hinanden:

’’Ethvert objekt i universet tiltrækker ethvert andet objekt med en kraft med retning

Side 10

SRO

19.12.’08 PP/PK

10 af 23 langs linjen gennem objekternes centre og som er proportional til produktet af deres masser og omvendt proportional til kvadratet af afstanden mellem objekterne.’’ Det kan skrives matematisk således:

Hvor G er gravitationskonstanten: og er massen af de to objekter der påvirker hinanden, samt er afstanden fra de to objekters centrum.

Denne formel for kraften to masser påvirker hinanden med, kan omskrives til en formel der giver hastigheden en masse skal have for at, bevæge sig om en anden masse i en jævn cirkel:

Store M er massen af den, den anden masse roterer om. Altså eksempelvis massen af jorden, som en raket i en jævn cirkel roterer om.

r er afstanden fra de to massers centrum.

Er rakettens hastighed i gravitationsfeltet om jorden mindre end , vil raketten falde til jorden da den vil rotere i en indad gående spiral. Er rakettens hastighed derimod større end , men mindre end undvigelseshastigheden, vil raketten roterer om jorden i en ellipse. For at et objekt når undvigelseshastigheden, må den øge hastigheden med

41,4% fra . Det vil altså sige at undvigelseshastigheden kan udregnes således:

Når et objekt når undvigelseshastigheden, vil objektet have den fart der skal til for at, kunne undvige fra et tyngdefelt af en anden masse uden at falde tilbage mod massen eller blive i kredsløb om denne masse. De baner objektet vil følge, vil altså være

Side 11

SRO

19.12.’08 PP/PK

11 af 23 parablen eller hyperblen.

Lad os tage et nærliggende eksempel:

Månen ved vi roterer om jorden, det vil sige at månens hastighed må ligge i intervallet:

Den korteste afstand fra jorden til månen er: . Og vi ved at jordens masse er:

Månen skal så have en hastighed, for at have et cirkelformet kredsløb om jorden, på:

Hvis månen havde en hastighed på under , ville den altså kollidere med jorden.

For at månen skal holde sig i kredsløb med jorden, må den ikke have en hastighed over:

Havde månen en hastighed over , ville den flyve bort fra jorden og ikke vende tilbage.

Det vil altså sige at, for at månen bliver i jordens gravitationsfelt må:

Side 12

SRO

19.12.’08 PP/PK

12 af 23

Månens gennemsnitlige hastighed omkring jorden er: . Det vil sige at månen har et ellipseformet kredsløb omkring jorden, hvilket også vil sige at dens hastighed variere alt efter hvor i ellipsebanen den befinder sig. På samme måde kan man udregne kredsløbsbanen for en rumraket i rummet i forskellige gravitationsfelter. Man kan på den måde udregne hvor meget fart en raket skal have, for at undslippe eksempelvis jordens tyngdefelt og flyve videre ud i rummet.

Forsøg:

Raketbanen:

Formålet med dette forsøg er at optage og derefter analysere en raketbane i fasen hvor materiale udslynges og den efterfølgende bane, ved hjælp af Tracker. Vi vil kigge på rakettens acceleration, som senere sammenlignes med vores andet forsøg.

Til at lave forsøget brugte vi:

- En vandraket

- En spand vand

- En sprøjte med ml. mål

- En tragt

- Et videokamera

- En kompressor

Vi monterede vandraketten på en skammel, efter 100 ml. vand var blevet hældt i den.

Derefter brugte vi kompressoren til at skabe et tryk i raketten. Når det rigtige tryk var nået, startede vi kameraet, som var placerede i en passende afstand fra raketten for at kunne få hele raketbanen med på filmen. Vi affyrede så raketten fra en passende afstand, af sikkerhedsmæssige årsager.

Alle data vi skal bruge til analysen af raketbanen, har vi så på den optaget film. Vi kan se at, raketten udslynger brændstof i 0.36 sekunder.

Ved lineær regression af måleresultaterne fra rakettens udslyngningsfase fås:

Side 13

SRO

19.12.’08 PP/PK

13 af 23

Ved kvadratisk regression af måleresultaterne fra rakettens bane efter udslyngning af brændstof fås:

Måleresultaterne fundet ved hjælp af Tracker kan ses på bilag 1.

Da vi nu har to ligninger der til sammen beskriver rakettens bane, kan vi indsætte dem i en graf og se raketbanen:

På x-aksen har vi hvor langt raketten er fløjet hen ad i meter og på y-aksen har vi rakettens højde, også i meter. Den røde del af grafen (lineær) viser rakettens bane når den udslynger brændstof. Efter brændstoffet er brugt op, følger raketten ligningen for det skrå kast som er en parabel. De plots der er plottet ind i grafen, er rakettens præcise bane fundet ud fra Tracker. Som man kan se passer ligningen for rakettens bane ikke helt i banens toppunkt. Dette kan skyldes vindmodstanden og upræcished

Side 14

SRO

19.12.’08 PP/PK

14 af 23 ved brug af Tracker.

Vi kan nu kigge på rakettens acceleration, som er mest interessant i fasen hvor raketten flyver på brændstof. For at udregne rakettens acceleration, bruger vi formlen:

Rakettens acceleration er størst lige når raketten er blevet affyret, hvor trykket er størst og brændstoffet derfor presses hurtigst ud. Efterhånden som trykket og vandet i raketten falder, bliver accelerationen også mindre. Rakettens største acceleration er:

Dette svarer til en kraft på:

Da vores raket vejer 49g + 100g.

Dette sammenligner jeg med forsøg 2 senere.

Resterende udregninger af accelerationen til tiden i rakettens udslyngningsfase ses på bilag 2.

Brændstof:

Til at drive hjemmelavet raketter, kan man bruge flere forskellige former for brændstof. Til vores forsøg brugte vi vand, og luft til at skabe et overtryk i raketten som pressede vandet ud med en modsat rettet kraft af raketten. Vi prøvede også at få en anden raket til at flyve ved hjælp af bagepulver og eddikesyre, som går i reaktion med hinanden og frigør en gas som skaber overtryk i raketten. (Vi kunne dog ikke få denne raket til at affyre sig selv.) Princippet er det samme som med vandraketten.

Man kan desuden udelukkende bruge luft til at sende raketten af sted, men det har vi ikke lavet forsøg med.

Side 15

SRO

19.12.’08 PP/PK

15 af 23

Ulemperne ved at arbejde med bagepulver-eddikesyreraketten, er at man skal have handsker samt beskyttelsesbriller på. Ud fra vores forsøg kan vi desuden konkludere at, det ikke fungerede. Reaktionen producerede ikke gas nok til et stort nok tryk for at kunne affyre raketten. Kigger vi på vandraketten derimod, fungerede den godt. Vi kunne selv variere trykket, og dermed bestemme med hvilken kraft raketten skulle sendes af sted med. En ulempe ved vandraketten er at, hver gang den skal affyres skal man afmåle vand som skal i raketten. Med hensyn til klargørelse til raketafsendelsen er vandraketten den letteste at have med at gøre, af dem vi har arbejdet med. Kigger man på brændstoffets effektivitet for raketten, må vandraketten være bedst. Vi kan selv bestemme hvor meget vand og hvor stort tryk vi vil sende raketten af sted med.

Vores bagepulver-eddikesyreraket vil altid blive sendt af sted med det samme tryk, da den affyres når trykket kan få den fri af dens platform. Jeg vil derfor mene at vandraketten er den bedste at lave forsøg med, da den er nemmere at gøre klar og man kan variere på lufttrykket og derved hvor langt den flyver.

Rakettens acceleration

Formålet med dette forsøg er at, bestemme en rakets acceleration ved hjælp af newtonmetre.

Til at lave forsøget brugte vi:

- En vandraket

- En spand vand

- En sprøjte med ml. mål

- En tragt

- Tre newtonmetre

- Noget snor

- En kompressor

- Et videokamera

Først fastgjorde vi kun et newtonmeter, men da vi senere kunne se det ikke var nok, brugte vi tre. Vi fastgjorde de tre newtonmetre, på 10 N, 5 N og 5 N, lige under raketten med en snor. Så gjorde vi raketten klar til affyring, ved at fylde vand og luft i.

Side 16

SRO

19.12.’08 PP/PK

16 af 23

Vi placerede et kamera tæt på, så vi efterfølgende kunne aflæse kraften raketten blev affyret med.

På filmen havde vi svært ved at se hvor stor kraften var, da det ikke var et high speed kamera. På vores første optagelse, hvor kun et newtonmeter på 10 N var fastgjort, kunne vi dog se at kraften var større end 10 N. På vores næste optagelser, hvor 20 N var fastgjort raketten, var det meget svært at aflæse på newtonmetrene. På den ene video kan vi se at, newtonmetrene i hvert fald kommer op over 15 N. Hvor meget over er ikke til at sige, da newtonmetrene er i bund på kameraets næste billede. Det går simpelthen så hurtigt at, kameraet ikke kan nå at få det med på film. Vi prøvede derefter om vi kunne aflæse kraften, med det blotte øje. Det kunne vi heller ikke. Så det vi fik ud af dette forsøg var at, raketten i hvert fald har en kraft på 15 N. Det svarer til en acceleration på:

Går vi ud fra at newtonmetrene kommer helt op på deres maksimale, havde raketten en acceleration på:

Sammenligner vi disse to accelerationer, med den fundne acceleration fra vores andet forsøg, som var på:

Må vi konkludere at, raketkraften må være større end de 20 N. Vi kan ikke bruge dette forsøg til så meget, da vi ikke havde redskaber til at lave nogle gode målinger.

Opgaver:

I begge opgaver ses der bort fra luftmodstanden og på tyndeaccelerationens variation

Side 17

SRO

19.12.’08 PP/PK

17 af 23 med højden.

1)

En raket på 76000 kg affyres lodret fra hvile. Gassen udslynges med en hastighed på

2200 m/s med en masse udsendelse grad på 450 kg/s i 60 sekunder. Jeg vil bestemme

størrelsen på den opad rettede acceleration for raketten til tiden: 0 sekunder, 30 sekunder og 60 sekunder.

Til at finde rakettens acceleration, bruger jeg raketligningen der gælder fra jordens overflade:

Ud fra opgaveformuleringen ved vi at:

Vi kender desuden tyngdeaccelerationen:

Indsætter vi i raketligningen får vi:

Til tiden lig 0, er raketten ikke affyret endnu. Accelerationen er derfor lig 0.

For at finde accelerationen for raketten efter 30 sekunder, indsætter vi tiden i raketligningen:

Side 18

SRO

19.12.’08 PP/PK

18 af 23

Jeg kan så finde accelerationen, da jeg ved at:

Rakettens acceleration ved 30 sekunder er altså:

På samme måde finder vi accelerationen efter 60 sekunder:

Raketten har altså en stigende acceleration, hvilket skyldes rakettens samlede masse bliver mindre med tiden og derfor kræver mindre kraft for at holde en konstant acceleration. Da kraften fra brændstoffet er konstant, vokser rakettens acceleration.

2)

I det første sekund af en raketflyvning, udsendes 1/80 del af dens masse med en
hastighed på 5900m/s. Jeg vil bestemme accelerationen af raketten.

For at finde rakettens acceleration, finder jeg først rakettens hastighed efter 1 sekund, ved hjælp af raketligningen. I opgaveformuleringen står der ikke om raketten befinder sig i rummet uden nogle ydre kræfter til at påvirke den. Eller om raketten bliver affyret fra jordens overflade, hvor den påvirkes af tyngdeaccelerationen og luftmodstanden. Jeg finder derfor rakettens acceleration i begge tilfælde. Vi ved at:

Side 19

SRO

19.12.’08 PP/PK

19 af 23

Først finder jeg rakettens acceleration i rummet, ved at bestemme dens hastighed:

Jeg sætter så hastigheden over tiden:

Raketten har altså en acceleration på 25854 m/s^{2}, hvis den befinder sig i rummet og
den udsender 1/80 af dens masse på det første sekund med en hastighed på 5900m/s.

Jeg vil så finde rakettens acceleration, hvis den affyres fra jorden. Jeg indsætter de kendte værdier i raketformlen hvor tyngdeaccelerationen er med:

Da jeg nu har rakettens hastighed efter det første sekund, finder jeg accelerationen på samme måde som før:

Som man kan se, er rakettens acceleration mindre når den afsendes fra jordens overflade, hvilket skyldes tyngdeaccelerationens kraft.

Konklusion:

Ud fra Newtons 2. lov kan vi udlede raketligningen:

Side 20

SRO

19.12.’08 PP/PK

20 af 23

Den kan vi bruge til at finde en rakets hastighed, efter den har brugt en kendt brændstofmængde med en kendt udslyngningshastighed. Man kan så finde rakettens acceleration, når man kender hastigheden til tiden.

Skal man finde en rakets hastighed efter den har været affyret fra jorden, må tyngdekraften samt luftmodstanden også tages med i betragtning. Ligningen hedder så:

Jeg har dog ikke beskæftiget mig med luftmodstanden i denne opgave, men set bort fra den.

Da vi så har en ligning til at finde rakettens hastighed efter en brugt mængde brændstof, kan man se på hvilken fart en rumraket skal have for at blive sendt i kredsløb om jorden. Har raketten en hastighed der er mindre end:

Vil raketten falde mod jorden igen. Har den en hastighed der er lig v, vil raketten c blive sendt i et cirkelformet kredsløb om jorden. Har raketten derimod en hastighed over v men mindre end undvigelseshastigheden: c

Vil raketten have et ellipseformet kredsløb om jorden. Og har den en hastighed over undvigelseshastigheden, vil raketten sendes ud i rummet uden at blive trukket tilbage af jordens masse.

Man bruger raketligningen til at, udregne hvor meget brændstof raketten skal have i første trin til at, blive sendt i kredsløb om jorden. Rakettens andet trin kan så sende raketten væk fra jorden.

Side 21

SRO

19.12.’08 PP/PK

21 af 23

Vores egen vandraket bevægede sig i en lineær bane ved vandudslyngningen, hvorefter den faldt til jorden i en parabelbane. Det må man også forvente, da den modvirker tyngdeaccelerationen så længe vandet presses ud med en kraft større end tyngdekraften.

Side 22

SRO

19.12.’08 PP/PK

22 af 23

Litteraturliste:

Hvordan en raket fungerer:

http://www.rummet.dk/rumfart/rumraketter/raketvidenskab

Udledningen af raketligningerne:

Raketter, fysik- og kemilærerforeningens skrifter redigeret af Ole Bostrup, Gyldendal

Rumfartens fysik, 1. Oplag 1980, Helle og Henrik Stub, P. Haase & Søns Forlag a/s

Bevis af seperationsmetoden:

Mat 3H, 1999, Jens Carsten og Jesper Frandsen, Systime a/s

Baner i gravitationsfelter:

Det Levende Univers, 2001 1. udgave, TRIP