Resistansen i en tråd | Rapport i Fysik

Side 1

Resistiviteten for konstantan

Formål

Formålet med forsøget var at bestemme konstantans resistivitet.

Teori

Et stof, der kan lede den elektriske strøm, kaldes en leder. Metaller er gode ledere, hvilket hænger sammen med deres opbygning. I princippet kan man bruge et hvilket som helst metal til at fremstille ledninger af. Men ikke alle metaller er lige velegnede.

Konstantan er det metal, der anvendes i forsøget. [1]

Konstantan er en legering mellem kobber, nikkel og mangan (55-60% kobber, 40-45% nikkel, 1% mangan). Det har en lav ledningsevne og næsten ingen varmeudvidelse; anvendes til elektriske varmelegemer og termoelementer.

Resistansen i en ledning afhænger både af ledningens længde og af dens tværsnitsareal.

Tværsnitsarealet er arealet af den snitflade, der fremkommer, hvis man skærer ledningen over med et vinkelret snit. Målinger viser, at resistansen R er proportional med ledningen længde l, således at fx en fordobling af længden også giver en fordobling af dens resistans.

Målinger viser også, at resistansen er omvendt proportional med ledningens tværsnitsareal A. Det betyder, at en fordobling af ledningens tværsnitsareal giver en halvering af resistansen, som vist på nedenstående illustration.

Disse målinger er efterprøvet og fremgår i afsnittet om forsøgsresultaterne.

Følgende formel viser, hvordan resistansen R afhænger af ledningens længde l og tværsnitsareal A:

𝑅=𝜌∗

𝐿

𝐴

1

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Kemi/%C3%98vrige_metaller/konstantan

Side 2

2

Proportionalitetskonstanten ρ (rho) er resistiviteten af det betydende materiale. Dens værdi afhænger af hvilket materiale, der er tale om. Hvis man ser på to lige lange ledninger med samme tykkelse, men af forskelligt materiale. Så vil den ene af de to ledninger, som har den mindste værdi af ρ, have den mindste resistans.

Ovenstående formel kan omformes til:

𝜌=𝑅∗

𝐴

𝐿

Ledningens længde måles i meter og dens tværsnitsareal i mm [2]. Derfor bliver enheden for ρ lig med:

𝛺∗𝑚𝑚

2 𝑚

Hvis man i stedet måler ledningens tværsnitsareal i m [2], bliver enheden Ω∗m.

2

                                                     2
                                                𝛺∗𝑚𝑚
Tabelværdien for konstantans resistivitet ved 20°C er 0,50( ).
                                                  𝑚

Materialer og apparatur

- Konstantantråd

- Strømkilde

- Amperemeter

- Voltmeter

- Lineal

- Stativer

Fremgangsmåde

Vi startede med at tage noget konstantantråd, hvorefter vi målte trådens længde samt dets diameter.

Dernæst opbyggede vi et kredsløb, ligesom det der er vist på figur 1. Vi målte resistansen i tråden ved at sende en svag strøm gennem kredsløbet, hvorefter strømstyrken og spændingsforskellen blev noteret. Vi havde to forskellige målinger. Ved den ene række målinger varierede vi på konstantantrådens tværsnitsareal, mens trådens længde forblev konstant. Ved den anden række

2

http://de.wikipedia.org/wiki/Spezifischer_elektrischer_Widerstand

Side 3

3 målinger var det derimod trådens længde der blev ændret på, mens tværsnitsarealet forekom uændret.

3

3

http://www.fit-for-ph.de/kl101/ph1011/kapitel/el11-b09.gif

Figur 1

Forsøgsopstilling

Side 4

4

Forsøgsresultater

Nedenstående graf viser spændingen som funktion af strømstyrken for en konstantantråd med en

længde på 23 cm og et tværsnitsareal på ca. 0,8 mm^{2}.

Punkterne på grafen er tilpasset en lineær model, som kan beskrives for værende tilnærmelsesvis ligefrem proportional. Skæringen med y-aksen ikke helt i 0, hvilket kan skyldes nogle fejlkilder, som er beskrevet nærmere i afsnittet om forsøgets usikkerheder og fejlkilder. R-kvadratet viser 1, hvilket betyder, at der ikke er tale om en usikkerhed, men nærmere om en systematisk fejl, som præger forsøget. Ud fra grafen kan jeg tillade mig at konkludere, at konstantan opfører sig som en

Ohmisk modstand, dvs. at den opfylder Ohms lov 𝑈=𝐼∗𝑅.

y = 0,1455x + 0,0038
0,5 R² = 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,6

0,7

0,8

0,9

0 1 2 3 4 5 6

Spænding/V

Strømstyrke/A

Konstantantråd

Lineær (V)

Side 5

5

Fast tværsnitsareal, varieret trådlængde

Nedenstående skema viser resultaterne fra forsøget, hvor vi varierede på trådlængden, mens konstantantrådens tværsnitsareal blev bibeholdt.

På baggrund af målinger kan man se, at resistansen i ledningen stiger, desto længere trådlængden bliver, præcis ligesom det er beskrevet i teorien.

Grafen viser resistansens som funktion af, længden delt med tværsnitsarealet. Ud fra grafen kan man se at punkterne følger en lineær tendens. Grafens hældning er konstantans resistivitet. Desuden skærer grafen tilnærmelsesvis punktet 0,0, hvilket gør at jeg kan konkludere at grafen er ligefrem proportional.

                                                                    2
                                                                𝛺∗𝑚𝑚
Grafens hældning er 0,514, hvilket betyder at konstantans resistivitet er 0,514( ).
                                                                  𝑚

y = 0,514x - 0,0052
R² = 0,9998

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Resistans/Ω

Længde/Tværsnitsareal (m/mm^{2})

Konstant tværsnitsareal, varieret trådlængde

Serie1

Lineær (Serie1)

Længde/m Tværsnit/mm^{2} Resistans/Ω Længde/Tværsnitsareal (m/mm^{2})

0.1 0.785 0.061 0.127

0.14 | 0.785 | 0.087 | 0.178
0.23 | 0.785 | 0.147 | 0.294
0.32 | 0.785 | 0.202 | 0.407
0.51 | 0.785 | 0.327 | 0.649
0.66 | 0.785 | 0.429 | 0.840

Side 6

6

Fast trådlængde, varieret tværsnitsareal

Længde/m Tværsnitsareal/mm^{2} Resistans/Ω Længde/Tværsnitsareal(m/mm^{2})

0.446 | 0.049 | 4.484 | 9.086
0.446 | 0.196 | 1.142 | 2.271
0.446 | 0.442 | 0.903 | 1.010
0.446 | 0.785 | 0.277 | 0.568
0.446 | 1.227 | 0.261 | 0.363
0.446 | 1.767 | 0.226 | 0.252
0.446 | 3.142 | 0.142 | 0.142

Ovenstående skema viser resultaterne fra forsøget, hvor vi varierede på konstantantrådens tværsnitsareal, mens trådlængden blev bibeholdt.

Hvis man ser på tværsnitsarealet og resistansen, så er der en klar indikation på, at modstanden i ledningen bliver mindre jo større tværsnitsarealet bliver. Dette har noget at gøre med, at metalionerne i et metal er omgivet af mange elektroner. Hvis der etableres en spændingsforskel over en metalledning, bliver elektronerne i stand til at bevæge sig. Elektronerne møder modstand ved at ramme ind i metalionerne. Jo større et givet metals tværsnitsareal er, desto mindre chance er der for de vandrende elektroner for at støde ind i metalionerne. Dette er forklaringen på, at et større tværsnitsareal medfører en formindskelse i resistansen.

Nedenstående graf viser resistansens som funktion af, længden delt med tværsnitsarealet.

Som man kan på grafen, så er der et punkt som ikke følger den lineære tendens på samme måde

som de andre punkter. Dette punkt ligger i ca. x=1, mens dens y-koordinat ligger lidt under 1.

y = 0,4806x + 0,122
R² = 0,9924

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10

Resistans/Ω

Længde/Tværsnitsareal (m/mm^{2})

Fast trådlængde, varieret tværsnitsareal

Serie1

Lineær (Serie1)

Side 7

7

Grafen nedenunder viser den tilsvarende graf, blot uden det netop beskrevne punkt, som formentlig skyldtes en noteringsfejl. Den lineære tendens er bedre tilpasset uden det tilsvarende punkt, eftersom R-kvadratet, er nærmere 0. Desuden er skæringen med y-aksen tættere på 0, hvilket endnu en gang betyder at grafen ligefrem proportionel, dvs. at forholdet mellem størrelserne x og y er konstant.

Den seneste grafs hældning, resistivitet, er valgt på baggrund af R-kvadratet, som indikerer hvor godt den lineære tendens passer til punkterne på grafen. Resistiviteten for konstantan i dette forsøg

              2
         𝛺∗𝑚𝑚
er 0,4859(     ), hvilket er en lille forskel i forhold til den forhenværende beregnede resistivitet.
           𝑚

Beregning af afvigelsesprocent

Jeg starter med at bestemme gennemsnittet af de beregnede resistiviteter:

           2              2
      𝛺∗𝑚𝑚            𝛺∗𝑚𝑚
0,514(     )+0,4859(       )
        𝑚

𝑚

2 𝑚

=0,500()

𝛺∗𝑚𝑚

2

Eftersom den gennemsnitlige resistivitet for konstantan overhovedet ikke afviger fra den givne tabelværdi, er det ikke nødvendigt at beregne afvigelsesprocenten. Dermed kan jeg konkludere, at den bestemte resistivitet for konstantan afviger med 0 % fra resistiviteten fra tabelværdien.

y = 0,4859x + 0,0614
R² = 0,9995

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10

Resistans/Ω

Længde/Tværsnitsareal (m/mm^{2})

Fast trådlængde, varieret tværsnitsareal

Serie1

Lineær (Serie1)

Side 8

8

Usikkerheder og fejlkilder

Graferne, som var tegnet på baggrund af målingerne, havde alle en tendens, der var til at få øje på.

R-kvadratet var ved samtlige grafer enten 1 eller i hvert fald meget tæt på. Dette indikerer, at forsøget er lavet uden den helt store usikkerhed.

Alle de tegnede grafer burde være ligefrem proportionale, eftersom der var tale om en proportionalitetskonstant ρ (rho). Dette var dog ikke tilfældet i nogen af graferne, men ved samtlige grafer, var tendenslinjen meget tæt på at skære punktet 0,0. Det, at linjen tilnærmelsesvis går gennem origo, gør, at man kan konkludere, at der er tale om ligefrem proportionalitet. Dette skyldtes formentlig en tilfældig fejl, da både volt – og amperemeteret har en usikkerhed på 1 % - 2

%.

En decideret fejlkilde under forsøget kunne være, at den målte trådlængde for konstantan var kortere en den burde have været. Da tråden var fastspændt til stativerne, var tråden ikke helt udstrakt, og eftersom vi målte afstanden fra stativ til stativ, tog vi ikke højde for dette. Det kunne have betydet, at den beregnede resistivitet var en anelse større, end den burde have været.

I grafen for forsøget hvor trådlængden var konstant, var der et punkt, som ikke helt fulgte den lineære tendens. Dette skyldtes højst sandsynligt en noteringsfejl, og en fjernelse af punktet var medførerne til, at R-kvadratet kom tættere på 0, samtidigt med at resistiviteten nærmede sig den opgivne resistivitet for konstantan.

Der er desuden en indre modstand i konstantantråden, men denne modstand har ikke den helt store indvirkning, eftersom konstantan består af ca. 55% kobber, som er en god leder.

Konklusion

Jeg kan konkludere, at teorien stemte overens med, hvad der i forsøget blev målt og iagttaget.

                                                                 2
                                                            𝛺∗𝑚𝑚
Resistiviteten for konstantan, som vi nåede frem til, svarede til 0,500( ). Den beregnede
                                                              𝑚

resistivitet for konstantan afviger overhovedet ikke fra tabelværdien, hvilket indikerer, at forsøget foregik særdeles succesfuldt. Derudover kan jeg konkludere at en fordobling af længden også giver en fordobling af dens resistans, og at en fordobling af ledningens tværsnitsareal giver en halvering af resistansen.