HTX Fysik A 2014 25. august - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

1

HTX Fysik A 25. august 2014

htx142-FYS/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive en kommentar om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

Opgave 1 a)

Vi har, at:

𝐸_{𝑚𝑜𝑙} =242

𝑘𝐽 𝑚𝑜𝑙

𝑛=450 𝑚𝑜𝑙

Den samlede energi er lig med energien pr. mol gange antallet af mol:

𝐸=𝐸_{𝑚𝑜𝑙} · 𝑛
=242 · 450 𝑚𝑜𝑙

𝑘𝐽 𝑚𝑜𝑙

=108900 · 𝑘𝐽
=109 𝑀𝐽

Den energimængde, som brinten i trykflasken på figur 1.1 kan frigive, er altså 109 𝑀𝐽.

b)

Da brint opfører sig som en ideal gas, gælder idealgasligningen:

𝑝 · 𝑉=𝑛· 𝑅· 𝑇

Hvor:

𝑉=50 𝐿

𝑇= ( 20 + 273) 𝐾=293 · 𝐾

𝑛=450 𝑚𝑜𝑙

𝑅=0,0831

𝐿 ·𝑏𝑎𝑟

𝐾· 𝑚𝑜𝑙

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

2

Så:

𝑝 · 50 𝐿=450 𝑚𝑜𝑙· 0,0831 · 293 · 𝐾

𝐿 · 𝑏𝑎𝑟
𝐾· 𝑚𝑜𝑙

⇕ Ligningen løses for p vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑝=219,1347 · 𝑏𝑎𝑟

                                   2
Trykket i trykflasken på figur 1.1 er 2,2 · 10 𝑏𝑎𝑟.

c)

Først bestemmes energiindholdet i trykflasken:

Vi havde før, at:

𝐸=𝐸_{𝑚𝑜𝑙} · 𝑛

⇕

𝑛=

𝐸

𝐸_{𝑚𝑜𝑙}

Idealgasligningen kan så omskrives til:

𝑝 · 𝑉= · 𝑅 ·𝑇

𝐸

𝐸_{𝑚𝑜𝑙}

Af nye værdier har vi, at:

𝑝=300 𝑏𝑎𝑟

𝑇= ( 50 + 273) 𝐾=323 · 𝐾

Vi får så:

300 𝑏𝑎𝑟 · 50 𝐿= · 0,0831 · 323 𝐾

𝐸 𝐿 · 𝑏𝑎𝑟

242 𝑘𝐽 𝑚𝑜𝑙

𝐾· 𝑚𝑜𝑙

⇕ Ligningen løses for E vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐸=135239,4 · 𝑘𝐽

Energiindholdet pr. liter benzin er givet ved:

𝐸_{𝐿} =3,11 · 10^{7} =3,11 · 10^{4}

𝐽 𝑘𝐽

𝐿 𝐿

Det nødvendige rumfang af benzin kan nu bestemmes som:

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

3

𝑉=

𝐸

𝐸_{𝐿}
=

135239,4 𝑘𝐽

3,11 · 10^{4}

𝑘𝐽

𝐿

≈4,348534 · 𝐿

Energiindholdet i en helt fuld trykflaske på 50 𝐿 svarer til energiindholdet i 4,3 𝐿 benzin. Man skal altså bruge en meget større tank, hvis man skal have plads til samme energimængde i en brintbil som i en benzinbil.

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

4

Opgave 2 a)

Der gælder, at:

𝐸=𝐵·𝑚
=𝐵· 𝜌· 𝑉

Hvor:

𝐵=42,7 · 10^{6}

𝐽 𝑘𝑔

𝜌=729

𝑘𝑔

𝑚^{3}

𝑉=1 𝐿=1 𝐿· =0,001 · 𝑚^{3}

1 𝑚^{3}

1000 𝐿

Energiindholdet bliver så:

𝐸=42,7 · 10^{6} · 729 · 0,001 𝑚^{3}

𝐽 𝑘𝑔

𝑘𝑔 𝑚^{3}
=3,11283 · 10^{7} · 𝐽
≈3,11 · 10^{7} 𝐽

                                        7
Energiindholdet i en liter benzin er altså 3,11· 10 𝐽.

b)

Den omsatte mekaniske energi svarer til den omsatte varmeenergi, som omsættes af friktionskræfter på bilen, da bilen kører vandret med konstant fart (dvs. hverken kinetisk el. potentiel energi ændres).

Den omsatte mekaniske energi kan bestemmes som den andel pr. tid af benzinens energi, som omsættes til arbejde. Vi får, at:

𝑃_{𝑚𝑒𝑘} =0,25 · 𝐸_{𝐿} · 𝑓_{𝑏𝑒𝑛𝑧𝑖𝑛} · 𝑣

Hvor 𝐸_{𝐿} er benzinens energiindhold i^{𝐽}_{𝐿}, 𝑓_{𝑏𝑒𝑛𝑧𝑖𝑛} er benzinforbruget i_{100 𝑘𝑚}^{𝐿} og 𝑣 er farten i^{𝑘𝑚}_{ℎ}.

Det vil sige:

𝐸_{𝐿} =3,11 · 10^{7}

𝐽

𝐿

𝑓_{𝑏𝑒𝑛𝑧𝑖𝑛} =8,0

𝐿

100 𝑘𝑚

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

5

𝑣=110

𝑘𝑚 ℎ

Så:

𝑃_{𝑚𝑒𝑘} =0,25 · 3,11 · 10^{7} · 8,0 · · 110

𝐽 𝐿 𝑘𝑚

𝐿 100 𝑘𝑚 ℎ

=6,842 · 10^{7} · 𝐽· ℎ^{−1}
=6,842 · 10^{7} · ·

𝐽 1 ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 ℎ 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠

≈19005,56 · 𝐽· 𝑠^{−1}
=1,9 · 10^{3} 𝑊

Bilen omsætter altså mekanisk energi med effekten 1,9 𝑘𝑊.

c)

Når bilen sættes i frigear udfører motoren ikke længere noget arbejde, så den komposant af tyngdekraften, som er vandret med vejen skal nu udføre et arbejde, som er lige så stort som det arbejde motoren udførte

før. Så længe hastigheden holdes konstant med en størrelse på 110 km/h er arbejdet fra friktionskræfterne

nemlig konstant. Den effekt, hvormed en kraft udfører arbejde, kan bestemmes som:

𝑃=𝐹·𝑣

Arbejdet udføres af den komposant af tyngdekraften, som er parallel med vejen:

Vi får så, at:

𝑃_{𝑚𝑒𝑘} =𝐹_{𝑡} · sin ( 𝛼) · 𝑣
=𝑚· 𝑔 · sin(𝛼)· 𝑣

Hvor:

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

6

𝑣=110

𝑘𝑚 ℎ

=110 · · ·

𝑘𝑚 1 ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 1000 𝑚 ℎ 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 1 𝑘𝑚

≈30,55556 · 𝑚 · 𝑠^{−1}

𝑔=9,82

𝑚

𝑠^{2}
𝑚=1450 𝑘𝑔

Så:

19005,56 𝑊=1450 𝑘𝑔· 9,82 · sin ( 𝛼) · 30,55556

𝑚 𝑚

𝑠^{2} 𝑠

Da alle anvendte enheder er SI-enheder, kan vi opskrive ligningen med underforståede enheder, indstille vinkelenheden til grader og løse ligningen mht. 𝛼 og dermed få vejens hældning i grader:

19005,56=1450 · 9,82 · sin ( 𝛼) · 30,55556

⇕ Ligningen løses for α vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛼=2,503639

                                                                                  𝑘𝑚
Vejen skal således hælde 2,5° for at bilen kan fortsætte med en konstant hastighed af størrelsen 110 .
                                                                                   ℎ

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

7

Opgave 3 a)

Vi har, at:

𝑅=0,853 Ω

𝐼=3,00 𝐴

Spændingsfaldet over spolen måles på figur 3.2 af voltmeteret. Det kan beregnes vha.:

𝑈=𝑅· 𝐼
=0,853 Ω · 3,00 𝐴
=2,559 · 𝐴 · 𝛺
=2,56 𝑉

Voltmeteret på figur 3.2 måler 2,56 𝑉.

b)

Resistans kan beregnes som:

𝑅=𝜌·

𝑙

𝐴

Hvor:

𝜌=0,0170 Ω ·

𝑚𝑚^{2}

𝑚

𝐴=𝜋· ( 1,00 𝑚𝑚)^{2} =𝜋· 𝑚𝑚^{2}

Så;

0,853 Ω=0,0170 Ω · ·

𝑚𝑚^{2} 𝑙
𝑚 𝜋· 𝑚𝑚^{2}

⇕ Ligningen løses for l vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑙=157,634 · 𝑚

Kobbertråden er altså 158 𝑚 lang.

c)

Den magnetiske fluxtæthed i en lang spole med 𝑁 vindinger kan bestemmes af formlen:

𝐵=𝜇_{0} ·

𝑁· 𝐼

𝑙

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

8

Denne formel gælder kun, når længden er meget længere end radius, hvilket ikke ser ud til at være tilfældet. Alternativet er at beregne magnetfeltet i centrum af en flad cirkulær spole (hvilket desuden kræver kendskab til spolens radius). Her vurderes ovenstående formel at være den bedste tilnærmelse. Vi

                                                                              𝐻   𝑇·𝑚
opskriver nødvendige størrelser (vakuumpermeabiliteten kan findes i databogen, og enheden er = ):
                                                                              𝑚    𝐴

𝑙=7,5 𝑐𝑚=0,075 𝑚

𝑁=300

𝜇_{0} =1,26 · 10^{−6}

𝑇 · 𝑚

𝐴

Vi antager, at strømstyrken stadig er 𝐼=3,00 𝐴

Det vil sige:

𝐵=1,26 · 10^{−6} ·

𝑇 · 𝑚 300 · 3,00 𝐴

𝐴 0,075 𝑚

≈0,01512 · 𝑇

Den magnetiske fluxtæthed i midten af spolen er således omkring 15 𝑚𝑇.

d)

Herunder tegnes en graf, der viser 𝑈_{2} som funktion af 𝐼_{2}.

0

5

10

15

20

25

30

0 100

U

2

/ V

I_{2} / mA

(I_{2}, U_{2})-plot

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

9 e)

Vi ser, at sammenhængen ikke er lineær, men da der gælder, at 𝑈_{𝑝} =𝑈_{0} − 𝑅_{𝑖} · 𝐼, kan vi bestemme en
tilnærmet værdi for den indre modstand 𝑅_{𝑖} vha. lineær regression. Her antager vi altså, at den indre

resistans er konstant, hvilket ikke helt er tilfældet, da den afhænger af temperaturen i kobbertråden.

Vi opskriver tabellens data herunder:

𝐼_{2} /𝑚𝐴 𝑈_{2} /𝑉

0 | 25,28
5,4 | 24,85
10,1 | 24,47
14,5 | 24,04
20,3 | 23,5
25,5 | 22,91
31,7 | 22,19
39,6 | 21,18
50,1 | 19,71
61,1 | 17,89
71,5 | 15,96
80,1 | 14,12
88,3 | 12,24

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9786386

𝑦=−0,1451117𝑥 + 26,20266

Da enheden for 𝑈 og 𝑈_{0} er 𝑉, er enheden for 𝑅_{𝑖} · 𝐼_{2} også Ω · 𝐴=𝑉. Enheden for 𝐼_{2} er 𝑚𝐴, så enheden for
𝑅_{𝑖} er 𝑘Ω, da 𝑘𝛺 · 𝑚𝐴=𝛺· 𝐴=𝑉.

Vi kan nu aflæse en tilnærmet værdi for den indre modstand af sekundærsiden af transformatoren af

regressionsligningen: 𝑅 =0,15 𝑘Ω.
                   𝑖

f)

Den tilførte effekt i primærsiden kan beregnes som:

𝑃_{1} =𝑈_{1} · 𝐼_{1}

Den effekt, som afsættes i belastningsmodstanden, kan bestemmes som:

𝑃_{2} =𝑅· 𝐼_{2}^{2}
= ( 𝑅_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡} − 𝑅_{𝑖}) · 𝐼_{2}^{2}
=( − 𝑅_{𝑖}) · 𝐼_{2}^{2}

𝑈_{2}
𝐼_{2}
=𝑈_{2} · 𝐼_{2} − 𝑅_{𝑖} · 𝐼_{2}^{2}

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

10

Nyttevirkningen er så givet ved:

𝜂= =

𝑃_{2} 𝑈_{2} · 𝐼_{2} − 𝑅_{𝑖} · 𝐼_{2}^{2}
𝑃_{1} 𝑈_{1} · 𝐼_{1}

Til beregningen af nyttevirkningen anvender vi fortsat antagelen om, at 𝑅 er konstant.
                                                           𝑖

Vi laver en ekstra kolonne i Excel, hvor nyttevirkningen bestemmes vha. ovenstående formel.

Nyttevirkningen er enhedsløs, som det fremgår af eksempeludregningen af nyttevirkningen ved 𝐼_{1} =

75,9 𝑚𝐴, som vises herunder.

𝜂=

24,85 𝑉· 5,4 𝑚𝐴 − 0,1451117𝑘Ω· ( 5,4 𝑚𝐴)^{2}
6,64 𝑉· 75,9 𝑚𝐴
=

24,85 · 5,4 𝑚𝑊 − 0,1451117· ( 5,4)^{2} 𝑚𝑊
6,64 · 75,9 𝑚𝑊

≈0,2578665

=26%

Vi tegner nu en graf i Excel vha. nedenstående tabeldata:

𝐼_{1} /𝑚𝐴 𝜂

61,4

0

75,9

0,4

90,8

0,6

105,8

0,2

127,1

0,4

146,3

0,6

170

0,8

200,9

0,1

242,1

0,4

285,9

0,1

327,1

0,3

361,4

0,5

393,3

-0,6

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

11

Vi ser, at nyttevirkningen vokser i starten, hvor 𝐼
                                        1

hæves. Nyttevirkningen vokser, indtil den når sin største værdi på omkring 52% ved en strømstyrke på 146,3 𝑚𝐴. Hvis transformatoren skal anvendes i en virkelig situation, hvor man er interesseret i en stor nyttevirkning, vil det være en god idé at efterligne disse forhold

(inkl. indstillingen af den variable resistans).

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

450

Nyttevirkning

I_{1} / mA

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

12

Opgave 4 a)

Vi forestiller os et koordinatsystem, hvor 𝑥-aksen er parallel med underlaget og opadgående. 𝑦-aksen peges vinkelret opad i forhold til underlaget. (𝐼)

𝐹_{1} er tyngdekraften fra jorden, som derfor peger lodret ind mod jordens kerne.

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐹_{2} og 𝐹_{3} er normalkræfter fra underlaget på havegrillen. De er derfor ortogonale i forhold til underlaget og

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ har kun en 𝑦-komposant. Tilsammen har de samme størrelse og modsat retning som tyngdekraftens 𝑦-komposant.

𝐹_{4} og 𝐹_{5} er statiske gnidningskræfter mellem underlaget og havegrillen. Der gælder allerede, at 𝑦-

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ komposanten af den samlede kraft er lig med 0. Da havegrillen står stille, skal dette også være tilfældet for

𝑥-komposanten. Vektorsummen 𝐹_{4} + 𝐹_{5} og tyngdekraftens 𝑥-komposant er altså lige store og

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

modsatrettede. 𝐹_{4} og 𝐹_{5} er derfor parallelle med underlaget og peger op ad skråningen.

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

(𝐼) :

Vi ser bort fra, at grillen er en tredimensionel størrelse, som også har en udstrækning ind i billeder og nøjes derfor med at opfatte grillen som på den skitserede version. Vi kan altså regne kraftmomenterne som todimensionelle størrelser.

b)

Vi har, at:

𝐹_{1} =68 𝑁

Skråningens vinkel med vandret er 8°

Som beskrevet ovenfor, må der gælde, at:

𝐹_{4} + 𝐹_{5} =𝐹_{1,𝑥}

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Da de tre vektorer kun har 𝑥-komposanter, kan vi også skrive:

𝐹_{4} + 𝐹_{5} =𝐹_{1,𝑥}

Vi opdeler 𝐹_{1} i en 𝑥- og en 𝑦-komposant:

⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

13

Vi indser så, at:

𝐹_{1,𝑥} =𝐹_{1} · sin (8)

Det vil sige:

𝐹_{4} + 𝐹_{5} =𝐹_{1} · sin (8)
=68 𝑁· sin ( 8)

≈9,463771 𝑁

Den samlede størrelse af de to kræfter 𝐹_{4} og 𝐹_{5} er altså 9,5 𝑁.

⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ c)

Det samlede kraftmoment på grillen skal være lig med 0. Størrelsen af kraftmoment kan beregnes som:

𝑀=𝐹· 𝑟 ·sin (𝜃)

Hvor 𝜃 er vinklen mellem 𝐹 og 𝑟⃗

⃗

Vi vælger en akse gennem 𝐴 som omdrejningsakse. Hvis en kraft skal bidrage med kraftmoment, må den ikke være parallel med den radius som udgår fra omdrejningsaksen til kraftens angrebspunkt, og dens angrebspunkt må ikke være placeret på selve omdrejningsaksen. Vi skal således kun se på to

kraftmomenter: 𝑀_{3} og 𝑀_{1}. Disse skal være lige store (og deres momentvektorer modsatrettede).

Vi får, at:

𝐹_{1} · 𝑟_{1} · sin (𝜃_{1})=𝐹_{3} · 𝑟_{3} · sin ( 𝜃_{3})

For 𝑦-aksen må der analogt til spørgsmål b) gælde, at den samlede kraft er lig med 0:

𝐹_{2} + 𝐹_{3} =𝐹_{1} · cos (8)

𝑟_{1} bestemmes vha. pythagoras:

Side 14

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 25. august 2014

14

𝑟_{1} = ( · 0,38 𝑚) + ( 0,56 𝑚)^{2}

√

1

2

2

≈0,5913544 𝑚

𝑟_{3} aflæses direkte:

𝑟_{3} =0,38 𝑚

Vi har, at:

𝐹_{1} =68 𝑁

Vi anvender nu tegningen i b) til trekantsanalyse og indser, at:

𝜃_{1} =8°

𝜃_{3} =90°

Vi indsætter kendte værdier i de to ligninger og løser dem som et system af to ligninger med to ubekendte:

68 𝑁· 0,5913544 𝑚 · sin ( 8) =𝐹_{3} · 0,38 𝑚 · sin (90)

𝐹_{2} + 𝐹_{3} =68 𝑁 ·cos (8)

⇕ Ligningssystemet løses for F_3,F_2 vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝐹_{3} =14,72748 · 𝑁 ∧ 𝐹_{2} =52,61075 · 𝑁

Størrelsen af hver af det to kræfter er altså 𝐹 =15 𝑁 og 𝐹 =53 𝑁.
                                    3           2