STX Fysik A 2010 13. august - Vejledende besvarelse

Side 1

Vejledende besvarelse fra Studiekompasset.dk

Fysik A

STX

Fredag den 13. august 2010

stx102-FYS/A-

Side 2

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

2

Opgave 1 – Hjertestarter a)

Resistansen R kan vi bestemme med Ohms lov:

𝑈=𝑅 ∙ 𝐼

⇕

𝑅=

𝑈

𝐼

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Spændingsfaldet over de to elektroder: 𝑈=1,75 ∙ 10^{3} V
• Strømstyrken gennem de to elektroder: 𝐼=35 A

𝑅=

1,75 ∙ 10^{3} V

35 A

=50 Ω

Resistansen mellem de to elektroder er 50 Ω.

b)

Ved at integrere funktionen for effekt i forhold til tiden, kan vi bestemme energiændringen ΔE som er lig

med den tilførte energi E_{tilført} i perioden. Det gør vi med følgende bestemte integral:

𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} =Δ𝐸=∫ 𝑃 ( 𝑡) 𝑑𝑡 =∫ 61,3 ∙ 10^{3} 𝑊∙ 𝑒^{−180 s^{−1}} 𝑑𝑡

𝑡_{2} 𝑡_{2}

𝑡_{1} 𝑡_{1}

∙𝑡

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Sluttiden: 𝑡_{2} =4,1 ∙ 10^{−3} s
• Starttiden: 𝑡_{1} =0 s

𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} =∫ 61,3 ∙ 10 W ∙ 𝑒^{−180 s^{−1}} 𝑑𝑡

3 ∙𝑡

4,1∙10^{−3} s

0 s

=[]

61,3 ∙ 10^{3} W ∙ 𝑒^{−180 s^{−1}}

∙𝑡

−180 s^{−1}

0 s

4,1∙10^{−3} s

= −

61,3 ∙ 10^{3} W ∙ 𝑒^{−180 s^{−1}} 61,3 ∙ 10^{3} W ∙ 𝑒^{−180 s^{−1}}

∙4,1∙10^{−3} s ∙0 s
−180 s^{−1} −180 s^{−1}

=1,77746 ∙ 10^{2} J

Side 3

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

3

=1,8 ∙ 10^{2} J

                         2                      -3
Hjertestarteren afsætter 1,8·10 J i løbet af de første 4,1·10 s af et elektrisk stød.

Tip: Jeg har i begge delopgaver afrundet facit til det rigtige antal betydende cifre. I dette tilfælde er det 2, da både strømstyrken og tiden er oplyst med 2 betydende cifre.

Føler man sig ikke sikker i at integrere, kan man også regne opgaven ud på cas. Da er det bare vigtigt, at man dokumenterer ordentligt for, hvad man har gjort. Dette kan være vha. screendump eller ved at skrive op, hvad man har tastet ind. Derudover er det vigtigt at redegøre for enhederne. Man kan evt. skrive noget med: ”Da alle de indsatte størrelser er i SI-enheder, vil resultatet også være det. Yderligere ved vi, at vi udregner en energiændring, altså må enheden være J.”

Side 4

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

4

Opgave 2 – Bremsesvigt a)

Vi kan regne tiden t, som det tager for lastbilen at stanse, ud med følgende formel:

𝑣=

𝑠 𝑡

⇕

𝑡=

𝑠 𝑣

Vi indsætter følgende størrelser i formlen:

• Strækningen: 𝑠=6,2^{km}_{h}
• Farten 𝑣=79^{km}_{h}

𝑡=

6,2 km

79 km h

=7,8 ∙ 10^{−2} h

=4,7 min

Lastbilen tager 4,7 minutter om at køre denne strækning.

Tip: Facit er blevet afrundet til det rigtige antal betydende cifre. I dette tilfælde er der 2, da både strækningen og farten er angivet med 2 betydende cifre.

Normalvis bør man regne i SI-enheder, men da hastigheden blev målt i km/h og strækningen i km, og

opgaven ikke var mere kompleks, kan man godt undlade det her.

b)

Vi antager at tyngdeaccelerationen på vejstrækningerne er lig tyngdeaccelerationen i Danmark.

Den negative ændring -ΔE_{mek} er lig med tabet i mekanisk energi E_{tab}. Sidstnævnte kan udregnes med

følgende formel hvor index 1 svarer til højde lig 400 m (top) og index 2 svarer til højde lig 200 m:

𝐸_{𝑡𝑎𝑏} =−Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑘}

=− ( 𝐸_{𝑚𝑒𝑘,2} − 𝐸_{𝑚𝑒𝑘,1})

=𝐸_{𝑚𝑒𝑘,1} − 𝐸_{𝑚𝑒𝑘,2}

=𝐸_{𝑘𝑖𝑛,1} + 𝐸_{𝑝𝑜𝑡,1} − ( 𝐸_{𝑘𝑖𝑛,2} + 𝐸_{𝑝𝑜𝑡,2})

Side 5

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

5

= 𝑚𝑣_{1}^{2} + 𝑚𝑔ℎ_{1} − ( 𝑚𝑣_{2}^{2} + 𝑚𝑔ℎ_{2})

1 1

2 2

= ( 𝑣_{1}^{2} + 𝑔ℎ_{1} − ( 𝑣_{2}^{2} + 𝑔ℎ_{2})) ∙ 𝑚

1 1

2 2

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Starthastigheden: 𝑣_{1} =10 ∙ 10^{3}^{m}_{h} =10 ∙_{3600_{h}^{𝑠}}^{10^{3}^{m}_{h}} =2,77778^{m}_{s}

• Starthøjden: ℎ_{1} =400 m
• Sluthastigheden: 𝑣_{2} =110 ∙ 10^{3}^{m}_{h} =10 ∙_{3600^{s}_{h}}^{10^{3}^{m}_{h}} =3,05556 ∙ 10^{1}^{m}_{s}
• Sluthøjden: ℎ_{2} =200 m
• Tyngde accelerationen i Danmark: 𝑔=9,82_{s^{2}}^{m}
• Lastbilens masse: 𝑚=64 ∙ 10^{3} kg

𝐸_{𝑡𝑎𝑏} =( ∙ (2,77778) + 9,82 ∙ 400 m − ( ∙ (3,05556 ∙ 10^{1}) + 9,82 ∙ 200 m))

1 m^{2} m 1 m^{2} m
2 s s^{2} 2 s s^{2}

∙ 64 ∙ 10^{3} kg

=9,6 ∙ 10^{7} J

                                  7
Lasbilens tab af mekanisk energi er 6,9·10 J.

Tip: I mine udregninger har jeg taget så mange cifre med som muligt. Først i facit afrunder jeg til det rigtige antal betydende cifre. I dette tilfælde er det 2, da den ene hastighed og lastbilens masse kun er angivet med 2 cifre.

c)

I denne opgave lader vi tyngdekraften virke i positiv retning. For at indse kræfternes retning i forhold til hinanden henvises der til følgende tegning, hvor kræfterne på lastbilen er indtegnet:

Side 6

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

6

I virkeligheden virker gnidningskraften ikke fra lastbilens tyngdepunkt (som det ellers ser ud til på tegningen) men fra hjulene, da denne skyldes gnidningsmodstanden mellem underlaget, lastbilen kører på, og lastbilens hjul. Normalkraften virker heller ikke fra tyngdepunktet men fra underlaget. Jeg har derimod valgt at tegne alle kræfterne fra tyngdepunktet, da jeg synes det giver det bedste overblik.

Normalkraften, som virker på bilen, kan deles op i to komposanter: En bagudrettet kraft F , som er parallel
                                                                         x

med vejen, og en opadrettet kraft F_{y}, som er modsatrettet men med samme størrelse som tyngdekraften F_{t}.
Ved hjælp af trekantsregning kan vi regne F_{x} ud på følgende måde:

sin ( 𝛼) =

𝐹_{𝑥}
−𝐹_{𝑡}

⇕

𝐹_{𝑥} =−𝐹_{𝑡} ∙ sin ( 𝛼) =−𝑔 ∙ 𝑚∙ sin ( 𝛼)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Tyngde accelerationen i Danmark: 𝑔=9,82_{s^{2}}^{m}
• Lastbilens masse: 𝑚=64 ∙ 10^{3} kg
• Vinklen mellem F_{n} og F_{y}: 𝛼=11°

𝐹_{𝑥} =−9,82 ∙ 64 ∙ 10^{3} kg ∙ sin ( 11°)

m

s^{2}
=−119919 N

Vi kan nu udregne lastbilens acceleration a som følge af den resulterende kraft F :
                                                                 res

Side 7

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

7

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑} + 𝐹_{𝑥}

⇕

𝑎= =

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑} + 𝐹_{𝑥}

𝑚 𝑚

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Gnidningskraften: 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑} =−120 ∙ 10^{3} N
• Normalkraftens bagudrettede komposant: 𝐹_{𝑥} =−119919 N
• Lastbilens masse: 𝑚=64 ∙ 10^{3} kg

𝑎=

−120 ∙ 10^{3} N + ( −119919 N)
64 ∙ 10^{3} kg

=−3,74874

m

s^{2}

Til at bestemme afstanden s, som lastbilen tilbagelægger på rampen, kan vi bruge følgende formel ved at isolere s:

𝑣^{2} − 𝑣_{0}^{2} =2𝑎 ( 𝑠− 𝑠_{0}) =2𝑎𝑠

⇕

𝑠=

−𝑣_{0}^{2}

2𝑎

At vi kan lade s_{0} og v gå ud, skyldes at de er nul.

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Den resulterende acceleration på lastbilen: 𝑎=−3,74874^{m}_{s^{2}}

                                                            km
                                                           3
                                                       110∙10
                                                  km                     m
                                                3            h
• Lastbilens hastighed i starten af rampen: 𝑣 =110 ∙ 10 =      =3,05556
                                      0
                                                  h                      s

3600^{s}_{h}

𝑠=

−𝑣_{0}^{2}

2𝑎

=

−(3,05556)

m^{2}

s

2 ∙ (−3,74874_{2})

m s

=1,3 ∙ 10^{2} m

                  2
Lastbilen kører 1,3·10 m op ad nødsporet, inden den stopper.

Tip: Tyngdekraftens størrelse finder jeg vha. formlen 𝑭 =𝒎 ∙ 𝒈. Normalkraftens størrelse kan findes via
                                            𝒕

trekantsberegning, da vi kender tyngdekraftens størrelse og underlagets hældning. Se skitse og udregninger herunder:

Side 8

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

8

Vi ved fra matematik at hypotenusen er den længste side i en retvinklet trekant. I dette tilfælde er størrelsen af hypotenusen den samme som størrelsen af tyngdekraften. Normalkraften kan nu udregnes vha. cosinus i en retvinklet trekant:

𝐜𝐨𝐬 ( 𝟏𝟏) =

𝑭_{𝒏}
−𝑭_{𝒕}

⇕

𝑭_{𝒏} =−𝑭_{𝒕} ∙ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟏𝟏) =−𝒎 ∙ 𝒈 ∙ 𝒄𝒐𝒔 ( 𝟏𝟏)

=−𝟔𝟒 ∙ 𝟏𝟎^{𝟑} 𝐤𝐠 ∙ 𝟗,𝟖𝟐 ∙ 𝐜𝐨𝐬 ( 𝟏𝟏) ≈−𝟔,𝟐 ∙ 𝟏𝟎^{𝟓} 𝐍

𝐦

𝐬^{𝟐}

Tip: I alle mellemregninger har jeg taget så mange cifre med som muligt. Først i facit har jeg afrundet til det rigtige antal betydende cifre. I dette tilfælde er det rigtige antal betydende cifre 2, da lastbilens

masse, som vi indirekte har brugt til at regne F_{res} ud, kun er oplyst med 2 betydende cifre.

Side 9

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

9

Opgave 3 – Mælk i kaffen a)

Vi antager i denne opgave, at mælk og kaffe begge har samme specifikke varmekapacitet som vand (c_{vand}).

Derudover antager vi, at der ikke afgives noget varme til omgivelserne: Den fælles temperatur T kan
                                                                              slut

således udregnes med følgende formel:

𝑄_{𝑘𝑎𝑓𝑓𝑒} + 𝑄_{𝑚æ𝑙𝑘} =0

⇕

−𝑄_{𝑘𝑎𝑓𝑓𝑒} =𝑄_{𝑚æ𝑙𝑘}

⇕

−𝑚_{𝑘} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ∙ ( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑘}) =𝑚_{𝑚} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ∙ ( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑚})

−𝑚_{𝑘} ∙ ( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑘}) =𝑚_{𝑚} ∙ ( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑚})

⇕

−𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} + 𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑘} =𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑚}

⇕

−𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} −𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =−𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑘} − 𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑚}

⇕

𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} ( −𝑚_{𝑘} − 𝑚_{𝑚}) =−𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑘} − 𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑚}

⇕

𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =

−𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑘} − 𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑚}
( −𝑚_{𝑘} − 𝑚_{𝑚})

⇕

𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =

𝑚_{𝑘} ∙ 𝑇_{𝑘} + 𝑚_{𝑚} ∙ 𝑇_{𝑚}
( 𝑚_{𝑘} + 𝑚_{𝑚})

Tip: Bemærk at jeg i sidste led har forlænget brøken med -1 på følgende måde:

𝑻_{𝒔𝒍𝒖𝒕} = =

( −𝒎_{𝒌} ∙ 𝑻_{𝒌} − 𝒎_{𝒎} ∙ 𝑻_{𝒎}) ∙ (−𝟏) 𝒎_{𝒌} ∙ 𝑻_{𝒌} + 𝒎_{𝒎} ∙ 𝑻_{𝒎}
( −𝒎_{𝒌} − 𝒎_{𝒎}) ∙ (−𝟏) ( 𝒎_{𝒌} + 𝒎_{𝒎})

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Massen af kaffe: 𝑚_{𝑘} =0,100 kg
• Starttemperaturen for kaffe: 𝑇_{𝑘} =80,00 °C
• Massen af mælk: 𝑚_{𝑚} =0,010 kg
• Starttemperaturen for mælk: 𝑇_{𝑚} =5,00 °C

Side 10

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

10

𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =

0,100 kg ∙ 80,0 °C+ 0,010 kg ∙ 5,00 °C
( 0,100 kg + 0,010 kg)

=73,2 ℃

=73 °C

På baggrund af vores antagelser bliver fællestemperaturen for kaffe med mælk 73 °C.

Side 11

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

11

Opgave 4 – Brune dværge a)

Trykket i gasskyen p kan bestemmes med følgende formel:

𝑝=

𝜌 ∙ 𝑘_{𝑏} ∙ 𝑇

<𝑚>

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Skyens densitet: 𝜌=1,2 ∙ 10^{−17}_{m^{3}}^{kg}
• Boltzmann konstantet: 𝑘_{𝑏} =1,381 ∙ 10^{−23}_{K}^{J}
• Temperaturen: 𝑇=10 K
• Den gennemsnitlige partikelmasse: <𝑚>=0,60 u=0,60 u ∙ 1,66 ∙ 10^{−27}^{kg}_{u} =9,96 ∙ 10^{−28} kg

𝑝 =

1,2 ∙ 10^{−17} ∙ 1,381 ∙ 10^{−23} ∙ 10 K

kg J

m^{3}

K

9,96 ∙ 10^{−28} kg

=1,6637 ∙ 10^{−12}

J

m^{3}

=1,7 ∙ 10^{−12} Pa

Trykket i gasskyen er dermed 1,7·10^{-12} Pa.

                                            𝐉   𝐍∙𝐦   𝐍
Tip: Enheden på facittet udregnes på følgende måde: = = =𝐏𝐚
                                             𝟑    𝟑    𝟐
                                            𝐦   𝐦    𝐦

Husk antallet af betydende cifre er to.

b)

For at vise at gasskyen bliver til en brun dværg ved sammentrækning bruges formlen:

𝜌=

𝑚

𝑉

⇕

𝑚=𝜌∙ 𝑉=𝜌 ∙ ∙ 𝜋∙ 𝑟^{3}

4

3

                                                               4
                                                                     3
Da der er tale om en kugleformet gassky, er formlen for kuglens rumfang 𝑉= ∙ 𝜋∙ 𝑟 blevet sat ind i
                                                               3

ovenstående formel. Hvis den udregnede masse er mindre end 0,08 solmasser, vil gasskyen ved sammentrækning blive til en brun dværg.

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Skyens densitet: 𝜌=1,2 ∙ 10^{−17}_{m^{3}}^{kg}

Side 12

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

12

• Radius: 𝑟=1,3 ∙ 10^{15} m

𝑚=1,2 ∙ 10^{−17} ∙ ∙ 𝜋∙ ( 1,3 ∙ 10^{15} m)^{3}

kg 4

m^{3} 3
=1,1043 kg

Vi omregner massen til solmasser idet vi bruger at 𝑀_{𝑠𝑜𝑙} =1,989 ∙ 10^{30} kg

=1,1043 kg ∙ =0,0555 𝑀_{𝑠𝑜𝑙}

1 𝑀_{𝑠𝑜𝑙}
1,989 ∙ 10^{30} kg
=0,056 𝑀_{𝑠𝑜𝑙}

Skyens masse er beregnet til 0,056 solmasser. Dermed vil gasskyen blive til en brun dværg.

c)

Når en gassky trækker sig sammen, vil halvdelen af ændringen i potentiel energi 𝛥𝐸_{𝑝𝑜𝑡} gå til energi i form
af udsendelse af lys 𝐸_{𝑢𝑑}. Dette giver dermed følgende formel, som kan bruges til at udregne den

gennemsnitlige udstrålede effekt

𝑃= = =

Δ𝐸 𝐸_{𝑢𝑑}

Δ𝑡 Δ𝑡 Δ𝑡

1

2

Δ𝐸_{𝑝𝑜𝑡}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen. I udregningen regnes der med alle cifre og ikke kun de angivne:

• Ændringen i potentiel energi: 𝛥𝐸_{𝑝𝑜𝑡} =7,3 ∙ 10^{36} J
• Tidsændringen: Δ𝑡=20 ∙ 10^{30} år = 20 ∙ 10^{30} år ∙ 365 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60_{år}^{s} =630720000 s≈6,3 ∙
10^{8} s

𝑃=

1

2

∙ 7,3 ∙ 10^{36} J
6,3 ∙ 10^{8} s
=5,787 ∙ 10^{24}

J s

=5,8 ∙ 10^{24} W

                                                                                24
Den gennemsnitlige udstrålede effekt fra gasskyen i den sidste del af sammentrækningen er 5,8·10 W.

Tip: I bunden på side 17 i ”De dynamiske stjerner” kan man se, at energi i form af udsendelse af lys udgør halvdelen af den frigjorte energi ved sammentrækning.

Side 13

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

13

Opgave 5 – Vindmølle a)

Vi kan bestemme vingespidsens fart v med følgende formel:

𝑣= = =

Δ𝑠

Δ𝑡 𝑇

2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋

𝑇

20

20 ∙ 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Cirkelbevægelsens radius: 𝑟=45 m
• Omdrejningstiden: 𝑇=60 s

𝑣=

20 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 45 m

60 s

=94

m s

Farten for spidsen af en møllevinge er 94 m/s.

b)

Vha. grafen kan vi bestemme vindmøllens leverede effekt P_{mølle}, når vindhastigheden er 12,5 m/s. P_{mølle}

              6
aflæses til 2,6·10 W.

Vindens effekt P_{vind} kan bestemmes med følgende formel:

𝑃_{𝑣𝑖𝑛𝑑} =0,61 ∙ 𝐴 ∙ 𝑣^{3} =0,61 ∙ 𝜋∙ 𝑟^{2} ∙ 𝑣^{3}

kg kg

m^{3} m^{3}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Cirkelbevægelsens radius: 𝑟=45 m

Side 14

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

14

• Vindens hastighed: 𝑣=12,5^{m}_{s}

𝑃_{𝑣𝑖𝑛𝑑} =0,61 ∙ ( 45 m)^{2} ∙ 𝜋∙ (12,5)

kg m^{3}
m^{3} s
=7,5794 ∙ 10^{6} W

Tip: Enhedsforklaring:

[ 𝑷_{𝒗𝒊𝒏𝒅}] = ∙ 𝐦^{𝟐} ∙ () = ∙ 𝐦^{𝟐} ∙ = = ∙ =𝐍 ∙ =

𝐤𝐠 𝐦^{𝟑} 𝐤𝐠 𝐦^{𝟑} 𝐤𝐠 ∙ 𝐦^{𝟐} 𝐤𝐠 ∙ 𝐦 𝐦 𝐦 𝐉
𝐦^{𝟑} 𝐬 𝐦^{𝟑} 𝐬^{𝟑} 𝐬^{𝟑} 𝐬^{𝟐} 𝐬 𝐬 𝐬

Vi benytter os her af definitionen for Newton og Joule:

𝐍= ∙

𝐤𝐠 ∙ 𝐦 𝐦

𝐬^{𝟐} 𝐬
𝐉=𝐍 ∙ 𝐬

Vindmøllens nyttevirkning η kan vi finde med følgende formel:

𝜂= ∙ 100 %

𝑃_{𝑚ø𝑙𝑙𝑒}
𝑃_{𝑣𝑖𝑛𝑑}

Vi indsætter de aflæste/udregnede størrelser i formlen

𝜂= ∙ 100 %

2,6 ∙ 10^{6} 𝑊
7,5794 ∙ 10^{6} 𝑊

=34 %

Vindmøllen møllens nyttevirkning, når vindhastigheden er 12,5 m/s, er vha. grafen blevet bestemt til 34 %.

Tip: I formelsamlinger står nyttevirkningen som forholdet mellem udnyttet energi og tilført energi. Af følgende udregning ser vi, at det ikke spiller nogen rolle om man tager forholdet mellem energierne eller effekterne:

𝜼= = =

𝑷_{𝒏𝒚𝒕𝒕𝒆} 𝑬_{𝒏𝒚𝒕𝒕𝒆}
𝑷_{𝒕𝒊𝒍𝒇ø𝒓𝒕} 𝑬_{𝒕𝒊𝒍𝒇ø𝒓𝒕}

𝑬_{𝒏𝒚𝒕𝒕𝒆}

𝒕

𝑬_{𝒕𝒊𝒍𝒇ø𝒓𝒕}

𝒕

Side 15

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

15

Opgave 6 – Vakuumkammer a)

Massen af luft inden pumpning m_{1} kan vi bestemme med følgende formel:

𝜌_{1} =

𝑚_{1}

𝑉

⇕

𝑚_{1} =𝜌_{1} ∙ 𝑉

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Luftens densitet inden pumpning: 𝜌_{1} =1,25_{m^{3}}^{kg}
• Vakuumkammerets volumen: 𝑉=27,1 ∙ 10^{3} m^{3}

𝑚_{1} =1,25 ∙ 27,1 ∙ 10^{3} m^{3}

kg

m^{3}

=3,3875 ∙ 10^{4} kg

=3,39 ∙ 10^{4} kg

Til at beskrive tilstanden for en gas, gælder følgende formel:

𝑃 ∙ 𝑉=𝑛∙ 𝑅 ∙ 𝑇

⇕

𝑃= ∙ 𝑛= ∙

𝑅∙ 𝑇 𝑅∙ 𝑇 𝑚

𝑉 𝑉 𝑀

I den nederste linje benytter vi os af, at stofmængden n kan beskrives på følgende måde, hvor m er massen og M er molarmassen:

𝑛=

𝑚

𝑀

Ved hjælp af ovenstående formlen for tryk, stiller vi to ligninger op - trykket før (indeks 1) og efter pumpning (indeks 2). Temperaturen er og rumfanget er konstant. Det samme gælder for M da vi antager, at luftsammensætningen forbliver ens.

𝑃_{1} = ∙

𝑅∙ 𝑇 𝑚_{1}

𝑉 𝑀 og

𝑃_{2} = ∙

𝑅∙ 𝑇 𝑚_{2}

𝑉 𝑀

Vi kan bestemme trykket P_{2} efter pumpning ved at dele den nederste ligning med den øverste og isolere P_{2}:

Side 16

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

16

𝑃_{2} 𝑚_{2}
𝑃_{1} 𝑚_{1}

= =

𝑅∙ 𝑇 𝑚_{2}

𝑉 𝑀

∙

𝑅∙ 𝑇 𝑚_{1}

𝑉 𝑀

∙

⇕

𝑃_{2} =

𝑃_{1} ∙ 𝑚_{2}
𝑚_{1}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Trykket før pumpning: 𝑃_{1} =101 ∙ 10^{3} Pa
• Massen efter pumpning: 𝑚_{2} =0,70 kg
• Massen før pumpning: 𝑚_{1} =3,39 ∙ 10^{4} kg

𝑃_{2} =

101 ∙ 10^{3} Pa ∙ 0,70 kg
3,3875 ∙ 10^{4} kg

=2,1 Pa

Luftens masse inden pumpning er 3,39· 10^{4} kg, mens trykket efter pumpning, når der kun er 0,70 kg luft

tilbage, er 2,1 Pa.

Side 17

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

17

Opgave 7 – Antistatisk børste a)

Aktiviteten A et år efter produktion kan bestemmes med følgende formel:

𝐴(𝑡)=𝐴_{0} ∙ ()^{𝑇_{½}}

1

2 𝑡

Vi indsætter følgende størrelser i formlen:

• Aktiviteten ved produktion: 𝐴_{0} =9,25 ∙ 10^{6} Bq
• Tiden der er gået siden produktion: 𝑡=1 år=365,25 dage
• Halveringstiden for Po-210: 𝑇_{½} =138,4 dage

𝐴 ( 365,25 dage) =9,25 ∙ 10^{6} Bq ∙ ()^{138,4 dage}

1

2

365,25 dage

=1,48 ∙ 10^{6} Bq

                                          6
Aktiviteten af Po-210 i børsten er efter et år 1,48· 10 Bq.

Tip: Normalvis bør man regne i SI-enheder, men i dette tilfælde, da halveringstiden blev målt i dage, var det lettere at angive et år i dage end at regne om. Hvis man er lidt usikker med hensyn til enheder, bør man regne i SI-enheder b)

Vi kan bestemme antal af Po-210 kerner N i børsten ved produktion med denne formel:

𝐴_{0} =𝑘∙ 𝑁_{0} = ∙ 𝑁_{0}

ln ( 2)

𝑇_{½}

⇕

𝑁_{0} =

𝐴_{0}

() ln ( 2)

𝑇_{½}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Aktiviteten ved produktion: 𝐴_{0} =9,25 ∙ 10^{6} Bq
• Halveringstiden for Po-210: 𝑇_{½} =138,4 dage=138,4 ∙ 24 ∙ 60 ∙ 60 s=1,195776 ∙ 10^{7} s

𝑁_{0} =

9,25 ∙ 10^{6} 𝐵𝑞

() ln2

1,195776 ∙ 10^{7} s

=1,59575 ∙ 10^{14}

Side 18

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

18

Vi kan nu regne totalmassen m_{total} ud med følgende formel:

𝑚_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =𝑁_{0} ∙ 𝑚_{𝑃𝑜−210}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Antal Po-atomer: 𝑁_{0} =1,59575 ∙ 10^{14}
• Atommassen for Po-210: 𝑚_{𝑃𝑜−210} =209,9828737 u=209,9828737 u ∙ 1,66053878 ∙
10^{−27} =3,486847 ∙ 10^{−25} kg

kg u

𝑚_{𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙} =1,59575 ∙ 10^{14} ∙ 3,486847 ∙ 10^{−25} kg

=5,56 ∙ 10^{−11} kg

Massen af Po-210 ved produktionen er 5,56·10^{-11} kg.

c)

Henfaldet ser skematisk således ud:

     206    4
Po→ Pb + He
      82    2

84

210

Tip: Først finder jeg ud af hvor mange joule, der bliver afsat ved ét henfald. Denne energi svarer til henfaldets Q-værdi. Derefter kan jeg finde den samlede energi der bliver afsat pr. sekund, da jeg ved hvor mange kerner der henfalder pr. sekund.

Vi kan regne Q-værdien for reaktionen ud med følgende formel:

𝑄=−Δ𝑚 ∙ 𝑐^{2} =− ( 𝑚_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟} − 𝑚_{𝑓ø𝑟}) ∙ 𝑐^{2} = ( 𝑚_{𝑓ø𝑟} − 𝑚_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟}) ∙ 𝑐^{2} =(𝑚_{𝑝𝑜−210} − ( 𝑚_{𝑃𝑏−206} + 𝑚_{𝐻𝑒−4})) ∙ 𝑐^{2}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Atommassen for Po-210: 𝑚_{𝑝𝑜−210} =209,9828737 u ∙ 1,66053878 ∙ 10^{−27}^{kg}_{u} =3,486847 ∙
10^{−25} kg
• Atommassen for Pb-206: 𝑚_{𝑃𝑏−206} =205,9744653 u=3,4202859 ∙ 10^{−25} kg
• Atommassen for He-4: 𝑚_{𝐻𝑒−4} =4,002603254 u=6,64647791 ∙ 10^{−27} kg

Tip: 𝐁𝐪=𝟏 𝐬^{−𝟏}

𝑵_{𝟎} er enhedsløs, da det er et antal.

Side 19

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 13. august 2010

19

• Lysets fart i vakuum: 𝑐=299792458^{𝑚}_{𝑠}

𝑄=(3,486847 ∙ 10^{−25} kg − ( 3,4202859 ∙ 10^{−25} kg + 6,64647791∙ 10^{−27} kg)) ∙ (299792458)

m^{2}

s

=8,66370338 ∙ 10^{−13} J

Da Q-værdien er et udtryk for den frigivne energi pr. henfald, kan vi nu udregne effekten P, hvormed børsten kan ionisere ved produktion, med følgende formel:

𝑃= =𝑄∙

Δ𝐸 1

Δ𝑡 𝐴_{0}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Frigivende energi pr. henfald: 𝑄=8,66370338 ∙ 10^{−13} J
• Aktiviteten ved produktion: 𝐴_{0} =9,25 ∙ 10^{6} Bq

𝑃=8,6757 ∙ 10^{−13} J ∙ 9,25 ∙ 10^{6} Bq

=8,0139256 ∙ 10^{−6} W

Tip: I ovenstående udregning udnytter jeg at 𝟏 𝐁𝐪=𝟏 𝐬^{−𝟏}.
Antal af molekyler N_{ion} /t per tidsenhed, som børsten kan ionisere, kan vi udregne med følgende formel:

𝑁_{𝑖𝑜𝑛} /𝑡 =

𝑃

𝐸

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Effekten hvormed børsten kan ionisere ved produktion: 𝑃=8,0139256 ∙ 10^{−6} W
• Energien der kræves for at ionisere et luftmolekyle: 𝐸=5,45 ∙ 10^{−18} J

𝑁_{𝑖𝑜𝑛} /𝑡=

8,0139256 ∙ 10^{−6} W
5,45 ∙ 10^{−18} J

=1,47 ∙ 10^{12} s^{−1}

                                                    12
Børstens indhold af Po-210 kan ved produktion ionisere 1,47·10 luftmolekyler per sekund.

Tip: I alle mine mellemregninger har jeg taget flest mulige cifre. Først i mineslutfacit har jeg afrundet til det rigtige antal betydende cifre.