Rapport om Den specielle relativitetsteori og Inertialsystemer

Side 1

Fysikrapport

Relativitetsteori

HTX 3. år

HTX 3. år

Side 2

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 2 af 19

Indholdsfortegnelse

Et medføringssystem ..................................................................................................................................... 3 Relativ bevægelse imellem inertialsystemer ................................................................................................. 4 Relativ bevægelse i et accelereret koordinatsystem ..................................................................................... 5 Galilei transformation ................................................................................................................................... 6 Den specielle relativitetsteori ............................................................................................................................ 7 Tidens relativitet ............................................................................................................................................ 7 Længdeforkortelse ........................................................................................................................................ 9 Tid og sted for hændelse ............................................................................................................................. 10 Lorentztransformationen for sted ............................................................................................................... 11 Lorentztransformation for tid ..................................................................................................................... 12 Hastighedstransformation ........................................................................................................................... 13 Relativistisk dynamik ....................................................................................................................................... 14 Impulsbevarelse........................................................................................................................................... 14 Einstens ækvivalens mellem masse og energi ............................................................................................. 16 Energi-impuls relationen ............................................................................................................................. 16 Impuls af lys ................................................................................................................................................. 16 Kinetisk energi ............................................................................................................................................. 17

Side 3

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 3 af 19

Et medføringssystem

Relativitetsteorien blev formuleret af Albert Einstein. I 1905 fremsatte han den specielle relativitetsteori, mens den generelle først kom 10 år senere. Han modificerer den klassiske fysik som blev formuleret af Isaac Newton. Med Newtons love er vi tvunget til at beskrive bevægelse i et inertialsystem, da disse kun gælder i sådan et. Det vil være muligt at kunne foretage en omregning til et koordinatsystem, som er et inertialsystem, hvis man han et koordinatsystem der ikke er et inertialsystem. I denne rapport, vil der blive arbejdet med den specielle relativitetsteori. Denne kaldes ’speciel’ fordi den kun gælder i ganske bestemte situationer – nemlig hvor partikler enten er i hvile, eller bevæger sig med konstant hastighed i forhold til hinanden.

På ovenstående figur, er der tegnet en bus, der bevæger sig med en hastighed. Dette sker i et inertialsystem, der er fast i jorden. Dog er der også et medføringssystem, der er fast i bussen, som beskriver bevægelser inden for bussen, set fra passagerernes synsvinkel. Det antages, at bussen kører på retlinet vej, så der hele tiden vil være parallelle akser. Inde i bussen er en partikel. Fra origo af inertialsystemet til origo

af medføringssystemet lægges en stedvektor ud 𝑟⃗ , og partiklen tillægges stedvektor 𝑟⃗ . I forhold til
                                          𝑚𝑒𝑑                              𝑟𝑒𝑙

jorden er stedvektor 𝑟⃗ da givet ved:

( 1) 𝑟⃗= 𝑟⃗_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑟⃗_{𝑟𝑒𝑙}

Ved at differentiere stedvektoren, fås hastighedsvektoren:

𝑣= = +

𝑑 𝑟⃗ 𝑑 𝑟⃗_{𝑚𝑒𝑑} 𝑑 𝑟⃗_{𝑟𝑒𝑙}

𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

( 2) 𝑣⃗= 𝑣⃗_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑣⃗_{𝑟𝑒𝑙}

Ved at differentiere endnu engang findes accelerationsvektoren:

𝑎⃗= = +

𝑑 𝑣⃗ 𝑑 𝑣⃗_{𝑚𝑒𝑑} 𝑑 𝑣⃗_{𝑟𝑒𝑙}

𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑟⃗

𝑟⃗_{𝑟𝑒𝑙}

𝑟⃗_{𝑚𝑒𝑑}

Side 4

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 4 af 19

( 3) 𝑎⃗= 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑎⃗_{𝑟𝑒𝑙}

I det følgende vil der blive betragtet to specialtilfælde af relativ bevægelse; ’relativ bevægelse mellem inertialsystemer’ og ’relativ bevægelse i et accelereret koordinatsystem’. Ovenstående ligninger vil hjælpe os med at beskrive bevægelse i forhold til disse koordinatsystemer.

Relativ bevægelse imellem inertialsystemer

I dette tilfælde antages det, at medføringssystemet bevæger sig med konstant hastighed. Det vil sige: 𝑣⃗
                                                                                    𝑚𝑒𝑑

er en konstant. Dette betyder, at accelerationen vil være lig nul. Derfor gælder Newtons 2. Lov naturligvis også ensartet i begge koordinatsystemer.

Kaster partikel med konstant hastighed i x-retningen, så det bliver til et skrå kast. Dette skyldes, at hvis man kigger på medføringssystemet, så falder loddet lodret nedad, da det bliver påvirket af tyngdekraften.

𝑣=𝑣_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑣_{𝑟𝑒𝑙}

Set fra det faste koordinatsystem vil bussen bevæge sig fremad med en hastighed. Det vil sige, at 𝑣_{𝑚𝑒𝑑} og
𝑣_{𝑟𝑒𝑙} skal adderes, så vi får en hastighed 𝑣.

𝑑 𝑣⃗_{𝑚𝑒𝑑} ( 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) = 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑} = 0

𝑑 𝑣⃗_{𝑚𝑒𝑑}

𝑑𝑡

⎯ ⃗

Da 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑} er lig med nul, vil den samlede acceleration være tyngdeaccelerationen.

( 3) ↔ 𝑎⃗=𝑎 = 𝑔⃗

𝑟𝑒𝑙

𝑣⃗_{𝑚𝑒𝑑}

𝑣⃗_{𝑚𝑒𝑑}

𝑣⃗_{𝑟𝑒𝑙} 𝑣⃗

Side 5

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 5 af 19

Relativ bevægelse i et accelereret koordinatsystem

𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑} ≠ 0 ( 𝑑𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝å 𝑏𝑢𝑠𝑠𝑒𝑛)

⎯ ⃗

Nu kigges der på en situation, hvor medførinssystemet har en acceleration 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑} i forhold til det faste

koordinatsystem. Dette betyder, at accelerationerne i de to koordinatsystemer ikke vil være identiske. Man kan nemt undersøge om et medføringssystem er et inertialsystem eller ej. Dette gøres ved at lægge en kugle på bussen gulv, imens bussen er i bevægelse. Hvis kuglen ikke bevæger sig, vil medføringssystemet være et inertialsystem. Hvis kuglen bevæger sig, vil den ikke være i hvile, da der enten er acceleration eller opbremsning. Ovenstående figur, er ikke et inertialsystem men et accelereret system. Ligesom i forrige eksempel placeres en partikel inde i bussen.

Partiklen er påvirket nedad ad tyngdeaccelerationen. Da bussen accelerere vil partiklen bevæge sig mod

venstre. Dette gør at −𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑} opstår. Dog er dette en fiktiv kraft, som ikke eksisterer.

( 3) → ( 4) 𝑎⃗_{𝑟𝑒𝑙} = 𝑎⃗− 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑}

Massen af partiklen multipliceres på. Dette gør, at vi får nedenstående ligning. 𝐹 indsættes i stedet for
                                                                   𝑟𝑒𝑠

massen og accelerationen jævnfør Newtons 2. Lov.

𝑚 𝑎⃗_{𝑟𝑒𝑙} =𝑚 𝑎⃗+ (−𝑚 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑})

𝑚 𝑎⃗_{𝑟𝑒𝑙} =𝐹_{𝑟𝑒𝑠} + ( −𝑚 𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑})

𝑎⃗=𝑔⃗

𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑}

−𝑎⃗_{𝑚𝑒𝑑}

𝑎⃗_{𝑟𝑒𝑙}

Side 6

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 6 af 19

Galilei transformation

I det forrige har vi kigget på relativ bevægelse i to koordinatsystemer. Det ene havde et medføringssystem der var accelereret, imens det andet havde konstant hastighed. Dette vil vi nu prøve at formalisere, ved at indføre begrebet hændelse:

En hændelse kan i et koordinatsystem, S karakteriseres ved et sted med koordinatsættet (x;y;z) og det tilhørende tidspunkt, t.

En hændelse kan for eksempel være en lampe, der tænder. I et koordinatsystem kan dette karaktiseres ved fire stedkoordinater for lampen; x, y, z og t. Hvor t er tiden. Hvis man forestiller sig, at en bil med konstant hastighed kører forbi lampen, hvor er medføringssystem S’ sidder på bilen, vil lampens stedkoordinater i forhold til bilens koordinatsystem være x’, y’, z’ og t’.

Til 𝑡=𝑡^{′} =0 skal de to koordinatsystemer falde sammen. S og S’ skal begge være inertialsystemer, og

bevæge sig i forhold til hinanden med sammenfaldende x-akser. Dette gør at hastigheden af S’ i forhold til S bliver konstant på grund af inertiens lov.

𝑟⃗=𝑟⃗_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑟⃗_{𝑟𝑒𝑙}

𝑥=𝑥_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑥_{𝑟𝑒𝑙} =𝑥_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑥^{′}

𝑦=𝑦_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑦_{𝑟𝑒𝑙} =𝑦_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑦^{′}

𝑧=𝑧_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑧_{𝑟𝑒𝑙} =𝑧_{𝑚𝑒𝑑} + 𝑧^{′}

Y- og z-akserne vil være sammenfaldende i de to koordinatsystemer. Da bliver 𝑦_{𝑚𝑒𝑑} =𝑧_{𝑚𝑒𝑑} =0. Da
𝑡=𝑡^{′} =0, vil origo være sammenfaldende med 𝑡=0, som gør at:

𝑥_{𝑚𝑒𝑑} =𝑣𝑡

𝑟⃗

𝑟⃗_{𝑟𝑒𝑙}

𝑟⃗_{𝑚𝑒𝑑}
𝑥_{𝑚𝑒𝑑}^{′}

𝑥′

Side 7

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 7 af 19

Dette kan indsættes i de tre ovenstående ligninger, hvor man så finder at:

𝑥=𝑣𝑡+ 𝑥^{′}

𝑦=𝑦^{′}

𝑧=𝑧^{′}

𝑡=𝑡′

Den specielle relativitetsteori

I det forrige om Galileitransformationen indgik tidsbegrebet som en naturlighed. Det forventedes at hvis vi anbragte to forskellige ure, der var synkroniserede i hvert sit inertialsystem, ville de efter en hændelse vise det samme. Dette har dog vist sig, at det ikke er tilfældet. Dette skyldes, at der er en forbindelse mellem lysets natur og tid. Det var Albert Einstein, der så denne sammenhæng. Derfor vil vi i det følgende se hvordan lysets natur påvirker vores opfattelse af tid.

Albert Einstein sluttede nogle konklusioner, der gjorde, at han kunne fremsætte den specielle relativitetsteori:

- Der eksisterer ingen æter, og lysets hastighed i vakuum er den samme i hvilket som helst inertialsystem.

Dette skal vi studere i følgende afsnit.

Tidens relativitet

Da lysets hastighed er konstant i alle inertialsystemer, viser det sig at tiden ikke er så simpel og veldefineret, som den er i vores hverdag. Dette kan vises ved en betragte en bil, der kører med hastigheden v forbi et spejl, der er placeret afstanden L, væk fra bilen. Spejlet er placeret parallelt med bilens kørselsretning. Idet bilen passerer spejlet, udsender den et lysglimt. Dette lysglimt vil ramme spejlet og komme tilbage til bilen. I forhold til bilen vil der være en tilhørende tid t’, det tager lysglimtet om at reflektere, tilsvarende vil der være en tid t set fra jorden.

Situationen set fra S

S er det koordinatsystem, der sidder fast i bilen. Det vil sige at spejlet bevæger sig med hastigheden –𝑣 i forhold til bilen. Når lysglimtet udsendes, vil det tage et stykke tid for lyset at komme tilbage til bilen. Dette

er strækningen L 2 gange. Da 𝑠=𝑣∙ 𝑡, må strækningen være lig med lyshastigheden multipliceret med

tiden det tager.

Side 8

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 8 af 19

𝑡=𝑡𝑖𝑑

𝑡^{′} =𝑡𝑖𝑑 𝑖 𝑆^{′} − 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡𝑠𝑦𝑠𝑡𝑒𝑚𝑒𝑡

2𝐿=𝑐𝑡^{′} → ( 1) 𝐿=

𝑐𝑡^{′}

2

Nu vil vi kigge på situationen set fra Jorden S’. Det vil sige, at det nu er bilen, der bevæger sig i forhold til spejlet. Derfor er der et tidsrum, hvor lyset bruger på at komme frem og tilbage. I dette tidsrum vil bilen have flyttet sig stykket 𝑣∙ 𝑡. Dette gør, at vi får en situation som vist på figuren. Ved hjælp af geometri, kan vi se at:

𝑎^{2} =() + 𝐿^{2}

𝑣𝑡^{2}

2

2𝑎=𝑐𝑡→𝑎=

𝑐𝑡

2

Dette samt (1) indsættes

() =() + ()

𝑐𝑡^{2} 𝑣𝑡^{2} 𝑐𝑡^{′}^{2}

2 2 2 t isoleres.

𝑐^{2} 𝑡^{2} 𝑣^{2} 𝑡^{2} 𝑐^{2} 𝑡^{′}^{2} 𝑣^{2}
4 4 4 𝑐^{2}

= + →𝑡^{′}^{2} =𝑡^{2} − 𝑡^{2}

𝑡^{′} =𝑡 1 −

√

𝑣^{2}
𝑐^{2}

Dette viser os at hvis^{𝑣}_{𝑐} =0 så vil 𝑡^{′} =𝑡. Derfor er der ikke noget at sige til at tiden ses som en absolut

størrelse. Men hvis man kommer op på hastigheder der er meget høje, ændres forholdende markant. Ved

10 % af lysets hastighed, vil^{𝑣}_{𝑐} =0,1, vil vi være oppe på disse høje hastigheder.

Side 9

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 9 af 19

Længdeforkortelse

Forskellen i tidsopfattelse har en betydning for opfattelsen af længde. For at forstå dette vil vi betragte en lineal med længden L i S. S’ bevæger sig med konstant retlinet hastighed v i forhold til S. Set fra S’ vil længden af stokken derfor være L’.

Situationen set fra S

Vi forestiller os at S’ er et tidsrum om at bevæge sig fra den ene ende af målestokken til den anden. Dette betyder at:

𝐿=𝑣∙ 𝑡

Situationen set fra S’

Nu tager det tiden t’ at bevæge sig fra den ene ende af linealen til den anden. Det vil sige at:

𝐿^{′} =𝑣∙ 𝑡′

I det forrige har vi bestemt at t og t’ er forskellige. Heraf kan vi drage den konklusion at L og L’ også er forskellige. Sammenhængen er:

𝐿^{′} =𝑣∙ 𝑡^{′} = ∙ 𝑡′

𝐿 𝑡

Nu indsættes udtrykket for tiden t’ i S’, og vi får:

𝐿^{′} = ∙ 𝑡 1 −

𝐿 𝑣^{2}
𝑡 𝑐^{2}

√

Derfor må linealen længde set fra S’ være kortere end den længde, som linealen har set fra S. Det siges, at linealen er Lorentzforkortet.

Ud fra ovenstående har vi fundet ud af at tid og længde er relative størrelser. Dette har en stor betydning for tid og rum. Det vil vi prøve at kigge på i det følgende.

Side 10

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 10 af 19

Tid og sted for hændelse

I koordinatsystemet S finder en hændelse sted i punktet x til tiden t. Jævnt ud langs x-aksen har vi placeret nogle observatører, der hver har sin lygte med forskelligt lys, så man kan se, hvem der har tændt sin lommelygte.

Bestmmelse af sted

Hvis vi forestiller os, der står en person med en lygte i origo og lyser ud i et koordinatsystem hen imod en anden person med et spejl, der står stykket x væk, vil der gå et stykke tid t, før lyset bliver reflekteret.

Dette kan beskrives således:

𝑠=𝑣𝑡

Strækningen er 2x, fordi lyset både skal frem og tilbage. Hastigheden er det samme som lysets hastighed.

2𝑥=𝑐𝑡

𝑡 𝑟

Vi kan derved bestemme stedet personen står ved at isolere x.

𝑥=

𝑐𝑡 𝑡 𝑟

2

Bestemmelse af tid:

Når en hændelse finder sted, tænder observatøren sin lommelygte. Den tid Δ𝑡 det tager for lyset at ankommer til origo, kan beskrives via strækningen x.

Lyset bevæger sig med lysets hastighed til tiden t.

Derfor:

𝑥=𝑐∙ Δ𝑡 ↔ Δ𝑡=

𝑥 𝑐

I origo fandt hændelsen sted til tidspunktet:

𝑡_{𝑎𝑛𝑘} =𝑡+ Δ𝑡→ 𝑡=𝑡 − Δ𝑡 ↓

𝑎𝑛𝑘

Δ𝑡

𝑡_{𝑎𝑛𝑘}

Side 11

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 11 af 19

𝑡=𝑡_{𝑎𝑛𝑘} −

𝑥 𝑐

Lommelygterne kan skelnes. Derfor har vi både bestemt tid for hændelse og stedet for den.

Lorentztransformationen for sted

I dette koordinatsystem finder en hændelse sted til tidspunktet t. Hændelsen sker i punktet x i S

koordinatsystemet. I tidspunktet 𝑡=0 er de to y-akser i S og

S’ sammenfaldende. S’ bevæger sig med hastigheden v langs x-

aksen. I S’ synkroniseres tiden ved at sætte 𝑡^{′} =0 når de to

origo passerer hinanden.

Situationen set fra S

I tidsrummet t vil S’ have bevæget sig 𝑣∙ 𝑡 i forhold til S.

hændelsen finder sted i x. Fra origo af S’ til x til tiden t vil der være en længde L. Derfor må strækningen x være:

( 1) 𝑥=𝑣𝑡+ 𝐿

I kapitlet ’tidens relativitet’ fandt vi ud af at:

𝑡=𝑡^{′}^{√} → ( 2) 𝑡=

1−

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝑡^{′}

√

1 −
    2

𝑣^{2}

𝑐

Tilsvarende fandt vi ud af i kapitlet ’længdeforkortelse’ at:

𝐿=𝐿^{′}^{√} → ( 3) 𝐿=

1−

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝐿^{′}

√

1 −
    2

𝑣^{2}

𝑐

( 2) 𝑜𝑔 ( 3) 𝑖 ( 1)

𝑥=𝑣∙ + =,𝐿^{′} =𝑥^{′}

𝑡^{′} 𝐿^{′} 𝐿^{′} + 𝑣𝑡^{′}

√ √ √

1 −       1 −      1 −
     2        2         2

𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐 𝑐

𝑥=

𝑥^{′} + 𝑣𝑡^{′}

√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

Denne formel udgør Lorentztransformationen for stedkoordinaten, og overgår Galileitransformationen når 𝑣 𝑐

≪1.

Side 12

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 12 af 19

( 7) 𝑥^{′} =

𝑥− 𝑣𝑡

√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

Lorentztransformation for tid

Vi vil nu kigge på sammenhængen mellem tiderne. Dette gøres ved at se Situationen fra S’, hvor S lægger fast.

Der placeres en målestok i S som har længden L’ i S’ mellem origo for S og punktet x’ for hændelsen.

( 5) 𝐿^{′} =𝐿 1 −

√

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝐿=𝑥Origo for S bevæger sig med hastigheden v i negativ

retning set fra S’. Derfor:

( 6) 𝐿^{′} =𝑣𝑡^{′} + 𝑥

( 5) 𝑜𝑔 ( 6) 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑟

𝑥 1 − =𝑣𝑡^{′} + 𝑥′

√

𝑣^{2}
𝑐^{2}

( 7) 𝑖𝑛𝑑𝑠æ𝑡𝑡𝑒𝑠

𝑥 1 − =𝑣𝑡^{′} +

√

𝑣^{2} 𝑥− 𝑣𝑡
𝑐^{2}
√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

𝑣𝑡^{′} =𝑥 1 − − =

√

𝑣^{2} 𝑥− 𝑣𝑡
𝑐^{2}
√ √

1 −            1 −
    2               2

𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐

𝑥(1 −   ) − ( 𝑥⋅ 𝑣𝑡 )
       2

𝑣^{2}

𝑐

= = = ↓

𝑥− 𝑥𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣
𝑐^{2} 𝑐 𝑐

− 𝑥+ 𝑣𝑡 𝑣𝑡 − 𝑥⋅_{2} 𝑣(𝑡+ 𝑥⋅_{2})

√ √ √

1 −           1 −          1 −
     2             2            2

𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐 𝑐

𝑡^{′} =

𝑡+ 𝑥𝑣

𝑐^{2}
√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

Når^{𝑣}_{𝑐} ≪1 ser vi at t’ = t som giver Galileitransformationen

Side 13

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 13 af 19

Hastighedstransformation

Dette løses ved hjælp af infinitesimal regning.

Ud fra det vi lige har fundet ud af med Lorentztransformationen, kan man slutte at hvis et objektbevæger sig strækningen dx til tiden dt i koordinatsystemet S, så vil størrelserne i S’ koordinatsystemet der bevæger sig med hastigheden v være givet ved:

𝑑𝑥^{′} =

𝑑𝑥− 𝑑𝑣𝑡

√

1 −
    2

𝑣^{2}

𝑐

𝑑𝑡^{′} =

𝑑𝑡− 𝑑𝑥𝑣

𝑐^{2}
√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

Hastigheden af objektet i S er givet ved:

𝑆:𝑤=

𝑑𝑥 𝑑𝑡

Derfor bliver hastigheden i S’:

𝑆^{′}: 𝑤^{′} = =

𝑑𝑥^{′}
𝑑𝑡^{′}

𝑑𝑥− 𝑣𝑑𝑡
√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

𝑑𝑡− 𝑑𝑥𝑣
√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

𝑤^{′} = =,

𝑑𝑥^{′} 𝑑𝑥− 𝑣𝑑𝑡
𝑑𝑡^{′}

𝑑𝑡− 𝑑𝑥𝑣 1 𝑐 𝑑𝑡

()

1 𝑑𝑡

Side 14

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 14 af 19

= =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

− 𝑣

1 − ∙

𝑑𝑥 𝑣

𝑑𝑡 𝑐^{2}

𝑤− 𝑣

1 −
     2

𝑤𝑣 𝑐

Dette udtryk for hastighedstransformationen har særdeles stor betydning, og viser den meget store forskel på Galileitransformationen, og kommer foreksempel til udtryk ved tvillingeparadokset.

Relativistisk dynamik

I det følgende vil vi se nærmere på, hvordan Newtons love skal håndteres i relativistisk fysik.

Impulsbevarelse

I dette eksempel betragtes et lige stød imellem ti identiske partikler. Koordinatsystemet S ligger i massemidtpunktet for de to partikler.

Koordinatsystemet S’ er i hvile i forhold til den ene partikel.

Situation set fra S

𝑚_{1} ∙ 𝑣_{1} + 𝑚_{2} ∙ 𝑣_{2} = ( 𝑚_{1} + 𝑚_{2}) 𝑣_{𝑡} =0 ,𝑓𝑜𝑟𝑑𝑖 𝑚_{1} =𝑚_{2}

Da de to partikler har ens, modsatrettede hastigheder, må summen af dem være nul.

𝑢_{1} + 𝑢_{2} =0 →𝑢_{1} =−𝑢_{2} →𝑣=𝑢

Situationen set fra S’

Vi kigger på impulsbevarelsen set fra S’:

( 1) 𝑚_{1}^{′} ∙ 𝑣_{1}^{′} + 𝑚_{2}^{′} ∙ 𝑣_{2}^{′} = ( 𝑚_{1}^{′} + 𝑚_{2}^{′}) 𝑣_{𝑇}^{′}

Ved hastighedstransformationen har vi lige fundet ud af at:

𝑤^{′} =

𝑤− 𝑣

1 −
     2

𝑤𝑣 𝑐

( 2) 𝑣_{2}^{′} = = =, 𝑣_{1}^{′} =0 𝑜𝑔 𝑣′_{𝑇} =𝑢

𝑣_{2} − 𝑣_{1} 𝑢 − ( −𝑢) 2𝑢

1 −

𝑣_{1∙} 𝑣_{2}
𝑐^{2}

1 −          1 −
                 2

( −𝑢) ∙ 𝑢 𝑣^{2}
𝑐^{2} 𝑐

Dette indsættes nu I (1)

𝑚_{2}^{′} ∙ =𝑚_{1}^{′} + 𝑚_{2}^{′} ↓

2

1 +
     2

𝑢^{2}

𝑐

𝑣_{2} =𝑢

𝑣_{1} =−𝑢

𝑚_{1} 𝑚_{2}

𝑚_{1}^{′} 𝑣_{1}^{′} =𝑢 𝑚_{2}^{′}

𝑣_{2}^{′}

Side 15

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 15 af 19

𝑚_{1}^{′} =𝑚_{2}^{′} ∙ 𝑚_{2}^{′} →𝑚 =𝑚_{2}^{′} ( − 1) ↓

2 2

1 +                  1 +
     2                    2

𝑢^{2} 𝑢^{2}

𝑐 𝑐

1

′

𝑚_{2}^{′} () → ( 1 − 𝑣_{2}^{′}^{2}) =1 − =1 − 1/𝑐^{2}

2 − 1(1 +   )
           2

𝑢^{2}

𝑐

1 +
     2

𝑢^{2} 𝑐^{2}

𝑐

()

2𝑢

1 +
     2

𝑢^{2}

𝑐

⎝ ⎠

⎛ ⎞

4𝑢^{2}

(1 +   )
      2

𝑢^{2}

𝑐

2

=1 − = − =

4𝑢^{2} 4 𝑢^{2} 𝑢^{2} 𝑢^{2} 𝑢^{2}
𝑐^{2} 𝑐^{2} 𝑐 𝑐 𝑐

(1 +   )   (1 +   )                 (1 +   )
      2          2                        2

𝑢^{2} 𝑢^{2} 𝑢^{2}^{2}

𝑐 𝑐 𝑐

2 2

(1 +   )
      2

𝑢^{2}

𝑐

2

1 +
     2

𝑢^{2}

𝑐

1 +   + 2 ∙  − 4 ∙
     2      2      2

= = 1 − =

1 + ( )  −       (1 −  )
      2               2

𝑢^{2}^{2} 2𝑢^{2} 𝑢^{2}
𝑐 𝑐^{2} 𝑐

(1 +   )      (1 +  )
      2            2

𝑢^{2}^{2} 𝑢^{2}

𝑐 𝑐

2

2

√

𝑣_{2}^{′^{2}}
𝑐^{2} 𝑢^{2}

1 −
     2

𝑢^{2}

𝑐

1 +
     2

𝑐

                                         ′
Indsættes kvadratroden heraf, fås udtrykket for 𝑚
                                         1

𝑚_{1}^{′} =𝑚_{2}^{′} 1 −

√

𝑣^{′2}
𝑐^{2}

𝑚_{1}^{′} betegnes som i hvile 𝑚_{0}. Og hastigheden af 𝑚_{2}^{′} ved 𝑣_{2}^{′} =𝑣, så bliver impulsen af 𝑚_{2}^{′} bestemt ved:

𝑝=𝑚 ∙ 𝑣_{2}^{′} =

2

′

𝑚_{0} 𝑣

√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

Dette udtryk omtales den relativistiske impuls. Senere vil vi kigge på dennes betydning for den kinetiske energi. Det kan dog i visse sammenhænge være tale om den relativistiske masse:

𝑚=

𝑚_{0}

√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

I S vil de to masser være ens på grund af symmetri. I S’ er dette ikke tilfældet.

Side 16

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 16 af 19

Einstens ækvivalens mellem masse og energi

En partikel med massen 𝑚_{0}, har en hvileenergi givet ved 𝐸=𝑚_{𝑜} 𝑐^{2}

Total energi:

𝐸=𝐸_{𝑘} + 𝑚_{0} 𝑐^{2} = − 𝑚_{0} 𝑐^{2} + 𝑚_{0} 𝑐^{2} = ( 6)

𝑚_{0} 𝑐^{2} 𝑚_{0} 𝑐^{2}

√ √

1 −                        1 −
     2                         2

𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐

Lys er masseløs men har impuls.

Energi-impuls relationen

Ovenstående har stor betydning for impulsen. Vi kan kvadrerer udtrykket og derefter lægge det samme led

                                2  2
til og straks trække det fra i tælleren (𝑚 𝑣 ). Så vil vi se at den første brøkstreg giver 1, imens den anden
                                0

er kvadreret på impulsen p.

( 6) →𝐸^{2} = = =𝑐^{2} ( +)

𝑚_{0}^{2} ∙ 𝑐^{4} 𝑐^{2} ( 𝑚_{0}^{2} 𝑐^{2} − 𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2} + 𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2}) 𝑚_{0}^{2} 𝑐^{2} − 𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2} 𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2}

1 −              1 −                    1 −        1 −
     2               2                       2          2

𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐 𝑐 𝑐

𝐸^{2} =𝑐^{2} ( +) =𝑐^{2} ( 𝑚_{0}^{2} 𝑐^{2} +)

  2 2
𝑚 𝑐  (1 −  )
  0       2

𝑣^{2}

𝑐

1 −        1 −                  1 −
     2          2                   2

𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐 𝑐

𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2} 𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2}

Side 178 (5)

𝑝= → 𝑝^{2} =

𝑚_{0} 𝑣 𝑚_{0}^{2} 𝑣^{2}

√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

𝐸^{2} =𝑐^{2} ( 𝑚_{0}^{2} 𝑐^{2} + 𝑝^{2}) ↓

( 7) = √ 𝑚_{0}^{2} 𝑐^{2} + 𝑝^{2}

𝐸 𝑐

Impuls af lys

𝑚_{0} =0𝑘g

Lys består af fotoner, som har energi 𝐸=ℎ𝑓. Dette er Einsteins forklaring på den fotoelektriske effekt.

Fotonens hvilemasse vil være nul, men da vi skal finde et relativistisk udtryk for energien får lyset en impuls.

( 7) → = √ 0^{2} + 𝑝^{2} →𝑝=

𝐸 𝐸 𝑐 𝑐

𝐸=ℎ ∙ 𝑓

Side 17

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 17 af 19

𝑣= =𝜆∙ 𝑓

𝜆

𝑇

𝑐=𝜆∙ 𝑓 ,𝑙𝑦𝑠

𝑓=

𝑐 𝜆

( 7) →𝑝= = ∙ =

ℎ𝑓 ℎ 𝑐 ℎ 𝑐 𝑐 𝜆 𝜆

Ud fra dette kan vi se at jo større bølgelængden er des større vil fotonens impuls være. Dette har en stor betydning for eksempelvis en stjernes stabilitet.

Kinetisk energi

Vi har tidligere fundet ud af at kraften kan defineres som:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = = =𝑚∙ =𝑚𝑎⃗

⃗ 𝑑𝑝⃗ 𝑑𝑚𝑣⃗ 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

I urelativistisk mekanik defineres den kinetiske energi for en partikel ved:

𝑑𝐸_{𝑘} =𝑑𝐴_{𝑟𝑒𝑠} =𝐹_{𝑟𝑒𝑠} 𝑑𝑟

⃗

𝐴_{𝑟𝑒𝑠} er det arbejde det tager den resulterende kraft at bringe partiklen fra hastighed v=0 til hastigheden v.

Vi kan indsætte udtrykket for den relativistiske impuls, og vi får:

𝐸_{𝑘} =∫𝐹_{𝑟𝑒𝑠} 𝑑𝑟=∫ 𝑑𝑟=∫ ∙ ∙ 𝑑𝑡

⃗ 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥= [ 𝐹 ( 𝑥) 𝑔 ( 𝑥)]_{𝑎}^{𝑏} − ∫𝐹 ( 𝑥) 𝑔 ( 𝑥) 𝑑𝑥

𝑏 𝑏 𝑎 𝑎

𝑓 ( 𝑡) = →𝐹 ( 𝑡) =𝑝

𝑑𝑝 𝑑𝑡

𝑔 ( 𝑡) =𝑣→𝑔 ( 𝑡) =

′ 𝑑𝑣 𝑑𝑡

Der foretages partiel integration

𝐸_{𝑘} = [ 𝑝𝑣]_{0}^{𝑣} − ∫𝑝 ∙ ∙ 𝑑𝑡=𝑝𝑣− ∫𝑝𝑑𝑣 =𝑝𝑣− ∫ 𝑑𝑣

𝑑𝑣 𝑚_{0}

𝑑𝑡 𝑣 𝑣

0 0 𝑣^{2}
√

1 −
     2

𝑐

𝑢=1 −

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝑑𝑢=− 𝑑𝑣

2𝑣

𝑐^{2}

− 𝑑𝑢=𝑣𝑑𝑣

𝑐^{2}

2

Side 18

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 18 af 19

𝐸_{𝑘} =𝑝𝑣− ∫ ( −) 𝑑𝑢=𝑝𝑣+ ∫ 𝑢^{−} 𝑑𝑣=𝑝𝑣+ []

𝑚_{0} 𝑐^{2} 𝑚_{0} 𝑐^{2} 𝑚_{0} 𝑐^{2} 𝑢^{2} 𝑢_{2}
√

𝑢

𝑢_{2} 𝑢2

𝑢_{1} 𝑢1

2 2 2

1

2

1

2

−𝑢_{1}

=𝑝𝑣+ [ 2 ∙ 1 −]

𝑚_{0} 𝑐^{2} 𝑣^{2}
2 𝑐^{2}

√

𝑣

0

=𝑝𝑣+ ∙ 2 ∙ 1 − − ∙ 2 ∙ √ 1 − 0

𝑚_{𝑜} 𝑐^{2} 𝑣^{2} 𝑚_{0} 𝑐^{2}
2 𝑐^{2} 2

√

=𝑝𝑣+ 𝑚_{0} 𝑐^{2} ∙ 1 − − 𝑚_{0} 𝑐^{2}

√

𝑣^{2}
𝑐^{2}

De to første led sættes på fælles brøkstreg.

𝐸_{𝑘} = + 𝑚_{0} 𝑐^{2} ∙ 1 − − 𝑚_{0} 𝑐^{2} = − 𝑚_{0} 𝑐^{2}

𝑚_{𝑜} 𝑣^{2} 𝑣^{2}

√ √

1 −                                   1 −
     2                                     2

𝑣^{2} 𝑣^{2}

𝑐 𝑐

√
𝑐^{2}

    2      2
𝑚  𝑣 + 𝑚  𝑐 (1 −   )
  0      0
                  2

𝑣^{2}

𝑐

= − 𝑚_{0} 𝑐^{2}

𝑚_{0} 𝑣^{2} + 𝑚_{0} 𝑐^{2} − 𝑚_{𝑜} 𝑐^{2} 𝑣^{2}

√

1 −
    2

𝑣^{2}

𝑐

𝐸_{𝑘} = − 𝑚_{𝑜} 𝑐^{2}

𝑚_{0} 𝑐^{2}

√

1 −
     2

𝑣^{2}

𝑐

Umiddelbart ligner dette ikke det udtryk, vi kender fra den klassiske mekanik. Den klassiske mekanik

                                                          1
                                                                            2
arbejdes der med små hastigheder. Derfor kan vi sætte √ 1 − 𝑥=1 − 𝑥. Der ses bort fra 𝑥 , da denne er
                                                          2

næsten forsvindende og der kvadreres på begge sider.

____________

𝐸_{𝑘} = 𝑚𝑣^{2}

1

2

( √ 1 − 𝑥)^{2} =1 − 𝑥

(1 − 𝑥) =1 + 𝑥

1 𝑥^{2}

2 4

2

( 1 − ∙) =1 + ∙ −, ℎ𝑣𝑜𝑟 ∙ ≅0

1 𝑣^{2} 1 𝑣^{2} 𝑣^{2} 1 𝑣^{2}
2 𝑐^{2} 4 𝑐^{2} 𝑐^{2} 4 𝑐^{2}

2

Side 19

Fysikrapport 6. oktober 2010

3.a Relativitetsteori Tradium

Side 19 af 19

=1 −

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝐸_{𝑘} = − 𝑚_{0} 𝑐^{2} = − =

𝑚_{𝑜} 𝑐^{2} 𝑚_{0} 𝑐^{2}

√

(1 −   )
      2

𝑣^{2^{2}}

𝑐

1 −          1 −          1 −
                  2

𝑣^{2} 𝑣^{2} 𝑣^{2}
2𝑐^{2} 𝑐 2𝑐^{2}

    2
𝑚  𝑐 ∙ (1 −  )
  𝑜
             2

𝑣^{2}

2𝑐

1

2

𝑚_{0} 𝑣^{2}

Da_{2𝑐^{2}}^{𝑣^{2}} ≈0 vil nævneren tilnærmelsesvis være lig med en. Derfor:

𝐸_{𝑘} = 𝑚_{0} 𝑣^{2}

1

2

Vi ser at dette passer meget godt overens med den klassiske mekanik.