Det skrå kast med luftmodstand | SRP

Side 1

Det skrå kast

HTX 3. år

HTX Viby, 10xvx

Matematik A og Fysik A

Studieretningsprojektet – 2012

Opgaveformulering

2012

Side 2

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 2 af 35

Cpr. Nr.: Klasse: 10xvx

Opgaveformulering udleveres fredag d. 14. december kl. 10.30

Afleveringsfrist projekt senest Fredag d. 21. december kl. 10.30

Fag: Fysik A

Fag: Matematik A Vejleder:

Vejlederne vil have træffetid til at besvare mail eller vil kunne kontaktes på studietorvet på følgende tidspunkter:

Uge 50 - 51 lærer Fredag Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag

Mail Mail 10.30- Mail

11.30

(på studietorv eller kontor SH202)

Mail Mail Mail

Jeg bekræfter herved med min underskrift, at opgavebesvarelsen er udarbejdet af mig.

Jeg har ikke anvendt tidligere bedømt arbejde uden henvisning hertil, og opgavebesvarelsen er udfærdiget uden anvendelse af uretmæssig hjælp og uden brug af hjælpemidler, der ikke har været tilladt under prøven.

_____________________________

Område/tema: Det skrå kast

Opgaveformulering:

Side 3

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 3 af 35

Bilag:

Redegør for de grundlæggende fysiske betingelser ved det skrå kast. Undersøg i den forbindelse hvilken kastevinkel, der giver et længst muligt kast.

Redegør for hvad en vektorfunktion er og opstil en vektorfunktion for et skråt kast af et objekt under passende startbetingelser.

Gør rede for objektets accelerations- og hastighedsvektore, og vis i et eksempel hvorledes størrelsen af disse findes.

I praksis kan ikke se bort fra luftmodstanden. Forklar hvad dette begreb dækker over, og vis i et eksempel, hvorledes luftmodstanden påvirker et skråt kast, under passende startbetingelse. Du kan evt. inddrage grafer.

Side 4

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 4 af 35

Abstract

This project investigates vector functions and their purpose. The science subjects mathematics and physics are combined to illustrate the motion of a projectile with and without air resistance since there are a different amount of forces to take in consideration.

An example with a golf ball is conducted to show the different forces that affect the golf ball’s vector function. The program MathCAD is used to create graphs in a coordinate. In addition,

Microsoft Excel is used to solve a numerical method problem and make a graph of the example with and without air resistance since it gives a nice overview and comparison between the two projectile motions.

The study of the golf ball example without air resistance resulted in a quadratic equation which corresponded to my theory that the parabola would be symmetrical. It was only affected by the gravity in the y-axis. However the second example had air resistance to slow down the projectile and reduce the firing range by a lot which could be noticed in the created coordinate with graphs for both studies. The results of this subject indicate how important Newton’s laws are. Based on this it can be confirmed that a projectile in motion without air resistance is affected negatively vertical by the gravity. The other example proved Newton’s third law correct about “action equals reaction” since the air resistance pointed the opposite direction of the projectile.

Side 5

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 5 af 35

Indholdsfortegnelse

Abstract ............................................................................................................................................................. 4 Indholdsfortegnelse ........................................................................................................................................... 5 Indledning .......................................................................................................................................................... 6 Vektorfunktioner ............................................................................................................................................... 7 Tretrinsreglen ................................................................................................................................................ 8 Det skrå kast .................................................................................................................................................... 10 Vandret bevægelse ...................................................................................................................................... 11 Lodret bevægelse ........................................................................................................................................ 12 Maksimalhøjde ........................................................................................................................................ 14 Eksempel på en vektorfunktion for et skrå kast .......................................................................................... 16 Accelerations og hastighedsvektor ................................................................................................................. 17 Luftmodstand .................................................................................................................................................. 18 Bernoullis princip ......................................................................................................................................... 19 Magnus effekten.......................................................................................................................................... 20

v^{2} -loven og Reynoldstallet ........................................................................................................................... 21

Beregning af gnidningsmodstanden ............................................................................................................ 22 Numerisk metode ........................................................................................................................................ 27 Konstruerede kurver .................................................................................................................................... 29 Konklusion ....................................................................................................................................................... 31 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 32 Bøger ........................................................................................................................................................... 32 Hjemmesider ............................................................................................................................................... 32 Video ............................................................................................................................................................ 33 Bilag ................................................................................................................................................................. 33 Bilag 1 .......................................................................................................................................................... 33 Bilag 2 .......................................................................................................................................................... 34 Bilag 3 .......................................................................................................................................................... 35

Side 6

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 6 af 35

Indledning

Bevægelse indenfor mekanik er et stort emne, som omfatter mange betingelser. En partikel er et legeme, som kan have en bevægelse. Disse bevægelser kan beskrives med vektorfunktioner, hvor man tager hensyn til kræfter, der påvirker legemet. Mekanikken kan forklare årsagen til næsten alt, hvad der foregår omkring os. En af de største fysikere, som har indflydelse på de teorier omkring bevægelse i dag, hedder Isaac

Newton, som fremstillede tre ekstremt vigtige love, der er grundlaget for dynamikken. Newtons 2. lov forklarer bl.a. hvorfor æbler falder ned fra træer og ikke op. Det er derfor spændene at undersøge, hvordan et skrå kast udvikler sig i et to dimensionalt koordinatsystem.

I følgende opgave vil der redegøres for vektorfunktioner og deres udnyttelse i virkeligheden. Derefter vil der beskrives de matematiske og fysiske teorier som gælder angående det skrå kast uden luftmodstand.

Der vil blive vist et eksempel og en graf af det skrå kast, hvor vigtige formler og computer programmer som MathCAD bruges til at illustrere. Derudover vil der også komme en redegørelse for det skrå kasts accelerations- og hastighedsvektorer. Der vil også inkluderes et passende eksempel med anvendelse af infinitesimalregning. Til slut kommer en forklaring på luftmodstandens påvirkning af det skrå kast. Her vil et konkret eksempel blive analyseret og tegnet i et koordinatsystem.

Side 7

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 7 af 35

Vektorfunktioner

I fysikken anvendes både funktioner og vektorer til at beskrive det skrå kasts forløb i et koordinatsystem.

Der anvendes relevante matematiske formler til at beskrive objekters bevægelse. Disse formler for det skrå kast er udledt i plan, hvor der er to koordinatakser, som hedder x og y. X-aksen er den vandrette akse,

mens y-aksen er den lodrette akse.^{1}

Vektorer kendetegnes ved at have en størrelse og retning. Dens koordinater kan beskrives som statiske, da de er uforanderlige og ikke ændrer sig med tiden.

ab og er konstante a

v =

b

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Til gengæld kan en vektor også være i bevægelse, hvor den er dynamisk og forandrer sig med parameteren tid(t). En retningsvektor ser således ud: xt ()

rt () =

yt ()

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ x(t) og y(x) er koordinatfunktioner. t er som tidligere nævnt parameteren, som også kaldes en variabel, da den ændrer sig. Dette betyder, at retningsvektoren placerer punkter i koordinatsystem, der tilsammen danner en banekurve eller graf for bevægelsen mht. parameteren t.

Et eksempel på en vektorfunktion kan være:

Definitionsmængden for t er alle reele tal. Altså tR∈

Eksempel på vektorfunktion. x og y komposanterne er følgende:

    2
yt =− 5

xt =+ 8

1

S. 80-83 ”Mat A” af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus

S. 107-112 ”Matematik for 1-årigt A-niveau” af Thomas Hebsgaard og Hans Sloth

t^{2} − 5

8 + t
rt () =

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Side 8

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 8 af 35

Med disse værdier kan være interesseret i at finde en ligning for kurven, der kendes som f(x) eller y(x). Dvs.

en ligning, hvor funktionsværdien afhænger af x-variablen. Dette kan opnås ved at isolere ”t” i x komposanten og indsætte udtrykket for ”t” i y-komposanten:

88x t t x= + ⇔ = −

t indsættes i y koordinatfunktionen:

          22
y x x x x ( ) ( 8) 5 64 8 5 = − − = + − −

      2
y x x x ( ) 8 59 = − +

Det kan ses, at funktionen y(x) er et andengradspolynomium.

Tretrinsreglen

Differentialregning eller infinitesimalregning er en gren inden for matematikken, der kan beskrive hvordan en vektorfunktion udvikler sig.

Når der arbejdes med differentialregning, kan man udnytte tangenter til at forklare en grafs egenskaber.

Hvis en funktion ”f” er differentiabel i definitionsmængden dvs. alle x-værdier, så er funktionen differentiabel. Det skulle derfor være muligt at beregne differentialkvotienten f´(x) til hvilket som helst x.

Dette kaldes også for den afledte funktion, når differentialkvotienten til en kontinuert funktion beregnes. [2] Hvis man kender en funktions forskrift kan man benytte en metode ved navn ”Tretrinsreglen” til at finde

´( )fx , som er differentialkvotienten for et bestemt punkt på en graf. Et bestemt punkt kaldet P har
  0                                                                    0

koordinaterne, ( )x f x og er lokalt lineær. [3] Dette vil sige, at den går en ret linje gennem P_{0} med en

( )_{00}

hældning på ´( )fx . Tretrinsreglens formål er at beregne hældningskoefficienten, når vi kun kender til
             0

tangentens røringspunkt med grafen. Differentialkvotienten beregnes ved at tage grænseværdien, hvor x

går mod x_{0}:

Δ f f x f x ( ) ( )_{0} −

0

0

= → → f x x x ´( ) når
Δ− x x x

2

Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S, 1.udgave 1.

oplag s.162-165

3

Figur 3: Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S,

1.udgave 1. oplag s. 169

Side 9

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 9 af 35

Metoden går ud på, at man beregner hældningskoefficienter for rette linjer, der går gennem punktet P_{0} og

tilfældige punkter på grafen. På Figur 3 er der indtegnet et eksempel på et polynomium med to tilfældige rette linjer, som også kaldes sekanter. Ideen med sekanten er, at man beregner hældningen for den, som svarer til gennemsnitshældningen af det stykke af grafen ”f”. Sekanthældningen er matematisk set

differentialkvotienten, men den kan være upræcis i forhold til den korrekte hældning af punkt P_{0}.

                              4
Sekanthældningen beregnes således:

( ) ( )f x f x −
 10

a_{1} =
xx_{10} −

Derefter vælger man en ny x-værdi, som ligger tættere på x_{0}. Metoden er, at man nærmer sig en x-værdi,

der ligger ekstremt tæt på det ønskede punkts x. Hermed kan man komme uendeligt tæt på det rigtige svar.

Sekanthældning kan også kaldes for tangenthældningen, da det er en ret linje, der tangerer grafen i punktet, hvor begge linjer har ensbetydende hældninger.

Med vektorfunktioner kan det forstås, at en retningsvektors koordinatfunktioner begge er differentiable, hvis de er kontinuerte. Retningsvektorens differentialkvotient skrives: [5] xt ´( )

rt ´( ) =

yt ´( )

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Fysikken bruger vektorer til at beskrive mekaniske bevægelser. Differentiale kvotienten til ()rt kan også

kaldes for hastighedsvektoren ()vt, hvis retningsvektoren er lig: ( ) ( )r t s t=. Hældningen for den linje, som

tangerer grafen i et bestemt punkt er lig med hastigheden for et legeme. Denne hastighedsvektor kan på samme måde differentieres, hvor man får accelerationsvektoren ()at. Accelerationsvektoren giver dermed indsigt i, hvordan hastighedsvektoren ændrer sig, mens hastighedsvektoren angiver hvorledes ()st ændrer sig mht. tid.

´´( ) ´( ) ( )s t v t a t==

4

Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S, 1.udgave 1.

oplag s. 168-173

Mat B2 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag s. 184-186

5

Kernestoffet på højt niveau af Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen(1990), forlaget systime a/s s. 41-44

Side 10

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 10 af 35

Den italienske fysiker, filosof og astronom Galileo Galilei() arbejdede med, hvordan legemer bevæger sig mht. x og y-retningen. Han eksperimenterede med uafhængighedsprincippet, som forklarer, at den vandrette og lodrette bevægelse sker uafhængigt af hinanden. Dette kan forklares, da legemet

                                                                                      6
påvirkes af en jævn bevægelse/hastighed i x-retningen, mens y-retningen påvirkes lodret af tyngdekraften.

De to koordinatfunktioner hedder:

( ) og ( )x t y t

Når de differentieres fås deres hastighedsfunktioner i x og y-retningen:

== x t v t ´( ) ( )_{x}

== y t v t ´( ) ( )_{y}

dx dt dy dt

Ifølge tidligere forklaring kan man differentiere det beregnede udtryk for at få accelerationfunktionerne:

= = = v t x t a ´( ) ´´( )
  xx

= = = v t y t a ´( ) ´´( )
  yy

dv_{x}

dv_{y}

dt dt

Hvis man vil finde retningen for hastigheden v skal man anvende Pythagoræs læresætning og isolere

           7
hypotenusen:

      22
v v v=+
     xy

Det skrå kast

Det skrå kast er en parabel, der bevæger sig i et homogent tyngdefelt. I kastet tages der ikke i hensyn til luftmodstanden, og der arbejdes kun med påvirkelse fra tyngdekraften. Homogent tyndefelt betyder, at tyngdekraftens påvirkning er ensartet alle steder i koordinatsystemet.

6

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 75-81

7

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 79

Side 11

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 11 af 35

I det skrå kast har kastet til at begynde med en startvinkel kaldet α

, der også hedder skuddets elevation, som minimum er over 0° og under 90°. Dette kan skrives som: 0 90 ° < < °.

α

Vandret bevægelse

Ifølge Isaac Newtons 1. lov også kaldt Inertiens lov vil en genstand, som ikke er påvirket af en resulterende kraft enten ligge stille eller fortsætte med at bevæge sig med den samme hastighed. Med dette kan vi konstatere, at legemet i et skrå kast vil have en retlinjet bevægelse med en uforandret hastighed, altså en

           8
konstant fart.

Ud fra disse antagelser kan teorien fra mekanisk anvendes til at beskrive den vandrette bevægelse.

                              9
Indenfor er mekanikken strækningen:

s v t =⋅
s strækning =
v hastighed =
t tid =

Hvis dette udtryk omformuleres til bevægelse i x-retningen ser den således ud:

x t v t=⋅_{0}_{x} ()

I dette udtryk for strækning afhængig af tid, er den eneste umiddelbare parameter ”t”, men hastigheden i

x-retningen v_{0x} afhænger af legemets starthastighed v_{0} og affyringsvinklen. Ud fra simpel trigonometri

α

for en retvinklet trekant kan vi ud fra Figur 1 observere, at v_{0x} er den hosliggende katete til

                                                                         10
starthastigheden. Ved brug af formlen for cosinus: cos( ) = , som kan omskrives til:

hosliggende hypotenusen θ

v_{0}_{x}
v_{0}

cos( ) =. Vi isolerer nu v_{0x} og indsætter den i vores udtryk for x(t):

α

v_{0}_{x}
cos( ) cos( ) = ⇔ = ⋅ vv_{00}_{x}
v_{0}

αα

8

Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag s. 285

9

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 76-81

Figur 1:

Illustrationen kan også ses på side 268 i Orbit B bogen.

Side 12

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 12 af 35

x t v t v t ( ) cos( ) = ⋅ = ⋅ ⋅
      00 x

α

Lodret bevægelse

I den lodrette retning sker der en påvirkning fra tyngdeaccelerationen. Den generelle formel for hastighed

                        11
med konstant acceleration er:

v a t v= ⋅ + . Omskrevet til det skrå kast hedder den: v a t v= ⋅ +
        0                                       0y

Når vi igen anvender trigonometri kan man se, at v_{0 y} kan udtrykkes ved: vv_{00}_{y} =⋅ sin( ). Accelerationen a

α

                                               12
er tyngdeaccelerationen, der modvirker legemets retning:

v g t v = − ⋅ + ⋅ sin( )
 y         0

g tyngdeacceleration =:9,82_{2}

m s α

                                                                         13
Ved frit fald for et legeme med konstant acceleration i lodret retning gælder der følgende:

     11
         22
y t g t v t y g t v t y ( ) sin( ) = − ⋅ ⋅ + ⋅ + = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ( )
            y
     22

0 0 0 0 α

Dette udtryk for y anvender stadigvæk t som afhængig variabel. Det kan laves om ved at isolere t i udtrykket for x(t) og indsætte det i den opstillede ligning for y:

x t v t = ⋅ ⋅ ⇔ = cos( )
      0

v_{0} ⋅ cos( )

x α α

Ved at indsætte denne formel for tiden t, får vi et andengradspolynomium, der kan beregne legemets position mht. til x-variablen:

11

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 76-81

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 93-94 og

276-280

Side 13

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 13 af 35

     1      xx
y x g v ( ) sin( ) = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( )
                    0
          vv ⋅⋅
          00

2

v_{0}_{y}
y x x x () = ⋅ + ⋅_{2}^{2}
2 ⋅ vv_{00}_{xx}

2 cos( ) cos( )

− g

α αα

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Det kan ses, at den ene x-værdi har en potens på 2, der forklarer, at funktionsforskriften er et andengradspolynium. Den beskriver også parablen som en kurve med grenene nedad, da tyngdeaccelerationen virker i modsat retning i forhold til legemet. Den starter og slutter i samme højde, da

der anvendes en start højde på_{0} 0y =.

Hvis man er interesseret i at finde den optimale affyringsvinklen for at opnå det længste kast, skal man kende til legemets affyringshøjde og landingshøjde. Vi tager udgangspunkt i at legemet starter og slutter i

0y =. Dermed kan vi anvende nulreglen, hvor den ene af de to faktorer er lig 0, hvis de to faktorer ganget
sammen giver 0.^{14}

             2
y t g t v t ( ) sin( ) 0 = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
                0

1

2 α

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Der er to svar for at produktet bliver ( ) 0yt =, da der er to faktorer. De hedder således:

t = 0 eller t g t v = − ⋅ ⋅ + ⋅^{2}_{0} sin( )

1

2 α

Dog er t = 0 startpositionen, og vi vil undersøge slutpunktet x_{slut}:

Ved at isolere t og indsætte det i formlen for y(t), får vi et udtryk for kastevidden også kaldt x_{slut}.

     1
         2
y t g t v t t ( ) sin( ) 0 = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇔ = ( )
            0
     2

2 sin( ) ⋅⋅ v_{0}

g α α

t indsættes i x t x= () :
                slut

2 sin( ) ⋅⋅ v_{0}

x v t v = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ cos( ) cos( )
 slut       00

g α αα

14

Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag s. 268-270

Side 14

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 14 af 35

Da 2cos( ) sin( ) sin(2 ) ⋅= kan udtrykket omskrives til:

α α α

v_{0}^{2} ⋅ sin(2 )
x_{slut} =

g α

I udtrykket er starthastigheden v_{0} og tyngdeacceleration g konstant, når vi leder efter den bedste

affyringsvinkel. Der er altså kun sin(2 ) α tilbage som variabel, der ændrer sig mht. vinkelen.

Hvis man ser på enhedscirklen(Figur 2) kan man se, at den største sinusværdi maksimalt kan blive 1, som er ved 90°. Altså kan vi opstille en ligning, hvor affyringsvinklen isoleres:

90 °

Optimal affyringsvinkel: 2 90 45 ⋅ = ° ⇔ = = °

2 αα

Den bedste vinkel at affyre objektet uden luftmodstand er 45°. [15]

Maksimalhøjde

Tidligere fandt vi frem til, hvordan hastigheden på den lodrette akse beregnes afhængig af tiden:

v g t v = − ⋅ + ⋅ sin( )
 y         0

g tyngdeacceleration =:9,82_{2}

m s α

Når den maksimale højde, også kaldet stighøjden, skal beregnes, ved vi at den lodrette hastighed er 0 i toppunktet af parablen. Dvs. at man kan opstille følgende ligning:

v v g t = = ⋅ − ⋅ 0 sin( )
 y top  0

α

Tiden ”t” kan skrives som t_{top}, da det er tiden for vores nulpunkt i ligningen. t_{top} kan isoleres, så vi kender

formlen for, hvornår objektet tidsmæssigt når sin stighøjde. [16]

15

Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag

Mat B1 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag s. 99

16

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 279-280 Figur 2 viser en enhedscirkel, hvor cosinus og sinus til vinklen A er vist.(Mat B bog s. 96)

Side 15

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 15 af 35

v_{0} ⋅ sin( )

0 sin( ) = ⋅ − ⋅ ⇔ = v g t t
    0          top top

g α α

Nu kender vi til den ubekendte variabel ”t” i vores formel med y afhængig af t:

         1
             2
y t y g t v t ( ) sin( ) = = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ( )
     max 0
         2

              2
1   ⎛⎞ vv ⋅⋅ sin( ) sin( )
      00

y g v = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅     ( sin( ))
 max 0

2 gg α αα α

⎜⎟

⎝⎠

Dette udtryk reduceres:

Potens parentesen opløses, og produktet

( sin( )v
 0

α

⋅ ganges ind i brøkens tæller:

2 2 2 2

1 vv_{00} ⋅⋅ sin( ) sin( )
y_{max} = − ⋅ +

2 gg αα

De to brøker lægges sammen og giver den maksimale højde:

2 2 2 2

1 vv_{00} ⋅⋅ sin( ) sin( )
y_{max} = ⋅ =

22 gg ⋅ αα

Tiden for toppunktet, som vi fandt, kan også anvendes til at finde tiden for hele objektets bevægelseslængde på x-aksen. Da der ingen luftmodstand er, må vi antage, at objektets bevægelse er symmetrisk efter toppunktet.

tt=⋅ 2
 kast top

Kastetiden t_{kast} indsættes i udtrykket for x(t) og reduceres:

0

v_{0} ⋅ sin( )

x v t v = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ cos( ) cos( ) 2
 slut kast  00

v_{0}^{2} ⋅⋅ sin(2 )

x t x v t ( ) cos( ) = = ⋅ ⋅
      slut

x_{slut} =

g g α α αα α

Side 16

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 16 af 35

Eksempel på en vektorfunktion for et skrå kast

I dette eksempel kigges der på en golfkugles slag forløb med den udledte teori for det skrå kast. Den sendes

af sted med en hastighed på 50m/s og en affyringsvinkel på 60,0°. Kuglen starter i punktet (0;0) i et

koordinatsystem.

En vektorfunktion med en bestemt retning skrives:

( )_{00}

vt_{0} ⋅⋅ cos( )

             2
yt ()  − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + g t v t y sin( )

xt ()

rt () ==

1

⎝⎠ 2 α α

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Når man indsætter værdierne for golfkuglens startbetingelser i vektorfunktionen

()rt får vi x- og y-komposanterne til at være:

yt () 1 mm_{2}

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + 9,82 50 sin(60) 0 tt
        2

50 cos(60) ⋅⋅ t xt ()

rt () ==

2 ss m

⎛⎞ s

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

Ved at eksperimentere med dette kan vi finde golfkuglens stighøjde og kastelængde. Der startes med kastelængden, som vi tidligere udledte en formel for:

v_{0}^{2} ⋅⋅ sin(2 )
x_{slut} =

g α

Værdierne indsættes og x_{slut} udregnes:

m^{2}

9,82_{2}

50 sin(2 60 ) ⋅ ⋅ °

xm_{slut} == 220,474

s m s

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Toppunktet for golfslaget beregnes:

m^{2}
50 sin(60 )^{2} ⋅°
v_{0}^{22} ⋅ sin( ) s
ym_{max} = = = 95,468
9,82 2_{2} ⋅

g ⋅ 2 m s α

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Side 17

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 17 af 35

Grafen for golfslaget kan konstrueres i software programmet Mathcad:

Eksempel på brug af infinitesimalregning:

Dette eksempel vil tage udgangspunkt i det skrå kasts retningsvektor og vise, hvordan man finde hastigheds og accelerationsvektoren for kastet.

Accelerations og hastighedsvektor

Før at vi kan finde differentialkvotienten skal man kende til de nødvendige regneregler indenfor differentialregning. Her er et skema for de afledte funktioner af f(t), som er nødvendige at vide anvende. [17] f(t) f´(t)

f(t)=k f´(t)=0
f(t)=a ⋅ t f´(t)=a
f(t)= t^{n} f´(t)= nt ⋅^{−}^{1n}

17

Mat B2 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag s. 186-187

Det kan ses på det skrå kast, at y_{max}

ligger omkring 95-100 meter, mens den maksimale skudlængde er over de 200m. Det passer fint med værdierne, som blev udregnet.

( )_{00}

vt_{0} ⋅⋅ cos( )

             2
yt ()  − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + g t v t y sin( )

xt ()

rt () ==

1

⎝⎠ 2 α α

⎛⎞

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

Side 18

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 18 af 35

Først findes hastighedsvektoren ()vt ved at differentiere retningsvektoren ()rt:

⎛ ⋅ ⋅ ⎞ ( ) vt cos( ) ´
       0
⎜⎟

( )_{00}

               2
yt ´( ) − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + g t v t y sin( ) ´

xt ´( )

r t v t ´( ) ( ) = = =

1

2 α α

⎛⎞

⎜⎟ ⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

X-komposanten indeholder en afhængig variabel ”t”, der er ganget sammen med to konstanter cos( ) t ⋅.

α

                                 18
Når x(t) differentieres fjernes t-værdien.

y-komposanten y(t) er anderledes, da den indeholder:

⎛⎞_{0}

vt ()   v g t ⋅ − ⋅ sin( )
 y
         0

⎛⎞ vt_{x} () v ⋅ cos( )
vt () ==

α α

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

Man kan bemærke, at x-retningens hastighed har en jævn bevægelse, mens y-retningen hastighed påvirkes af en negativ kraft i form af tyngdeaccelerationen. Ved at differentiere hastighedsvektoren fås: at () 0

a t v t ( ) ´( ) = = =
at_{y} () − g

⎛⎞_{x} ⎛⎞

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

Det kan ses, at der ingen acceleration i x-retningen er, som stemmer overens med Newtons 1. lov at et legeme på bevæge sig med konstant hastighed, hvis den ikke påvirkes af nogen kraft. Legemet får en stigende negativ hastighed fra tyngdeacceleration, som modvirker affyringsretningen og danner en

parabel.^{19}

Luftmodstand

I vores tidligere udregninger antog vi, at luftmodstand ingen effekt havde på vores golfkugle i bevægelse. I virkeligheden har luftens modstand eller trækkraften en betydelig indflydelse på det skrå kast af objekter.

Dette inkluderer især golfkugler. Det er nødvendigt at tilføje nogle bevægelsesligninger, hvis vi skal

                                                        2 20
medregne luftmodstandsfaktoren, som afhænger af gnidningsloven v .

18

Kernestoffet på højt niveau af Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen(1990), forlaget systime a/s s. 41-44

19

S. 80-81 Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1.

udgave 1. oplag

20 Figur 7 viser, hvordan turbulent og

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 99-100 laminar strømning ser ud.

http://blog.nialbarker.com/252/slow_is_faster

Side 19

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 19 af 35

 2
v loven− fortæller om gnidningskraften af et objekt, som bevæger sig igennem gas eller væske.

Gnidningskraften er en faktor, som der ikke kan gøres fuldstændig teoretisk rede for. Man har derfor benyttet eksperimenter i vindtunneler og vandbassiner til at undersøge, hvordan strømlinjer omkring legemet bevæger sig. I de empiriske eksperimenter har man fyldt vindtunneler med røg og tilføjet farvestof i vandbassiner, som har bevist at objekter, der bevæger sig med en lav hastighed får en laminar strømning,

mens store legemer med høj hastighed får en turbulent strømning.^{21}

Bernoullis princip

Bernoullis effekten blev opkaldt efter den schweiziske matematiker og fysiker Daniel Bernoulli. Han er bekendt indenfor videnskaben, fordi han bl.a. forklarede sammenhængen mellem hastighed og luftstrømning omkring et legeme i bevægelse. Hvis vi tager udgangspunkt i det skrå kast med en golfkugle, så er det kuglen, som bevæger sig, mens luften er stillestående. [22]

Bernoullis princip kan forstås i en omvendt sammenhæng, hvor kuglen står stille uden rotation eller bevægelse, hvor luften bevæger sig forbi kuglen.

Figur 6 viser et eksempel på dette, hvor luften accelereres op til en højere hastighed, når den bevæger sig forbi bolden. Den stigende hastighed betyder, at der opstår en trykforskel. Foran kuglen vil der opstå et højere tryk end rundt om kuglen, som øger luftens hastighed. Det betyder også, at det lave tryk rundt om kuglen vil decelerer luften.

Denne sammenhæng mellem tryk og hastighed kan forstås lettere med en simpel figur som Figur 8, hvor et sammensat tykt og tyndt rør indeholder en vilkårlig væske, der bevæger sig mod højre. Her er væskens hastighed lavere i det høje tryk og højere i det lave tryk.

21

http://nautilus.fis.uc.pt/personal/pvalberto/aulas/cef_mestrado/Air.Resistance.pdf s. 1-3

22

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 83-84

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli's_principle

Figur 6 viser en golfkugle uden bevægelse, hvor luft passerer den. De røde vektorer illustrerer det lavere tryk, mens de blå vektorer forestiller det højere tryk.

http://www.srh.noaa.gov/jetstream/tstorms/ll_updrafts.htm

Side 20

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 20 af 35

Magnus effekten

Bernoullis princip redegører altså for, hvorfor luftstrømningen accelerer og deaccelerer rundt om en golfkugle. Der kan til gengæld opstå flere betydningsfulde faktorer, hvis golfkuglen roterer. Hvis kuglen er i bevægelse i f.eks. luft, så vil der opstå en trykforskel under og over kuglen, som medfører ”opdrift”. [23] En golfkugle, som roterer om en akse gennem kuglens centrum kaldes en skruet kugle. Hvis vi antager, at en kugle roterer rundt om en vandret akse, så vil luftstrømningen oven på kuglen få en forøget hastighed i forhold til at luftstrømningen under kuglen(se figur 9). Dette sker på grund af gnidningskraften mellem golfkuglens overflade og luften. Luften, som rammer kuglens overflade vil hermed føres rundt i en cirkelbevægelse. Hvis en luftstrøm har en vandret hastighed, så vil luftstrømningen over kuglen få en øget hastighed og ifølge Bernoullis princip et lavere tryk. Kuglens underside vil samtidig få et overtryk, som skaber en opdrifts kraft.

Figur 9 viser, hvordan luftstrømningerne adskilles fra hinanden. Nogle af dem passere under kuglen, og andre over kuglen. Farten stiger på oversiden i forhold til undersiden, som betyder, at trykket også bliver større under kuglen og skaber en opdrift. Man kan derfor få mere opdrift på sit legeme i luften ved at tilføje baglæns rotations, også kaldet ”backspin”.

Kraften som giver kuglen rotation står vinkelret på dens bevægelsesretning. Denne kraft kan findes ved at

opløse de vandrette og lodrette komposanter. Den lodrette komposant er vores opdrift for kuglen F_{opdrift},

mens den vandrette er en bagudrettet kraft F_{v}, som vender modsat bevægelsesretningen, indtil kuglen

opnår sit toppunkt, hvor den vender den anden retning. Dette kan illustreres med figur 10:

23

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 84-85

http://library.thinkquest.org/11902/physics/curve2.html

Side 21

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 21 af 35

v^{2} -loven og Reynoldstallet
Ud fra de mange forsøg har man konstateret, at luftmodstanden i laminar strøm F_{luft} er proportional med

hastigheden v. Hvis det derimod er et stort legeme med stor hastighed, så er luftmodstanden proportional med kvadratet på hastigheden, også kaldet arealet, hvor hastighedens længde og bredde ganges sammen

             2
og giver: F v k=⋅ . Bogstavet ”k” er et matematisk udtryk, som ganges på og afhænger af legemets
        luft

formfaktor, densitet af gas eller væske og arealet af legemet. [24]

Det viser sig, at forskellen på turbulent og laminar strømning har stor indflydelse for gnidskraften. Man kan heldigvis bruge teoretiske udregninger til at undersøge, hvordan ens legeme bevæger sig. Dette kan bestemmes med Reynoldstallet:

v = legemets hastighed
d = legemets diameter
= viskositeten af det stof, som legemet bevæger sig i

R_{e} =

⋅⋅ vd

= densitet

ρ η ρ η

24

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 99-102

Figur 10 viser en skruet bolds bevægelse, hvor der er en lodret opdrift, en bagudrettet kraft og den resulterende kraft, som står vinkelret på bevægelsesretningen.(selvtegnet figur)

Side 22

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 22 af 35

Hvis man kommer frem til et Reynoldstal, som er mindre end 1, dvs. R <_{e} 1, så er strømningen laminar.
Den er derfor turbulent, hvis tallet er R >_{e} 1.

Som beregningseksempel brugte vi en golfkugle i luft med en affyringshastighed på v=50. Diameteren på

m s

en golfkugle er på 4cm=0,04m. Luftens densitet ligger på_{luft} = 1,204_{3}.

kg_{25}

m ρ

Viskosisten er en konstant, der fortæller om et objekts træghed eller indre friktion. For luft er den:

=⋅ 1,81 10^{−}^{5}.
m^{2}

luft

Ns ⋅ η

Reynoldstallet kan nu beregnes:

1,204 50 0,04 ⋅⋅ m
      3

R_{e} = = = ⋅^{luft} 1,436 10^{5}
1,81 10^{5} ⋅^{−}
m^{2}

kg m

⋅⋅ vd ms

Ns ⋅ ρ η

Tallet er tydeligvis højere end 1, og kastet har turbulente strømninger. Hvis kuglen var meget lille med en lav hastighed, så skulle man anvende Stokes lov i stedet for, som hedder: [26]

F r v = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 6
 gnid

r radius =
= viskositeten
v hastighed =

πη η

Beregning af gnidningsmodstanden

Når der regnes med turbulente strømlinjer er luftmodstanden v^{2} -afhængig.

Denne formel for luftmodstand anvendes:

25

http://en.wikipedia.org/wiki/Golf_ball

26

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 283-284

Side 23

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 23 af 35

2

2

1

2

F k v =⋅
 luft

F c A v = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
 luft w

ρ

Denne formel er udledt af følgende antagelser:

Legemet bevæger sig med en hastighed på v og vil efter et tidsinterval have bevæget sig:

s v tΔ = ⋅Δ

Legemet vil påvirke luftmængden med en kraft F, mens arbejdet A, som kuglen udfører, er lig luftmængdens kinesiske tilvækst i energi efter et bestemt tidsinterval tΔ: [27]

           2
E m v= ⋅ ⋅
 kin

1

2

F s m v ⋅Δ = ⋅ ⋅^{2}

1

2

m = masse af mængden af luft, som bevæger sig

Massen kan da findes ud fra luftens densitet, den bevægede strækning og areal. Ligningen kan udvides til:

F s A s v ⋅Δ = ⋅ ⋅ ⋅Δ ⋅^{2}

1

2 ρ

Ud fra denne ligning kan man se, at den bevægede strækning, sΔ

, ingen indflydelse har for gnidningskraften.

F s A s v F A v ⋅Δ = ⋅ ⋅ ⋅Δ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅^{22}

11

22 ρρ

F er den kraft, som vores legeme påvirker luftmængden med, mens luftmodstanden er den kraft, som luften påvirker legemet med. De er altså modsatrettet og har forskellige fortegn. Dette stemmer overens med Newtons 3.lov, som siger at ”Hvis en genstand påvirker en anden med en kraft, så vil den anden genstand påvirke den første med en ligeså stor, men modsatrettet kraft” [28]

27

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 285-286

28

Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag s. 285

Side 24

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 24 af 35

Der antages i vores formel, at luftens der rammer tværsnittet af vores legeme har farten v, men der tages ikke hensyn til, hvordan luften bevæger sig efter det. Noget af luften vil strømme ud til siderne. Dette afhænger af legemets form eller formfaktor, som kaldes, som hovedsageligt bestemmes ud fra om legemet er strømlinieformet, som øger mængden af luft, der strømmer ud til siderne.

Når formfaktoren c_{w} er bestemt, er det en konstant, som ganges på formlen for gnidningskraft:

2

1

2

F s c A s v ⋅Δ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Δ ⋅_{w}

ρ

Dog har formfaktoren c_{w} ikke kun indflydelse fra

formfaktoren. Reynoldstallet, som vi tidligere udregnede afgør også konstanten. For et kugleformet legeme som golfkuglen, så anvendes

Figur 4, der er et logaritmisk koordinatsystem med

R_{e} ud fra x-aksen og c_{w} ud af y-aksen. Vi kom til

                          5
et Reynoldstal på: R =⋅ 1,436 10 . Her kan
                e

                                    29
formfaktoren aflæses til at være cirka c = 0,4 .
                             w

Når der sammenlignes med et skrå kast med luftmodstand ved man, at luftmodstanden er modsatrettet legemets bevægelses retning ifølge Newtons 3. lov. Samtidig skal begge krafter være lige store. Dette kan illustreres med Figur 5.

Man kan se, at luftmodstanden er modsatrettet med en lige så stor kraft som legemets hastighed påfører. Det viser også, at forholdet mellem hastigheden og den modsatrettede kraft er lige stor mellem x og y-aksen.

29

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 101

Figur 4 viser et logaritmisk

koordinatsystem med R_{e} på x-aksen og
c_{w} på y-aksen.

Side 25

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 25 af 35

Man kan derfor antage, at størrelsesforholdene eller målestoksforholdene mellem siderne i x-aksen, y-aksen og hypotenuserne i de to trekanter

          30
er lige store:

luft luft y luft x,,

v_{y}
v v_{x}

F F F

== forskelligt fortegn. (selvtegnet)

Det kan ses på figur 5, at begge trekanter er retvinklede. Hypotenusenerne er lige store begge, da de to

kræfter v og F_{luft} er modsatrettet lige stærke. De lodrette kræfter F_{,luft y} og v_{y} er parallelle i forhold til
hinanden, og F_{,luft x} og v_{x} er parallelle med hinanden. Man kan derfor konstatere, at trekanterne er

ensvinklede.

Ved at isolere luftens modstandskraft i y-retningen F_{,luft y} fås: [31]

= ⇔ = ⋅ Fv_{,}

luft luft y,

vF_{y luft}

luft y y v

F F v

                     2          2
F  kan erstattes med kv⋅ , da det er v loven− , som bruges. Udtrykket reduceres til:
 luft

kv ⋅^{2}

,luft y y y

F v v k v = ⋅ = ⋅ ⋅

v

Samme princip kan gøres for luftmodstanden i x-aksen, som resulterer i:

,luft x x

F v k v= ⋅ ⋅

Ved brug af Newtons 2.lov F m a=⋅ kan vi omskrive den venstre side af lighedstegnet for
                      luft

luftmodstanden i x- og y-retningen:

30

http://fc.vucaarhus.dk/flexmatematikb/materialer/Ensvinklede_trekanter.pdf

31

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 99-101

Figur 5 viser hastighedens retning, hvor luftmodstanden har modsat retning og opfylder

Newtons 3.lov.(selvlavet tegning)

Figur 5 viser to modsatrettede kræfter med

Side 26

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 26 af 35 x x luft x, y y luft y,

m a k v v F ⋅ = ⋅ ⋅ =
m a k v v F ⋅ = ⋅ ⋅ =

Ved at isolere acceleration i begge ligninger får vi et udtryk for accelerationen i x- og y-retningen. Der tages

                                                            2
hensyn til at y-retningen også påvirkes af tyngdeaccelerationen g=9,82m/s . Den lægges til som en konstant:

x x x x ⎜⎟ y y y y ⎜⎟ k

m a k v v a v v ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = − ⋅ ⋅

m k

m a k v v a v v g ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ = − ⋅ ⋅ +

m

⎛⎞

⎝⎠

⎛⎞

⎝⎠

Der er tilføjet et negativt fortegn til begge accelerationer, da de påvirker legemet med negativt fortegn.

                                22
Hastigheden v kan da omskrives til v v v=+ , da vi kender formlen for hastigheden v ud fra
                                xy

          32
trigonometri. Tallet k kan også omskrives til k C A = ⋅ ⋅ ⋅ .
                                          w

1

2 ρ

22

2 m

CA_{w} ⋅⋅

x x y x

a v v v = − ⋅ + ⋅

ρ

22

2 m

⎛⎞_{w}

y x y y ⎜⎟

CA ⋅⋅

a v v v g = − ⋅ + ⋅ +

ρ

⎝⎠

Dette er hermed accelerations komposanterne for x og y retningen. De har begge negativt fortegn, som betyder, at vores golfkugles hastighed vil falde med tiden og mindske strækningen, som golfkuglen tilbagelægger pr. tid. Hvis man skal konstruere en graf for det skrå kast med luftmodstand, skal man derfor opstille et udtryk for hastighedens ændring pr. tid. Dette er muligt at gøre ved at bruge en numerisk metode og differentialregning. Tidligere fandt vi ud af, at differentialkvotienten for hastighed i det skrå kast

   33
var:

⎛⎞ at_{x} () 0
v t a t ´( ) ( ) = = = =
at_{y} () g

dv ⎛⎞ dt −

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

32

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000), Systime, 1. udgave 1.

oplag s. 80-81

Side 27

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 27 af 35

Hastigheden blev differentieret med hensyn til tiden(t). Udtrykket fortæller om, hvor meget hastigheden v ændrer sig på et tidsinterval tΔ

. Derfor kan udtrykket for acceleration i x og y omskrives til: [34]

22

22

Δ tm 2

Δ tm 2

Δ ⋅ ⋅ v C A
  xw

x x y x

Δ v_{y}
⎛⎞_{w}

y x y y ⎜⎟

a v v v = = − ⋅ + ⋅

CA ⋅⋅

a v v v g = = − ⋅ + ⋅ +

ρ ρ

⎝⎠

Numerisk metode

For at kunne forstå fremgangsmåden til den numeriske metode, skal man kende til den schweiziske matematiker Leonhard Eulers metode, som senere blev videreudviklet af de tyske matematikere Runge og

Kutta. En af deres mest brugte numeriske metoder hedder Runge-Kutta-metoden,

                                  35
hvor differentialligninger som disse løses:

= f x y ( , )

dy dx

Det kendetegnes ved ligningen, at vi har de to ubekendte variabler x og y.

Metoden kan være en lang proces at fuldføre, da der er mange trin, som skal udføres. Formlen som bruges hedder:

y y y = + Δ
 n + 10

1 0 1 2 3 4

1

y y a a x = + ⋅ + + + Δ ( 2 2 )
 n +

6 αα

36 yΔ er ændringen i funktionsværdien, også kaldt

funktionstilvæksten. y_{0} Er funktionsværdien i

startpunktet. Dvs.(0;0) i vores eksempel med det skrå

kast af golfkuglen. y_{+}_{1n} er funktionsværdien efter, at

34

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave 1. oplag s. 112-113

35

Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og Ringhof A/S, 1.udgave 1.

oplag s. 294-295

Mat A htx af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus(2008), Systime, 1. udgave 1 oplag s. 336-339

36

Mat A htx af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus(2008), Systime, 1. udgave 1 oplag s. 336 Figur 11 viser et typisk eksempel på Eulers metode. Den blå linie er den korrekte graf for en funktion, mens den røde linie er konstrueret med Eulers metode, som beviser at det er en smart ide at anvende korte intervaller mellem punkterne.

http://www.codecogs.com/code/maths/calculus/ode/euler.php

Side 28

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 28 af 35 legemet har bevæget sig et interval. Den afhænger også af antallet af ordner. Eulers metode anvender da 1.

orden, og Runge-Kutta formlen kan reduceres til: [37]

y y f x y x = + ⋅Δ ( , )
  + 1

n n n n

Princippet går ud på, at vi kender golfkuglens startposition i x- og y-aksen y_{n}. Vi er interesserede i, at finde

tilvæksten af hastighederne af de to komposanter efter et bestemt tidsinterval. Det er derfor en god ide at bruge minimale tidsintervaller for at udregne en mere specifik hastighed, da vi antager det er en konstant hastighed mellem de to tidspunkter. Intervallerne kan resultere i upræcise beregninger, medmindre man anvender ekstremt korte tidsintervaller.

Der anvendes Microsoft Excel til udregninger og konstruering af graferne for golfkuglens bevægelse.

Formlen for bevægelse med konstant hastighed bruges til beregning af golfkuglens position, da det er den tilnærmede konstante hastighed mellem tidsintervallerne, som bruges:

s s v t = + ⋅Δ
    0

s startposition =
 0

v hastighed =
Δ= t tid

Formlen for ændringen i hastighed vΔ i henholdsvis x og y-aksen isoleres i formlerne, da acceleration som tidsligere nævnt er differentialkvotienten til hastigheden v:

22

22

22

Δ = − ⋅ + ⋅ + ⋅Δ^{22} v v v v g t

Δ tm 2

2 m

Δ tm 2

2 m

Δ ⋅ ⋅ v C A
  xw

x x y x

⎛⎞_{w}

x x y x ⎜⎟

Δ v_{y}
⎛⎞_{w}

y x y y ⎜⎟

⎛⎞_{w}

y x y y ⎜⎟

a v v v = = − ⋅ + ⋅

CA ⋅⋅

Δ = − ⋅ + ⋅ ⋅Δ v v v v t

CA ⋅⋅

a v v v g = = − ⋅ + ⋅ +

CA ⋅⋅ ρ ρ ρ ρ

⎝⎠

⎝⎠

⎝⎠

37

http://www.computerfysik.dk/integration-af-normale-differentialligninger/

Side 29

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 29 af 35

De to variabler v_{x} og v_{y} ændrer sig mht. til tΔ og er ubekendte i vores ligning.

Ændringen i hastighed vΔ (som er afhængig af tiden) skal trækkes fra begyndelseshastigheden, sådan at man får hastigheden efter en bestemt tid: hastighed i x efter ændring 0 hastighed i y efter ændring 0

v v v = − Δ_{xx}
v v v = − Δ_{yy}

Grafen, der laves for skrå kast med luftmodstand, bruger de samme startbetingelser som eksemplet vi lavede med det skrå kast uden luftmodstand. Her er alle betingelserne for det skrå kast med luftmodstand:

(20 ) 1,204_{3} °= C

2 2 2

v = 50
=° 60
c_{w} = 0,4

A r m m = ⋅ = ⋅ = 0,02134 0,001428
 golfkugle

m kg  = 0,0459
 golfkugle

luft m s kg m θ ρ ππ

Begyndelseshastigheden i x og y-aksen:

vv_{x}_{00} = ⋅ = ⋅ = cos( ) 50 cos(60) 25

vv_{y}_{00} = ⋅ = ⋅ = sin( ) 50 sin(60) 43,301

mm ss mm ss θ θ

For at gøre udregningerne meget præcise anvendes et tidsinterval på 0,01tsΔ=.

Konstruerede kurver

Her er et udsnit fra regnearket til det skrå kast i Microsoft Excel, hvor man kan se startbetingelserne og brugte formler.

Side 30

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 30 af 35

Se Bilag 1 og Bilag 2 for beregningsskemaerne af golfkuglens bevægelse uden luftmodstand og med

luftmodstand i tidsperioden 0ts= til 8,82ts=. De konstante hastigheder indsættes i formlen med

bevægelse med konstant hastighed og golfkuglens position beregnes. Excel har konstrueret kurverne ud fra dataene:

Den blå graf er golfkastet med luftmodstand, og den røde graf er golfkastet uden luftmodstand. Ved at sammenligne de to kurver, kan man se, at forskellen mellem de to kast er væsentlige.

Dette skyldes sandsynligvis formfaktoren og tværsnitsarealet, som bruges i formlen for luftmodstandens modsatrettede kraft:

22

Δ = − ⋅ + ⋅ + ⋅Δ^{22} v v v v g t

2 m

2 m

⎛⎞_{w}

x x y x ⎜⎟

⎛⎞_{w}

y x y y ⎜⎟

CA ⋅⋅

Δ = − ⋅ + ⋅ ⋅Δ v v v v t

CA ⋅⋅ ρ ρ

⎝⎠

⎝⎠

De to faktorer er med til at reducere kuglens hastighed og give et lavere toppunkt og skudvidde.

Golfkuglen opnår sin maksimale højde ca. 54,493ym= og skudlængde xm= 93,379 . Se bilag 2 og
                                 max                      slut

3 for skema.

Side 31

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 31 af 35

Konklusion

I denne opgave har jeg redegjort for, at en retningsvektor i plan er opløst i to retninger henholdsvis x- og y-komposanter. For det skrå kast uden luftmodstand beviste jeg med hjælp fra MathCAD, at banekurven er en parabel, også kaldt andengradspolynomium. Det viste sig også, at hvis man differentierede en strækningvektor

()st mht. tid, så fik man hastighedvektoren

()vt

. Hvis man da differentierede den afledte funktion ´( )st fik man accelerationsvektoren ()at.

Det viste sig, at det skrå kast med luftmodstand havde mange betydningsfulde faktorer at tage hensyn til.

                                     5                              2
Vi kom frem til et Reynoldstal på R =⋅ 1,436 10 , der betød, at luftmodstandsformlen v loven− skulle
                           e

anvendes til det skrå kast med golfkuglen. Formlen for denne lov blev omskrevet til to differentialligninger i

x og y-aksen, der kunne bruges til at finde den konstante hastighed i et tidsinterval på 0,01tsΔ= mellem

to punkter for golfkuglen. Da konstrueringen af grafen for det skrå kast med luftmodstand var pladskrævende, brugte jeg Eulers metode(numerisk metode) til at udregne koordinaterne. Der blev gjort brug af Microsoft Excel, som fremstillede en banekurve for golfkurven uden og med luftmodstand. Her var det tydeligt at opdage den væsentlige forskel af maksimal højde og skudvidde af de to grafer. Årsagen til denne forskel kommer af størrelsen for luftmodstandens modsatrettede kræft, der reducerer golf kuglens fart.

Side 32

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 32 af 35

Litteraturliste

Bøger

Fysik 112 af Lars Pedersen (2010), Nyt Teknisk Forlag, 3. udgave 2. oplag

Hvad er matematik? B af Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup(2012), Lindhardt og

Ringhof A/S, 1.udgave 1. oplag

Kernestoffet på højt niveau af Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen(1990), forlaget

systime a/s

Mat A htx af Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen og Klaus Marthinus(2008), Systime, 1. udgave

1 oplag

Mat B1 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag

Mat B2 htx af Klaus Marthinus og Michael Jensen(2009), Systime, 1. e-bogsudgave 2. oplag

Matematik 112 af Lars Pedersen(2010), Nyt Teknisk Forlag, 3. udgave 2. oplag

Orbit B af Per Holck Jens Kraaer og Birgitte Merci Lund (2006), Systime 1. udgave 2. oplag

Orbit BA af Brydensholt, Tommy Gjøe, Claus Jessen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2011), 2. udgave

1. oplag

Orbit 3 af Morten Brydensholt, Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben (2000),

Systime, 1. udgave 1. oplag

Hjemmesider

A Case Study in Computer Analysis:

http://wps.aw.com/wps/media/objects/877/898586/topics/topic01.pdf

Air Resistance: Distinguishing Between Laminar and Turbulent Flow:

http://nautilus.fis.uc.pt/personal/pvalberto/aulas/cef_mestrado/Air.Resistance.pdf

Mekanik:

http://www.matematikfysik.dk/fys/noter_tillaeg/note_mekanik.pdf

Projectile Motion with Air Resistance:

http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node29.html

Side 33

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 33 af 35

Video

http://www.youtube.com/watch?v=vATNh3wbl74

Bilag

Bilag 1

Startbetingelser for det skrå kast:

Side 34

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 34 af 35

Bilag 2

Skud med luftmodstand:

Excel dokumentet indeholder beregning fra tiden t=0s til t=8,82s. Med et tidsinterval på 0,01tsΔ=

mellem hvert punkt er der samlet set: = 882, dvs. 882 rækker med beregninger, som fylder ekstremt

8,82

0,01 mange sider. Derfor er en del af Excel dokumentet inkluderet.

Side 35

Studieretningsprojekt 10xvx Mat/Fys
HTX Viby Det skrå kast Afl. 21/12 2012

Side 35 af 35

Bilag 3