SRP om Musik i Fysik A og Matematik A

Side 1

1/29

Abstract

This paper examines the physics of vibrating strings on stringed instrument and the theory of tuning

such instruments. What is the physical/mathematical foundation of instruments, like guitars? What

characterizes tones that sound good, when they are played together and how should instruments be tuned, if we want them to sound well?

The physical/mathematical foundation for the vibrating string is derived. The resulting theory based

on the wave equation and it solutions is studied experimentally by obtaining the frequency spectrum for a guitar string which is vibrating under controlled conditions.

The theory predicts that the frequency spectrum should depend on three parameters:

• the length of the string

• the weight of the string pr. unit length

• the string tension.

The measurements carried out by varying only one of these parameters at a time verifies our theory.

The human ear enjoys just intervals which occur when the frequency ratio involved is 3/2, 4/3 and

2. This fact has been used for devising note systems since antiquity. It is explained why an old tone system like the Pytagorean diatonic scale is impractical, especially when it comes to polyphony. It is also explained why the equal temperament is much more practical.

Side 2

2/29

Indholdsfortegnelse

1. Indledning .................................................................................................................................... 2

2. Udledning af v = ved dimensionsanalyse ............................................................................ 4

µ

F

3. Opstilling af bølgeligningen ......................................................................................................... 5

4. Udledning af v = ved hjælp af Newtons 2. lov.................................................................... 6

µ

F

5. D’Alemberts generelle løsning af bølgeligningen ....................................................................... 8

6. Partialtoner og udledning af guitarligningen ............................................................................. 11

7. Eksperimentel eftervisning af guitarligningen ........................................................................... 12

7.1. Fælles opmåling ................................................................................................................. 13

7.2. Delforsøg 1: Måling af partialtoner ................................................................................... 14

7.3. Delforsøg 2: Strengens masse pr. længdeenhed varieres ................................................... 16

7.4. Delforsøg 3: Loddets masse og dermed strengens spænding varieres ............................... 17

7.5. Delforsøg 4: Strengens længde varieres............................................................................. 19

7.6. Fejlkilder ............................................................................................................................ 20

7.7. Konklusion på delforsøg 1 til 4 .......................................................................................... 22

8. Hvad karakteriserer toner, der lyder godt sammen? .................................................................. 22

9. Den gode stemning..................................................................................................................... 23

9.1. Den pytagoræiske stemning ............................................................................................... 23

9.2. Den moderne ligesvævende stemning ................................................................................ 23

9.3. Guitarbåndenes placering på gribebrættet.......................................................................... 24

10. Konklusion ............................................................................................................................. 25

11. Litteraturliste .......................................................................................................................... 26

12. Bilag 1: Anvendte symboler og enheder ................................................................................ 27 Bilag 2: Anvendte regler til partieldifferentiering ............................................................................. 28

13. Bilag 3 Eksempler på FFT spekre .......................................................................................... 29

1. Indledning

Når vi hører et strengeinstrument, som f.eks. en guitar spille, sker det ved, at vores ører registrerer hurtige ændringer i lufttrykket. Lufttryksændringerne stammer fra en eller flere strenges vibrationer.

Spørgsmålet er: efter hvilket mønster svinger disse strenge? Hvad er det fysiske grundlag for svingningerne, og hvordan beskrives de matematisk? Det er hovedtemaet i denne opgave.

Når vi spiller en akkord på en guitar, lyder den godt, hvis fingrene er sat rigtig, og guitaren er godt stemt. Men hvad karakteriserer flere toner, der lyder godt sammen? Og hvad er en god stemning?

Dette sidetema behandles i den sidste del af opgaven.

De svingninger som opstår, når en streng slås an, kaldes også bølger. Bølger er udbredelsen af energi i et medium, som f.eks. en guitarstreng, luft eller vand. Det, der kendetegner bølger, er, at der ikke transporteres stof, men kun energi. (Ref. 2, side 19-31).

De strenge, som sidder på musikinstrumenter, er fastgjort i begge ender og spændt. Når sådan en spændt streng slås an, sættes en periodisk bevægelse i gang, idet strengen svinger op og ned i et

Side 3

3/29

regelmæssigt periodisk mønster, også kaldet en periodisk bølge. Sådan en periodisk bølge er afbilledet i Figur 1.

Figur 1: Figuren viser en periodisk bølge. Bølgelængden λ regnes fra en bølgetop til den næste, svarende til en hel svingning. Udsvingets størrelse et givet sted på bølgen og til en given tid betegnes med Ψ.

De grundlægende fysiske begreber, der anvendes, når man arbejder med periodiske bølger er:

T Den tid det tager for en periode (også kaldet en svingning) at forløbe.

f Antallet af svingninger pr. tidsenhed, kaldet frekvensen.

λ

Afstanden fra en bølgetop til den næste, kaldet bølgelængden.

v Hastigheden hvormed bølgen forskydes ud ad x-aksen, kaldet bølgehastigheden.

Ψ Udsvingets størrelse på y-aksen.

Der gælder følgende simple sammenhænge mellem størrelserne (Ref. 2, side 28):

       1
(1) T =
       f

(2) v ⋅=⋅= f

λλ

T

1

Hovedparten af opgaven vedrører den såkaldte guitarligning:

        n
(3) f =
    n
       2

µ

F

L

Denne udledes dels med udgangspunkt i dimensionsanalyse, dels under anvendelse af Newtons 2.

lov på et lille stykke streng. Endelige eftervises gyldigheden af guitarligningen eksperimentelt.

Vi opstiller undervejs den såkaldte bølgeligning

     Ψ∂       Ψ∂
          2
(4)      v ⋅=
      2       2
    ∂ t ∂    x

2 2 og finder D’Alemberts generelle løsning på denne. D’Alemberts generelle løsning giver os under passende grænsebetingelser forklaringen på, hvorfor der opstår stående bølger, når en streng, der er fastgjort i begge ender, sættes i svingninger.

I den sidste del af opgaven diskuterer vi, hvorfor flere toner lyder godt sammen, og hvad dette i praksis har betydet for måden at stemme musikinstrumenter på i antikken og i nyere tid.

Side 4

4/29

2. Udledning af^{F} v = ved dimensionsanalyse

µ

Først forsøger vi ved dimensionsanalyse at forklare en guitarstrengs opførsel, når den sættes i svingninger.

Dimensionsanalyse er en ofte anvendt metode til udledning af nyttige fysiske sammenhænge.

Metoden går ud på at finde sammenhænge mellem forskellige variable udelukkende på grundlag af enheder. Man opstiller en hypotese om, hvilke parametre der indgår i udtrykket. Ved at bringe de fysiske enheder til at stemme, udledes hvordan parametrene indgår i udtrykket. Derefter kontrollerer man ved hjælp af forsøg, om den opstillede hypotese holder. Dimensionsanalyse er altså ikke et bevis for, at en sammenhæng er rigtig, men et smart værktøj til at finde ud af, hvad der kunne være frugtbart at undersøge i laboratoriet.

Hvis vi benytter følgende symboler:

:v bølgehastighed med enheden

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤ s m µ

: masse pr. længde med enheden

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤ m kg

F: kraft hvormed strengen er spændt med enheden_{⎢}^{⎡}_{s}^{⋅}_{2}^{mkg}_{⎥}^{⎤}

⎣ ⎦ kan vi antage at:

             yx
(5)     Fv ⋅⋅=

µα hvor er en dimensionsløs konstant.

α

Hvis (5) er rigtig, må følgende gælde om enhederne, hvis (5) skal have fysisk mening:

                     yx
   m             kg
       ⎛        ⎛
(6)   =        ⋅
    s             m

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞ ⎞

⋅ mkg

s^{2}

Dette kan også skrives som

   m
                   −−+ xyxyx 2
(7)              ⋅⋅= smkg
    s

Enheden kg er ikke tilstede på venstre side af lighedstegnet. Derfor må det gælde:

(8) 0=+ yx

Enheden m står i tælleren. Derfor må det gælde:

(9) 1=− yx

Enheden s står i nævneren. Derfor må det gælde:

(10) 12 −=− x

Heraf ses det at:

(11) =x_{2}^{1} og −=y_{2}^{1}

Side 5

5/29

Formlen (5) må derfor have formen:

              1
(12)      Fv =⋅=

µ α µ α

F

Dimensionsanalysen bringer os, som det ses, ikke hele vejen i forsøget på at forklare opførslen af

guitarstrengen. F.eks. kan vi ikke fastslå værdien af. I afsnit 4 viser det sig dog, at 1=.

α α

3. Opstilling af bølgeligningen

For at kunne komme nærmere på forståelsen af guitarstrengens opførsel har vi brug for den såkaldte bølgeligning. Derfor forklares det i dette afsnit, hvordan denne ligning opstilles.

Først vil vi vise, at en bølge, der bevæger sig ud ad x-aksen med en konstant hastighed v, kan beskrives ved funktionen:

(13) ( ))(, vtxftx −=Ψ

Ved at definere en ny variabel

(14)_{t} −= vtxx
bliver ( ) xf_{t} et udtryk for bølgens form. En simpel forskrift for en bølge af form som en trekant og

med et maksimalt udsving på 2 er:

(15) xf_{t} 0)( = for x_{t} 0< eller x_{t} 4>

(16)       xxf =)( for                         x   20 ≤≤
            tt                                  t

(17) ( )    xxf −= 4 for                  x   42 ≤<
             tt                            t

Figur 2: Formen af den trekantede bølge efter forskriften (15), (16) og (17)

Hvis man antager, at bølgen bevæger sig med en hastighed på 1^{m}_{s} ud ad x-aksen kan man afbilde

bølgens forskydning ved at benytte (14) sammen med (15), (16) og (17).

Side 6

6/29

Figur: 3 Afbildning af den trekantede bølges forskydning langs x-aksen til tiden 1=t og 2=t.

Af overstående ses det, at formlen (13) er udtrykket for en bølge, der bevæger sig med konstant hastighed langs x-aksen. For at udlede bølgeligningen skal vi differentiere (13) to gange partielt med hensyn til x og t.

Først differentieres [1] (13) to gange med hensyn til x.

     Ψ∂ )(
(18)    =
     ∂ x ∂

( ) ( ) ( ) −Ψ∂ vtx ∂ x_{t}_{=} −Ψ∂ vtx −∂ vtx_{=} −Ψ∂ vtx
∂ x_{t} ∂ x ∂ x ∂ x x_{tt}

(19)_{∂}_{x^{2}}^{Ψ∂_{=}}

( ) −Ψ∂ vtx
∂ x_{t}^{2}

2 2

Så differentieres (13) to gange med hensyn til t.

     Ψ∂ )(
(20)    =                                 v ⋅−=
     ∂ t ∂

( ) ( ) ( ) −Ψ∂ vtx ∂ x_{t}_{=} −Ψ∂ vtx −∂ vtx −Ψ∂ vtx
∂ x_{t} ∂ t ∂ x ∂ t x_{tt}
(21)_{∂}_{t^{2}}^{Ψ∂} v^{2} ⋅=

( ) −Ψ∂ vtx
∂ x_{t}^{2}

2 2

(19) sættes ind i (21) og herved fremkommer bølgeligningen:

     Ψ∂       Ψ∂
          2
(4)      v ⋅=
      2       2
    ∂ t ∂    x

2 2

Netop fordi bølgefunktionen (13) ( ))(, vtxftx −=Ψ og lignende funktioner (jf. afsnit 5) opfylder

(4), kaldes den bølgeligningen.

4. Udledning af^{F} v = ved hjælp af Newtons 2. lov

µ

Dimensionsanalysen var ikke stærk nok til fuldstændigt at forklare opførslen af guitarstrengen. Men ved brug af bølgeligningen (4) og Newtons 2. lov anvendt på et lille stykke streng, kan vi komme videre.

1

Partiel differentiering er kort beskrevet i ”Bilag 2”

Side 7

7/29

Kreyzig opstiller følgende forudsætninger (Ref. 3, side 418):

• Strengen er homogen, det vil sige, massen pr. længdeenhed er konstant i hele strengens længde.

• Strengen yder ingen modstand imod at blive bøjet.

• Den kraft, som strengens spændes med, er så stor, at den ophæver tyngdekraftens påvirkning af strengen.

• Et hvert punkt på strengen bevæger sig udelukkende op og ned, og udsvinget og hældningen i ethvert punkt på strengen er lille, numerisk set.

Figur 4: xΔ er tilnærmelsesvis lig med længden PQ af det lille strengstykke, fordi vi forudsætter at strengens udsving og hældningen i et hvilket som helst punkt på strengen er lille. Da et punkt på strengen ikke bevæger sig i x-aksens retning, er de to modsatrettede vandrette kraftkomponenter

lige lange. Den resulterende kraft på det lille stykke streng kan beregnes som FFF −= .
                                                                         nores

Vi betragter en lille stykke af en streng, der er sat i svingning, jf. Figur 4. Den opadrettede

kraftkomponent på strengstykket, er_{o} sin⋅= FF. Da er meget lille er

θ θ

( ) Δ+Ψ∂, txx
∂ x

tansin =≈ gældende i punktet Q.

θθ

En tilsvarende betragtning for punktet P giver os

(22) F_{res} = F ⇔

( ) ( ) Δ+Ψ∂ txx_{F}_{−} Ψ∂,, tx
∂ x ∂ x
(23)_{res} = FF^{⎛}

( ) ( ) Δ+Ψ∂ txx_{−} Ψ∂,, tx_{⎟}

⎝ ⎠

⎞

⎜

∂ x ∂ x

Da det gælder, at g(x+Dx)- g(x) ≈ g'(x)⋅ Dx, kan man skrive:
(23)_{res} ≈ FF Δ⋅ x
∂ x^{2}

Ψ∂ tx),(

2

Hvis man differentierer Ψ to gange med hensyn til t, fås accelerationen af det lille strengstykke:

(24) a =
        ∂

t^{2}

2

Ψ∂

Ifølge Newtons 2. lov gælder det at:

Side 8

8/29

(25)_{res} ⋅Δ= amF

Da µ er massen pr. længdeenhed, og xΔ tilnærmelsesvis svarer til længden af det lille stykke streng, sættes formlen:

(26) xm Δ=Δ

µ ind i (25) og herefter ind i (23). Herved får vi:

                       Ψ∂
(27) F            xx ⋅Δ⋅=Δ⋅ ⇔
                       2
      ∂              ∂ t

Ψ∂

2 2

x^{2}

µ

∂^{2} ∂ tx^{2}

2 2

F Ψ∂ Ψ∂
⋅ =

µ

Denne funktion har samme form som bølgeligningen

     Ψ∂       Ψ∂
          2
(4)      v ⋅=
      2       2
    ∂ t ∂    x

2 2

Ved at sammenligne (4) med

(27) får vi:

         F
      2
(28) v =   ⇔

µ

(29) v =

µ

F

                                                 Ψ∂       Ψ∂
                                                      2
Der er altså overensstemmelse mellem bølgeligningen (4) v ⋅= og (29). Nu har vi
                                                 2        2
                                                ∂ t ∂    x

2 2 desuden vist, at i (12) er lig 1.

α

5. D’Alemberts generelle løsning af bølgeligningen

Bølgeligningen:

     Ψ∂       Ψ∂
          2
(4)      v ⋅=
      2       2
    ∂ t ∂    x

2 2 er det matematiske redskab, der endelig gør det muligt at forklare, hvordan guitarstrengen opfører sig. Det kræver imidlertid, at bølgeligningen løses, først generelt og dernæst i den særlige situation, hvor bølgen udbreder sig på en streng, der er fastgjort i begge ender.

Den generelle løsning blev fundet af den franske matematiker D’Alembert. Han fandt i 1747 (Ref.

1, side 94) på, at ændre bølgeligningens variable på følgende måde:

(30) vtxb +=
(31) vtxc −=

Først ændrer vi bølgelignings venstreside til de nye variable ved at bruge kædereglen (jf. Bilag 2, regel (f)):

Side 9

9/29

(32)^{Ψ∂ ,,,,,,,,,,,}

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) txctxb Ψ∂ txctxb ∂ txb Ψ∂ txctxb ∂ txc
         =                   +

∂ t ∂ b ∂ t ∂ c ∂ t

Desuden gælder det at:

(33)^{∂ ,}_{∂} v

( ) ( ) txb_{=} +∂ vtx_{=}
t ∂ t
(34)^{∂ ,}_{∂} v

( ) ( ) txc_{=} −∂ vtx_{−=}
t ∂ t

(33) og (34) sættes ind i (32).

    ∂      ∂     ∂      ∂    ∂
                      ⎛
(35)    = v   − v   = v    −
     ∂ t   ∂ b   ∂      ∂    ∂

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎞ c cb ψψψψψ

For at få bølgeligningens venstre side, skal

Ψ differentieres endnu gang med hensyn til t. For nemhed skyld sætter vi:

(36)^{t} =Ψ '_{∂}^{Ψ∂}_{t}

Kædereglen anvendes igen:

     Ψ∂             Ψ∂      ⎛ Ψ∂        ⎞
(37)     =       +        = v ⎜   −     ⎟
                            ⎜           ⎟
     ∂     ∂        ∂         ∂     ∂

⎝ ⎠

                                ttttt
Ψ∂  ∂ b       ∂ c             Ψ∂ '''''

bt ∂ ct ∂ t cb

(35) sættes ind i (37).

      Ψ∂   ⎜
                                               ⎜              ⎝
                                              2
(38)     = v               −               = v              −             =
           ⎜
                                               ⎜
     ∂ t

⎜ ⎟

⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ − ∂ − ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎞

∂ b ∂ c ∂ b ∂ c

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ∂ ∂ cb ∂ ∂ cb

⎜ | ⎟
⎜ | ⎟

2 ⎟

⎜ | ⎟
⎝ | ⎠
⎛ | ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ⎜ v − ⎟ ∂ ⎜ v − ⎟

⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞
∂ ∂ cb ∂ ∂ cb

ψψψψ ψψψψ

2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

v^{2} ⎜ − − + ⎟ = v^{2} ⎜ + − 2 ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛^{2} Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ ⎞ ⎛^{2} Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ ⎞
∂ b^{2} ∂∂ ∂∂ cbcb ∂ c^{2} ∂^{2} ∂ cb^{2} ∂∂ cb

222 2 2

Dette svarer til venstresiden af bølgeligningen (4), udtrykt ved de nye variable.

Højresiden af bølgeligningen (4) behandles tilsvarende. Kæderegelen anvendes:

     Ψ∂
(39)    =      +
     ∂    ∂      ∂

bx ∂ ∂ cx x

Ψ∂ ∂ b Ψ∂ ∂ c

Desuden gælder det at:

(40)_{∂}^{∂}^{b_{=}}_{x}

( ) +∂ vtx_{1=}
∂ x

Side 10

10/29

(41)_{∂}^{∂}_{x}^{c_{=}}

( ) −∂ vtx_{1=}
∂ x

(40) og (41) sættes ind i (39):

     Ψ∂
(42)    =   +
     ∂    ∂

cbx ∂

Ψ∂ Ψ∂

For nemheds skyld sætter vi:

(43)^{x} =Ψ '_{∂}^{Ψ∂}_{x}

Nu differentieres der en gang til med hensyn til x under anvendelse af kædereglen:

(44)_{∂}
∂ bx ∂ ∂ cx ∂ ∂ ∂ cbx

∂ Ψ ′ ∂ Ψ ′ ∂ b ∂ Ψ ′ ∂ c ∂ Ψ ′ ∂ Ψ ′^{xxxxx}
= + = +

Nu sættes (42) ind i (44) via (43)^{x} =Ψ '_{∂}^{Ψ∂}_{x}

      Ψ∂
(45)     =            +            =     +     +     +     =     +     + 2
       2                                                 2     2
     ∂ x                             ∂                 ∂     ∂     ∂

                             2                                   2
∂ b             ∂ c         b       ∂∂     ∂∂ cbcb              cbc       ∂∂ cb

∂ ∂ cb ∂ ∂ cb Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂

⎜ | ⎟ | ⎜ | ⎟
⎝ | ⎠ | ⎝ | ⎠
⎛ | ⎞ | ⎛ | ⎞

Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂
∂ + ∂ +

2 2 222 2 2 2

Hvis man ganger udtrykket (45) med v^{2}, får man et udtryk for højre siden af bølgeligningen (4)

med de nye variable.

Højresiden sættes nu lig venstresiden.

        2                       2
      ⎛                 ⎞    ⎛               Ψ∂ ⎞
     2                      2
(46) v ⎜   +     −      ⎟ = v ⎜    +    + 22   ⎟ ⇔
          2                      2
      ⎜                 ⎟    ⎜                 ⎟
       ∂     ∂                ∂     ∂        ∂∂

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂ Ψ∂
cb^{2} ∂∂ cb cb^{2} cb

2 2 2 2

(47)_{∂∂}^{Ψ∂} = 0

2 cb

Dette er et udtryk for bølgeligningen med de nye variable.

Integreres dette udtryk med hensyn til c får vi:

(48)_{∂}^{Ψ∂}_{b} =)(bh

Hvor)(bh er en arbitrær funktion af b. Denne funktion svarer til en arbitrær konstant, når b holdes konstant under den partielle differentiering med c.

Nu integreres (48) med hensyn til b:

(49) +=Ψ )()( cfdbbh
∫

Side 11

11/29

hvor)(cf er en arbitrær funktion.

Da)( dbbh er en funktion af b kan man skrive:

∫
(50))()( cfbg +=Ψ

Nu indsættes (30) og (31) i (50) og herved får den generelle løsning på bølgeligningen:

(51))()( vtxfvtxg −++=Ψ

Der stilles ingen krav til funktionerne g og f

, udover at de er differentiable i alle punkter.

Derfor svarer løsningen til summen af 2 arbitrært formede bølger, der bevæger sig med den samme

hastighed, i hver sin retning langs x-aksen. Det ses, at bølgefunktionen)( vtxf −=Ψ som vist i
afsnit 3 er en særlig løsning til (4), som opstår, når 0)( =+ vtxg for alle x og t.
En streng, der er spændt ud med fikspunkter på sadel og stol (jf, Figur 6), svarer til, at 0=Ψ for
0=x og Lx = til enhver tid. Vi burde nu løse bølgeligningen i denne særlige situation. Dette

kræver, at vi løser den partielle differentialligning under de givne grænseværdibetingelser. Dette fører imidlertid for vidt, så vi nøjes med at resumere løsningen. Fremgangsmåden for løsningen af differentialligningen kan i øvrigt ses i Ref. 1, side 98.

I korte træk viser det sig, at løsningen består af stående sinussvingninger med frekvenser, som er hele multipla af grundtonen, hvor grundtonen har en bølgelængde, der er det dobbelte af strenglængden L (jf. Figur 5). De sinussvinginger, som løsningen består af, kaldes partialtoner.

Grundtonen kaldes 1. partialtone med frekvensen f_{1}. f_{n} er den n’te partialtones frekvens. Det

svingningsmønster, en streng følger, er summen af alle disse partialtoner.

Figur 5: Bølger i form af sinusformede partialtoner på en streng, der er fastgjort i begge ender.

Der er i princippet uendelig mange partialtoner, men deres amplitude aftager hurtigt, når n vokser.

Derfor har de højere partialtoner kun ringe eller ingen betydning.

6. Partialtoner og udledning af guitarligningen

Nu er vi parate til tage det sidste skridt og udlede den ligning, som beskriver opførslen af en guitarstreng, når den sættes i svingninger.

Ud fra Figur 5 ses det, at følgende sammenhæng passer:

Side 12

12/29

(52) nL_{2} ⇔⋅=

λ

(53)_{n}^{L2} =

λ

Sættes (29) og (53) ind i (2) fås:

(54)^{F} f_{n} ⇔⋅=

n

2 L µ

        n
(3) f =
    n
       2

µ

F

L

Hermed er guitarligningen udledt.

Vi bemærker desuden at:

         1
(55) f =       ⇒
     1
        2

µ

F

L

(56)      ⋅= fnf
     n     1

Nu er målet nået, idet vi har en matematisk beskrivelse af guitarstrengens opførsel. Denne beskrivelse mangler dog at blive eftervist eksperimentelt, før vi kan tro på den.

7. Eksperimentel eftervisning af guitarligningen

Formål:

At eftervise guitarligningen:

             F
(3) f     ⋅=   .
    n

µ

2 L n

Forsøgsopstilling

Der benyttes 2 sæt identiske guitarstrenge. Det ene sæt anvendes til bestemmelse af. Da denne µ bestemmelse betyder, at man klipper i strengene, anvendes det andet sæt til selve forsøget.

De indkøbte sæt består hver af 6 standard stålstrenge. Stålstrengene er valgt frem for nylonstrenge, fordi nylonstrenge strækker sig, og µ derfor ikke er ligeså veldefineret som for stålstrenge.

Guitaren spændes op på et lodret stativ, så den har en svag hældning i forhold til lodret (jf. Figur 6).

De 6 strenge fastgøres med en knude i hver sin stemmeskrue. Strengene føres lodret ned gennem stolen, men fastgøres ikke. Den streng, der skal måles på, bindes til en lod, som hænger frit.

Guitarens svage hældning bevirker, at strengens nederste punkt fikseres på stolen. Herved får strengen en fast længde, som kan måles. Resten af strengene tapes fast på guitaren, så de ikke generer.

Side 13

13/29

En computer med en mikrofon og en indbygget analog-til-digital konverter benyttes til at optage et Fast Fourier Transform (FFT) spektrum af strengens vibration. Spektrummet genereres af programmet Real Time Analyser. Eksempler på sådanne spektre er vedlagt i Bilag 3.

Figur 6: Forsøgsopstillingen, hvor en streng spændes ved belastning med et lod.

7.1. Fælles opmåling

Fremgangsmåde:

Først bestemmes værdien af for hver af de 6 strenge. Dette gøres ved at klippe enderne af µ strengen, så de forstærkninger, der sidder her, fjernes. Herved bliver strengene homogene i hele deres længde. Strengene vejes på analysevægten, og deres vægt noteres. Bagefter sættes strengene stramt op med tape på et bord, og deres længder måles med et målebånd og noteres.

For at kende længden L af en svingende streng, måles afstanden mellem fikspunkterne ved sadlen og stolen med et målebånd.

Resultater

m streng [ ] kg l streng [ ] m m^{⎥}

µ

⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ kg

Edyb 0,005522kg 0,994 0,00556

A 0,003309 0,959 0,00345

D 0,00187 0,949 0,00197

G 0,001048 1,073 0,000977

H 0,000516 1,09 0,000473

Elys 0,000356 1,1 0,000325

Tabel 1: Bestemmelse af for hver af de 6 strenge.

µ

Side 14

14/29

Længden L, som er afstanden fra strengenes fikspunkt på sadlen til fikspunktet på stolen, måles til

0,635 m.

7.2. Delforsøg 1: Måling af partialtoner

Fremgangsmåde

Forsøget blev udført på G-strengen, da dette er den tykkeste af de strenge der ikke er omspundet med tynd metaltråd. På den måde benytter vi en stærk streng der har ringe risiko for at briste, samtidig med, at der er lav friktion ved stolen, fordi strengen er glat. G-strengen er af denne grund anvendt til alle de forsøg, hvor vi ikke varierer værdien af.

µ

Strengen belastes med 5 kg. Den slås an og FFT spektret måles. Frekvensen for 1., 2., 3., 4., 5. og 6.

partialtone aflæses.

Resultater og datebehandling

På det FFT-spektrum, som blev optaget, fremstår partialtonerne som toppe, hvis frekvens kan aflæses. De aflæste frekvenser fremgår af Tabel 2.

Partialtonenummer n

Frekvens [ ]_{Frekvensfaktor} Hz

1 | 175,3 | 1,00
2 | 349,9 | 2,00
3 | 522,2 | 2,98
4 | 705,2 | 4,02
5 | 882,9 | 5,04

6 1049,7 5,99

Tabel 2: Resultatet af de målte partialtoner og frekvensfaktoren, som er forholdet mellem en målt

frekvens og grundtonens frekvens (n=1).

Resultaterne fra Tabel 2 afbilledes i Graf 1 med partialtonenummeret ud ad x-aksen og frekvensen ud ad y-aksen. Bedste lineære curve fit bestemmes med Excel.

Side 15

15/29

Delforsøg 1

y = 175,55x

0

200

400

600

800

1000

1200 partialtonenummer

Hz

Graf 1: Frekvensen som funktion af partialtonenummeret.

Sammenligning med forventet resultat

Frekvensfaktoren i Tabel 2 viser, at sammenhængen mellem grundtonen og de efterfølgende partialtoner er:

⋅= fnf
  1

n

Excel giver et curve fit på formen_{n} ⋅= Hz55,175 nf
Den teoretiske hældningskoefficient af Graf 1 bør være lig f_{1}.
f_{1} måles til Hz3,175, og hældningskoefficienten estimeres til 175,55Hz. Overensstemmelsen er

god.

                                                                     kg
                                                                   4−
Da længden af strengen er 0,636 m, og massen pr. længdeenhed er målt til ⋅ 1077,9 , kan den
                                                                     m

teoretiske værdi for f_{1} bestemmes ved hjælp af (55):

f_{1} = = Hz3,176

m kg

   − 4
⋅ 1077,9

s m

⋅ 82,9kg5

⋅ m636,02

1

Den estimerede hældningskoefficient har en afvigelse på^{−}_{3,176}^{3,1765,175} =⋅ %45,0%100 i forhold til

den teoretiske. Disse data ser ud til at bekræfte formlen (56) ⋅= fnf .
                                                  n     1

Side 16

16/29

7.3. Delforsøg 2: Strengens masse pr. længdeenhed varieres

Fremgangsmåde

Først laves forsøget på den lyse E-streng, som belastes med 5 kg. Strengen slås an. FFT spektrummet optages på computeren, og grundtonen aflæses. Denne aflæsning kaldes f dyb i Tabel

3.

Nu justeres stemmeskruen, indtil tonen bliver så lys som muligt. Grunden til, tonen bliver lysere, er, at friktionen nede ved guitarstolen mindskes. Strengen slås an igen, og første grundtone aflæses en gange til. Denne aflæsning kaldes f høj i Tabel 3. Bagefter bliver forsøget udført på de andre fem strenge, som alle har forskellige værdier for.

µ

For den dybe E-streng og for A-strengen, som også er temmelig tyk, var aflæsningen af grundtonen upræcis, fordi loddet på 5 kg knapt kunne spænde strengene ud. Derfor anvendes 3., 4. og 5.

partialtone [2] til at bestemme grundtonen som det er vist er muligt i delforsøg 1.

Resultater µ

m^{⎥} f dyb [ ] Hz f høj [ ] Hz < f > [ ] Hz

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤

⎢ m kg µ

1 kg^{− 2/1}

⎢ ⎥

⎢ ⎜ ⎟ ⎥

⎡ ⎤

⎝ ⎠

⎛ ⎞

Edyb 0,00556 13,416 49,92 62,23 56,08

A 0,00345 17,023 80,7 91,5 86,1

D 0,00197 22,527 107,7 113 110,35

G 0,000977 31,997 172,3 177,6 174,95

H 0,000473 45,961 247,6 253 250,3

Elys 0,000324 55,587 301,5 312,2 306,85

Tabel 3: i tabellen afbildes strengenes µ

-værdier og de dertil målte frekvenser. <f> er middelværdien af f dyb og f høj. Om det i virkeligheden er rimeligt at anvende middelværdien diskuteres i afsnit 7.6.

Guitarligningen for første partialtone (55) indebærer, at denne partialtones frekvens er omvendt

proportional med. Derfor afbilder vi resultaterne fra Tabel 3 i en graf med^{1} ud ad x-aksen

µ µ og frekvensen ud ad y-aksen. Bedste lineære curve fit bestemmes ved hjælp af Excel.

2

De curve fits der er anvendt til at bestemme 1. partialtone er ikke medtaget i opgaven. Et eksempel på, hvordan man bestemmer 1.partialtone ud fra de andre partialtoner er vist i delforsøg 1.

Side 17

17/29

Delforsøg 2

y = 5,395x

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 60

Hz

Graf 2: f_{1} for de 6 guitarstrenge som funktion af^{1}

µ

Sammenligning med forventet resultat

                                          1
                                       − 12/1
Excel giver følgende curve fit: f    mN395,5 ⋅=
                          1

µ

Den teoretiske hældningskoefficient for linjen afbildet i Graf 2 er:

                        − 11/2
=                    ⋅= mN5,5 . Dette sammenlignes med curve fittets estimat, som i Graf 2 er

2 L ⋅ m636,02 s m

⋅ 82,9kg5

F

bestemt til 5,4 ⋅ mN^{−}^{12/1}. Med en afvigelse på^{−}_{5,5}^{5,54,5} =⋅ %8,1%100 bekræfter forsøget, at

grundtonens frekvens er omvendt proportional med.

µ

7.4. Delforsøg 3: Loddets masse og dermed strengens spænding varieres

Fremgangsmåde

Strengen slås an som før, og computeren måler FFT spektret. Igen justeres der på stemmeskruen for at mindske friktionen. Grundtonen aflæses før og efter justeringen af stemmeskruen.

Aflæsningerne gennemføres med belastninger fra lod på 2, 3, 4, 5 henholdsvis 6 kg. Spændingen af

strengen F beregnes som tyngdekraften på loddet, idet tyngdeaccelerationen er 82,9_{s}^{m}_{2}. Forsøget

bliver udført på G strengen.

Side 18

18/29

Resultater og databehandling

m_{lod}]kg[ F_{lod} [ ] N
f dyb [ ] Hz f lys [ ] Hz < f > [ ] Hz < f >^{2}

2 19,64 113 113 113 12769

3 29,46 134,6 140 137,3 18851

4 39,28 156,1 161,5 158,8 25217

5 49,1 172,3 183 177,65 31560

6 58,92 188,4 199,2 193,8 37558

Tabel 4: f dyb er den frekvens, der aflæses, før der justeres på stemmeskruen. f lys er den frekvens, der aflæses efter, der er justeret på stemmeskruen. <f> er middelværdien af f lys og f dyb.

Grundtonens frekvens ifølge (55) er proportional med

F

. Vi afbilleder derfor resultaterne fra

Tabel 4 i en graf med strengspændingen

F ud ad x-aksen og frekvensen i anden potens ud ad y-aksen. Bedste lineære curve fit bestemmes ved hjælp af Excel.

Delforsøg 3

y = 640,54x

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 50 60 70

N

Hz^2

Graf 3: f_{1}^{2} som funktion af F.

Sammenligning med forventet resultat

(55) f_{1} ⇔=

µ

1 F

2 L

f_{1}^{2} = F
4 L^{2}

µ

1

                                         −− 112
Excel giver følgende curve fit         kgm54,640 Ff ⋅⋅=
                          1

Linjen i Graf 3 har en teoretisk hældningskoefficienten som er:

                                      −− 11
=                                  ⋅= kgm8,640 . Dette sammenlignes med curve fittets

   − 42
⋅⋅⋅ 10767,9)m636,0(4

4 L^{2}

m kg

1 1 µ

estimat som i Graf 3 er bestemt til 640,5^{11} ⋅ kgm^{−−}. Med en afvigelse på

Side 19

19/29

=⋅ %05,0%100 bekræfter forsøget, at grundtonens frekvens er proportional med

8,640

− 8,6405,640

F.

7.5. Delforsøg 4: Strengens længde varieres

Fremgangsmåde

I dette delforsøg holdes massen pr. længdeenhed samt kraften, hvormed guitarstrengen er spændt, konstant, mens strengens længde varieres ved at flytte fingeren på gribbebrættet. Forsøget bliver udført på G-strengen, belastet med et lod med vægten 5 kg.

Strengen slås an som før, og computeren måler frekvensspektret. Igen justeres der på stemmeskruen for at mindske friktionen. Grundtonen aflæses før og efter justering af stemmeskruen. Forsøget gennemføres for strengen i fuld længde og med de længder, som opstår, når fingerens presses ned på 1., 2., 3., 4., 5. og 6. bånd på gribbebrættet.

Resultater og datebehandling

L [ ] m 1/2L [ ] m f dyb [ ] Hz f lys [ ] Hz < f > [ ] Hz

0,635 | 0,787 | 172,3 | 183,0 | 177,65

0,6 0,833 183,0 188,4 185,7

0,566 0,883 193,8 204,6 199,2

0,534 | 0,936 | 204,6 | 215,3 | 209,95

0,504 0,992 215,3 226,1 220,7

0,476 | 1,050 | 226,1 | 242,2 | 234,15

0,45 1,111 236,6 253 244,8

Tabel 5: f dyb er den frekvens, der aflæses, før der justeres på stemmeskruen. f lys er den frekvens, der aflæses efter, der er justeret på stemmeskruen. <f> er middelværdien af f lys og f dyb.

Grundtonens frekvens er ifølge (55) omvendt proportionel med L2.

Resultaterne fra Tabel 5 afbilledes derfor i en graf med^{1}_{L2} hvor L er strenglængde ud ad x-aksen

og frekvensen ud ad y-aksen. Bedste lineære curve fit bestemmes ved hjælp af Excel.

Delforsøg 4

y = 223,1x

0

50

100

150

200

250

300

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 m^-1

Hz

Graf 4: f_{1} som funktion af^{1}_{L2}.

Side 20

20/29

Sammenligning med forventet resultat

                                 m   1
Excel giver følgende curve fit f 1,223 ⋅=
                          1
                                 s  2 L

        1
(55) f =      indebærer, at den teoretiske hældningskoefficient er:
     1
        2

µ

F

L

                         − 1
=                       ⋅= sm2,224 . Dette sammenlignes med curve fittets estimat, som i Graf 4

   − 4
⋅ 10767,9

kg ⋅ 82,95_{2}

m kg s m

F µ

er bestemt til 223,1 ⋅ sm^{−}^{1} på grafen. Med en afvigelse på^{−}_{2,224} =⋅ %5,0%100 bekræfter

2,2241,223 forsøget, at grundtonens frekvens er omvendt proportional med L2.

7.6. Fejlkilder

Unøjagtighed i frekvensmålingen

Nøjagtigheden af vores frekvensmåling afhænger både af FFT-algoritmens og af analog-til-digital konverterens præcision. For at tjekke dette blev der foretaget målinger af frekvensen på to stemmegafler.

Stemmegaflerne, der begge er mærket 440 Hz, er fremstillet af to forskellige fabrikanter. I begge målinger blev resultatet 441,4Hz. Det er meget usandsynligt at begge stemmegaflerne netop har en afvigelse på 1,4Hz. Derfor antages det, at stemmegaflerne er præcise. Det medfører, at der nok er en afvigelse på FFT-algoritmens eller analog-til-digtal konverteren. Hvilken af delene der er fejlbehæftet har der ikke været mulighed for at kontrollere.

Målecomputeren generer selv lyd, der viser sig i form af to toppe omkring 50 og 100Hz (jf. FFT-spektrene i Bilag 3). Endvidere er forsøgslokalet ikke lydtæt. Baggrundsstøj med indhold af frekvenser tæt på de målte partialtoner vil kunne give unøjagtige aflæsninger af spektret. Det vurderes dog ikke meget sandsynligt, at dette har været en afgørende fejlkilde i forbindelse med de foretagende målinger.

Unøjagtighed i bestemmelsen af µ

De strenge, der blev anvendt til bestemmelsen af µ

, blev som nævnt i afsnit 7.1 sat stramt op med tape før målingen af længden, som blev foretaget med laboratoriets målebånd. Derfor vurderes det, at der højst er en unøjagtighed på 1-2mm i denne måling. For den typiske strenglængde på 1 m

              5,1
svarer dette til =    %15,0 som i praksis betyder meget lidt.
            1000

Vejningen er foretaget på laboratoriets analysevægt med en meget stor nøjagtighed. Unøjagtigheden fra vejningen betyder derfor i praksis næsten heller ingen ting.

Da de anvendte strenge til frekvensmålingerne ikke er de samme, som dem der anvendes til bestemmelsen af, kan de principielt udvise forskelle f.eks. i tykkelse. Da begge sæt strenge er µ

Side 21

21/29

købt samtidig og er af samme fabrikat, vurderes dette ikke at have nogen betydning. Men det har i sagens natur ikke kunnet eftervises.

Det er forudsat, at stålstrengene ikke strækker sig, når de belastes med loddet. Men i praksis kan en streng give sig lidt, når den bliver spændt hårdt op. Dette vil resultere i en mindre tykkelse og dermed i en -værdi, der faktisk er mindre end den, som er bestemt i afsnit 7.1. Resultatet er, at vi µ måler en højere frekvens end forventet, svarende til en lidt lysere tone. En sådan strækning af strengene kan have påvirket mine måleresultater. Dette fremgår af diskussionen i næste afsnit.

Unøjagtigheden i fastlæggelse af stregens spænding

Tyngdekraften på lodderne forudsættes at blive overført helt som spænding af strengen. Det kan imidlertid ikke undgås, at noget af kraften afsættes som friktion på stolen. Denne fejlkilde er især relevant for den dybe E-streng, A- og D-strengen, fordi de ikke er glatte som de øvrige tre strenge, men er spundet ind i metaltråd. Friktionen vil bevirke, at den frekvens, der måles, er en smule lavere end den teoretisk beregnede frekvens. Dette synes at være tilfældet i delforsøg 1, hvor den målte frekvens af grundtonen er 175,3Hz og den teoretisk beregnede er 176,3Hz. Dette tyder på, at friktionen har en betydning for målenøjagtigheden.

Der er som tidligere forklaret foretaget 2 frekvensmålinger f dyb og f lys, når en frekvens skulle bestemmes. f dyb blev målt umiddelbart efter loddet var hængt på strengen. I et forsøg på at mindske friktionen ved stolen blev der justeret på stemmeskruerne til den højeste frekvens blev opnået. Denne frekvens kaldet f lys blev herefter målt. Hvis justeringen af stemmeskruen udelukkende betød en mindsket friktion, burde man se helt bort fra målingen af f dyb, da f lys altid ville være en mere nøjagtig måling. Jeg har derfor regnet alle resultater igennem med f lys, alene idet jeg så bort fra f dyb. Disse resultater er imidlertid mere upræcise end de rapporterede, hvor middelværdien af f lys og f dyb er anvendt.

Dette tyder på, at justering af stemmeskruerne ikke kun har mindsket friktionen, men også bevirket at strengene har strakt sig som omtalt i forrige afsnit i unøjagtighed af målinger af. En µ tilsvarende beregning, hvor der blev set bort fra f lys var også unøjagtig. Derfor er middelværdien blevet anvendt.

Lodderne er blevet kontrolvejet. Skolens præcise analysevægt kan ikke klare mere end 300g. Derfor har det ikke været muligt at måle lodderne med mange decimalers præcision. Den vejede masse af lodderne afviger med op til 1 gram i forhold til de angivne masser på loddet. Om det er vægten der måler upræcist eller massen af loddet, der afviger fra det angivne er ikke til at sige. Det er heller ikke på denne baggrund muligt at udtale sig med sikkerhed om, hvor stor afvigelsen på loddets angive masse kan være. Det virker dog ikke sandsynligt, at den afviger med meget mere end et par gram.

Unøjagtighed i måling af strengens længde L

Måling af strengens længde L enten som afstanden fra saddel til stol eller som afstanden fra nedtrykket bånd på gribebrættet til stolen ser ud til at være målt nøjagtig. Dette fremgår af et efterfølgende afsnit (9.3 Guitarbåndenes placering på gribebrættet), hvor den beregnede placering af båndene stemmer overens med de opmålte længder i Tabel 5.

Side 22

22/29

7.7. Konklusion på delforsøg 1 til 4

Forsøget blev gennemført ved at ændre guitarligningens parametre en ad gangen:

• I delforsøg 1 blev det vist, at f_{n} er proportional med n
• I delforsøg 2 blev det vist, at f_{1} er omvendt proportional med

µ

• I delforsøg 3 blev det vist, at f_{1} er proportional med F
• I delforsøg 4 blev det vist, at f_{1} er omvendt proportional med L2

Herved har vi eksperimentelt eftervist gyldigheden af guitarligningen

        n
(3) f =
    n
       2

µ

F

L

8. Hvad karakteriserer toner, der lyder godt sammen?

Nu er vi parat til at diskutere karakteristika ved toner, der lyder godt sammen.

Hvis man spiller en tone med frekvensen f og tonen med frekvensen f2

, lyder de to toner meget ens. De to toner lyder så ens, at man siger, det er den samme tone blot en oktav højere. (jf. Ref. 5, side 2).

Hvis man forestiller sig en guitarstreng, der er spændt, så den spiller et C med frekvensen 16,35Hz, ville man kunne optage et FFT-spektrum nogenlunde som det, der er vist i Figur 7.

Figur 7: Fiktivt FFT-spektrum for en streng, der er stemt til 16,35Hz. Spektrummets frekvensindhold er helt i overensstemmelse med guitarligningen.

Man ville i overensstemmelse med guitarligningen se toppe ved frekvenserne for hver partialtone

35,16, 235,16 ⋅, 335,16 ⋅ osv.

Hvis vi betragter partialtonen f_{3}, så har den frekvensen =⋅ 3Hz35,16 Hz05,49. Tager man
halvdelen af denne frekvens, får man Hz252,24, som er oktaven under f_{3}. Spiller man denne tone

sammen med tonen C, lyder det godt, fordi de to toner har sammenfald af partialtoner. 49,05Hz er

3. partialtone for 16,35Hz og 2. partialtone for 24,252Hz.

Den nævnte frekvensfaktor på 3/2 mellem to toner resulterer i en ren kvint, som alle mennesker

synes at være enige om lyder godt.

Frekvensfaktoren 2 giver en oktav, der ligesom kvinten lyder rent. Intervaller som kvinten og oktaven kaldes derfor rene intervaller. Tilsvarende kommer der et rent interval, hvis man benytter

Side 23

23/29

frekvensfaktoren 4/3 (Ref. 4, side 43). Rene intervaller lyder godt og har gennem tiden været

styrende for hvordan, musikinstrumenter som f.eks. guitaren er blevet stemt.

9. Den gode stemning

9.1. Den pytagoræiske stemning

I antikkens Grækenland studerede bl.a. Pytagoras toneskalaer baseret på rene intervaller (Ref. 4, afs.

3.6 og 3.7). Den såkaldte Pytagoræiske skala indeholder 12 toner, som på basis af en udgangstone dannes ud fra rene kvinter. Konstruktionen af den pytagoræiske skala er gennemført på Figur 8. Her er udgangstonen Eb. De øvrige 12 toner (inklusivt oktaven) på skalaen konstrueres ved den ene

gang efter den anden at gange med med 3/2, som er frekvensfaktoren for den rene kvint. Når

kvinten havner i næste oktav, divideres frekvensen med 2 for at sætte tonen en oktav ned. Hvor

dette er nødvendigt, viser figuren frekvensfaktoren 3/4 i stedet for 3/2.

Figur 8: Den Pytagoræiske skala konstrueret som 12 på hinanden følgende rene kvinter. Det høje Eb rammer ikke oktaven over udgangstonen.

Figur 8 illustrerer det problem, der er med den Pytagoræiske skala. Den sidste kvint lander nemlig ikke nøjagtigt på tonen, som ligger en oktav over udgangstonen. I figuren er udgangstonens frekvens 154,5 Hz. Den sidste tone i rækken bør være oktaven over udgangstonen, men den konstruerede frekvens er lidt mere end dobbelt så stor, som udgangstonens frekvens. Kabalen går ikke op. Dette fænomen gør den Pytagoræiske skala svært anvendelig for musikudøveren, når der fx skal spilles flerstemmigt, fordi en af kvinterne (den såkaldte ulvekvint Ref. 5, side 9) kommer til at lyde falsk, hvis den sidste tone tvinges til at ende på oktaven.

9.2. Den moderne ligesvævende stemning

Senere blev ”en mere praktisk toneskala” til at spille flerstemmigt opfundet. Hovedideen er at dele oktaven op i 12 halvtoner, hvor forholdet mellem to på hinanden følgende halvtoner er konstant.

Hvis frekvensfaktoren mellem to på hinanden følgende toner skal være lige store, gælder det, at

=x 2 (svarende til oktaven), hvilket betyder, at 2=x^{12/1}. Man konstruerer altså en ligesvævende

12

oktav med udgangspunkt i frekvens f_{r} på følgende måde

 n 12/
2    ff ⋅= , n ∈ {0,1,2,…,11}.
      r

n

Side 24

24/29

Da forholdet mellem to på hinanden følgende halvtoner er 2^{12/1}, og da kvinten svarer til 7

                                   12/7
halvtonetrin, er kvintens frekvensfaktor = 1,49832 som afviger fra 3/2 med mindre end 0,2 %.

Denne afvigelse er så lille, at kvinten ikke lyder falsk, især ikke for tilhører, der er vant til denne lille afvigelse fra det rene interval.

Man kan spørge, hvorfor det netop er opdelingen i 12 halvtoner, der er valgt. Det korte svar er, at tilnærmelsen til kvinten ikke bliver bedre blot ved at øge antallet af toner i skalaen til 13 eller 14.

Først ved en opdeling i 41 toner kan tilnærmelsen blive bedre end 0,2%. Et så stort antal toner i en oktav er imidlertid ikke praktisk. En mere udførlig redegørelse for disse forhold findes i (Ref. 5, s.

2-3)

Fordelen ved denne stemning er bl.a., at musikudøveren nu kan spille flerstemmigt, og på enkelt vis kan flytte melodier mellem forskellige tonearter.

9.3. Guitarbåndenes placering på gribebrættet

Hvis vi sammenholder guitarligningen (3) og den moderne stemning, kan vi i praksis angive, hvor guitarbåndene skal placeres på gribebrættet.

En streng er stemt, så den spiller tonen med frekvensen f_{1}. For at få tonen n halvtonetrin lysere,
skal f_{1} ganges med 2^{n}^{12/}. Hvis vi betragter guitarligningen for første partialtone:

         1
(55) f =
     1
        2

µ

F

L ser vi, at når et bånd trykkes ind er det kun længden L der varierer.

Derfor gælder det at:

           1
(57)    kf   ⇔⋅= L =
     1           1
           L
           1

f_{1}

k

Hvis f_{1} skal ganges med 2^{n}^{12/}, må den nye længde være:

(58) L = =            .
     n
         f
          1

⋅ 22^{nn}^{12/}

k L_{1}

12/

Den formel kan anvendes til at beregne guitarbåndendes placering på gribebrættet i forhold til stolen. I Tabel 6 er den teoretiske værdi for guitarbåndenes afstand til stolen bestemt ud fra en strenglængde på 63,5 cm svarende til den guitar, der blev anvendt til forsøget. I næste kolonne findes de målte længder i delforsøg 4.

Bånd nr

Beregnet placering af båndet i forhold til stolen [ ] cm

Den målte bånd til stol [ ] cm

Løs 63,50 63,5

1 | 59,94 | 60,0
2 | 56,57 | 56,6
3 | 53,40 | 53,4
4 | 50,40 | 50,4
5 | 47,57 | 47,6

6 44,90 45

7 42,38

Side 25

25/29

8 40,00

9 37,76

10 35,64

11 33,64

… …

Tabel 6: Første søjle angiver båndets nummer. ’Løs’ betyder at strengen har sin fulde længde fra saddel til stol. Anden søjle angiver båndets placering regnet fra stolen. Tredje søjle viser den opmåling, som blev foretaget på forsøgsguitaren i 7.5.

Det ses, at de målte værdier svarer godt overens med de teoretiske.

10. Konklusion

I denne opgave løste vi formelt set ikke bølgeligningen med grænseværdibetingelser svarende til en streng, der er fastgjort i begge ender, men henviste til løsningen. Vi har beskæftiget os med svingningsmønsteret for strengene på et strengeinstrument. Vi har såvel teoretisk som eksperimentelt vist, at dette mønster består af række overlejrede sinusformede svingninger, kaldet partialtoner, som er hele multipla af den første partialtone. Første partialtone er den tone, som har en bølgelængde, der er det halve af strenglængden. Vi har også vist, at partialtonernes frekvens kan

                                      n  F
bestemmes ved hjælp af guitarligningen f = .
                                  n
                                     2 L

µ

Desuden gennemgås det fysiske/matematiske grundlag for svingningerne. Dette grundlag er
bølgeligningen i den særlige situation, hvor ( ) ( ) 0,,0 =Ψ=Ψ tLt for alle t. Bølgeligningens

løsninger er i denne situation netop de omtalte partialtoner. Vi kom et stykke ad vejen blot ved hjælp af dimensionsanalyse, men først da bølgeligningen blev bragt i spil og kombineret med Newtons 2. lov på et lille stykke streng, nåede vi i mål.

Toner, der lyder godt sammen, er karakteriseret ved at have sammenfald af partialtoner. Hvis en

tone ganges med frekvensfaktoren 3/2, 4/3 eller 2, opstår et rent interval. Disse rene intervaller

lyder godt af førnævnte årsag. Vi har beskrevet den Pytagoræiske og den moderne ligesvævende stemning, der begge prøver at tilnærme sig de rene intervaller. Den Pytagoræiske stemning er upraktisk, fordi den ikke på samme tid kan have alle kvinter og oktaven ren. En af kvinterne kommer til at lyde falsk. Den moderne ligesvævende stemning fordeler den afvigelse, som den Pytagoræiske stemning placerer på en kvint jævnt over alle kvinter. Med sine 12 halvtoner kommer kvinten i den moderne ligesvævende stemning meget tæt på den rene kvint i alle situationer.

Side 26

26/29

11. Litteraturliste

Ref. 1 Benson, Dave. Music: A Mathematical Offering. USA: Cambridge University Press,

2007

Ref. 2 Claussen, Both, Hartling. Spektrum Fysik II. Danmark: Gyldendal 2004

Ref. 3 Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics, Third Edition. USA: John

Wiley and Sons, 1972

Ref. 4 Loy, Gareth. Musimathics volume 1. USA: MIT press 2006

Ref. 5 Lefmann, Jens Ulrik. Den gode stemning.

http://www.emu.dk/gym/fag/fy/inspiration/forloeb/boelger/dengodestemning.pdf

Side 27

27/29

12. Bilag 1: Anvendte symboler og enheder a accelerationen

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤

s^{2}

m f frekvensen [ ] Hz

f_{dyb} den aflæste frekvens før justering af stemmesskruen [ ] Hz
f_{lys} den aflæste frekvens efter justering af stemmesskruen [ ] Hz
f_{n} frekvensen af partialtone n [ ] Hz
f_{r} udgangestonens frekvens [ ] Hz
F den kraft, hvormed strengen er spændt [ ] N eller_{⎢}_{⎣}^{⎡}_{s^{2}}

⎥

⎦

⎤

⋅ mkg

F_{n} den nedadrettede kraft i et punkt på en svingende streng [ ] N eller_{⎢}_{⎣}^{⎡}_{s^{2}}

⎥

⎦

⎤

⋅ mkg

F_{o} den opadrettede kraft i et punkt på en svingende streng [ ] N eller_{⎢}_{⎣}^{⎡}_{s^{2}}

⎥

⎦

⎤

⋅ mkg

F_{res} den resulterende kraft i et punkt på en svingende streng [ ] N eller_{⎢}_{⎣}^{⎡}_{s^{2}}

⎥

⎦

⎤

⋅ mkg

L længden af stregen fra saddel til fod [ ] m m massen [ ] kg

T perioden [ ] s t tiden [ ] s v bølgehastighed

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤ s m λ bølgelængde [ ] m µ masse pr. længde

⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤ m kg θ vinkel [ ] rad

Ψ bølgens udsving [ ] db

Side 28

28/29

Bilag 2: Anvendte regler til partieldifferentiering

Partiel differentiering vedrører differentiering af funktioner med flere variable.

Følgende regler gælder for sådanne funktioner. Reglerne er dog vist for en funktion med 2 variable, da dette er nok til løsningen af min opgave.

(a)^{∂ ),(}_{∂} betyder, at man holder y konstant og differentierer med hensyn til x.

x yxf

(b)^{∂ ),(} betyder, at man holder x konstant og differentierer med hensyn til y.
∂ y

yxf

(c)^{∂ ,,}

( ) ( ) yxcf_{=}_{c} ∂ yxf
∂ x ∂ x

            2
           ∂
    ⎝
(d)      =
     ∂     ∂

x x^{2}

∂ x f

∂ f

⎜ ⎟

⎠

⎛ ⎞

∂

            2
           ∂
    ⎝
(e)      =
     ∂

x ∂∂ yx

f

∂ y

⎛ ∂ f ⎞

⎜ ⎟

∂ ⎜ ⎟

⎠

Kæderegelen:

   ∂ f ∂      ∂
(f)   =      +
   ∂ t ∂      ∂

u ∂ t v ∂ t

f ∂ u f ∂ v

Kædereglen udledes i Ref. 3, side 304

Side 29

13. Bilag 3 Eksempler på FFT spekre
Spectrum  1/3 Octave  Waterfall  Correlation
SPL (dB)
0 −10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100
10 20 50 100 200 500 1k 2k 5k
Frequency (Hz)
Input
Start
0:00:04
Calibration...
Level (dB)
L −25.79  R
Frequency (Hz)
L 175.3   R
Resolution (F:Hz,T:ms)
F 5.38   T 185.8
Split L-R
Exit

Spectrum  1/3 Octave  Waterfall  Correlation
SPL (dB)
0 −10 −20 −30 −40 −50 −60 −70 −80 −90 −100
10 20 50 100 200 500 1k 2k 5k
Frequency (Hz)
Input
Start
0:00:04
Calibration...
Level (dB)
L −37.68  R
Frequency (Hz)
L 349.9   R
Resolution (F:Hz,T:ms)
F 5.38   T 185.8
Split L-R
Exit
29/29