HTX Fysik A 2010 23. august - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

1

HTX Fysik A

23. august 2010 htx102-FYS-A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive en kommentar om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

OBS: Dette opgavesæt er fra før 2011. Siden da er der sket ændringer i læreplanen, så eleverne fx skal tage større hensyn til antallet af betydende cifre i facit ud fra almindelige konventioner. I denne besvarelse søger vi generelt at overholde konventionerne, men der kan være tilfælde, hvor opgaven er udformet, så det giver bedre mening at give et skønsmæssigt rimeligt antal betydende cifre.

Opgave 1 a)

Vi anvender, at:

𝑃 =

𝑈^{2}

𝑅

Hvor:

𝑈 = 400 𝑉

𝑃 = 3,6 𝑘𝑊 = 3,6 · 10^{3} 𝑊

Så:

3,6 · 10^{3} 𝑊 =

( 400 𝑉)^{2}

𝑅

⇕ Ligningen løses for R vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑅 = 44,44444 ·

𝑉^{2}

𝑊

≈ 44 Ω

Det vil sige, at resistansen af varmelegemet er ca. 44 Ω.

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

2 b)

Sammenhængen mellem maksimalværdien og effektivværdien af strømmen er som følger:

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = √ 2 · 𝐼_{𝑒𝑓𝑓}

Den oplyste spænding er effektivværdien (𝑈 = 𝑈_{𝑒𝑓𝑓}), så vi kan anvende, at:

𝑅 =

𝑈_{𝑒𝑓𝑓}
𝐼_{𝑒𝑓𝑓}

⇕

𝐼_{𝑒𝑓𝑓} =

𝑈_{𝑒𝑓𝑓}

𝑅

Det vil sige:

𝐼_{𝑚𝑎𝑥} = √ 2 ·

𝑈_{𝑒𝑓𝑓}

𝑅

= √ 2 ·

400 𝑉

44,44444 Ω

≈ 12,72792 · 𝛺^{−1} · 𝑉

≈ 13 𝐴

Maksimalværdien af strømmen i vandvarmeren er således på 13 𝐴.

c)

Vi har nu, at:

𝑈 = 230 𝑉

Effekten kan igen bestemmes som:

𝑃 =

𝑈^{2}

𝑅

=

( 230 𝑉)^{2}

44,44444 Ω

≈ 1190,25 · 𝛺^{−1} · 𝑉^{2}

≈ 1,2 𝑘𝑊

Effekten nu, hvor vandvarmeren er koblet til 230 V, er således på 1,2 𝑘𝑊.

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

3

Opgave 2 a)

Kinetisk energi kan bestemmes som:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 𝑚 · 𝑣^{2}

1

2

Projektilet har en masse på 𝑚 = 14000 𝑘𝑔 og skal opnå en fart på mindst 𝑣 = 11000^{𝑚}_{𝑠}. Den kinetiske

energi kan da bestemmes som:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} = · 14000 𝑘𝑔 · (11000)

1 𝑚^{2}

2 𝑠

= 8,47 · 10^{11} · 𝑘𝑔 · 𝑚^{2} · 𝑠^{−2}
= 8,47 · 10^{11} 𝐽

                                                  11
Projektilet skal således tilføres en kinetisk energi på 8,47 · 10 𝐽 under affyringen.

b)

Størrelsens af projektilets acceleration kan bestemmes vha. Newtons anden lov:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑚 · 𝑎

Ved så stort et tryk under projektilet, kan vi se bort fra både atmosfærens tryk over projektilet og tyngdekraften på projektilet (𝐼). Størrelsen af den resulterende kraft er så lig med størrelsen af kraften fra trykket under projektilet.

Tryk er givet ved kraft pr. areal, så:

𝑝 =

𝐹_{𝑟𝑒𝑠}

𝐴

⇕

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑝 · 𝐴

Vi antager, at projektilets bund er cirkulær, så:

𝐴 = 𝜋 · 𝑟^{2} = 𝜋 ·()

𝑑^{2}

2

Så:

𝑝 · 𝜋 · () = 𝑚 · 𝑎

𝑑^{2}

2

Hvor:

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

4

𝑚 = 14000 𝑘𝑔

𝑝 = 4000 𝑏𝑎𝑟
= 4000 · 10^{5} 𝑃𝑎
= 4,000 · 10^{8} · 𝑃𝑎

𝑑 = 2,75 𝑚

Vi får så:

4,000 · 10^{8} 𝑃𝑎 · 𝜋 · () = 14000 𝑘𝑔 · 𝑎

2,75𝑚^{2}

2

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 169702,1 · 𝑃𝑎 · 𝑘𝑔^{−1} · 𝑚^{2}
≈ 1,70 · 10^{5}

𝑚

𝑠^{2}

                                                                            5    2
Projektilets acceleration umiddelbart efter antændelsen af skydebomulden er på ca. 1,70 · 10 𝑚/𝑠 .

(𝐼):

Hvis du skulle være i tvivl om dette, så bemærk størrelsen af projektilets acceleration i forhold til, at

tyngdeaccelerationen er 𝑔 = 9,82^{𝑚}_{𝑠^{2}}.

c)

Vi antager, at al skydebomulden omdannes til gas øjeblikkeligt, så der er en faktisk tilstand, hvor 55 m af

røret er gasfyldt mens 𝑝 = 4000 𝑏𝑎𝑟 og 𝑇 = 2400 ℃

Vi antager, at hele affyringsprocessen foregår så hurtigt, at der ikke sker varmeudveksling med omgivelserne. Det vil sige, at processen er adiabatisk, så:

𝑝_{1} · 𝑉_{1}^{𝛾} = 𝑝_{2} · 𝑉_{2}^{𝛾}

        𝑐
         𝑝
Hvor 𝛾 =
        𝑐
         𝑉

Vi kan så isolere 𝑝_{2}:

𝑝_{2} = 𝑝_{1} · ()

𝑉_{1}^{𝛾}
𝑉_{2}

Vi lader 𝐴 angive rørets tværsnitsareal og 𝑙 angive den gasfyldte rørlængde. Det vil sige, at 𝑉 = 𝐴 · 𝑙, så:

𝑉_{1} 𝐴 · 𝑙_{1} 𝑙_{1}
𝑉_{2} 𝐴 · 𝑙_{2} 𝑙_{2}

= =

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

5

Ved substitution får vi så:

𝑝_{2} = 𝑝_{1} · ()

𝑙_{1}^{𝛾}
𝑙_{2}

Vi har, at:

𝑝_{1} = 4000 𝑏𝑎𝑟

𝑙_{1} = 55 𝑚

𝑙_{2} = 275 𝑚

𝛾 = 1,35

Så:

𝑝_{2} = 4000 𝑏𝑎𝑟 · ()

55 𝑚^{1,35}

275 𝑚

≈ 455,4603 · 𝑏𝑎𝑟

Vi antager, at røret er tæt, så der ikke slipper gas ud. Stofmængden holdes således konstant.

Der må så gælde, at:

𝑛_{1} = 𝑛_{2}

Vi isolerer stofmængden af idealgasligningen:

𝑝 · 𝑉 = 𝑛 · 𝑅 · 𝑇

⇕

𝑛 =

𝑝· 𝑉
𝑅 · 𝑇

Det vil sige:

𝑝_{1} · 𝑉_{1} 𝑝_{2} · 𝑉_{2}
𝑅 · 𝑇_{1} 𝑅 · 𝑇_{2}

=

Vi dividerer med 𝐴 og 𝑅 på begge sider, mens vi husker, at 𝑉 = 𝐴 · 𝑙:

𝑝_{1} · 𝑙_{1} 𝑝_{2} · 𝑙_{2}
𝑇_{1} 𝑇_{2}

=

Hvor:

𝑇_{1} = ( 2400 + 273) 𝐾 = 2673 · 𝐾

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

6

Så:

4000 𝑏𝑎𝑟 · 55 𝑚 455,4603 𝑏𝑎𝑟 · 275 𝑚
2673 𝐾 𝑇_{2}

=

⇕ Ligningen løses for T_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑇_{2} = 1521,807 · 𝐾
≈ ( 1521 − 273) ℃
= 1248 · ℃

Vi konkluderer så, at trykket i situationen på figur 2.2 er på 455 𝑏𝑎𝑟, mens temperaturen er på 1248℃.

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

7

Opgave 3 a)

1) En del af varmen går til at opvarme varmelegemet, tøjet og tørretumbleren selv. Varmelegemet kan ikke levere varme til fordampning af vandet, før varmelegemet selv har en temperatur over vandets kogepunkt.

2) En del af varmen går til at opvarme vandet op til kogepunktet, inden det kan fordampes.

3) En del af varmen går tabt til omgivelserne omkring tørretumbleren.

b)

Effekten af varmelegemet kan beregnes som:

𝑃 =

Δ𝐸

Δ𝑡

Den effekt, der går til fordampning af vandet, er en smule mindre:

𝑃_{𝑓} = 0,80 · 𝑃

Denne effekt kan desuden bestemmes som:

𝑃_{𝑓} =

𝑄_{𝑓}

𝛥𝑡

Det vil sige:

0,80 · 𝑃 =

𝑄_{𝑓}

𝛥𝑡

Vi antager, at hele fordampningen af vandet sker ved 100℃. Fordampningsvarmen kan da bestemmes som:

𝑄_{𝑓} = 𝐿_{𝑓} · 𝑚

Hvor 𝐿_{𝑓} er den specifikke fordampningsvarme for vand ved 100℃.

Det vil sige:

0,80 · 𝑃 =

𝐿_{𝑓} · 𝑚

Δ𝑡

Hvor:

𝑚 = 1,5 𝑘𝑔

𝑃 = 1200 𝑊

Den specifikke fordampningsvarme for vand ved 100 ℃ findes i databogen:

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

8

𝐿_{𝑓} = 2257 = 2,257 · 10^{6}

𝑘𝐽 𝐽 𝑘𝑔 𝑘𝑔

Vi får så:

0,80 · 1200 𝑊 =

1,5 𝑘𝑔 · 2,257 · 10^{6}

𝐽 𝑘𝑔

Δ𝑡

⇕ Ligningen løses for Δt vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝛥𝑡 = 3526,563 · 𝐽 · 𝑊^{−1}
= 3526,563 𝑠
= 3526,563 𝑠 · ·

1𝑚𝑖𝑛 1 ℎ

60𝑠 60 𝑚𝑖𝑛

≈ 0,9796008 · ℎ

≈ 1,0 ℎ

Det tager ca. 1,0 time for tørretumbleren at tørre tøjet.

c)

Den maksimale effekt, som en ideelt virkende varmepumpe kan afgive til indgangsluften, er lig med effektforbruget ganget med den teoretisk bedste effektfaktor for en varmepumpe:

𝑃_{𝑚𝑎𝑥} = 𝑃_{𝑏𝑟𝑢𝑔𝑡} · 𝜀

Hvor:

𝜀 =

𝑇_{𝐻}
𝑇_{𝐻} − 𝑇_{𝐿}

Så:

𝑃_{𝑚𝑎𝑥} = 𝑃_{𝑏𝑟𝑢𝑔𝑡} ·

𝑇_{𝐻}
𝑇_{𝐻} − 𝑇_{𝐿}

Hvor:

𝑃_{𝑏𝑟𝑢𝑔𝑡} = 300 𝑊

𝑇_{𝐻} = ( 80 + 273) 𝐾 = 353 · 𝐾

𝑇_{𝐿} = ( 30 + 273) 𝐾 = 303 · 𝐾

Det vil sige:

𝑃_{𝑚𝑎𝑥} = 300 𝑊 ·

353 𝐾

353 𝐾− 303 𝐾
= 2118 𝑊

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

9

Den maksimale effekt, som en ideelt virkende varmepumpe kan afgive til indgangsluften, er således på ca.

2,12 𝑘𝑊.

d)

Den effekt, hvormed der tilføres varme, er på 1200 W, hvilket er det samme som i b). Tiden, det tager at tørre tøjet, må således også være den samme som i b). Den elektriske energi kan bestemmes vha. den tilførte elektriske effekt og den tid, det tager at tørre tøjet:

𝑃_{𝑒𝑙} =

𝐸_{𝑒𝑙}

Δ𝑡

Hvor:

𝑃_{𝑒𝑙} = 𝑃_{𝑘𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟} + 𝑃_{𝑣𝑎𝑟𝑚𝑒𝑙𝑒𝑔𝑒𝑚𝑒} + 𝑃_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟𝑒𝑟}
= 300 𝑊 + 400 𝑊 + 140 𝑊
= 840 𝑊

Δ𝑡 = 3526,563 𝑠

Så:

840 𝑊 =

𝐸_{𝑒𝑙}

3526,563 𝑠

⇕ Ligningen løses for E_el vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐸_{𝑒𝑙} = 2962313 · 𝑊 · 𝑠

≈ 3,0 𝑀𝐽

Der forbruges altså ca. 3,0 MJ elektrisk energi til tørring af tøjet.

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

10

Opgave 4 a)

Newtons 3. lov er loven om aktion og reaktion. Når bilens baghjul påvirker asfalten med en bagudrettet kraft, vil asfalten påvirke bilens baghjul med en lige så stor og fremadrettet (dvs. modsatrettet) kraft. Det er denne fremadrettede kraft, som driver bilen fremad.

b)

Den maksimale acceleration, som bilen kan påvirkes af, er den acceleration, som svarer til en hjulkraft på størrelse med den statiske friktionskraft. Bliver hjulkraften kraft større end dette, vil der opstå dynamisk gnidning mellem bil og hjul (bilen vil lave hjulspin). Ved maksimal acceleration gælder der altså, at:

𝐹_{ℎ𝑗𝑢𝑙} = 𝐹_{𝑓}

Vi ser bort fra luftmodstand, så:

𝐹_{ℎ𝑗𝑢𝑙} = 𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑚· 𝑎

Vi antager, at der er tale om en flad, vandret vej, så:

𝐹_{𝑓} = 𝐹_{𝑁} · 𝜇

Dvs.:

𝑚 · 𝑎 = 𝐹_{𝑁} · 𝜇

Hvor:

𝑚 = 1495 𝑘𝑔

𝐹_{𝑁} = 7100 𝑁

𝜇 = 0,90

Så:

1495 𝑘𝑔 · 𝑎 = 7100 𝑁 · 0,90

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 4,274247 · 𝑁 · 𝑘𝑔^{−1}

≈ 4,3 𝑚

𝑠^{2}

Den maksimale acceleration, som bilen kan påvirkes af, er på 4,3_{𝑠^{2}}^{𝑚}.

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

11 c)

Der er følgende sammenhæng mellem effekten 𝑃, kraftmomentet 𝑀 og vinkelhastigheden 𝜔:

𝑃 = 𝑀 · 𝜔

Ved 2000 omdrejninger pr. minut finder vi i regnearket, at motorens kraftmoment er på 177 𝑁 · 𝑚. Det vil

sige, at:

𝑀 = 177 𝑁 ·𝑚

Én omdrejning svarer til 2𝜋 radianer, så:

𝜔 = 2000 · 2𝜋 ·

1 1 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠

≈ 209,4395 · 𝑠^{−1}

Det vil sige:

𝑃 = 177 𝑁 · 𝑚 · 209,4395 𝑠^{−1}
≈ 37070,79 · 𝑁 · 𝑚 · 𝑠^{−1}

≈ 37 𝑘𝑊

Motorens effekt ved 2000 omdr./min er ca. 37 kW.

d)

Vi laver en kolonne i Excel, hvor vinkelhastigheden udregnes i 𝑠^{−1} (vinkelenheden er underforstået

radianer), samt en kolonne hvor vi udregner effekten i 𝑘𝑊. Disse beregninger foretages som vist i c) (𝐼).

Derefter laves en graf over effekten som funktion af antal omdrejninger pr. minut:

0

20

40

60

80

100

120

140

0 7000

Motoreffekt / kW

Omdrejningstal / (omdr./min)

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

12

(𝐼):

Her ses et udsnit af de anvendte formler i Excel: e)

                                                                             𝜔
                                                                              𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟
For at kunne besvare spørgsmålet skal vi bestemme forholdet mellem de to vinkelhastigheder, .
                                                                              𝜔
                                                                               ℎ𝑗𝑢𝑙

Farten i periferien af alle tandhjul er den samme, så:

𝑣_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} = 𝑣_{ℎ𝑗𝑢𝑙}

Vi anvender nu, at:

𝑣 = 𝜔· 𝑟

Så:

𝜔_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} · 𝑟_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} = 𝜔_{ℎ𝑗𝑢𝑙} · 𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙}

⇕

𝜔_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙}
𝜔_{ℎ𝑗𝑢𝑙} 𝑟_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟}

= (1)

Motorkraften overføres via tandhjul til hjulene, som bringes i omdrejninger (vi ser bort fra friktionskræfter).

Det vil sige, at:

𝐹_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} = 𝐹_{ℎ𝑗𝑢𝑙}

I tandhjul overføres kræfterne altid vinkelret på radius, så:

𝑀 = 𝑟· 𝐹

⇕

𝐹 =

𝑀 𝑟

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 23. august 2010

13

Det vil sige:

𝑀_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 𝑀_{ℎ𝑗𝑢𝑙}
𝑟_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙}

=

⇕

𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙} 𝑀_{ℎ𝑗𝑢𝑙}
𝑟_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 𝑀_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟}

= (2)

Vi anvender (1) og ( 2) og får så:

𝜔_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 𝑀_{ℎ𝑗𝑢𝑙}
𝜔_{ℎ𝑗𝑢𝑙} 𝑀_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟}

=

Ved maksimal acceleration er vi desuden i samme situation som i b), hvor:

𝐹_{ℎ𝑗𝑢𝑙} = 𝐹_{𝑓}
= 𝐹_{𝑁} · 𝜇

Kraftmomentet i hjulet bliver så:

𝑀_{ℎ𝑗𝑢𝑙} = 𝐹_{𝑁} · 𝜇 · 𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙}

Det vil sige:

𝜔_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 𝐹_{𝑁} · 𝜇· 𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙}
𝜔_{ℎ𝑗𝑢𝑙} 𝑀_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟}

=

Hvor:

𝑟_{ℎ𝑗𝑢𝑙} = 0,32 𝑚

Ved maksimal acceleration er der maksimalt kraftmoment i motoren. Vi finder det maksimale kraftmoment i de opgivne data:

𝑀_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} = 242 𝑁 · 𝑚

Det vil sige:

𝜔_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 7100 𝑁 · 0,90 · 0,32 𝑚
𝜔_{ℎ𝑗𝑢𝑙} 242 𝑁 · 𝑚

=

≈ 8,449587

≈ 8,4

Hver gang hjulene drejer én omgang, drejer motoren altså ca. 8,4 omgange.