Konisk Pendul - rapport i fysik

Side 1

20/november/2010

Konisk pendul

Gehad Elsankari, 3.N

Side 2

Side 2 af 20

Indhold

Forord .............................................................................................................................. 3 Formål ............................................................................................................................. 3 Teori ................................................................................................................................ 3 Fremgangsmåden .......................................................................................................... 6 Målinger og resultater ................................................................................................. 8 Resultatbearbejdning ................................................................................................ 10 De teoretiske værdier .......................................................................................................................................................... 10 Fejlkilder og usikkerheder ....................................................................................... 13 Usikkerhedsberegning .............................................................................................. 14 Diskussion ................................................................................................................... 16 Konklusion .................................................................................................................. 17 Bilag ............................................................................................................................... 18 Vinkelbestemmelse ............................................................................................................................................................. 18 Bestemmelse af omløbstider .............................................................................................................................................. 19 Bestemmelse af afvigelser .................................................................................................................................................. 20

Side 3

Side 3 af 20

Forord

For overskuelighedens skyld er rapporten bygget op på den måde at udregningerne er vedlagt som bilag. Men der er dog også vist nogle regneeksempler på hvordan man har fundet frem til de forskellige resultater.

Formål

Forsøgets formål er at sammenligne målte omløbstider med de beregnede for et konisk pendul

Teori^{1}

Inden vi går i gang med forsøget vil jeg først give en redegørelse for teoretiske del af forsøget. Jeg vil først beskrive hvilke kræfter der virker på genstanden, og senere udlede en formel for omløbstiden (T).

Tegningen til højre viser at en genstand som kredser rund i en cirkelformet bane. Ved hjælp af dette billede vil jeg vise hvordan man kan bestemme omløbstiden.

Genstanden (det røde prik) bliver påvirket af to kræfter –

tyngdekraften ( F_{t}) og
snorkraft ( F_{snor}). Da gen-

standen bevæger sig i en cirkelformet bane vil der altså være tale om

centripetalkraften ( F_{c}) – hvilket er lig med tyngdekraft og snorkraft. Bemærk,

at centripetalkraften altså er den resulterende kraft (F ) på genstanden.
                                               res

1

Holck, Per mm., Orbit A HTX, systime, 2007

Side 4

Side 4 af 20

Jeg kender ligning for både tyngdekraften og centripetalkraften som er følgende:

F =m ∗ g (1)

t

F =r ∗ m ∗ ω^{2} (2)

res

På billedet fremgår det som en trekant, dvs. at jeg kan bestemme vinklen (𝜑) således:

                    F
                     res
Tan           ( 𝜑 ) =  ⬄F    =Tan ( 𝜑 ) ∗ F (3)
                          res           t
                    F
                     t

Dette kan omskrives til:

F =Tan ( 𝜑) ∗ F_{t}

res

F = Tan ( 𝜑) ∗ ( m ∗ g) (4)

res

Fra sætning (2) kender jeg udtrykket for F_{res}

F = Tan ( 𝜑) ∗ ( m ∗ g)

res

r ∗ m ∗ ω = Tan ( 𝜑) ∗ ( m ∗ g) (5)

2

Før jeg går videre vil jeg blot vise at man ud fra tegningen kan bestemme radius

(r) således (se evt. tegningen foroven):

r =L ∗ sin (𝜑) (6)

Jeg ved hvordan radius kan bestemmes og vil nu jeg bygge videre på sætning 5.

Jeg indsætter udtrykket for r.

r ∗ m ∗ ω = Tan ( 𝜑) ∗ ( m ∗ g)

2

( L ∗ sin ( 𝜑)) ∗ m ∗ ω^{2} = Tan ( 𝜑) ∗ ( m ∗ g) (7)

Side 5

Side 5 af 20

Jeg dividerer med m på begge sider af lighedstegnet, og udtrykket bliver dermed reduceret til:

            m                  m
                 2
( L ∗ sin ( φ )) ∗ ∗ ω = Tan ( φ ) ∗ ( ∗ g )
            m                  m

( L ∗ sin ( φ)) ∗ ω^{2} = Tan ( φ) ∗ g (8)

                   sin (φ)
Jeg ved, at cos ( φ ) = . Jeg omskriver først ligningen, og når jeg har gjort
                   tan (φ)

det, erstatter jeg cosinus med_{tan (φ)}^{sin (φ)}.

( L ∗ sin ( φ)) ∗ ω^{2} = Tan ( φ) ∗ g

sin (φ) g tan (φ) ∗L

=
    2
  ω

cos (φ)= (9)

g

ω^{2} ∗L

                  2π
Jeg ved igen at ω= , hvilket jeg får til:
                  T

cos (φ)=

g

ω^{2} ∗L

cos (φ)= (10)

g

 2π
(  ) ∗L
 T

2

Og endelig kan jeg bestemme omløbstiden (T) ved at omskrive formlen således:

T=√ (11)

cos ( φ) ∗L∗4∗π^{2}

g

Jeg har nu vist hvordan jeg kan bestemme omløbstiden (T). Denne formel skal jeg bruge senere til mine udregninger under afsnittet resultatbearbejdning.

Side 6

Side 6 af 20

Fremgangsmåden

Jeg vil kort beskrive hvordan forsøget blev udført samt hvilke og hvordan materialerne blev målt.

Men allerførst vil jeg gør læseren opmærksom på at dette forsøg er altså opdelt i to forsøg – altså ét forsøg med Kaspers nøgle og et andet forsøg med Peters nøgle, og hvert forsøg er igen delt i to delforsøg. De to forskellige nøgler har forskellige masser, og der blev brugt to forskellige snorlængder, samt to forskellige omdrejningsbaner med to forskellige radiusser. Så alt i alt har vi fire delforsøg med seks forskellige variabler.

Der blev brugt følgende materialer:

Materialer:

• 2 x nøgler

• 2 x snor

• 2 x omløbsbaner (rundformet vægt + grydelåg)

• stopur

• Lineal (inddelt i millimeter)

Side 7

Side 7 af 20

Inden opstilling af forsøget skulle der først tages målinger på de fysiske størrelser. De to forskellige snorlængder blev målt med en lineal – her har vi vurderet at usikkerheden er på plus-minus 0,01 m, da linealen nemlig er inddelt i millimeter. Det samme har vi gjort for de to omdrejningsbaner (gryde og vægt). Vi målte deres diameter og delte det med to for at få det i radius – usikkerheden blev vurderet til plus-minus 0,01 m. Bemærk, at vægten altså er en rundformet genstand. Og endelig har vi målt massen de to forskellige nøgler der blev brugt som omdrejningsgenstand – her har vi vurderet at usikkerheden er på plus-minus 0,0001 kg.

Nu vil jeg beskrive hvordan forsøget blev udført. Vi binder en snor til et stativ i den ene ende af snore, og binder nøglen i den anden ende. Nøglen befinder sig nu over centrummet af omløbsbanen (grydelåg eller vægt). Nøglen sættes i svingninger ved hjælp af håndkraften, og nøglen skal nu følge omløbsbanen så godt som muligt. Når nøglen har svinget i fem omdrejninger skal der straks tages tid. Tiden deles med fem for at bestemme omløbstiden for én omdrejning.

Usikkerheden på det målte tid blev vurderet til plus-minus 0,1 s for de fem omdrejninger, som altså svarer til 0,02 s for én omdrejning.

Målinger og usikkerheder fremgår i det næste afsnit (målinger og resultater).

Side 8

Side 8 af 20

Målinger og resultater

Tabel 1 (Forsøg 1 – Kaspers nøgler) viser de målinger der er taget under forsøget.

Tabellen viser desuden hvor store usikkerhederne er – dette skal jeg bruge senere hen.

Forsøg 1

(Kaspers nøgler)

Materialer Betegnelser Målte Usikkerheder

Snorlængde L 0,53 m

± 0,01 m

Masse m,nølger,kasper 0,01713 kg ± 0,0001 kg

(Kaspers nøgler)

Radius rgrydelåg 0,1075 m

(grydelåg)

± 0,01 m

Omløbstid Tgrydelåg 1,46 s ± 0,02 s

(grydelåg) (én omgang)

Radius rvægt 0,07 m

(vægt)

± 0,01 m

Omløbstid Tvægt 1,42 s ± 0,02 s

(vægt) (én omgang)

Side 9

Side 9 af 20

Tabel 2 (Forsøg 2 – Peters nøgler) viser også de målinger vi har taget under forsøget, blot med den forskel at snorlængden (L) og radiussen på vægten (rvægt) er forskelligt.

Forsøg 2

(Peters nøgler)

Materialer Betegnelser Målte Usikkerheder

Snorlængde L 0,58 m

± 0,01 m

Masse m,nølger,peter 0,029 kg ± 0,0001 kg

(Peters nøgler)

Radius rgrydelåg 0,1075 m

(grydelåg)

± 0,01 m

Omløbstid Tgrydelåg 1,53 s ± 0,02 s

(grydelåg) (én omgang)

Radius rvægt 0,07 m

(vægt)

± 0,01 m

Omløbstid Tvægt 1,48 s ± 0,02 s

(vægt) (én omgang)

Side 10

Side 10 af 20

Resultatbearbejdning

Jeg vil under dette afsnit beregne den teoretiske værdi af omløbstiden for henholdsvis Kaspers nøgler (forsøg 1) og Peters nøgler (forsøg 2). Da jeg allerede kender de målte værdier af omløbstiden – som vi målte under forsøget – vil jeg senere hen sammenligne de målte (som jeg kalder de praktiske) med de teoretiske værdier af omløbstiden, og dernæst diskutere afvigelserne i det næste afsnit. For overskuelighedens skyld er alle mellemudregningerne vedlagt som bilag, men jeg vil dog alligevel vise et par regneeksempler.

De teoretiske værdier

Før jeg udregner den teoretiske værdi af omløbstiden skal jeg først bestemme vinklen (φ) (se evt. tegningen til højre).

Da der er tale om en retvinklet trekant kan jeg bestemme vinklen således:

                   𝑟
sin          ( 𝜑 ) =
                   𝐿

Eftersom jeg både kender grydelågets radius (r) og snorlængden (L) vil jeg nu vise et regneeksempel på hvordan jeg kan bestemme vinklen(𝜑). Senere hen vil jeg udregne den teoretiske værdi af omløbstiden.

(Forsøg 2 – Peters nøgler med gryde som omdrejningsbane).

                   0,1075 m
sin          ( 𝜑 ) =
                    0,58 m

                     0,1075 m
𝜑=sin               (      )=10,68123726°
                     0,58 m

−1

Bemærk, at vinklen vil være forskellig alt efter hvilke materialer vi anvender

(herunder de to forskellige snorlængder og radiussen på grydelåget samt vægten). Bestemmelser af vinkler er vedlagt som bilag under vinkelbestemmelse.

Side 11

Side 11 af 20

Da jeg nu kender vinklen kan jeg bestemme den teoretiske omløbstid således.

T=√

cos ( φ) ∗L∗4∗π^{2}

g

Jeg kender både vinklen (φ), snorlængden (L) og tyngdeacceleration (g):

T= √

cos ( φ) ∗ L ∗ 4 ∗ π^{2}

g

T= √

cos ( 10,68123726°) ∗ (0,58 m ∗ 4 ∗ π^{2})
9,82 m/s^{2}

T=1,51 s

Jeg har nu fået den teoretiske værdi af omløbstiden til 1,51 s. Jeg bruger den samme metode til at bestemme de andre værdier af omløbstiden – udregningerne er vedlagt som bilag under afsnittet bestemmelse af omløbstider.

Tabel 3 (teoretisk udregning) viser omløbstiden for Kaspers og Peters nøgler med grydelåget og vægten som omløbsbane. For eksempel; med et grydelåg som omløbsbane vil omløbstiden for Kaspers nøgle være 1,47 sek., idet jeg både kender radiussen på låget, snorlængden og den udregnede vinkel.

Jeg har nu udregnet de teoretiske værdier. Eftersom jeg både kender de teoretiske og praktiske (altså målte) værdier vil jeg nu sammenligne og bestemme afvigelsen. Måden jeg finder afvigelsen er således:

Teoretisk udregning

Tabel 3

Omløbstid Omløbstid

(grydelåg) (vægt)

Kaspers 1,44 s 1,45 s nøgler

Peters 1,51 s 1,52 s nøgler

Side 12

Side 12 af 20

T = ∗ 100 %

afvigelse i procent

T_{teoretisk} − T_{praktisk}
T_{teoretisk}

Her er et regneeksempel for forsøg 2 – Peters nøgler med vægt som omløbsbane:

T_{afvigelse} = ∗ 100 %=2,63 %

1,52 s − 1,48 s

1,52 s

Udregningerne er vedlagt som bilag under afsnittet bestemmelse af afvigelser.

Tabel 4 (sammenligning) viser afvigelsen mellem den teoretiske og den praktiske værdi af omløbstiden for begge forsøg. For eksempel; med et grydelåg som omløbsbane vil afvigelsen mellem den praktiske og teoretiske værdi af omløbsbane for Peters nøgler være 1,32 %.

Sammenligning

Tabel 4

Kaspers Peters nøgler nøgler

Omløbstid

(grydelåg)

1,46 s 1,44 s 1,38 % 1,53 s 1,51 s 1,32 %

(praktisk) (teoretisk) (afvigelse) (praktisk) (teoretisk) (afvigelse)

Omløbstid

(vægt)

1,42 s 1,45 s 2,07 % 1,48 s 1,52 s 2,63 %

(praktisk) (teoretisk) (afvigelse) (praktisk) (teoretisk) (afvigelse)

Som tabellen viser, er der en del afvigelser for begge forsøg – men dog er disse ikke særlige store. Jeg vil under afsnittet diskussion forklare hvad afvigelserne skyldes.

Side 13

Side 13 af 20

Fejlkilder og usikkerheder

Der var del små usikkerheder på målinger af de fysiske størrelser – såsom måling af snorlængden, radius på omløbsbaner, måling på tiden osv.

Der er desuden også andre fejlkilder på forsøget. Genstanden bevæger sig ikke i en jævn cirkelbevægelse, hvilket kan give forkerte resultater da genstanden ikke følger banen med det givet radius. Desuden sidder stativet ikke helt fast på bordet – stativet kan vippe, hvilket vil forstyrre genstandens bevægelse.

Side 14

Side 14 af 20

Usikkerhedsberegning

For at bestemme usikkerheden på forsøget vil jeg bruge minimum-maksimum-metoden, som kort sagt går ud på at finde den mindste og største værdi af det ønskede størrelse. Jeg vil senere hen undersøge om de praktiske værdier overlapper de teoretiske.

Jeg vil lave usikkerhedsbegning på kun ét af forsøgene – Kaspers nøgler med grydelåg som omdrejningsbane. Da vi har vurderet, at usikkerheden på det målte omløbstid er plus-minus 0,1 (se evt.. tabel 1 - Forsøg 1, Kaspers nøgler) kan vi bruge metoden til at bestemme den mindste og største værdi for den målte omløbstid. Den mindste og største værdi er henholdsvis til 1,42 s og 1,46 s. Se tabel 5 forneden.

Usikkerhedsberegning for den praktiske værdi af omløbstiden

Tabel 5

Minimum for omløbstiden Maksimum for omløbstiden

Kaspers nøgler

(grydelåg)_{T_{min,prak}}

T_{min,prak} =T − 0,02 s T_{max,prak} =T+ 0,02 s

T_{min,prak} =1,44 s − 0,02 s T_{max,prak} =1,44 s + 0,02 s

=1,42 s T_{max,prak} =1,46 s

Nu vil jeg lave usikkerhedsberegning for den teoretiske omløbstid – hvilket er vist i tabel 6. Jeg bruger også den samme metode til at bestemme den mindste og største værdi – men den her gang er det lidt mere indviklet, da jeg nu har to formler med to variabler (radiussen (r) og snorlængden (L)).

For at bestemme den mindste værdi kræver jeg en stor vinkel, da cosinus til en

                                                         r+0,01 m
                                                       −1
stor vinkel giver en lille værdi af omløbstiden (altså φ =sin ( )).
                                                stor
                                                         L−0,01 m

Side 15

Side 15 af 20

Når jeg har fundet vinklen trækker jeg 0,01 m fra snorlængden (altså L – 0,01 m) for igen at finde den mindste værdi af omløbstiden – jeg får den mindste værdi

til T_{min,teo} =1,43 s. Jeg gør omvendt for at bestemme den største værdi af

omløbstiden (altså jeg ændrer fortegn) – den største værdi får jeg til

T_{max,teo} =1,46 s.

Se evt. tabel 6.

Usikkerhedsberegning for den teoretiske værdi af omløbstiden

Tabel 6

Minimum for omløbstiden Maksimum for omløbstiden

Kaspers nøgler

(grydelåg)

Jeg kræver en stor vinkel (φ_{stor^{)}} Jeg kræver en lille vinkel (φ_{lille^{)}}

φ_{stor} =sin^{−1} () φ_{lille} =sin^{−1} ()

r + 0,01 m r − 0,01 m
L − 0,01 m L + 0,01 m

φ_{stor} =sin^{−1} () φ_{lille} =sin^{−1} ()

0,1075 m +0,01 m 0,1075 m −0,01 m
0,53 m −0,01 m 0,53 m +0,01 m

φ_{stor} =13,05942652° φ_{lille} =10,40212101°

Jeg kan nu bestemme T_{min} Jeg kan nu bestemme T_{max}

T_{min,teo} =

√

cos ( φ) ∗ L∗ 4 ∗π^{2}

g

T_{min,teo} =

√ cos_{lille}

cos(φ_{stor}) ∗ ( L −0,01m) ∗ (4∗ π^{) 2}
g T_{max,teo} =

T_{min,teo} = √

cos ( 13,05942652°) ∗ ( 0,53 m − 0,01m) ∗ 4 ∗ π^{2})
9,82 m/s^{2}

T_{min,teo} =1,43 s

T_{max,teo} = √

cos ( φ) ∗ L ∗ 4∗ π^{2}

g

√

( φ) ∗ ( L + 0,01m) ∗ (4 ∗ π^{) 2}

g

T_{max,teo}

= √

cos ( 10,40212101°) ∗ ( 0,53 m +0,01m) ∗ 4∗ π^{2})
9,82 m/s^{2}

T_{max,teo} =1,46 s

Side 16

Side 16 af 20

Jeg har nu lavet usikkerhedsberegning for både den praktiske og teoretisk værdi af omløbstiden, og er nu klar til at undersøge om de ligger tæt op ad hinanden. Jeg indsætter værdierne på x-aksen for de fire forskellige værdier jeg har fundet frem til. Som billedet (se tegningen forneden) viser, er der en overlapning mellem den teoretiske og praktiske omløbstid. Dette fortæller mig, at resultaterne er rigtige på trods af, at der kan være usikkerheder på forsøget.

Diskussion

Jeg vil nu diskutere på de resultater jeg har fået. Dernæst vil jeg diskutere hvorfor der er en afvigelse mellem den teoretiske og praktiske værdi af omløbstiden.

Til at bestemme omløbstiden har jeg brugt formlen:

T=√^{cos}.

( φ) ∗L∗4∗π^{2}

g

Ud fra formlen kan jeg se, at omløbstiden kun afhænger af snorlængden (L) og radiussen (r) af omløbsbanen, idet resten af størrelserne er konstante. Derfor har massen af genstanden (altså nøglen) ikke nogen betydning for omløbstiden, hvilket man ellers ville have troet.

Tmin,prak = 1,42 s

Tmaxprak = 1,46 s

Tmin,teo = 1,43 s

Tmax,prak = 1,46 s

Figur 1 Sammenligning

Side 17

Side 17 af 20

Dernæst har jeg lavet usikkerhedsberegning på ét af forsøgene hvor jeg har brugt maksimum-minimum-metoden til at bestemme den mindste samt største værdi af teoretisk og praktisk værdi omløbstiden (se figur 1 – sammenligning).

Afvigelsen mellem den teoretiske og praktiske værdi ganske lille – faktisk på

1,38 %. Dette fortæller mig, at forsøget er udført korrekt, og at vi ikke har haft store usikkerheder på målinger af de fysiske størrelser.

Konklusion

Vi har udført forsøget og målt omløbstiden. Jeg har desuden bestemt den praktiske værdi af omløbstiden vha. en formel. Og jeg har dernæst sammenlign de to værdier med hinanden. Det har så vist sig, at der er en lille afvigelse mellem de to værdier, hvilket skyldes de måleusikkerheder der har været på forsøget. Endelig har jeg lavet usikkerhedsberegning på ét af forsøgene, og resultaterne ser ud til at være fornuftige da der ikke har været en stor afvigelse mellem den teoretiske og praktiske værdi af omløbstiden. Forsøget er derfor blevet udført korrekt. Jeg kan hermed slutte af med at sige, at jeg nu har fået opfyldt formålet.

Side 18

Side 18 af 20

Bilag

Vinkelbestemmelse

Jeg har bestemt vinklene således eftersom jeg allerede kender radius (r) og snorlængden (L):

                            𝑟
Formlen jeg bruger er: sin ( 𝜑 ) =
                            𝐿

Vinkler

Kaspers nøgler Peters nøgler

Omløbstid

(grydelåg)

φ=sin^{−1} () φ=sin^{−1} ()

0,1075 m 0,1075 m

0,53 m 0,58 m

φ= 11,70250976 ° φ=10,68123726°

Omløbstid

(vægt)

φ=sin^{−1} () φ=sin^{−1} ()

0,07 m 0,07 m

0,53 m 0,58 m

φ=7,5 89542392° φ=6,931906198°

Side 19

Side 19 af 20

Bestemmelse af omløbstider

Jeg har bestemt omløbstiderne således eftersom jeg allerede kender vinklen (𝜑), snorlængden (L) og tyngdeacceleration (g):

Formlen jeg bruger er: T=√^{cos}^{(}^{φ}^{)}^{∗L∗4∗π^{2}}_{g}

Teoretisk udregning for omløbstider

Kaspers nøgler Peters nøgler

Omløbstid

(grydelåg)

T= √ √ m

cos ( 11,70250976°) ∗ (0,53 m ∗ 4 ∗ π^{2})
9,82 m/s^{2} 9,82_{2}

T=1,44 s

T=

cos ( 10,68123726°) ∗ ( 0,58 m ∗ 4 ∗ π^{2})

s

T=1,51 s

Omløbstid

(vægt)

T= √ √ m

cos ( 7,589542392°) ∗ (0,53 m ∗ 4 ∗ π^{2})
9,82 m/s^{2} 9,82_{2}

T=1,45 s

T=

cos ( 6,931906198°) ∗ ( 0,58 m ∗ 4 ∗ π^{2})

s

T =1,52 s

Side 20

Side 20 af 20

Bestemmelse af afvigelser

Jeg har bestemt afvigelsen således eftersom jeg allerede kender den teoretiske

omløbstid (T_{teoretisk}) og praktiske omløbstid (T_{praktisk}).

                                    T
                                     teoretisk
Formlen jeg bruger er: T          =                ∗ 100 %

afvigelse i procent

− T_{praktisk}
T_{teoretisk}

Afvigelsen

Kaspers nøgler Peters nøgler

Omløbstid

(grydelåg)

T_{afvigelse} = ∗ 100 % T_{afvigelse} = ∗ 100 %

1,44 s − 1,46 s 1,53 s − 1,51 s

1,44 s 1,53 s

T_{afvigelse} =1,38 % T_{afvigelse} =1,32 %

Omløbstid

(vægt)

T_{afvigelse} = ∗ 100 % T_{afvigelse} = ∗ 100 %

1,45 s − 1,42 s 1,52 s − 1,48 s

1,45s 1,52 s

T_{afvigelse} =2,07 % T_{afvigelse} =2,63 %