SRP om Inertimomenter i Matematik A og Fysik A

3 Indledning

En af de nyest tænkte måder at lagre energi fra elnettet på er at udnytte svinghjuls evne til at ophobe kinetisk energi som rotationsenergi. Den videnskabelige udvikling har gjort, at man i dag er i stand til at have svinghjul kørende næsten friktionsløst. Ved at lade forbrugere tappe energi fra svinghjulsbatterier, som bliver opladet af kraftværker, kan man opnå en mere konstant energiproduktion, selvom forbruget skifter periodisk. Et friktionsløst svinghjuls anvendeligheder strækker sig helt fra oplagring af energi i busser under opbremsning til stationære svinghjulsanlæg.

I denne opgave undersøges roterende systemers evne til at oplagre energi. I den forbindelse bestemmes forskellige systemers inertimomenter ved brug af integralregning samt ved forsøg, hvorefter teori sammenlignes med praksis. I forbindelse med teorien redegøres der for stive legemers mekanik i forbindelse med ren rotation.

Opgaven lægger ud med et teoriafsnit, hvor der udledes grundlæggende formler til behandling af stive legemers rotation. Her belyses massemidtpunkt, inertimoment samt kraftmoment og impulsmoment. Herefter bestemmes inertimomenter for forskellige roterende systemer ved hjælp af integralregning. Den præsenterede teori til behandling af stive legemers rotation peger hen imod praktisk anvendelse af formler i forbindelse med eksperimentel bestemmelse af inertimomenter samt bestemmelse af systemers evne til at ophobe kinetisk energi.

4 Teoriafsnit

I dette afsnit defineres først rotationsenergi, som medfører en forklaring af begrebet, inerti. Herefter udledes kraftmoment og impulsmoment, herunder vigtige definitioner, som bruges senere til beregninger af rotationsenergi i afsnit 6.2. Definition af massemidtpunktet samt massemidtpunktssætningen for et sammensat legeme vises med det henblik, at belyse vigtige træk i opfattelsen af partikelsystemers mekanik. Afsnittet rundes af med udledning af inertimomenter for en række legemer ved hjælp af integralregning. Herunder vises Steiners sætning.

4.1 Rotationsenergi i roterende legeme

Der forestilles et stift objekt som roterer i positiv retning (mod uret) omkring z-aksen. Et stift legeme er defineret som et legeme, der ikke ændrer form ved krafpåvirkning. Hver eneste lille massedel, m , i objektet foretager da jævne cirkelbevægelser omkring omdrejningsaksen. Alle massedelene tilbagelægger således samme vinkel pr. tid og har derfor samme vinkelhastighed, ω –, men hverken samme fart (da denne er betinget af afstanden, r, fra omdrejningsaksen) eller hastighed (som både varierer med hensyn til længde og retning).

Stedet, s , for et delobjekt kan da beskrives ved radius, r , og den tilbagelagte vinkel, , målt i radianer: Farten, v , for et delobjekt kan beskrives som den tidsafledte af stedet: Accelerationen, a, for et delobjekt …