STX Fysik A 2011 27. maj - Vejledende besvarelse

Side 1

Vejledende besvarelse fra Studiekompasset.dk

Fysik A

STX

Fredag den 27. maj 2011

2stx111-FYS/A-

Side 2

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

2

Opgave 1 – Solfanger a)

Strømstyrken I gennem ventilatoren kan bestemmes med følgende formel:

𝑈=𝑅 ∙ 𝐼

⇕

𝐼=

𝑈

𝑅

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Spændingsfaldet over ventilatoren: 𝑈=12 V
• Resistansen i ventilatoren: 𝑅=9,3 Ω

𝐼=

12 V

9,3 Ω

=1,290 A
=1,3 A

Strømstyrken gennem ventilatoren er 1,3 A.

b)

Vi antager, at der er tale om tør luft, og at hverken trykket eller den specifikke varmekapacitet ændrer sig under opvarmning.

Varmen Q som luften i løbet af en time modtager under opvarmning kan bestemmes med følgende formel:

𝑄=𝑚 ∙ 𝑐∙ Δ𝑇=𝑚∙ 𝑐∙ ( 𝑇_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟} − 𝑇_{𝑓ø𝑟})

Vi indsætter følgende størrelser i formlen:

• Massen af luft: 𝑚=95 kg
• Tør lufts specifikke varmekapacitet: 𝑐=1,00 ∙ 10^{3}_{kg∙K}^{J}
• Luftens temperatur efter opvarmning: 𝑇_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟} =17,0 °C
• Luftens temperatur før opvarmning: 𝑇_{𝑓ø𝑟} =8,0 °C

𝑄=95 kg ∙ 1,00 ∙ 10^{3} ∙ ( 17,0 °C− 8,0 °C)

J kg ∙ K

=8,55 ∙ 10^{5} J

Solfangerens nyttevirkning η kan bestemmes med følgende formel:

𝜂= = =

Δ𝐸_{𝑛𝑦𝑡𝑡𝑒} 𝑄 𝑄
Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} Δ𝐸_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} Δ𝑃_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} ∙ Δ𝑡

Side 3

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

3

Vi indsætter følgende størrelser i formlen:

• Varmen luften modtager i løbet af en time: 𝑄=8,55 ∙ 10^{5} J
• Den tilførte effekt: Δ𝑃_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} =588 W
• Tiden som luften opvarmes: Δ𝑡=1 h=3600 s

𝜂=

8,55 ∙ 10^{5} J

588 W ∙ 3600 s

=40,391 %
=40 %

Solfangerens nyttevirkning er 40 %.

Tip: I denne opgave regner vi undtagelsesvist ikke i SI-enheder. Dette skyldes, at forskelle mellem temperaturer giver det samme resultat i kelvin som i celsius. Var der derimod tale om et forhold mellem temperaturer, skulle vi regne celsius om til kelvin.

Side 4

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

4

Opgave 2 – Dykning i Det Røde Hav a)

Vi laver en lineær regression over datapunkterne h,p i Excel. Regressionen laves over følgende model:

𝑝(ℎ)=𝜌∙ 𝑔 ∙ ℎ+ 𝑝_{0}

På denne måde kan vi bestemme trykket p_{o} fra atmosfære under dykket. Regressionen giver os følgende

størrelser:

𝜌 ∙ 𝑔=10,144 ∙ 10^{3}

N

m^{3}
𝑝_{0} =101,52 kPa=1,0 ∙ 10^{5} Pa

Den relative afvigelse mellem trykket fundet ved regression og ved opslag i ”Fysik i overblik – kompendium i fysik” kan bestemmes på følgende måde:

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒=

101,523 ∙ 10^{3} Pa − 101,325 ∙ 10^{3} Pa
101,325 ∙ 10^{3} Pa
=0,1954 %
=0,20%

Trykket fra atmosfæren er under dykning 1,0·10^{5} Pa. Dette tal afviger meget lidt fra den teoretiske værdi

fra formelsamlingen ”Fysik i overblik – kompendium i fysik”.

Tip: Enheden på ρ·g kan bestemmes på følgende måde:
[ 𝝆 ∙ 𝒈] = [ 𝝆] ∙ [ 𝒈] = ∙ = = = ∙ =𝑵 ∙ =

𝒌𝒈 𝒎 𝒌𝒈 𝒌𝒈 ∙ 𝒎 𝒌𝒈 ∙ 𝒎 𝟏 𝟏 𝑵

𝒎^{𝟑} 𝒔^{𝟐} 𝒎^{𝟐} ∙ 𝒔^{𝟐} 𝒎^{𝟐} ∙ 𝒔^{𝟐} ∙ 𝒎 𝒔^{𝟐} 𝒎^{𝟑} 𝒎^{𝟑} 𝒎^{𝟑}

Alternativt kan vi også bestemme det på følgende måde:

[ 𝝆 ∙ 𝒈] =[]= = = = ∙ =

𝒑 ( 𝒉) [ 𝒑 ( 𝒉)] 𝑷𝒂 𝑵 𝟏 𝑵

𝒈 [ 𝒈] 𝒎 𝒎 𝒎^{𝟐} 𝒎 𝒎^{𝟑}

(   )
   𝟐

𝑵 𝒎 b)

I denne opgave antager vi, at tyngdeaccelerationen ved det Røde Hav er lig tyngdeaccelerationen i Danmark.

Densiteten ρ for vandet i det røde hav, kan bestemmes ud fra vores regression. Det kan vi gøre på følgende måde:

𝜌 ∙ 𝑔=10,144 ∙ 10^{3}

N

m^{3}

⇕

𝜌=

10,144 ∙ 10^{3}_{3}

N m 𝑔

Side 5

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

5

Vi indsætter følgende størrelse angivet i SI-enheder i formlen:

• Tyngde accelerationen i Danmark: 𝑔=9,82_{s^{2}}^{m}

𝜌=

10,144 ∙ 10^{3}_{3}

N m

9,82_{2}

m s

=1,03299 ∙ 10^{3}

kg

m^{3}

Den relative afvigelse mellem densiteten for vand i det Røde Hav og ”normalt” vands densitet ved 25 °C kan bestemmes på følgende måde:

𝑅𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒=

1,03299 ∙ 10^{3}_{3} − 0,99913 ∙ 10^{3}_{3}

kg kg m m

0,99913 ∙ 10^{3}_{3}

kg m

=3,3893 %
=3,4 %

Hvis man tager den lille relative afvigelse fra opgave a i betragtning, synes 3,4 % at være meget. De 3,4 % i afvigelse kan delvist være forårsaget af tilstedeværelsen af salt i vandet.

Tip: Enheden for ρ i vores facit kan bestemmes på følgende måde:

[ 𝝆] = = ∙ =𝑵 ∙ = ∙ =

𝑵

𝒎^{𝟑}

𝒎

𝒔^{𝟐}

𝑵 𝒔^{𝟐} 𝒔^{𝟐} 𝒌𝒈 ∙ 𝒎 𝒔^{𝟐} 𝒌𝒈
𝒎^{𝟑} 𝒎 𝒎^{𝟒} 𝒔^{𝟐} 𝒎^{𝟒} 𝒎^{𝟑}

Side 6

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

6

Opgave 3 – Nattehimlens klareste stjerne a)

I denne opgave antager vi, at Sirius A er kugleformet.

Sirius A’s effektive overflade temperatur T
                                  eff

kan bestemmes med følgende formel:

𝐿=𝐴 ∙𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

Vi indsætter formelen for en kugles overfladeareal, og isolerer den effektive overflade temperatur T :
                                                                                 eff

𝐿=4 ∙ 𝜋∙ 𝑟^{2} ∙ 𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

𝑇_{𝑒𝑓𝑓} =

√^{4}

𝐿

4 ∙ 𝜋∙ 𝑟^{2} ∙ 𝜎

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Den udstrålede effekt: 𝐿=8,96 ∙ 10^{27} W
• Sirius A’s radius: 𝑟=1,22 ∙ 10^{9} m
• Stefan-Bolzmann konstanten: 𝜎=5,670 ∙ 10^{−8}_{m^{2}}^{W}_{∙K^{4}}

      4
𝑇   =
 𝑒𝑓𝑓

√

8,96 ∙ 10^{27} W
4 ∙ 𝜋 ∙ ( 1,22 ∙ 10^{9} m)^{2} ∙ 5,670 ∙ 10^{−8}_{2}

W

m ∙ K^{4}
=9,58735 ∙ 10^{3} K
=9,59 ∙ 10^{3} K

                                         3
Sirius A’s effektive overfladetemperatur er 9,59·10 K.

Side 7

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

7

Opgave 4 – Skydiving a)

Hvis vi differentierer funktionen for udspringernes fart i forhold til tiden, vil vi få en funktion for udspringers

                                                                           𝑑𝑣
acceleration. Vi har dog ikke fået en forskrift oplyst. For at bestemme accelerationen 𝑎 ( 𝑡 ) = til tiden
                                                                           𝑑𝑡

t=5,0 s kan vi i stedet bestemme hældningen til tangenten i dette punkt grafisk. Det kan vi gøre ved at

indtegne en tangent til dette punkt på grafen og antage, at funktionen tilnærmelsesvis er stykvis lineær omkring dette punkt. Dermed kan vi regne hældningen ud vha. to punkter på tangenten. Formlen ser ud som følger:

𝑎 ( 𝑡) = ≈ =

𝑑𝑣 Δ𝑣 𝑣_{2} − 𝑣_{1}
𝑑𝑡 Δ𝑡 𝑡_{2} − 𝑡_{1}

Vi indtegner en linje på grafen, som tilnærmelsesvis er en tangent til grafen i punktet. Derefter udvælges to

punkter (P_{1} og P_{2}) på tangenten:

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i ovenstående formlen:

• Tiden for accelerationen: 𝑡=5,0 s
• Hastigheden i punkt 2: 𝑣_{2} =55,0^{m}_{s}
• Hastigheden i punkt 1: 𝑣_{1} =20,0^{m}_{s}

Side 8

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

8

• Tiden i punkt 2: 𝑡_{2} =9,0 s
• Tiden i punkt 1: 𝑡_{2} =1,0 s

𝑎 ( 5,0 s) =

55,0 − 20,0

m m s s

9,0 s − 1,0 s

=4,375

m

s^{2}

=4,4

m

s^{2}

                                                2
Udspringerens acceleration til tiden 5,0 sekunder er 44 m/s .

Tip: Når man vælger to punkter i denne opgave, behøves de ikke at ligge på hastighedsfunktionen, de SKAL dog ligge på tangenten. De to punkter BØR ligge langt fra hinanden, da man således får et mere præcist facit.

b)

Vi antager i denne opgave, at udspringerenen bevæger sig med konstant fart efter 16 sekunder. Dette skyldes, at luftmodstanden på det pågældende tidspunkt vil blive lige så stor som tyngdekraften på udspringeren. Det vil sige, at vi antager at grafen er vandret lineær efter 16 sekunder.

Hvis vi integrerer hastighedsfunktionen v(t) i forhold til tiden, får vi stedfunktionen s(t). Tiden t, som udspringeren tager om at falde 2,0 km, kan således bestemmes med følgende bestemte integral:

𝑠 ( 𝑡) =∫ 𝑣 ( 𝑡) 𝑑𝑡 =2,0 km

𝑡

𝑡=0 s

Vi er imidlertid ikke blevet oplyst en forskrift, vi kan integrere. Det bestemte integrals værdi kan vi dog bestemme grafisk ved at bestemme arealet under funktionen. Dette gør vi ved at tælle tern. Vi bestemmer værdien for et tern på følgende måde:

𝑡𝑒𝑟𝑛=5,0 ∙ 1 s=5,0 m

m s

Vi bestemmer antal tern N, som skal være under kurven for at udspringeren er faldet 2,0 km på følgende måde:

𝑁= =4,0 ∙ 10^{2}

2,0 ∙ 10^{3} m

5,0 m

Antal tern N_{0} som er under grafen fra 0 s til 16 s bestemmes til følgende:

Side 9

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

9

𝑁_{0} =120

Den tilbagelagte afstand s(16) efter 16 sekunder bliver som følger:

𝑠 ( 16) =𝑁∙ 𝑡𝑒𝑟𝑛=120 ∙ 5,0 m=6,0 ∙ 10^{2} m

Som man kan se, er udspringeren ikke faldet 2,0 km efter 16 s. Han skal altså falde et stykke tid endnu. Ved at antage at grafen efter 16 sekunder er vandret lineær, er der altså tale om en bevægelse med konstant fart. Vha. grafen bestemmes farten v(16) efter 16 sekunder til følgende:

𝑣 ( 16) =53,0

m s

Vi kan bestemme tiden t, som det tager udspringeren at falde 2,0 km med følgende formel:

𝑠 ( 𝑡) =𝑠 ( 16) + 𝑣 ( 16) ∙ ( 𝑡− 16 s)

⇕

𝑡= + 16 s

𝑠 ( 𝑡) − 𝑠 ( 16)

𝑣 ( 16)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i ovenstående formlen:

• Afstanden som udspringeren falder før faldskærmen udløses: 𝑠 ( 𝑡) =2,0 ∙ 10^{3} m
• Afstanden som udspringeren har tilbagelagt efter 16 sekunder: 𝑠 ( 16) =6,0 ∙ 10^{2} m
• Hastigheden som udspringeren har efter 16 sekunder: 𝑣 ( 16) =53,0^{m}_{s}

𝑡= + 16 s

2,0 ∙ 10^{3} m − 6,0 ∙ 10^{2} m

53,0 m s

=42,415 s
=42 s

Det vil tage udspringeren 42 sekunder at falde de 2,0 km.

Side 10

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

10

Opgave 5 – Mikrobatteri a)

                              63
Reaktionsskemaet for betahenfald af Ni ser ud som følger:

Ni → Cu^{63}_{29} + 𝑒_{−1}^{0} + 𝑣̅_{𝑒}

28

63 b)

Vi udvider tabellen til også at vise effekten P, som batteriet afsætter i resistoren. Vi vil nøjes med at vise et eksempel på, hvordan man kan regne effekten ud for hvert af data-sættene. Vi kan bestemme effekten P med følgende formel:

𝑃=𝑈∙ 𝐼

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Spændingsfaldet over resistoren: 𝑈=110 ∙ 10^{−3} V
• Strømstyrken gennem kredsløbet: 𝐼=0,51 ∙ 10^{−9} A

𝑃=110 ∙ 10^{−3} V ∙ 0,51∙ 10^{−9} A
=5,61 ∙ 10^{−11} W
=56 ∙ 10^{−12} W

Resten af tabellen beregner vi i Excel. Den kommer til at se ud på følgende måde:

U/10^{-3} V 110 100 95 90 85 80 70 60 50 25
I/10^{-9} A 0,51 0,89 1,15 1,32 1,48 1,61 1,75 1,87 2,00 2,25
P/10^{-12} W 56 89 109 119 126 129 123 112 100 56

Som man kan se, er effekten blevet angivet med op mod tre betydende cifre. Dette er dog et ciffer for meget. For de største effekter er det imidlertid først på det tredje ciffer, at vi kan se forskel. Det er af denne årsag, at vi angiver tre.

                                                                               -12
Ud fra tabellen kan man se, at den største effekt batteriet afsætter i resistoren er omkring 129·10 W.

Dette sker, når der er et spændingsfald på 80·10^{-3} V over resistoren.

c)

Hvis n_{e} er det nødvendige antal betapartiker/elektroner, som skal løbe igennem kredsløbet, kan de

beskrives på følgende måde:

𝑛_{𝑒} =

𝑞 𝑒

Side 11

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

11

Aktiviteten A som er nødvendig for at opnå den rigtige mængde elektroner, kan beskrives op følgende måde:

𝐴=𝑘∙ 𝑁=− = = =

Δ𝑁 𝑛_{𝑒} 𝑞

Δ𝑡 Δ𝑡 Δ𝑡 Δ𝑡 ∙ 𝑒 𝑞 𝑒

Samtidig ved vi, at strømstyrken gennem et kredsløb kan beskrives på følgende måde:

𝐼=

𝑞

Δ𝑡

Det nødvendige antal kerner Ni-63 som skal være til stede, kan bestemmes med følgende formel:

𝑘∙ 𝑁= =

𝑞 𝐼

Δ𝑡∙ 𝑒 𝑒

⇕

𝑁= =

𝐼 𝐼 𝑒∙ 𝑘

𝑒∙_{1}

ln2

𝑇

2

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Strømstyrken gennem kredsløbe: 𝐼=2,40 ∙ 10^{−9} A
• Elementarladningen: 𝑒=1,60217649 ∙ 10^{−19} C
• Halveringstiden for Ni-63: 𝑇 1_{2} =100 år=3,1536 ∙ 10^{9} s

𝑁=

2,40 ∙ 10^{−9} A
1,60217649 ∙ 10^{−19} C ∙

ln2

3,1536 ∙ 10^{9} s
=6,81525 ∙ 10^{19}
=6,82 ∙ 10^{19}

Strømstyrken udgøres imidlertid kun 15 % af det samlede henfald. Det vil sige, at det nødvendige antal

kerner N_{nød} har følgende værdi:

𝑁_{𝑛ø𝑑} = =4,54350 ∙ 10^{20} =4,54 ∙ 10^{20}

6,82 ∙ 10^{19}

15 %

Massen m, som er nødvendig, kan beregnes på følgende måde:

𝑚=𝑚 ∙ 𝑁_{𝑛ø𝑑}

𝑁𝑖

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Atommassen for Ni-63: 𝑚_{𝑛𝑖} =62,9296694 u=1,04497156451 ∙ 10^{−25} kg
• Det nødvendige antal kerner: 𝑁_{𝑛ø𝑑} =4,54350 ∙ 10^{20}

𝑚=1,04497156451 ∙ 10^{−25} kg ∙ 4,54350 ∙ 10^{20}
=4,74783 ∙ 10^{−5} kg

Side 12

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

12

=4,75 ∙ 10^{−5} kg
=0,0475 g

                                                                            -5
Den nødvendige masse, for at mikrobatteriet kan levere en strøstyrke på 2,040 nA, er 4,75·10 kg, hvilket

svarer til 0,0475 g.

Side 13

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

13

Opgave 6 – Eridani B a)

Ved hjælp af Wiens forskydningslov kan vi beregne bølgelængden λ_{max}, hvor intensitetsfordelingen har sit

maksimum:

𝜆_{𝑚𝑎𝑘𝑠} =

2,898 ∙ 10^{−3} m ∙ K
𝑇_{𝑒𝑓𝑓}

Vi indsætter følgende størrelse angivet i SI-enhed i formlen:

• Den effektive overfladetemperatur: 𝑇_{𝑒𝑓𝑓} =16,8 ∙ 10^{3} K

𝜆_{𝑚𝑎𝑘𝑠} =

2,898 ∙10^{−3} m ∙K
16,8 ∙10^{3} K
=1,725 ∙ 10^{−7} m
=173 nm

Bølgelængden, hvor intensitetsfordelingen som funktion af bølgelængden har sit maksimum, er 173 nm.

b)

Eridani B’s intensitet I ved Jorden kan bestemmes med følgende formel:

𝐼=

𝐿

4 ∙ 𝜋∙ 𝑅^{2}

Vi indsætter formlen for lysstyrke:

𝐼= =

4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟^{2} ∙ 𝜎 ∙𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4} 𝑟^{2} ∙ 𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}
4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅^{2} 𝑅^{2}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Eridani B’s radius: 𝑟=9,47 ∙ 10^{6} m
• Stefan-Bolzmann konstanten: 𝜎=5,670 ∙ 10^{−8}_{m^{2}}^{W}_{∙K^{4}}
• Den effektive overfladetemperatur: 𝑇_{𝑒𝑓𝑓} =16,8 ∙ 10^{3} K
• Eridani B’s afstand til Jorden: 𝑅=16,5 ly=1,5610155 ∙ 10^{17} m

𝐼=

( 9,47 ∙ 10^{6} m)^{2} ∙ 5,670 ∙ 10^{−8}_{2} ∙ ( 16,8 ∙ 10^{3} K)^{4}

W

m ∙ K^{4}
( 1,5610155 ∙ 10^{17} m)^{2}
=1,662286 ∙ 10^{−11}

W

m^{2}

Tiden Δt, som teleskopet skal belyses, kan beregnes med følgende formel:

Side 14

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

14

𝑃= =𝐼∙ 𝐴

Δ𝐸

Δ𝑡

⇕

Δ𝑡=

Δ𝐸

𝐼∙ 𝐴

Vi indsætter følgende størrelse angivet i SI-enhed i formlen:

• Energien der skal til, for at Eridani B kan observeres: Δ𝐸=5,0 ∙ 10^{−8} J
• Eridani B’s intensitet ved Jorden: 𝐼=1,662286 ∙ 10^{−11}_{m^{2}}^{W}
• Arealaet af teleskopets åbning: 𝐴=0,20 m^{2}

Δ𝑡=

5,0 ∙ 10^{−8} J
1,662286 ∙ 10^{−11} ∙ 0,20 m^{2}

W

m^{2}
=1,50395 ∙ 10^{4} s
=1,5 ∙ 10^{4} s
=4,2 h

                                        4
Eridani B skal minimum belyse teleskopet i 1,5·10 s, hvilket svarer til 4,2 timer. Dette synes at være en ret

lang eksponeringstid. Hvis ikke stjernen skal blive en streg pga. Jordens rotation, må teleskopet skulle rotere. Det synes umiddelbart utroligt, at man har kunnet observere Eridani B allerede i 1783, før den fotografiske plade er blevet opfundet, hvis man brugte dette teleskop.

Side 15

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

15

Opgave 7 – Båd for anker a)

Effekten P, hvormed elmotoren trækker ankeret op, kan bestemmes med følgende formel:

𝑃=𝐹∙ 𝑣∙ cos ( 𝜃)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Størrelsen af kraften, som elmotoren trækker med: 𝐹=386 N
• Hastigheden hvormed ankeret trækkes op: 𝑣=18_{min}^{m} =3,0 ∙ 10^{−1}^{m}_{s}
• Vinkel mellem hastigheds- og kraftvektoren: 𝜃=0 °

𝑃=386 N ∙ 3,0∙ 10^{−1} ∙ cos ( 0 °)

m s

=1,158 ∙ 10^{2} W
=1,2 ∙ 10^{2} W

Effekten, hvormed elmoteren trækker ankeret op er på 1,2·10^{2} W.

Tip: Husk at indstille CAS til at regne vinkler i grader.

b)

Vi antager at båden befinder sig i 15 °C varmt vand i danske farevande.

Opdriften F_{op,anker} på ankeret, kan bestemmes med følgende formel:

𝐹_{𝑜𝑝,𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟} =𝜌_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ∙ 𝑉_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟} ∙ 𝑔=𝜌_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ∙ ∙ 𝑔

𝑚

𝜌_{𝑎𝑙𝑢}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Vands densitet ved 15 °C: 𝜌_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =999,13_{m^{3}}^{kg}
• Massen af ankeret: 𝑚=14,4 kg
• Aluminiums densitet ved 15 °C: 𝜌_{𝑎𝑙𝑢} =2,70 ∙ 10^{3}_{m^{3}}^{kg}
• Tyngde accelerationen i Danmark: 𝑔=9,82_{s^{2}}^{m}

𝐹_{𝑜𝑝,𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟} =𝜌_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ∙ 𝑉_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟} ∙ 𝑔=999,13 ∙ ∙ 9,82

kg 14,4 kg m

m^{3} s^{2}
2,70 ∙ 10^{3}_{3}

kg m

=52,3277 N
=52,3 N

Opdriften på ankeret, når det er helt under vand, er 52,3 N.

Side 16

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

16 c)

I denne opgave regner vi kræfter positivt i opadgående retning og i venstre vandret retning. Vi antager, at båden ligger stille. Det betyder, at den resulterende kraft på båden er nul.

Kraften F_{anker}, som ankeret påvirker båden med, deler vi op i to komposanter: En lodret komposant F_{anker,y}
og en vandret F_{anker,x}. Da den resulterende kraft er nul, må summen af alle lodrette kræfter også være nul.
Altså må opdriften på båden F_{op,båd} have samme størrelse som summen af tyngdekraften F_{t} på båden og

anker-kraftens lodrette komposant F . Vi kan dermed bestemme anker-kraftens lodrette komposant
                              anker,y

F_{anker,y} med følgende formel:

𝐹_{𝑜𝑝,𝑏å𝑑} =− ( 𝐹_{𝑡} + 𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦})

⇕

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦} =𝐹_{𝑜𝑝,𝑏å𝑑} + 𝐹_{𝑡} =𝐹_{𝑜𝑝,𝑏å𝑑} + 𝑔 ∙ 𝑚_{𝑏å𝑑}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Opdriften på båden: 𝐹_{𝑜𝑝,𝑏å𝑑} =6,22 ∙ 10^{3} N
• Tyngde accelerationen i Danmark: 𝑔=−9,82_{s^{2}}^{m}
• Bådens masse: 𝑚_{𝑏å𝑑} =560 kg

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦} =6,22 ∙ 10^{3} N − 9,82 ∙ 560 kg

m

s^{2}
=7,208 ∙ 10^{2} N
=7,21 ∙ 10^{2} N

Ved hjælp af trekantsregning kan vi bestemme størrelsen på ankerkraften med følgende formel:

sin ( 𝜃) =

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦}
𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟}

⇕

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟} =

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦}

sin ( 𝜃)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Anker-kraftens lodrette komposant: 𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦} =7,21 ∙ 10^{2} N
• Vinklen mellem anker-kraften og vandret: 𝜃=17 °

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟} =

−7,21∙ 10^{2} N

sin ( 17 °)

=2,4654 ∙ 10^{3} N
=2,47 ∙ 10^{3} N

Side 17

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

17

Da den resulterende kraft er nul, må summen af alle vandrette kræfter også være nul. Altså må størrelsen

af anker-kraftens vandrette komposant F have samme størrelse som den kraft F , hvormed
                                 anker,x                            strøm

havstrømmen påvirker båden:

−𝐹_{𝑠𝑡𝑟ø𝑚} =𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑥}

Vi kan bestemme kraften F_{strøm}, hvormed havstrømmen påvirker båden med følgende formel:

tan ( 𝜃) = =

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦} 𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦}
𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑥} −𝐹_{𝑠𝑡𝑟ø𝑚}

⇕

𝐹_{𝑠𝑡𝑟ø𝑚} =−

𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦}

tan ( 𝜃)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Anker-kraftens lodrette komposant: 𝐹_{𝑎𝑛𝑘𝑒𝑟,𝑦} =7,21 ∙ 10^{2} N
• Vinklen mellem anker-kraften og vandret: 𝜃=17 °

𝐹_{𝑠𝑡𝑟ø𝑚} =−

7,21 ∙ 10^{2} N

tan ( 17 °)

=−2,3576 ∙ 10^{3} N
=−2,36 ∙ 10^{3} N

Når vi indtegner kræfterne på Bilag 2, kommer det til at se ud på følgende måde:

Side 18

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2011

18

Man kan diskutere, hvorvidt det er rigtigt, at tegne havstrøms-kraften F i båden massemidtpunkt. Man
                                                          strøm

kan argumentere for, at den bør starte i bådens venstre side, hvor vandet skubber til båden. Når jeg har valgt at tegne den fra massemidtpunktet, skyldes det, at det er mere overskueligt at se på.