SRO om batterier

Side 1

STX 2.g

Lineære sammenhænge og

Ohms 2. lov

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

STX 2.g

Side 2

Side 2 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

INDHOLD

Indledning .......................................................................................................................................................... 3 Funktioner af to uafhængige variable ............................................................................................................... 4 Definitionsmængden: .................................................................................................................................... 4 Partiel differentiabilitet: ................................................................................................................................ 5 Minimum, maksimum eller saddelpunkt....................................................................................................... 5 Lineær regression .............................................................................................................................................. 8 Mindste kvadraters metode .......................................................................................................................... 8 Fysisk teori ......................................................................................................................................................... 9 Fysiske størrelser, symboler og enheder ....................................................................................................... 9 Elektriske komponenter .............................................................................................................................. 10 Ohms 2. lov .................................................................................................................................................. 10 Serie- og parallelkobling .............................................................................................................................. 11 Forsøg .............................................................................................................................................................. 11 Formål .......................................................................................................................................................... 12 Forsøgsopstilling .......................................................................................................................................... 12 Forsøsgang ................................................................................................................................................... 13 Data ............................................................................................................................................................. 13 Databehandling ........................................................................................................................................... 13 Fejlkilder ...................................................................................................................................................... 15 Mindstekvadraters metod i praksis ................................................................................................................. 16 Bibliografi ......................................................................................................................................................... 18

Side 3

Side 3 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

INDLEDNING

Denne opgave handler om ohms 2.lov. I løbet af opgaven vil der blive teoretisk redegjort for denne og teorien vil bliver eksperimentelt efterprøvet. Der vil blive redegjort for forskellen mellem at parallel- og seriekoble to batterier og alle måledata vil blive sammenholdt med den matematiske model. Den matematiske model skal også bruges til at finde hvilespænding, indre modstand samt kortslutningsstrømmen for de undersøgte batterier. Der udover vil opgaven forsøge at belyse det matematiske grundlag for modellen.

APSTRACT

This paper examines the linear correlation that Ohm’s second law predicts between the current intensity and the terminal voltage in a battery and the mathematical model used to process the physical data. Through interaction between theories, physical experiments and mathematical processing the physical correlations are supported. The data processing shows that the mathematical model fits the data quite well, but when it comes to the theory about series and parallel connections the experimental data are deviating a lot.

Side 4

Side 4 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

FUNKTIONER AF TO UAFHÆNGIGE VARIABLE

På samme måde, som der findes funktioner med en variabel, kan man også have en funktion med to uafhængige variable. I resten af dette afsnit vil de to uafhængige variable blive kaldet x og y. For hver kombination af værdier af variablene i deres definitionsmængde har funktionen én bestemt funktionsværdi. Hvis man vil afbillede en sådan funktion er to dimensioner ikke nok. Det skyldes at man for at kunne vise funktionen både skal have x-, y- og funktionsværdierne med. Man kan også vælge at bruge højdekurver eller farver til at markere forskelle i højden for en sådan graf, men det er ikke nær så illustrativt, og vil derfor ikke blive brugt i denne opgave.

DEFINITIONSMÆNGDEN:

Når man skal finde definitionsmængden for en funktion af to variable, bliver man nødt til at finde ud af hvad både x og y er defineret for hver for sig, samt om der er nogle særlige krav til x og y sammen.

Eksempel 1:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑥^{2} + 𝑦^{2}

Denne funktion er defineret for alle reelle tal både for x og y.

𝐷𝑚 ( 𝑓) = { x ∈ R,y ∈ R,}

Eksempel 2:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = + 𝑦

1 𝑥

√

Her er x defineret for alle reelle tal bort set fra 0, mens y er defineret for 0 og alle tal derover.

𝐷𝑚 ( 𝑓) = { x ∈ R,y ∈ R|x ≠ 0,y ≥ 0}

Eksempel 3:

𝐷𝑚 ( 𝑓) = log (𝑥 + 𝑦)

Her er både x og y defineret for alle reelle tal, men x+y skal være over 0

𝐷𝑚 ( 𝑓) = { x ∈ R,y ∈ R|x + y > 0}

Figuren viser grafen for 𝒇 ( 𝒙,𝒚) = 𝒙^{𝟐} + 𝒚^{𝟐}, for x og y værdierne i

intervallet [-1;1]

Side 5

Side 5 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

PARTIEL DIFFERENTIABILITET:

Når man vil undersøge en funktion af to variables ekstrema kan man nøjes med at gøre brug af partiel differentiabilitet. Partiel differentiabilitet kan lige så vel kaldes delvis differentiabilitet, da det netop er hvad der er tale om. Man differentierer en funktion delvist ved at betragte den ene variabel som en konstant også differentiere med hensyn til den anden. Differentialkvotienten for funktionen f med hensyn til x skrives således:

𝑓^{′}_{𝑥} ( 𝑥,𝑦) 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕

𝜕𝑥

Eksempel 1:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = 𝑥^{2} + 2𝑦^{2} + 𝑥𝑦 − 3𝑥

𝑓^{′}_{𝑥} ( 𝑥,𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 − 3

𝑓^{′}_{𝑦} ( 𝑥,𝑦) = 4𝑦 + 𝑥

Stationære punkter

Når man undersøger en funktion af en variabel, kan man finde ud af hvor funktionen har vandrette tangenter ved at

løse ligningen 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) = 0. Disse punkter skal man bruge når man vil finde ekstrema. Det samme gælder for funktioner

af to variable, her undersøger man bare hvor funktionen har vandrette tangenter i både x og y retningen. Det kan man

gøre ved at løse 𝑓^{′}_{𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦) = 0 og 𝑓^{′}_{𝑦} ( 𝑥,𝑦_{0}) = 0 hvilket giver koordinatsættet (𝑥_{0},𝑦_{0}) hvor funktionen altså har

vandrette tangenter både i x og y’s retning. Sådan et punkt kaldes et stationært punkt. Tilsvarende til de tre former for vandrette tangenter, der findes for en funktion af en variabel, er der også tre former for stationære punkter. De tre slags stationære punkter kaldes minimum, maksimum og sadelpunkt.

MINIMUM, MAKSIMUM ELLER SADDELPUNKT

For at finde ud af om et givet stationært punkt er et minimum, maksimum eller et saddelpunkt gør vi brug af de dobbeltafledte funktioner. Der er tre måder man kan dobbeltafledte en funktion af to variable. Med hensyn til x to gange, med hensyn til y to gange eller med hensyn til x og y. Hvilken række følge man differentierer i er ligegyldig.

De tre figurer vis fra venstre til højre graferne for 𝒇 ( 𝒙,𝒚) = 𝒙^{𝟐} + 𝒚^{𝟐}, 𝒇 ( 𝒙,𝒚) = −𝒙^{𝟐} − 𝒚^{𝟐} og 𝒇 ( 𝒙,𝒚) = −𝒙^{𝟐} + 𝒚^{𝟐}. Alle tre funktioner har et

stationært punkt i 0,0. Den første funktion har et minimum, den anden funktion har et maksimum, og den tredje har et saddelpunkt.

Side 6

Side 6 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

De tre muligheder for dobbeltafledte funktioner skrives således:

𝑓^{′′}_{𝑥𝑥} ( 𝑥,𝑦) 𝑓 ( 𝑥,𝑦) 𝑓 ( 𝑥,𝑦)

′′ ′′ 𝑦𝑦 𝑥𝑦

For at undersøge hvilken slags punkt det stationære punkt ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) er, undersøger vi følgende:

𝑓^{′′}_{𝑥𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) ∙ 𝑓^{′′}_{𝑦𝑦} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) − (𝑓^{′′}_{𝑥𝑦} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}))

2

Hvis resultater er under 0 er der tale om et saddelpunkt. Hvis resultatet er lig 0 kan vi ikke sige noget. Hvis resultatet derimod er over 0 er der tale om enten et minimum eller et maksimum. I dette tilfælde bliver vi nødt til at kigge på

værdien af 𝑓^{′′}_{𝑥𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}). Hvis denne er positiv, er punktet et minimum. Hvis den derimod er negativ, har vi at gøre

med et maksimum.

Eksempel 1:

Vi vil gerne undersøge om funktionen 𝑓 har et stationært punkt.

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = −𝑥^{2} + 5𝑦^{2} + 2𝑥𝑦+𝑥 + 𝑦

𝑓^{′}_{𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦) = 0

𝑥_{0} =

2 ∙ 𝑦_{0} + 1

2

𝑓^{′}_{𝑦} ( 𝑥,𝑦_{0}) = 0

𝑦_{0} = −

2𝑥_{0} + 1

10

Hverken 𝑥_{0} eller 𝑦_{0} er et enkelt punkt, men da det stationære punkt jo er det sted hvor de begge er lig 0 har vi to
ligninger med to ubekendte. Vi kan altså finde værdierne af 𝑥_{0} og 𝑦_{0} ved at isolere 𝑥_{0} i den nederste ligning og sætte

de to ligninger lig hinanden

𝑥_{0} = −

10𝑦_{0} + 1

2

2 ∙ 𝑦_{0} + 1 10𝑦_{0} + 1

2 2

= −

𝑦_{0} = −

1

6

𝑥_{0} = =

2 ∙ (−) + 1

1

6

2 3

1

Det stationære punkt er altså:

(𝑥_{0},𝑦_{0}) = (,−)

1 1

3 6

Side 7

Side 7 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

Nu undersøger vi hvilken slags stationært punkt vi har at gøre med:

𝑓^{′′}_{𝑥𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) ∙ 𝑓^{′′}_{𝑦𝑦} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) − (𝑓^{′′}_{𝑥𝑦} ( 𝑥_{0},𝑦_{0})) = −2 ∙ 10 − 2^{2} = −16

2

                                1  1
Altså har funktionen f et sadelpunkt i ( ,− )
                                3  6

Grafen for funktionen ser således ud, og viser tydelig at der er tale om et saddelpunkt:

Figuren viser grafen for funktionen ( 𝒙,𝒚) = −𝒙^{𝟐} + 𝟓𝒚^{𝟐} + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒙 + 𝒚

Side 8

Side 8 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

LINEÆR REGRESSION

Den lineære regressionsanalyse er et statistisk redskab der ofte anvendes inden for blandt andet fysik. Som eksempel kan man se på et objekt der bevæger sig med jævn hastighed. Man kan betragte det sted objektet befinder sig som en funktion af den tid der er gået. Vi har altså stedet som en afhængigvariabel til den uafhængevariabel, tiden. Da hastigheden er jævn forventer vi at sammenhængen mellem de to variable er lineær. Det vil sige at for hver enhed tiden stiger med, stiger stedet også med et bestemt antal enheder. Når man som fysiker så har været ude i felten og måle en række sammenhørende tid og stedværdier, kan det være meget informativt at sammenfatte disse målinger til et funktionsudtryk. I det konkrete eksempel vil funktionsudtrykket blandt andet fortælle hvor hurtigt objektet bevægede sig, samt kunne bruges til at forudsige hvor objektet må forventes at være til et givet tidspunkt. Her er det den lineære regression kommer ind i billedet. Ved fysiske målinger vil der altid være usikkerheder, og derfor vil der heller aldrig være noget funktionsudtryk der passer præcist på den indsamlede data. Det man så gør med lineær regression er at finde den lineære sammenhæng der bedst beskriver dataen.

MINDSTE KVADRATERS METODE

For at finde den bedste rette linje til at beskrive et datasæt, kan man bruge mindste kvadraters metode. Ideen er at man finder den rette linje hvor summen af kvadratet på afstanden mellem linjen og hvert målepunkt er mindst. I praksis gøres dette ved at opstille et funktions udtryk for denne sum, der afhænger af linjens koefficienter. Linjens

ligning er 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Den vertikale afstand mellem linjen og punktet (s,t) er:

( 𝑎 ∙ 𝑠 + 𝑏) − 𝑡

Da ( 𝑎 ∙ 𝑠 + 𝑏) er funktionsværdien til stedet s, er afstanden netop forskellen mellem denne funktionsværdi og

punktets andenkoordinat. Dette sættes så i anden og lægges sammen med tilsvarende beregning for de andre observationer. Man opstiller altså et udtryk på følgende måde:

Vi har følgende observationssæt:

( 𝑠_{1},𝑡_{1}) … ( 𝑠_{𝑛},𝑡_{𝑛})

Summen af kvadratet på afstanden mellem linjen 𝑎𝑥 + 𝑏 og observationerne kan udtrykkes således:

𝑓 ( 𝑎,𝑏) = ( ( 𝑎 ∙ 𝑠_{1} + 𝑏) − 𝑡_{1})^{2} + ⋯( ( 𝑎 ∙ 𝑠_{𝑛} + 𝑏) − 𝑡_{𝑛})^{2}

Vi finder nu det stationære punkt hvor funktionen har et minimum, og har dermed fundet værdierne af de to koefficienter a og b. Dette gøres ved hjælp af den matematik der blev beskrevet i sidste afsnit.

Side 9

Side 9 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

FYSISK TEORI

FYSISKE STØRRELSER, SYMBOLER OG ENHEDER

Det er der løber en strøm, vil sige at elektrisk ladning bevæger sig i et kredsløb.

Ladning:

Elektriskladning har symbolet Q, og opgives normalt i enheden Coulomb C

Strømstyrke:

Strømstyrken er et udtryk for hvor meget ladning der passerer et bestemt sted i et kredsløb per tidsenhed. Symbolet for strømstyrke er I og enheden er normalt Ampere A:

𝐼 =

𝑄

Δ𝑡

𝐴 =

𝐶 𝑠

Strømstyrken er altid den samme over alt i et kredsløb. Den kan dog undervejs i et kredsløb godt splittes op så den løber i flere ledninger, for så senere at blive samlet igen.

Spændingsforskel:

Spændingsforskel er et udtryk for hvor meget elektrisk energi der er blevet omsat per ladning mellem to forskellige steder i et kredsløb. Symbolet for spændingsforskel er U og enheden er sædvanligvis volt V. Man kan både tale om spændingsfald og spændingsstigning over en komponent.

𝑈 =

𝐸_{𝑒𝑙}

𝑄

𝑉 =

𝐽

𝐶

Resistans:

Resistans er et udtryk for den modstand, som en given komponent yder strømmen og har symbolet R. Resistensen er defineret som forholdet mellem spændingsforskellen over komponenten over strømstyrken, og er et udtryk for hvor meget energi der bliver omsat i komponenten. Enheden er normalt Ohm Ω:

𝑅 =

𝑈

𝐼

𝛺 =

𝑉

𝐴

Side 10

Side 10 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

ELEKTRISKE KOMPONENTER

Resistor:

En komponent hvor resistansen er konstant uanset spændingen og strømstyrken kaldes en resistor, en modstand eller en ohmsk-komponent. For sådan en komponent gælder at spændingen er ligefremproportional med strømstyrken med resistensen som proportionalitets faktor.

Spændingskilde:

En spændingskilde er en komponent der tilfører den ladning der passerer igennem kilden energi. Dette kan for eksempel et batteri. Ligesom en komponent der bruger elektrisk energi, vil der være en spændingsforskel mellem

kildens to poler. Udover at levere en spænding til et kredsløb, vil der også altid være en indre modstand 𝑅_{𝑖} i et

batteri. Når man opgiver at et batteri er på fx 1,5, er det den såkaldte hvilespænding 𝑈
                                                                      0

, der er tale om. Det er den

spænding batteriet kan levere, når strømstyrken er nul. Polspændingen 𝑈
                                                            𝑝𝑜𝑙

er den spændingsforskel der er mellem batteriets to poler. At hvilespændingen og polspændingen ikke er de samme skyldes netop batteriets indre modstand.

Den maksimale strøm som at batteri kan trække før al energien bliver omsat inde i batteriet, kaldes

kortsutningsstrømmen 𝐼_{𝑚𝑎𝑥}. På grund af disse egenskaber, kan vi betegne et batteri som en lineær spændingskilde.

OHMS 2. LOV

I virkeligheden er Ohms 2. lov bare en konkretisering af Ohms 1. lov, i de tilfælde hvor man både snakker om en indre og ydre modstand. Men da vi beskæftiger os med batterier, hvor der netop bliver omsat energi både inde i batteriet og ude i kredsløbet, er loven dog relevant.

Med vores betragtning af spændingskilden som en ideal spændingskilde serieforbundet med en modstand, kan vi antage at idealspændingen er lig polspændingen lagt sammen med det indvendige spændingsfald. Dette kan vi på

grund af Kirchhoffs anden lov (Wikipedia om Kirchhoffs Love u.d.) Det indvendige spændingsfald kaldes 𝑈 . Og den
                                                                                      𝑖

samlede resistans i kredsløbet mellem de to poler kaldes 𝑅_{𝑦}

𝑈_{0} = 𝑈_{𝑝𝑜𝑙} + 𝑈_{𝑖}

Med ohms lov kan vi omskrive til det der kaldes ohms 2. lov:

𝑈_{0} = (𝑅_{𝑖} + 𝑅_{𝑦}) ∙ 𝐼

I forhold til de forsøg vi laver er denne omskrivning dog mere relevant:

𝑈_{𝑝𝑜𝑙} = 𝑈_{0} − 𝑅_{𝑖} ∙ 𝐼

Her ser vi at polspændingen ifølge teorien aftage lineært som en funktion af strømstyrken med den indre modstand med omvendt fortegn som hældningskoefficient. Denne formel viser også at vi kan beregne kortslutningstrømmen ved at finde den værdi af 𝐼 der giver en polspænding på 0.

VI bliver også lige nødt til at kigge nærmere på en anden omskrivning af sammenhængen:

𝑅_{𝑦} ∙ 𝐼 = 𝑈_{0} − 𝑅_{𝑖} ∙ 𝐼

Side 11

Side 11 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

Uden at gå i dybden med den præcise matematiske sammenhæng, kan vi nu se ud af formlen, at vi kan variere strømstyrken i kredsløbet ved at ændre på den ydre modstand.

SERIE- OG PARALLELKOBLING

Der er grundlæggende to måde man kan koble på; serie- og parallelkobling. Ved en serie kobling af to komponenter sætter man dem i forlængelse af hinanden. Strømmen skal altså nødvendigvis igennem begge komponenter for kredsløbet er sluttet. Ved parallel kobling deler man strømmen i to før de to komponenter, også samler man den igen efter de to komponenter. Lidt populært sagt for strømmen her lov til selv at vælge hvilken komponent den vil igennem. Strømmen vælger altid den letteste vej, altså vil størstedelen af strømmen bevæge sig gennem den komponent der yder mindst modstand. Hvis de to komponenter yder lige stor modstand vil strømmen dele sig i to lige store del.

Den samlede modstand to resistore yder kan skrives således op, hvor 𝑅_{1} og 𝑅_{2} er de to koblede resistore og R er

erstatningsresistansen, altså den samlede resistans af de to resistore:

Ved seriekobling:

𝑅 = 𝑅_{1} + 𝑅_{2}

Ved parallelkobling:

1 1 1

𝑅 𝑅_{1} 𝑅_{2}

= +

Eller

𝑅 =

1

1 1

𝑅_{1} 𝑅_{2}

+

Hvis 𝑅_{1} og 𝑅_{2} er lig hinanden bliver erstatningsresistansen da:

𝑅 =

1

1 1

𝑅_{1} 𝑅_{1}

+

𝑅 = =

1 𝑅_{1}

()

2

𝑅_{1}

2

Når man kobler to batterier sammen, kan man betragte dem som et samlet batteri med nye egenskaber. Polerne er så bare de to yderste poler.

Dette betyder at når vi seriekobler to ens batterier, vil både den samlede hvilespænding og den samlede indre modstand fordobles. (Mortensen 2007)

Ved parallelkobling vil hvilespændingen derimod være den samme som et enkelt batteri. Til gengæld halveres den indre modstand, og kortslutningsstrømmen fordobles. (Mortensen 2007)

FORSØG

Side 12

Side 12 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

FORMÅL

Med dette forsøge vil vi gerne eftervise den ovenfor beskrevne teori. Altså vil vi vise at man ved udarbejdelse af en karakteristik kan finde et batteris hvilespænding og kortslutningsstrøm, samt vise hvorledes to batterier opfører sig, når de kobles sammen.

FORSØGSOPSTILLING

Forsøget blev sat op som på tegningen nedenunder, dog uden kontakten. Som opstillingen er, giver den mulighed for at måle spændingen over resistoren, strømstyrken i kredsen, samt at variere modstanden i kredsen.

Formålet med at variere modstanden er at vi på den kan ændre på strømstyrken. Da vi måler både strømstyrken og spændingen behøver vi ikke at tage også af størrelsen på modstanden.

Strømmens retning har vi også valgt at se bort fra da ingen af komponenterne er følsomme over for denne.

Apparaturliste:

2 x 4,5 volts batterier

Resistor med variabel modstand

To multimetre

Side 13

Side 13 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

FORSØSGANG

Vi satte hele kredsen op, men undlod at sætte det ene krokodillenæb på batteriet, for ikke dræne batteriet alt for hurtigt. På multimetrene brugte vi de indgange som er vist på billedet, og de var indstillet til at måle henholdsvis spænding og strømstyrke. Så satte vi modstanden til en vilkårlig, men lav modstand, tilsluttede det sidste krokodillenæb og noterede de sammenhørende spændings- og strømstyrkeværdier. Så brød vi igen kredsen for at sparre på batterierne. Nu gjorde vi modstanden lidt større og foretog ellers det samme en gang til. Undervejs i målingen af hvert batteri skiftede vi indstillinger på amperemeteret for at få mest præcise tal. Vi kunne desværre kun få to decimaler på voltmeteret. Vi valgte have en modstand i intervallet ca. [2Ω;100Ω] da det var det område vores modstand dækkede.

DATA

DATABEHANDLING

Hvert data sæt at blevet lagt inde i et koordinatsystem, således at vi har en karakteristik af de to batterier samt koblingerne af dem. Da vi i alle fire tilfælde forventer en lineær sammenhæng mellem strømstyrken og polspændingen, er der også indlagt et lineært fit. Disse fire grafer er vedlagt som bilag. Funktionsudtrykkene giver os

mulighed for at beregne 𝑈_{0} og 𝐼_{𝑚𝑎𝑥}.

1. Batteri:

𝑈_{𝑝𝑜𝑙} = 4,67𝑉 − 0,767𝛺 ∙ 𝐼

I henhold til teorien er hvilespændingen for batteriet altså 4,67 v, den indre modstand 0,767 Ω, og vi kan beregne kortslutningsstrømmen således:

0 = 4,67𝑉 − 0,767𝛺 ∙ 𝐼_{𝑚𝑎𝑥}

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = 6,09𝐴

𝑈_{0} = 4,67𝑉

𝑅_{𝑖} = 0,767𝛺

Batteri 1

𝐼[𝐴] 𝑈_{𝑝𝑜𝑙} [𝑉]

1,66 | 3,42
0,58 | 4,17
0,31 | 4,41
0,22 | 4,48
0,141 | 4,55
0,108 | 4,59
0,0879 | 4,61
0,0742 | 4,63
0,064 | 4,64
0,0525 | 4,65
0,0453 | 4,65

Batteri 2 Seriekobling Parallelkobling

𝐼[𝐴] 𝑈_{𝑝𝑜𝑙} [𝑉] 𝐼[𝐴] 𝑈_{𝑝𝑜𝑙} [𝑉] 𝐼[𝐴] 𝑈_{𝑝𝑜𝑙} [𝑉]

1,43 | 3,93 | 3,04 | 6,3 | 3,53 | 3,8
0,62 | 4,26 | 1,27 | 7,75 | 1,83 | 4,14
0,31 | 4,38 | 0,63 | 8,38 | 1,06 | 4,33
0,18 | 4,44 | 0,37 | 8,63 | 0,69 | 4,41
0,133 | 4,47 | 0,25 | 8,79 | 0,33 | 4,5
0,103 | 4,49 | 0,2 | 8,84 | 0,27 | 4,51
0,0706 | 4,51 | 0,14 | 8,92 | 0,187 | 4,53
0,0596 | 4,53 | 0,12 | 8,95 | 0,137 | 4,54
0,0534 | 4,54 | 0,108 | 9,01 | 0,103 | 4,56
0,0474 | 4,55 | 0,0955 | 9,02 | 0,0824 | 4,57
0,0445 | 4,56 | 0,0882 | 9,03 | 0,0606 | 4,58

Side 14

Side 14 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

2. Batteri

𝑈_{𝑝𝑜𝑙} = 4,56𝑉 − 0,441𝛺 ∙ 𝐼

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = 10,34𝐴

𝑈_{0} = 4,56𝑉

𝑅_{𝑖} = 0,441𝛺

Seriekoblingen:

𝑈_{𝑝𝑜𝑙} = 9,04𝑉 − 0,924𝛺 ∙ 𝐼

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = 9,78𝐴

𝑈_{0} = 9,04𝑉

𝑅_{𝑖} = 0,924𝛺

Parallelkoblingen:

𝑈_{𝑝𝑜𝑙} = 4,58𝑉 − 0,224𝛺 ∙ 𝐼

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = 20,45𝐴

𝑈_{0} = 4,58𝑉

𝑅_{𝑖} = 0,224𝛺

Vi kan nu sammenligne seriekoblingen med dataen for de to batterier alene. Alle symbolerne er markeret med et ettal for 1. batteri, et total for 2. batteri og et s for serieforbindelsen.

𝑅_{𝑖1} + 𝑅_{𝑖2} = 0,767𝛺 + 0,441𝛺 = 1,208𝛺

𝑅_{𝑖𝑠} = 0,924𝛺

De to batteriers individuelle indre modstands afvigelse fra seriekobling:

𝑅_{𝑖𝑠} − (𝑅_{𝑖1} + 𝑅_{𝑖2})
𝑅_{𝑖𝑠}

= −30,7%

Dette er en meget høj afvigelse, men de to tal er dog sammenlignelige. Dette kan skyldes at 𝑅_{𝑖1} målt til en forhøj

værdi.

Vi foretager samme manøvre for hvilespændingen.

𝑈_{01} + 𝑈_{02} = 4,56𝑉 + 4,67𝑉 = 9,23

𝑈_{0𝑠} = 9,04𝑉

Side 15

Side 15 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

𝑈_{0𝑠} − (𝑈_{01} + 𝑈_{02})
𝑈_{0𝑠}

= −2,1%

Her ser resultatet meget pænere ud, og vi kan tydeligt se at hvilespændingen, er summen af de to batteriers hvilespænding.

Samme sammenligning kan vi lave for parallelkoblingen. Her for symbolerne, der tilhører parallelkoblingen, tilføjet et lille p.

1 1 1 1

𝑅_{𝑖1} 𝑅_{𝑖2} 0,767𝛺 0,441𝛺

+ = + = 3,57𝛺

1

𝑅_{𝑖𝑝}

= 4,46𝛺

1 1 1

𝑅_{𝑖𝑝} 𝑅_{𝑖1} 𝑅_{𝑖2}

− ( +)

1

𝑅_{𝑖𝑝}

= 20%

Når fortegnet på afvigelsen her er omvendt, skyldes det at vi her regner med reciprokke værdier. Den store afvigelse

tyder stadig på en for høj værdi af 𝑅_{𝑖1}

Vi kan også lige sammenligne kortslutningsstrømmen:

𝐼_{𝑚𝑎𝑥1} + 𝐼_{𝑚𝑎𝑥2} = 6,09𝐴+ 10,34𝐴 = 16,34𝐴

𝐼_{𝑚𝑎𝑥𝑝} = 20,45𝐴

𝐼_{𝑚𝑎𝑥𝑝} − (𝐼_{𝑚𝑎𝑥1} + 𝐼_{𝑚𝑎𝑥2})
𝐼_{𝑚𝑎𝑥𝑝}

= 20,1%

Endnu engang er afvigelsen meget stor, men endnu engang kan vi også henvise til at 𝐼_{𝑚𝑎𝑥1} sandsynligvis er for lille på
grund af den høje værdi af 𝑅_{𝑖1}.

FEJLKILDER

Selvom to batterier var begge var nye og af samme slags, er deres karakteristikker ret forskellige. Om dette skyldes dårlige målinger eller egentlig forskel på de to batterier er ikke umiddelbart til at sige. Dog tyder sammenligningen af de enkelte batterier med de sammenkoblede batterier på at værdien af den indre modstand af en eller anden grund er blevet højere end den reelt var. En væsentlig fejlkilde, som kommer til udtryk ved alle 4 målinger, er at voltmeteret ikke målte særligt præcist i forhold til hvor små ændringer i spændingen vi arbejdede med. Derudover har modstanden i ledningerne inden voltmeteret måske givet anledning til generelt lidt for høje værdier af den indre modstand. Når hvilespændingen for begge batterier er højere end det der er angivet, skyldes det ikke fejl, men derimod at batteriet meget hurtigt taber spænding med tiden, og man derfor opgaver en lavere værdi. I alle fire tilfælde passer den lineære sammenhæng ret godt på målingerne. Ingen steder er den gennemsnitlige afvigelse mere end 0,1 V.

Side 16

Side 16 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

MINDSTEKVADRATERS METOD I PRAKSIS

I ovenstående databehandling har vi bare ladet Logger Pro foretage beregningerne af bedste rette linjer. Men med matematikken fra første afsnit i baghånden kan vi selv fortage de samme beregninger, og vise hvad logger pro har gjort i dybden. Det vil vi gøre med daten for parallelkoblingen.

Alle disse udtryk sætter vi i anden og lægger sammen, for at få et samlet udtryk for summen af kvadratet på afstanden til linjen for hvert punkt. Vi har nu en funktion af to variable. Som vi finder undersøger om har nogen stationære punkter.

𝑓 ( 𝑎,𝑏) = ( ( 𝑎 ∙ 3,53 + 𝑏) − 3,8)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 1,83 + 𝑏) − 4,14)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 1,06 + 𝑏) − 4,33)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 0,69 + 𝑏) − 4,41)^{2}
+ ( ( 𝑎 ∙ 0,33 + 𝑏) − 4,5)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 0,27 + 𝑏) − 4,51)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 0,187 + 𝑏) − 4,53)^{2}
+ ( ( 𝑎 ∙ 0,137 + 𝑏) − 4,54)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 0,103 + 𝑏) − 4,56)^{2} + ( ( 𝑎 ∙ 0,0824 + 𝑏) − 4,57)^{2}
+ ( ( 𝑎 ∙ 0,0606 + 𝑏) − 4,58)^{2}

Når vi løser nedenstående ligninger får vi på samme måde som i eksemplet et ligningsstem med to ligninger med to ubekendte.

𝑓^{′}_{𝑥} ( 𝑎,𝑏) = 0

𝑎 = −0,47 ∙ (𝑏 − 4,01)

𝑏 = −0.75 ∙(𝑎 − 5.85)

𝑎 = 5.85 −1.33 ∙ 𝑏

5.85 − 1.33∙ 𝑏 = −0,47 ∙ (𝑏 − 4,01)

𝑏 = 4,58

𝑎 = −0,47 ∙ ( 4,58 − 4,01) = −0,224

Altså har funktionen et stationært punkt i (-0,224;4,58)

Vi skal nu bare undersøge om dette er et minimum.

𝑓^{′′}_{𝑥𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) ∙ 𝑓^{′′}_{𝑦𝑦} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) − (𝑓^{′′}_{𝑥𝑦} ( 𝑥_{0},𝑦_{0})) = 503,08

2

Parallelkobling

𝐼[𝐴] 𝑈_{𝑝𝑜𝑙} [𝑉] Afstand til linjen ax+b
3,53 3,8 ( 𝑎 ∙ 3,53 + 𝑏) − 3,8
1,83 4,14 ( 𝑎 ∙ 1,83 + 𝑏) − 4,14
1,06 4,33 ( 𝑎 ∙ 1,06 + 𝑏) − 4,33
0,69 4,41 ( 𝑎 ∙ 0,69 + 𝑏) − 4,41
0,33 4,5 ( 𝑎 ∙ 0,33 + 𝑏) − 4,5
0,27 4,51 ( 𝑎 ∙ 0,27 + 𝑏) − 4,51
0,187 4,53 ( 𝑎 ∙ 0,187 + 𝑏) − 4,53
0,137 4,54 ( 𝑎 ∙ 0,137 + 𝑏) − 4,54
0,103 4,56 ( 𝑎 ∙ 0,103 + 𝑏) − 4,56
0,0824 4,57 ( 𝑎 ∙ 0,0824 + 𝑏) − 4,57
0,0606 4,58 ( 𝑎 ∙ 0,0606 + 𝑏) − 4,58

Side 17

Side 17 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

𝑓^{′′}_{𝑥𝑥} ( 𝑥_{0},𝑦_{0}) = 35,22

Vi har hermed også vist at der er tale om et minimum. Hvilket vi også kan se på grafen for funktionen:

Ifølge vores beregninger bliver summen af kvadraterne på afstanden til linjen for hvert punkt altså mindst, når 𝑎 =
−0,224 og 𝑏 = 4,58. Det er de koefficienter som logger pro er kommet frem til.

KONKLUSION

Ud fra disse undersøgelser kan vi konkludere man eksperimentelt kan påvise en sammenhæng mellem strømstyrken et batteri leverer og polspændingen over batteriet. Det er vist at polspændingen aftager lineært som funktion af strømstyrken med batteriets indre modstand som hældningskoefficient. Derudover kan det også konkluderes at man ved brug det matematiske redskab, funktioner med to variable, kan lave en matematisk model af denne sammenhæng. Ydermere er sammenhængen mellem to batteriers individuelle karakteristikker og karakteristikken af disse i forskellige kobling blevet undersøgt. Her er der dog fundet bemærkelsesværdige stor afvigelse fra teorien.

Side 18

Side 18 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

BIBLIOGRAFI

Brydensholt, Gjøe, Jespersen, Keller, Møller, Vaaben. Orbit 1. Systime.

—. Orbit BA. Systime, 2007.

Clausen, Both, Hartling. Spektrum .

Mortensen, Mette Mulbjerg og Anders. Noter til fysik B. Langkær Gymnasium og HF: Studieportalen.dk, 2007.

Sloth, Hans. Trips' matematiske Grundbog. Trip, 2006.

Wikipedia om Kirchhoffs Love. http://da.wikipedia.org/wiki/Kirchhoffs_love_%28elektriske_kredsl%C3%B8b%29

(senest hentet eller vist den 2. Febuar 2011).

Wikipedia om Ohms Lov. http://da.wikipedia.org/wiki/Ohms_lov (senest hentet eller vist den 2. Febuar 2011).

Side 19

Side 19 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

BILAG

Batteri 1

Batteri 2

Side 20

Side 20 af 20

Studieretningsopgave om karakteristikker af batterier i matematik og fysik af [navn fjernet] 2.k

3-2-2011

Forsøg udført med Clara

Seriekobling:

´

Parallelkoblingen: