SRP om Lys i Spalter og Cirkulære Huller i Fysik og Matematik

Side 1

Side 1 af 25

Indholdsfortegnelse:

Abstract | 2
Indledning | 3
Opgaveformulering | 3
Overrodnet formål | 4

Teori om sinus og tangens 4-5

Teori om lysets intensitet | 5-7

Intensitet af laser gennem enkeltspalte:

8-12

Lyslederfibers diameter:

13-15

Lysets bøjning gennem cirkulært hul

16-18

Laserstråles diameter på afstand

19-22

Rayleighs kriterium: | 23-24
Samlet konklusion | 24
Litteraturliste | 25

Side 2

Side 2 af 25

Abstract:

Lights diffraction through holes and cracks are a psychical phenomenon that is essential to the explanation of various physics we “see” in our everyday life. Therefore it is an exciting subject to focus on in a project such as this. The project concentrates on the issues presented in Huyghens principle about lights response to diffraction through cracks, Babinets theorem on diffraction through cracks versus diffraction with obstacles and Rayleigh’s criterion on the eyes ability to distinguish between two different light sources.

The project deals with the technique that is setting up relevant experiments, and comparing experimental and theoretical values. With formulas it is possible to calculate theoretical results on angles, intensity and so forth. These are also achievable to gather enough intelligence from the experiments, so the same values can be calculated. Ones assignment is then being capable of express the connection these values in between.

The conclusion to the assignment is that it is possible to calculate angles and lengths when light is diffracted, and that these can be measured in the course of experiment. With Huyghens principle maxima and minimums for light diffraction can be calculated. With Babinets theorem it is possible to determine, why obstacles and cracks of the same width have the same effect on light as one another. In more down-to-earth context, lights diffraction can be useful in the matter of explaining how the eyes solubility.

Side 3

Side 3 af 25

Indledning:

Dette projekt om lysets bøjning er en sammenfatning af teoretiske og eksperimentelle værdier.

Der er ingen bilag til opgaven, da jeg føler det er mere overskueligt for læseren, at have resultater og beregninger sammenfattet med det givne forsøg.

Opgaveformulering:

Lysets bøjning.

En bølges bøjning ved passage af en spalte kan beskrives ved formlen:

𝐼 = 𝐼 hvor Φ = 2𝜋

0

( sin½Φ)^{2} 𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃
( ½Φ)^{2} 𝜆

Bestem ud fra denne formel de retninger, hvor der er destruktiv interferens. Vis, at retningerne også kan findes ved en elementær betragtning ud fra Huyghens princip.

Benyt ovenstående formel til at finde retninger for konstruktiv interferens og beregn

størrelsen af de lokale maksimumsværdier for I udtrykt som procenter af 𝐼 .
                                                           0

De teoretisk udledte resultater ønskes sammenholdt med eksperimentelle resultater fra forsøg med laserstråle og spalte. Forsøgets tilrettelægning, gennemførelse og efterbehandling ønskes beskrevet grundigt og kritisk.

Babinets teorem ønskes forklaret og anvendt til at opstille formler for destruktiv interferens bag en streg. Resultaterne skal udnyttes til måling af en lyslederfibers diameter.

For lysets bøjning gennem et cirkulært hul ønskes kun anført retninger ud til de første destruktive og konstruktive interferensringe. Der ønskes udført forsøg med måling af laserstrålens diameter i forskellige afstande fra en af skolens He-Ne lasere. Undersøg om strålens spredning kan forklares alene ved laserstrålens bøjning ud gennem laserens åbning.

Giv eksempler på konsekvenser af lysets bøjning, bl.a. ved på grundlag af Rayleighs kriterium at foretage en vurdering af øjets opløsningsevne.

Side 4

Side 4 af 25

Overordnet formål:

At sammenholde teoretiske og eksperimentelle værdier for lysets reaktion ved interferens ved enkeltspalte, cirkulært hul samt ved en forhindring. Disse forsøg gennemarbejdes primært i forhold til lysets intensitet og afbøjningsvinkler, og holdes op mod Babinets teorem og Huyghens princip. Samtidig undersøges der sammenhænge mellem de forskellige målte værdier. Der ses på, hvad lysets interferens kan bruges til at forklare øjets opløselighed ved Rayleighs princip.

Sinus og tangens:

Jeg har i forskellige formler i mit projekt stødt på størrelsen 𝑠𝑖𝑛𝜃. Fordi det ville være alt for besværligt at måle afbøjningsvinklen 𝜃, opstillede jeg et andet udtryk ud fra 𝑠𝑖𝑛𝜃 til at udregne 𝜃. Dette udtryk omfatter tangens. Her ses sinus og tangens i enhedscirklen:

Her ses sinus og tangens i forhold til vinklen v. Det er tydeligt, at jo tættere vinklen kommer på 0, jo tættere

ligger sin og tan på hinanden, og ved 𝑣 = 0 er sin ( 𝑣) =

tan (𝑣).

Hvis dette skulle stilles op i forhold til afbøjningsvinklen, ser det således ud:

𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 for 𝜃 = 0.

Grænseværdien for theta gående mod 0 må derfor være: 𝑠𝑖𝑛𝜃 → 𝑡𝑎𝑛𝜃 for 𝜃 → 0

I alle forsøgene har jeg haft at gøre med meget små vinkler, som har et max på cirka en halv grad. Derfor kan jeg opstille et nyt udtryk til udregning af vinklerne: 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃

Alle vinklerne jeg har haft med at gøre i forsøgene har endvidere været en del af en retvinklet trekant, som fremkommer således:

Side 5

Side 5 af 25

Da det gælder at tan ( 𝑣) = må det gælde her, at:

𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡å𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑠𝑙𝑖𝑔𝑔𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑘𝑎𝑡𝑒𝑡𝑒

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

𝑦

𝐿

<=> 𝜃 = tan^{−1} ()

𝑦

𝐿 hvor y er afstanden mellem 0. ordens midt og den interferensplet der koncentreres om i den givne opgave. L er afstanden mellem spalte og skærm. På denne måde kan jeg regne afbøjningsvinklen kun ved at måle disse to længder. Usikkerheden ved 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 er så lille i disse forsøg, at jeg kan se helt bort fra den. De andre fejlkilder til forsøgene bidrager langt mere til resultaternes usikkerhed end dette.

Konstruktiv og destruktiv interferens inkl. Huyghens princip:

Jeg vil arbejde med formlen for intensitet af lyset ved passage gennem en enkeltspalte, som står i min opgaveformulering:

𝐼 = 𝐼_{0}^{(}^{sin½Φ}_{(}_{½Φ} hvor Φ = 2𝜋

)^{2} 𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃
)^{2} 𝜆

Det gælder at:

- I er intensiteten af det afbøjede lys i den givne orden.

- I er intensiteten af det uafbøjede lys, altså lyset i midten af 0. orden.

0

- Φ er et matematisk begreb, eller størrelse, som omfatter 2𝜋^{𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃}_{𝜆}

- D er spaltens bredde

- θ er afbøjningsvinklen, dvs. vinklen mellem 0. og den givne orden.

- λ er bølgelængden.

Denne formel kan bruges til at udlede simplere formler for vinkler ud til konstruktiv og destruktiv interferens.

For destruktiv interferens må det gælde, at 𝐼 = 0 da der er helt mørkt og ingen lysintensitet

ved destruktiv interferens. Dette starter jeg med at sætte ind i ligningen:

0 = 𝐼_{0}^{(}^{sin½Φ}_{(}_{½Φ}. Det må samtidig gælde at I_{0} ≠ 0, da der altid vil være lys i 0. orden. Derfor

)^{2}
)^{2}
må ( sin½ Φ)^{2} = 0 <=> 𝑠𝑖𝑛½Φ = 0.
Jeg ved fra enhedscirklen, at sin ( 𝑣) = 0 ved 𝑣 𝜖 {0°,180°,360°,540° …𝑛 ∗ 180°}, hvor n er
et helt positivt tal. I radianer gælder det at 180° = 𝜋. Derfor er ½Φ 𝜖 {0,𝜋,2𝜋,3𝜋…𝑛 ∗ 𝜋}
Dette kan beskrives ved udtrykket ½Φ = 𝑛 ∗ 𝜋 <=> Φ = n ∗^{𝜋}_{2}, hvor 𝑛 𝜖 {0,1,2,3…}

Dette sætter jeg ind i den givne beskrivelse af Φ:

Φ = 2𝜋^{𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃}

𝜆

Side 6

Side 6 af 25

<=> 2n𝜋 = 2𝜋^{𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃}

𝜆

         𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃
<=> 𝑛 =

𝜆

<=> 𝑛 ∗ 𝜆 = 𝐷 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃
hvor n nu er nummeret på den mørke plet (=destruktive interferens) man foretager sine

målinger.

Denne formel for destruktiv interferens ved en enkeltspalte kan også udledes ved Huyghens princip:

Huyghens princip omfatter at to afbøjede bølger, som forlader samme spalte, og har en vejforskel på en halv bølgelængde vil udslukke hinanden. Det samme vil ske hvis vejforskellen er en bølgelængde, men så udslukker de hinanden parvist, ved alle par som har velforskellen en halv bølgelængde. Hvis man skal snakke om lys, som udslukker hinanden skal de have en vejforskel på et lige antal halve bølgelængder. Det må derfor gælde, at:

2𝑛 ∗^{𝜆}_{2} = 𝐷 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 <=> 𝑛𝜆 = 𝐷 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃

Venstre side af ligningen er opstillet efter, at det skal være et lige antal halve bølgelængder. n er nummeret på den destruktive interferens.

For konstruktiv interferens gælder det, at ( 𝑠𝑖𝑛½ 𝛷)^{2} = 1 <=> 𝑠𝑖𝑛½𝛷 = ±1. Endnu en

gang bruger jeg enhedscirklen, hvori det er givet, at:

𝑠𝑖𝑛 ( 𝑣) = ±1,ℎ𝑣𝑖𝑠 𝑣 𝜖 {90°,270°,450° … ( 𝑛 ∗ 180° + 90°)}.

Jeg skriver det ind i ligningen omregnet til radianer:

                       𝜋 3𝜋 5𝜋       𝜋
𝑠𝑖𝑛½𝛷 = ±1 <=> ½Φ 𝜖 {   ,  ,  …(𝑛𝜋 +  )} hvor 𝑛 𝜖 {1,2,3…}
                       2 2  2        2

Dermed gælder det, at:

          𝜋
½Φ = 𝑛𝜋 +
          2

Side 7

Side 7 af 25

<=> Φ = 2𝑛𝜋 + 𝜋

Dette sætter jeg også ind i formlen for phi, og finder et udtryk for konstruktiv interferens:

2𝑛𝜋 + 𝜋 = 2𝜋^{𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃}_{𝜆}

<=> 2𝑛 + 1 = 2^{𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃}_{𝜆}

         1  𝐷∗𝑠𝑖𝑛𝜃
<=> 𝑛 +   =
         2

𝜆

          𝜆
<=> 𝑛𝜆 +   = 𝐷 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃
          2

hvor n er ordenstallet, altså nummeret på den givne konstruktive interferens.

Jeg kan også udregne den procentvise forskel mellem 𝑰 og 𝑰_{𝟎} i de forskellige ordener. Jeg

har valgt kun at koncentrere mig om 1. og 2. orden, da det er disse jeg har målt i forsøget.

Jeg bruger det udtryk jeg fandt frem til ovenfor, for phi ved konstruktiv interferens: ½Φ =

     𝜋
𝑛𝜋 +  .
     2

Dette sætter jeg ind i den oprindelige formel:

                             𝜋
                      (sin(𝑛𝜋+
      ( sin½Φ
                             2
𝐼 = 𝐼       => 𝐼 = 𝐼
    0                0
       ( ½Φ

)^{2}
)^{2}

))

2

     𝜋
(𝑛𝜋+  )
     2

2

Jeg udregner for 1. orden:

            𝜋
     (sin(1𝜋+
            2
𝐼 = 𝐼          <=> 𝐼 = 𝐼  ∗ 0,0450 <=> 𝐼 = 𝐼 ∗ 4,50%
    0                   0                  0
           𝜋
       (1𝜋+
           2

))

2

)

2

Det afbøjede lys i 1. orden udgør dermed 4,5 % af det uafbøjede laserlys.

Udregning for 2. orden:

            𝜋
     (sin(2𝜋+
            2
𝐼 = 𝐼          <=> 𝐼 = 𝐼  ∗ 0,0162 <=> 𝐼 = 𝐼 ∗ 1,62%
    0                   0                  0
           𝜋
       (2𝜋+
           2

))

2

)

2

2. ordens afbøjede lys udgør altså 1,62 % af det uafbøjede laserlys.

Side 8

Side 8 af 25

Intensitet af laser gennem enkeltspalte:

Formål: At bestemme retninger hvor der forekommer henholdsvis konstruktiv og destruktiv interferens, samt intensiteten lyset i ordnerne i forhold til uafbøjet lys.

Teori:

Ovenfor har jeg udledt to formler for intensiteten i de to første ordener. Disse har jeg tænkt mig at sætte op mod eksperimentelle resultater.

I forsøget har jeg brugt en He-Ne laser, som har bølgelængden 632,8 nm (Orbit 2 side 159, 2.

afsnit), og en 0,1 mm bred spalte. Disse oplysninger kan jeg bruge til at udregne vinkler teoretiske vinkler ud til ordnerne ved den formel jeg udledte for konstruktiv interferens:

             𝜆
         𝑛∗𝜆+
      −1     2
𝜃 = sin (    )
           𝑑

Her er n ordenen. Som sagt er 𝜆 = 632,8 𝑛𝑚 og 𝑑 = 0,1𝑚𝑚 = 0,1 ∗ 10^{6} 𝑛𝑚.

                                  632,8 𝑛𝑚
                         1∗632,8 𝑛𝑚+
                      −1
Vinkel til 1. orden: 𝜃 = sin (         ) = 0,00949°
                                6
                            0,1∗10

2 𝑛𝑚

                                  632,8 𝑛𝑚
                         2∗632,8 𝑛𝑚+
                      −1
Vinkel til 2. orden: 𝜃 = sin (         ) = 0,01582°
                                6
                            0,1∗10

2 𝑛𝑚

I resultatbehandlingen bruger jeg princippet for meget små vinkler, som er forklaret på side 4,

                 𝑦                𝑦
                               −1
hvor 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = <=> 𝜃 = tan   ( ), hvor y er afstanden ud til ordenen, og L er
                 𝐿                𝐿

afstand mellem spalte og skærm.

Samtidig vil jeg undersøge, om de teoretiske procentvise værdier for 𝐼 af 𝐼 , jeg udregnede
                                                           0

før:

1. orden: 𝐼 = 𝐼_{0} ∗ 4,50 %
2. orden: 𝐼 = 𝐼_{0} ∗ 1,62 %

Fremgangsmåde:

Laseren placeres så den går igennem enkeltspalten. Omkring 2 meter derfra opstilles en intensitets-måler. Intensitetsmåleren var det eneste som blev flyttet under forsøget. Måleren brugt i forsøget kunne kun gå op til 6,56 lux, men da intensiteten i 0. orden var højere end dette, satte jeg nogle farvede glas mellem laseren og spalten, for at svække lysets intensitet.

Jeg har dog ikke foretaget målinger, som kunne bestemme glassets svækkelse af lyset, da det må formodes at den procentvise svækkelse er den samme for alle målingerne, og derfor er irrelevant.

Side 9

Side 9 af 25

Ved forsøgets start placeredes luxmetret i udkanten af den 2. orden. Derefter måles der hver gang luxmetret er rykket 2 mm ind mod 0. orden. Forsøget stoppede da luxmetret var rykket til udkanten af 2. orden i modsat side i forhold til forsøgets start. Det var dog svært, for ikke at sige umuligt, at sørge for, luxmetret blev rykket præcis 2 mm for hver måling, samt at den ikke blev rykket hverken længere fra eller tættere på spalten. Samtidig må der siges at være nogen usikkerhed i målingerne, da luxmetret ikke målte samme værdi, hvis man f.eks. tog tre målinger ved det samme sted. Derfor er de noterede værdier en omtrent værdi for de tre-fire målinger, som blev foretaget ved hver position.

Forsøget blev gennemført i et mørkt rum, for at undgå eller mindske baggrundslysets forstyrrelse. Efter 10 målinger med baggrundslys, som alle var 0,00 lux, kan jeg tillade mig at se bort fra omkringliggende lys-forstyrrelser i resultatbehandlingen.

Forsøgsopstilling:

Side 10

Side 10 af 25

Resultater og resultatbehandling:

Afstand mellem spalte og skærm: 198 cm

Spaltebredde: 0,1 mm

Millimeter intensitetsmåleren er flyttet: | Intensitet i lux
0 | 0
2 | 0,03
4 | 0,05
6 | 0,04
8 | 0,01
10 | 0
12 | 0,11
14 | 0,2
16 | 0,24
18 | 0,16
20 | 0,01
22 | 0,52
24 | 2,78
26 | 3,89
28 | 4,7
30 | 5,28
32 | 4,47
34 | 3,69
36 | 3,02
38 | 1,2
40 | 0,82
42 | 0,24
44 | 0,01
46 | 0,09
48 | 0,18
50 | 0,12
52 | 0,03
54 | 0
56 | 0,04
58 | 0,03

Side 11

Side 11 af 25

60 0,01

62 0

Graf med antal mm luxmetret er rykket hen ad x-aksen, og intensiteten i lux på y-aksen.

Vinkel ud til ordner:

Orden: x-værdi for ordens y (afstand til orden): Vinkel: max:

0. 3 cm - -

1. 1,6 cm og 4,8 cm^{(}^{3−1,6}

) +(4,8−3)𝑐𝑚

2

= 1,6𝑐𝑚

      2,6 𝑐𝑚
   −1
tan  (    ) = 0,00808°
      198 𝑐𝑚

2. 0,4 cm og 5,6 cm^{(}^{3−0,4}

) +(5,6−3)𝑐𝑚

2

                2,6 𝑐𝑚
             −1
= 2,6𝑐𝑚   tan  (     ) =0,01313°
                198 𝑐𝑚

Der er kun en afvigelse på højest 0,002 grader ved vinklerne i forhold til de teoretiske, som var henholdsvis 0,00949° og 0,01582°.

-1

0

1

2

3

4

5

6

0 50 60 70

Side 12

Side 12 af 25

Intensiteten 𝐼af 𝐼 :
             0

Orden: Højeste intensitet: 𝐼_{0} i lux: 𝐼af 𝐼_{0} teoretisk: 𝐼af 𝐼_{0}:

2. venstre 0,05 lux 1,62 %

5,28

0,05𝑙𝑢𝑥

5,28𝑙𝑢𝑥

∗ 100 = 0,95%

1. venstre 0,24 lux

4,50 %

0,24𝑙𝑢𝑥

5,28𝑙𝑢𝑥

∗ 100 = 4,55%

1. højre 0,18 lux

0,18𝑙𝑢𝑥

5,28𝑙𝑢𝑥

∗ 100 = 3,41%

2. højre 0,04 lux 1,62 %

0,04𝑙𝑢𝑥

5,28𝑙𝑢𝑥

∗ 100 = 0,76%

Forsøgsresultaterne her har en ret stor usikkerhed når det kommer til 2. orden, mens det er ganske udmærket i 1. orden. Dette kan skyldes, at luxmetret havde svært ved at måle 2. orden.

Fejlkilder:

Forsøget er udført med meget stor usikkerhed. Det udstyr som er brugt til forsøget er forholdsvis simpelt, i forhold til det udstyr forsøget kræver hvis det skal udføres perfekt.

Målingerne ligger ikke konstant, selv ikke hvis målingsintrumentet står helt stille, og dette er på trods af der ingen baggrundslys var. Derfor er målingerne i dette perspektiv ikke præcise, men en cirka-værdi ved tre-fire målinger pr. sted.

Resultatbehandlingen med vinklerne kræver, at det er meget konstant 2 mm laseren flyttes pr.

måling, så man har en præcis afstand mellem ordnerne at forholde sig til, men dette var også kun en flytning på omtrent 2 mm, og derfor kan dette medvirke til målingernes usikkerhed.

Den procentvise intensitet kræver, at man finder den præcist højeste intensitet i hver orden, men dette blev også et cirka-resultat.

Da laserens lys blev svækket ved det farvede glas blev det meget svært overhovedet at måle 2.

orden. Selv i dens midte kunne dette variere næsten helt ned til 0 lux, men næste øjeblik var den 0,2. Denne usikkerhed gør målingerne utroværdige, og derfor skal resultater fra 2. orden også tages med et gran salt.

Konklusion:

Når lyset bøjes gennem en enkeltspalte, skabes der forskellige ordener. I disse ordner er lyset langt svagere end lyset før der førtes igennem spalten. Denne intensitet ligger omkring 4 - 4,5

% af det uafbøjede lys i 1. orden, og ikke meget over 1 % i 2. orden.

Side 13

Side 13 af 25

Lyslederfibers diameter:

Formål: At bestemme diameteren for en lyslederfibers diameter, ved brug af en laser.

Teori:

Babinets teorem:

I situation 1 er der ingen forhindring mellem læseren og skærmen, og dermed vil den lyse på skærmens midt. I punktet P vil der ikke være lys.

Det vil der derimod være i situation 2. Her vil man normalt sige at lyset i P er forårsaget af lysets bøjning gennem spalten. Dette sætter Babinet sig imod med sin teori, hvor han mener at lyset i P er forårsaget af materialet omkring spalten, hvor elektroner sættes i svingninger når laserlyset rammer den. På grund af elektronernes bevægelse udsender de et lys, som kan ses i punktet P.

I situation 3 har vi en forhindring. Denne forhindring har samme bredde som spalten i 2. situation. Også her er der synligt laserlys i punktet P, og igen skyldes det elektronerne i forhindringens bevægelse, som igangsættes når lyset rammer forhindringen.

Det essentielle i 2. og 3. situation er, at lyset i P ikke skyldes en bøjning, og derfor ikke har direkte kontakt til laserlyset, men kommer af en proces lyset sætter i gang når den rammer materialet.

I situation 4 er der en forhindring som skærmer af for alt laserlyset.

Der er intet lys i punktet P. Ifølge Babinet skyldes dette, at de to tilstande ovenfor kan modarbejde hinanden. Den store forhindring kan nemlig ses som en spalte, udfyldt med en forhindring, forudsat at disse har samme bredde. Elektronerne sættes stadig i svingninger, men hæmmer hinandens kraft. Mere matematisk sat op:

Lyset i punktet P kalder jeg →. Det må gælde i situation 1 og 4, at →= 0, mens lyset i
                         𝐸                                 𝐸

situation 2 og 3 kalder lyset henholdsvis → og →
                                 𝐸   𝐸
                                  2   3

Da skærmen i situation 4 ses som spalte og forhindring, må det gælde, at:

→= → + →= 0 <=>   →= − → <=> | 𝐸  |= |𝐸 |
                                 2    3
𝐸  𝐸   𝐸          𝐸    𝐸
    2   3         2     3

Det specielle ved Babinets teorem er, at det er en aktiv proces at stoppe lys.

Lyset ved spalten og lyset ved forhindringen har derfor samme værdi, og derfor siger Babinets teorem samtidig, at en formel som gælder for spalter også gælder for forhindringer og omvendt, hvor spaltebredden bliver forhindringens bredde i stedet, og omvendt.

Side 14

Side 14 af 25

På baggrund af Babinets teorem ved jeg nu, at jeg kan bruge den samme formel, som jeg tidligere har udledt for lysets bøjning gennem en enkeltspalte for destruktive interferenser:

𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛 ∗ 𝜆

d er normalt spaltebredden, men her er det forhindringens bredde, altså lyslederfiberens diameter.

𝜃 er afbøjningsvinklen.

n er nummeret på den destruktive interferensring.

𝜆 er bølgelængden. 632,8 nm for He-Ne laseren.

Afbøjningsvinklen 𝜃 kan udregnes ud fra princippet:

             𝑦                𝑦
                           −1
sin𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 =  <=> 𝜃 = tan   ( )
             𝐿                𝐿

Fremgangsmåde:

Jeg placerer lyslederfiberen så laserstrålen går gennem den. Derefter noterer jeg de første 3 mørke pletter, hvor der er destruktiv interferens.

Forsøgsopstilling:

Resultater og resultatbehandling:

Afstand mellem lysleder og måling: 2,60 m

Mørk plet: Afstand fra Theta: Lyslederfibers diameter: midten opad:

1. | 0,8 cm

          0,8𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,176294°
         260𝑐𝑚

            −6
    1∗(632,8∗10
𝑑 =              =

)𝑚𝑚 sin (0,176294)

0,205661 𝑚𝑚

2. | 1,5 cm

          1,5𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,330548°
         260𝑐𝑚

            −6
    2∗(632,8∗10
𝑑 =              =

)𝑚𝑚 sin (0,330548)

0,219375 𝑚𝑚

3. | 2,3 cm

          2,3𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,506834°
         260𝑐𝑚

            −6
    3∗(632,8∗10
𝑑 =              =

)𝑚𝑚 sin (0,506834)

0,214610 𝑚𝑚

Side 15

Side 15 af 25

Mørk plet: Afstand fra Theta: midten nedad:

1. 0,9 cm)𝑚𝑚

          0,9𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,198331°
         260𝑐𝑚

            −6
    1∗(632,8∗10
𝑑 =              =

sin (0,198331)

0,182809 𝑚𝑚

2. 1,7 cm)𝑚𝑚

          1,7𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,374621°
         260𝑐𝑚

            −6
    2∗(632,8∗10
𝑑 =              =

sin (0,374621)

0,193566 𝑚𝑚

3. 2,4 cm

          2,4𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,528869°
         260𝑐𝑚

            −6
    3∗(632,8∗10
𝑑 =              =

)𝑚𝑚 sin (0,528869)

0,205669 𝑚𝑚

I kolonnen længst til højre har jeg omskrevet den oprindelige formel, så beskriver lyslederfiberens diameter:

                       𝑛∗𝜆
𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑛 ∗ 𝜆 <=> 𝑑 =
                       𝑠𝑖𝑛𝜃

Normalt måler man bølgelængde i nm, men da resultatets enhed afhænger af den enhed man

bruger til bølgelængden, har jeg brugt mm i stedet: 𝜆 = 632,8𝑛𝑚 = 632,8 ∗ 10^{−6} 𝑚𝑚.

Gennemsnit af de udregnede diametre for lyslederfiberen:

0,205661 𝑚𝑚+0,219375 𝑚𝑚+0,214610 𝑚𝑚+0,182809 𝑚𝑚+0,193566 𝑚𝑚+0,205669 𝑚𝑚

6

= 0,203615 𝑚𝑚

Forskellen på de forskellige udregnede diametre for lyslederfiberen varierer kun med 0,03 mm. Dermed er usikkerheden de forskellige målinger imellem meget lille, og jeg kan konstatere at lyslederfiberens diameter ligger lige omkring 0,2 mm.

Fejlkilder:

Kun almindelig måleusikkerhed.

Konklusion:

En lyslederfiber har en diameter på ca. 0,2 mm. Dette er muligt at beregne ud fra formler opstillet på baggrund af Babinets teorem.

Side 16

Side 16 af 25

Lysets bøjning gennem cirkulært hul

Formål: At finde retninger ud til de første interferensringe for He-Ne laser bøjet gennem et cirkulært hul.

Teori:

Lysets bøjning gennem et cirkulært hul kan beskrives ved formlen

𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝜆 , hvor

d er hullets diameter.

𝜃 er den vinkel, som udspænder sig mellem linjen fra hullet til interferenscirklens midte og den brugte interferensring.

m er et udtryk for en række konstanter, som hænger sammen med den omhandlende konstruktive eller destruktive interferensring. Konstanterne er som følger:

Interferensring | Konstruktiv | Destruktiv
1. | 1,635 | 1,220
2. | 2,279 | 2,233

- (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cirapp2.html)

og 𝜆 er bølgelængden.

Teoretiske værdier for theta i forsøget:

For at udregne værdierne isolerer jeg theta i formlen ovenfor, og opskriver de i forvejen kendte konstanter.

                              𝑚∗𝜆
                           −1
𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝜆 <=> 𝜃 = sin (   )
                               𝑑

Diameteren af hullet brugt i forsøget (d) er 0,25 𝑚𝑚 = 0,25 ∗ 10^{6} 𝑛𝑚.

He-Ne laserens bølgelængde er 632,8 nm.

                                   1,635∗632,8𝑛𝑚
                                −1
1. konstruktive interferensring: 𝜃 = sin (   ) = 0,237119°
                                         6
                                    0,25∗10 𝑛𝑚

                                   2,679∗632,8𝑛𝑚
                                −1
2. konstruktive interferensring: 𝜃 = sin (   ) = 0,388531°
                                         6
                                    0,25∗10 𝑛𝑚

                                  1,22∗632,8𝑛𝑚
                              −1
1. destruktive interferensring: 𝜃 = sin (  ) = 0,176933°
                                       6
                                  0,25∗10 𝑛𝑚

                                  2,233∗632,8𝑛𝑚
                              −1
2. destruktive interferensring: 𝜃 = sin (   ) = 0,323847°
                                        6
                                   0,25∗10 𝑛𝑚

Side 17

Side 17 af 25

Formlen kræver dog, at man både måler afstanden mellem hullet om midten af 0. orden, samt fra hullet til midten af interferensringene. For lethedens skyld kan formlen omskrives med tangens i stedet for sinus (hvilket er grundigt forklaret i teoriafsnittet på side x):

             𝑦
𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
             𝐿

Derfor er det kun nødvendigt at måle afstanden fra hullet til skærmen, samt afstanden fra interferensringene til cirklens midte.

Fremgangsmåde:

He-Ne laseren placeres så den går gennem et 0,25 mm hul. Skærmen som placeres i en passende afstand, så cirklens interferensringe er tydelige, og samtidig er så store at deres midtpunkter kan afmærkes med rimelig nøjagtighed. Punkterne afmærkes, og afstanden mellem hul og skærm måles.

Forsøgsopstilling:

Side 18

Side 18 af 25

Resultater og resultatbehandling:

Afstand mellem hul og skærm: 153 cm

Midt til orden: Theta:

1. orden | 0,7 cm

          0,7 𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,262136°
         153 𝑐𝑚

2. orden | 1,1 cm

          1,1 𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,411923°
         153 𝑐𝑚

1. destruktive interferensring | 0,5 cm

          0,5 𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,187240°
         153 𝑐𝑚

2. destruktive interferensring | 0,9 cm

          0,9 𝑐𝑚
       −1
𝜃 = tan (     ) = 0,337030°
         153 𝑐𝑚

Den største forskel på teoretiske og eksperimentelle værdier er 0,03°. Derfor må forsøget siges at være særdeles vellykket, og de målte værdier med rigtig god tilnærmelse afspejler de teoretiske.

Fejlkilder:

Forsøget var meget vellykket, og de eneste fejlkilder er normal måleusikkerhed.

Konklusion:

De eksperimentelle og teoretiske værdier passer godt på hinanden, og jeg kan konkludere, at retningerne ud til interferenserne er:

1. destruktive: ≈ 0,19°

1. orden: ≈ 0,26°

2. destruktive: ≈ 0,34°

2. orden: ≈ 0,41°

Side 19

Side 19 af 25

Laserstråles diameter på afstand

Formål: At måle He-Ne laserstrålens diameter på forskellige afstande, samt udregne vinkler med mere fra laserens åbning til strålens udkant.

Teori:

Som i forsøget med laserstråle gennem et cirkulært hul kan denne formel bruges til udregning af laserens diameter:

𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝜆

d er diameteren af det hul, som skaber interferens. I dette tilfælde er dette laserens åbning,

som er svær at måle præcist, men jeg har målt den til 1 𝑚𝑚 = 1 ∗ 10^{6} 𝑛𝑚 = 10^{6} 𝑛𝑚

𝜃 er, ligesom i forsøget med cirkulært hul, et udtryk for vinklen mellem midtpunktet og den givne interferensring, hvilket i dette forsøg er den 1. konstruktive.

𝑚 er konstanten for de forskellige interferensringe. I dette tilfælde har jeg kun målt efter 1.

konstruktive interferensring, og derfor er m 1,220 i hele forsøget.

𝜆 er bølgelængden, som er 632,8 nm.

Jeg skriver formlen om med de værdier jeg kender i forvejen:

10^{6} 𝑛𝑚 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 1,220 ∗ 632,8𝑛𝑚

               1,220∗632,8𝑛𝑚
            −1
<=> 𝜃 = sin   (          ) = 0,0294884° ≈ 0,029°

10^{6} 𝑛𝑚

Da vinklen theta er meget lille gælder det, at:

             𝑦
sin𝜃 ≈ 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
             𝐿

Ligningen kan derfor omskrives til:

       𝑦               𝑦
                    −1
𝑡𝑎𝑛𝜃 =  <=> 𝜃 = tan   ( )
       𝐿               𝐿

Jeg bytter derfor sin𝜃 ud med^{𝑦}_{𝐿} i ligningen, for at opsætte et udtryk for længden mellem

midtpunktet til 1. konstruktive interferensring (y) i forhold til afstanden mellem laser og skærm (L).

𝑑 ∗ = 𝑚 ∗ 𝜆

𝑦

𝐿

=> 10^{6} 𝑛𝑚 ∗ = 1,220 ∗ 632,8𝑛𝑚

𝑦

𝐿

Side 20

Side 20 af 25

<=> 𝐿 = 𝑦 ∗

10^{6} 𝑛𝑚

1,220 ∗ 632,8𝑛𝑚

<=> 𝐿 = 1295,309942 ∗ 𝑦 ≈ 1300 ∗ 𝑦

Der er altså en ligefrem proportional sammenhæng (y=ax) mellem L og y, hvilket betyder at

værdierne stiger i samme takt, og dermed at en fordobling af den ene, også medfører en fordobling af den anden. Hvis man derfor fordobler afstanden fra laser til skærm, vil diameteren af laseren også fordobles.

      2,95 𝑐𝑚
   −1
tan  (      ) = 0,034480° ≈ 0,034°
      4900 𝑐𝑚

Fremgangsmåde:

Jeg satte He-Ne laseren op i skolens kælder, hvor der var frit til måling på længere afstande.

Derefter lavede jeg en del målinger af laserstrålens diameter på afstande op til 50 meter. Jeg målte på det sted hvor 0. ordens lys svinder ud, og der for første gang er helt mørkt, hvilket må formodes omtrent at være midten af 1. konstruktive interferensring

Forsøgsopstilling:

Side 21

Side 21 af 25

Resultater og resultatbehandling:

Afstand Laserstrålens Afstand fra midt til 1. Theta

mellem laser | diameter: | konstruktive interferensring:

og skærm:

4 m | 0,5 cm | 0,25 cm

      0,25 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,035794° ≈ 0,036°
      400 𝑐𝑚

7 m | 1,2 cm | 0,60 cm

      0,60 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,049071° ≈ 0,049°
      700 𝑐𝑚

10 m | 1,6 cm | 0,80 cm

      0,80 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,045804° ≈ 0,046°
      1000 𝑐𝑚

20 m | 3,1 cm | 1,55 cm

      1,55 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,044375° ≈ 0,044°
      2000 𝑐𝑚

30 m | 4,0 cm | 2,00 cm

      2,00 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,038178° ≈ 0,038°
      3000 𝑐𝑚

40 m | 4,4 cm | 2,20 cm

      2,20 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,031502° ≈ 0,032°
      4000 𝑐𝑚

49 m | 5,9 cm | 2,95 cm

      2,95 𝑐𝑚
   −1
tan  (     ) = 0,034480° ≈ 0,034°
      4900 𝑐𝑚

Denne graf viser sammenhængen mellem L og y. x-aksen viser afstanden mellem midtpunktet og 1. konstruktive interferensring i cm, mens y-aksen viser afstanden mellem laser og skærm, også i cm. Jeg har sat skæringspunkt med y-aksen til (0,0), for at være sikker på at L og y er proportionale, hvilket jeg i teoriafsnittet fastslog de er.

Det gælder for R-kvadratet at jo tættere det ligger på 1, jo bedre passer tendenslinjen på punkterne. Et R-kvadrat på 0,962 er særdeles tæt på 1, og derfor kan L som funktion af y med rigtig god tilnærmelse kan beskrives som en lineær sammenhæng med proportionalitet.

I teoriafsnittet havde jeg opstillet en ligning for L som funktion af y:

𝐿 ≈ 1300 ∗ 𝑦

Jeg sammenholder dette med ligningen fra Excel:

𝐿 = 1603 ∗ 𝑦 ≈ 1600 ∗ 𝑦

y = 1603x
L som funktion af y R² = 0,9625

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

Side 22

Side 22 af 25

Der er en afvigelse på de to ligningers hældningskoefficient på ca. 300, hvilket er en ret stor forskel.

Den teoretiske afbøjningsvinkel er på afrundede 0,29°. Alle mine værdier ligger højere end dette. De ligger gennemsnitligt på omtrent 0,40°. Det gælder her, at des mindre et tal man

tager tan^{−1} til, des større bliver ens resultat, og selvfølgelig også omvendt. Derfor må det

gælde, at mine målte diametre er mindre end de teoretisk burde være. Dette kan skyldes, at 1.

destruktive interferensring kan være svær at måle præcist, når man ikke kan se den 1. orden.

Dette kan sagtens have været skyld i, at alle mine diametre er lidt mindre end de skulle være.

Alt dette trods mener jeg alligevel, at mine ca. 0,40° er et succesfuldt resultat, med omstændighederne taget i betragtning.

Fejlkilder:

Det var svært at måle diameteren præcist, da jeg sad med et stykke papir i den ene hånd, og en lineal i den anden, og skulle prøve at måle gennem cirklens centrum.

Jeg målte afstandene mellem laser og skærm med et hjul, som klikker for hver meter. Man skal derfor gå meget lige, for at undgå måleusikkerhed, og dette kan godt have givet nogle lidt usikre målinger.

Jeg kender heller ikke åbningens diameter præcist, da dette ville kræve at jeg skilte laseren af.

Derfor kan denne godt være en anelse forkert, og bidrage til usikre resultater.

Konklusion:

Afstanden mellem laser og skærm er proportional med radiussen for laserstrålens cirkel.

Laserens spredning over længere afstande kan godt forklares alene ud fra interferensen med laserens åbning.

Afbøjningsvinklen som kommer ved interferens med laserens åbning er meget lille (ca.

0,03°), men alligevel spreder laserstrålen sig en hel del, hvis man måler over afstande på helt op til 50 m.

Side 23

Side 23 af 25

Rayleighs kriterium:

Pupillen er et cirkulært hul, og bøjer derfor lyset, som alle andre cirkulære huller. Når øjet derfor ser en lysstråle, interferer den ind på øjets nethinde. Det gælder dog at øjet kun kan se

0. orden.

Ifølge Rayleighs princip er 0. orden for denne interferens vigtig i forhold til øjets evne til at skelne mellem to forskellige lyskilder. Hvis to lyskilder overlapper hinanden, så en del af den enes 0. orden går ind over den andens midtpunkt, vil øjet ikke kunne skelne mellem lyskilderne. Hvis midtpunktet for lyskilden derfor er helt fri for den anden lyskildes 0. orden, vil øjet godt kunne se forskel på lyskilderne. De to senarier kan skitseres således:

I 1. situation går lyskildernes 0. orden ind over hinandens centrummer, og derfor opfatter øjet kun dette som 1 lyskilde.

I 2. situation er centrummerne der i mod fri for hinandens 0. orden. Øjet er i stand til at skelne, og ved at dette er to forskellige lyskilder.

Øjet kan dog godt skelne, hvis de to lyskilders 0. orden overlapper hinanden, men centrummet går frit. Dette gør det dog mere besværligt for øjet, men det lader sig gøre.

Det er muligt at opstille et udtryk for, hvornår det er muligt for øjet at skelne mellem

lyskilderne. Jeg bruger den generelle formel for cirkulære huller: 𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝜆 <=>

      𝑚∗𝜆
𝑠𝑖𝑛𝜃 =   . Endvidere ved jeg at vinklen theta er lig med den vinkel lyskilderne har før de
       𝑑

bøjes. Derfor må det gælde, at 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≥^{𝑚∗𝜆}_{𝑑}. Jeg kan også finde værdien for m. Øjet kan kun se

0. orden, og derfor må 1. destruktive interferenscirkel være det yderste vi kan regne efter.

Side 24

Side 24 af 25

Derfor indsætter jeg m-værdien for denne, hvilken er 1,220: 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≥^{1,220∗𝜆}_{𝑑}, hvor d er pupillens

diameter på det givne tidspunkt.

Samlet konklusion:

Ved lysets bøjning gennem spalter og cirkulære huller er det muligt ved forholdsvis simple forsøg, at underbygge både Huyghens princip og Babintes teorem.

Det er endvidere muligt at udregne afbøjningsvinkler for lysets interferens, som også kan vises ved forsøg.

Laserstråler fra en He-Ne laser interfererer ikke kun hvis den føres gennem et hul eller en spalte, men laserens åbning fungerer også som et cirkulært hul, hvilket forklarer laserens spredning, som især er tydelig over længere afstande.

Når lys interfererer aftager intensiteten kraftigt. Des længere ud i ordnerne man beskæftiger sig, des større er denne aftagen. Dette er også muligt at beregne.

Der findes proportionale sammenhænge mellem afstanden fra laser til skærm, samt afstanden mellem midt og orden.

Lasers interferens kan eksempelvis bruges til at forklare øjets opløselighed, hvilket illustreres i Rayleighs kriterium.

Side 25

Side 25 af 25

Litteraturliste:

Bøger:

- ”Fysik i grundtræk” fra Munksgårds forlag side 41-42

- ”Stråling og Atomer ‒ fysik for gymnasiet og hf 2” af Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen, fra 1982

- ”Fysik og kemi leksikon” af B. Østergård Pedersen, fra 1983, 1. udgave

- ”Orbit 2” af Tommy Gjøe, Lis Jespersen, Ole Keller, Jan Møller og Jens Vaaben, fra

1998, 1. udgave, 2. oplag.

Web:

- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cirapp2.html
- http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/raylei.html#c1