HTX Fysik A 2015 24. august - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

1

HTX Fysik A 24. august 2015

htx152-FYS/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 3. år

Opgave 1 a)

Vi benytter os af Snells lov:

sin ( 𝑖) 𝑛_{2}
sin ( 𝑏) 𝑛_{1}

=

Hvor i er indfaldsvinklen, b er brydningsvinklen og 𝑛 er brydningsindekset i olien og 𝑛 er brydningsindekset
                                          1                          2

i luften. Vi slår brydningsindekset i luften op i en databog:

𝑛_{2} ≔ 1,53

Vi indsætter størrelserne i formlen:

𝑏 ≔ 18,1^{o}

𝑛_{1} ≔ 1

sin ( 𝑖) 𝑛_{2}
sin ( 𝑏) 𝑛_{1}

=

⇕ Ligningen løses for i vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑖 = sin^{−1} ( 1,53 · sin ( 18,1))
≈ 28,38116^{𝑜}

                      o
Indfaldsvinklen er lig 28,38 .

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Ved indfaldsvinkler større end den kritiske vinkel, sker der en totalrefleksion. Vi bestemmer den kritiske vinkel ud fra følgende formel:

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

2

sin ( 𝑖_{𝑐}) 𝑛_{2}
sin ( 90) 𝑛_{1}

=

Hvor 𝑖_{𝑐} er den kritiske vinkel, n er luftens brydningsindeks og n er oliens brydningsindeks.

2 1

𝑛_{2} ≔ 1

𝑛_{1} ≔ 1,53

sin ( 𝑖_{𝑐}) 𝑛_{2}
sin ( 90) 𝑛_{1}

=

⇕ Ligningen løses for i_c vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑖_{𝑐} =

128,2184 𝜋

≈ 40,81318^{𝑜}

                     o
Den kritiske vinkel er 40,8 . Vi bestemmer indfaldsvinklen:

𝑖_{𝐵} = 180^{𝑜} − 90^{𝑜} − 18,1^{𝑜}
= 71,9^{𝑜}

Der sker totalrefleksion i punkt B, da indfaldsvinklen er større end den kritiske vinkel.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Da strålegangen skal være ens med situationen i det første forsøg, kan vi antage, at beholderens er drejet

                                    o
således, at brydningsvinklen stadig er 18,1

. Sammenhængen mellem brydningsvinkel, indgangsvinkel og brydningsindeks er givet ved følgende formel:

sin ( 𝑖) 𝑛_{2}
sin ( 𝑏) 𝑛_{1}

=

Hvor i er indgangsvinklen, b er brydningsvinklen, 𝑛 er luftens brydningsindeks og 𝑛 er brydningsindekset af
                                        1                          2

den ukendte olie. Vi bestemmer brydningsindekset af den ukendte olie:

sin ( 27,3) 𝑛_{2}

sin ( 18,1) 1

=

⇕ Ligningen løses for n_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛_{2} = 1,476293

Brydningsindekset af den ukendte olie er 1,48.

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

3

Opgave 2 a)

Vi omregner først flyets fart fra km/h til m/s:

Da der er tale om en jævn cirkelbevægelse, er centripetalaccelerationen givet ved denne formel:

Vi isolerer radius, r:

Vi indsætter tallene:

Radius i cirkelbevægelsen er altså fundet til cirka 12,1 km.

b)

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

4

Vi har på ovenstående skitse illustreret de kræfter, der virker på flyet under krængningen. Læg mærke til, at kun F og F er enkeltkræfter. F (centripetalkraften) er ikke en selvstændig enkeltkræft, men skal t N C derimod opfattes som den resulterende kraft (det vil sige, summen af enkeltkræfterne).

Flyet bliver påvirket af en tyngdekraft, som har angrebspunkt i flyets massemidtpunkt og har retning lodret nedad. Flyet bliver desuden påvirket af en normalkraft (kan også kaldes løftekraften), som har angrebspunkt i flyets massemidtpunkt og har retning vinkelret på den vinkel, som krængningen har med vandret.

Normalkraften (også kaldet løftekraften) er i dette tilfælde opdriften og er den kraft, som holder flyet over jorden. Summen af tyngdekraft og normalkraft (løftekraft) giver centripetalkraften.

Flyet bliver også påvirket af en luftmodstand, hvilket ikke er tegnet på skitsen. Luftmodstanden er modsatrettet flyets retning. Kraften, som gør at flyet kan bevæge sig fremad, er motorkraften, som har samme retning som bevægelsesretning og er modsatrettet luftmodstanden. Luftmodstanden og motorkraften ses ikke på skitsen, da disse kræfter ville gå gennem papiret.

c)

Vi opløser normalkraften (løftekraften) i en lodret og vandret komposanter.

Den lodrette komposant er lig størrelsen af tyngdekraften:

𝐹_{𝑡} = 𝐹_{𝑦}

Vi kan derfor opstille følgende udtryk:

𝑚 · 𝑔 = 𝐹_{𝑁} · sin (50)

Den vandrette komposant er lig størrelsen af centripetalkraften:

𝐹_{𝐶} = 𝐹_{𝑥}

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

5

Vi opstiller følgende udtryk:

𝑚 · 𝑎 = 𝐹_{𝑁} · cos ( 50)

Vi isolerer normalkraften (løftekraften) i begge udtryk og sætter udtrykkene lig hinanden:

𝑚 · 𝑔 = 𝐹_{𝑁} · sin (50)

⇕ Ligningen løses for F_N vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹_{𝑁} = 1,305407 · 𝑔 · 𝑚

𝑚 · 𝑎 = 𝐹_{𝑁} · cos ( 50)

⇕ Ligningen løses for F_N vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹_{𝑁} = 1,555724 · 𝑎 · 𝑚

1,305407 · 𝑔 · 𝑚 = 1,555724 · 𝑎 · 𝑚

⇕

1,305407 · 𝑔 = 1,555724 · 𝑎

Vi definerer tyngdeaccelerationen og bestemmer centripetalaccelerationen: 𝑔 ≔ 9,82

1,305407 · 𝑔 = 1,555724 · 𝑎

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 8,239956

                                 2
Centripetalaccelerationen er lig 8,24 m/s .

d)

Løftekraften er normalkraften, da normalkraften i dette tilfælde er opdriften. Vi opløser normalkraften i en lodret komposant:

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

6

Størrelsen af den lodrette komposant kan udtrykkes således:

𝐹_{𝑦} = 𝐹_{𝑁} · sin ( 23)

Da tyngdekraften er lig størrelsen af den lodrette komposant, kan vi opskrive følgende udtryk:

𝐹_{𝑡} = 𝐹_{𝑁} · sin ( 23)

Vi kan nu opstille et udtryk for forholdet mellem tyngdekraften og normalkraften/løftekraften:

𝐹_{𝑁} 1
𝐹_{𝑡} sin ( 23)

=

≈ 2,559305

Løftekraften skal være 2,6 gange større end tyngdekraften.

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

7

Opgave 3 a)

Magneten får nord- og sydpol som vist på skitsen. Polerne bestemmes vha. højrehåndsreglen. Hvis man holder om spolen med fingrene i strømmens retning, så er nordpolen ved tommelfingeren.

b)

Vi benytter følgende formel:

𝐵 = µ_{𝑟} · µ_{0} ·

𝑁· 𝐼

𝑙

Hvor µ_{𝑟} er den relative permeabilitet, µ_{0} er vakuumpermeabiliteten, som er en konstant, N er antal

vindinger, I er strømstyrke og l er spolens længde. Vi definerer størrelserne:

µ_{0} ≔ 1,257 · 10^{−6}^{𝑇·𝑚}_{𝐴}

µ_{𝑟} ≔ 220

𝐼 ≔ 4,5 𝐴

𝑁 ≔ 25 𝑙 ≔ 0,105 𝑚

𝐵 = µ_{𝑟} · µ_{0} ·

𝑁· 𝐼

𝑙

≈ 0,2962929 𝑇

Den magnetiske fluxtæthed er 0,3 tesla i punktet P.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi bestemmer modstanden i ledningen ud fra følgende formel:

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

8

𝑅 = 𝜌·

𝑙

𝐴

Hvor 𝜌 er resistiviteten, A er tværsnitsarealet og l er ledningens længde. Vi går ud fra at ledningen er placeret

                         o                                          o
i rum, hvor temperaturen er 20 C. Vi slår resistiviteten for en kobberledning ved 20 C op i en databog:

𝜌_{20} ≔ 0,0168 · 10^{−6} Ω · 𝑚

Vi definerer de resterende størrelser: 𝑙 ≔ 1,2 𝑚

𝐴 ≔ 1,5 · 10^{−6} 𝑚^{2}

𝑅 = 𝜌_{20} ·

𝑙

𝐴

𝑅 ≔ 0,01344 Ω

Vi beregner effekten ud fra følgende formel:

𝑃 = 𝑅· 𝐼^{2}

𝐼 ≔ 4,5 𝐴

𝑃 = 𝑅 · 𝐼^{2} = 0,27216 𝑊

Ledningen afsætter 0,27 watt.

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

9

Opgave 4 a) b)

Vi benytter følgende formel:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 𝑚 · 𝑣^{2}

1

2

Hvor m er masse og v er hastighed. Ud fra det givne data aflæser vi hastigheden til tiden 2 minutter:

𝑣 = 127

𝑘𝑚 ℎ

𝑣 ≔ 35,27778^{𝑚}_{𝑠}

Vi bestemmer den samlede masse af toget:

𝑚_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 𝑚_{𝑙𝑜𝑘𝑜𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣} + 3 · 𝑚_{𝑣𝑜𝑔𝑛}

𝑚_{𝑙𝑜𝑘𝑜𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣} ≔ 110 · 10^{3} 𝑘𝑔

𝑚_{𝑣𝑜𝑔𝑛} ≔ 58 · 10^{3} 𝑘𝑔

𝑚_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} = 𝑚_{𝑙𝑜𝑘𝑜𝑚𝑜𝑡𝑖𝑣} + 3 · 𝑚_{𝑣𝑜𝑔𝑛}
= 284000 𝑘𝑔

𝑚 ≔ 284000 kg

Vi beregner den kinetiske energi:

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 200 250

Hastighed/(km/h)

Tid/(s) v(t)

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

10

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 𝑚 ·𝑣^{2}

1

2

≈ 1,767221 · 10^{8} 𝐽

Togets kinetiske energi er 1,8· 10^{8} 𝐽

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi omregner hastigheden til m/s og foretager en regression af det givne data:

Hastigheden som funktion af tiden er givet ved følgende 3.gradspolynomium:

𝑣 ( 𝑡) ≔ 6· 10^{−6} 𝑡^{3} − 0,0028𝑡^{2} + 0,5498𝑡 − 0,136

Vi omskriver enheden for sluthastigheden til SI-enheder:

          1000
𝑣  ≔ 160 ·   𝑚/𝑠
 𝐹
          3600

Vi bestemmer, hvor lang tid det tager for at toget at nå sluthastigheden:

𝑣_{𝐹} = 6 · 10^{−6} 𝑡^{3} − 0,0028𝑡^{2} + 0,5498𝑡 − 0,136

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 = 190,3273

Vi bestemmer arealet under kurven vha. integration til følgende grænseværdier:

𝑡_{0} ≔ 0

𝑡_{𝐹} ≔ 190,3273

y = 6E-06x^{3} - 0.0028x^{2} + 0.5498x - 0.136
R² = 1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 200 250

Hastighed/(m/s)

Tid/(s) v(t)

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

11

Δ𝑆 = ∫ 𝑣 ( 𝑡) 𝑑𝑡

𝑡_{𝐹}

𝑡_{0}

≈ 5465,671𝑚

Toget har kørt 5465,7 m, når det har opnået en hastighed på 160 km/h.

d)

Vi beregner mængden af varmeenergi, som kølevandet fjerner, ud fra følgende formel:

𝑃 =

𝐸 𝑡

Hvor P er effekt, E er energi og t er tid. Vi kender effekten og tiden er sat til 1 sekund:

𝑃 ≔ 2400 · 10^{3} W

𝑡 ≔ 1 s

𝑃 =

𝐸 𝑡

⇕ Ligningen løses for E vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐸 = 2400000 J

Vi kender nu mængden af varmeenergi, som kølevandet fjerner. Vi benytter følgende formel til at bestemme volumenet af kølevandet:

𝑄 = 𝑚· 𝑐 · Δ𝑇

Hvor Q er varmetabet, m er vandets masse, c er vandets specifikke varmekapacitet og Δ𝑇 er ændringen i temperatur, givet i kelvin. Vi definerer størrelserne:

𝑄 ≔ 2400000 J

Δ𝑇 = ( 91 + 273𝐾) − ( 78 + 273𝐾)

Δ𝑇 ≔ 13 K

Vi slår vands specifikke varmekapacitet op i fysik/kemi databogen:

𝑐 ≔ 4182_{𝑘𝑔·𝐾}^{𝐽}

Vi bestemmer vandets masse:

𝑄 = 𝑚· 𝑐 · Δ𝑇

⇕ Ligningen løses for m vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑚 ≈ 44,14524 𝑘𝑔

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

12 𝑚 ≔ 44,14524 kg

Vi bestemmer volumenet af vandet ud fra sammenhængen mellem vands densitet og masse:

𝜌 =

𝑚

𝑉

Hvor 𝜌 er densitet, m er masse og V er volumen. Vi slår vands densitet på i databogen:

𝜌 ≔ 998_{𝑚^{3}}^{𝑘𝑔}

𝜌 =

𝑚

𝑉

⇕ Ligningen løses for V vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑉 = 0,04423371 𝑚^{3}
= 44,2337 𝐿

Der løber 44,2 L kølevand gennem motoren på ét sekund.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: e)

Vi ved fra forrige opgave, at kølevandet på pr. sekund har modtager en mængde varmeenergi på 2400000 joule ved nedkølingen af dieselmotoren. Da vi får af vide at luftkøleren skal afkøle kølevandet, således at kølevandet har samme temperatur, som inden afkølingen af dieselmotoren, skal luftkøleren fjerne en energimængde på 2400000 J. Vi bestemmer stofmængden af luften vha. følgende formel:

𝑄 = 𝑛· 𝑐_{𝑚𝑝} · Δ𝑇

Hvor Q er varmemængden, n er stofmængden, 𝑐_{𝑚𝑝} er den specifikke molare varmekapacitet ved konstant

tryk og Δ𝑇 er ændringen i temperatur i kelvin. Luftens volumen er ikke konstant, derfor benyttes værdien for specifik varmekapacitet ved konstant tryk. Vi definerer størrelserne:

𝑄 ≔ 2400000 𝐽

𝑐_{𝑚𝑝} ≔ 29,1_{𝑚𝑜𝑙·𝐾}^{𝐽}

Δ𝑇 = ( 44 + 273𝐾) − ( 15 + 273𝐾)

Δ𝑇 ≔ 29 K

𝑄 = 𝑛· 𝑐_{𝑚𝑝} · Δ𝑇

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 2843,939 𝑚𝑜𝑙

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 24. august 2015

13 𝑛 ≔ 2843,939 𝑚𝑜𝑙

Vi bestemmer volumen af luften vha. idealgasligningen:

𝑝 · 𝑉 = 𝑛· 𝑅· 𝑇

Hvor p er tryk, V er volumen, n er stofmængde, R er gaskonstanten og T er temperatur givet i kelvin. Vi slår

                                                 𝐽
størrelsen af atmosfærisk tryk i pascal og gaskonstanten i op i databogen. Vi definerer størrelserne:
                                               𝑚𝑜𝑙·𝐾

𝑝 ≔ 101325 𝑃𝑎

𝑅 ≔ 8,31_{𝑚𝑜𝑙·𝐾}^{𝐽}

𝑇 = 15 + 273𝐾

𝑇 ≔ 288 K

𝑝 · 𝑉 = 𝑛· 𝑅· 𝑇

⇕ Ligningen løses for V vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑉 = 67,17338 𝑚^{3}
= 67173,38 𝐿

Blæserne skal suge 67173 L luft ind pr. sekund.