HTX Fysik A 2014 3. juni - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

1

HTX Fysik A 3. juni 2014

htx141-FYS/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 3. år

Opgave 1 a)

Ved opslag i databogen under ”spektrallinier” får vi en oversigt over lysets farve ud fra bølgelængden. Vi

ser, at lys med en bølgelængde på 𝜆 = 656,3 𝑛𝑚 vil opfattes som rødt lys.

b)

Der gælder, at:

𝑐 = 𝜆 · 𝑓

⇕

𝑓 =

𝑐 𝜆

De to grænser for bølgelængden er:

𝜆_{1} = 653,8 𝑛𝑚 = 653,8 · 10^{−9} 𝑚

𝜆_{2} = 658,8 𝑛𝑚 = 658,8 · 10^{−9} 𝑚

Lys i vakuum (og tilnærmelsesvist i luft) har farten 𝑐 = 3,00 · 10^{8}^{𝑚}_{𝑠}.

Frekvensgrænserne kan da bestemmes som:

𝑓_{1} = ≈ 4,553734 · 10^{14} · 𝑠^{−1}

3,00 · 10^{8}

𝑚 𝑠

658,8 · 10^{−9} 𝑚

𝑓_{2} = ≈ 4,588559 · 10^{14} · 𝑠^{−1}

3,00 · 10^{8}

𝑚 𝑠

653,8 · 10^{−9} 𝑚

Frekvenser på mellem 4,554 · 10^{14} 𝑠^{−1} og 4,589 · 10^{14} 𝑠^{−1} kan passere igennem farvefilteret.

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

2

Opgave 2 a)

Den kraft, som vægtstangen påvirker punktet 𝐶 med er lig med tyngdekraften på vægtstangen og de to ens skåle med kæder. Vægtstangens masse er forsvindende lille, så størrelsen af kraften er lig med størrelsen af tyngdekraften på de to skåle med kæder. Det vil sige:

𝐹 = 2 · 𝑚_{𝑠𝑘å𝑙} · 𝑔

Hvor:

𝑚_{𝑠𝑘å𝑙} = 472 𝑔 = 0,472 𝑘𝑔

𝑔 = 9,82

𝑚

𝑠^{2}

Så:

𝐹 = 2 · 0,472 𝑘𝑔 · 9,82

𝑚

𝑠^{2}
= 9,27008 · 𝑘𝑔 · 𝑚 · 𝑠^{−2}

Kraften fra vægtstangen på punktet 𝐶 er rettet lodret nedad mod jordens massecentrum, og den har

størrelsen 𝐹 = 9,27 𝑁.

b)

Ved ligevægt skal kraftmomenterne i 𝐴 og 𝐵 være lige store og modsatrettede. Hvis vi regner uden fortegn, kan vi altså skrive:

𝑀_{𝐴} = 𝑀_{𝐵}

Dvs.:

𝐹_{𝐴} · 𝑟 · sin ( 𝜃_{𝐴}) = 𝐹_{𝐵} · 𝑟 · sin (𝜃_{𝐵})

⇕

𝐹_{𝐴} · sin ( 𝜃_{𝐴}) = 𝐹_{𝐵} · sin ( 𝜃_{𝐵})

Kræfterne er lig med tyngdekraften på hhv. skål med kæde og mønt i 𝐴 samt skål med kæder i 𝐵 Det vil sige:

( 𝑚_{𝑠𝑘å𝑙} + 𝑚_{𝑚ø𝑛𝑡}) · 𝑔 · sin ( 𝜃_{𝐴}) = 𝑚_{𝑠𝑘å𝑙} · 𝑔 ·sin ( 𝜃_{𝐵})

⇕

𝑚_{𝑚ø𝑛𝑡} = − 𝑚_{𝑠𝑘å𝑙}

𝑚_{𝑠𝑘å𝑙} · sin (𝜃_{𝐵})
sin ( 𝜃_{𝐴})

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

3

Vi skitserer situationen:

Vi kan nu opskrive vinklerne med 2 betydende cifre (dvs. uden decimaler, hvilket skyldes, at 𝜑 = 161°

opgives uden decimaler).

𝜃_{𝐴} = 71°

𝜃_{𝐵} = 90°

Vi får så:

𝑚_{𝑚ø𝑛𝑡} = − 0,427 𝑘𝑔

0,427 𝑘𝑔· sin ( 90)

sin ( 71)

≈ 0,02460403 · 𝑘𝑔

≈ 25 𝑔

Møntens masse er ca. 25 g.

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

4

Opgave 3 a)

Resistiviteten af et materiale kan bestemmes som:

𝑅 = 𝜌 ·

𝐿

𝐴

Elektronerne gennemløber en længde, som er lig med afstanden mellem elektroderne:

𝐿 = 0,18 𝑚𝑚 = 0,18 · 10^{−3} 𝑚

Tværsnitsarealet af ledereden er lig med arealet af målecellens største overflade:

𝐴 = 67 𝑚𝑚 · 17 𝑚𝑚
= 1139 · 𝑚𝑚^{2}
= 1,139 · 10^{−3} 𝑚^{2}

Resistansen af målecellen oplyses til:

𝑅 = 5,2 𝑘Ω = 5,2 · 10^{3} Ω

Så:

5,2 · 10^{3} Ω = 𝜌 ·

0,18 · 10^{−3} 𝑚
1,139 · 10^{−3} 𝑚^{2}

⇕ Ligningen løses for ρ vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝜌 = 32904,44 · 𝛺 ·𝑚

Væskens resistivitet er altså på 32904 Ω· 𝑚.

b)

Vi antager at en ”tom” målecelle svarer til, at der er vakuum i målecellen. Kapacitansen 𝐶 kan da bestemmes som:

𝐶 = 𝜀_{0} ·

𝐴 𝑑

Hvor:

Vi opfatter toppen og bunden af den aktive del af målecellen som pladerne i en pladekapacitor. Arealet fandt vi i a):

𝐴 = 1,139 · 10^{−3} 𝑚^{2}

Afstanden mellem pladerne er da givet i teksten:

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

5

𝑑 = 0,18 𝑚𝑚 = 1,8 · 10^{−4} 𝑚

Vakuumpermittiviteten findes i databogen:

𝜀_{0} = 8,85 · 10^{−12}

𝐹 𝑚

Så:

𝐶 = 8,85 · 10^{−12} ·

𝐹 1,139 · 10^{−3} 𝑚^{2}
𝑚 1,8 · 10^{−4} 𝑚
≈ 5,600083 · 10^{−11} · 𝐹

                                                                         −11
Kapacitansen af den aktive del af målecellen, når målecellen er tom, er således på 5,6 · 10 𝐹.

c)

Vi har, at:

𝐶_{𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣} = 58 𝑝𝐹

𝐶_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣} = 365 𝑝𝐹

Målecellen kan opfattes som en parallel kobling af to kapacitorer. Vi skitserer det herunder:

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

6

Det vil sige, at:

𝐶 = 𝐶_{𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣} + 𝐶_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣}
= 58 𝑝𝐹 + 365 𝑝𝐹
= 423 𝑝𝐹

Kapacitansen af hele målecellen er 423 𝑝𝐹.

d)

Den relative permittivitet for ethanol er givet ved:

𝜀_{𝑟𝑒𝑙} =

𝜀_{𝑒𝑡ℎ}
𝜀_{0}

Der gælder for en pladekapacitor, at:

𝐶_{𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣} = 𝜀_{𝑒𝑡ℎ} ·

𝐴 𝑑

⇕

𝜀_{𝑒𝑡ℎ} = 𝐶_{𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣} ·

𝑑

𝐴

Vi bruger samme ligning som i c), da der stadig er tale om en parallelkobling:

𝐶 = 𝐶_{𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣} + 𝐶_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣}

⇕

𝐶_{𝑎𝑘𝑡𝑖𝑣} = 𝐶 − 𝐶_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣}

Vi får så ved kombination af de tre ligninger:

𝜀_{𝑟𝑒𝑙} =

( 𝐶 − 𝐶_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣}) ·

𝑑

𝐴

𝜀_{0}

Vi omregner enheder for kapacitanser:

𝐶 = 1,75 𝑛𝐹 = 1,75 · 10^{−9} 𝐹

𝐶_{𝑝𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣} = 365 𝑝𝐹 = 365 · 10^{−12} 𝐹

De resterende værdier er brugt i tidligere delspørgsmål, så vi indsætter dem direkte i formlen:

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

7

𝜀_{𝑟𝑒𝑙} =

( 1,75 · 10^{−9} 𝐹 − 365 · 10^{−12} 𝐹) ·

1,8 · 10^{−4} 𝑚
1,139 · 10^{−3} 𝑚^{2}
8,85 · 10^{−12}

𝐹 𝑚

≈ 24,73177

≈ 25

Vi konkluderer, at den relative permittivitet for ethanol er 25.

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

8

Opgave 4 a)

Vi skriver tommer med symbolet 𝑖𝑛 (for inch).

Der er 16 cylindre med en slagvolumen på 645 𝑖𝑛^{3} hver, så den samlede slagvolumen bliver:

𝑉 = 16 · 645 𝑖𝑛^{3} = 10320 · 𝑖𝑛^{3}

Der gælder, at:

1 𝑖𝑛 = 25,4 𝑚𝑚 = 2,54 𝑐𝑚

Og:

1 𝐿 = 1000 𝑐𝑚^{3}

Vi konverterer nu enheden for slagvolumen ved at gange med to brøker som jf. ovenstående ligninger hver har værdien 1:

𝑉 = 10320 · 𝑖𝑛^{3} · ·

( 2,54 𝑐𝑚)^{3} 1 𝐿
( 1 𝑖𝑛)^{3} 1000 𝑐𝑚^{3}
≈ 169,1145 · 𝐿

≈ 169 𝐿

Motorens samlede slagvolumen er ca. på 169 𝐿.

b)

I 1-2 komprimeres luften ved, at stemplet trykkes ned, så trykket og temperaturen stiger, mens volumen falder. Der sker ingen varmeudveksling med omgivelserne, så processen er adiabatisk.

I 2-3 sker der en forbrændingsreaktion, hvorved temperaturen og trykket stiger, mens volumen holdes konstant, idet stemplet holdes fast. Processen er isokor.

I 3-4 holdes trykket konstant ved at lade stemplet bevæge sig en smule, så volumen forøges. Temperaturen stiger. Processen er isobar.

I 4-5 ekspanderer den varme forbrændingsgas yderligere. Man lader altså stemplet bevæge sig. Da der ikke sker varmeudveksling med omgivelserne, er processen adiabatisk.

c)

Proces 1-2 er adiabatisk, så der gælder, at:

𝑝_{1} · 𝑉_{1}^{𝛾} = 𝑝_{2} · 𝑉_{2}^{𝛾}

Hvor:

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

9

𝛾 =

𝑐_{𝑚𝑝}
𝑐_{𝑚𝑉}

=

29,1

𝐽

𝑚𝑜𝑙 · 𝐾

20,8

𝐽

𝑚𝑜𝑙 · 𝐾

≈ 1,399038

𝑝_{1} = 1,28 𝑏𝑎𝑟

𝑉_{1} = 14,5 · 𝑉_{2}

Det vil sige:

1,28 𝑏𝑎𝑟 · ( 14,5 · 𝑉_{2})^{1,399038} = 𝑝_{2} · 𝑉_{2}^{1,399038}

⇕ Ligningen løses for p_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑝_{2} = 53,95205 · 𝑏𝑎𝑟

Vi konkluderer, at trykket i tilstand 2 er 54,0 𝑏𝑎𝑟.

d)

Der udføres et positivt arbejde på omgivelserne, da tilstandsændringerne i forbrændingsgassen foregår med urets retning på pV-diagrammet. Størrelsen af dette arbejde kan bestemmes som arealet af det område, der afgrænses indenfor (𝑉,𝑝)-grafen. Vi vurderer, at områdets areal er ca. halvdelen af et rektangel med ”sidelængderne” 10 𝐿 og 100 𝑏𝑎𝑟:

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

10

Det vil sige:

𝐴 =

10 𝐿 · 100 𝑏𝑎𝑟

2

= 500 · 𝐿· 𝑏𝑎𝑟

= 500 𝐿 ·𝑏𝑎𝑟 · ·

1 𝑚^{3} 100000 𝑃𝑎

1000 𝐿 1 𝑏𝑎𝑟

= 50000 · 𝑃𝑎· 𝑚^{3}

≈ 50 𝑘𝐽

Vi vurderer, at bud nr. (iv) på 50 kJ passer bedst.

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

11

Opgave 5 a)

Vi indtegner kræfterne set fra oven og set fra siden. Pilenes længder siger ikke nødvendigvis noget om kræfternes indbyrdes størrelsesforhold.

Vi beskriver kræfterne én ad gangen:

𝐹_{𝑡} er tyngdekraften.

⃗

𝐹 er normalkraften fra underlaget. 𝐹 og 𝐹 er lige store og modsatrettede.
 𝑁                            𝑡    𝑁

⃗ ⃗ ⃗

𝐹_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} er kraften, som motoren påvirker bilen med i bilens bevægelsesretning.

⃗

𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑,1} er centripetalkraften i cirkelbevægelsen og opstår som den statiske gnidning mellem bilen og vejen.

⃗

Denne kraft er selvfølgelig rettet mod centrum af cirklen.

𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑,2} er en samlebetegnelse for gnidningsmodstanden i hjulakslerne, luftmodstanden, og

⃗ rullemodstanden. Denne kraft er modsatrettet i forhold til bilens bevægelsesretning.

b)

Herunder ses de to grafer:

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

12 c)

Cirkelbevægelsen starter idet, bilen drejes, hvorved der kommer en 𝑦-acceleration. Vi ser, at dette sker

omkring 𝑡 = 6 𝑠. Cirkelbevægelsen slutter, når 𝑦-accelerationen igen er lig med nul, hvilket sker omkring
𝑡 = 14 𝑠.

I tidsrummet mellem 𝑡 = 8 𝑠 og 𝑡 = 12 𝑠, har vi nogenlunde, at 𝑎_{𝑦} er konstant, mens 𝑎_{𝑥} er lig med 0. Dette

er netop betingelserne for en jævn cirkelbevægelse. Vi antager, at hele cirkelbevægelsen tilnærmelsesvis

kan opfattes som jævn, hvis vi udregner en gennemsnitsværdi for 𝑎_{𝑦} i intervallet 6 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 14𝑠. Vi kan se
af grafen, at en gennemsnitsværdi for 𝑎_{𝑥} i samme interval vil være omtrent lig med 0.

For både 6 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 8 𝑠 og 12 𝑠 ≤ 14 𝑠 kan vi aflæse en gennemsnitsacceleration på ca.:

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2 14 16

x-acceleration / (m/s

2

)

tid / s

x-acceleration som funktion af tiden

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

2 14 16

y-acceleration / (m/s

2

)

tid / s

y-acceleration som funktion af tiden

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 3. Juni 2014

13

𝑎_{𝑦1} = 2,5

𝑚

𝑠^{2}
I intervallet 8 ≤ 𝑡 ≤ 12 er accelerationen nogenlunde konstant med en værdi på ca.:

𝑎_{𝑦2} = 5,5

𝑚

𝑠^{2}

De to gennemsnitsværdier er fundet i intervaller, som er lige store, så vi kan tage et ikke-vægtet gennemsnit:

𝑎_{𝑦} = ()

5,5 + 2,5 𝑚
2 𝑠^{2}
= 4,0 · 𝑚· 𝑠^{−2}

Vi opfatter nu cirkelbevægelsen som jævn med 𝑎_{𝑥} = 0 og 𝑎_{𝑦} = 4^{𝑚}_{𝑠^{2}} og kan så anvende formlen:

𝑎 = · 𝑟

4 · 𝜋^{2}
𝑇^{2}

Perioden 𝑇 er lig med Δ𝑡 for en enkelt omgang i cirkelbevægelsen. Det vil sige, at:

𝑇 = 14,0 𝑠 − 6,0𝑠 = 8,0 𝑠

Vi indsætter i formlen og får så:

4,0 = · 𝑟

𝑚 4 · 𝜋^{2}
𝑠^{2} ( 8 𝑠)^{2}

⇕ Ligningen løses for r vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟 = 6,484556 · 𝑚

Vi vurderer, at radius i cirkelbevægelsen er ca. 6,5 𝑚.