HTX Fysik A 2015 2. juni - Besvarelse af eksamenssæt

Side 1

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

1

HTX Fysik A 2. juni 2015

htx151-FYS/A-

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HTX 3. år

Opgave 1 a)

Densitet har følgende definition:

𝜌 =

𝑚

𝑉

Hvor 𝜌 er densitet, m er masse og V er rumfang. Vi kender loddets masse og densitet:

𝜌 ≔ 8,47_{𝑐𝑚^{3}}^{𝑔}

𝑚 ≔ 199,5 𝑔

Vi isolerer rumfanget V:

𝜌 =

𝑚

𝑉

⇕ Ligningen løses for V vha. CAS-værktøjet WordMat.

V = 23,55372 cm^{3}

Det ses at loddet har et rumfang på 23,55 cm^{3}

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 2

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

2 b)

De indtegnede kræfter ses på ovenstående skitse. Da loddet hænger stille, er de modsatrettede kræfter numerisk lige store.

−𝐹_{𝑡} = 𝐹_{𝑠𝑛𝑜𝑟} + 𝐹_{𝑜𝑝}

Loddet bliver påvirket af en tyngdekraft (𝐹_{𝑡}), som har angrebspunkt i loddets massemidtpunkt og som

peger lodret nedad. Derudover bliver loddet påvirket af en opdrift fra al de omkringliggende vand.

Opdriften kan forenkles til én kraft, som ligeledes har angrebspunkt i loddets massemidtpunkt. Opdriften peger lodret opad og er mindre end tyngdekraften. Loddet bliver også påvirket af en snorekraft, som har angrebspunkt øverst på loddet, hvor snoren er fastspændt. Snorekræften peger lodret opad og er større end opdriften, da det primært er snorekraften, som holder loddet oppe.

c)

Vi bestemmer vægten for figur 1.3:

Bordvægten virker på den måde, at den måler reaktionkraften (normalkraften) jf. N3 til den kraft, som vægten påvirkes med. Da genstandene på bordvægten befinder sig i hvile, vil den resulterende kraft være lig 0. Hele opstilingen på figur 1.3 er påvirket af 3 kræfter: Tyngdekraften, opdriften og normalkraften

(rekationskraften). Det er her vigtigt at være opmærksom på, at det er vandet, der påvirker loddet med en opdrift og jf. N3 vil loddet påvirke vandet med en ligeså stor, men modsatrettet kraft dvs. vi har:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 0

⇕

0 = 𝐹_{𝑛} − 𝐹_{𝑡} + 𝐹_{𝑜𝑝} − 𝐹_{𝑚𝑜𝑑𝑜𝑝}

⇕

Side 3

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

3

𝐹_{𝑡} = 𝐹_{𝑛}

⇕

𝑔 · ( 𝑚_{𝑣𝑎𝑛𝑑+𝑔𝑙𝑎𝑠} + 𝑚_{𝑙𝑜𝑑}) = 𝐹_{𝑛}

⇕

𝐹_{𝑛} = 9,82 · ( 0,334𝑘𝑔 + 0,1995𝑘𝑔)

𝑚

𝑠^{2}
= 5,246826 𝑁

Vi omsætter kraften til vægtenheden kg:

𝐹_{𝑛} = 𝑚 · 𝑔

⇕

5,246826 𝑁 = 𝑥 · 9,82

𝑚

𝑠^{2}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0,5343 𝑘𝑔

Vægten på figur 1.3 viser 0,534 kg (afrundet til 3 betydende cifre).

Vi bestemmer vægten for figur 1.2:

Vi deler opstillingen op i to situatioer:

I den første situation ser vi på krafterne, der virker på loddet og snoren. Vi har at genstandene befinder sig i hvile dvs. jf N2, er den resulterende kraft er lig 0. Vi vælger snorkraften som den positive retning:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 0

⇕

𝐹_{𝑠𝑛𝑜𝑟} + 𝐹_{𝑜𝑝} − 𝐹_{𝑡} = 0

⇕

𝐹_{𝑠𝑛𝑜𝑟} + 𝐹_{𝑜𝑝} = 𝐹_{𝑡}

Vi kan altså konkludere at, snorkraften og opdriften på loddet modvirker tyngdekraften dvs. at tyngdekraften fra loddet ikke påvirker vægten, hvad der er værd at bemærke, er at opdriften på loddet påvirker vandet, som er i kontakt med vægten, med en lige så stor men modsatrettet kraft.

I den anden situation ser vi på krafterne, der påvirker vægten. Vi har igen at genstandene befinder sig i hvile dvs. jf N2, at den resulterende kraft er lig 0. Vi vælger normalkraften som den positive retning:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 0

Side 4

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

4

⇕

𝐹_{𝑛} − 𝐹_{𝑡} − 𝐹_{𝑚𝑜𝑑𝑜𝑝} = 0

⇕

𝐹_{𝑛} = 𝐹_{𝑡} + 𝐹_{𝑚𝑜𝑑𝑜𝑝}
= 𝑚 · 𝑔 + 𝜌 · 𝑉· 𝑔
= 0,3348𝑔 · 9,82 + 0,1235 · 23,55𝑐𝑚^{3} · 9,82

𝑚 𝑘𝑔 𝑚

𝑠^{2} 𝑐𝑚^{3} 𝑠^{2}
= 3,573343 𝑁

Vi omsætter kraften til vægtenheden kg:

𝐹_{𝑛} = 𝑚 · 𝑔

⇕

3,573343 𝑁 = 𝑥 ·9,82

𝑚

𝑠^{2}

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥 = 0,3638842 𝑘𝑔

Vægten på figur 1.2 viser 0,364 kg (afrudnet til 3 betydende cifre).

Side 5

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

5

Opgave 2 a)

Den teoretiske bedste effektfaktor for en varmepumpe er carnotnyttevirkningen givet ved:

𝜀_{𝑐𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡} =

𝑇_{𝐻}
𝑇_{𝐻} − 𝑇_{𝐿}

Hvor 𝑇_{𝐿} er udetemperaturen og 𝑇_{𝐻} er indetemperaturen. Vi omregner de givne temperaturer til kelvin og

indsætter størrelserne i formlen:

𝑇_{𝐿} ≔ 268 𝐾

𝑇_{𝐻} ≔ 296 𝐾

𝜀_{𝑐𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡} =

𝑇_{𝐻}
𝑇_{𝐻} − 𝑇_{𝐿}

≈ 10,57143

Den teoretiske bedste effektfaktor for varmepumpen er 10,6.

b)

Den reelle effektfaktor er defineret således:

𝜂_{𝑣𝑎𝑟𝑚𝑒𝑝𝑢𝑚𝑝𝑒} =

𝑄_{𝐻}
𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

Hvor 𝑄_{𝐿} er mængden af varmeenergi, som er fjernet fra fryseren og 𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡} er det tilførte arbejde. Da vi

kender den mængden af benyttet varmeenergi og effektfaktoren, kan vi udregne det tilførte arbejde:

2,6 =

277 · 10^{6}
𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓ø𝑟𝑡}

⇕ Ligningen løses for A_tilfoert vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴_{𝑡𝑖𝑙𝑓𝑜𝑒𝑟𝑡} = 1,065385 · 10^{8}

Effekt er defineret således:

𝑃 =

𝐸

Δ𝑡

Hvor E er mængden af omsat energi og Δ𝑡 er ændringen i tid. Da mængden af tilført arbejde er lig mængden af omsat energi, kan vi beregne varmepumpens gennemsnitlige effektforbrug:

𝑃 =

1,065385 · 10^{8} 𝐽
60 · 60 · 24𝑠

Side 6

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

6

≈ 1233,084

𝐽 𝑠

= 1233,084𝑊

Varmepumpens gennemsnitlige effektforbrug på et døgn er 1233 watt.

c)

Vi benytter følgende formel:

𝑄 = 𝑚 · 𝑐 · Δ𝑡

Hvor Q er varmetabet, m er massen af betonlaget, c er den specifikke varmekapacitet for beton og Δ𝑇 er ændringen i temperatur, hvilket er lig temperaturfaldet. Vi får af vide, hvor meget varmenergi, som huset bruger i det gældende døgn. Vi kender derved varmetabet:

𝑄 ≔ 277 · 10^{6} 𝐽

Vi definerer de resterende størrelser: 𝑚 ≔ 30240 𝑘𝑔

          𝐽
𝑐 ≔ 2380
           𝑜
         𝑘𝑔·

𝐶

𝑄 = 𝑚 · 𝑐 · Δ𝑇

⇕ Ligningen løses for ∆T vha. CAS-værktøjet WordMat.

Δ𝑇 ≈ 3,848762^{𝑜} 𝐶

                      o
Temperaturfaldet er lig 3,8 C. Temperaturfaldet er meget lavt ift. at varmepumpen har været slukket i 16

timer. Realistisk set ville temperaturfaldet sandsynligvis være større, og derfor er lagringsmetoden ikke realistisk.

Side 7

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

7

Opgave 3 a) b)

Batteriets indre modstand er lig den numeriske størrelse af hældningen for polspændingen som funktion af belastningsstrømmen. Vi aflæser hældningen ud fra forskriften for tendenslinjen på ovenstående graf.

Batteriets indre modstand er 0,042 ohm.

c)

Vi bestemmer først den energi, der reelt bliver omsat i elektromotren dvs. den ydre modstand i kredsen. Vi ved at elektromotoren leverer mekanisk energi med en effekt på 9,0kW, og at elektromotoren har en virkningsgrad på 0,85. Med andre ord betyder det, at kun 85% at den energi, der bliver omsat i den ydre modstand, omsættes til mekanisk energi.

Vi beregner, hvor meget energi, der reelt bliver omsat i elektromotoren dvs. den ydre modstand:

0,85 =

𝑃_{𝑚𝑒𝑘𝑎𝑛𝑖𝑠𝑘}
𝑃_{𝑦}

⇕

0,85 =

9000𝑊

𝑃_{𝑦}

⇕ Ligningen løses for P_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑃_{𝑦} = 10588,24𝑊

Der bliver altså omsat energi i den ydre modstand med en størrelse på 10588,24W.

Sammenhængen mellem effekt afsat i den ydre modstand og strømmen gennem modstanden er givet ved:

y = -0,x + 82,
R² = 0,

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

0 200 250

Polspænding / V

Belastningsstrøm / A

Batteri i elektrisk bil

Side 8

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

8

𝑃_{𝑦} = 𝑈_{𝑝} · 𝐼

En forskrift for polspændingen kan vi aflæse på grafen i opg a). Dvs. vi har at:

𝑃_{𝑦} ( 𝐼) = ( −0,0423Ω · 𝐼 + 82,134𝑉) · 𝐼

Vi bestemmer nu strømmen gennem kredsen, når effekten, der afsættes i den ydre modstand er

10588,24W:

𝑃_{𝑦} ( 𝐼) = 10588,24𝑊

⇕

10588,24𝑊 = ( −0,0423Ω · 𝐼 + 82,134𝑉) · 𝐼

⇕ Ligningen løses for I vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐼 = 138,841𝐴 ∨ 𝐼 = 1802,901𝐴

Det er beskrevet at accelerationen foregår forsigtigt, med dette som argument antager vi, at der spørges efter den første løsning.

Strømstyrken, batteriet skal levere under denne belastning, er bestemt til 139 A (afrundet til 3 betydende cifre).

Side 9

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

9

Opgave 4 a)

Vi definerer kendte størrelser i SI-enheder:

𝑃 ≔ 14000𝑊 𝑚 ≔ 1450𝑘𝑔

Vi omregner hastigheden til m/s:

40 𝑘𝑚 𝑡

3,6 𝑠

≈ 11,11 𝑚 𝑣 ≔ 11,11 𝑚 𝑠

Vi har at sammenhængen mellem kraft og effekt er givet ved:

𝑃 = 𝐹 · 𝑣

⇕

𝐹 =

𝑃 𝑣

Der ses bort fra modstandskrafter dvs. at kraften fra elektromotoren er den eneste kraft, der påvirker bilen.

Den resulterende kraft bliver da:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝑚 · 𝑎 =

𝑃 𝑣

⇕

𝑎 =

𝑃

𝑚 · 𝑣

Vi bestemmer accelerationen:

𝑎 =

𝑃

𝑚 · 𝑣

≈ 0,8690524 𝑚

𝑠^{2}

                                                                                  2
I det øjeblik bilen når bilen har en hastighed på 40 km/t er bilens acceleration bestemt til 0,8691 m/s

(afrundet til 4 betydende cifre).

b)

Graf 2 er den korrekte graf. Grafen viser en aftagende acceleration med hensyn til tiden. Vi har i opg a) vist at accelerationen er givet ved:

Side 10

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

10

𝑎 =

𝑃

𝑚 · 𝑣

Vi antager, at der i dette tilfælde virker modstandskrafter på bilen dvs. vi får at den resulterende kraft er givet ved. Vi vælger den fremadrettede kraft som positivt retning:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} = 𝐹_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} − 𝐹_{𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑}

⇕

𝑎 · 𝑚 = − 𝐹_{𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑}

𝑃 𝑣

⇕

𝑎 = −

𝑃 𝐹_{𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑}
𝑣 · 𝑚 𝑚

Dvs. vi har at acellerationen er omvendt proportional med hensyn til hastigheden. Jo hurtigere bilen kører, jo mindre vil accelerationen blive. Dette stemmer overens med graf graf 4.

c)

Vi har at elektromotoren tilfører en mængde energi under accelerationen, samtidig ved vi at netop denne energi giver en tilvækst i bilens mekaniske energi, dvs. at modstandkræfternes arbejde vil være forskellen mellem tilført energi fra elektromotoren og bilens tilvækst i mekanisk energi:

Den tilførte energi fra elektromotoren vil være givet ved:

Δ𝐸_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} = 𝑃 · Δ𝑇

Bilens mekaniske energi er givet ved:

Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑘} = Δ𝐸_{𝑝𝑜𝑡} + Δ𝐸_{𝑘𝑖𝑛}

hvor accelerationen sker på vandret vej dvs. at der ikke sker en tilvækst i potentiel energi:

Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑘} = Δ𝐸_{𝑘𝑖𝑛}
= · 𝑚 · ( 𝑣_{𝑠𝑙𝑢𝑡}^{2} − 𝑣_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}^{2})

1

2

Modstandskræfternes arbejde vil være givet ved:

𝐴_{𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑} = Δ𝐸_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} − Δ𝐸_{𝑚𝑒𝑘}
= 𝑃 · Δ𝑡− · 𝑚 · ( 𝑣_{𝑠𝑙𝑢𝑡}^{2} − 𝑣_{𝑠𝑡𝑎𝑟𝑡}^{2})

1

2

Vi indsætter værdier og beregner modstandskræfternes arbejde:

Vi hastigheden til m/s:

10 𝑘𝑚 𝑡

3,6 𝑠

≈ 2,777778 𝑚

Side 11

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

11

Vi bestemmer modstandskræfternes arbejde:

𝐴_{𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑} = 14000𝑊 ·11,4𝑠 − · 1450𝑘𝑔 · (13,88889 − 2,777778)

1 𝑚^{2} 𝑚^{2}

2 𝑠 𝑠

≈ 25340,72𝐽

Modstandskræfterne yder et arbejde under accelerationen med en størrelse på 24,3 kJ (afrundet til 3 betydende cifre).

Vi kommenterer resultatet ved at beregne forholdet mellem tilført energi fra motoren og modstandkrafternes arbejde på bilen under accelerationen:

𝐴_{𝑚𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑} 25340,72𝐽
Δ𝐸_{𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} 14000𝑊· 11,4𝑠

=

≈ 0,1587764

Vi har at forholdet mellem modstandskræfternes arbejde under accelerationen og tilført energi fra motoren er 15,9 % (afrundet til 3 betydende cifre). Dvs. at omtrent 15,8 % af motorens energi bruges til at overvinde modstandskræfterne arbejde på bilen unde accelerationen.

Side 12

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

12

Opgave 5 a)

Sammenhængen mellem hastighed og vinkelhastighed er følgende:

𝑣 = 𝜔 · 𝑟

Vi bestemmer radius og omregner enheden til meter:

𝑟 = 0,55𝑚

Vi bestemmer hastigheden i m/s:

𝑣 = 0,55𝑚· 71𝑠^{−1}

≈ 39,05 𝑚 𝑠

Vi omregner enheden:

39,05 = 140,58

𝑚 𝑘𝑚 𝑠 ℎ

Lokomotivet har en hastighed på 140,6 km/h.

b)

Rotationsenergi er givet ved:

𝐸_{𝑟𝑜𝑡} = · 𝐼 · 𝜔^{2}

1

2

Vi beregner elektromotorens rotationsenergi.

Vinkelhastigheden er lig:

𝜔 = 3100 ·

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

60 𝑠

≈ 324,6312𝑠^{−1}

Vi indsætter størrelserne i formlen:

𝐸_{𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟} = · 11,3 · ( 324,6312𝑠^{−1})^{2}

1 𝑘𝑔

2 𝑚^{2}

≈ 595427,6𝐽

Vi beregner hjulakslens rotationsenergi:

Side 13

Fysik A HTX – Skriftlig eksamen – 2. juni 2015

13

𝐸_{ℎ𝑗𝑢𝑙𝑎𝑘𝑠𝑒𝑙} = · 215 · ( 71𝑠^{−1})^{2}

1 𝑘𝑔

2 𝑚^{2}
= 541907,5 𝐽

Den samlede rotationsenergi er:

𝐸_{𝑟𝑜𝑡} = 595427,6𝐽 + 541907,5𝐽
= 1137335𝐽

3100 · =

2𝜋

60

310 · ≈ 324,6312

𝜋

3

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi kender følgende formel for sammenhængen mellem kraft og hastighed:

𝑃 = 𝐹 · 𝑣

Hvor P er effekt, F er størrelsen af kontaktkraften og v er hastighed. Vi bestemmer hastigheden:

𝑣 = 𝑟 · 𝜔

Vi kender radius og vinkelhastigheden for det store tandhjul:

𝑟 ≔ 260 · 10^{−3} 𝑚

𝜔 ≔ 71 𝑠^{−1}

𝑣 = 𝑟 · 𝜔

𝑣 ≔ 18,46 𝑚 𝑠

Vi bestemmer størrelsen af kontaktkraften:

𝑃 ≔ 320 · 10^{3} 𝑊

𝑃 = 𝐹 · 𝑣

⇕ Ligningen løses for F vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐹 = 17334,78 𝑁

Størrelsen af kontaktkraften er 17334,78 N