HTX Fysik A 2011 Forår - Besvarelse af vejledende opgave

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

1

HTX Fysik A

Forår 2011

Vejledende opgaver

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 3. år

Opgave 1 a)

Hoppeboldens densitet kan bestemmes som:

𝜌 =

𝑚

𝑉

Hoppebolden er kugleformet, så:

𝑉 = · 𝜋 · 𝑟^{3}

4

3

= · 𝜋 · ( 𝑑)

4 1

3 2

3

= · 𝜋 · 𝑑^{3}

1

6

Dvs.:

𝜌 =

𝑚

1

6

· 𝜋 · 𝑑^{3}

Hvor:

𝑚 =26 𝑔 = 0,026 𝑘𝑔

𝑑 = 32 𝑚𝑚=0,032 𝑚

Så:

𝜌 =

0,026 𝑘𝑔

1

6

· 𝜋· ( 0,032 𝑚)^{3}
≈1515,391 · 𝑘𝑔 · 𝑚^{−3}

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

2

≈1,5 · 10^{−3}

𝑘𝑔

𝑚^{3}

Hoppeboldens densitet er ca. 1,5 · 10^{−3}_{𝑚^{3}}^{𝑘𝑔}.

b)

Den samlede kinetiske energi er givet ved summen af den translatoriske energi og rotationsenergien:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} =𝐸_{𝑅} + 𝐸_{𝑇}

Hvor:

𝐸_{𝑅} = · 𝐼· 𝜔^{2}

1

2

= · 𝐼· ()

1 𝑣^{2}

2 𝑟

                      𝑣
Her har vi benyttet, at 𝜔 = .
                      𝑟

Vi antager, at hoppebolden kan opfattes som en homogen kugle. Dens inertimoment for omdrejning omkring en akse gennem centrum kan da beregnes som:

𝐼 = · 𝑚 · 𝑟^{2}

2

5

Så:

𝐸_{𝑅} = · · 𝑚 · 𝑟^{2} · ()

1 2 𝑣^{2}

2 5 𝑟

= · 𝑚 · 𝑣^{2}

1

5

Den translatoriske energi kan bestemmes som:

𝐸_{𝑇} = · 𝑚 · 𝑣^{2}

1

2

Den samlede kinetiske energi kan da bestemmes som:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 𝑚 · 𝑣^{2} + · 𝑚 ·𝑣^{2}

1 1

5 2

= · 𝑚 · 𝑣^{2}

7

10

Hvor:

𝑣 = 1,6

𝑚 𝑠

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

3

Så:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 0,026 𝑘𝑔 · (1,6)

7 𝑚^{2}

10 𝑠

=0,046592 · 𝑘𝑔 ·

𝑚^{2}
𝑠^{2}

≈47 𝑚𝐽

Den samlede kinetiske energi af hoppebolden, når den ruller afsted med 1,6^{𝑚}_{𝑠} er således omkring 47 𝑚𝐽.

c)

Vi ser bort fra luftmodstand og rullemodstand. Den statiske friktionskraft mellem bolden og røret indtegnes ikke, da den ikke udfører noget arbejde og heller ikke tages i betragtning ved udregning af den resulterende kraft. Det er dog den statiske friktion, som tillader bolden at rotere. Det er således kun normalkraften og tyngdekraften, som virker på hoppebolden. Normalkraften angriber i boldens kontaktpunkt med røret, som i praksis vil være en kontaktflade. Normalkraften peger vinkelret ud af overfladen. Tyngdekraften angriber hele bolden, men kan opfattes som angribende i massemidtpunktet. Tyngdekraften peger lodret nedad. Vi indtegner kræfterne: d)

Den korrekte formel skal give os en værdi af 𝑇 med en enhed for tid. Vi indsætter SI-enheder i alle formler,

hvorefter den korrekte formel vil give enheden sekunder, 𝑠. Enheden for 𝑅 er 𝑚, og enheden for 𝑔 er^{𝑚}_{𝑠^{2}}.

1) Vi får slutenheden^{𝑚}_{2} =𝑠^{2}, så denne formel er forkert.

𝑚 𝑠

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

4

                  2   1
                  𝑠
2) Vi får slutenheden = , så denne formel er forkert.
                      2
                  𝑚   𝑠

𝑚

3) Vi får slutenheden^{𝑚} =√𝑠^{2} =𝑠, så denne formel kan være rigtig.
√^{𝑚}_{𝑠}_{2}

                         1   1
4) Vi får slutenheden = √  =  , så denne formel er forkert.
                          2
                   𝑚     𝑠   𝑠

√^{𝑠}^{2}

𝑚

Da det oplyses, at én formel er rigtig, må dette være formel 3, da 1, 2 og 4 er forkerte. Vi konkluderer, at

den rigtige formel er 𝑇 =2𝜋· √^{7𝑅}_{5𝑔}

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

5

Opgave 2 a)

Polspændingen oplyses til 𝑈 =9 𝑉

Potentialet i 𝐴 i forhold til batteriets minuspol kan bestemmes som spændingsfaldet 𝑈 over 𝑅 .
                                                                      2      2

𝑅_{1} og 𝑅_{2} er seriekoblede, så:

𝑈 =𝑈_{1} + 𝑈_{2}

Hvor:

𝑈_{1} =𝑅_{1} · 𝐼_{1}

𝑈_{2} =𝑅_{2} · 𝐼_{2}

Vi får dog at vide, at 𝑅_{1} =𝑅_{2}, og da der er tale om en seriekobling gælder der også, at 𝐼_{1} =𝐼_{2}. Det vil sige:

𝑈_{1} =𝑈_{2}

Man får så:

𝑈 =2 · 𝑈_{2}

⇕

𝑈_{2} = 𝑈

1

2

= · 9 𝑉

1

2

=4,5 · 𝑉

Potentialet i A i forhold til batteriets minuspol er således på 4,5 𝑉.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Potentialet i 𝐵 i forhold til minuspolen er lig med spændingsfaldet 𝑈 over 𝑅 .
                                                       𝐿      𝐿

For at kravet skal opfyldes, skal der gælde, at 𝑈 <4,5 𝑉 ⇔ 𝑅 < 800 Ω.
                                      𝐿           𝐿

Strømmen gennem 𝑅_{𝐿} og 𝑅_{3} er den samme og benævnes nu 𝐼_{𝐿3}. Vi får så:

𝑈_{𝐿} =𝑅_{𝐿} · 𝐼_{𝐿3}

Vi anvender så, at:

𝑈 = ( 𝑅_{𝐿} + 𝑅_{3}) · 𝐼_{𝐿3}

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

6

⇕

𝐼_{𝐿3} =

𝑈

𝑅_{𝐿} + 𝑅_{3}

Ved substitution af 𝐼 får vi så:
                𝐿3

𝑈_{𝐿} =𝑅_{𝐿} ·

𝑈

𝑅_{𝐿} + 𝑅_{3}

𝑈_{𝐿} = · 9 𝑉

𝑅_{𝐿}
𝑅_{𝐿} + 𝑅_{3}

Der vil så være 3 muligheder:

                      1
For 𝑅 =𝑅  får man 𝑈 =  · 9𝑉 = 4,5 𝑉
    3    𝐿        𝐿
                      2

For 𝑅_{3} >𝑅_{𝐿} får man så 𝑈_{𝐿} <4,5 𝑉

For 𝑅_{3} <𝑅_{𝐿} får man så 𝑈_{𝐿} >4,5 𝑉

Ved den øverste detektionsgrænse for 𝑅_{𝐿} må der gælde, at 𝑅_{𝐿} =𝑅_{3}, for hvis 𝑅_{3} bliver større end denne
øvre grænse, vil man detektere større værdier af 𝑅_{𝐿} end man ønskede. For alle værdier af 𝑅_{𝐿}, som er
mindre end denne grænse vil man få 𝑈_{𝐿} <4,5 𝑉, hvilket vil sige, at man får et signal.

Den øverste detektionsgrænse gives i opgaveteksten til 𝑅_{𝐿,𝑚𝑎𝑥} =800 Ω. Vi konkluderer heraf, at den

korrekte indstilling af den variable modstand er 𝑅 =800Ω.
                                        3

c)

Den elektriske effekt, hvormed batteriet belastes, er lig med den effekt, som afsættes i hele kredsløbet, og kan bestemmes som:

𝑃 =

𝑈^{2}
𝑅_{𝑒𝑟𝑠}

Kredsløbets kobling af modstande består af en parallelforbindelse af to serieforbindelser, så erstatningsresistansen kan bestemmes som:

𝑅_{𝑒𝑟𝑠} =

1

( +)

1 1

𝑅_{1} + 𝑅_{2} 𝑅_{3} + 𝑅_{𝐿}

Det vil sige:

𝑃 = 𝑈^{2} · ( +)

1 1

𝑅_{1} + 𝑅_{2} 𝑅_{3} + 𝑅_{𝐿}

Hvor:

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

7

𝑈 = 9 𝑉

𝑅_{1} =𝑅_{2} =10 𝑘Ω=1,0 · 10^{4} Ω

𝑅_{3} =1 𝑘Ω= 1 · 10^{3} Ω

𝑅_{𝐿} og 𝑃 er nu de eneste ubekendte. Vi ser, at 𝑃 er størst, når 𝑅_{𝐿} er mindst mulig. Den mindst mulige værdi
for 𝑅_{𝐿} er:

𝑅_{𝐿} =200 Ω

Effekten bliver så:

𝑃 = ( 9𝑉)^{2} · ( +)

1 1

2 · 1,0 · 10^{4} Ω 1 · 10^{3} Ω + 200 Ω
=0,07155 ·

𝑉^{2}

𝛺

≈72 𝑚𝑊

Batteriet kan altså maksimalt belastes med en effekt på 72𝑚𝑊, hvis 𝑅_{3} er indstillet til 1 𝑘Ω.

d)

Hvis der skrues op for værdien af 𝑅_{3} vil man som forklaret i b) kunne detektere større værdier af 𝑅_{𝐿}. 𝑅_{𝐿}
antager mindre værdier, når lysintensiteten er større. Hvis man kan detektere større værdier af 𝑅_{𝐿}, kan

man altså samtidig detektere lavere lysintensiteter. Det vil sige, at alarmen bliver mere følsom.

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

8

Opgave 3 a)

Varmekapaciteten af gryden med vand er lig med summen af gryden og vandets varmekapacitet:

𝐶 = 𝐶_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + 𝐶_{𝑔𝑟𝑦𝑑𝑒}

Varmekapaciteten for et legeme kan bestemmes som dets masse gange med materialets specifikke varmekapacitet:

𝐶 = 𝑚 · 𝑐

Dvs.:

𝐶 = 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} · 𝑚_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + 𝑐_{𝑔𝑟𝑦𝑑𝑒} · 𝑚_{𝑔𝑟𝑦𝑑𝑒}

Hvor:

𝑚_{𝑔𝑟𝑦𝑑𝑒} =1,19 𝑘𝑔

𝑚_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =1,50 𝑘𝑔

De specifikke varmekapaciteter for hhv. vand og rustfrit stål kan findes i databogen. Begge værdier findes ved stuetemperatur. Vi antager, at værdierne kan opfattes som temperaturuafhængige.

𝑐_{𝑔𝑟𝑦𝑑𝑒} =𝑐_{𝑠𝑡å𝑙} =510 =0,510

𝐽 𝑘𝐽

𝑘𝑔 · 𝐾 𝑘𝑔 · 𝐾

𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =4,18

𝑘𝐽

𝑘𝑔 · 𝐾

Vi får så:

𝐶 = 4,18 · 1,50 𝑘𝑔 + 0,510 · 1,19 𝑘𝑔

𝑘𝐽 𝑘𝐽

𝑘𝑔 · 𝐾 𝑘𝑔 · 𝐾
≈6,8769 · 𝐾^{−1} · 𝑘𝐽

≈6,88 𝑘𝐽

℃

Varmekapaciteten af gryden med vand er ca. 6,88^{𝑘𝐽}_{℃}. Afvigelsen fra værdien i opgaveteksten skyldes

sandsynligvis, at man i udformningen af opgaven har gjort sig den antagelse, at den specifikke varmekapacitet for rustfrit stål er den samme som for rent jern. Dette er ikke tilfældet, men hvis man ikke kan finde værdien for rustfrit stål i databogen, er det en rimelig tilnærmelse.

b)

Rent, flydende vand kan ikke opnå en højere temperatur end 100℃. Så når vandet når kogepunktet på

𝑡 = 100℃, vil ekstra tilførsel af varme ikke længere gå til opvarmning, men i stedet til fordampning.

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

9 c)

Grafen er meget flad i begyndelsen, da den første varme går til at opvarme kogepladen og gryden til en højere temperatur end vandets, så der kan overføres varme fra gryden til vandet. Jo varmere gryden bliver, desto hurtigere vil vandets temperatur stige (jf. Newtons afkølingslov).

d)

Ved den bedste værdi forstås den største værdi, da den største værdi giver den hurtigste og dermed mest energieffektive opvarmning, idet kogepladen leverer en konstant effekt. Vi finder en lang række sekanthældninger (differenskvotienter) vha. følgende formel, hvor 𝑇 angiver temperaturen og 𝑡 angiver tiden.

Δ𝑇 𝑇_{2} − 𝑇_{1}
Δ𝑡 𝑡_{2} − 𝑡_{1}

=

Vi viser et eksempel, hvor:

𝑇_{1} =48,1245 ℃, 𝑡_{1} =400 𝑠, 𝑇_{2} =48,4995 ℃ og 𝑡_{2} =402 𝑠

Vi får så:

Δ𝑇 48,4995℃ − 48,1245℃
Δ𝑡 402 𝑠 − 400 𝑠

=
=0,1875 · ℃ · 𝑠^{−1}

Formlen anvendes på alle par af (𝑡_{𝑛},𝑇_{𝑛}) i intervallet 400 𝑠< 𝑡 < 700 𝑠. Herefter finder vi, at den største
værdi af hældningen er på 0,3125^{℃}_{𝑠}.

(𝐼):

Herunder vises et udsnit af de anvendte formler i Excel og de opnåede resultater:

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

10 e)

Den udnyttede middeleffekt for vand og gryde i intervallet 400 𝑠 < 𝑡 <700 𝑠 kan bestemmes vha.

formlen:

𝑃 =

Δ𝐸

Δ𝑡

Hvor:

Δ𝐸 = 𝐶· Δ𝑇

Det vil sige:

𝑃 = 𝐶 ·

Δ𝑇

Δ𝑡

Hvor:

𝐶 =6,88

𝑘𝐽

℃

Vi antager, at gryden og vandet kan opfattes som et system med samme temperatur.

Sekanthældningen bestemmes for 𝑡_{2} =700 𝑠 og 𝑡_{1} =400 𝑠. Vi ser så i måledata, at 𝑇_{2} =88,7495 ℃ og
𝑇_{1} =48,1245 ℃

Den udnyttede middeleffekt bliver så:

𝑃 =6,8769 ·

𝑘𝐽 88,7495℃ −48,1245℃
℃ 700 𝑠 − 400 𝑠
≈0,9312469 · 𝑘𝐽 · 𝑠^{−1}

≈931 𝑊

Den udnyttede middeleffekt er altså ca. 931 𝑊.

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

11

Opgave 4 a)

Vinkelhastigheden kan bestemmes som:

𝜔 =

Δ𝜑

Δ𝑡

Én omgang svarer til Δ𝜑 =2𝜋

Tiden omregnes til sekunder:

Δ𝑡 =27,32 𝑑
=27,32 𝑑· · ·

24 ℎ 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠

1 𝑑 1 ℎ 1 𝑚𝑖𝑛

=2360448 · 𝑠

Vinkelhastigheden bliver så:

𝜔 =

2𝜋

2360448 𝑠

≈2,661861 · 10^{−6} · 𝑠^{−1}

Vi konkluderer, at månens vinkelhastighed omkring det fælles massemidtpunkt er på 2,662· 10^{−6} 𝑠^{−1}.

b)

Vi forestiller os en 𝑥-akse, som gennemskærer både jordens og månens centrum. Nulpunktet sættes til at være i jordens centrum. Massemidtpunktets afstand fra jordens centrum kan da bestemmes som:

𝑥_{𝐺} =

𝑚_{𝑗𝑜𝑟𝑑} · 𝑥_{𝑗𝑜𝑟𝑑} + 𝑚_{𝑚å𝑛𝑒} · 𝑥_{𝑚å𝑛𝑒}
𝑚_{𝑗𝑜𝑟𝑑} + 𝑚_{𝑚å𝑛𝑒}

Hvor 𝑥_{𝑗𝑜𝑟𝑑} =0, så:

𝑥_{𝐺} =

𝑚_{𝑚å𝑛𝑒} · 𝑥_{𝑚å𝑛𝑒}
𝑚_{𝑗𝑜𝑟𝑑} + 𝑚_{𝑚å𝑛𝑒}

Hvor:

𝑚_{𝑗𝑜𝑟𝑑} =5,976 · 10^{24} 𝑘𝑔

𝑚_{𝑚å𝑛𝑒} =7,348 · 10^{22} 𝑘𝑔

𝑥_{𝑚å𝑛𝑒} =384400 𝑘𝑚 = 3,844 · 10^{8} 𝑚

Så:

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

12

𝑥_{𝐺} =

7,348 · 10^{22} 𝑘𝑔 · 384400 𝑘𝑚
5,976 · 10^{24} 𝑘𝑔 + 7,348 · 10^{22} 𝑘𝑔
≈4669,114 · 𝑘𝑚

Det fælles massemidtpunkt ligger altså i en afstand på 𝑥 =4670 𝑘𝑚, hvilket er mindre end jordens radius
                                             𝐺

på 6378 𝑘𝑚. Det fælles massemidtpunkt ligger altså indenfor jordens overflade, hvorfor månen efter definitionen er en måne.

c)

Hvis månen ikke længere er en måne, skal der gælde, at 𝑥_{𝐺} =6378 𝑘𝑚. Vi skal så løse nedenstående

ligning, hvor 𝑥 nu er variabel:
           𝑚å𝑛𝑒

𝑥_{𝐺} =

𝑚_{𝑚å𝑛𝑒} · 𝑥_{𝑚å𝑛𝑒}
𝑚_{𝑗𝑜𝑟𝑑} + 𝑚_{𝑚å𝑛𝑒}

Vi indsætter kendte størrelser:

6378 𝑘𝑚=

7,348 · 10^{22} 𝑘𝑔 · 𝑥_{𝑚å𝑛𝑒}
5,976 · 10^{24} 𝑘𝑔 + 7,348 · 10^{22} 𝑘𝑔

⇕ Ligningen løses for x_maane vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥_{𝑚å𝑛𝑒} =525089,6 · 𝑘𝑚

Afstanden mellem jordens og månens centre skal altså være 5,251· 10^{8} 𝑚, for at månen netop ikke er en

måne.

d)

Størrelsen af månens impulsmoment kan bestemmes som:

𝐿 =𝐼·𝜔

Vi antager, at man kan se bort fra månens rumlige udstrækning, hvorved vi får, at:

𝐼 =𝑚· 𝑟^{2}

Så:

𝐿 =𝑚· 𝑟^{2} · 𝜔

Hvor 𝑟 angiver afstanden fra månens centrum til det fælles massemidtpunkt. Det vil sige:

𝑟 =𝑥_{𝑚å𝑛𝑒} − 𝑥_{𝐺}

Så:

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

13

𝐿 =𝑚· ( 𝑥_{𝑚å𝑛𝑒} − 𝑥_{𝐺})^{2} · 𝜔
=7,348 · 10^{22} 𝑘𝑔 · ( 3,844 · 10^{8} 𝑚 − 4,670 · 10^{6} 𝑚)^{2} · 2,661861 · 10^{−6} · 𝑠^{−1}
≈2,820359 · 10^{34} · 𝑘𝑔 · 𝑚^{2} · 𝑠^{−1}

Månens impulsmoment omkring det fælles massemidtpunkt er på 2,821· 10^{34} 𝑘𝑔 · 𝑚^{2} · 𝑠^{−1}

e)

Når månen bevæger sig væk fra jorden, vil 𝑥_{𝑚å𝑛𝑒} vokse hurtigere end 𝑥_{𝐺} (jf. formlen for 𝑥_{𝐺}). Da 𝑟 =
𝑥_{𝑚å𝑛𝑒} − 𝑥_{𝐺} vil det sige, at 𝑟 vokser, når månen bevæger sig væk fra jorden. Da vi havde, at 𝐿 = 𝑚· 𝑟^{2} · 𝜔,

og vi antager, at vinkelhastigheden holdes konstant, kan vi se, at månens impulsmoment omkring det fælles massemidtpunkt bliver større, når månen bevæger sig væk fra jorden.

Side 14

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

14

Opgave 5 a)

Vi har, at:

𝐼_{𝑒𝑓𝑓} =500 𝐴

Følgende ligning beskriver sammenhængen mellem effektivværdien og maksimalværdien for vekselstrøm:

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = √ 2 · 𝐼_{𝑒𝑓𝑓}
= √ 2 · 500 𝐴
≈707,1068 · 𝐴

Det vil sige, at maksimalværdien af strømstyrken er på 707 𝐴.

b)

Den magnetiske fluxtæthed i afstanden 𝑎 fra en lang lige leder kan bestemmes som:

𝐵 = ·

𝜇_{0} 𝐼
2 · 𝜋 𝑎

Den maksimale fluxtæthed opnås ved den maksimale strømstyrke. Vi anvender så:

𝐼 = 𝐼_{𝑚𝑎𝑥} =707 𝐴

𝑎 = 10 𝑚

𝜇_{0} =1,257 · 10^{−6}

𝑇 · 𝑚

𝐴

Så:

𝐵_{𝑚𝑎𝑥} = ·

1,257 · 10^{−6}

𝑇 · 𝑚

𝐴

2𝜋 10 𝑚

707,1068 𝐴

≈1,414622 · 10^{−5} · 𝑇

Det vil sige, at størrelsen af det maksimale magnetfelt midt i bundrammen er på ca. 14 𝜇𝑇.

c)

Induktionsspændingen kan bestemmes som:

𝑈_{𝑖𝑛𝑑} =−

𝑑Φ_{B}

𝑑𝑡

Side 15

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

15

Den største spænding opnås altså ved den stejleste hældning af den magnetiske flux. Den magnetiske flux kan bestemmes som:

Φ_{𝐵} =𝐵· 𝐴

Den magnetiske fluxtæthed er dog ikke den samme over det hele, men varierer med afstanden 𝑎 fra ledningen. Vi antager, at fluxtætheden i midten af drivhuset kan opfattes som en rimelig gennemsnitsværdi. (𝐼)

Vi antager, at man på tegningen kigger langs drivhusets længderetning. Drivhusets bundramme har

bredden 𝑏= 2,17 𝑚 og længden 𝑙 =3,19 𝑚. Den maksimale magnetiske flux kan da beregnes som:

Φ_{𝐵,𝑚𝑎𝑥} =𝐵_{𝑚𝑎𝑥} · 𝑏· 𝑙
=1,414622 · 10^{−5} · 𝑇 ·2,17 𝑚 · 3,19 𝑚
≈9,792438 · 10^{−5} · 𝑇 ·𝑚^{2}

Vi ved, at den magnetiske flux er direkte proportional med strømmen. Da strømmen følger en vekselformet sinuskurve med en frekvens på 50 Hz, vil det samme gælde for fluxen.

Vi kan da opstille en sinusfunktion på formen:

Φ_{𝐵} ( 𝑡) =𝐴· (2𝜋 · 𝑓· 𝑡)

Hvor 𝑓 =50 𝐻𝑧 =50 𝑠^{−1} er frekvensen, mens 𝐴=Φ_{𝐵,𝑚𝑎𝑥} =9,8 · 10^{−5} · 𝑇 · 𝑚^{2} er amplituden. Vi lader 𝑡

angive tiden i sekunder. Vinkelenheden er underforstået radianer. Vi tjekker at enhederne stemmer overens:

𝑇 · 𝑚^{2} =𝑇· 𝑚^{2} · sin ( 𝑟𝑎𝑑· 𝑠^{−1} · 𝑠) =𝑇· 𝑚^{2} · sin ( 𝑟𝑎𝑑) =𝑇· 𝑚^{2}

Vi kan nu definere fluxen som funktion af tiden med underforståede enheder, da vi kan se, at enhederne passer:

Φ_{𝐵} ( 𝑡) ≔ 9,792438 · 10^{−5} · sin (2𝜋 · 50 · 𝑡)

                                                     1    1     1
Vi begrænser definitionsmængden til en periode af længden 𝑇 = = = 𝑠
                                                           −1
                                                     𝑓   50 𝑠   50

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0 ≤𝑡 ≤

1

50

Vi tegner grafen:

Side 16

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

16

Størrelsen af den maksimale inducerede spændingsforskel kan bestemmes som størrelsen af den største numeriske hældning. Den største numeriske hældning findes ved hvert nulpunkt på sinuskurven. Vi

bestemmer hældningen ved nulpunktet i 𝑡 = 0,01 𝑠 vha. den afledte funktion:

𝑑Φ_{𝐵} (0,01)

𝑑𝑡

=Φ_{𝐵}^{′} ( 0,01) ≈−0,03076385

Enheden er^{𝑇·𝑚^{2}}_{𝑠} =𝑉, da der er anvendt SI-enheder alle steder. Vi regner kun på størrelsen af både flux og

spændingsforskel, så vi kan nu konkludere, at den maksimale inducerede spændingsforskel i bundrammen

har størrelsen 𝑈=31 𝑚𝑉.

(𝐼):

At der er tale om en rimelig antagelse skyldes, at afstanden ikke varieres særlig meget. Herunder vises udregningen af den korrekte gennemsnitsværdi, som kun afviger meget lidt fra værdien i midten af drivhuset - ved angivelse af korrekt antal betydende cifre er der ingen forskel på de to værdier.

Nedenstående redegørelse kræves ikke i en eksamen:

Afstanden varieres i intervallet fra 𝑎 til 𝑎 :
                             1    2

𝑎_{1} =10 𝑚 − 𝑏 =10 𝑚 − · 2,17 𝑚 = 8,915 · 𝑚

1 1

2 2

𝑎_{2} =10 𝑚 + 𝑏 =10 𝑚 + · 2,17 𝑚 = 11,085 · 𝑚

1 1

2 2

Vi kan nu finde en gennemsnitsværdi for den maksimale magnetiske fluxtæthed ved at integrere 𝐵(𝑎) mht.

𝑎 med grænserne 𝑎_{1} og 𝑎_{2} og dividere resultatet med Δ𝑎 = 𝑎_{2} − 𝑎_{1} =𝑏 =2,17 𝑚. Vi anvender igen den

maksimale strømstyrke for at finde den maksimale magnetiske fluxtæthed. Det vil sige, at:

𝐵_{𝑔𝑛𝑠} =

∫_{𝑎_{1}}^{𝑎_{2}} ( ·) 𝑑𝑎

𝜇_{0} 𝐼
2 · 𝜋 𝑎

𝑏

Side 17

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – Forår 2011

17

Vi anvender underforståede SI-enheder og indsætter så kendte størrelser:

𝐵_{𝑔𝑛𝑠} = ≈1,420213 · 10^{−5}

∫_{8,915}^{11,085} ( ·)𝑑𝑎

1,257 · 10^{−6} 707,1068

2𝜋 𝑎

2,17

Den gennemsnitlige, maksimale fluxtæthed i bundrammen er på ca. 14 𝜇𝑇.