SRP om Komplekse Tal og Vekselstrøm i Matematik A og Fysik A

Indledning

Denne opgave omhandler indførslen af de komplekse tal med henblik på at kunne bruge dem til at forklare vekselstrømsbegrebet.

Indledning til komplekse tal

Talmængden er gennem tiden blevet udvidet et par gange som følge af et behov for større omfang af beregningsmuligheder (se figur 1). I det gamle jægersamlersamfund brugte man tallene til fx at tælle antallet af bytte, man havde fanget. Man havde derfor ikke brug for andet end de hele positive tal. Dette kalder vi de naturlige tal N. Senere indførte man de negative tal og tallet nul, så man nu havde talmængden de hele tal Z. De hele tal kunne dog ikke bruges til at udregne alt, og derfor indførte man de rationelle tal Q, senere det reelle tal R og nu er tiden kommet til, at vi vil indføre de komplekse tal C. Hvis vi kun havde de reelle tal til rådighed, ville man ikke kunne løse ligninger, hvori kvadratroden af et negativt tal indgik. ”Ifølge Algebraens fundamentalsætning har vi med indførelsen af C ingen uløselige ligninger” D a de hele tal var indført, kunne tal, der stod alene pludselig indeholde minustegn. Med de rationelle tal kunne de også indeholde brøkstreger, med de reelle tal potenser og uendelige decimaler. I de komplekse tal, kan tallene også indeholde et i , hvilket vi kommer til at kigge nærmere på. De komplekse tal kan forstås som en slags todimensionale tal. De kan engang imellem minde om vektorer, men ligger andre gange langt fra dem. Pga. komplekse tals todimensionale størrelse, er de ideelle til anvendelse indenfor vekselstrøm, hvilket vi vil komme til at erfare.

Legemer og deres regneregler

En regneregel kaldes også en komposition og er en metode til at behandle to elementer i en talmængde på indbyrdes – man komponerer de to tal. Multiplikation er fx en komposition, og man kan komponere to tal ved at multiplicere dem. Jeg vil i det følgende bruge tegnet * når to tal komponeres. De to kompositioner bruges til at definere et legeme: Definition 1: En talmængde, M organiseret ved de to kompositioner, addition (+) og multiplikation (·) er et legeme, hvilket skrives: ( M,+,·). Ved organisering forstås, at følgende udsagn skal gælde: 1. Den kommutative lov: abbaMba **:, (gælder både for addition og multiplikation) (Fx gælder det ved multiplikation at 2·3 = 3·2. man siger at faktorernes orden er ligegyldig) 2.