STX Fysik A 2010 28. maj - Vejledende besvarelse

Side 1

Vejledende besvarelse fra Studiekompasset.dk

Fysik A

STX

Fredag den 28. maj 2010

2stx101-FYS/A-

Side 2

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

2

Opgave 1 – Sutteflaske a)

Hvis vi antager at al energien går til opvarmning af mælken, kan den gennemsnitlige effekt P der tilføres beregnes med følgende formel:

𝑃=

Δ𝐸

Δ𝑡

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Den tilførte energi: Δ𝐸=18 ∙ 10^{3} J
• Tiden opvarmningen strækker sig over: Δ𝑡=240 s

𝑃=

18 ∙ 10^{3} J

240 s

=75 W

Den gennemsnitlige effekt, hvormed mælken er blevet tilført energi underopvarmning, er 75 W.

b)

Vi antager at mælken har samme specifikke varmekapacitet som vand, samtidig antager vi, at al energien går til opvarmning af mælken og det rustfrie stålelement.

Massen af mælk m_{mælk} kan bestemmes ved følgende formel:

𝑄_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡} =𝑄_{𝑚æ𝑙𝑘} + 𝑄_{𝑠𝑡å𝑙}
=𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} ∙ Δ𝑇 + 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ 𝑐_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ Δ𝑇
= ( 𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ 𝑐_{𝑠𝑡å𝑙}) ∙ Δ𝑇
=(𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ 𝑐_{𝑠𝑡å𝑙}) ∙ ( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})

⇕

𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ 𝑐_{𝑠𝑡å𝑙} =

𝑄_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡}
( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})

⇕

𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} ∙ 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} = − 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ 𝑐_{𝑠𝑡å𝑙}

𝑄_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡}
( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})

⇕

𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} =

𝑄_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡}
( 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})

− 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} ∙ 𝑐_{𝑠𝑡å𝑙}
𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

Side 3

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

3

Vi indsætter følgende størrelser i formlen:

• Den samlede tilførte energi til sutteflasken med mælk: 𝑄_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡} =18 ∙ 10^{3} J
• Sluttemperaturen: 𝑇_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =37 °C
• Starttemperaturen: 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =15 °C
• Massen af det rustfrie stålelement: 𝑚_{𝑠𝑡å𝑙} =0,129 kg

                                         𝐽
• Ståls specifikke varmekapacitet: 𝑐 = 510
                              𝑠𝑡å𝑙
                                        𝑘𝑔∙𝐾

• Vands specifikke varmekapacitet: 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} =4182_{𝑘𝑔∙𝐾}

𝐽

𝑚_{𝑚æ𝑙𝑘} = = =

18 ∙ 10^{3} J J 18 ∙ 10^{3} J J
37 °C − 15 °C kg ∙ K 22 K kg ∙ K

− 0,129 kg ∙ 510 − 0,129 kg ∙ 510

4182 4182

J J kg ∙ K kg ∙ K

=0,18 kg

Massen af mælken er 0,18 kg.

Tip: Normalvis er det en god idé kun at regne med SI-enheder, men i netop dette tilfælde, er det ligegyldigt, med temperaturen. Dette skyldes at vi regner på FORSKELLEN mellem to størrelser og ikke forholdet. Trækker man Celsius fra Celsius får man altså Kelvin (eller Celsius, man bestemmer selv). Er man i tvivl, om man kan nøjes med at regne i Celsius, bør man altid regne Celsius om til Kelvin.

Enhederne i formlen går ud med hinanden på følgende måde:

𝐉 𝐉

𝐊 𝐤𝐠 ∙ 𝐊

− 𝐤𝐠 ∙

𝐉 𝐉 𝐉 𝟏 𝐤𝐠 ∙ 𝐊 𝐤𝐠 ∙ 𝐊 𝐤𝐠 ∙ 𝐊 𝐤𝐠

= = = =𝐤𝐠

𝐉 𝐉 𝐉

𝐊 𝐊 𝐊

−

𝟏

I facit har jeg afrundet til det rigtige antal betydende cifre. Det rigtige antal cifre er i dette tilfælde 2, da energien og temperaturene kun er oplyst med 2 betydende cifre.

Side 4

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

4

Opgave 2 – Airbus a)

Vi antager at flyet står i Danmark. Ifølge Newtons 2. lov kan størrelsen af tyngdekraften F_{t} på flyet kan

beregnes på med følgende formel:

𝐹_{𝑡} =𝑚∙ 𝑔

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Massen af flyet: 𝑚=69,0 ∙ 10^{3} kg
• Tyngdeaccelerationen i Danmark: 𝑔=9,82^{m}_{s^{2}}

𝐹_{𝑡} =69,0 ∙ 10^{3} kg ∙ 9,82

m

s^{2}

=6,78 ∙ 10^{5} N

                                      5
Størrelsen af tyngdekraften på flyet er 6,78·10 N.

Tip: Det er vigtigt at man forklarer, hvorfor man bruger den pågældende tyngdeacceleration. Vi har i denne opgave valgt at antage at flyet står i Danmark. Hvis ens IT-værktøj har indbygget en værdi for g, må man ikke bare hovedløst bruge den, ellers viser man nemlig ikke, at man er i stand til at slå tyngdeaccelerationen op.

b)

Flyt bliver påvirket af to modsatrette kræfter: Gnidningskraften F og en fremadrettet kraft F . Samtidig
                                                     gnid                   frem

bliver flyet påvirket af normalkraften, der ved start har samme størrelse som tyngdekraften. Vi lader F
                                                                                  frem

pege i positiv retning. Ved at bestemme den resulterende kraft F
                                                    res

, kan vi således regne flyets acceleration a ud med følgende formel:

𝐹=𝑚 ∙ 𝑎

⇕

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝐹_{𝑓𝑟𝑒𝑚} + 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑} =𝑚∙ 𝑎

⇕

𝑎=

𝐹_{𝑓𝑟𝑒𝑚} + 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑}

𝑚

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Den fremadrettede kraft på flyet: 𝐹_{𝑓𝑟𝑒𝑚} =284 ∙ 10^{3} N
• Gnidningskraften på flyet: 𝐹_{𝑔𝑛𝑖𝑑} =−70,7 ∙ 10^{3} N
• Flyets masse 𝑚=69,0 ∙ 10^{3} kg

𝑎=

284 ∙ 10^{3} N + ( −70,7 ∙ 10^{3} N)
69,0 ∙ 10^{3} kg

Side 5

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

5

=3,09

m

s^{2}

                                      2
Flyets acceleration, når det starter, er 3,09 m/s .

Tip: I opgaver, hvor der nævnes kræfter, skal man som regel lave en kraftanalyse. Jeg laver ikke en kraftanalyse i dette tilfælde, da vi her kun regner i 1 dimension.

c)

Ved at integrere accelerationsfunktionen a(t) i forhold til tiden, udregner vi ændringen i flyets fart Δv. Da

flyet har farten nul ved start, vil fartændringen være lig med den slutfarten v , når flyet letter.
                                                              slut

Vi kan regne slutfarten ud med følgende bestemte integral:

𝑣_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =Δ𝑣=∫ 𝑎 ( 𝑡) d𝑡 =∫ (−0,044 ∙ 𝑡+ 3,1)d𝑡

𝑡_{𝑙𝑒𝑡} 𝑡_{𝑙𝑒𝑡}

𝑡_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} 𝑡_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}

𝑚 𝑚

𝑠^{3} 𝑠^{2}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Tidspunktet flyet letter: 𝑡_{𝑙𝑒𝑡} =29 s
• Tidspunktet flyet starter: 𝑡_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} =0 s

𝑣_{𝑠𝑙𝑢𝑡} =∫ (−0,044 ∙ t + 3,1)d𝑡

m m

s^{3} s^{2}

29

0

= [ −0,044 ∙ 𝑡^{2} + 3,1 ∙ 𝑡]_{0}

m m

s^{3} s^{2}

29

=−0,044 ∙ ( 29 s)^{2} + 3,1 ∙ 29 s

m m

s^{3} s^{2}

=71

m s

=2,6 ∙ 10^{2}

km h

                2
Flyets fart er 2,6·10 km/t når det letter.

Tip: Jeg angiver facit med det rigtige antal betydende cifre. I dette tilfælde er der to betydende cifre, da starttidspunktet kun er oplyst med 2 cifre.

Er man lidt usikker i at udregne et bestemt integral, kan man gøre det med et cas-værktøj eller lignende.

Side 6

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

6

Det er bare vigtigt at man redegør for, hvordan man gør, og hvordan man bestemmer enheder på facittet.

Når man skal bestemme enheder for et bestem integral, skal man ”holde tungen lige i munden”, da dette godt kan være svært. Derfor er hovedreglen den, at man skal benytte sig af størrelser, der er angivet med SI-enheder. Gør man dette, kommer facit også ud i SI-enheder. Ved man hvilken fysisk størrelse, man regner på, ved man også hvad enheden skal være.

Side 7

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

7

Opgave 3 – Skilift a)

Vandråben udfører en jævn cirkelbevægelse. Vi lader tyngdekraften virke i negativ retning i vores koordinatsystem (Se evt. figur). Derfor er tyngdeaccelerationen negativ. Samtidig antager vi, at skiliften befinder sig i Danmark.

Da vanddråben ikke bevæger sig i lodretretning, må tyngdekraften F have den samme
                                                       t

størrelse som kraften F’s lodrette komposant F
                                      y

. Da kraften F’s vandrette komposant har

samme størrelse som centripetalkraften F
                                  cen

, kan vi med trekantsregning bestemme denne størrelse med følgende formel:

tan ( 𝑤) = = =

𝐹_{𝑐𝑒𝑛} 𝐹_{𝑐𝑒𝑛} 𝐹_{𝑐𝑒𝑛}
𝐹_{𝑦} −𝐹_{𝑡} −𝑚 ∙ 𝑔

⇕

𝐹_{𝑐𝑒𝑛} =−𝑚∙ 𝑔 ∙ tan ( 𝑤)

I sidste omformning i øverste linje benytter vi os af, at en kraft er defineret som masse ganget acceleration.

Da dråben udfører en jævncirkelbevægelse, gælder følgende formel om accelerationen a, som centripetalkraften giver dråben:

𝑎=

𝑣^{2}

𝑟

⇕

𝐹_{𝑐𝑒𝑛} =𝑚∙ 𝑎=𝑚∙

𝑣^{2}

𝑟

Ved at sætte de to formler sammen for centripetalkraften F_{cen} og isolere v, kan vi bestemme farten:

−𝑚 ∙ 𝑔∙ tan ( 𝑤) =𝑚∙

𝑣^{2}

𝑟

⇕

−𝑔 ∙ tan ( 𝑤) =

𝑣^{2}

𝑟

⇕

𝑣= √ −𝑔 ∙ 𝑟∙ tan ( 𝑤)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Dråbens afstand fra omdrejningspunktet: 𝑟=0,95 m
• Tyngdeaccelerationen i Danmark: 𝑔=−9,82_{s^{2}}^{m}
• Vinklen mellem F og F_{t}: 𝑤=25 °

𝑣= √ −(−9,82 ∙ 10^{−3} kg) ∙ 0,95 m ∙ tan ( 25 °)

m

s^{2}
=2,0857

m s

Side 8

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

8

=2,1

m s

                                  2
Dråbens fart i cirkelbevægelsen er 2,1 m/s .

Tip: I opgaver, hvor der nævnes kræfter, skal man som regel lave en kraftanalyse.

Side 9

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

9

Opgave 4 – Diodelys a)

Vi kan regne effekten P for lysdioden ud med følgende formel:

𝑃=𝑈∙ 𝐼

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Spændingsforskellen over dioden: 𝑈=2,7 V
• Strømstyrken gennem dioden 𝐼=0,50 ∙ 10^{−3} A

𝑃=2,7 V ∙0,50 ∙ 10^{−3} A

=1,4 ∙ 10^{−3} W

Når lysdioden begynder at lyse, omsætter den energi med en effekt på 1,4·10^{-3} W. Det bemærkes, at

effekten er meget lav. Dette er typisk for lysdioder.

b)

Spændingsfaldet U_{d} over én diode når den gennemløbes af strøstyrken I= 2 mA, bestemmes vha. grafen til

at være følgende:

𝑈_{𝑑} =2,9 V

Da vi ved, at resistoren er serieforbundet med de fire lysdioder,

kan vi beregne spændingsfaldet U_{r} over resistoren med

følgende formel:

𝑈_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡} =𝑈_{𝑟} + 4 ∙ 𝑅_{𝑑}

⇕

𝑈_{𝑟} =𝑈_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡} − 4 ∙ 𝑅_{𝑑}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Det samlede spændingsfald over resistoren og lysdioderne: 𝑈_{𝑠𝑎𝑚𝑙𝑒𝑡} =12,0 V
• Spændingsfaldet over én lysdiode: 𝑈_{𝑑} =2,9 V

𝑈_{𝑟} =12,0 V − 4 ∙ 2,9 V

=0,40 V

Resistorens resistans R kan beregnes med Ohms lov:

𝑈_{𝑟} =𝑅∙ 𝐼

⇕

Side 10

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

10

𝑅=

𝑈_{𝑟}

𝐼

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Spændingsfaldet over resistoren: 𝑈_{𝑟} =0,40 V
• Strømstyrken gennem resistoren: 𝐼=2,0 ∙ 10^{−3} A

𝑅=

0,4 V

2,0 ∙ 10^{−3} A

=2,0 ∙ 10^{2} Ω

                                       2
Resistansen for resistoren i kredsløbet er 2,0·10 Ω, når strømstyrken er 2,0 mA.

Tip: Det rigtige antal betydende cifre er her 2, da strømstyrken kun er angivet med 2 betydende cifre.

Side 11

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

11

Opgave 5 – Solneutrinoer a)

Reaktionsskemaet for reaktionen ser ud som følger:

𝐵→ 𝐵𝑒_{4}^{8} + 𝑒_{1}^{0} + 𝑣_{𝑒}

5

8

Da Bor-8 atomet udsender en positron, må det henfalde til en Be-8 kerne. Ellers stemmer nukleontallet og ladningen ikke overens. Samtidig må reaktionen ende ud med en neutrino, for at leptontallet også stemmer.

Vi kan beregne Q-værdien for reaktionen med følgende formel:

𝑄=−Δ𝑚 ∙ 𝑐^{2}

Da DATABOG’en kun oplyser atommasser og ikke kernemasser, må der tages højde for elektroner.

Slutproduktet af reaktionen indeholder en elektronmasse mere end startproduktet (en elektron og en positron har samme masse). Da atommassen for bor indeholder 5 elektronmasser, og atommassen for beryllium indeholder 4 elektronmasser, skal der lægges to elektronmasser til slutproduktet, for at det indeholder en ekstra. Med baggrund i ovenstående kommer den egentlige formel for Q-værdien til at se ud som følger:

𝑄=−Δ𝑚 ∙ 𝑐^{2} = ( 𝑚_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡} − 𝑚_{𝑠𝑙𝑢𝑡}) ∙ 𝑐^{2} = ( 𝑚_{𝐵} − (𝑚_{𝐵𝑒} + 2 ∙ 𝑚_{𝑒}) ∙ 𝑐^{2}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Atommassen for bor-8: 𝑚_{𝐵} =8,024607 u=8,024607 u ∙ 1,6605387∙ 10^{−27}^{kg}_{u}
=1,33251711178 ∙ 10^{−26} kg
• Atommassen for beryllium-8: 𝑚_{𝐵𝑒} =8,005305 u=1,32931193982∙ 10^{−26} kg
• Massen for en elektron/positron: 𝑚_{𝑒} =0,000548580 u=9,10938363932 ∙ 10^{−31} kg
• Lysets fart: 𝑐=2,99792458 ∙ 10^{8}^{m}_{s}

𝑄= ( 1,33251711178∙ 10^{−26} kg − ( 1,32931193982∙ 10^{−26} kg + 2 ∙ 9,10938363932 ∙ 10^{−31} kg))

∙ (299792458)

m^{2}

s

=2,71692277716 ∙ 10^{−12} J

=2,71692 ∙ 10^{−12} J

              8                        -12
Ved henfaldet af B bliver der frigivet 2,71692·10 J. Denne energi går til kinetisk energi for en af de tre

                                                              -12
partikler i reaktionsproduktet. Nogle gange vil neutrinoen opnå over 1,12·10 J, som er

detektionsgrænsen. Dette skyldes at den frigivne energi er større end denne grænse. Dermed kan

                                               8
SuperKamionkande detektere neutrinoer fra henfaldet af B.

Side 12

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

12

Opgave 6 – Bellatrix a)

Ved hjælp af Wiens forskydningslov kan vi beregne bølgelængden λ_{max}, hvor intensitetsfordelingen har sit

maksimum:

𝜆_{𝑚𝑎𝑘𝑠} =

2,898 ∙ 10^{−3} m ∙ K
𝑇_{𝑒𝑓𝑓}

Vi indsætter følgende størrelse angivet i SI-enhed i formlen:

• Den effektive overfladetemperatur: 𝑇_{𝑒𝑓𝑓} =21,5 ∙ 10^{3} K

𝜆_{𝑚𝑎𝑘𝑠} =

2,898 ∙ 10^{−3} m ∙ K
21,5 ∙ 10^{3} K

=1,347907 ∙ 10^{−7} m

=1,35 ∙ 10^{−7} m

=135 nm

Bølgelængden, hvor intensitetsfordelingen som funktion af bølgelængden har sit maksimum, er 135 nm.

Tip: Jeg har angivet facit med den rigtige mængde at betydende cifre. Det rigtige antal betydende cifre er her 3, da overfladetemperaturen kun er oplyst med tre betydende cifre.

b)

Afstanden R fra Jorden til Bellatrix kan vi beregne med følgende formel:

𝐼=

𝐿

4 ∙ 𝜋∙ 𝑅^{2}

⇕

𝑅=

√

𝐿

4 ∙ 𝜋 ∙ 𝐼

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

                                    29
• Bellatrix’ lysstyrke: 𝐿  =9,2 ∙ 10  W
                    𝑏𝑒𝑙𝑙𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥

• Intensiteten målt ved jorden: 𝐼=1,4 ∙ 10^{−8}_{m^{2}}^{W}

Side 13

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

13

𝑅=
√

9,2 ∙ 10^{29} W
4 ∙ 𝜋 ∙ 1,4 ∙ 10^{−8}_{2}

W m

=2,28678 ∙ 10^{18} m

=2,3 ∙ 10^{18} m

                                  18
Afstanden fra Jorden til Bellatrix er 2,3·10 m.

c)

Vi antager at Bellatrix har form som en kugle med radius r. Befinder et legeme sig med massen m på overfladen af Bellatrix, kan tyngdekraften F på legemet beskrives på følgende måde:

𝐹=𝑚 ∙ 𝑔

Her er g tyngdeaccelerationen på overladen. Hvis Bellatrix har massen M kan tyngdekraften også beskrives vha. Newtons gravitationslov. Det giver os følgende udtryk for tyngdeaccelerationen:

𝐹=𝑚 ∙ 𝑔=𝐺∙

𝑚 ∙ 𝑀

𝑟^{2}

⇕

𝑔=𝐺∙

𝑀

𝑟^{2}

                                        2
Vi bestemmer først kvadratet på Bellatrix’ radius r

, som kan bestemmes med Stefan-Boltzmanns lov:

𝐿=4 ∙ 𝜋∙ 𝑟^{2} ∙ 𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

⇕

𝑟^{2} =

𝐿

4 ∙ 𝜋∙ 𝜎 ∙ 𝑇_{𝑒𝑓𝑓}^{4}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Bellatrix’ lysstyrke: 𝐿=9,2 ∙ 10^{29} W
• Stefan-Boltzmann konstanten: 𝜎=5,670 ∙ 10^{−8}_{m^{2}}^{W}_{∙K^{4}}

                                                        3
• Den effektive overfladetemperatur på Bellatrix: 𝑇 =21,5 ∙ 10 K
                                           𝑒𝑓𝑓

𝑟^{2} =

𝐿

4 ∙ 𝜋 ∙ 𝜎∙ 𝑇^{4}

=

9,2 ∙ 10^{29} W
4 ∙ π ∙ 5,67051 ∙ 10^{−8}_{2}_{4} ∙ ( 21,5 ∙ 10^{3} K)^{4}

W m ∙ K

Side 14

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

14

=6,0423 ∙ 10^{18} m^{2}

Vi kan nu beregne tyngdeaccelerationen, og indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen for tyngdeaccelerationen g:

• Gravitationskonstanten: 𝐺=6,6742 ∙ 10^{−11}^{N∙m^{2}}_{kg^{2}}
• Massen af Bellatrix: 𝑀=1,7 ∙ 10^{31} kg
• Kvadratet på radius: 𝑟^{2} =6,0423 ∙ 10^{18} m^{2}

𝑔=6,6742 ∙ 10^{−11} ∙

N ∙ m^{2} 1,7 ∙ 10^{31} kg
kg^{2} 6,0423 ∙ 10^{18} m^{2}

=187,7

m

s^{2}

=1,9 ∙ 10^{2}

m

s^{2}

                                              2    2
Tyngdeaccelerationen på overfladen af Bellatrix er 1,9·10 m/s , hvilket cirka svarer til 19 gange Jordens.

Tip: Jeg har afrundet facit til det rigtige antal betydende cifre, som i dette tilfælde er 2.

Side 15

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

15

Opgave 7 – Kanoner på Dronningens Bastion a)

I denne opgave lader vi kanonen bevæge sig i positiv retning i vores koordinatsystem. Vi antager, at der er

tale om et lukket system. Det betyder, at der er impulsbevarelse Δ𝑃=0. Det giver os følgende formel:

Δ𝑃=0

⇕

𝑃_{𝑓ø𝑟} =𝑃_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟}

⇕

𝑚_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} ∙ 𝑣_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} + 𝑚_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} ∙ 𝑣_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} =𝑚_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} ∙ 𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} + 𝑚_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} ∙ 𝑢_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒}

hvor 𝑣 er farten inden affyringen og 𝑢 er farten efter affyringen.

Vi ved at kanonens fart v_{kanon} og kanonkuglens fart v_{kugle} før affyring var nul. Vi kan derned bestemme
kanonens fart u_{kanon} efter affyring, ved at isolere den i formlen:

0=𝑚_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} ∙ 𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} + 𝑚_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} ∙ 𝑢_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒}

⇕

𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} =

− 𝑚_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} ∙ 𝑢_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒}
𝑚_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛}

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Massen af kuglen: 𝑚_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} =9,90 kg
• Kuglens fart efter affyring: 𝑢_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} =−610^{m}_{s}
• Kanonens masse 𝑚_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} =3,18 ∙ 10^{3} kg

𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} = =1,90

− 9,9 kg ∙ (−610)

m s

3,18 ∙ 10^{3} kg s

m

Vi har dermed vist, at kanonen bevæger sig tilbage med hastigheden 1,90 m/s.

b)

Vi antager at den mekaniske energi er bevaret. Ved at lade kanonen starte i højden nul i vores koordinatsystem, vil den her ikke have nogen potentiel energi, men kun kinetisk. Omvendt vil den ikke have nogen kinetisk energi i slutpunktet, men kun potentiel. Vi kan derfor opskrive følgende formel og isolere den lodrette afstand h mellem start og slutpunktet:

𝐸_{𝑘𝑖𝑛} =𝐸_{𝑝𝑜𝑡}

⇕

1

2

∙ 𝑚 ∙ 𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛}^{2} =𝑚∙ 𝑔 ∙ ℎ

⇕

Side 16

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

16

1

2

∙ 𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛}^{2} =𝑔∙ ℎ

⇕

ℎ=

𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛}^{2}

2 ∙ 𝑔

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Kanonens fart: 𝑢_{𝑘𝑎𝑛𝑜𝑛} =1,90^{m}_{s}
• Tyngdeaccelerationen i Danmark: 𝑔=9,82^{m}_{s^{2}}

ℎ=

(1,90)

m^{2}

s

2 ∙ 9,82_{2}

m s

=0,183809 m

Afstanden l, som kanonen bevæger sig op ad skråplanet, kan vi bestemme med trekantsregning. Det gør vi med følgende formel (se evt. figur):

sin ( 𝑤) =

ℎ 𝑟

⇕

𝑟=

ℎ sin ( 𝑤)

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Vinklen som skråplanet har til vandret: 𝑤=5°
• Højdeforskellen som kanonen tilbagelægger: ℎ=0,183809 m

𝑟=

0,183809 m sin ( 5)

=2,1 m

Kanonen ruller 2,1 meter op ad skråplanet.

Tip: En skitse af trekanten, der regnes på, kan se sådan ud:

Side 17

Fysik A STX – Skriftlig eksamen – 28. maj 2010

17 c)

I denne opgave regnes der kun med positive størrelser.

Hvis vi antager, at kuglen hverken roterer eller påvirkes af luften, vil den efter affyring bevæge sig med konstant fart vandret i retning, mens den vil bevæge sig med konstant acceleration i lodret retning. Dette kaldes for uafhængighedsprincippet. Kuglens hastighed før affyring er nul.

Med udgangspunkt i uafhængighedsprincippet kan vi beregne kuglens faldtid t med Galileis faldlov:

𝑠= ∙ 𝑔 ∙ 𝑡^{2}

1

2

⇕

𝑡= √

2 ∙ 𝑠 𝑔

Vi indsætter følgende størrelser angivet i SI-enheder i formlen:

• Kuglens højde over jorden/faldlængde: 𝑠=12 m
• Tyngdeaccelerationen i Danmark: 𝑔=9,82^{m}_{s^{2}}

𝑡=
√ m

2 ∙ 12 m

9,82_{2}

s

=1,563 s

Kuglens flyvelængde l, som den vil have tilbagelagt, når den rammer vandet kan udregnes med følgende formel:

𝑢_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} =

𝑙 𝑡

⇕

𝑙=𝑢_{𝑘𝑢𝑔𝑙𝑒} ∙ 𝑡

Vi indsætter nu kuglens faldtid angivet i SI-enhed i formlen:

𝑙=610 ∙ 1,563 s

m s

=9,5 ∙ 10^{2} m

                       2
Kuglen tilbagelægger 9,5·10 m i vandret retning, inden den rammer vandet.

Tip: I facit har jeg afrundet til det rigtige antal betydende cifre. I dette tilfælde er det 2, da kanonens højde over vandet kun er oplyst med 2 betydende cifre (𝟏𝟐𝒎)