HTX Fysik A 2009 21. august - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

1

HTX Fysik A

21. august 2009 htx092-FYA

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive en kommentar om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

OBS: Dette opgavesæt er fra før 2011. Siden da er der sket ændringer i læreplanen, så eleverne fx skal tage større hensyn til antallet af betydende cifre i facit ud fra almindelige konventioner. I denne besvarelse søger vi generelt at overholde konventionerne, men der kan være tilfælde, hvor opgaven er udformet, så det giver bedre mening at give et skønsmæssigt rimeligt antal betydende cifre.

Opgave 1 a)

Vi anvender gitterligningen:

𝑛 · 𝜆 = 𝑑 · sin ( 𝜃_{𝑛})

Hvor:

𝑛 = 1

𝜆 = 530 𝑛𝑚 = 5,30 · 10^{−7} 𝑚

𝜃_{1} = 15,0°

Så:

1 · 5,30 · 10^{−7} 𝑚 = 𝑑 · sin ( 15,0)

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 = 2,0477628 · 10^{−6} · 𝑚

Gitterkonstanten er 𝑑 = 2,05 · 10^{−6} 𝑚.

b)

Refleksionsvinklerne ligger mellem 0° og 90° (idet vi kun benytter 1 af de to afbøjninger, som hører til hver orden):

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

2

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0 ≤ 𝜃_{𝑛} ≤ 90

Antallet af afbøjningsordner svarer til antallet af løsninger til gitterligningen, hvor 𝑛 ∈ ℕ. Det vil sige, at 𝑛 kan antage heltallige værdier, som er større end eller lig med 0.

Vi tegner en graf over 𝑛 som funktion af 𝜃_{𝑛}. Vi tæller så antallet af punkter, hvor 𝑛 ∈ ℕ. Vi finder en
forskrift ved at isolere 𝑛 fra gitterligningen, idet gitterkonstanten nu er 𝑑 = 1𝜇𝑚 = 1 · 10^{−6} 𝑚. Vi antager,

at resten af opstillingen er uændret.

𝑛 · 5,30 · 10^{−7} 𝑚 = 1 · 10^{−6} · 𝑚 · sin ( 𝜃_{𝑛})

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛 = 1,8867925 · sin ( 𝜃_{𝑛})

Grafen tegnes:

De eneste løsninger er 𝑛 = 0 og 𝑛 = 1.

Der kan altså observeres 2 ordner (hvor nulte orden medregnes) fra en sommerfuglevinge med gitterkonstanten 1 𝜇𝑚.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

3

Opgave 2 a)

Grafen flader ud, da temperaturen bliver højere end omgivelsernes temperatur, hvorved dunken vil begynde at afgive varme til omgivelserne. Jf. Newtons afkølingslov vil denne varmeafgivelse gå hurtigere, når temperaturforskellen mellem dunk og omgivelser stiger.

b)

Vi regner blot på ændringen i energi, da vi ikke ved, hvor meget varme, vandet afgiver undervejs.

Vi anvender så, at:

Δ𝐸 = 𝑚 · 𝑐 · Δ𝑇

Hvor:

𝑚 = 𝜌 · 𝑉 = 1,0 · 20 𝐿 = 20 · 𝑘𝑔

𝑘𝑔

𝐿

Vi aflæser temperaturstigningen af figur 2.2:

Δ𝑇 = ( 42,5 − 13,5) ℃
= 29 ℃

Vi anvender den specifikke varme kapacitet for vand ved stuetemperatur og antager, at den kan opfattes som temperaturuafhængig:

𝑐 = 4,18

𝑘𝐽

𝑘𝑔 · ℃

Så:

Δ𝐸 = 20 𝑘𝑔 · 4,18 · 29℃

𝑘𝐽

𝑘𝑔 · ℃
≈ 2424,4 · 𝑘𝐽

Netto tilføres der altså ca. 2,4 𝑀𝐽 til vandet i løbet af 3 timers opvarmning.

c)

Den gennemsnitseffekt, der skal tilføres kan beregnes som:

𝑃 =

Δ𝐸

Δ𝑡

Vi anvender samme formel som før, så:

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

4

𝑃 =

𝑚 · 𝑐 · Δ𝑇

Δ𝑡

Hvor:

Δ𝑡 = 1 ℎ
= 60 𝑚𝑖𝑛 · 60

𝑠 𝑚𝑖𝑛

= 3600 · 𝑠

Vi aflæser temperaturstigningen i løbet af første time:

Δ𝑇 = ( 30 − 13,5) ℃
= 16,5 ℃

Så:

𝑃 =

20 𝑘𝑔 · 4,18 · 16,5℃

𝑘𝐽

𝑘𝑔 · ℃

3600 𝑠

≈ 0,38316667 · 𝑘𝐽 · 𝑠^{−1}

≈ 383 𝑊

Den gennemsnitlige nettoeffekt, der skal tilføres er på ca. 383 W. Den effekt, som tilføres af sollyset kan bestemmes som:

𝑃 = 𝐼 · 𝐴

Hvor:

𝐼 = 1000

𝑊

𝑚^{2}
𝐴 = 0,4 𝑚 · 0,5 𝑚 = 0,2 · 𝑚^{2}

Så:

𝑃 = 1000 · 0,2 𝑚^{2} = 200 𝑊

𝑊

𝑚^{2}

Solen i Danmark tilfører altså langt fra en stor nok effekt, til at opvarmningen kan gå så hurtigt.

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

5

Opgave 3 a)

Tyngdekraftens moment om 𝐵 kan beregnes som:

𝑀 = 𝐹_{𝑡} · 𝑟 · sin ( 𝜃)
= 𝐹_{𝑡} · 𝑎_{𝑡}
= 𝑚 · 𝑔 · 𝑎_{𝑡}

Hvor 𝑎_{𝑡} er tyngdekraftens arm.

Vi har, at:

𝑎 = 70 𝑐𝑚 = 0,7 𝑚

𝑚 = 290 𝑘𝑔

𝑔 = 9,82 = 9,82

𝑚 𝑁

𝑠^{2} 𝑘𝑔

Så:

𝑀 = 290 𝑘𝑔 · 9,82 · 0,7𝑚

𝑁 𝑘𝑔

= 1993,46 · 𝑁 · 𝑚

Tyngdekraftens moment om 𝐵 har en størrelse på ca. 2,0 · 10^{3} 𝑁 · 𝑚.

b)

Motorcyklen roterer ikke, så det samlede moment er lig med 0. Størrelsen af momentet fra 𝐹_{𝐴} om 𝐵 være

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ lige så stort som (og modsatrettet) som momentet om 𝐵 fra tyngdekraften:

𝑀_{𝐴} = 𝑀_{𝑡}

Dvs.:

𝐹_{𝐴} · 𝑎_{𝐴} = 𝑀_{𝑡}

Hvor:

𝑎_{𝐴} = 1,54 𝑚 − 0,7 𝑚 ≈ 0,84 · 𝑚

Så:

𝐹_{𝐴} · 0,84 𝑚 = 1993,46 𝑁 · 𝑚

⇕ Ligningen løses for F_A vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹_{𝐴} = 2373,1667 𝑁

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

6

Da motorcyklen er i hvile, må der gælde i lodret retning, at kræfterne i 𝐴 og 𝐵 tilsammen er lige så store

som tyngdekraften, da 𝐹_{𝐴} og 𝐹_{𝐵} er modsatrettede i forhold til 𝐹_{𝑡}.

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐹_{𝐴} + 𝐹_{𝐵} = 𝐹_{𝑡}

Det vil sige:

𝐹_{𝐴} + 𝐹_{𝐵} = 𝑚 · 𝑔

Så:

2373,1667 · 𝑁 + 𝐹_{𝐵} = 290 𝑘𝑔 · 9,82

𝑁 𝑘𝑔

⇕ Ligningen løses for F_B vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹_{𝐵} = 474,6333 · 𝑁

Det vil sige, at størrelsen at størrelsen af kontaktkræfterne mellem vejen og dækkene i punkterne 𝐴 og 𝐵 er ca.:

𝐹_{𝐴} = 2373 𝑁

𝐹_{𝐵} = 475 𝑁

c)

Vi ser bort fra luftmodstand og rullemodstand samt det faktum, at hjulene har en masse. Vi antager, at motorcyklen alene er baghjulstrukket, og vi antager, at vejgrebet (den statiske gnidningskoefficient) er så godt, at hjulene ikke skrider selv ved den høje acceleration der kræves for at få forhjulet til at miste kontakten med vejbanen.

I det øjeblik, hvor forhjulet akkurat ikke letter, vil der gælde, at 𝐹 = 0. Motorcyklen som helhed vil dog
                                                      𝐴

aldrig kunne lette pga. en vandret acceleration, så der vil stadig gælde, at:

𝐹_{𝐴} + 𝐹_{𝐵} = 𝐹_{𝑡}

Hvilket nu kan forkortes til:

𝐹_{𝐵} = 𝐹_{𝑡}

Vi skifter nu omdrejningspunktet til at være omkring massemidtpunktet, 𝐺. Vi skitserer situationen med de kræfter, som bidrager med moment omkring 𝐺:

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

7

Da forhjulet akkurat ikke løfter sig, må der gælde, at:

𝑀_{𝐵} = 𝑀_{𝑎𝑐𝑐}

Det vil sige (da 𝐹_{𝐵} = 𝐹_{𝑡}):

𝐹_{𝑡} · 𝑎_{𝐵} = 𝐹_{𝑎𝑐𝑐} · 𝑎_{𝑎𝑐𝑐}

Den kraft, der accelererer motorcyklen er den resulterende kraft, så:

𝐹_{𝑎𝑐𝑐} = 𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑚 · 𝑎

Her angiver 𝑎 en acceleration og ikke en arm.

Vi får så:

𝑚 · 𝑔 · 𝑎_{𝐵} = 𝑚 · 𝑎 · 𝑎_{𝑎𝑐𝑐}

⇕ Ligningen løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎 = 𝑔 ·

𝑎_{𝐵}
𝑎_{𝑎𝑐𝑐}

Hvor:

𝑎_{𝐵} = 70 𝑐𝑚

𝑎_{𝑎𝑐𝑐} = 50 𝑐𝑚

Så:

𝑎 = 9,82 ·

𝑚 70 𝑐𝑚

𝑠^{2} 50 𝑐𝑚
= 13,748 ·

𝑚

𝑠^{2}

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

8

Den maksimale acceleration, motorcyklen kan have, uden at forhjulet mister kontakten med vejbanen, er

således på ca. 13,7^{𝑚}_{𝑠^{2}}.

d)

Luftmodstanden virker på hele det tværsnitsareal, som er vinkelret på motorcyklens bevægelsesretning.

Afhængig af udformningen af dette tværsnitsareal, vil luftmodstanden gennemsnitligt set angribe over eller under massemidtpunktet.

Angribes der gennemsnitligt set over massemidtpunktet, vil luftmodstanden give et kraftmoment om 𝐺,

hvor rotationen er mod uret set fra figur 3.1. Dette vil medføre, at 𝐹_{𝐴} mindskes, mens 𝐹_{𝐵} øges, så længe

motorcyklens forhjul ikke slipper overfladen, da dette modvirker kraftmomentet fra luftmodstanden (jf.

Newtons 3. lov for rotation).

Ved stor nok fart og dermed luftmodstand, vil motorcyklen tippe bagover. Denne situation er nok den mest sandsynlige for en person, der sidder på motorcyklen som på figur 3.1.

Angribes der gennemsnitligt set under massemidtpunktet, vil man med samme argumentation nå frem til,

at 𝐹_{𝐴} øges, mens 𝐹_{𝐵} mindskes. Ved stor nok fart og dermed luftmodstand, vil motorcyklen tippe forover.

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

9

Opgave 4 a)

Vi anvender, at:

𝑃 =

𝑈^{2}

𝑅

Hvor:

𝑃 = 55 𝑊

𝑈 = 12 𝑉

Så:

55 𝑊 =

( 12 𝑉)^{2}

𝑅

⇕ Ligningen løses for R vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑅 = 2,6181818 · 𝑉^{2} · 𝑊^{−1}

≈ 2,6 Ω b)

Vi har, at:

𝐼 = 4,19 𝐴

𝑈 = 10,8 𝑉

Effekten kan da bestemmes som:

𝑃 = 𝑈 · 𝐼
= 10,8 𝑉 · 4,19 𝐴
≈ 45,252 · 𝐴 · 𝑉

≈ 45,3 𝑊

Resistansen kan bestemmes som:

𝑅 =

𝑈

𝐼

=

10,8 𝑉

4,19 𝐴

≈ 2,5775656 · 𝐴^{−1} · 𝑉
= 2,58 Ω

Vi konkluderer, at effektforbruget nu er på 45,3 𝑊, mens resistansen er på 2,58 Ω.

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

10

Vi ser, at effektforbruget nu er ca. 10 W lavere end før. Ved et lavere effektforbrug afsættes der mindre varme i glødetråden, hvorved temperaturen ikke bliver lige så høj. En lavere temperatur medfører en lavere resistans i glødetråden.

c)

I kredsløb 𝐴 vil resistoren og pæren sidde i seriekobling, når kontakten ikke er sluttet. Her vil spændingsfaldet over pæren være mindre end 12 V. Når kontakten sluttes, vil strømmen dirigeres uden om resistoren, så spændingsfaldet over pæren vil være 12 V.

I kredsløb 𝐵 vil der ikke løbe strøm gennem resistoren, når kontakten ikke er sluttet. Her vil spændingsfaldet over pæren være 12 V. Når kontakten sluttes, vil resistoren og pæren være parallelkoblede, så spændingsfaldet over pæren ændres ikke ved, at kontakten sluttes. Her vil spændingsfaldet over pæren altså også være 12 V.

Da vi ønsker at variere spændingsfaldet over pæren med en spændingsforsyning, der leverer en konstant spændingsforskel, kan vi altså kun anvende kredsløb 𝐴.

Når kontakten ikke er sluttet i kredsløb 𝐴, har vi, at:

𝑈 = ( 𝑅 + 𝑅_{𝑃}) · 𝐼

Hvor 𝑅_{𝑃} angiver pærens resistans.

Spændingsforsyningen holdes på det konstante niveau 𝑈 = 12 𝑉.

Vi ønsker at 𝑈_{𝑃} = 10,8 𝑉.

Vi ved så fra b), at strømmen gennem pæren er på:

𝐼 = 4,19 𝐴

samt at resistansen af pæren er

𝑅_{𝑃} = 2,58 Ω = 2,58 A^{−1} · 𝑉

Strømmen gennem pæren er lig med strømmen i hele kredsløbet, da modstandene er seriekoblede.

Vi får så:

12 𝑉 = ( 𝑅 + 2,5775656 · 𝐴^{−1} · 𝑉) · 4,19 𝐴

⇕ Ligningen løses for R vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑅 = 0,28639621 · 𝐴^{−1} · 𝑉

≈ 0,29 Ω

Det vil sige, at 𝑅 = 0,29 Ω, når spændingsfaldet over pæren skal være 10,8 V.

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

11 d)

Resistansen af en Wolframtråd er temperaturafhængig på følgende måde:

𝑅 = 𝑅_{0} · ( 1 + 𝛼_{0} · 𝑡)

Hvor:

𝑅 =

𝑈

𝐼

Så:

𝑈

𝐼

= 𝑅_{0} · (1 + 𝛼_{0} · 𝑡)

Hvor:

𝑅_{0} = 0,2 Ω = 0,2

V

A

𝛼_{0} = 0,0048 ℃^{−1}

Ved 𝑈 = 14,4 𝑉 finder vi i datasættet, at 𝐼 = 4,9 𝐴. Vi får så:

14,4 𝑉 V

4,9 𝐴 A

= 0,2 · ( 1 + 0,0048 ℃^{−1} · 𝑡)

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡 = 2852,8912 · ℃

Glødetrådens temperatur er altså omtrent 2850℃ ved et spændingsfald på 14,4 V.

e)

Pærens effektforbrug kan bestemmes som:

𝑃 = 𝑈 · 𝐼

Vi viser et eksempel, hvor 𝑈 = 0,1 𝑉 og 𝐼 = 0,46 𝐴

𝑃 = 0,1 𝑉 · 0,46 𝐴
≈ 0,046 · 𝐴 · 𝑉
= 0,046 𝑊

Temperaturen kan udregnes vha.:

𝑈

𝐼

= 𝑅_{0} · (1 + 𝛼_{0} · 𝑡)

⇕

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009

12

𝑡 = −

𝑈 1

𝐼 · 𝑅_{0} · 𝛼_{0} 𝛼_{0}

Vi udregner temperaturen for samme eksempel:

𝑡 = −

0,1 𝑉 1

0,46 𝐴 · 0,2 · 0,0048℃^{−1}

𝑉

𝐴

0,0048℃^{−1}
≈ 18,115942 · ℃

Med disse formler får vi altså effekten i Watt og temperaturen i grader celsius. Vi anvender formlerne i

Excel (𝐼) til at beregne effekten og temperaturen for alle par af 𝑈 og 𝐼. Vi undlader at anvende 𝑈 = 0 og
𝐼 = 0, da vi ved dette par skal dividere med 0. Vi tegner så en graf, der viser glødetrådens temperatur som

funktion af pærens effektforbrug:

(𝐼):

Herunder vises et udsnit af de anvendte formler samt de opnåede resultater:

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0

Temperatur/°C

Effekt/W

(P,t)-diagram

Side 13

studienet.dk
Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 21. august 2009
     C                             D                               E       F
1    Spændingsfald over pære / V   Strømstyrke gennem pære / A     P/W     t/°C
2    0                             0                               0       #DIVISION/0!
3    0,1                           0,46                            0,046   18,11594203
4    0,2                           0,83                            0,166   42,67068273
5    0,3                           1,05                            0,315   89,28571429
6    0,4                           1,01                            0,404   204,2079208
7    0,5                           1,14                            0,57    248,5380117
8    0,6                           1,18                            0,708   321,3276836
9    0,7                           1,22                            0,854   389,3442623
13