Rapport om Snorbølger

Side 1

Indholdsfortegnelse

- Indholdsfortegnelse ........................................ side 2.

Snorbølger, guitaren:

- Formål.

- Anvendte rekvisitter & kemikalier.

- Teori ...................................................... side 3.

- Øvelsens udførsel .......................................... side 4.

- Tegning over forsøget ...................................... side 5.

- Måleresultater.

- Efterbehandling. ........................................... side 6.

Diverse:

- Bilag 1. ................................................... side 11.

Side 2

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 2 af 11

Snorbølger

Formål:

Formålet med øvelsen er eksperimentelt at eftervise formlen for grundfrekvensen af en svingende streng (her en fiskesnøre).

Anvendt apparatur:

Funktionsgenerator med frekvensmeter, vibrator, forskellige nylonsnører, 50- og

100 g lodder, målebånd.

Teori:

Man kan teoretisk vise, at grundfrekvensen af en svingende streng er lig med:

1 F 1 1

f k k F = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

xx µ µ hvor x er snørens længde

F er snørekraften (her tyngdekraften på lodderne) µ er snørens masse pr. meter k er en konstant

Side 3

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 3 af 11

Hvis én af de tre parametre varieres og de to andre fastholdes ses det, at

a) f er proportional med

1 x

b) f er proportional med F

c) f er proportional med

1 µ

Hvis disse tre punkter stemmer overens med måleresultaterne, har vi vist ligningen.

Øvelsens udførelse:

Inden der tændes for funktionsgeneratoren, skal det checkes, at både amplitude-og forstærkningsknappen er skruet helt ned, og at frekvensknappen står mellem 10 og 100 Hz.

Man tænder så, og skruer amplituden op midt på, og stiller forstærkningen mellem

1 og 2. Når man ændrer noget i opstillingen, skrues forstærkningen helt ned.

a) Snørens længde (x) varieres

Vælg en af de tre tykkeste snører, og notér dens m. Stil vibratoren, så du starter med den mindste x-værdi, og hæng 200 g i løkken.

Find nu den stående bølges grundfrekvens, idet du først bruger ”grov”-knappen

(coarse), og dernæst ”fin”-knappen (fine). Aflæs frekvensen og snørens længde.

Flyt vibratoren og gentag forsøget.

b) Tyngdekraften på lodderne, dvs. loddernes masse, (F) varieres

Med størst mulig snørelængde hænges nu et 50 grams lod i løkken. Find grundfrekvensen, og noter den sammen med loddets masse.

Hæng nu et 100 grams lod i løkken og gentag forsøget i spring på 50 g op til 400 g.

c) Snørens masse pr. meter (µ) varieres.

For alle snører findes grundfrekvensen med 200 g i løkken for størst mulig snørelængde.

Side 4

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 4 af 11

Måleresultater:

(Pga. ferie o lign. har det ikke været muligt at fremskaffe mine egne måleresultater, og Mette E. har været så venlig, at sende hendes til mig. Derfor vil du finde uoverensstemmelse med disse og min øvelseskammerat

Lise.

Ad a)

Snørens masse (µ): 0,3558⋅10 kg/m.

-3

Loddets masse (m): 0,200 kg.

Snørens længde x i m. 1,305 1,125 0,985 0,855 0,725 0,625 0,525 0,425 Grundfrekvens f i Hz 29,89 16,75 18,48 21,58 25,60 29,91 35,30 80

Ad b)

Snørens masse (µ): 0,6492⋅10 kg/m

-3

Snørens længde (x): 1,29 m

Loddets masse x i kg. 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400

Grundfrekvensen f i Hz 17,0 19,1 22,0 24,7 26,5 28,4 30,1

Ad c)

Snørens længde (x): 1,125m.

Loddets masse (m): 0,200 kg

Snørens masse (µ) i kg/m 0,0884⋅10^{-3} 0,2087⋅10^{-3} 0,3558⋅10^{-3} 0,6492⋅10^{-3}

Grundfrekvensen f i Hz 64,50 42,35 32,40 24,25

Side 5

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 5 af 11

Databehandling:

Ad a)

Som nævnt i teoriafsnittet er den ligning vi benytter følgende:

1 1 1 1

f k F k F = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

xx

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ µµ

⎝⎠

Vi beregner tyngdekraften på loddet (snørekraften):

                       m
F m g kg = ⋅ = ⋅ = 0,200 9,82 1,964
                         22
     lod
                        s

kg m ⋅ s

Vi beregner værdien 1/x, til alle de målte x-værdier:

Snørens længde, x i m. 1,305 1,125 0,985 0,855 0,725 0,625 0,525 0,425 Den reciprokke snøre-

længde, 1/x i m^{-1}

0,766 0,889 1,02 1,17 1,38 1,60 1,90 2,35

Grundfrekvens, f i Hz 29,9 16,8 18,5 21,6 25,6 29,9 35,3 80,0

Vi indsætter de fundne måleresultater i et, f -koordinatsystem:

( )^{1}_{x}

Vi ser straks, at der er to punkter, der ligger meget langt fra den linie, de seks andre punkter danner. Jeg antager, at dette er målefejl, og regner derfor videre uden hensynstagen til disse måleresultater.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Side 6

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 6 af 11

Vores nye koordinatsystem ser derfor nu ud således:

Nu ses det, at punkterne ligger meget fint på den lineære regressionslinie.

Dette ses både grafisk, og på korrelationskoefficienten (R). Mht.

2 korrelationskoefficienten ses dette ved dens meget lille forskel fra 1.

Som nævnt er der lavet lineær regression på punkterne. Denne ses øverst i grafbilledet.

Som det ses på denne er konstantleddet meget lille, og vi kan derfor

konkluderer, at grundfrekvensen (f) er ligefrem proportionel med 1/x.

Ad b)

Som nævnt i teoriafsnittet benytter vi følgende:

1 1 1 1

f k F k F = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

xx

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟ µµ

⎝⎠

Vi beregner værdierne F vha. følgende formel:

F m g F m g m= ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ 9,82^{m}_{s^{2}}

lod lod lod

Loddets masse x i kg. 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400

F i kg m ⋅ s

0,99 1,22 1,40 1,57 1,72 1,86 1,98

Grundfrekvensen f i Hz 17,0 19,1 22,0 24,7 26,5 28,4 30,1

y = 18,583x - 0,0301
R² = 0,9989

0

10

20

30

40

50

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Side 7

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 7 af 11

Vi indsætter de fundne måleresultater i et,Ff -koordinatsystem:

( )

Det ses, at punkterne ligger meget fint på den lineære regressionslinie. Dette ses både grafisk, og på korrelationskoefficienten (R). Mht.

2 korrelationskoefficienten ses dette ved dens meget lille forskel fra 1.

Som nævnt er der lavet lineær regression på punkterne. Denne ses øverst i grafbilledet.

Som det ses på denne er konstantleddet godt nok større end forventet, men grunden til dens forskel fra nul, mener jeg ligger i fejlkilderne. Derfor konkluderer vi, at grundfrekvensen (f) er ligefrem proportionel med F.

Ad c)

Vi benytter følgende:

1 1 1 1

f k F k F = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

xx

⎛⎞

⎜⎟ µµ ⎝⎠

Vi beregner værdierne vha. følgende formel:

1 µ

Snørens masse (µ) i kg/m 0,0884⋅10^{-3} 0,2087⋅10^{-3} 0,3558⋅10^{-3} 0,6492⋅10^{-3}

1_{i} m

µ kg

106,36 69,22 53,01 39,25

Grundfrekvensen f i Hz 64,50 42,35 32,40 24,25

y = 13,609x + 3,0887
R² = 0,9961

0

5

10

15

20

25

30

35

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

Side 8

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 8 af 11

Vi indsætter de fundne måleresultater i et, f -koordinatsystem:

1 µ

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Det ses, at punkterne ligger meget fint på den lineære regressionslinie. Dette ses både grafisk, og på korrelationskoefficienten (R). Mht.

2 korrelationskoefficienten ses dette ved dens meget lille forskel fra 1.

Som nævnt er der lavet lineær regression på punkterne. Denne ses øverst i grafbilledet.

Som det ses på denne er konstantleddet meget lille, og vi kan derfor konkluderer, at grundfrekvensen (f) er ligefrem proportionel med

1_{.}

µ

Vi kan nu konkluderer, at følgende ligning er gælder:

11

f k F = ⋅ ⋅ ⋅

x µ

y = 0,6005x + 0,6685
R^{2} = 0,999986

0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 120

Side 9

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 9 af 11

Vi beregner konstanten k i de tre delforsøg:

Ad a)

Vi beregner hældningskoefficientens enhed:

− 1

1 x f

= ⋅ − > ⋅ = ⋅ f x Hz m s m

Hældningskoefficienten viste sig, ved lineær regression, at være 18,583. Vi ved derfor følgende:

= ⋅ ⋅ = ⋅ k F s m 18,583^{-1}

1 a α µ

Idet vi kender F og µ kan vi nu beregne konstanten k:

FF ⋅^{1} 1,964^{kg m}^{⋅}_{s^{2}}

⋅ 18,583 0,558 10 sm^{−−}^{13} ⋅ ⋅ ⋅

1

       a
k = = = =                                      0,313

a kg m a

= ⋅ ⋅ ⇔ kF

µ α µ αµ α

I mange lærebøger påstås det, at denne værdi er ½. Vi beregner afvigelsen:

0,5 0,313 −

⋅= 100% 37,4%

0,5

Ad b)

Vi beregner hældningskoefficientens enhed:

− 1

f Hz s 1 kg m kg m ⋅⋅ ss

F kg m ⋅

− > = =

Hældningskoefficienten viste sig, ved lineær regression, at være 13,609. Vi ved derfor følgende:

= ⋅ ⋅ = k 13,609^{1}_{kg m}

11 b x α µ

⋅

Idet vi kender F og µ kan vi nu beregne konstanten k:

Side 10

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 10 af 11

                                          − 3
      b                                     kg
                           1
k x m = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = 13,609 0,6492 10 1,29 0,4473
                                             m
            b
                             kg m ⋅
   11

11 b x

= ⋅ ⋅ ⇔ k

x µ α µ α αµ

⋅

Vi beregner afvigelsen:

0,5 0,4473 −

⋅= 100% 10,5%

0,5

Ad c)

Vi beregner hældningskoefficientens enhed:

                    − 1
f Hz                s kg ⋅

1 m kg m µ

− > =

Hældningskoefficienten viste sig, ved lineær regression, at være 0,6005. Vi ved derfor følgende:

                  − 1
                  s kg ⋅
= ⋅ ⋅ = kF 0,6005

1 c m x α

Vi beregner tyngdekraften på lodderne, og dermed også snørekraften:

                       m
F m g kg = ⋅ = ⋅ = 0,200 9,82 1,964
                         22
     lod
                        s

kg m ⋅ s

Idet vi kender x og F kan vi nu beregne konstanten k:

      − 1
      s kg ⋅
0,6005 1,125 ⋅   m
           m

⋅ FF 1,964^{kg m}^{⋅}_{s^{2}}

      bb
k = = = =                            0,482
   1

1 b x

= ⋅ ⋅ ⇔ kF

x

⋅ x α αα

Vi beregner afvigelsen:

0,5 0,482 −

⋅= 100% 3,6%

0,5

Side 11

Fysikrapport [navn fjernet] 2Y 10/10-02

Ikast Gymnasium Side 11 af 11

Guitaren:

- De tykkeste strenge på guitaren giver de dybeste toner (jeg antager at de tykkeste ligeledes er de tungeste pr. meter). Dette kan man bekræfte ved et kig på følgende ligning:

11

f k F = ⋅ ⋅ ⋅

x µ

Vi ser at frekvensen er omvendt proportional med snørens masse pr. meter, hvilket jo betyder, at jo tungere strengene bliver pr. meter jo dybere bliver tonen. Jf. a-delen.

- Når man strammer strengene på en guitar, forøger man strengkraften. Det bevirker at frekvensen bliver højere, og dermed også tonerne. Jf. b-delen.

- Man kan på en guitar lave en højere tone, ved at gøre den svingene strenglængde mindre, og det er i og for sig det samme skete i deløvelse c.

Ved et kig på tidligere nævnte ligning kan man også se at frekvensen er omvendt proportional med, og idet kvadratrodsfunktionen er en stigende µ funktion, vil en (f, µ)-graf stadig være faldende.

Fejlkilder:

- En mulig fejlkilde ved forsøget er, at det er svært præcist at sige hvornår man har nået den stående bølges grundfrekvens.

- Det er også en mulighed, dog ikke så sandsynligt, at lodderne ikke vejer præcist 50 eller 100 gram.

Konklusion:

Vi har med små afvigelser eksperimentelt vist, at ligningen for grundfrekvensen kan beskrives således:

1 1 1

fF = ⋅ ⋅ ⋅

2x µ