HTX Fysik A 2011 13. december - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

1

HTX Fysik A 13. december 2011

htx113-FYS/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive en kommentar om, at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

Opgave 1 a)

Der er følgende sammenhæng mellem varmekapaciteten 𝐶 og den specifikke varmekapacitet 𝑐

𝐶 = 𝑐 · 𝑚

Varmekapaciteten for blandingen af vand og saft kan bestemmes som:

𝐶_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} = 𝐶_{𝑠𝑎𝑓𝑡} + 𝐶_{𝑣𝑎𝑛𝑑}
= 𝑐_{𝑠𝑎𝑓𝑡} · 𝑚_{𝑠𝑎𝑓𝑡} + 𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} · 𝑚_{𝑣𝑎𝑛𝑑}

Hvor:

𝑐_{𝑠𝑎𝑓𝑡} = 3840

𝐽

𝑘𝑔 · ℃
= 3,840

𝐽

𝑔 · ℃

𝑐_{𝑣𝑎𝑛𝑑} = 4182

𝐽

𝑘𝑔 · ℃
= 4,182

𝐽

𝑔 · ℃

Massen af koncentreret saft svarer til stigningen i det tal, vægten viser, når saften hældes i:

𝑚_{𝑠𝑎𝑓𝑡} = 372 𝑔 − 292 𝑔
= 80 𝑔

Samme princip gælder for vandet:

𝑚_{𝑣𝑎𝑛𝑑} = 579 𝑔 − 372 𝑔
= 207 𝑔

Vi får så:

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

2

𝐶_{𝑏𝑙𝑎𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔} = 3,840 · 80𝑔 + 4,182 · 207𝑔

𝐽 𝐽

𝑔 ·℃ 𝑔 · ℃
= 1172,874 · 𝐽 · ℃^{−1}

                                         𝑘𝐽
Varmekapaciteten af saftevandet er altså ca. 1,17 .
                                         ℃

b)

Vi ser glasset, vandet og saftevandet som et isoleret system og ser således bort fra varmeudveksling med luften omkring systemet. Den samlede energitilvækst skal da være lig med nul, da systemet ikke tilføres energi udefra. Det vil sige:

Δ𝐸 = 0

Den samlede energitilvækst er lig med energitilvæksten af glasset, vandet og den koncentrerede saft, så:

𝛥𝐸_{𝑔𝑙𝑎𝑠} + Δ𝐸_{𝑣𝑎𝑛𝑑} + Δ𝐸_{𝑠𝑎𝑓𝑡} = 0

For hver af disse gælder, at:

Δ𝐸 = 𝑚 · 𝑐 · Δ𝑇
= 𝑚· 𝑐· (𝑇_{𝑓æ𝑙𝑙𝑒𝑠} − 𝑇_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡})

Af ikke-anvendte oplysninger har vi, at:

𝑚_{𝑔𝑙𝑎𝑠} = 292𝑔

𝑐_{𝑔𝑙𝑎𝑠} = 840

𝐽

𝑘𝑔 · ℃
= 0,840

𝐽

𝑔 · ℃

Starttemperaturerne opskrives:

𝑇_{𝑔𝑙𝑎𝑠} = 23,2℃

𝑇_{𝑠𝑎𝑓𝑡} = 5,8℃

𝑇_{𝑣𝑎𝑛𝑑} = 12,7℃

Vi får så:

292 𝑔 · 0,840 · (𝑇_{𝑓æ𝑙𝑙𝑒𝑠} − 23,2℃) + 207𝑔 · 4,182 · (𝑇_{𝑓æ𝑙𝑙𝑒𝑠} − 12,7℃) + 80 𝑔 · 3,840 · (𝑇_{𝑓æ𝑙𝑙𝑒𝑠} − 5,8℃) = 0

𝐽 𝐽 𝐽

𝑔 · ℃ 𝑔 · ℃ 𝑔 · ℃

⇕ Ligningen løses for T_faelles vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑇_{𝑓𝑎𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠} = 13,02138 · ℃

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

3

Den fælles temperatur af saftevand og glas, når der er opnået ligevægt, er således på 13,0℃ (idet der ses bort fra varmeudveksling med omgivelserne).

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

4

Opgave 2 a)

Resistansen af en pære kan bestemmes som:

𝑅 =

𝑈

𝐼

Hvor 𝑈 er spændingsfaldet over pæren, og 𝐼 er strømstyrken gennem pæren. Det er netop disse to størrelser, der måles af hhv. voltmeteret og amperemeteret, så:

𝑈 = 222,2 𝑉

𝐼 = 62,5 𝑚𝐴

Dvs.:

𝑅 =

222,2 𝑉

62,5 𝑚𝐴

= 3,5552 ·

𝑉 𝑚𝐴

≈ 3,56 𝑘Ω

Resistansen af en kertelpære i opstillingen på figur 2.2 er på 3,56 𝑘Ω.

b)

Effekten som afsættes i kredsløbet kan bestemmes som:

𝑃 =

𝑈^{2}
𝑅_{𝑒𝑟𝑠}

Da kertelpærerne er parallelkoblede gælder der, at:

1 1 1

𝑅_{𝑒𝑟𝑠} 𝑅_{1} 𝑅_{2}

= +

Pærerne er ens, så:

1 2

𝑅_{𝑒𝑟𝑠} 𝑅

=

⇕

𝑅_{𝑒𝑟𝑠} =

𝑅

2

Det vil sige:

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

5

𝑃 =

𝑈^{2}

𝑅

2

= 2 ·

𝑈^{2}

𝑅

Den afsatte effekt i kredsløbet bliver så:

𝑃 = 2 ·

( 222,2 𝑉)^{2}
3,5552 · 10^{3} Ω
≈ 27,775 · 𝛺^{−1} · 𝑉^{2}

≈ 27,8 𝑊

Vi konkluderer, at der afsættes 27,8 𝑊 i kredsløbet vist på figur 2.1.

c)

I en seriekobling er strømstyrken den samme i hele kredsløbet, så placeringen af amperemeteret er ligegyldig. Voltmeteret skal placeres omkring én af pærerne, da vi kun ønsker at måle spændingsfaldet over den ene pære (det er ligegyldigt hvilken pære vi vælger, da de er ens).

Vi tegner en mulig opstilling: d)

Resistansen af en Wolfram-tråd (og andre lignende materialer) er temperaturafhængig på følgende måde:

𝑅_{𝑡} = 𝑅_{0} · (1 + 𝛼_{0} · 𝑡)

Hvor 𝑅_{0} er resistansen ved 0^{o} C. Formlen kan generaliseres til:

𝑅_{2} = 𝑅_{1} · ( 1 + 𝛼_{0} · ( 𝑡_{2} − 𝑡_{1}))

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

6

𝑅_{2} er resistansen af én af de tændte pærer i figur 2.3. Der gælder, at:

𝑅_{2} =

𝑈

𝐼

Så:

𝑈

𝐼

= 𝑅_{1} · ( 1 + 𝛼_{0} · ( 𝑡_{2} − 𝑡_{1}))

Vi aflæser værdierne af voltmeteret og amperemeteret:

𝑈 = 111,4 𝑉

𝐼 = 41,2 𝑚𝐴 = 0,0412 𝐴

Wolframs resistanstemperaturkoefficient findes i opgavesættets indledende tekst:

𝛼_{0} = 0,0048 𝐾^{−1} = 0,0048 ℃^{−1}

𝑅_{1} = 325 Ω = 325

𝑉

𝐴

𝑡_{1} = 25℃

Vi får så:

111,4 𝑉 V

0,0412 𝐴 A

= 325 · ( 1 + 0,0048 ℃^{−1} · ( 𝑡_{2} − 25℃))

⇕ Ligningen løses for t_2 vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡_{2} = 1549,925 · ℃

                                                                            3
Temperaturen af glødetråden i kertepærerne i kredsløbet i figur 2.3 er således på ca. 1,55 · 10 ℃.

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

7

Opgave 3 a)

Kraftmomentet kan bestemmes som:

𝑀 = 𝐹 · 𝑟 · sin ( 𝜃)

Kraften er vinkelret på radius, så:

𝑀 = 𝐹 · 𝑟

Hvor:

𝐹_{𝑔𝑛𝑠} = 8 𝑁

Vi antager, at radius er lig med længden af et af de tre stykker, selvom dette ikke fremgår klart af

billedet/teksten:

𝑟 = 4,0 𝑐𝑚 = 0,040 𝑚

Så:

𝑀_{𝑔𝑛𝑠} = 8 𝑁 · 0,040 𝑚
= 0,32 · 𝑁 · 𝑚
≈ 0,3 𝑁 · 𝑚

Det kræver altså et gennemsnitligt kraftmoment på 0,3 𝑁 · 𝑚 at spænde fælden.

b)

Massen 𝑚 af tråden kan bestemmes som:

𝑚 = 𝑚_{𝑙} · 𝑙

Hvor 𝑚_{𝑙} angiver trådens masse pr. længde og 𝑙 angiver længden af tråden.

Densiteten af tråden kan findes som densiteten af stål, men den kan også beregnes som:

𝜌_{𝑠𝑡å𝑙} =

𝑚

𝑉

Vi antager, at tråden kan opfattes som en lang cylinder, så:

𝑉 = 𝜋 · 𝑟^{2} · 𝑙

= 𝜋 · () · 𝑙

𝑑^{2}

2

Vi kombinerer de tre formler til:

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

8

𝜌_{𝑠𝑡å𝑙} =

𝑚_{𝑙} · 𝑙

𝜋 · () · 𝑙

𝑑^{2}

2

=

4 · 𝑚_{𝑙}
𝜋· 𝑑^{2}

Hvor:

𝑚_{𝑙} = 0,120

𝑔 𝑐𝑚

Densiteten for stål er nogenlunde lig med densiteten for jern, som findes i opgavesættets indledende tekst:

𝜌_{𝑠𝑡å𝑙} ≈ 𝜌_{𝑗𝑒𝑟𝑛} = 7800

𝑘𝑔

𝑚^{3}
= 7,800

𝑔

𝑐𝑚^{3}

Dvs.:

7,800 =

𝑔

𝑐𝑚^{3} 𝜋· 𝑑^{2}

4 · 0,120

𝑔 𝑐𝑚

⇕ Ligningen løses for d vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑑 = −0,1399582 · | 𝑐𝑚 | ∨ 𝑑 = 0,1399582 · | 𝑐𝑚 |

Diameteren er selvfølgelig positiv (numerisktegn omkring 𝑐𝑚 kan desuden ignoreres, da det blot skyldes, at WordMat opfatter 𝑐𝑚 som en variabel), så vi konkluderer, at diameteren af ståltråden er på 1,40 𝑚𝑚.

c)

Inertimomentet er defineret som:

𝐼 = ∑𝑚_{𝑖} · 𝑟_{𝑖}^{2}

𝑛

𝑖=1

Vi antager, at bøjlen kan opfattes som et simpelt legeme, hvis masse kan opdeles i følgende tre masser:

𝑚_{𝐴} er massen af den ene ”stang”, der er tilnærmelsesvist vinkelret på fjederen.

𝑚_{𝐵} er massen af den anden ”stang”, der er tilnærmelsesvist vinkelret på fjederen.

𝑚_{𝐶} er massen af den tredje ”stang”, der er tilnærmelsesvist parallel med fjederen.

Vi antager, at alle ”stænger” er 4 cm lange, selvom det ikke fremgår helt tydeligt af teksten/billedet.

Stængerne har således også samme masse.

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

9

De første to stænger svarer til to stænger, der roteres omkring det ene endepunkt. Deres samlede inertimoment bliver da:

𝐼_{𝐴𝐵} = 2 · · 𝑚 · 𝑙^{2}

1

3

= · 𝑚 ·𝑙^{2}

2

3

Den sidste stang har hele sin masse placeret i afstanden 𝑙 fra omdrejningsaksen. Dens inertimoment bliver da:

𝐼_{𝐶} = 𝑚· 𝑙^{2}

Det samlede inertimoment bliver så:

𝐼 = · 𝑚 · 𝑙^{2} + 𝑚 · 𝑙^{2}

2

3

= · 𝑚 · 𝑙^{2}

5

3

Vi anvender som i b), at 𝑚 = 𝑚_{𝑙} · 𝑙 og får så:

𝐼 = · 𝑚_{𝑙} · 𝑙 · 𝑙^{2}

5

3

= · 𝑚_{𝑙} · 𝑙^{3}

5

3

= · 0,120 · ( 4,0 𝑐𝑚)^{3}

5 𝑔

3 𝑐𝑚

= 12,8 · 𝑐𝑚^{2} · 𝑔
= 12,8 𝑐𝑚^{2} · 𝑔 · ·

0,01𝑚 · 0,01𝑚 1 𝑘𝑔
1 𝑐𝑚^{2} 1000 𝑔
= 1,28 · 10^{−6} · 𝑘𝑔 · 𝑚^{2}
≈ 1,3 · 10^{−6} 𝑘𝑔 · 𝑚^{2}

Vi konkluderer, at 𝐼 = 1,3 · 10^{−6} 𝑘𝑔 · 𝑚^{2} er en tilnærmet værdi for bøjlens inertimoment.

d)

Ved den opnåede hastighed vil fældens rotationsenergi svare til det arbejde, som skulle udføres for at spænde bøjlen:

𝐸_{𝑟𝑜𝑡} = 𝐴

Hvor:

𝐸_{𝑟𝑜𝑡} = · 𝐼 · 𝜔^{2}

1

2

= · 𝐼 · ()

1 𝑣^{2}

2 𝑟

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

10

𝐴 = 𝑀 · Δ𝜑

Så:

1 𝑣^{2}

2 𝑟

· 𝐼 · () = 𝑀 · Δ𝜑

Det præcise inertimoment er:

𝐼 = 1,32 · 10^{−6} 𝑘𝑔 · 𝑚^{2}

Den øverste del af bøjlen har en afstand fra centrum på:

𝑟 = 4,0 𝑐𝑚 = 0,04 𝑚

Vi fandt i a), at:

𝑀 = 0,3 𝑁 · 𝑚 = 0,3 · 𝑚

𝑘𝑔 · 𝑚
𝑠^{2}

Bøjlen spændes ca. 180 grader, så:

Δ𝜑 = 2𝜋

Vi får så:

1 𝑣 𝑘𝑔 · 𝑚
2 0,04𝑚 𝑠^{2}

· 1,32 · 10^{−6} 𝑘𝑔 · 𝑚^{2} · () = 0,32 · 𝑚 ·2𝜋

2

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣 = −69,81568 · | 𝑚 | · | 𝑠 |^{−1} ∨ 𝑣 = 69,81568 · | 𝑚 | · | 𝑠 |^{−1}

Farten opfattes som positiv, og numerisktegn kan ignoreres. Den øverste del af bøjlen opnår en fart på ca.:

69,8 𝑚 𝑠 e)

Der gælder, om det resulterende kraftmoment, at:

𝑀 = 𝐼 · 𝛼

Det vil sige:

𝑀_{𝑔𝑛𝑠} = 𝐼 ·

Δ𝜔

Δ𝑡

Vinkelhastigheden er nul til at starte med, så:

𝑀_{𝑔𝑛𝑠} = 𝐼 ·

𝜔

Δ𝑡

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

11

= 𝐼 ·

𝑣 𝑟

Δ𝑡

=

𝐼 · 𝑣
𝑟 · Δ𝑡

Dvs.:

Δ𝑡 =

𝐼 · 𝑣
𝑟 · 𝑀_{𝑔𝑛𝑠}

=

1,32 · 10^{−6} 𝑘𝑔 · 𝑚^{2} · 69,81568

𝑚 𝑠

0,04 𝑚 · 0,32_{2} · 𝑚

𝑘𝑔 · 𝑚

𝑠

= 0,007199742·𝑠

≈ 7 𝑚𝑠

Der går ca. 7 𝑚𝑠 fra musefælden udløses, til fælden klapper.

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

12

Opgave 4 a)

Vi anvender idealgasligningen:

𝑝 · 𝑉 = 𝑛· 𝑅 · 𝑇

⇕

𝑛 =

𝑝· 𝑉
𝑅 · 𝑇
Ved 𝑡 = 0,000 𝑠 aflæser vi, at:

𝑉 = 15,7123 𝑐𝑚^{3}

= 15,7123 𝑐𝑚^{3} ·

1 𝑚^{3}
10^{6} 𝑐𝑚^{3}
= 1,57123 · 10^{−5} · 𝑚^{3}

𝑝 = 96,1943 𝑘𝑃𝑎
= 96,1943 · 10^{3} 𝑃𝑎

𝑇 = 299,901 𝐾

Vi anvender så:

𝑅 = 8,314

𝐽

𝑚𝑜𝑙 · 𝐾

Vi får så:

𝑛 =

96,1943 · 10^{3} 𝑃𝑎 · 1,57123 · 10^{−5} 𝑚^{3}
8,314 · 299,901 𝐾

𝐽

𝑚𝑜𝑙 · 𝐾
≈ 0,0006061794 · 𝐽^{−1} · 𝑃𝑎· 𝑚^{3} · 𝑚𝑜𝑙
= 0,0006061794 · 𝑚𝑜𝑙
= 6,061794 · 10^{−4} 𝑚𝑜𝑙

Inden gassen komprimeres er der således ca. 6,062 ·10^{−4} 𝑚𝑜𝑙 𝐶𝑂_{2} i cylinderen.

b)

Vi laver to kolonner i Excel, hvor hhv. tryk og volumen omregnes til standardenheder uden præfixer som i

                                            𝑝·𝑉
a). Derpå foretages udregninger af 𝑛 vha. formlen 𝑛 = som i a). (𝐼)
                                            𝑅·𝑇

Vi tegner så et (𝑡,𝑛)-plot i Excel:

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

13

Vi ser tydeligt af grafen, at stofmængden af 𝐶𝑂_{2} i cylinderen falder under kompressionen. Cylinderen er

således ikke tæt under kompressionen.

(𝐼): Her ses et udsnit af de anvendte formler: c)

Vi tegner et ( 𝑉,𝑝) -plot i Excel vha. samme data som i b).

5,4E-04

5,5E-04

5,6E-04

5,7E-04

5,8E-04

5,9E-04

6,0E-04

6,1E-04

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

Stofmængde/mol

tid/s

(t,n)-plot

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

6,0E-06 8,0E-06 1,0E-05 1,2E-05 1,4E-05 1,6E-05

Tryk / Pa

Volumen / m^{3}

(V,p)-plot

Side 14

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

14 d)

For en adiabatisk proces gælder der, at:

𝑝 · 𝑉^{𝛾} = 𝑘

𝑝 = 𝑘 · = 𝑘 · 𝑉^{−𝛾}

1

𝑉^{γ}

Det vil sige, at:

𝑝 ( 𝑉) = 𝑘· 𝑉^{−𝛾}

Hvor 𝑘 er en konstant. Vi laver potensregression på datasættet fra (𝑉,𝑝)-plottet og bestemmer 𝛾 som eksponenten med omvendt fortegn:

Vi ser, at 𝑅^{2} = 0,9983, så data passer godt på potensmodellen 𝑦 = 0,3842𝑥^{−1,124}. Den høje værdi af 𝑅^{2}
indikerer, at kompressionen med god tilnærmelse er adiabatisk. Vi får så, at: 𝛾 = 1,124.

e)

Et lavere varmefyldeforhold giver en mindre stejl stigning i trykket, når volumen falder. Der gælder, at:

𝑝 · 𝑉 = 𝑛· 𝑅 · 𝑇

⇕

𝑝 =

𝑛 · 𝑅 · 𝑇

𝑉

y = 0,3842x^{-1,124}
R² = 0,9983

0,00E+00

5,00E+04

1,00E+05

1,50E+05

2,00E+05

2,50E+05

3,00E+05

6,00000E-06 8,00000E-06 1,00000E-05 1,20000E-05 1,40000E-05 1,60000E-05

Tryk/Pa

Volumen/m^3

(V,p)-plot

Side 15

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 13. december 2011

15

Vi ser heraf, at temperaturen og stofmængden begge er direkte proportionale med trykket.

Under kompressionen stiger temperaturen til over stuetemperatur, så man må formode, at der afgives en smule varme til omgivelserne (temperaturstigningen i gassen bliver altså mindre udtalt end den burde være).

Under kompressionen forsvinder desuden en stofmængde af 𝐶𝑂_{2}, så 𝑛 bliver mindre.

Begge processer sker i takt med kompressionen (dvs. faldet i volumen), og begge processer er fejlkilder, som mindsker stigningen af 𝑝, når 𝑉 aftager, hvilket svarer til en lavere værdi af 𝛾 (mindre stejl stigning i trykket, når volumen falder).

For at opsummere, så er der følgende to årsager til, at den eksperimentelle 𝛾-værdi er mindre end tabelværdien:

1) Systemet afgiver en smule varme til omgivelserne.

2) Cylinderen er ikke helt tæt, så stofmængden af 𝐶𝑂_{2} mindskes undervejs.