SRP om Raketfysik og Vandraketter i Fysik A og Matematik A

Side 1

Abstract

This paper examines the theorem of rocket propulsion on the basis of Newtonian mechanics. By examining various factors such as Newton’s laws, momentum and the conservation of momen-tum, the Tsiolkovsky rocket equation is deduced. During the analysis of rocket propulsion, the method for solving differential equations - called separation of variables - is accounted for, and the mathematical proof behind it is reviewed.

This research is concerned with rocket propulsion and primarily focusing on the launching of a water rocket. Through physical assumptions it is possible to mathematically integrate and de-scribe the equation of motion for water propelled rockets. This applies to both a rocket in free space and when an external force of magnitude acts upon the system. The basic theorem creates the foundation for the physical experiments executed in this paper. The experiments study the connection between the velocity of the rocket and the following motion. The connection between the velocity of the rocket and the pressure inside it, and the connection between the velocity of the rocket and the mass of water used in it when a certain pressure is kept constant. The research points toward the theory, and concludes that there is in fact a connection between the two. The empiric data confirms the theory, and shows that there is a significant relationship linking the two.

Side 2

Side 1 af 35

Indholdsfortegnelse

Abstract ........................................................................................................................................... 0 Indledning ....................................................................................................................................... 3 Newtons 2. lov ................................................................................................................................ 3 Sætning ....................................................................................................................................... 4 Impuls ............................................................................................................................................. 4 Impulsbevarelse .............................................................................................................................. 5 Separation af de variable ................................................................................................................. 6 Sætning ....................................................................................................................................... 6 Metoden ...................................................................................................................................... 6 Eksempel ................................................................................................................................. 7 Bevis ........................................................................................................................................... 8 Raketligningen ................................................................................................................................ 9 Raket i frit rum ............................................................................................................................ 9 Raket påvirket af tyngdekraften ................................................................................................ 12 Det skrå kast .................................................................................................................................. 13 Vandraketter - forsøg .................................................................................................................... 15 Idealiseringer............................................................................................................................. 15 Formål ....................................................................................................................................... 16 Materialeliste............................................................................................................................. 16 Opstilling og fremgangsmåde ................................................................................................... 16 Databehandling ............................................................................................................................. 17 Det skrå kast .............................................................................................................................. 17 Forsøg 1: ............................................................................................................................... 17 Forsøg 2 ................................................................................................................................ 19 Det lodrette kast ............................................................................................................................ 21 Forsøg 3 ................................................................................................................................ 21 Konklusion .................................................................................................................................... 22 Litteraturliste ................................................................................................................................. 23 Bøger ......................................................................................................................................... 23 Bilag .............................................................................................................................................. 24 Bilag 1 ....................................................................................................................................... 24 Bilag 2 ....................................................................................................................................... 24

Side 3

Side 2 af 35

Bilag 3 ....................................................................................................................................... 25 Bilag 4 ....................................................................................................................................... 25 Bilag 5 ....................................................................................................................................... 26 Bilag 6 ....................................................................................................................................... 26 Bilag 7 ....................................................................................................................................... 27 Bilag 8 ....................................................................................................................................... 27 Bilag 9 ....................................................................................................................................... 28 Bilag 10 ..................................................................................................................................... 28 Bilag 11 ..................................................................................................................................... 29 Bilag 12 ..................................................................................................................................... 29 Bilag 13 ..................................................................................................................................... 30 Bilag 14 ..................................................................................................................................... 30 Bilag 15 ..................................................................................................................................... 31 Bilag 16 ..................................................................................................................................... 32 Bilag 17 ..................................................................................................................................... 32 Bilag 18 ..................................................................................................................................... 33 Bilag 19 ..................................................................................................................................... 33 Bilag 20 ..................................................................................................................................... 34 Bilag 21 ..................................................................................................................................... 34

Side 4

Side 3 af 35

Indledning

Raketten er et teknisk vidunder. Den har haft stor betydning for historiske begivenheder som den kolde krig og især Cuba-krisen. Raketten er en teknologisk landvinding, som har haft, og stadig har, indflydelse på det billede, vi har af universet og planeterne omkring os, og den spiller en stor rolle i krigsførelse. Derfor kunne det være interessant, at gå i dybden med opsendelsen af en raket og se på hvilken matematik, der ligger bag, for at beskrive dette fænomen.

Men hvordan kan et så kompliceret system som det, der ligger bag dette, beskrives? For at simplificere noget ellers så komplekst som raketaffyringer, vil Newtons love, og især 2. lov, danne basis for udledningen af den såkaldte raketligning. Sammenfattet med en redegørelse for metoden til løsning af differentialligninger, kaldet separation af de variable, og de fysiske antagelser der er nødvendige, vil der redegøres for en vandrakets virkemåde. Ved hjælp af fysiske idealiseringer og antagelser kan man ud fra en teori udlede sammenhængen mellem rakettens startparametre og de fysisk målelige størrelser. Dette gør, man ved hjælp af fysisk teori kan opstille eksperimenter med en vandraket. Eksperimenterne udfolder sig altså i en empiri, der kan sammenlignes med den udledte teori omkring opsendelsen af en vandraket. Derfra kan der gøres rede for sammenhængen mellem teori og eksperiment.

Beskrivelsen af opsendelsen af en vandraket, som er opgavens mål, angribes derfor fra to vinkler; en teoretisk og en empirisk. Den teoretiske vinkel skal danne basis for, hvad der kan forventes af de eksperimenter, der udføres, mens den empiriske vinkel skal benyttes til at be-eller afkræfte den bagvedliggende teori.

Newtons 2. lov

Newtons 2. lov, også kaldet kraftloven (omhandler kraft og impuls), er udtrykt meget forskelligt i de mange fysiklærebøger, og er formuleret således i Fysik for 3.g af Esper Fogh og Knud Erik

Nielsen:

Side 5

Side 4 af 35

Sætning

”En partikel med massen m, der påvirkes af kræfter med resultanten 𝐹_{𝑟𝑒𝑠}, får en
acceleration a, som er proportional med 𝐹_{𝑟𝑒𝑠}.”^{1}

Afkodes sætningen, kan man finde frem til, at vi har at gøre med en resulterende kraft 𝐹 , der er
                                                                      𝑟𝑒𝑠

proportional med en acceleration 𝑎. Denne kraft omhandler et legeme/partikel med en masse 𝑚.

Man kan ud fra denne information opstille udtrykket:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑚𝑎

Loven er, rent matematisk, en 2. ordens differentialligning, da accelerationen 𝑎 er den dobbelt

afledede funktion af stedfunktionen 𝑠(𝑡), altså: 𝑎 ( 𝑡) =𝑠^{′′} (𝑡) og 𝑎 ( 𝑡) =𝑣^{′} (𝑡). Man kan altså ud

fra accelerationen, finde både stedfunktionen og hastighedsfunktionen for legemet. Inertiens lov

(Newtons 1. lov), er sådan set et særtilfælde af anden lov. Hvis den resulterende kraft er lig 0:

0=𝑚𝑎, der betyder, at 𝑎 ( 𝑡) =0. Dette kan så integreres til hastighedsfunktionen 𝑣 ( 𝑡) =

𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡, og bevægelsen er derved jævn, som første lov siger.

Impuls

I mekanikken er det ofte praktisk at anvende begrebet impuls, der også betegnes bevægelsesmængde [2]. Senere vil redegørelsen for impuls og impulsbevarelse danne grundlag for udledningen af Tsiolkovsky’s raketligning, som vi blot vil betegne raketligningen. Følgende afsnit er skrevet ud fra Fysik for 3.g af Esper Fogh og Knud Erik Nielsen og Kernestoffet: Højt niveau af Jens Ingwersen m.fl., samt egne notater fra undervisning.

Betragter vi en partikel med en masse 𝑚, og en hastighed 𝑣, defineres partiklens impuls som: 𝑝≡𝑚𝑣

Hvor 𝑝 er partiklens impuls. Man kan altså tale om, at impuls har enheden 𝑘𝑔∗^{𝑚}_{𝑠}, men denne

enhed har ikke noget specielt navn, som f.eks. kraft har. Impuls er en vektor, da den har en retning. Dog kan teorien holdes simpel, uden at inddrage vektorbegrebet i opgaven, da der ofte omtales bevægelser i en dimension.

Newtons 2. lov kan man udtrykke således:

1

Fysik for 3.g: Afsnit 1.2: Dynamik, s. 35

2

Kernestoffet: Højt Niveau – s. 30ff.

Side 6

Side 5 af 35

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝑚𝑎=𝑚 = =

𝑑𝑣 𝑑 ( 𝑚𝑣) 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Her benyttede vi, at accelerationens differentialkvotient er hastighedsfunktionen 𝑣, og at 𝑚𝑣 er

                                                             3
lig partiklens impuls. Dette var Newtons oprindelige formulering i Principia (1687). Denne

formulering giver mulighed for, at beskrive kraftpåvirkninger af legemer, hvis masser ændrer sig [4], som f.eks. raketter. Denne opgave omhandler netop om dette.

Impulsbevarelse

Impulsbevarelse omhandler, som navnet antyder, at størrelsen impuls 𝑝 er bevaret.

Impulsbevarelse er en bevaret størrelse og kan skrives således:

Δ𝑝=𝑝_{𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟} − 𝑝_{𝑓ø𝑟},

Hvis Δ𝑝 så er lig 0, er der tale om impulsbevarelse, da der ikke har været tab af impuls. Nu ses et eksempel på, hvordan impulsbevarelsen kan beskrives i et isoleret system uden ydre kræfter, der påvirker systemet.

Betragter vi et endimensionelt system af to partikler, der støder mod hinanden, som ikke er påvirket af andre kræfter end deres indbyrdes kernekræfter (vekselvirkning). De bevæger sig begge mod hinanden langs samme orienterede akse (se illustration i bilag 1), og vi kan skrive de to partiklers resulterende kraft som:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠_{1}} =

𝑑𝑝_{1}_{5}

𝑑𝑡

𝐹_{𝑟𝑒𝑠_{2}} =

𝑑𝑝_{2}

𝑑𝑡

Da vi antog, at systemet ikke er påvirket af andre kræfter end den indbyrdes vekselvirkning, kan vi ifølge Newtons 3. lov om aktion og reaktion opskrive udtrykket således:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠_{1}} =−𝐹_{𝑟𝑒𝑠_{2}}

Da vi regner i en dimension, kan vi blot nøjes med at regne med fortegn, og dette kan omskrives til:

3

Kernestoffet: Højt Niveau – s. 31 l. 2

4

Kernestoffet: Højt Niveau – s. 31

5

Kernestoffet: Højt niveau – s. 32

Side 7

Side 6 af 35

𝑑𝑝_{1} 𝑑𝑝_{2} 𝑑𝑝_{1} 𝑑𝑝_{2} 𝑑 ( 𝑝_{1} + 𝑝_{2})

𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

=− ⟺ + =0⟺ =0⟹𝑝 + 𝑝_{2} =𝑘

1

Hvor der undervejs sættes på fælles brøksteg, og 𝑑 sættes uden for parentes. Hvis differentialkvotienten for de to partiklers funktion er lig 0, må partiklernes funktion være en konstant 𝑘. Ud fra denne sætning kan vi så udlede, at hvis et system af to partikler ikke er påvirket af nogle resulterende ydre kræfter, er summen af partiklernes impuls konstant [6].

Separation af de variable

I det følgende afsnit redegøres der for metoden og efterfølgende beviset, man benytter til at løse differentialligningen af formen: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=𝑔 ( 𝑦) ∗ ℎ ( 𝑥),

hvor 𝑔 og ℎ er kendte funktioner, mens 𝑦=𝑓(𝑥) er funktionen vi er interesserede i at finde.

Afsnittet tager udgangspunkt i, og bygger på oplysninger fra MAT 3A af Jens Carstensen og

Jesper Frandsen, hhv. side 14ff. og bogen Integralregning og sandsynlighedsregning af Claus

Jessen m.fl..

Sætning

Lad ℎ(𝑥) være en kontinuert funktion defineret i intervallet I, og lad 𝑔 ( 𝑦) være en kontinuert funktion, forskellig fra 0, defineret i intervallet J. Det gælder så, at:

𝑦=𝑓 ( 𝑥) er løsning til^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} =𝑔 ( 𝑦) ∗ ℎ(𝑥)⟺

𝑦=𝑓 ( 𝑥) er løsning til ∫_{𝑔(𝑦)}^{1} 𝑑𝑦= ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥

Metoden

Metoden, separation af de variable, kaldes dette, da man samler de faktorer, der indeholder x på den ene side af lighedstegnet og de faktorer, der indeholder y på den anden side. Dette kan i

                          7
praksis ske ved omskrivningerne :

𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 1 1 𝑑𝑥 𝑔 ( 𝑦) 𝑑𝑥 𝑔 ( 𝑦) 𝑔(𝑦)

=𝑔 ( 𝑦) ℎ ( 𝑥) ⟺ ∗ =ℎ ( 𝑥) ⟺ 𝑑𝑦=ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥⟺∫ 𝑑𝑦=∫ℎ(𝑥)𝑑𝑥 (1)

6

Kernestoffet: Højt niveau – s. 32

7

MAT 3A af Jens Carstensen og Jesper Frandsen s. 16

Side 8

Side 7 af 35

                               𝑑𝑦
Ved tredje biimplikationspil betragtes som en brøk, selv om det ikke er det, og man kan sige,
                               𝑑𝑥

at^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} er en anden skrivemåde for 𝑓^{′} ( 𝑥). Dog gør man dette, da man nemt kommer til sætningens

ligning med integraltegnene [8]. For at kunne benytte metoden skal sætningens betingelser være opfyldt, som vi så i sætningen, at ℎ er kontinuert i I, og 𝑔 er kontinuert i J og forskellig fra 0.

Eksempel

For at uddybe metoden, kan vi redegøre for metoden ved hjælp af et eksempel, der selv opstilles.

Vi har en differentialligning, der f.eks. kunne være: 𝑑𝑦 4𝑥 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 2𝑦 𝑑𝑥 2𝑦

= 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 =4𝑥∗

Vi vælger at bestemme den partikulære løsning til differentialligningen, der går gennem punktet

𝑃(4,−3). I dette tilfælde, kan vi aflæse, at ℎ ( 𝑥) =4𝑥, så vi kan vælge, at intervallet 𝐼 =ℝ. For

       1
𝑔 ( 𝑦 ) = , kan vi se, at 𝑔(𝑦)≠0. Funktionen 𝑔 skal være kontinuert i et interval 𝐽, så vi må
       2𝑦

dele op i to tilfælde. Netop hvor 𝐽=+ℝ, hvor alle værdierne er positive, eller 𝐽=−ℝ, hvor alle
værdierne i intervallet er negative. Da vi har betingelsen, at punktet 𝑃 går gennem −3 til x-
værdien 𝑥 =4, må vi sætte 𝐽=−ℝ, da den antager en negativ 𝑦-værdi. For 𝑥 ∈ℝ og 𝑦∈−ℝ,

kan vi nu bruge separation af de variable, som set i metodeafsnittet (1): 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2𝑦 𝑑𝑥

=4𝑥∗ ⟺2𝑦 =4𝑥 ⟺2𝑦 𝑑𝑦=4𝑥 𝑑𝑥⟺∫2𝑦𝑑𝑦=∫4𝑥 𝑑𝑥⟺𝑦 =2𝑥^{2} + 𝑘, (2)

2 hvor k er en konstant. Ovenfor benyttede jeg blot metoden, som set i (1), og kan ved hjælp af

punktet 𝑃 bestemme den partikulære løsning til differentialligningen. Vi indsætter 𝑃(4,−3) i

(2), og vi finder k:

( −3)^{2} =2∗ 4^{2} + 𝑘⟺9=32+ 𝑘⟺𝑘=−23
Dette indsættes så i (2) og vi finder 𝑦=𝑓(𝑥):

𝑦^{2} =2𝑥^{2} − 23⟺𝑦=± 2𝑥^{2} − 23

√

Der er altså to løsninger, men vi vælger den negative løsning, da 𝑦>0, og den partikulære løsning 𝑓(𝑥) til differentialligningen er derfor:

8

MAT 3A af Jens Carstensen og Jesper Frandsen s. 16

Side 9

Side 8 af 35

𝑓 ( 𝑥) =− 2𝑥^{2} − 23, ℎ𝑣𝑜𝑟 𝑥>

√

√ 46

2

Som man kan se på bilag 4, er 𝑓 ( 𝑥) <0, og grafen går gennem 𝑃(4,−3). Man kan altså se,

hvordan løsningskurven for den partikulære løsning stemmer overens med startbetingelserne.

Bevis

Vi antager, at betingelserne er opfyldt, dvs. at ℎ(𝑥) er kontinuert i intervallet I, og 𝑔(𝑦) er kontinuert og forskellig fra 0 i intervallet J, dvs.:

𝐻 ( 𝑥) = ∫ ℎ ( 𝑥) 𝑑𝑥 eller 𝐻^{′} ( 𝑥) =ℎ ( 𝑥)

Da g er kontinuert og forskellig fra 0, må_{𝑔(𝑦)}^{1} også være kontinuert i J. Denne er derfor en

stamfunktion 𝐺(𝑦) til 𝑔(𝑦):

𝐺 ( 𝑦) =∫ 𝑑𝑦.

1 𝑔 ( 𝑦)

                                   1
                            ′
Differentieres ovenstående, så er 𝐺 ( 𝑦 ) = og antages der, at 𝑦=𝑓(𝑥) er løsning, så:
                                  𝑔(𝑦)

(𝐺(𝑓 ( 𝑥))) =𝐺^{′} (𝑓 ( 𝑥)) ∗ 𝑓^{′} ( 𝑥) = ∗ 𝑓^{′} ( 𝑥)

′

1 𝑔 ( 𝑓(𝑥))

På bilag 2 ses intervallerne I og J, mens bilag 3 viser det tilsvarende område i planen. For 𝑥∈𝐼 og 𝑦∈𝐽, se bilag 2 og 3, kan der nu foretages en række omskrivninger, der i sidste ende vil

bevise sætningen. Differentialligningen skrives, hvor 𝑔(𝑦)≠0:

𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑔 ( 𝑦) 𝑑𝑥

=𝑔 ( 𝑦) ℎ ( 𝑥) ⟺ ∗ =ℎ ( 𝑥),

hvor der divideres med 𝑔 ( 𝑦) på begge sider af lighedstegnet. Antager vi, at 𝑦=𝑓 ( 𝑥) er løsning,
og^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} =𝑓^{′} ( 𝑥), kan dette skrives som:

1 𝑔(𝑓 ( 𝑥))

∗ 𝑓^{′} ( 𝑥) =ℎ ( 𝑥) ⟺(𝐺(𝑓 ( 𝑥))) =𝐻^{′} ( 𝑥),

′

Hvor vi benytter definitionen af 𝐺 og 𝐻 (tidligere defineret), samt differentiation af en

sammensat funktion som løses: (𝑔(𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑔^{′} (𝑓 ( 𝑥)) ∗ 𝑓^{′} (𝑥). Trækker vi 𝐻^{′} ( 𝑥) fra på begge

sider af lighedstegnet får vi:

Side 10

Side 9 af 35

(𝐺(𝑓 ( 𝑥))) − 𝐻^{′} ( 𝑥) =0⟺(𝐺(𝑓 ( 𝑥)) − 𝐻 ( 𝑥)) =0,

′ ′

Hvor vi benytter regneregel for differentiation af en differens til at sammenfatte udtrykket. Fra dette kan man konkludere, at da den afledede funktion er lig 0, må der gælde, ud fra læren om differentialregning, at funktionen er konstant. Der må derfor gælde, at:

(𝐺(𝑓 ( 𝑥)) − 𝐻 ( 𝑥)) =0⟺𝐺(𝑓 ( 𝑥)) − 𝐻 ( 𝑥) =𝑘⟺𝐺 ( 𝑦) − 𝐻 ( 𝑥) =𝑘,

′

Hvor 𝑦=𝑓(𝑥). Lægger vi nu 𝐻(𝑥) til på begge sider, får vi:

𝐺 ( 𝑦) =𝐻 ( 𝑥) + 𝑘⟺∫ 𝑑𝑦=∫ℎ(𝑥)𝑑𝑥,

1 𝑔 ( 𝑦)

Hvor vi benytter definitionen af 𝐺 og 𝐻. Vi har nu vist, at hvis 𝑦=𝑓(𝑥) opfylder den ene af de

to ligninger fra sætningen, må den også opfylde den anden. Ud fra dette kan man konkludere, at de to ligninger har samme løsningsmængde. Sætningen er dermed bevist.

Raketligningen

Raket i frit rum

Læresætningen om impulsbevarelse kan, som vi vil se i dette tilfælde, være nøglen til at integrere bevægelsesligningen. [9] I dette afsnit vil raketligningen, ud fra teorien om Newtons 2. lov og impulsbevarelse, udledes. Der tages udgangspunkt i de to bøger, Elements of Newtonian

Mechanics af J.M. Knudsen og P.G. Hjorth samt An Introduction to Mechanics af Daniel

Kleppner og Robert J. Kolenkow.

Vi antager, at en raket bevæger sig i et frit rum, hvor ingen ydre kræfter påvirker systemet, med respekt til et inertialsystem, altså et system, hvor Newtons første lov er opfyldt. Raketten smider brændstof af under affyringen, og dette er tilfældet i vandraketten, hvor vand pga. overtryk trykkes ud af raketten. Vi har en raket, der har massen 𝑚(𝑡), som angiver massen af den tomme

raket plus massen af brændstof til tiden t. Til tiden 𝑡 =0, har raketten hastigheden 𝑣=0.

Derudover antager vi, at raketten smider en konstant mængde af brændstof ud [10] µ, (dette er en lidt grov antagelse, da både massen af brændstof og trykket i raketten falder, men er nødvendig

9

Elements of Newtonian Mechanics – s. 57

10

Elements of Newtonian Mechanics – s. 57

Side 11

Side 10 af 35 for at holde teorien simpel) og når brændstoffet udstødes med farten 𝑢, øger raketten sin fart i den modsatte retning på grund af impulsbevarelse.

µ≡− ( 3)

𝑑𝑚 𝑑𝑡

Man bør notere, at µ>0; fordi massen af raketten falder med tiden. Vi antager, at massen af brændstoffet udstødes i den modsatte retning af rakettens bevægelse, med den konstante

hastighed 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} relativ til raketten. Hvis man så betegner hastigheden af raketten med 𝑣 ( 𝑡), vil

massen der udstødes fra raketten til tiden 𝑡, have hastigheden [11]:

𝑢 ( 𝑡) =𝑣 ( 𝑡) − 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} ( 4)

Da vi regner med, at bevægelsen er endimensionel, kan vi nøjes med at regne med fortegn. Vi har at gøre med den tomme raket plus massen af brændstof tilstede til tiden t. Da systemet ikke er påvirket af nogle ydre kræfter, kan vi benytte læren om impulsbevarelse. Til tiden 𝑡, er

impulsen for dette system^{12}:
𝑝 ( 𝑡) =𝑚 ( 𝑡) ∗ 𝑣 ( 𝑡) ( 5)

På et uendeligt kort tidsrum 𝑑𝑡 udsender raketten en uendelig lille mængde brændstof 𝑑𝑚 med hastigheden 𝑢, hvilket giver raketten en uendelig lille forøgelse i hastighed 𝑑𝑣, og den totale

impuls til denne tid 𝑡+ 𝑑𝑡 er:
𝑝 ( 𝑡+ 𝑑𝑡) = ( 𝑚+ 𝑑𝑚)( 𝑣+ 𝑑𝑣) + µ𝑑𝑡 ( 𝑢+ 𝑑𝑢), ( 6)^{13}
da mængden af brændstof der udstødes er µ𝑑𝑡^{14}. Læren om impulsbevarelse, fortæller os, at når

ingen ydre kræfter spiller ind, må impulsen være bevaret, og (6) kan formuleres således:

( 𝑚 + 𝑑𝑚)( 𝑣+ 𝑑𝑣) + µ𝑑𝑡 ( 𝑢+ 𝑑𝑢) =𝑚𝑣

Ganger vi parenteserne ud, får vi:

𝑚𝑣+ 𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 +𝑑𝑚𝑑𝑣 +µ𝑢𝑑𝑡 + µ𝑑𝑡𝑑𝑢=𝑚𝑣

Ved at trække 𝑚𝑣 fra på begge sider, og ved at benytte (3), kan dette reduceres til:

𝑚𝑣− 𝑚𝑣+ 𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 + 𝑑𝑚𝑑𝑣− 𝑢𝑑𝑡− ∗ 𝑑𝑡𝑑𝑢=0

𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑡

⟺ 𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 +𝑑𝑚𝑑𝑣 − 𝑢𝑑𝑚− 𝑑𝑚𝑑𝑢=0 (7)

Når vi kigger på uendeligt små ændringer, er både 𝑑𝑚, 𝑑𝑣 og 𝑑𝑢 ekstremt små tal, så 𝑑𝑚𝑑𝑣≈0

11

Elements of Newtonian Mechanics – s. 57

12

Elements of Newtonian Mechanics – s. 57

13

Elements of Newtonian Mechanics – s. 57

14

Elements of Newtonian Mechanics – s. 58

Side 12

Side 11 af 35 og 𝑑𝑚𝑑𝑢≈0. (7) kan så omskrives:

𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 − 𝑢𝑑𝑚=0 (8)

Bruger vi nu (4) i (8), kan dette omskrives yderligere:

𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 − ( 𝑣− 𝑣_{𝑟𝑒𝑙}) 𝑑𝑚=0⟺𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚− 𝑣𝑑𝑚 + 𝑣 𝑑𝑚=0

𝑟𝑒𝑙

Dette forkortes, og der divideres med 𝑑𝑚 på begge sider af lighedstegnet:

𝑚𝑑𝑣 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} 𝑑𝑚

𝑑𝑚 𝑑𝑚

+ =0⟺
𝑚 + 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} =0 (9)

𝑑𝑣 𝑑𝑚

Ved hjælp af integration og separation af de variable kan man opstille og løse en differentialligning for hastigheden af raketten. 𝑑𝑣 isoleres i (9):

𝑚 + 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} =0⟺𝑑𝑣=−𝑣

𝑑𝑣 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑚 𝑟𝑒𝑙

Denne differentialligning løses ved brug af metoden separation af de variable:

− = ⟺− 𝑑𝑣= 𝑑𝑚

𝑑𝑣 𝑑𝑚 1 1

𝑣_{𝑟𝑒𝑙} 𝑚 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} 𝑚

Indsætter vi ovenstående i løsningen for separation af de variable, får man følgende udtryk:

∫− 𝑑𝑣=∫ 𝑑𝑚

1 1

𝑣_{𝑟𝑒𝑙} 𝑚

Da ligningen gælder i intervallet fra massen af den tomme raket plus brændstof 𝑚 til massen
                                                                 𝑓𝑢𝑙𝑑

af den tomme raket 𝑚_{𝑡𝑜𝑚} 𝐼=[𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑};𝑚_{𝑡𝑜𝑚}], og hastighedsintervallet 𝑣=0 for 𝑚=𝑚(0) til

hastigheden når al brændstof er opbrugt 𝑣 , 𝐽=[0;𝑣 ], kan det bestemte integral udtrykkes:
                                 0        0

∫ − 𝑑𝑣=∫ 𝑑𝑚 (10.1)

1 1

𝑣_{𝑟𝑒𝑙} 𝑚

𝑣_{0} 𝑚_{𝑡𝑜𝑚}

0 𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}

Dette løses og følgende fås:

− 𝑣_{0} =ln ( 𝑚_{𝑡𝑜𝑚}) − ln (𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}) (10.2)

1

𝑣_{𝑟𝑒𝑙}

Ved brug af logaritmeregneregler kan (10.2) omskrives til:

− 𝑣_{0} =ln()⟺𝑣 =−𝑣_{𝑟𝑒𝑙} ln()

1 𝑚_{𝑡𝑜𝑚} 𝑚_{𝑡𝑜𝑚}
𝑣_{𝑟𝑒𝑙} 𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑} 𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}

0

𝑣_{0} isoleres ved at gange med 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} og −1 på begge sider af lighedstegnet, og ved

logaritmeregneregel, kan vi omskrive ovenstående til, da bevægelsen er positiv og opadrettet:

Side 13

Side 12 af 35

𝑣_{0} =𝑣_{𝑟𝑒𝑙} ln() (11)

𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}
𝑚_{𝑡𝑜𝑚}

Ligning (11) kaldes raketligningen og angiver således rakettens hastighed, efter at alt brændstof er udstødt fra raketten. Man kan aflæse ud fra ligningen, at denne fart er afhængig af brændstoffets fart relativt til raketten og rakettens masse med og uden brændstof (vand).

Brændstoffet bruges så hurtigt, under 1 sekund, at vi som tidligere antaget, må sige, at 𝑣 er
                                                                      𝑟𝑒𝑙

konstant under hele raketaffyringen i intervallet.

Raket påvirket af tyngdekraften

Når der arbejdes med vandraketten, der bevæger sig i Jordens tyngdefelt, er det nødvendigt at få tyngdekraften i spil, da tyngdekraften vil være modsatrettet vandrakettens hastighed. Hvis vi kigger på ligning (8), er den resulterende kraft på systemet lig 0. Når vi arbejder med Jordens tyngdefelt, og vi ser bort fra luftmodstanden, må den resulterende kraft på systemet, idet alt

brændstof er udstødt, være lig tyngdekraften 𝐹 =𝑚𝑔. Indsætter vi dette i (8), fås:
                                     𝑡

𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 −𝑢𝑑𝑚=𝐹 ⟺𝑚𝑑𝑣+ 𝑣𝑑𝑚 − 𝑢𝑑𝑚 =𝑚𝑔

𝑡

Hvor 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} og 𝑔 er nedadrettet i forhold til rakettens bevægelse, og der antages at disse er

konstante under bevægelsen. Først divideres der med 𝑚 på begge sider af lighedstegnet, hvorefter (4) indsættes på u’s plads: 𝑚𝑑𝑣 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚

+ 𝑣 − 𝑢 =𝑔⟺𝑑𝑣+ 𝑣 − ( 𝑣− 𝑣_{𝑟𝑒𝑙}) =𝑔

Dette udtryk reduceres:

𝑑𝑣+ 𝑣 − 𝑣 + 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} =𝑔⟺𝑑𝑣+ 𝑣 =𝑔⟺

𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑑𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑟𝑒𝑙

𝑑𝑣=𝑣_{𝑟𝑒𝑙} + 𝑔 (12)

𝑑𝑚 𝑚

Integreres dette i henhold til tiden og intervallerne [15]

(som der gjordes i (9)ff.), bliver udtrykket:

𝑣_{0} =𝑣_{𝑟𝑒𝑙} ln() − 𝑔𝑡_{0}, (13)^{16}

𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}
𝑚_{𝑡𝑜𝑚}

hvor 𝑡 er den endelige tid af rakettens bevægelse, ligesom 𝑣 er den endelige hastighed efter alt
     0                                           0

brændstof er udstødt fra raketten. Ligning (13) er således raketligningen, hvor tyngdekraften er en ydre kraft der spiller ind.

15

An Introduction to Mechanics – s. 139

16

An Introduction to Mechanics – s. 139

Side 14

Side 13 af 35

Det skrå kast

Det følgende afsnit beskriver rakettens bane efter at alt brændstoffet er udstødt fra raketten. Her

er den resulterende kraft på systemet lig tyngdekraften 𝐹_{𝑡} =𝑚𝑔, hvis vi ser bort fra

luftmodstanden. Vi tager udgangspunkt i en kanon der skyder en kugle med en

mundingshastighed 𝑣_{0}^{17}. Kanonens vinkel med vandret (elevation) kaldes for 𝛼. Ud fra

mundingshastigheden må man kunne forklare, at der er en hastighed i x-aksens og y-aksens retning, som vi kan bestemme ved at analysere trekanten der forekommer (se bilag 5):

cos ( 𝛼) = ⟺𝑣_{0} =cos ( 𝛼) ∗ 𝑣_{0} 𝑜𝑔sin ( 𝛼) = ⟺𝑣_{0} =sin ( 𝛼) ∗ 𝑣_{0}

𝑣_{0}_{𝑥}
𝑣_{0} 𝑣_{0}

𝑥 𝑦

𝑣_{0}_{𝑦}

Vi kan nu undersøge bevægelsen som sammensat af en lodret og en vandret del. Dette undersøges under den antagelse, at der ikke er nogen luftmodstand. Den vandrette

begyndelseshastighed 𝑣 er som skrevet ovenfor:𝑣 =𝑣 ∗ cos (𝛼), 𝑥 er en stamfunktion til 𝑣 ,
                   𝑥                     𝑥    0                              𝑥

og integreres 𝑣_{𝑥} mht. tiden, må x kunne udtrykkes [18]:

𝑥 ( 𝑡) =𝑣_{0} ∗ cos ( 𝛼) ∗ 𝑡 (14)

I y-aksens retning er den eneste lodrette kraft på kuglen tyngdekraften, som skrevet tidligere:

𝐹_{𝑡} =−𝑚𝑔

Udtrykt ved Newtons anden lov:

𝑎_{𝑦} =− ⟺𝑎_{𝑦} =−𝑔

𝑚𝑔 𝑚

𝑣_{𝑦} er en stamfunktion til 𝑎_{𝑦}, hvilket integreret med hensyn til tid giver:

𝑣_{𝑦} ( 𝑡) =−𝑔∗ 𝑡 + 𝑐

Hvor 𝑐 er en konstant. Den lodrette begyndelseshastighed er 𝑣 ∗ sin ( 𝛼 ) . Dette giver:
                                                  0

𝑣_{𝑦} ( 𝑡) =−𝑔 ∗𝑡 + 𝑣_{0} ∗ sin ( 𝛼)
𝑦 er en stamfunktion til 𝑣_{𝑦}, og integreres dette med hensyn til tiden 𝑡:

𝑦 ( 𝑡) =− ∗ 𝑔∗ 𝑡^{2} + 𝑣_{0} ∗ sin ( 𝛼) ∗ 𝑡+ 𝑦_{0}

1

2

Hvor 𝑦_{0} er skæring med y-aksen, men da kuglen starter i origo, eller 𝑦=0 til tiden 𝑡=0, må
𝑦_{0} =0:

17

Fysik for 3.g – s. 46

18

Fysik for 3.g – s. 47

Side 15

Side 14 af 35

𝑦 ( 𝑡) =− 𝑔𝑡^{2} + 𝑣_{0} sin ( 𝛼) ∗ 𝑡 ( 15)

1

2

Hermed er det skrå kasts bevægelsesproblem løst. Vi kan opstille ligningen for banekurven (se bilag 5), ved at indsætte (14) i (15). Isolerer man 𝑡 i (14), får man:

𝑡=

𝑥

𝑣_{0} ∗ cos ( 𝛼)

Indsættes dette i (15), får man:

𝑦 ( 𝑥) =− ∗ 𝑔 ∗() + 𝑣_{0} ∗ sin ( 𝛼) ∗

1 𝑥 𝑥

2 𝑣_{0} cos ( 𝛼) 𝑣_{0} ∗ cos ( 𝛼)

2

Dette kan reduceres til følgende, ved at benytte regneregler for trigonometriske funktioner:

𝑦 ( 𝑥) =− 𝑥^{2} + tan ( 𝛼) 𝑥 ( 16)

𝑔

2𝑣_{0}^{2} ∗ cos^{2} ( 𝛼)

Som man kan se, står det klart, at dette er ligningen for en parabel med grenene pegende nedad,

da konstanten foran 𝑥^{2} er negativ. Ud fra den udledte formel kan vi således bestemme den
maksimale højde for kastet, 𝑦_{𝑡𝑜𝑝}, og den maksimale længde 𝑥_{𝑚𝑎𝑥}, ved at undersøge dens

monotoniforhold; og mere præcist, dens toppunkt og hvor den rammer jorden. Ligning (16) differentieres og man får udtrykket: 𝑑𝑦 𝑔 𝑔

𝑑𝑥 2 ∗ 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼) 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼)

=− 2𝑥+ tan ( 𝛼) ∗ 1=− 𝑥+ tan ( 𝛼)

Hvis man analyserer en parabel, må dens toppunkt forekomme, når den afledte funktion er lig 0,

     𝑑𝑦
eller: =0⟺𝑦 =𝑘, hvor k er en konstant. Det er den netop lige i det punkt, hvor den har
     𝑑𝑥

toppunkt:

𝑑𝑦 𝑔 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼) ∗ sin ( 𝛼)
𝑑𝑥 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼) 𝑔

=0⟺0=− 𝑥_{𝑡𝑜𝑝} + tan ( 𝛼) ⟺𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =

Ser vi bort fra luftmodstanden, må vi antage, at parablen er symmetrisk omkring sit toppunkt, og

da vi har fundet x-værdien til toppunktet, må 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} være 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} =2 ∗ 𝑥_{𝑡𝑜𝑝}. Sammenfatter vi dette
med den trigonometriske identitet, at 2cos ( 𝛼) ∗ sin ( 𝛼) =sin ( 2𝛼), får man:

𝑥_{𝑚𝑎𝑥} =2 ∗ 𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =2 ∗ =

𝑣_{0}^{2} ∗ sin ( 2𝛼) 𝑣_{0}^{2} ∗ sin ( 2𝛼)

2𝑔 𝑔

Ud fra dette vil man altså kunne beregne skudvidden afhængig af 𝛼, og man vil således opnå den

største skudvidde med 𝛼=45, da sinusfaktoren bliver lig 1 (sin ( 90) =1) (𝑠𝑖𝑛 svinger mellem -

1 og 1), og altså opnår den maksimale længde for kastet. Ved kendskab til x-koordinatet til

Side 16

Side 15 af 35

toppunktet, kan vi ligeledes udlede 𝑦 , ved at indsætte 𝑥 i (16):
                             𝑡𝑜𝑝              𝑡𝑜𝑝

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} =− () + tan ( 𝛼)

𝑔 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼) ∗ sin ( 𝛼)^{2} 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼) ∗ sin ( 𝛼)
2𝑣_{0}^{2} ∗ cos^{2} ( 𝛼) 𝑔 𝑔

Dette reduceres:

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} =− + ∗

𝑣_{0}^{2} sin^{2} ( 𝛼) sin ( 𝛼) 𝑣_{0}^{2} ∗ cos ( 𝛼) ∗ sin ( 𝛼)

2𝑔 cos ( 𝛼) 𝑔

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} = ∗ sin^{2} (𝛼) (17)

𝑣_{0}^{2}

2𝑔

Kastets maksimale højde kan findes ved hjælp af (17), når man kender elevationen 𝛼 og

starthastigheden 𝑣 .
              0

Vandraketter - forsøg

Dette afsnit omhandler forsøg med vandraketter. Forsøgene omhandler det lodrette og det skrå kast, hvor der er benyttet video-film til analyse af vandrakettens bevægelse. Forsøget er således en bevægelsesanalyse af vandrakettens acceleration, når den udstøder brændstof (vand), og

hvilken endelig hastighed 𝑣_{0}, der opnås for raketten. Denne bevægelse opfanges af et høj-fps

(frames per second) kamera, da bevægelsen varer under et sekund. Et andet kamera opfanger således hele bevægelsen, altså det efterfølgende skrå eller lodrette kast, efter alt brændstoffet er

udstødt med begyndelseshastigheden 𝑣 .
                               0

Idealiseringer

Dette afsnit vil kort gøre rede for de idealiseringer, der er nødvendige for, matematisk, at udlede fysisk målelige størrelser ud fra løsning af ligningerne. Der antages at være impulsbevarelse under forsøget, og under accelerationen udstøder raketten brændstof (vand) med en hastighed

relativ til raketten 𝑣 . Den er modsatrettet og pga. impulsbevarelse vil raketten få en hastighed i
                𝑟𝑒𝑙

positiv retning. De ydre kræfter der påvirker systemet er tyngdekraften, idet vi antager at der

ikke er nogen luftmodstand. Når accelerationen er færdig og begyndelseshastigheden 𝑣 , for hhv.
                                                                      0

det skrå eller lodrette kast, er fundet, antages det, at den resulterende kraft på raketten er tyngdekraften. Dvs. der er en deceleration i y-aksens retning, mens der stort set ingen er i x-aksen retning (forudsat vi antager, at der ingen luftmodstand er).

Side 17

Side 16 af 35

Formål

Formålet med øvelsen er, at lave en bevægelsesanalyse af det skrå og det lodrette kast i Logger

Pro. For det skrå kast bestemmes 𝑣_{0}, og derefter opstilles en matematisk model for det følgende

skrå kast. Desuden bestemmes vandets hastighed relativt til raketten 𝑣 ved et bestemt tryk.
                                                          𝑟𝑒𝑙

Den matematiske model for det skrå kast sammenlignes med praksis ved bl.a. at kigge på 𝑦_{𝑡𝑜𝑝},
𝑥_{𝑚𝑎𝑥} og banekurven - resultaterne kommenteres. For det lodrette kast ønskes det, at bestemme

den endelige hastighed for accelerationen af raketten 𝑣
                                              0

, og opstille en sammenhæng mellem hastigheden og massen ved et givent tryk. Den matematiske model sammenlignes efterfølgende med praksis og kommenteres.

Materialeliste

- Vandraketter med dertilhørende affyringsrampe og cykelpumpe.

- Vægt

- 2 stk. videokamera, hvoraf 1 filmer med høj-fps.

- Bord og skruetvinger til at fastholde affyringsrampen.

- Diverse måleinstrumenter, bægerglas osv.

Opstilling og fremgangsmåde

Som det kan ses på bilag 5 forestiller dette det skrå kast, der forekommer efter den endelige

hastighed 𝑣_{0} er opnået. Det lodrette kast, der forekommer, hvis affyringen sker med en elevation

på 90°, kan ses på bilag 6. På bilag 7 kan man se et billede af raketterne, der accelererer, når de udstøder brændstof (vand), både for det skrå og det lodrette kast.

Inden forsøget måles de fysisk relevante størrelser for raketten. Disse er som følgende:

- Massen for raketten uden brændstof 𝑚_{𝑡𝑜𝑚}
- Massen for raketten med brændstof 𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}

- Affyringsrampens elevation i forhold til vandret.

Efterfølgende pumpes der luft i vandraketten, så der dannes et overtryk. Dette aflæses direkte på cykelpumpen, og raketten affyres ved at aflåse en mekanisk stopper for raketten. Raketten letter og accelerationen måles med et høj-fps kamera, der filmer med 240 billeder i sekundet, så det kan opfange den præcise acceleration. Et andet kamera filmer med en almindelig framerate (30

Side 18

Side 17 af 35 billeder i sekunder), og opfanger således det efterfølgende kast, raketten udfører med

begyndelseshastigheden 𝑣 . Der bliver efterfølgende lavet videoanalyse på de samhørende
                     0

videoer i Logger Pro.

Databehandling

Det skrå kast

I databehandlingen for det skrå kast vil der gøres brug af teoriafsnittet. Der er i alt lavet 3 forsøg, og der opstilles tabeller, grafer og hvordan størrelserne er udregnet for alle.

Forsøg 1:

Dette forsøg består af tre affyringer, hvor de samme startparametre er søgt opfyldt. Det vil sige, at den samme mængde vand er brugt under alle tre affyringer samt det samme overtryk i

raketten. Dette forsøg har til formål at bestemme den gennemsnitlige værdi af 𝑣 og 𝑣 , samt at
                                                                0    𝑟𝑒𝑙

opstille en matematisk model for banekurven.

Startparametre og hastigheder (tabel 1)

Raket 𝒎_{𝒕𝒐𝒎} /𝒌𝒈 𝒎_{𝒇𝒖𝒍𝒅} /𝒌𝒈 𝑻𝒓𝒚𝒌 /𝒃𝒂𝒓 𝒗_{𝟎} 𝒗_{𝒓𝒆𝒍} Elevation 𝜶

(nummer)

1 0.055𝑘𝑔 0.123𝑘𝑔 2 𝑏𝑎𝑟 17.1 𝑚/𝑠 19.5 𝑚/𝑠 37°

2 0.057𝑘𝑔 0.120𝑘𝑔 2 𝑏𝑎𝑟 16.1 𝑚/𝑠 19.7 𝑚/𝑠 37°

3 0.057𝑘𝑔 0.123𝑘𝑔 2 𝑏𝑎𝑟 16.5 𝑚/𝑠 19.8 𝑚/𝑠 30°

Gennemsnit 0.056 𝑘𝑔 0.122 𝑘𝑔 2 𝑏𝑎𝑟 16.57 m/s 19.6 𝑚/𝑠 35°

Der er lavet videoanalyse af de tre raketters bevægelser i Logger Pro. Først gennemgås de tre

raketters acceleration inden det skrå kast, så 𝑣_{0} kan bestemmes. Desuden kan vi bestemme

                                     𝑣
                                      𝑥
                                  −1
elevationen vha. formlen: 𝛼=90 −cos (  ), hvor 𝑣 er hastigheden i x-aksens retning.
                                               𝑥
                                     𝑣
                                      0

Acceleration og endelig hastighed

Ved hjælp af Logger Pro har videoanalysen givet følgende grafer (se bilag 7-9) ud fra en videoanalyse (se bilag 10). Ved hjælp af naturlig logaritmeregression kan grafen for hastigheden tegnes. Ved at aflæse på grafen kan man finde den endelige hastighed i y-aksen og x-aksens

Side 19

Side 18 af 35

retning. Ved hjælp af Pythagoras’ sætning kan man bestemme den endelige hastighed 𝑣_{0}. De

udregnede hastigheder kan ses i tabel 1. Som man kan se, er hastighederne ikke ens for raketterne, hvilket må skyldes, at overtrykket i raketterne ikke har været helt ens. Ud fra

tabellens parametre kan 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} bestemmes ud fra raketligningen med tyndekraften. Dette gøres:

𝑣_{0} =𝑣_{𝑟𝑒𝑙} ∗ ln() − 𝑔𝑡_{0} ⟺𝑣_{𝑟𝑒𝑙} =,

𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑} 𝑣_{0} + 𝑔𝑡_{0}
𝑚_{𝑡𝑜𝑚}

ln()

𝑚_{𝑓𝑢𝑙𝑑}
𝑚_{𝑡𝑜𝑚}
hvor 𝑡_{0} findes ved at undersøge tidsrummet af det interval, hvor der udstødes brændstof fra

raketten. Som man kan se i tabel 1, er vandets hastighed relativt til raketten 𝑣 nogenlunde ens
                                                               𝑟𝑒𝑙

for hvert forsøg.

Det efterfølgende skrå kast

Da den endelige hastighed v_{0} for raketten er fundet, må dette være begyndelseshastigheden i det

skrå kast. Vi kender altså alle startparametre, for at kunne opstille en matematisk model for banekurven for det skrå kast:

y ( x) =− x^{2} + tan ( α) x

g

2v_{0}^{2} ∗ cos^{2} ( α)

Indsætter vi de forskellige begyndelseshastigheder får vi følgende modeller (se bilag 11), ved at tegne graferne i CAS-værktøjet TI Interactive. Da elevationen tidligere er blevet beregnet, kan vi blot indsætte denne værdi. Denne er mere korrekt, end blot at indsætte affyringsrampens elevation på 45°, da dette kan give nogle store afvigelser når der sammenlignes med praksis.

Med denne banekurve kan vi således forudsige kastets forløb, og bestemme y_{top} og x_{max}, ved at

benytte den tidligere udledte teori. Efterfølgende benytter vi videoanalyse på de skrå kast og kvadratisk regression på disse punkter, og får følgende grafer (se bilag 12-14). Som man kan se, stemmer regressionen meget godt overens med datapunkterne. Teoretiske værdier vil så sammenlignes i følgende tabel med praksis, og efterfølgende kommenteres.

Matematisk model sammenlignet med videoanalyse (tabel 2)

Raket (nummer) 𝒙_{𝒎𝒂𝒙,𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒕𝒊𝒔𝒌} 𝒚_{𝒕𝒐𝒑,𝒕𝒆𝒐𝒓𝒆𝒕𝒊𝒔𝒌} 𝒙_{𝒎𝒂𝒙,𝒑𝒓𝒂𝒌𝒔𝒊𝒔} 𝒚_{𝒕𝒐𝒑,𝒑𝒓𝒂𝒌𝒔𝒊𝒔}

1

28.6 𝑚 5.4 𝑚 26.3 𝑚 5.7 𝑚

2

25.4 𝑚 4.8 𝑚 25.6 𝑚 5.4 𝑚

Side 20

Side 19 af 35

3

24 𝑚 3.5 𝑚 22.0 𝑚 3.3 𝑚

Afvigelse i % ift.

Praksis: Raket 1

- - 8 % 5 %

Afvigelse i % ift.

Praksis: Raket 2

- - 1 % 11 %

Afvigelse i % ift.

Praksis: Raket 2

- - 8 % 6 %

Kommentar

Det kan ses i tabel 2, at afvigelserne må være nogenlunde som forventet, da vi har at gøre med en videoanalyse. Hele bevægelsen foregår på blot et par sekunder, hvilket giver nogle komplikationer ift. databehandling, da raketten bl.a. sløres på billedet. Dog er afvigelserne acceptable, og man kan se hvor forskellige resultaterne bliver, selvom vandets hastighed relativt

til raketten 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} er nogenlunde ens for alle tre forsøg. Den beregnede elevation efter rakettens

acceleration er således nødvendig. Havde man regnet med en elevation på 45 grader, ville man

have regnet med et helt optimalt skråt kast, hvor 𝑥_{𝑚𝑎𝑥} ville blive længst. Dette er dog ikke

tilfældet, og derfor er det nødvendigt at udregne elevationen. Hvorfor elevationen har været forskellig for forsøgene, kan have været grundet den mekaniske lås der holder raketten på plads.

Den kan have haft en indflydelse under affyringen af raketten. Desuden kan trykket ikke have været helt ens i alle tre raketter, hvilket også kan have influeret på dataene. Ser vi på

banekurverne (bilag 11 + 12-14), stemmer de meget godt overens med hinanden, og da

afvigelserne ligger mellem 1 og 11 % må afvigelserne skyldes små måleusikkerheder

(videoanalyse) og fejlkilder i den mekaniske lås.

Forsøg 2

I dette forsøg vil det forsøges at vise en sammenhæng mellem trykket og den endelige hastighed

for raketten 𝑣_{0}. Denne hastighed opnås efter alt brændstof er udstødt fra raketten. Til at gøre

dette, er der blevet affyret tre raketter, hvor den eneste størrelse, der er ændret på, er trykket i

raketten. For at vise sammenhængen bestemmes 𝑣_{0}, 𝑣_{𝑟𝑒𝑙} og der opstilles en sammenhæng.

Startparametre ses i følgende tabel:

Startparametre og hastigheder (tabel 3)

Side 21

Side 20 af 35

Raket 𝒎_{𝒕𝒐𝒎} /𝒌𝒈 𝒎_{𝒇𝒖𝒍𝒅} /𝒌𝒈 𝑻𝒓𝒚𝒌 /𝒃𝒂𝒓 𝒗_{𝟎} 𝒗_{𝒓𝒆𝒍}

(nummer)

1 0.057 𝑘𝑔 0.123 𝑘𝑔 1 𝑏𝑎𝑟 5.2 𝑚/𝑠 10.2 𝑚/𝑠

2 0.056 𝑘𝑔 0.124 𝑘𝑔 1.5 𝑏𝑎𝑟 11.9 𝑚/𝑠 16.7 𝑚/𝑠

3 0.055𝑘𝑔 0.123𝑘𝑔 2 𝑏𝑎𝑟 17.1 𝑚/𝑠 19.5 𝑚/𝑠

Ser vi på grafen over hastigheden for de forskellige raketter (bilag 15-17), kan vi bestemme den

endelige hastighed 𝑣_{0}. Dette gøres ved at finde den maksimale hastighed i x- og y-aksens retning

i det interval, hvor raketten accelererer. Efterfølgende benyttes Pythagoras’ sætning til at

bestemme den endelige hastighed 𝑣_{0}. Gøres dette, fås følgende hastigheder (se tabel 3). 𝑣_{𝑟𝑒𝑙}

bestemmes på samme måde som i Forsøg 1.

Kommentar

Det ses, at 𝑣_{0} stiger, jo større trykket bliver, og at der tilnærmelsesvis kan være tale om en

proportional eller en potenssammenhæng, hvor eksponenten er større end 1. Desuden ved vi, at raketten ingen hastighed får, hvis der ikke er overtryk i raketten. Ved at tegne en graf, hvor hastigheden vises op af andenaksen og trykket hen af førsteaksen i Logger Pro, kan det vurderes, hvilken sammenhæng der er passende. Alle oplysningerne til at tegne grafen findes i tabel 3, og følgende graf forekommer, når der laves proportional- og potensregression (se bilag 18). Som man kan se, stemmer potensregressionen væsentligt bedre overens med punkterne på grafen. Den

proportionale regression afviger med ca. 3 m/s ved første punkt på grafen, mens

potensregressionens graf stemmer godt overens med punkterne. Det er altså mere sandsynligt, at hastigheden stiger som en potensfunktion, end at hastigheden stiger proportionalt, jo større trykket bliver. Ved at kigge på forskriften for potensfunktionen kan man, rent matematisk, vurdere hvordan grafen for hastigheden vil udvikle sig (taget fra Logger Pro):

𝑣 ( 𝑥) =5.851 ∗ 𝑥^{1.573},

hvor 𝑥 er udtryk for trykket i raketten målt i bar. Funktionen er altid voksende overalt i dens definitionsmængde. Denne funktion beskriver kun de målinger, der er blevet foretaget, og det kan ikke siges, om den kan beskrive sammenhængen ved højere tryk. Men ved lavere tryk kan en potensfunktion altså beskrive hastigheden som funktion af trykket. Hvis trykket stiger meget vil raketten på et tidspunkt briste, da der er så meget overtryk. Dette advares der også om på affyringsrampen.

Side 22

Side 21 af 35

Kigger man på 𝑣_{𝑟𝑒𝑙}, ligner det umiddelbart, at denne vokser på samme måde som 𝑣_{0}, og dette er

jo essentielt grunden til, at hastigheden vokser som den gør. Det er jo 𝑣 der bestemmer farten
                                                          𝑟𝑒𝑙

af raketten pga. impulsbevarelse. Derved må der være en klar sammenhæng mellem disse størrelser.

Det lodrette kast

Forsøg 3

Det lodrette kast er et kast der kun bevæger sig op ad en y-akse. Efter raketten har udstødt alt brændstof, er den resulterende kraft på raketten lig tyngdekraften. Der er en konstant acceleration

på –𝑔. Derudover er der opnået en begyndelseshastighed 𝑣_{0}, som i grunden er 𝑣_{0}_{𝑦}. I dette forsøg

vil der ses på sammenhængen mellem hastigheden og massen af den fulde raket. Der er foretaget 3 affyringer af raketter, hvor der er ændret på mængden af vand i raketten, mens trykket

er forsøgt at være ens under alle 3 affyringer. Først findes 𝑣_{0} ud fra en video-analyse som det
gjordes i Forsøg 1 og Forsøg 2. Følgende startparametre er givet, og 𝑣_{0} bestemmes ud fra

analyse af graferne (se bilag 19-21).

Raket (nummer) 𝒎_{𝒕𝒐𝒎} /𝒌𝒈 𝒎_{𝒇𝒖𝒍𝒅} /𝒌𝒈 𝑻𝒓𝒚𝒌 /𝒃𝒂𝒓 𝒗_{𝟎}

1 | 0.056 𝑘𝑔 | 0.102 𝑘𝑔 | 2 𝑏𝑎𝑟 | 17.9 𝑚/𝑠
2 | 0.057 𝑘𝑔 | 0.130 𝑘𝑔 | 2 𝑏𝑎𝑟 | 19.5 𝑚/𝑠
3 | 0.056 𝑘𝑔 | 0.150 𝑘𝑔 | 2 𝑏𝑎𝑟 | 13.9 𝑚/𝑠

Som man kan se er der en sammenhæng mellem hastigheden og massen af raketten. I den første

raket er der en vandmængde på 46g, hvilket har resulteret i en hastighed på 17.9 m/s. Denne

hastighed er dog lavere end raket 2’s hastighed, der har haft en vandmængde på 73g. Af alle tre affyringer har raket 2 opnået den højeste hastighed, og der må altså være en bestemt mængde vand der er ideel, hvis man vil opnå størst mulig hastighed. Hvis man ser på raket 3, har den kun

opnået en hastighed på 13.9 m/s. Der har altså været en for stor mængde vand i raketten i forhold

til overtryk. Trykket har ikke været stort nok til at presse vandet ud med en høj nok hastighed

𝑣_{𝑟𝑒𝑙}, og derved må hastigheden naturligt blive lavere. Der må altså være en bestemt mængde

vand, i forhold til rakettens kapacitet, der resulterer i den højest opnåelige hastighed. Man kunne evt. undersøge yderlige ved at lave mange gentagne forsøg, hvor der ændres på vandmængden

Side 23

Side 22 af 35 med et interval på f.eks. 5 g, og så bestemme den ideelle masse af vand i raketten for at opnå maksimal hastighed.

For at opnå en maksimal hastighed må vandmængden ligge mellem 46 g og 94 g.

Konklusion

Opsendelsen af en raket, og i denne opgave en vandraket, blev undersøgt både teoretisk og empirisk. Ved at danne basis med Newtons love og teorien bag impuls og impulsbevarelse kunne raketligningen udledes. For at gøre dette, blev der redegjort og bevist metoden til løsning af differentialligninger, kaldet separation af de variable. Undervejs blev der redegjort for de idealiseringer, der er nødvendige, for matematisk at udlede fysisk målelige størrelser ud fra løsningen af ligningerne. Udgangspunktet for raketligningen lå f.eks. i, at raketten befandt sig i frit rum.

Med denne baggrund blev sammenhængen mellem rakettens startparametre og de fysisk målelige størrelser udledt. Sagt på en anden måde: Vi kunne ud fra fysisk målelige størrelser forudsige, hvordan raketten ville opføre sig. Dette gælder både, når raketten accelererer, og når den har opnået en endelig hastighed, som efterfølgende resulterer i et skråt eller lodret kast.

Ved at benytte den udledte teori blev der opstillet eksperimenter, som igennem en række forsøg viste flere sammenhænge. Det første forsøg viste således, hvordan man kan forudsige en rakets banekurve, efter at en hastighed er opnået. Desuden viste den også, hvorfor det er vigtigt at kende alle startparametre præcist, for teoretisk at kunne forudsige praksis.

Det andet forsøg viste sammenhængen mellem hastigheden som funktion af trykket, og det viste, hvordan der ved lavere tryk ser ud til at være en potenssammenhæng.

Det tredje forsøg så på sammenhængen mellem hastigheden og mængden af vand i raketten ved samme tryk. Herved kan man konkludere, at der i praksis er en ideel vandmængde, når den højest mulige hastighed skal opnås ved et bestemt tryk.

Opgaven blev grebet an på en teoretisk og empirisk måde, hvor teorien blev bekræftet af eksperimenter med vandraketter. Der blev redegjort for sammenhængen mellem teori og eksperimenter.

Side 24

Side 23 af 35

Litteraturliste

Bøger

Carstensen, Jens, og Jesper Frandsen. MAT 3A. 1. udgave, 2. oplag. Viborg: Systime A/S, 2002.

Fogh, Esper, og Knud Erik Nielsen. Fysik for 3.g. Silkeborg: HAX-DATA, 1996.

Ingwersen, Jens, Hans Birger Jensen, og Knud Erik Sørensen. Kernestoffet: Højt Niveau. Herning: Systime

A/S, 1990.

Jessen, Claus, Peter Møller, og Flemming Mørk. Integralregning og sandsynlighedsregning:

Gymnasiematematik 3A. København: Gyldendalske Boghandel, Nordisk forlag, 1999.

Kleppner, Daniel, og Robert Kolenkow. An Introduction to Mechanics. 1. udgave. Massachusetts:

McGraw Hill, 1973.

Knudsen, Jens M., og Poul G. Hjorth. Elements of Newtonian Mechanics: Second Revised and Enlarged

Edition. Berlin: Springer, 1996.

Side 25

Side 24 af 35

Bilag

Bilag 1

Illustration 1:

Bilag 2

- Illustration over intervallerne J og I

Side 26

Side 25 af 35

Bilag 3

- Indskærpet illustration der viser intervallerne J og I.

Bilag 4

Side 27

Side 26 af 35

Bilag 5

Bilag 6

- Affyringsvinklen er 90°, dvs. der teoretisk set, ingen x-akse er.

Side 28

Side 27 af 35

Bilag 7

- Graf af videoanalyse; viser x- og y-aksens hastigheder for hhv. rød og blå kurver. (For følgende grafer gælder det samme). (Raket 1)

Bilag 8

- Raket 2.

Side 29

Side 28 af 35

Bilag 9

- Raket 3.

Bilag 10

- Videoanalyse af en rakets acceleration når der udstødes brændstof.

Side 30

Side 29 af 35

Bilag 11

Bilag 12

- Banekurve for raket 1, hvor y er udtrykt som funktion af x (samme gælder for næste 2).

Side 31

Bilag13
Raket2
Y(m)
-2 0 2 4 6
X(m)
0 10 20
Auto Fit for: VideoAnalysis |Y
Y=AX^2+BX+C
A:-0.03199 +/-0.0001370
B:0.8307 +/-0.003910
C:-0.05817 +/-0.02318
RMSE:0.06474m

Bilag14
Raket3
Y(m)
0 1 2 3 4
X(m)
0 5 10 15 20
Auto Fit for: VideoAnalysis |Y
Y=AX^2+BX+C
A:-0.02610 +/-0.0002777
B:0.5702 +/-0.006312
C:0.09697 +/-0.02970
RMSE:0.07168m
(20.11,3.192)
Side30af35

Side 32

Side 31 af 35

Bilag 15

- Acceleration for raket 1 i forsøg 2. Hastigheden 𝑣_{0} bestemmes vha. pythagoras’ sætning.

Side 33

Side 32 af 35

Bilag 16

- Graf over rakettens hastighed for raket 2 i forsøg 2.

Bilag 17

- Graf over rakettens hastighed for raket 3 i forsøg 2.

Side 34

Side 33 af 35

Bilag 18

- Graf over sammenhængen mellem hastighed og tryk, hvor hastigheden er op af y-aksen og tryk hen af x-aksen.

Bilag 19

Side 35

Bilag 20
Raket 2
Auto Fit for: VideoAnalysis | Y Velocity
Vy = A*ln(B*t)
A: 812.9 +/- 38.68
B: 0.1592 +/- 0.0001371
RMSE: 0.7126 m/s
Y Velocity (m/s)
20 15 10 5
Time (s)
6.30 6.35 6.40
(6.3888, 6.25)

Bilag 21
Raket 3
Auto Fit for: VideoAnalysis | Y Velocity
Vy = A*exp(-C*t)+B
A: 68.28 +/- 918.0
C: -0.2278 +/- 1.404
B: -213.6 +/- 1371
RMSE: 0.4489 m/s
Y Velocity (m/s)
15 10 5
Time (s)
5.10 5.15 5.20 5.25 5.30
(5.2262, 6.29)
Side 34 af 35