Lær af eksemplet på 15 minutter

Læs med de tre spørgsmål herunder, og skriv et kort svar på hvert, gerne med et sidetal. Så har du noget konkret at tage med over i din egen opgave.

4 min
Find problemformuleringen. Hvilket spørgsmål lover opgaven at svare på, og står svaret i konklusionen?
4 min
Find det afsnit, hvor de to fag arbejder sammen. Hvilket resultat fra det ene fag bliver brugt i det andet?
4 min
Hvilken metode bruger opgaven i hvert fag, og hvor står det? Skriv metoden ned med dine egne ord.
3 min
Din egen opgave: Kan du pege på det sted i din SRP, hvor fagene mødes, og skrive i én sætning, hvad det ene fag giver det andet?

Skal du selv skrive SRP? Metoden står her: SRP i fysik

Om opgaven

Ophavet er ikke dokumenteret for denne post. Katalogoplysninger: STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 54 sider. Brug materialet til at se, hvordan teksten er bygget op, og hvilke faglige valg der er truffet.

Skal du selv skrive en SRP? Læs, hvad censor lægger vægt på, og hvordan du bygger den op: SRP, set med censorblik.

Læs, hvilke metoder fysik giver dig, og hvad du kan skrive en stor opgave om: Fysik i gymnasiet.

Hele opgavens tekst

Se originaldokumentet

Læs teksten direkte her på siden. Figurer og den præcise opsætning af tabeller og formler finder du i originaldokumentet.

Vandrette streger fra nogle formler vises som ⎯ i teksten. Se originaldokumentet for deres placering og betydning i formlen.

Gå til en side

Side 1

Page 1 of 54

STX 3.g

Studieretningsprojektet

Side 2

Page 2 of 54

Table of Contents

Abstract ............................................................................................................................................................. 3 Indledning .......................................................................................................................................................... 4

1. GPS-systemet ................................................................................................................................................. 5

1.1 Historie .................................................................................................................................................... 5

1.2 Opbygningen ........................................................................................................................................... 6

2. Analyse af matematiske modeller i anvendelse af GPS-systemet ................................................................. 7

2.1 Positionering ............................................................................................................................................ 7

2.2 Bestemmelse af satellitkoordinater ........................................................................................................ 11

2.3 Sfæriske koordinatsystemer ................................................................................................................... 14

3. Fejlkilder for GPS-systemet ......................................................................................................................... 16

3.1 Relativitiske effekter .............................................................................................................................. 16

3.2 Urfejl ...................................................................................................................................................... 18

3.3 Sagnac-effekten ..................................................................................................................................... 21

3.4 Atmosfærelagenes betydning ............................................................................................................... 22

3.5 Multipath ............................................................................................................................................... 24

3.6 Doppler-effekt ....................................................................................................................................... 25

3.7 Opsummering af fejlkilder ......................................................................................................................... 26

4. Baneberegning for en satellit ...................................................................................................................... 27 Konklusion ....................................................................................................................................................... 30 Perspektivering ............................................................................................................................................ 30 Litteraturliste ................................................................................................................................................... 31 Bøger ........................................................................................................................................................... 31 Internetmateriale ........................................................................................................................................ 31 Andet hjælp ................................................................................................................................................. 31 Bilag 1 .............................................................................................................................................................. 32 Bilag 2 .............................................................................................................................................................. 34

Side 3

Page 3 of 54

Abstract

This paper examines the basic princips of the Global Navigation System. Nowadays a GPS-reciever is possessed by almost every person on the planet taking smartphones with GPS in consideration.

This subject is very interesting because it works with basic mathematical methods to point out a position on earth. At the same time the study indicated that physics also play a great role deciding the coordinates of a GPS-receiver. To get to my conclusion I’ve worked with different books about satellites and the GPS-system and I’ve been visiting two scientists, working with satellites in outer space at the DTU in Copenhagen at the space investigation department of the university. This assignment seeks to find answers in how the GPS-system mathematically works, and how physical effects influence the GPS-system. I’ve made a simulation of a GPS-satellite orbiting the earth, to clearify the point of how GPS-satellites constantly are aware of their own coordinates with the earth as a reference system.

This study shows that GPS-receivers correlates a minimum of 4 satellite coordinates to decide it’s own position. The receiver knows the time of travel of the radiosignal and by multiplying it with the speed of light, it is capable of evaluating the distance between the reveiver and the transmitter. In this project there’s also made an investigation on the error sources and their contributes to the GPS-system, and an evalutation has been made upon how trustworthy the GPS-system actually is.

Side 4

Page 4 of 54

Indledning

GPS-systemet er et internationalt anerkendt system til positionsbestemmelse. Siden anden verdenskrig har man forsøgt at udvikle navigationssystemer, der kunne positionsbestemme helt nøjagtigt. Idag er vi i stand til at bestemme en position for en GPS-modtager helt ned til få meters afstande, og endda endnu mindre ved militære systemer. En GPS-modtager er idag blevet hvermandseje, og er en god hjælp til familiefaderen på kør-selv ferie, der benægter sin egen mangel på stedsans overfor konen eller andre mænd. GPS’en er blevet endnu en gagdet, vi mennesker ikke kan være foruden. Det meste af nutidens transportformer, såsom fly og tog, ville ikke være i stand til at fungere uden GPS-systemet som hjælp. Derfor har jeg stillet mig selv den opgave at finde ud af, hvordan GPS-systemet fungerer.

Jeg vil i min opgave redegøre for opbygningen.

Derefter vil jeg analysere de matematiske metoder GPS-systemet anvender til positionsbestemmelse. Dernæst vil jeg analysere fejlkilderne og konkludere, hvorvidt fejlkilderne er for omfattende til, at vi kan stole på nutidens GPS-modtagere.

Til sidst vil jeg lave en baneberegning for en satellit, hvor jeg i et regneark har simuleret en bane, for en GPS-satellit i omløb om jorden. Opgaven er opbygget i 4 hoveddele med henholdsvis: redegørelse i den første del; matematisk analyse af forskellige modeller i den anden del; fysisk og matematisk analyse af fejlkilder i den tredje del. Og til sidst en baneberegning, for et GPS-satellit i kredsløb om jorden, i dette tilfælde både matematisk of fysisk.

Efter denne opgave vil jeg finde svar på, hvordan GPS-systemet positionsbestemmer en GPS-modtager. Jeg vil samtidig have kendskab til fejlkilderne for systemet, størrelsen af dem, samt grundlaget for at de fremkommer. Jeg vil også være i stand til at kunne bestemme en satellitposition i et roterende koordinatsystem, til ethvert tidspunkt på døgnet.

Jeg har i arbejdet med projektet været på besøg på DTU Space i København, hvor jeg har fået et indblik på satellitfartøjer, deres opbygning samt deres måde at navigere på.

Side 5

Page 5 of 54

1. GPS-systemet

GPS-systemet er et internationalt anerkendt system til positionsbestemmelse, jeg vil i dette afsnit kort redegøre for historien samt den generelle opbygning bag GPS-systemet.

1.1 Historie

Opbygningen af GPS-systemet blev hovedsageligt bygget efter to lignende systemer fra 2.

Verdenskrig der hed ”LORAN” og ”The Decca Navigator”, som var bygget på radiosignaler fra antenner på jorden. I 1960 fik den amerikanske flåde for første gang et satellitbaseret navigeringssystem, der på baggrund af signalerne fra 5 satellitter på himmellegemet kunne komme med et koordinat for GPS-modtageren én gang i timen. I 1978 blev den første blok-1 GPS-satellit sat i kredsløb om jorden og systemet er lige siden stille og roligt blevet udviklet. Den ældste satellit der stadig er i brug er fra 1990 og den yngste satellit der er blevet sat i kredsløb er fra maj 2010. I dag er der 24 aktive satellitter i kredsløb, 4 satellitter i hver bane, med et total baneantal på 6.

                       1
Satellitbanerne ses på figur 1

, samt mængden af synlige satellitter til GPS-modtagerens position på et givent tidspunkt på døgnet. GPS-systemet blev i starten udviklet til militært brug, men da systemet var meget dyrt at få op og køre, solgte man også GPS-modtagere til private. Siden hen er udviklingen af GPS-modtagere blandt private forbrugere eksploderet, og idag er det næsten hvermandseje.

Ovenstående er skrevet på baggrund af hjemmeside [1] og dens udlægning af historien bag GPS-systemet.

Illustration fra: (hjemmeside 4)

Figur 1

Figuren viser 24 satellitter i kredsløb om jorden i

6 forskellige baner med 4 satelliter i hver.

Side 6

Page 6 of 54

1.2 Opbygningen

GPS-systemet er opbygget på envejskommunikation imellem en GPS-satellit og en GPS-modtager. I GPS-systemet kender man positionen på alle GPS-satellitter, og man kan ud fra 3 afstandsmålinger bestemme positionen på modtageren, hvis alting er fuldstændig synkroniseret. Dette kræver dog, at man udelukker det ene af de to koordinater GPS-systemet

beregner ens position til [2]. Et godt eksempel på den_{Figur 2}

grundlæggende tanke bag GPS-systemet ses på figur

2. [3] Her ses det at modtageren kun kan befinde sig ét_{udstrakte.}

sted i rummet, hvis alle snore skal være udstrakte.

Dog kan GPS-modtageren, hvis man kan forestille sig det, også befinde sig ovenover rummet, hvor alle snore også er udstrakte. Dette er grunden til at man kan udelukke det ene koordinat, da punktet altså befinder sig et sted ude i rummet. Det skal dog lige siges, at der i realiteten skal anvendes minimum 4 forskellige satellitter for at bestemme positionen på en modtager, da jeg har antaget at alting et perfekt synkroniseret, hvilket det i virkeligheden ikke er. Dette vil jeg komme ind på senere. GPS-modtageren anvender længden på de tre ’snore’ (radiosignalerne), ved at finde ud af, hvor lang tid de har taget om at blive modtaget i forhold til satellittens transmissionstidspunkt.

GPS-modtageren kan vha. den transmitterede navigationskode fra satellitten, aflæse frekvensen, bølgelængden, farten samt transmissionstidspunktet på navigationsignalet. Ud fra navigationskoden, satellitterne udsender til GPS-modtageren, kender den satellitternes position, som den derudfra kan beregne sin egenposition. Jorden er opbygget i et tredimensionelt koordinatsystem, som roterer.

Dette gør at GPS-modtageren, som står stille på jorden, logisk nok ikke ændrer koordinat, imens jorden roterer. Istedet gør det roterende koordinatsystem det lidt sværere at regne på, hvor satellitterne befinder sig. US. Air Force holder styr på, om satellitterne nu også kredser i de baner de skal. MCS [4], sammenholder så disse informationer med det faktiske, og korrigerer også for andre fejl ved satellitterne vha. nogle antenner på jorden. Alle disse fejl bliver sendt til satellitten, og satellitten sender derefter et fejlkorrigeret signal ned til GPS-modtagerne, hvilket giver modtageren en meget mindre afvigelse fra sin faktiske position [5].

Det begrundes senere i afsnittet, hvorfor.

Illustration fra: (Dueholm, s. 11)

Master Control Station. Hovedstationen, hvorfra satellitterne bliver overvåget.

Hjemmeside [4].

Rumlig indbinding. Ud fra positionerne på 3 kendte punkter kan man finde det ukendte punkt, når alle tre snore er

Side 7

Page 7 of 54

2. Analyse af matematiske modeller i anvendelse af GPS-systemet

GPS-systemet anvender i høj grad matematikken ved bestemmelse af positionen på GPS-modtageren. Jeg vil i dette afsnit udlede metoden bag positionering og vise de andre metoder der bliver anvendt. På baggrund af dette vil jeg opstille et eksempel, hvor jeg finder koordinatet i længde- og breddegrader for en modtager på jorden.

2.1 Positionering

Da GPS-systemet anvender tiden, det tager for radiosignalet at nå modtageren på jorden, kan man vha. farten på radiobølgen, som, hvis man ser bort fra fejlkilder, er den samme som lysets hastighed, beregne afstanden ved den simple formel:

𝑟=𝑐∙𝑇 (2.1)

Hvor r angiver afstanden fra satellit til GPS-modtager uden tidsforskydelse, c er lysets hastighed i vakuum, og T er tiden det tager for signalet at blive modtaget.

Denne formel for beregning af afstanden fra satellit til GPS-modtager gælder dog kun, hvis jeg antager at GPS-modtageren er synkroniseret med 100% nøjagtighed i forhold til GPS-tid. Jeg antager samtidig, at der ikke er andre fejlkilder, der gør, at data afviger fra det faktiske.

På baggrund af disse antagelser, kan jeg med meget simpel rumgeometri bestemme positionen på en GPS-modtager, ud fra kendte koordinater på GPS-satelliterne. Hvis vi forestiller os en satellit, der udsender signaler i alle retninger i form af radiobølger, danner der sig en kugle rundt om satelliten.

Når GPS-modtageren opfanger denne radiobølge, ved den altså, at den befinder sig et givent sted på sfæren af kuglen, i den afstand det har taget bølgen at bevæge sig fra satelliten til modtageren, som

                              6
det ses i formel (2.1) og på figur (3.a) .

Dvs. at jeg med én satellit er i stand til at bestemme en lang række punkter på kuglesfæren, hvorpå GPS-modtageren kan befinde sig. Hvis jeg nu tilføjer endnu en GPS-satellit, ser jeg, som det fremgår på figur (3.b), en række punkter indenfor et område, hvori kuglesfærerne skærer hinanden.

Hvis jeg nu til sidst sætter endnu en satellit ind i regnestykket, se figur (3.c), får jeg kun 2 punkter, som GPS-modtageren kan befinde sig i. Det ene punkt kan man udelukke, da det befinder sig et godt stykke ude i rummet, og det andet punkt er derfor GPS-modtagerens position.

Pseudoafstanden [7] fra hver af satelliterne til GPS-modtageren kan derefter udregnes vha. den simple afstandsformel for en 3D-vektor (Carstensen, s. 108):

Illustration fra: The Mathematics of GPS, s. 1.

Pseudoafstanden, er den afstand der umiddelbart er mellem modtager og satellit uden fejlkilder taget i betragtning.

Figur 3

Figuren viser ideen bag GPS-systemet, og at der i princippet kun behøves 3 satelliter for at bestemme en positionen på modtageren.

Side 8

Page 8 of 54

𝑃_{𝚤} = √ (𝑥−𝑥_{𝑖})^{2} +(𝑦−𝑦_{𝑖})^{2} +(𝑧−𝑧_{𝑖})^{2} (2.2)

⎯ ⎯ ⃗

Hvor (𝑥_{𝑖},𝑦_{𝑖},𝑧_{𝑖}) angiver koordinaterne for de 3 forskellige satelliter, og (x,y,z) angiver koordinaten for GPS-modtageren og 𝑝 ⎯ ⎯ ⎯ ⃗_{𝚤} angiver længden på

vektoren fra GPS-modtager til GPS-satellit.

Basisprincippet for GPS-positionering er ovenfor vist og det virker egentligt meget håndgribeligt.

Men hvad nu hvis jeg ikke kender koordinaterne på satelliterne? I dette tilfælde danner jeg bare mit eget referencesystem, som har centrum i den ene satellit istedet for i centrum af jorden. Dette problem kan nemlig også løses matematisk:

                                                                          8
For at gøre eksemplet lidt mere trivielt forestiller jeg mig problemet i 2D, som vist i figur (4) . I

eksemplet ligger alle kugler i samme højde, dette er en meget god antagelse, da alle GPS-satelliter har den samme afstand til jordens centrum som er ca. 26.600km (Dueholm, s. 27). Metoden jeg anvender kaldes trilateration, som beskriver sammenhængen mellem GPS-modtagerens koordinater og radiobølgernes radius. Bemærk at P1 er min reference-satellit, altså den satellit der ligger i punktet (0,0,0). Koordinatet for punktet B findes ved følgende:

Afstanden fra P1 til punktet B er givet ved, og behøver ingen nærmere forklaring da dette er min referencesatellit:

𝑟_{1}^{2} =𝑥^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} (2.3)

Da x-koordinatet for punktet P2 afviger med en størrelse, d, fra vores referencesatellit trækker jeg d fra x i formel (2.3):

𝑟_{2}^{2} =(𝑥−𝑑)^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} (2.4)

Da punktet P3 afviger med en størrelse, i, fra x-koordinatet og samtidig afviger den med en størrelse, j, fra y-koordinatet på vores referencesatellit, skal jeg trække henholdsvis i fra x og j fra y:

𝑟_{3}^{2} =(𝑥−𝑖)^{2} +(𝑥−𝑗)^{2} +𝑧^{2} (2.5)

Illustration fra: Eksperimentielle Øvelser i Speciel Realtivitetsteori, 2007. Side 30

Figur 4

Figuren viser trilateration, som det bliver anvendt i GPS-systemet, blot på et 2D plan.

Side 9

Page 9 of 54

For at bestemme en formel for x-koordinatet på B, trækker jeg formel (2.4) fra (2.3), for at finde et udtryk, for det x-koordinat hvori cirkel P1 og P2 skærer hinanden (punkt A og B på figur 4):

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{2}^{2} =𝑥^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} −((𝑥−𝑑)^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2})

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{2}^{2} =𝑥^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} −𝑥^{2} −𝑑^{2} +2𝑑𝑥−𝑦 −𝑧^{2}

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{2}^{2} +𝑑^{2} =2𝑑𝑥

     2
    𝑟
    1
𝑥=         (2.6)

−𝑟_{2}^{2} +𝑑^{2}

2𝑑

Jeg har nu et udtryk for mit x-koordinat. Jeg ønsker nu at finde et udtryk for mit y-koordinat. Jeg trækker formel (2.3) fra (2.5), for at finde et udtryk for det y-koordinat hvori cirklerne P1 og P3 skærer hinanden. Det udtryk jeg finder for y-koordinatet her er afhængigt af x, fordi P3 afviger både vertikalt og horisontalt fra P1:

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{3}^{2} =𝑥^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} −((𝑥−𝑖)^{2} +(𝑦−𝑗)^{2} +𝑧^{2}

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{3}^{2} =𝑥^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} −𝑥^{2} −𝑖^{2} +2𝑥𝑖−𝑦^{2} −𝑗^{2} +2𝑦𝑗−𝑧^{2}

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{3}^{2} =−𝑖^{2} +2𝑥𝑖−𝑗^{2} +2𝑦𝑗

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{3}^{2} +𝑖^{2} +𝑗^{2} −2𝑥𝑖=2𝑦𝑗

𝑦= − 𝑥

𝑟_{1}^{2} −𝑟_{3}^{2} +𝑖^{2} +𝑗^{2} 𝑖

2𝑗 𝑗

Jeg har nu et udtryk for 2 y-koordinater, hvori det ene af y-værdierne har en tilhørende x-værdi som tilsammen er koordinatet på punktet B i ét plan (se figur 4, hvor der er to punkter som P1 og P3 skærer hinanden i).

Hvis jeg nu lægger min værdi for x ind, som kan ses ovenfor giver det mig at:

     2            2  2
    𝑟          𝑖 𝑟 −𝑟
    3             1 2
𝑦=           −  ∙       (2.7)
               𝑗

−𝑟_{1}^{2} +𝑖^{2} +𝑗^{2} +𝑑^{2}

2𝑗 2𝑑

Jeg har nu et udtryk for punktet B hvis det ikke er afhængigt af z-koordinatet, hvilket det egentligt ikke er i dette tilfælde.

Hvis jeg nu ønsker en formel for z-koordinatet for punktet B også, kan det udtrykkes ved lidt simpel omskrivning af (3.6):

𝑧=± √ 𝑟_{1}^{2} −𝑥^{2} −𝑦^{2}

Jeg indsætter værdierne for x og y:

Side 10

Page 10 of 54

             2           2            2  2
            𝑟           𝑟           𝑖 𝑟 −𝑟
            1            3            1  2
𝑧=±    𝑟 −(        ) −(           −  ∙       ) (2.8)
       1
                                    𝑗

√^{2}

−𝑟_{2}^{2} +𝑑^{2} −𝑟_{1}^{2} +𝑖^{2} +𝑗^{2} +𝑑^{2}

2𝑑 2𝑗 2𝑑

2 2

I 3D giver det mig 2 koordinater for z hvoraf det ene kan forkastes, da det ligger et godt stykke ude i rummet.

Udledningerne er inspireret af (Øvelser i Speciel Relavivitetsteori, s. 30)

Jeg har hermed et udtryk for koordinaterne for punktet B, hvis jeg kender radius af radiobølgerne.

Det koordinat, som vi på ifølge formel (2.6), (2.7) og (2.8) finder for GPS-modtageren er altså i forhold til referencesatelliten og ikke i forhold til jorden. Hvis vi vil bestemme et koordinat for en GPS-modtager i forhold til jorden må vi kende positionerne på satelliterne. Det vil med andre ord sige at jeg bliver nødt til at kende koordinatet på GPS-satelliterne.

Side 11

Page 11 of 54

2.2 Bestemmelse af satellitkoordinater

Hvordan ved jeg hvor en satellit er på et givent tidspunkt? Jeg vil efter følgende afsnit grundlæggende have besvaret spørgsmålet, og vil kunne stille et eksempel op, hvor jeg finder positionen på en satellit ud fra nogle baneparametre vha. nogle parametre der kaldes TLE.

TLE står for ’Two-Line Element Set’ og er nogle betingelser Johannes Keppler har stillet op, der forudsiger bevægelser i cirkulerende bevægelser omkring et massemidtpunkt. Jeg vil ikke komme ind på udledningen i denne opgave, udledningen findes i (Seeber, s. 109-134). Udledningen går ud på, at man til hvert et tidspunkt kan bestemme, hvor satelliten befinder sig i sin bane, hvis den ikke er blevet forstyrret af udefrakommende parametre. GPS-systemets satellitter cirkulerer i nogle bestemte baner omkring jorden. Disse baner kan beskrives vha. 6 Keppler-elementer (Sidi, s. 24): a, the semimajor axis er afstanden fra ellipsens centrum til perihelium. Jorden ligger som regel i massemidtpunktet for en satellit, denne ligger i ellipsens brændpunkt. Da GPS-satelliter bevæger sig i en cirkelbane (Seeber, s. 213) om jorden, ved jeg at afstanden fra centrum til perihelium er den samme for hele cirkelperifirien.

e, the eccentricity fortæller hvorvidt satellitens bane antager en ellipseform, eller en cirkelform. Skalaen går fra 0 til 1, hvor 0 er en cirkelbane og 1 er en utroligt lang ellipse, nærmest en streg. Eccentriciteten, viser sig i GPS-satellitternes tilfælde, at være meget tæt på 0. Jeg antager

derfor i de kommende udregninger, at e=0 (Seeber, s. 213). Dette vil med andre ord også sige, at

satellitten i cirkelbevægelse bevæger sig med en konstant fart.

i, the inclination fortæller noget om hvordan cirkelbanen hælder i forhold til referenceplanet, eller ækvatorialplanet i vores tilfælde (se figur 5) [9].

Ω the right ascension of the ascending node fortæller om hvor meget koordinatsystemet er roteret i forhold til xy-planet (se figur 5).

ω ,the argument of perigee fortæller om linjen ascending node’s vinkel på perihelium (se figur 5).

M, the mean anomaly er en parameter der relaterer position og tid for et objekt der bevæger sig i en Keppler-orbit.

Ud fra disse parametre kan jeg bestemme en bane for en satellit. Jeg vil i mit eksempel prøve at finde et koordinat for en satellit i en bestemt bane, hvor jeg kender afstanden fra modtageren til

Illustration fra (Sidi, s. 23)

Figur 5

Figuren viser grundprincipperne i Keppler-elementer

Side 12

Page 12 of 54 satellitten vha. formel (2.1). Først skal vi have bestemt baneparametrene for en typisk GPS-satellit

(Seeber, s. 213):

𝑖=55°
𝑎=26600𝑘𝑚

𝑒≈0

Ω =Δ60° =0˚,60˚,120˚,180˚,240˚,300˚,360˚

Jeg ved at at koordinatet på en satellit uden udefrakommende forstyrrelse af baneparametrene er givet ved (Seeber, s. 113):

( 𝑌)=𝑟( cos ( 𝑣+𝜔) ∙𝑠𝑖𝑛 ( Ω) +sin (𝑣+𝜔)∙cos (Ω)∙cos (𝑖)) (2.9)

𝑋_{𝑠} cos

𝑠

𝑍_{𝑠}

( 𝑣+𝜔) ∙cos ( Ω) −sin (𝑣+𝜔)∙sin (Ω)∙cos (𝑖)

sin (𝑣+𝜔)∙sin (𝑖) 𝜔 har ingen betydning for mig, da dette afhænger af perihelium, som er ikke eksisterende i en cirkelbevægelse. Det giver mig to ubekendte i denne formel, nemlig r og v. R er afstanden fra jordens massemidtpunkt til satellitten. R er givet ved (Seeber, s. 113)

𝑟=𝑎(1−𝑒∙cos (𝐸) (2.10)

Men da jeg før antog at 𝑒=0 giver det mig at 𝑟=𝑎. For at finde v eller the true anomaly (se figur

5) bestemmer jeg hvor mange grader v, satellitten bevæger sig med i minuttet, dette kan jeg gøre, fordi jeg kender satelittens omløbstid som er 12 timer:

𝑣= =0,5°/𝑚𝑖𝑛

360°

12∙60𝑚𝑖𝑛

Side 13

Page 13 of 54

Jeg er nu i stand til at bestemme koordinatet på satellitten til tiden 0 vha. formel (2.9).

Dette giver mig:

(   )=26600∙(   cos ( 0 ) ∙sin ( 60 ) +sin (0)∙cos (60)∙cos (55) )=( )
   0

𝑋_{𝑠}_{0}
𝑌_{𝑠}
𝑍_{𝑠_{0}} sin (0)∙sin (55) 0

cos ( 0) ∙cos ( 60) −sin (0)∙sin (60)∙cos (55)

13300

23036,3

Hvis jeg nu lader et minut passere og måler koordinatet på min satellit igen giver det mig et koordinat på:

()=26600∙( cos ( 0,5) ∙sin ( 60) +sin (0,5)∙cos (60)∙cos (55))=( 23102)

𝑋_{𝑠_{1}}
𝑌_{𝑠_{1}}
𝑍_{𝑠_{1}} sin (0,5)∙sin (55) 190,146

cos ( 0,5) ∙cos ( 60) −sin (0,5)∙sin (60)∙cos (55) 13184,2

Jeg kan ud fra dette, og afstandsformlen (2.2), bestemme den afstand satellitten har tilbagelagt, og derudfra finde farten på den:

𝑃= √ (13300−13184,2)^{2} +(23036,3−23102)^{2} +(0−190,146)^{2} =232,124𝑘𝑚

Og da satellitten tog 1min om at tilbagelægge denne afstand giver det satellitten en fart på

        𝑘𝑚                                  𝑜𝑚𝑘𝑟𝑒𝑑𝑠
232,124   . Jeg udregner nu farten på satellitten ved . Dette giver mig en fart på:
       𝑚𝑖𝑛                                    𝑡𝑖𝑑

26600𝑘𝑚∙2𝜋 𝑘𝑚

12∙60𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛

=232,129

Som det ses er farten lidt forskellig i de to eksempler. Grunden til denne afvigelse er at satellitten tilbagelægger en større afstand når den cirkulerer i en cirkelbane. Den afstand jeg målte imellem de to punkter, var en liniær afstand, og afveg derfor fra sandheden, som gav mig en fart der så langsommere ud end den rigtige. For at minimere denne fejl burde jeg tage en meget lille skridt istedet for et skridt på 0,5°.

Jeg kan nu bestemme satellit-koordinater, i et ikke-roterende koordinatsystem, hvis jeg kender satellitternes baneparametre. Dette var lige præcis det vi manglede i afsnit [2.1] for at måle koordinatet på en modtager i forhold til jorden, men siger det koordinattal mig noget? Hvad kan jeg bruge koordinatet til, hvis jeg ikke, ud fra det, kan sige hvor jeg befinder mig på kloden?

Side 14

Page 14 of 54

2.3 Sfæriske koordinatsystemer

Sfæriske koordinatsystemer er et tredimensionelt system, der ud fra 3 informationer kan sige noget om længde- og breddegraden man befinder sig i. Man kan altså ud fra et (x,y,z) koordinat bestemme hvilken længde- og breddegrad man befinder sig på, på jordens overflade. Måden systemet virker på er illustreret i

figur 6.^{10}

𝜑 fortæller noget om latitude på jorden eller breddegraden, imens 𝜃 fortæller om longitude eller længdegraden. Jeg ønsker nu at lave et eksempel, hvor jeg finder ud af, hvor på jorden jeg er, ud fra et (x,y,z) koordinat.

Jeg antager først, at jeg befinder mig i højde med overfladen på havet. Herudfra finder jeg et tilfældigt eksempel, hvor det gælder at:

𝑟= √ 𝑥^{2} +𝑦^{2} +𝑧^{2} =6371𝑘𝑚

Hvor r er jordens radius ved gennemsnitligt havniveau (hjemmeside [1], 16/12-2010).

Dette giver mig 3 tilfældige koordinater:

𝑥=5179,37
𝑦=864,35
𝑧=3607,87

Illustrationen er tegnet selv.

Figur 6

Som det ses af figuren bevæger man sig først i urets retning omkring jorden for at finde længdegraden. Man går det antal grader rundt som udregnet formel (2.11). Fra dette punkt bevæger man sig det sidste antal grader op til punktet r, hvor denne vinkel er lig med breddegraden. Længden på r, fortæller så noget om, hvor højt man befinder sig i forhold til jordens centrum.

Side 15

Page 15 of 54

Jeg ved at længde- og breddegraden kan bestemmes ud fra (hjemmeside 2, 16/12-2010):

          𝑧
       −1
𝜃=𝑐𝑜𝑠    ( ) (2.11)
          𝑟

          𝑦
       −1
𝜑=𝑡𝑎𝑛    ( ) (2.12)
          𝑥

De sfæriske koordinater for længde- og breddegraden fås deraf til:

𝜃=9,4744
𝜑=55,5077

Hvor 𝜃 er længdegraden og 𝜑 er breddegraden.

Med det sfæriske koordinat jeg nu har udregnet på baggrund af signaler fra 4 forskellige satellitter, hvor mit referencesystem er jordens midtpunkt. Giver mig, med disse koordinater, en lokation på jordkloden. Jeg plotter længde- og breddegraden ind i Google Maps og får tilfældigvis Kolding Gymnasium, som stedet jeg befinder mig på (se figur 7).

Jeg kan nu på baggrund af hele afsnit 2 bestemme, hvor min satellit befinder sig, hvor jeg befinder mig i forhold til satellitten, og hvor jeg befinder mig på jorden ud fra afstanden til satellitterne.

Men disse målinger er uden fejlkilder og jordens rotation taget i betragtning, men hvor stor en indflydelse har fejlkilderne på positioneringen af GPS-modtageren, og hvilke fejlkilder er der?

Figur 7

Kortet viser mig, hvor min GPS-modtager befinder sig på givne tidspunkt. I dette tilfælde, ved Kolding

Gymnasium.

Side 16

Page 16 of 54

3. Fejlkilder for GPS-systemet

Der er rigeligt med fejlkilder at beregne på når det kommer til GPS-systemet. Jeg vil i følgende afsnit behandle nogle af de primære fejlkilder der kan skyldes afvigelser på GPS-modtagerens koordinat. Hvis jeg skal prøve at liste nogle af dem op, er det bl.a. urfejlen; ’Sagnac-effekten’; forskellige atmosfærelag, der forstyrrer bølgesignalet; samt relativistiske fejl.

3.1 Relativitiske effekter

Jeg vil under dette afsnit komme ind på to fænomener der kaldes tidsforskydelse og længdeforkortelsen, derefter vil jeg kort nævne en sidste effekt, der siger at gravitationskræfterne også har en effekt på urenes gang. Samtidig vil jeg give et realistisk bud på, hvor stor en effekt fejlkilderne har på GPS-systemet ved at indrage et eksempel. Jeg vil i dette afsnit ikke udlede relativitetsteorien, men blot vise konsekvenserne og grundlæggende forklare fænomenerne.

Relativitetsteorien siger, at hvis man betragter et ur fra to forskellige inertialsystemer, hvor uret befinder sig i det ene inertialsystem, og observatøren i et andet inertialsystem. De to inertialsystemer har imidlertidigt en fart relativt i forhold til hianden. Observatøren i hvile, vil se uret i bevægelse, som gående langsommere sammenhængen er givet ved (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 28):

𝑇=𝑇_{0} (3.1)

√

Hvor 𝑇_{0} er tiden set fra inertialsystemet hvori uret er i hvile, og T er uret set fra et bevægende inertialsystem. V er hastigheden for det bevægende

inertialsystem.

Et andet fænomen hedder længdeforkortelse. Princippet er det samme, her gælder det bare at længden på en stang set i hvile, bliver kortere hvis man observere den fra et inertialsystem i bevægelse. Sammenhængen mellem staven set i hvile og i bevægelse er givet ved (Young, s. 1416):

            2
           𝑣
𝑙=𝑙  ∙ √ 1−  (3.2)
    0
            2
           𝑐

Hvor 𝑙_{0} er længden på objektet i hvile, l er længden på objektet set fra et bevægende inertialsystem. V er hastigheden på det bevægende

inertialsystem.

Jeg vil ikke udregne størrelsen af længdeforkortelsen, da den har en mindre betydning end tidsforskydelsen, men jeg har indraget den i dette afsnit, for at vise, at den eksisterer og har en, omend minimal, effekt for positioneringen.

Side 17

Page 17 of 54

For at beregne størrelserne af den relativistiske tidsforskydende effekt på GPS-systemet må vi først lave nogle antagelser. Vi ved at satelliter kredser i en cirkelbevægelse om jorden i en højde på

20.200km over jordoverfladen, med en omløbstid på 12 timer (Dueholm, s. 27). Samtidig indrages,

at jordens radius er 6371km (hjemmeside [1], 17/12-2010). Jeg vil måle den tid der bliver fejlmålt

på et døgn imellem modtageren og satellitten:

Jeg indsætter mine værdier i formel (3.1) og får at:

Δ𝑇= −12∙60^{2} =0,00000414𝑠

12∙60^{2} 𝑠

√

1−

()

2∙𝜋∙(22200𝑘𝑚+6371𝑘𝑚)
12∙60^{2} 𝑠

𝑐^{2}

Altså en tidsforskel på 4,1𝜇𝑚. Jeg beregner nu den afstandsforskel dette giver i afstand:

4,14𝜇𝑚∙𝑐=1242,4𝑚

En afstandsfejl på 1230m i døgnet, en fejl der altså også skal tages højde for.

En sidste effekt som også har meget stor betydning er gravitationskræfternes effekt på urenes gang.

Effekten skyldes at jo tættere et ur er på et objekt med en høj tyngdeacceleration, jo langsommere

går uret, effekten er givet ved (hjemmeside [5], 19/12-2010):

           2 𝑟
              0
𝑡 =𝑡  √ 1−  ∙  (3.3)
 0   𝑓
           3  𝑟

                                                                 2𝐺𝑀
Hvor 𝑡 er den korrekte tid, 𝑡 er koordinattiden mellem observør og objekt, 𝑟 = og r er afstanden fra observatør til objekt.
     0                 𝑓                                      0
                                                                   2
                                                                  𝑐

Jeg beregner nu den urfejl der i satelittens tilfælde vil komme til at finde sted på et døgn, på

                                 11
baggrund af gravitationskræfternes effekt :

24∙60^{2} =𝑡_{𝑓} 1− ∙

√

2 𝐺∙5,9736∙10^{24} 𝑘𝑔
3 𝑐^{2}

Hvilket giver mig:

𝑡_{𝑓} =86400,0000216𝑠

Altså en forskel på 21,6𝜇𝑠 på et døgn. Dette er med andre ord den relativistiske effekt der har aller størst betydning for urenes gang ombord på satellitten.

Data inputs til formlen er taget fra (hjemmeside [1], 16/12-2010).

Side 18

Page 18 of 54

For at kompensere for de relativistiske effekter, lader man uret i satellitten slå med en lavere frekvens end uret i GPS-modtageren. GPS-satellitternes ure slår med en frekvens på (Ashby, s. 16)

10,5453Hz istedet for de 10,23Hz som GPS-modtagernes ure slår med. På denne måde korrigerer man for relativistiske effekter en gang for alle.

3.2 Urfejl

Urfejlen, som finder sted ved positionering er en fejl der sidder i

GPS-modtagerens ur. Urfejlen kan fremkomme, hvis urene ikke går med den frekvens de skal, der skal derfor under indstilling af urene også tages højde for relativistiske effekter. GPS-satelliternes

ure er meget præcise, de afviger kun med helt ned til ca.^{1,5±0,5}_{10^{13}} af

et sekund over en periode på en dag. Dette giver et udslag på 8-17 nanosekunder pr dag (El-Rabbany, s. 31). Denne fejl bliver der løbende korrigeret for fra nogle GPS-centraler, så GPS-satelliternes tider ikke afviger betydeligt fra det faktiske. Denne tidsfejl der opstår, fremkommer altså i modtageren. Derfor har det store konsekvenser om modtageren er synkroniseret præcist efter GPS-tid, hvis positioneringsprincippet

                                                      12
skal kunne fungere efter henseende. Urfejlen er illustreretpå figur 8. GPS-modtagerne er som

standard korrigeret således, at de har en afvigelse fra GPS-tid med en tidsforskel på nogle nanosekunder, da større værdier ville give alt for store udsving i positionsbestemmelsen (El- Rabbany, s. 31).

Hvis jeg kigger på urproblemet konstaterer jeg først, at formel (2.1) er lig med formel (2.2) da de begge giver et udtryk for afstanden fra satellit til GPS-modtager. Dette giver mig at:

√ (𝑥−𝑥_{𝑖})^{2} +(𝑦−𝑦_{𝑖})^{2} +(𝑧−𝑧_{𝑖})^{2} =𝑇_{𝑖} ∙𝑐 (3.4)

Dette udtryk er igen uden urfejlen i systemet. Hvis jeg indrager denne fejl, som er illustreret i figur

(8), i ligningen får jeg at:

𝑟_{𝑖} =𝑇_{𝑖} ∙𝑐+𝑑𝑇∙𝑐 (3.5)

Hvor r er afstanden mellem satellit og modtager og hvor dT er tids-offsettet (urfejlen).

Illustration fra: The Mathematics of GPS, side 2.

Figur 8

Figuren viser den tidforskydelse GPS-modtageren skal korrigere for, hvis den skal vise en position der er præcis.

Side 19

Page 19 of 54

Dette giver mig at afstanden fra satellit til GPS-modtager er givet ved (Dueholm, s. 53):

𝑟_{𝑖} = √ (𝑥−𝑥_{𝑖})^{2} +(𝑦−𝑦_{𝑖})^{2} +(𝑧−𝑧_{𝑖})^{2} +𝑐∙𝑑𝑇 (3.6)

I formlen fremkommer der nu 4 ubekendte, nemlig: 𝑥,𝑦,𝑧 𝑜𝑔 𝑑𝑇, istedet for de 3 i formel (2.2).

Dette vil med andre ord sige at der er brug for endnu en pseudorange-måling fra en fjerde satellit.

Dvs. at ved positionering af en GPS-modtager, skal der anvendes mindst 4 satelliter for at bestemme den eksakte position.

Lad mig stille to eksempler op, hvor jeg bruger den teori jeg har fået fra trilaterationen, for at se, hvor stor en afstandsforskel tidsoffsettet egentligt gør. Så jeg har ét eksempel med, og ét uden urfejl, for at sætte det hele i et perspektiv. I eksemplerne arbejder jeg ud fra 3 satelliter. Jeg beregner først afstanden uden synkroniserede ure, og derefter lægger jeg 1ms på, for at antage at jeg på den måde korrigerer for urfejlen - for derved at se den målte fejlafstand. Jeg antager, at jeg i disse eksempler ikke kender satellitkoordinaterne, men kun afstanden fra satelliterne til modtageren, og afstanden imellem satelliterne.

Jeg bruger nu nogle tilfældige værdier for r

1 2 3

, r

, d, j og i. Ud fra dem, beregner jeg koordinatet for GPS-modtageren, først med urfejl og derefter korrigeret for urfejlen.

𝑟_{1} =0.096𝑠∙300.000 ≈29000𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

𝑟_{2} =0.1𝑠∙300000 =30000𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

𝑟_{3} =0.117𝑠∙300000 ≈35000𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

𝑑=10000𝑘𝑚, 𝑖=3000𝑘𝑚, 𝑗=15000𝑘𝑚

Derved findes 3 koordinater for GPS-modtageren vha. formel (2.6), (2.7), og (2.8):

𝑥=2050
𝑦=−5820
𝑧=28335.9

Koordinatet for GPS-modtageren uden korrigeret tidsfejl er altså (2050;-5410;28417.1) [13].

Udregnet i: Bilag 1.

Side 20

Page 20 of 54

Jeg ved at min urfejl giver et udslag i afstanden, r, fra det faktiske. Derfor lægger jeg et offset til hver r-værdi, for at korrigere for min tidsfejl.

Jeg omskriver formel (2.6), (2.7) og (2.8) så afstanden bliver korrigeret med urfejlen. Dette giver mig at:

    (𝑟
     1
𝑥=                (3.12)

+𝑜)^{2} −(𝑟_{2} +𝑜)^{2} +𝑑^{2}

2𝑑

    (                  𝑖
𝑦=                  −  𝑥 (3.13)
                      𝑗

𝑟_{1} +𝑜)^{2} − ( 𝑟_{3} +𝑜)^{2} +𝑖^{2} +𝑗^{2}

2𝑗 𝑧

= √ (𝑟_{1} +𝑜)^{2} −𝑥^{2} −𝑦^{2} (3.14)

Hvor o er offsettet eller urfejlen som går igen ved alle målinger.

Jeg udregner mit offset, hvis jeg sætter dT til 1ms:

𝑜=𝑑𝑇∙𝑐=0.001𝑠∙300000 =300𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

Vha. offsettet beregner jeg nu GPS-modtagerens faktiske position, hvis der i førnævnte koordinat, manglede en korrektion af GPS-tiden på 1ms:

𝑥=2020
𝑦=−5928
𝑧=28622.9

Hvilket giver mig et faktisk koordinat på GPS-modtageren på (2020;-5928;28622.9) [14]. For at sætte de to koordinater i perspektiv med hinanden, så man kan måle den tredimensionelle fejlmåling 1ms offset gør, anvender jeg afstandsformlen, som også er vist i formel (2.2):

𝑟= √ (2020𝑘𝑚−2050𝑘𝑚) +(−5928𝑘𝑚− ( −5820𝑘𝑚))^{2} +(28622.9𝑘𝑚−28335.9𝑘𝑚)^{2} =308.1𝑘𝑚

Nu er dette blot et eksempel, men det viser os, at der kan være fejlmålinger på omkring 300km (som også ses i tidsoffsettet), i radius fra faktiske position, hvis GPS-modtageren afviger 1ms fra GPS-tiden. En fejl der altså skal korrigeres meget nøje overfor.

Udregnet i: Bilag 1.

Side 21

Page 21 of 54

3.3 Sagnac-effekten

En effekt som også har en betydning for præcisionen af GPS-systemet skyldes jordens rotation. Problemet er afbilledet i figur 9. [15] Det betyder, at sender man en lysstråle rundt om jorden, hvis vi antager, at jorden står stille, tager lysstrålen 0,133526s om at nå tilbage til samme punkt igen:

𝑡= = =0,133526𝑠

𝑠 2∙𝜋∙6371𝑘𝑚 𝑣

300.000 𝑘𝑚 𝑠

Hvis vi så derimod siger at jorden roterer imod strålen, der samtidig bliver sendt rundt om jorden er tiden, som lyset tager om at tilbagelægge omkredsen af jorden, givet ved:

   2𝜋𝑟
𝑡=    (3.15)
   𝑐−𝑣

Og tiden det tager for strålen der går i samme retning som den roterende jord er givet ved:

   2𝜋𝑟
𝑡=    (3.16)
   𝑐+𝑣

Dette giver mig et udtryk der siger at (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 29):

    4𝐴𝜔
Δ𝑡=    (3.17)
      2
     𝑐

Hvis 𝑣≪𝑐. Hvor 𝜔 er vinkelhastigheden for vinklen 𝛼 på figur 9. Og A er arealet af jordens tværsnit ved ækvatorialplanet.

                                                           Δ𝑡
Effekten man oplever svarer til gennemsnittet af den samlede tidsforskel, , hvilket svarer til
                                                           2

207,4ns (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 29). Glemmer man at jorden roterer, virker positioneringen altså ikke.

Jorden roterer 1,0027379 gange om jeg selv i løbet af 24 timer, da vi anvender universaltid istedet

for siderisk omløbstid (hjemmeside [3], 18/12-2010).

Jeg prøver nu at opstille eksemplet fra formel (3.1), hvor der er taget højde for sagnac effekten:

Δ𝑇= −12∙60^{2} =0,00000412𝑠

12∙60^{2}

√

1−

()

2∙𝜋∙(22200𝑘𝑚+6371𝑘𝑚)
1,0027379∙12∙60^{2}

𝑐^{2}

Ved at multiplicere dette med lysets hastighed får jeg:

0,00000412𝑠∙𝑐=1235,6𝑚
Dette er en yderligere afstandsfejl på 1242,4𝑚−1235,6𝑚=6,8𝑚 om dagen udover den

relativistiske tidsfejl blot pga. sagnac-effekten.

Illustrationen er fra (Eksperimentielle Øvelser i Speciel Relativitetsteori, s. 28).

Figur 9

Sagnac-effekten. På billdet til venstre ses lyssignalet bevæge sig om en stillestående jord, hvorimod lyset på billedet til højre bevæger som en roterende jord.

Side 22

Page 22 of 54

3.4 Atmosfærelagenes betydning

Indtil videre har jeg antaget at lys bevæger sig med lysets hastighed i vakuum. Dette viser sig også at være en dårlig antagelse, da det ikke er realistisk. Imens lyset bevæger sig igennem atmosfærelagene bliver lysbølgen nemlig langsommere, dette gør at modtageren tror den er længere væk fra satellitten end den egentlig er. Korrektion for atmosfærelagenes bremsning af lysets hastighed er svær umiddelbart at lave en matematisk løsning på, da densiteten af partikler i ionosfæren konstant ændres.

Figur 10

Figuren viser solpletaktiviteten til forskellige årstal, hvilket virkeligt godt afbilleder, hvor meget partikeldensiteten konstant ændres.

Sammenhængen mellem solpletaktiviteten og fejlbidrag til GPS-målingen er, at jo højere

                                               16
solpletaktiviteten er, jo større er fejlbidragene (se figur 10). Solpletaktiviteten varierer cyklisk med

en bølgelængde på ca. 11 år (Dueholm, s. 40).

Størrelsen af forstyrrelsen gennem ionosfæren, og dermed afvigelsen i pseudorangemålingen, er givet ved (Dueholm, side 39):

      40,3
𝑑   =    ∫ 𝑁 (3.18)
 𝑖𝑜𝑛        𝑒
        2
       𝑓

Hvor d er afstandskorrektionen igennem ionosfæren, f er frekvensen på navigationssignalet og 𝑁 er elektrondensiteten i ionosfæren.
                                                                             𝑒

På figur 10 ses det tydeligt, hvor meget elektrondensiteten, og dermed lysets hastighed igennem ionosfæren, konstant varierer, hvilket gør det svært at korrigere overfor.

Da ionosfæreforsinkelen er omvendt proportional med kvadratet på frekvensen giver det mig at man på bærebølgen L1 skal lave en korrektion, der er givet ved (Dueholm m.fl., side 41):

𝑑_{𝐿1} = ( 𝑟_{𝐿1} −𝑟_{𝐿2}) ∙_{𝑓_{𝐿2}}_{2}^{𝑓_{𝐿2}^{2}}_{−𝑓_{𝐿1}^{2}} (3.19)

Hvor f er frekvenserne på L1 og L2 bølgerne, r er de målte pseudorangemålinger på hver af bølgerne og d er afstandskorrektionen på L1.

Figuren er fra (Dueholm, s. 40)

Side 23

Page 23 of 54

Jeg vil nu prøve at udregne afstandkorrektionen ud fra et eksempel, hvor pseudorange-målingen er udført på baggrund af de to bærebølger, L1 og L2, som giver mig to forskellige afstande:

Lad os sige at de to målte afstande fra de to forskellige bølger er henholdsvis: 𝑅 =27.200𝑘𝑚
                                                                𝐿1

og 𝑅_{𝐿2} =27.199,5𝑘𝑚. De to bølgefrekvenser kender jeg i forvejen (Dueholm, s. 31), hvilket giver

mig at:

𝑑_{𝐿1} = ( 27.200𝑘𝑚−27199,5𝑘𝑚) ∙ =188,9𝑚

( 1227.60ℎ𝑧)^{2}
( 1227.60ℎ𝑧)^{2} + ( 1575.42ℎ𝑧)^{2}

Altså en korrektion man skal huske at tage højde for

Man kan ud fra måling af elektrondensiteten i ionosfæren udregne hvor meget ens radiobølge vil blive bremset, og ud fra formel (3.19) beregne den afstandkorrektion man skal foretage for at ens måling klarer sig pålideligt igennem ionosfæren.

Udover bremsningen og brydningen af lyset gennem ionosfæren er der også forhindringer ved at komme igennem troposfæren. Korrektionen man skal tage højde for er givet ved (Dueholm, s. 42):

𝑑_{𝑡𝑟𝑜𝑝} =0,002277∙𝑓_{𝑠} ∙sec ( 90−𝑒𝑙𝑣) ∙(𝑃+( +0,05)𝑒)

1255

𝑇

Hvor:

𝑓_{𝑠} =1−0,00266∙cos ( 2𝜑) −0,00028𝐻

Hvor T er temperaturen ved GPS-antennen. P er trykket i millibar. e er der partielle tryk for vanddamp i millibar. elv er elevationsvinklen. 𝜑 er breddegraden. H er højde over havniveau i km.

Der skal altså laves forskellige korrektioner for radiobølgens gang igennem de forskellige atmosfærelag.

Side 24

Page 24 of 54

3.5 Multipath

Et fænomen der er utroligt svært at tage højde for er multipath. Multipath er et fænomen der kan gøre, at GPS-modtageren bruger et signal, der er blevet reflekteret i en høj bygning eller lignende,

                                                       17
og tror dette er det direkte signal. Problemet er illustreret på figur 11 .

GPS-modtagerne er opbygget således, at de tager det stærkeste signal, der bliver sendt fra GPS-

satelitten (antennen på billedet). På baggrund af_{Figur 11}

dette virker multipath umiddelbart ikke som et problem, men hvis jeg nu bygger en mur, der satellit i vores tilfælde.

blokerer for ”Line og Sight Signal” (Se figur 11), er det stærkeste signal GPS-modtageren modtager, signalet, der er blevet reflekteret ind i bygningen.

Derfor tror GPS-modtageren, at den er længere væk fra satelliten, end den egentligt er. Dette er et stort problem inde i større byer. Her korrigerer GPS-modtagerne i biler, ved at ”snyde” sig til at sige, at man kun er i stand til at køre på vejene, der er i det integrerede kort i modtageren. Derfor

’kører man automatisk på den vej man er tættest på’. Dette er selvfølgelig en problematisk opfattelse i sig selv, da man sagtens kan befinde sig på en mindre vej, tæt på den vej GPS-modtageren viser, som ikke findes i modtagerens integrerede kort. Afstandsforskellen der fremkommer ved multipath er helt afhængig af situationen, og afstandsforskellen er helt banalt givet ved formel (2.1), da det tager lyset længere tid at tilbagelægge afstanden ned til GPS-modtageren.

Illustration er fra (hjemmeside [8], 14/12-2010)

Figuren viser multipath fænomenet, hvor antennen er en

Side 25

Page 25 of 54

3.6 Doppler-effekt

Den sidste fejlkilde jeg vil komme ind på kaldes ’Doppler-effekten’ og er kendt fra folkeskolefysikken, ved eksemplet med ambulancen der ændrer frekvens, alt efter om den bevæger sig mod en eller væk fra en. Det samme gælder for GPS-satellitter i rummet. Jo mere satellitten bevæger sig mod modtageren, jo højere bliver frekvensen, og jo længere den bevæger sig modsat modtagerens retning jo lavere bliver frekvensen. Problemet er illustretet på figur 12. [18] Dette er et problem, fordi GPS-modtagere, som tidligere nævnt, læser afstanden fra satellit til modtager vha. nogle koder, der fortæller noget om, hvor mange bølger navigationssignalet har været undervejs, og det antal bølger navigationssignalet har været undervejs ændres altså i forhold til frekvensen. For at korrigere for doppler-effekten, har MCS et par faststående antenner på jorden, der sender konstante frekvenser ud til satellitterne. Der sidder så en modtager i satellitterne, der aflæser doppler-forskydningen, og derefter ændrer det signal de transmittere til GPS-modtagerne, så GPS-modtagerne er i stand til at korrigere for doppler-effekten (Seeber, s. 183). Doppler-ligningen, for en elektromagnetisk bølge er givet ved (Seeber, s. 183):

𝑓_{𝑟}
𝑓_{𝑠}

1− ∙cos ( 𝜃)

𝑣 𝑐

√

1−

𝑣^{2}
𝑐^{2}

𝑓 er frekvensen sendt fra satelliten. 𝑓 er frekvensen der bliver modtaget. V er farten på satellitten. 𝜃 er vinklen mellem hastighedsvektoren på
 𝑠                            𝑟

satellitten og linien imellem modtageren og satellitten. R er afstanden mellem modtager og satellit.

Illustrationen er fra (hjemmeside [6], 14/12-2010).

Figur 12

Dopper-effekten, og hvordan den har en indflydelse på GPS-systemet. Som det ses i toppen er billedet er frekvensen på signalet højere når satelitten nærmer sig modtageren, og lavere når den har passeret modtageren.

Side 26

Page 26 of 54

Jeg beregner nu et eksempel, hvor jeg finder ud af hvor meget forskel det giver i frekvensen hvis

satellitten er lige ovenover os. Hvis satelliten er lige over modtageren giver det mig at 𝜃=90°.

Frekvensen på navigationssignalet, sendt fra satellitten, er 50,42hz med en bølgelængde på 5950km

(Dueholm, s. 33). Prøver jeg nu at beregne frekvens, der bliver modtaget af GPS-modtageren får jeg:

𝑓_{𝑟} = ∙50,42ℎ𝑧=50.4200150814ℎ𝑧

1− ∙cos (90)

()

2∙𝜋∙(20.200𝑘𝑚+6.371𝑘𝑚)

12∙60𝑠 𝑐

√

1−

()

2∙𝜋∙(20.200𝑘𝑚+6.371𝑘𝑚)
( 12∙60𝑠)^{2}

𝑐^{2}

Altså en forskel på 15,0814∙10^{−6} ℎ𝑧. Hvis jeg nu omregner frekvensen til den forskel det giver for

bølgelængden på navigationssignalet: 𝑐

50,4200151ℎ𝑧

=5945,9𝑘𝑚

En forskel i bølgelængden på 4,1km fra det udsendte, pr bølge. Og da der er mere end en bølge fra satellit til modtager, kan det give en fejlmåling på adskillige kilometer. Doppler-effekten er altså også en stor fejlkilde.

3.7 Opsummering af fejlkilder

Hvor store er fejlkilderne så alt i alt? Og hvor meget skal vi stole på vores GPS-modtagere? I figur

13 er der opsummeret på alle fejlene, som finder sted på GPS-modtagere^{19}:

Fejlkilderne kan selvfølgelig godt værre større, hvis man befinder sig i en større by og der forekommer en stor multipath fejl. Men gennemsnitligt set er fejlmålingerne som på figuren.

Figuren er fra (Seeber, s. 299)

Figur 13

Primære fejlkilder, der kan give fejlmåling ved GPS-positionering.

Side 27

Page 27 of 54

4. Baneberegning for en satellit

For at lave en baneberegning for en satellit, bliver jeg først nødt til at kende Keppler-parametrene.

Jeg bruger de samme som i afsnit 2.2, som er standard for GPS-satellitter (Seeber, s. 213). Jeg antager også i dette afsnit at der ikke er nogle udefrakommende parametre, der gør at satellitten kommer ud af banen. Omløbstiden er som standard for GPS-satelliter 12 timer i siderisk tid. Jeg vil i følgende beregne en pseudorange-måling imellem satellitten og modtageren på et døgn, med nogle små tidsintervaller. Der hvor afstanden mellem modtager og satellit ændres mest på et interval, er der hvor satellitten har den maksmiale hastighed i forhold til modtageren. Ud fra denne hastighed kan jeg måle størrelsen af relativistiske effekter i punktet. Jeg bruger i udregningerne koordinatet for modtageren, som jeg brugte i afsnit (2.3).

                           20
Jeg illustrerer problemet i figur 14 :

For at beregne afstanden mellem modtageren og satellitten skal vi først vide at, i jordens referencesystem er koordinatet på GPS-modtageren, der står et bestemt sted på jorden, uafhængig af tiden, da koordinatsystemet netop roterer samtidig med jorden. Dette medvirker til at GPS-modtagerkoordinatet, ikke ændrer sig over tid. Derfor skal man huske at tage jordens rotation med i betragtning, når man skal bestemme satellitpositioner. Jordens rotation påvirker Ω (the right ascension of the ascending node), fordi jorden roterer I xy-planet med 1,0027379 gange 360˚ i døgnet. Dette gør at Ω bliver ændret som funktion af tiden, og hele koordinatsystemet roterer derfor.

Illustrationen er tegnet selv.

Figur 14

Jeg ønsker at finde punktet hvor^{𝑑}_{𝑑𝑡}^{|}^{𝑟}^{⃗}^{|} er størst. Da dette er min

maksimale relative hastighed imellem satellit og modtager

Side 28

Page 28 of 54

Jeg beregner rotationen der finder sted pr minut:

1,0027379∙

360°∙𝜋

180

24∙60𝑚𝑖𝑛

=0.004375 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑟/𝑚𝑖𝑛

Jeg omregner til radianer, da det regneark jeg har lavet i excel (se bilag 2), regner med radianer.

Resten af mine keppler-elementer regner jeg også om til radianer:

𝑒=0

𝑖=55°= =0,959931089 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑟

55°∙𝜋

180

𝑎=26600𝑘𝑚

𝑑_Ω=0°,60°…= =4,188790205 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑟

240∙𝜋

180

Grunden til jeg har valgt lige præcis 240˚ ved 𝑑_Ω^{21}, er fordi dette giver mig et resultat, hvor

længden af den relative hastighed imellem modtager og satellit er størst på et tidsskridt. Dette har

jeg fundet ud af, ved at ændre d_Ω i intervaller af 60˚, eller 1,1 radianer^{22}.

R(x-x_s) er lig afstanden imellem satellit og modtager, og d_R(x-x_s) er den forskel i afstanden R, der fremkommer efter et spring på 1min, altså den relative hastighed.

Til sidst er der det antal grader satellitten bevæger sig med i minuttet, hvis den skal have en

omløbstid på 12 timer. Det gælder nemlig at 0.5°∙12∙60𝑚𝑖𝑛=360°:

𝑣= = =0,008726646 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑟/𝑚𝑖𝑛

0,5° 0,5°∙𝜋 𝑚𝑖𝑛 180∙𝑚𝑖𝑛

Koordinaterne udregnes vha. formel (2.9). Den værdi for Ω jeg bruger i dette tilfælde, er med jordens rotation taget i betragtning. Jeg har kaldt den Ω_relativ, og sagt den er givet ved:

Ω_{𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣} =𝑑_{Ω} −(𝑣∙𝑡())

1,0027379∙

360°∙𝜋

180

24∙60𝑚𝑖𝑛

Hvor 𝑣∙𝑡 er det samme som antal radianer passeret^{23}

Se Bilag 2

Side 29

Page 29 of 54

Grunden til at jeg trækker jordens rotation fra i regnestykket er fordi satellitten roterer i samme retning som jorden [24]. Dette gør, at den ikke ændrer koordinat så hurtigt, og har dermed ikke en lige så høj fart, som hvis den havde gået modsat jordens retning, hvor jeg dér skulle have adderet rotationen. Jordens rotation bevirker altså at satellitten og modtageren, får en lavere relativ hastighed imellem hinanden.

Som det fremgår i bilag 2, er dér hvor den relative hastighed mellem modtager og satellit er størst, befinder satelitten sig 25901,97km fra modtageren. Afstanden imellem modtager og satellit, Δ𝑟,

ændres dér med 54,3541_{𝑚𝑖𝑛}^{𝑘𝑚}, som er den relative hastighed imellem GPS-modtageren og satellitten.

Ud fra oplysningen om længden af den relative hastighed imellem GPS-modtager og GPS-satellit kan jeg nu beregne den relativistiske effekts betydning for urenes gang (formel 3.1):

Δ𝑇= −24∙60^{2} 𝑠=0,394459𝜇𝑠

24∙60^{2} 𝑠

√

1−

(54,3541)

𝑘𝑚^{2}

𝑚𝑖𝑛

𝑐^{2}

Der er altså en afvigelse fra det faktiske på 0,4 millisekunder, pr. døgn på grund af tidsforskydende effekt ved ure i bevægelse, i det punkt, hvor GPS-satellitten bevæger sig hurtigst, i forhold til GPS-modtageren. Dette er en stor afvigelse, da jeg ved at 1ms afvigelse giver en fejlafstand på 300km fra afsnit 3.2.

Modsat er dér, hvor^{𝑑}_{𝑑𝑡}^{|}^{𝑟}^{⃗}^{|} er mindst, har den en værdi på 0,055978_{𝑚𝑖𝑛}^{𝑘𝑚}. [25] Denne fart er så utrolig lille

                                                                            𝑑 | 𝑟 ⃗ |
at den ikke har nogen betydning for urenes gang ombord på satelliten. Den relative hastighed, ,
                                                                             𝑑𝑡

afviger altså dynamisk med 0±0,4 𝜇𝑠 i døgnet. Dette gør at doppler-effekten hele tiden varierer,

og det kan være svært at vide, hvornår modtageren skal korrigere, for hvilken doppler-forskydning.

Man skal altså korrigere for doppler-effekten, ud fra hvor satellitten befinder sig i forhold til modtageren, og hvilken relativ hastighed de har imellem hinanden.

Se Bilag 2

GPS-satelitterne har en inclination på 55˚. Ifølge (hjemmeside [7], 20/12-2010) bevæger objekter, med en

inclination mellem 0˚ og 90˚, sig i samme retning, som rotationen på legemet, der er massemidtpunktet. I dette

tilfælde jorden.
25

Se Bilag 2, hvor tiden er lig 246min.

Side 30

Page 30 of 54

Konklusion

GPS-systemet er opbygget af ialt 24 satelliter som kredser i 6 forskellige baner. For at positionen på en modtager kan bestemmes skal der minimum være 4 synlige GPS-satelliter, helst alle med direkte syn til modtageren. GPS-systemet anvender nogle koder med bestemte frekvenser, som GPS-modtagerne opfanger, for at bestemme, hvor længe navigationssignalet har været undervejs.

Ud fra radius på 4 forskellige navigationssignaler, er modtageren i stand til selv at beregne sin position. Grunden til at der minimum skal anvendes 4 satelitter, skyldes en urfejl imellem satellit og modtager. Noget der spiller en stor rolle ved positioneringen er fejlkilderne, og størrelsen af samme. Der findes et utal af forskellige fejlkilder til systemet, men nogle af de primære er: brydning af navigationssignal igennem de forskellige atmosfærelag; multipath effekt samt urfejl.

Jeg ved at GPS-satellitter kredser i en cirkelbevægelse omkring om jorden, og at GPS-satellitterne til ethvert tidspunkt af døgnet kender deres egenposition. De sender denne position, via en kode, ned til GPS-modtageren, som er i stand til at tolke dens egenposition i forhold til satellitkoordinaterne. I disse satellitbaner gælder der nogle Keppler-parametre, der gør at man er i stand til at forudsige satellittens bevægelse. På baggrund af doppler-effekten, skal man korrigere ens modtager, således at doppler-effekten bliver minimeret, ud fra hvor hurtig satellitten bevæger sig relativt i forhold til modtageren. Dette korrigerer man løbende for via nogle antenner på jorden, som sender faste frekvenser op til satellitterne, der dermed kennder deres doppler-forskydning i forhold til antennen. Denne forskydning er så en del af det signal de sender ned til GPS-modtagerne, som derefter skal korrigere for dette.

Perspektivering

Til videre arbejde kunne det være rigtigt spændene at arbejde arbejde med fejl i satellitbanerne, der gør at GPS-satellitterne lige pludseligt ikke kender deres eksakte koordinat. Dette kan skyldes vindmodstande, tilkrækning fra andre planeter osv. Det kunne også være spændene at arbejde med nyere navigationssystemer, samt deres opbygning. Et godt eksempel på dette er GALILEO-systemet, som er et europæisk system man regner med er oppe at køre omkring 2014.

Side 31

Page 31 of 54

Litteraturliste

Bøger

Carstensen, Jens,. m.fl. MAT A3. 1. Udgave 2. Oplag. Århus: Systime A/S, 2008.

Dueholm, Keld,. m.fl. GPS. 3. Udgave 1. Oplag. København: Nyt Teknisk Forlag, 2005.

El-Rabbany, Ahmed. GPS – The . 1. Title. 2. Series. Norwood: Artech

House Inc, 2002.

                              nd
Seeber, Günther. Satellite Geodesy. 2 edition. De Gruyter, 2003.

Sidi, Marcel J. Spacecraft Dynamics and Control – A Practical Engineering Approach. 1. Title. 2.

Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.

Wertz, James R. Spacecraft Attitude Determination and Control. 2. Title. 3. Series. Dordrecht: D.

Redidel Publishing Company, 1980.

Young, Hugh D. Univeristy Physics. 11^{th} edition. Addison-Wesley, 2006.

Internetmateriale

[1]: http://en.wikipedia.org/wiki/Earth
[2]: http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_coordinate_system#Geographic_coordinates
[3]: http://en.wikipedia.org/wiki/Sidereal_day
[4:] http://en.wikipedia.org/wiki/GPS
[5]: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_time_dilation

[6]: http://www.dmu.dk/Dyr_planter/Dyr_satellitsporing/Positionering_dyr_Argos/

[7]: http://en.wikipedia.org/wiki/Inclination

[8]: http://home.pacbell.net/ray2288/antenna.html
Langley, B. Richard. The Mathematics of GPS. University of New Brunswick. 7/8.1991,
http://gauss.gge.unb.ca/gpsworld/EarlyInnovationColumns/Innov.pdf

Ashby, Neil. Relativity in The . Living reviews, 2003,

http://www.emis.ams.org/journals/LRG/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1BW.pdf (9/12-2010)

Eksperimentielle Øvelser I Speciel Relativitetsteori. Uge 36, 2007,

http://www.phys.au.dk/~ulrik/Exp_spec_rel_2007.pdf (9/12-2010).

Andet hjælp

Mathias Benn. Ph. D Grad. DTU – Insitut for Rumforskning og –Teknologi. URL:

Christensen, Thorbjørn Helvig. Ph. D studerende. DTU – Institut for Rumforskning og –Teknologi. URL:

Side 32

Page 32 of 54

Bilag 1

Udregninger til afstandsmåling.

Jeg har i starten bestemt nogle forskellige værdier for radius a, som jeg gerne vil have i runde tal.

                                                               𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠
Derfor finder jeg de tider radiobølgerne har været undervejs, ved at sige . Dette
                                                           𝑙𝑦𝑠𝑒𝑡𝑠 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑

giver mig nogle resultater der ser således ud:

𝑟_{1} 29.000𝑘𝑚

𝑐

= =0,966667𝑠

300.000 𝑘𝑚 𝑠

𝑟_{2} 30.000𝑘𝑚

𝑐

= =1𝑠

300.000 𝑘𝑚 𝑠

𝑟_{3} 35.000𝑘𝑚

𝑐

= =0,116667𝑠

300.000 𝑘𝑚 𝑠

Jeg ”beregner” med disse værdier, 3 forskellige værdier for radius af cirklerne:

𝑟_{1} =0,96667𝑠∙300.000 =29.000𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

𝑟_{2} =1𝑠∙300.000 =30.000𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

𝑟_{3} =0,116667𝑠∙300.000 =35.000𝑘𝑚

𝑘𝑚 𝑠

Værdierne for j, i og d er bestemt på samme måde og har værdierne:

𝑗=15.000𝑘𝑚;𝑖=3.000𝑘𝑚;𝑑=10.000𝑘𝑚

Jeg indsætter tallene i (3.9), (3.10) og (3.11) og får:

𝑥= =2050

(29.000𝑘𝑚)^{2} −(30.000𝑘𝑚)^{2} +(10.000𝑘𝑚)^{2}

2∙10.000𝑘𝑚

𝑦= − ∙𝑥=−5820

( 29.000𝑘𝑚)^{2} −(35.000𝑘𝑚)^{2} −𝑥^{2} +(𝑥−3.000𝑘𝑚)^{2} +(15.000𝑘𝑚)^{2} 3.000𝑘𝑚

2∙15.000𝑘𝑚 15.000𝑘𝑚

𝑧= √ (29.000𝑘𝑚)^{2} −𝑥^{2} −𝑦^{2} =28335,6

Dette giver mig et koordinat på (2050;-5820;28335,6) uden tidsoffset.

Side 33

Page 33 of 54

Jeg korrigerer nu for en tidsfejl som jeg har bestemt til at være 1milisekund.

Dette giver mig et offset på 10^{−3} 𝑠∙300,000^{𝑘𝑚}_{𝑠} =300𝑘𝑚

Jeg beregner nu x, y og z ud fra formlerne (3.12), (3.13) og (3.14):

𝑥= =2020

(29.000𝑘𝑚+300𝑘𝑚)^{2} −(30.000𝑘𝑚+300𝑘𝑚) +(10.000𝑘𝑚)^{2}

2∙10.000𝑘𝑚

𝑦= − ∙𝑥=−5928

( 29.000𝑘𝑚+300𝑘𝑚)^{2} −(35.000𝑘𝑚+300𝑘𝑚) −𝑥^{2} +(𝑥−3.000𝑘𝑚)^{2} +(15.000𝑘𝑚)^{2} 3.000𝑘𝑚

2∙15.000𝑘𝑚 15.000𝑘𝑚

𝑧= √ (29.000𝑘𝑚+300𝑘𝑚)^{2} −𝑥^{2} −𝑦^{2} =228622,9

Jeg benytter afstandsformlen (Carstensen, s. 108), til at finde forskellen i afstanden:

𝑟= √ (2020𝑘𝑚−2050𝑘𝑚) +(−5928𝑘𝑚− ( −5820𝑘𝑚))^{2} +(28622.9𝑘𝑚−28335.9𝑘𝑚)^{2} =308.1𝑘𝑚

Jeg har hermed vist et eksempel for, hvor stor en afstandsforskel 1 milisekunds offset gør.

Side 34

Page 34 of 54

Bilag 2

Keppler-parametre: Koordinat på GPS-modtager (konstant): e 0 x_modtager 5179.37 i 89 radianer y_modtager 864.35 a 26600 km z_modtager 3607.87 d_Ω 05 radianer

tidsskridt 1 min max d_R 56 (km/min)
v 46 radianer/min min d_R - (km/min)

Koordinat på satellit ud fra formel (2.9) Afstand, satellit til modtager:

Tid (min) passeret Ω_relativ x y z R(x-x_s) d_R(x-x_s) radianer

0 0 -13300 - 0 41

1 46 4.188752 4 - 99 34 -40.2861

2 93 5 - 93 11 -40.5582

3 39 3 - 91 7 -40.8284

4 85 3 - 22 12 -41.0966

5 31 4 - 48 38 -41.3627

6 78 7 - 08 53 -41.6269

7 24 9 - 57 63 -41.8889

8 7 3 -23508.53 05 76 -42.1489

9 16 - - 02 01 -42.4067

10 | 63 | 1 | - | 09 | 52 | -42.6625

11 | 09 | 9 | - | 93 | 42 | -42.9161

12 55 4.188332 8 - 36 88 -43.1675

13 01 2 - 3 08 -43.4168

14 48 6 - 8 22 -43.6639

15 | 94 | 5 | - | 05 | 53 | -43.9087

16 4 5 - 42 25 -44.1513

17 | 86 | 4 | - | 42 | 65 | -44.3916

18 | 33 | 9 | - | 75 | 01 | -44.6296

19 | 79 | 7 | - | 28 | 65 | -44.8654

Side 35

Page 35 of 54

20 | 25 | 8 | - | 09 | 89 | -45.0988

21 | 71 | 1 | - | 46 | 09 | -45.3298

22 18 6 - 92 6 -45.5585

23 64 4.187912 4 - 18 84 -45.7848

24 1 6 - 23 21 -46.0086

25 | 56 | 4 | - | 29 | 14 | -46.2301

26 03 -10010.81 - 86 11 -46.449

27 | 49 | 3 | -24170.47 | 71 | 57 | -46.6655

28 | 95 | 7 | - | 88 | 05 | -46.8795

29 42 2 - 72 05 -47.091

30 | 88 | 6 | - | 87 | 13 | -47.2999

31 | 34 | 2 | - | 31 | 85 | -47.5063

32 8 8 - 33 8 -47.71

33 27 9 - 56 6 -47.9112

34 73 4.187492 3 -24248.56 98 88 -48.1097

35 | 19 | 5 | - | 92 | 29 | -48.3056

36 | 65 | 4 | -24254.36 | 11 | 51 | -48.4988

37 | 12 | 6 | - | 62 | 25 | -48.6893

38 58 9 - 93 23 -48.877

39 04 9 - 92 2 -49.062

40 5 4 - 89 93 -49.2443

41 | 97 | 8 | - | 55 | 22 | -49.4237

42 | 43 | 2 | - | 04 | 87 | -49.6003

43 | 89 | 7 | - | 94 | 73 | -49.7741

44 | 35 | 1 | - | 31 | 67 | -49.9451

45 82 4.187072 8 -24189.61 64 57 -50.1131

46 | 28 | 2 | -24173.25 | 91 | 33 | -50.2782

Side 36

Page 36 of 54

47 | 74 | 6 | - | 58 | 9 | -50.4404

48 2 4 - 61 23 -50.5997

49 67 4 -24113.2 45 31 -50.7559

50 | 13 | 1 | - | 07 | 13 | -50.9092

51 59 4.186843 1 - 98 73 -51.0594

52 06 4 -24036.73 2 16 -51.2066

53 52 5 - 3 5 -51.3507

54 | 98 | 2 | - | 42 | 84 | -51.4917

55 | 44 | 6 | - | 72 | 32 | -51.6295

56 91 4.186652 3 - 5 09 -51.7642

57 37 - - 27 32 -51.8958

58 83 1 -23834.75 25 2 -52.0241

59 29 9 -23794.76 77 97 -52.1492

60 | 76 | 2 | - | 19 | 87 | -52.2711

61 | 22 | 2 | - | 93 | 18 | -52.3897

62 68 4.186423 2 -23664 49 19 -52.505

63 14 9 - 41 22 -52.617

64 | 61 | 3 | - | 33 | 64 | -52.7256

65 | 07 | 6 | - | 93 | 8 | -52.8308

66 | 53 | 3 | - | 96 | 1 | -52.9327

67 99 4.186232 -3857.802 -23410.32 24 98 -53.0311

68 | 46 | 8 | - | 67 | 88 | -53.1261

69 | 92 | 9 | - | 19 | 27 | -53.2176

70 | 38 | 6 | - | 86 | 66 | -53.3056

71 | 84 | 6 | - | 75 | 57 | -53.3901

72 31 7 - 06 55 -53.471

73 77 4.186003 - - 03 18 -53.5484

74 | 23 | 6 | - | 97 | 06 | -53.6221

Side 37

Page 37 of 54

75 69 - - 3 82 -53.6922

76 | 16 | 6 | - | 47 | 11 | -53.7587

77 | 62 | 3 | - | 05 | 61 | -53.8215

78 | 08 | 8 | - | 66 | 03 | -53.8806

79 55 1 - 1 -53.9359

80 | 01 | 4 | - | 87 | 58 | -53.9875

81 | 47 | 9 | - | 13 | 24 | -54.0353

82 93 - - 72 91 -54.0793

83 4 1 - 68 4 -54.1195

84 86 4.185583 9 - 13 6 -54.1558

85 | 32 | 8 | - | 25 | 37 | -54.1882

86 | 78 | 4 | - | 33 | 64 | -54.2167

87 | 25 | 9 | - | 74 | 35 | -54.2413

88 | 71 | 9 | - | 92 | 46 | -54.2619

89 | 17 | 9 | - | 43 | 95 | -54.2785

90 | 63 | 2 | - | 88 | 86 | -54.2911

91 1 5 - 99 22 -54.2996

92 | 56 | 4 | - | 57 | 1 | -54.3041
93 | 02 | 1 | - | 51 | 6 | -54.3045

94 48 9 - 8 84 -54.3008

95 95 4.185163 4 - 52 96 -54.2929

96 | 41 | 1 | - | 84 | 14 | -54.2808

97 87 - 02 58 -54.2646

98 | 33 | 2 | - | 42 | 5 | -54.2441

99 8 6 - 49 15 -54.2193

100 | 26 | 6 | - | 78 | 81 | -54.1903

101 72 4 - 94 77 -54.157

102 | 19 | 3 | - | 7 | 37 | -54.1194
103 | 65 | 8 | - | 9 | 96 | -54.0774

104 11 4 - 49 9 -54.0311

105 57 8 -20085.15 48 62 -53.9803

106 04 4.184743 7 - 02 52 -53.9251

107 5 - 35 07 -53.8655

108 | 96 | 6 | - | 8 | 73 | -53.8013
109 | 42 | 7 | - | 8 | 01 | -53.7327

110 | 89 | 7 | - | 91 | 44 | -53.6596
111 | 35 | 8 | - | 75 | 56 | -53.5819

Side 38

Page 38 of 54

112 | 81 | 8 | - | 07 | 95 | -53.4996

113 | 27 | 4 | - | 74 | 2 | -53.4127

114 | 74 | 5 | - | 69 | 94 | -53.3213

115 2 4 - 8 -53.2251

116 | 66 | 4 | - | 82 | 46 | -53.1243

117 12 4.184323 4233.89 - 44 6 -53.0189

118 | 59 | 1 | - | 22 | 93 | -52.9087

119 | 05 | 6 | - | 67 | 2 | -52.7937

120 51 9 -18146.44 37 15 -52.674

121 | 97 | 4 | - | 03 | 57 | -52.5496

122 | 44 | - | 46 | 25 | -52.4203

123 9 5 -17720.61 59 02 -52.2862

124 | 36 | 4 | - | 46 | 72 | -52.1473
125 | 82 | 3 | - | 21 | 21 | -52.0035

126 29 9 - 1 37 -51.8548

127 | 75 | 6 | - | 49 | 1 | -51.7013

128 21 4.183903 7 - 88 33 -51.5428

129 | 68 | 2 | - | 85 | 99 | -51.3793
130 | 14 | 1 | - | 12 | 05 | -51.2109

131 6 9 - 5 47 -51.0376

132 | 06 | 5 | - | 94 | 26 | -50.8592

133 53 -16215.94 48 43 -50.6758

134 99 - 3 -50.4874

135 45 4 - 69 01 -50.294

136 | 91 | 5 | - | 03 | 53 | -50.0955

137 | 38 | - | 85 | 63 | -49.8919

138 | 84 | 9 | - | 78 | 41 | -49.6832

139 3 4.183483 8 -15253.69 57 95 -49.4695

140 | 76 | 5 | - | 09 | 38 | -49.2506
141 | 23 | 4 | - | 34 | 83 | -49.0266
142 | 69 | 3 | - | 41 | 43 | -48.7974
143 | 15 | 4 | - | 54 | 35 | -48.5631
144 | 61 | 2 | - | 06 | 73 | -48.3236

145 08 - 45 76 -48.079

146 | 54 | 2 | - | 29 | 62 | -47.8291

147 1.282817 1 - 28 49 -47.5741

148 | 46 | - | 26 | 57 | -47.3139
149 | 93 | - | 16 | 08 | -47.0485

150 39 4.183063 6 - 07 22 -46.7779

151 85 9 - 16 2 -46.502

152 | 32 | 4 | - | 76 | 25 | -46.2209

153 78 2 - 3 6 -45.9347

154 | 24 | 9 | - | 33 | 47 | -45.6431

155 7 6 -12492.79 54 08 -45.3464

156 | 17 | 6 | - | 74 | 68 | -45.0444
157 | 63 | 5 | - | 85 | 49 | -44.7372
158 | 09 | 9 | - | 91 | 74 | -44.4247
159 | 55 | 2 | - | 12 | 66 | -44.1071

Side 39

Page 39 of 54

160 | 02 | 3 | - | 76 | 47 | -43.7842

161 | 48 | 4.182643 | 8 | - | 26 | 39 | -43.4561

162 | 94 | 6 | - | 16 | 65 | -43.1227

163 | 4 | 5 | - | 14 | 44 | -42.7842

164 87 6 - 97 -42.4405

165 | 33 | 7 | - | 66 | 44 | -42.0915

166 79 11427.7 -10451.76 16 02 -41.7374

167 | 25 | 6 | - | 68 | 9 | -41.3781

168 | 72 | 6 | -10069.89 | 52 | 23 | -41.0137

169 | 18 | 3 | - | 1 | 17 | -40.6441

170 | 64 | 1 | -9684.992 | 96 | 85 | -40.2693

171 | 1 | 3 | - | 79 | 38 | -39.8895

172 | 57 | 4.182223 | 3 | - | 39 | 87 | -39.5045

173 | 03 | 8 | - | 67 | 41 | -39.1145

174 | 49 | 2 | - | 7 | 06 | -38.7194

175 | 95 | 2 | -8710.267 | 66 | 87 | -38.3192

176 42 6 - 84 85 -37.914

177 | 88 | 2 | - | 68 | 02 | -37.5038
178 | 34 | 7 | - | 74 | 33 | -37.0887

179 | 81 | 3 | - | 7 | 75 | -36.6686

180 | 27 | 8 | - | 38 | 2 | -36.2436

181 | 73 | 4 | - | 7 | 56 | -35.8136

182 | 19 | 2 | - | 74 | 7 | -35.3789

183 | 66 | 4.181803 | 4 | - | 68 | 46 | -34.9392

184 | 12 | 4 | - | 84 | 62 | -34.4948
185 | 58 | 6 | - | 66 | 96 | -34.0457

186 04 4 - 7 2 -33.5918

187 | 51 | 3 | - | 67 | 04 | -33.1332

188 97 - 39 11 -32.6699

189 | 43 | 2 | - | 79 | 04 | -32.2021
190 | 89 | 6 | - | 96 | 39 | -31.7296

191 | 36 | 1 | - | 1 | 69 | -31.2527

192 | 82 | 7 | - | 52 | 41 | -30.7713

193 28 3 - 68 -30.2854

194 | 74 | 4.181383 | 1 | - | 16 | 83 | -29.7952

195 | 21 | 2 | - | 66 | 25 | -29.3006

196 67 9 - 53 -28.8017

197 | 13 | 6 | - | 14 | 92 | -28.2986
198 | 59 | 6 | - | 16 | 58 | -27.7913
199 | 06 | 5 | - | 26 | 64 | -27.2799
200 | 52 | 9 | - | 76 | 17 | -26.7645

201 98 5 - 12 16 -26.245

202 | 45 | 1 | - | 91 | 58 | -25.7216
203 | 91 | 4 | - | 85 | 29 | -25.1943
204 | 37 | 6 | - | 74 | 13 | -24.6632

205 | 83 | 4.180963 | 5 | - | 54 | 84 | -24.1283

206 | 3 | 3 | - | 33 | 12 | -23.5897

207 76 3 - 3 6 -23.0475

Side 40

Page 40 of 54

208 | 22 | 7 | - | 76 | 81 | -22.5018

209 68 - 16 25 -21.9526

210 | 15 | 5 | - | 07 | 32 | -21.3999

211 61 9 - 16 36 -20.844

212 | 07 | 9 | - | 26 | 63 | -20.2847
213 | 53 | 2 | - | 28 | 32 | -19.7223

214 7 - 29 53 -19.1568

215 46 2 -484.6153 45 3 -18.5882

216 92 4.180543 9 - 06 56 -18.0167

217 | 38 | 8 | - | 54 | 19 | -17.4424

218 | 85 | 3 | 9 | 41 | 98 | -16.8652
219 | 31 | 5 | 2 | 34 | 61 | -16.2854
220 | 77 | 9 | 8 | 09 | 71 | -15.7029

221 23 1 8 57 8 -15.1179

222 7 6 7 78 32 -14.5305

223 | 16 | 2 | 7 | 85 | 63 | -13.9407
224 | 62 | 6 | 4 | 03 | 98 | -13.3486
225 | 08 | 7 | 4 | 69 | 56 | -12.7544

226 | 55 | 5 | 8 | 3 | 43 | -12.1581

227 01 4.180123 1 8 48 58 -11.5598

228 | 47 | 8 | 6 | 94 | 91 | -10.9597

229 | 94 | 7 | 6 | 5 | 22 | -10.3577

230 4 3 2 12 2 -9.75402

231 | 86 | 1 | 2 | 85 | 47 | -9.14873
232 | 32 | 6 | 4 | 88 | 53 | -8.54194

233 79 6 7 49 8 -7.93373

234 | 25 | 8 | 4 | 1 | 59 | -7.32421

235 | 71 | 1 | 8 | 21 | 12 | -6.71348
236 | 17 | 5 | 5 | 46 | 49 | -6.10163

237 64 3 59 73 -5.48876

238 1 4.179703 2 46 75 -4.87498

239 | 56 | 6 | 6 | 03 | 36 | -4.26039

240 02 4 37 28 -3.64508

241 | 49 | 6 | 1 | 67 | 11 | -3.02917
242 | 95 | 1 | 1 | 22 | 37 | -2.41275
243 | 41 | 4 | 4 | 44 | 45 | -1.79592
244 | 87 | 4 | 7 | 82 | 67 | -1.17878

245 34 8 21 -0.56145

246 8 2 3 69 19 0.055978

247 26 1 7 74 59 0.673402

248 72 1 07 31 1.290719

249 19 4.179283 2 9 75 14 1.907825

250 65 1 8 91 76 2.524618

251 11 2 9 8 75 3.140995

252 58 2 8 8 6 3.756854

253 04 8 5 35 7 4.372092

254 5 9 3 02 31 4.986609

255 96 5 48 61 5.600302

Side 41

Page 41 of 54

256 | 43 | 6 | 9 | 49 | 68 | 6.21307

257 | 89 | 4 | 6 | 9 | 49 | 6.824814
258 | 35 | 1 | 4 | 7 | 92 | 7.435433

259 | 81 | 2 | 8 | 94 | 75 | 8.044827

260 28 4.178863 8777.824 78 65 8.652897

261 | 74 | 4 | 7 | 49 | 19 | 9.259546

262 | 2 | 8 | 9 | 42 | 87 | 9.864675

263 | 66 | 2 | 4 | 02 | 06 | 10.46819
264 | 13 | 4 | 3 | 84 | 05 | 11.06999
265 | 59 | 5 | 4 | 52 | 03 | 11.66998

266 05 6 8 1 12.26807

267 | 51 | 9 | 9 | 51 | 27 | 12.86417
268 | 98 | 8 | 5 | 57 | 44 | 13.45817

269 44 7 5 99 44 14.05

270 | 9 | 2 | 7 | 88 | 99 | 14.63955

271 | 36 | 4.178443 | 9 | 8 | 43 | 74 | 15.22675

272 | 83 | 6 | 5 | 92 | 24 | 15.81149

273 | 29 | 3 | 7 | 74 | 94 | 16.3937

274 | 75 | 8 | 3 | 33 | 23 | 16.97329

275 21 3 4 25 4 17.55017

276 | 68 | 9 | 8 | 13 | 65 | 18.12425
277 | 14 | 1 | 9 | 68 | 12 | 18.69547

278 | 6 | 1 | 6 | 72 | 84 | 19.26372

279 | 07 | 5 | 4 | 13 | 78 | 19.82894

280 53 4 87 83 20.39104

281 99 3 2 78 20.94996

282 45 4.178023 2 1 66 38 21.5056

283 | 92 | 6 | 7 | 05 | 28 | 22.0579

284 | 38 | 7 | 6 | 47 | 06 | 22.60678

285 | 84 | 5 | 5 | 3 | 23 | 23.15217

286 | 3 | 4 | 3 | 97 | 24 | 23.69401

287 | 77 | 8 | 6 | 03 | 45 | 24.23221

288 | 23 | 4.177794 | 1 | 4 | 06 | 18 | 24.76672

289 | 69 | 8 | 8 | 75 | 65 | 25.29747
290 | 15 | 8 | 9 | 86 | 03 | 25.82439
291 | 62 | 8 | 7 | 19 | 45 | 26.34742

292 | 08 | 7 | 5 | 67 | 95 | 26.8665

293 | 54 | 4.177603 | 5 | 7 | 24 | 51 | 27.38156

294 2.565634 4 7 96 07 27.89256

295 | 47 | 6 | 9 | 93 | 49 | 28.39943

296 93 3 33 6 28.90211

297 | 39 | 1 | 7 | 41 | 16 | 29.40056
298 | 85 | 5 | 7 | 49 | 87 | 29.89471

299 32 4.177374 1 8 93 4 30.38453

300 78 7 19 36 30.86996

301 24 2 3 77 3 31.35094

302 | 71 | 4 | 9 | 25 | 75 | 31.82745
303 | 17 | 5 | 9 | 27 | 17 | 32.29942

Side 42

Page 42 of 54

304 | 63 | 6 | 7 | 5 | 99 | 32.76682

305 | 09 | 1 | 7 | 72 | 59 | 33.22961
306 | 56 | 2 | 4 | 42 | 33 | 33.68774

307 | 02 | 5 | 4 | 3 | 51 | 34.14118
308 | 48 | 5 | 3 | 2 | 39 | 34.58988

309 94 9 98 21 35.03382

310 | 41 | 4.176954 | 6 | 4 | 07 | 17 | 35.47296

311 | 87 | 3 | 4 | 45 | 43 | 35.90726

312 | 33 | 2 | 2 | 61 | 13 | 36.3367

313 | 79 | 2 | 9 | 58 | 37 | 36.76124
314 | 26 | 6 | 8 | 91 | 23 | 37.18086
315 | 72 | 7 | 4 | 64 | 75 | 37.59552
316 | 18 | 8 | 1 | 31 | 96 | 38.00521

317 | 64 | 5 | 5 | 94 | 86 | 38.4099

318 | 11 | 3 | 4 | 04 | 41 | 38.80956

319 | 57 | 5 | 55 | 58 | 39.20417

320 03 4 8 89 3 39.59372

321 | 49 | 4.176534 | 3 | 4 | 92 | 47 | 39.97817

322 96 7 3 93 40.35753

323 | 42 | 7 | 8 | 62 | 76 | 40.73176
324 | 88 | 5 | 3 | 11 | 62 | 41.10086
325 | 34 | 4 | 3 | 92 | 43 | 41.46481
326 | 81 | 8 | 3 | 98 | 02 | 41.82359

327 27 1 56 22 42.1772

328 | 73 | 9 | 2 | 33 | 84 | 42.52562

329 2 9 9 31 69 42.86885

330 | 66 | 9 | 1 | 87 | 57 | 43.20688
331 | 12 | 7 | 9 | 72 | 26 | 43.53969

332 | 58 | 4.176114 | 3 | 6 | 88 | 55 | 43.86729

333 | 05 | 6 | 6 | 71 | 22 | 44.18967

334 | 51 | 4 | 86 | 03 | 44.50682

335 | 97 | 5 | 5 | 29 | 78 | 44.81874
336 | 43 | 6 | 8 | 23 | 22 | 45.12544

337 9 6 1 18 12 45.4269

338 | 36 | 3 | 92 | 25 | 45.72314

339 | 82 | 5 | 5 | 46 | 39 | 46.01414

340 28 8 09 31 46.29991

341 | 75 | 6 | 1 | 28 | 77 | 46.58047

342 | 21 | 8 | 3 | 75 | 57 | 46.8558

343 67 4.175694 4 42 48 47.12591

344 | 13 | 3 | 1 | 42 | 29 | 47.39081

345 6 9 3 05 8 47.65051

346 | 06 | 2 | 5 | 8 | 81 | 47.90501

347 52 7 3 12 48.15432

348 | 98 | 6 | 8 | 36 | 57 | 48.39845

349 | 45 | 5 | 2 | 93 | 97 | 48.6374

350 91 8 09 17 48.8712

351 | 37 | 7 | 1 | 02 | 01 | 49.09984

Side 43

Page 43 of 54

352 | 84 | 4 | 8 | 05 | 35 | 49.32334

353 3 9 7 57 07 49.54172

354 76 4.175274 7 08 05 49.75498

355 | 22 | 8 | 1 | 48 | 18 | 49.96313

356 69 4 9 22 38 50.1662

357 15 9 5 91 58 50.3642

358 | 61 | 5 | 4 | 93 | 72 | 50.55714
359 | 07 | 6 | 3 | 99 | 75 | 50.74503

360 54 5 7 2.66953E-12 65 50.9279

361 7 6 -99 4 51.10575

362 46 9 -93 02 51.27862

363 92 5 23046.37 -91 52 51.44651

364 | 39 | 3 | 9 | -22 | 96 | 51.60944

365 85 4.174854 1 -48 39 51.76743

366 31 7 9 -08 89 51.9205

367 | 77 | 2 | 3 | -57 | 56 | 52.06867
368 | 24 | 4 | 8 | -05 | 51 | 52.21196

369 7 4 5 -02 9 52.35039

370 | 16 | 5 | 4 | -09 | 87 | 52.48397
371 | 62 | 8 | 7 | -93 | 61 | 52.61274
372 | 09 | 7 | 7 | -36 | 32 | 52.73671

373 55 4 9 -3 22 52.8559

374 01 5 9 -8 56 52.97034

375 | 47 | 4 | 3 | -05 | 6 | 53.08004

376 94 4.174434 8 2 -42 62 53.18503

377 4 2 4 -42 96 53.28533

378 | 86 | 4 | 1 | -75 | 92 | 53.38097
379 | 33 | 1 | 6 | -28 | 88 | 53.47196
380 | 79 | 2 | 3 | -09 | 22 | 53.55834
381 | 25 | 6 | 7 | -46 | 33 | 53.64011
382 | 71 | 3 | 6 | -92 | 65 | 53.71732
383 | 18 | 3 | 6 | -18 | 63 | 53.78998
384 | 64 | 8 | 9 | -23 | 74 | 53.85811

385 1 7 5 -29 49 53.92175

386 | 56 | 5 | 7 | -86 | 4 | 53.98091

387 03 4.174014 3 7 -71 01 54.03562

388 49 6 1 -88 91 54.0859

389 | 95 | 4 | 6 | -72 | 69 | 54.13178
390 | 41 | 7 | 9 | -87 | 97 | 54.17329

391 88 9 -31 41 54.21044

392 | 34 | 7 | 9 | -33 | 68 | 54.24327

393 8 4 8 -56 48 54.2718

394 | 26 | 9 | 1 | -98 | 54 | 54.29605

395 | 73 | 5 | 2 | -92 | 6 | 54.31606

396 | 19 | 1 | 7 | -11 | 44 | 54.33184
397 | 65 | 2 | 4 | -62 | 86 | 54.34342

398 11 4.173594 7 2 -93 7 54.35084

399 58 1 1 -92 8 54.3541

Side 44

Page 44 of 54

400 | 04 | 4 | 2 | -89 | 05 | 54.35325

401 5 9 -55 34 54.3483

402 | 97 | 9 | 7 | -04 | 62 | 54.33928

403 | 43 | 5 | -94 | 84 | 54.32622

404 | 89 | 6 | 7 | -31 | 97 | 54.30914
405 | 35 | 7 | 5 | -64 | 04 | 54.28807
406 | 82 | 6 | 5 | -91 | 07 | 54.26303
407 | 28 | 4 | 7 | -58 | 13 | 54.23406
408 | 74 | 9 | 6 | -61 | 31 | 54.20117

409 2 4.173174 1 4 -45 71 54.1644

410 | 67 | 6 | 7 | -07 | 48 | 54.12377

411 13 4 2 -98 78 54.0793

412 59 6 8 -2 8 54.03102

413 05 2 3 -3 76 53.97896

414 | 52 | 1 | 9 | -42 | 91 | 53.92314

415 98 8 8 -72 5 53.8636

416 44 2 4 -5 84 53.80034

417 9 4 2 -27 25 53.73341

418 | 37 | 1 | 8 | -25 | 07 | 53.66282

419 83 5449.494 -77 68 53.58861

420 29 4.172754 5 6 -19 47 53.51079

421 75 9 -93 86 53.42939

422 | 22 | 3 | 9 | -49 | 31 | 53.34445

423 | 68 | 7 | -41 | 29 | 53.25598

424 14 5 6 -33 3 53.16401

425 6 6 3 -93 86 53.06856

426 | 07 | 8 | 8 | -96 | 53 | 52.96967

427 | 53 | 4 | -24 | 88 | 52.86735
428 | 99 | 1 | -67 | 51 | 52.76163

429 | 46 | 4 | 7 | -19 | 05 | 52.65254

430 92 6 5 -86 16 52.5401

431 38 4.172334 7 8 -75 5 52.42434

432 | 84 | 3 | -06 | 77 | 52.30528

433 31 -03 71 52.18294

434 | 77 | 7 | 3 | -97 | 07 | 52.05736

435 23 6 -3 62 51.92855

436 | 69 | 8 | 1 | -47 | 16 | 51.79654
437 | 16 | 7 | 8 | -05 | 51 | 51.66136

438 62 4 -66 53 51.52302

439 08 5 4 - 09 51.38156

440 54 3 -87 09 51.237

441 | 01 | 5 | 8 | -13 | 44 | 51.08936

442 47 4.171914 3 7 -72 1 50.93866

443 | 93 | 6 | 1 | -68 | 04 | 50.78494
444 | 39 | 9 | 9 | -13 | 25 | 50.62821
445 | 86 | 6 | 5 | -25 | 74 | 50.46849
446 | 32 | 3 | 1 | -33 | 57 | 50.30582
447 | 78 | 9 | 3 | -74 | 78 | 50.14022

Side 45

Page 45 of 54

448 | 24 | 5 | 5 | -92 | 49 | 49.9717
449 | 71 | 7 | 6 | -43 | 78 | 49.8003

450 | 17 | 2 | 3 | -88 | 82 | 49.62603
451 | 63 | 1 | 7 | -99 | 74 | 49.44892

452 1 9 9 -57 73 49.269

453 56 4.171494 5 9 -51 01 49.08627

454 02 6 3 -8 79 48.90078

455 48 - 4 -52 33 48.71254

456 95 9 8 -84 9 48.52157

457 | 41 | 3 | 2 | -02 | 81 | 48.3279

458 | 87 | 6 | 5 | -42 | 36 | 48.13155

459 | 33 | 9 | 6 | -49 | 91 | 47.93254

460 8 4 5 -78 81 47.7309

461 | 26 | 2 | 5 | -94 | 45 | 47.52664

462 72 7 8 -7 25 47.3198

463 18 - 8 -9 63 47.11038

464 65 4.171074 5 2 -49 05 46.89842

465 | 11 | 8 | 4 | -48 | 98 | 46.68393

466 | 57 | 2 | 3 | -02 | 92 | 46.46694

467 | 03 | 4 | 9 | -35 | 39 | 46.24747

468 5 3 9 -8 93 46.02554

469 96 5 7 -8 11 45.80117

470 42 3 3 -91 5 45.57439

471 | 88 | 6 | 1 | -75 | 71 | 45.34521

472 | 35 | 8 | 6 | -07 | 38 | 45.11366

473 | 81 | 4 | 3 | -74 | 14 | 44.87976

474 | 27 | 9 | 9 | -69 | 67 | 44.64353

475 73 4.170654 3 2 - 65 44.40499

476 2 3 9 -82 81 44.16416

477 | 66 | 4 | 2 | -44 | 87 | 43.92106

Side 46

Page 46 of 54

478 | 12 | 7 | 1 | -22 | 58 | 43.67571

479 | 59 | 1 | 8 | -67 | 72 | 43.42814

480 | 05 | 2 | 6 | -37 | 09 | 43.17837

481 51 1 9 -03 5 42.92641

482 | 97 | 2 | 3 | -46 | 78 | 42.67228

483 | 44 | 1 | 4 | -59 | 79 | 42.41601

484 | 9 | 4 | 8 | -46 | 41 | 42.15762

485 | 36 | 4 | 4 | -21 | 53 | 41.89712

486 82 4.170234 4 1 -1 08 41.63455

487 | 29 | 1 | 9 | -49 | 99 | 41.36991

488 | 75 | 4 | 1 | -88 | 21 | 41.10322

489 | 21 | 5 | 7 | -85 | 72 | 40.83451

490 67 1 -12 53 40.5638

491 14 1 6 -5 64 40.29111

492 | 6 | 6 | 9 | -94 | 09 | 40.01646

493 | 06 | 3 | 5 | -48 | 95 | 39.73985

494 52 1 1 -3 28 39.46133

495 | 99 | 2 | 5 | -69 | 18 | 39.1809

496 | 45 | 4 | 6 | -03 | 76 | 38.89858

497 91 4.169814 6 3 -85 16 38.6144

498 | 37 | 3 | 7 | -78 | 54 | 38.32837

499 84 2 -57 06 38.04052

500 | 3 | 7 | 4 | -09 | 91 | 37.75085

501 | 76 | 2 | 1 | -34 | 31 | 37.4594

502 23 - 7 -41 49 37.16618

503 | 69 | 3 | 6 | -54 | 69 | 36.8712

504 | 15 | 2 | 4 | -06 | 18 | 36.57449

Side 47

Page 47 of 54

505 | 61 | 1 | 8 | -45 | 24 | 36.27607

506 | 08 | 6 | 5 | -29 | 19 | 35.97595

507 | 54 | 2 | 4 | -28 | 34 | 35.67415

508 4.169394 5 2 -26 05 35.3707

509 | 46 | 7 | 2 | -16 | 65 | 35.06561

510 93 7 2 -07 55 34.7589

511 | 39 | 6 | 5 | -16 | 13 | 34.45058

512 | 85 | 1 | 3 | -76 | 81 | 34.14068

513 31 5 9 -3 02 33.82921

514 78 4.169165 6 6 -33 22 33.5162

515 | 24 | 5 | 9 | -54 | 87 | 33.20165

516 7 1 3 -74 47 32.8856

517 | 16 | 6 | 5 | -85 | 52 | 32.56805

518 | 63 | 8 | 9 | -91 | 54 | 32.24902

519 09 4.168974 4 5 -12 08 31.92854

520 55 - -76 7 31.60662

521 | 01 | 1 | 3 | -26 | 98 | 31.28328

522 48 3 2 -16 5 30.95853

523 94 4 8 -14 9 30.63239

524 4 - 2 - 78 30.30489

525 86 4.168745 - 5 -66 82 29.97603

526 | 33 | 3 | 8 | -16 | 66 | 29.64585

527 79 7 5 -68 29.31434

528 | 25 | 2 | 8 | -52 | 54 | 28.98154

529 72 9 -1 99 28.64745

530 18 4.168554 - 3 -96 1 28.3121

531 | 64 | 6 | 3 | -79 | 61 | 27.97551

532 1 9 7 -39 29 27.63768

533 57 - 4 -67 94 27.29865

Side 48

Page 48 of 54

534 | 03 | 2 | 8 | -7 | 35 | 26.95842

535 49 9 -66 36 26.61701

536 95 4.168325 1 5 -84 79 26.27444

537 | 42 | 3 | 2 | -68 | 52 | 25.93072

538 88 3 7 -74 4 25.58588

539 | 34 | 6 | 8 | -7 | 33 | 25.23993

540 8 2 -38 22 24.89289

541 | 27 | 9 | 3 | -7 | 98 | 24.54477

542 | 73 | 6 | 8 | -74 | 57 | 24.19559

543 | 19 | 4 | 5 | -68 | 94 | 23.84537

544 | 65 | 5 | 4 | -84 | 07 | 23.49412

545 | 12 | 9 | 2 | -66 | 93 | 23.14187

546 | 58 | 9 | 8 | -7 | 56 | 22.78862

547 04 4.167905 9 6 -67 95 22.4344

548 5 2 4 -39 17 22.07922

549 | 97 | 4 | 3 | -79 | 27 | 21.72309

550 43 - 8 -96 31 21.36604

551 | 89 | 6 | 6 | -1 | 39 | 21.00809

552 36 - -52 63 20.64923

553 82 - 3 -68 14 20.28951

554 | 28 | 5 | 3 | -16 | 06 | 19.92892

555 | 74 | 4 | 1 | -66 | 54 | 19.56749

556 21 7 - 78 19.20523

557 | 67 | 7 | 6 | -14 | 94 | 18.84216

558 13 4.167485 5 8 -16 24 18.4783

559 59 5 7 -26 9 18.11366

560 | 06 | 9 | 6 | -76 | 15 | 17.74825

561 52 - 2 -12 26 17.38211

Side 49

Page 49 of 54

562 | 98 | 4 | 1 | -91 | 48 | 17.01523

563 | 44 | 6 | 4 | -85 | 12 | 16.64764

564 | 91 | 7 | 3 | -74 | 47 | 16.27935

565 37 5 -54 84 15.91038

566 83 - 1 -33 59 15.54074

567 29 2 3 -3 04 15.17046

568 76 - 3 -76 59 14.79954

569 22 4.167065 8 -16 59 14.42801

570 | 68 | 7 | 6 | -07 | 47 | 14.05587

571 | 14 | 1 | 2 | -16 | 62 | 13.68315

572 | 61 | 5 | 9 | -26 | 49 | 13.30987

573 | 07 | 4 | 2 | -28 | 51 | 12.93602

574 | 53 | 4 | 3 | -29 | 16 | 12.56165

575 99 3 3 -45 9 12.18675

576 | 46 | 9 | 6 | -06 | 25 | 11.81134

577 92 1 3 -54 7 11.43545

578 | 38 | 8 | 9 | -41 | 78 | 11.05908

579 | 85 | 3 | - | -34 | 03 | 10.68226

580 31 4.166645 6 - -09 02 10.30499

581 | 77 | 1 | - | -57 | 32 | 9.927297

582 | 23 | 2 | - | -78 | 51 | 9.549193

583 7 4 -962.6105 -85 21 9.170696

584 | 16 | 1 | - | -03 | 03 | 8.791819

585 62 2 - -69 61 8.41258

586 08 3 - -3 6 8.032994

587 | 55 | 4 | - | -48 | 68 | 7.653076

588 | 01 | 5 | - | -94 | 52 | 7.272842

Side 50

Page 50 of 54

589 47 5 - -5 83 6.892308

590 93 7 - -12 32 6.51149

591 4 4.166225 3 - -85 72 6.130404

592 | 86 | 8 | - | -88 | 79 | 5.749064

593 | 32 | 5 | - | -49 | 27 | 5.367487

594 78 - - -1 96 4.985688

595 | 25 | 1 | - | -21 | 64 | 4.603683

596 | 71 | 5 | - | -46 | 13 | 4.221488

597 17 - - -59 25 3.839118

598 | 63 | 7 | - | -46 | 84 | 3.456589

599 1 5 - -03 76 3.073917

600 | 56 | 8 | - | -37 | 87 | 2.691117

601 | 02 | 8 | - | -67 | 08 | 2.308204

602 49 4.165805 8 - -22 27 1.925195

603 | 95 | 4 | - | -44 | 38 | 1.542105

604 41 2 - -82 33 1.15895

605 87 8 - - 07 0.775745

606 | 34 | 1 | - | -69 | 58 | 0.392506

607 8 9 - -74 83 0.009248

608 | 26 | 3 | - | -07 | 81 | -0.37401

609 | 72 | 4 | - | -75 | 55 | -0.75726

610 | 19 | 4 | - | -91 | 07 | -1.14048

611 65 6 - -8 41 -1.52366

612 11 6 - -8 64 -1.90677

613 57 4.165385 7 - -35 83 -2.28981

614 | 04 | 7 | - | -02 | 06 | -2.67277

615 5 3 - -48 45 -3.05561

616 96 - -7731.46 -49 12 -3.43833

Side 51

Page 51 of 54

617 42 8 - -9 2 -3.82092

618 89 8 - -7 85 -4.20335

619 | 35 | 5 | - | -94 | 24 | -4.58561

620 | 81 | 1 | - | -78 | 55 | -4.96769

621 | 27 | 1 | - | -49 | 99 | -5.34957

622 | 74 | 9 | - | -42 | 76 | -5.73123

623 2 2 - -02 1 -6.11266

624 66 4.164965 7 - -84 25 -6.49384

625 | 12 | 1 | - | -52 | 49 | -6.87477

626 59 4 - -8 08 -7.25541

627 | 05 | 7 | - | -51 | 32 | -7.63576

628 | 51 | 1 | - | -57 | 53 | -8.01579

629 | 98 | 9 | - | -99 | 02 | -8.39551

630 | 44 | 3 | - | -88 | 14 | -8.77488

631 9 - - -43 25 -9.15389

632 | 36 | 3 | - | -92 | 72 | -9.53253

633 | 83 | 1 | - | -74 | 93 | -9.91079

634 29 2 -11188.03 -33 3 -10.2886

635 75 4.164545 3 - -25 24 -10.6661

636 | 21 | 6 | - | -13 | 18 | -11.0431

637 | 68 | 2 | - | -68 | 59 | -11.4196

638 | 14 | 2 | - | -72 | 92 | -11.7957

639 6 - - -13 66 -12.1713

640 06 - - -87 32 -12.5463

641 53 9 - - 4 -12.9209

642 99 2 - -66 44 -13.295

643 45 7 -12818.05 -05 98 -13.6685

644 91 - - -47 59 -14.0414

Side 52

Page 52 of 54

645 38 - - -3 84 -14.4137

646 84 4.164125 8 - -97 34 -14.7855

647 3 - - -03 69 -15.1567

648 | 76 | 8 | - | -06 | 52 | -15.5272

649 23 7 - -75 47 -15.897

650 | 69 | 2 | - | -86 | 21 | -16.2663

651 15 9 - -19 4 -16.6348

652 | 62 | 5 | - | -67 | 74 | -17.0027

653 | 08 | 9 | - | -24 | 94 | -17.3698

654 | 54 | 1 | - | -96 | 72 | -17.7362

655 - - -93 82 -18.1019

656 | 47 | 9 | - | -33 | 99 | -18.4668

657 93 4.163705 9 - -41 02 -18.831

658 | 39 | 6 | - | -49 | 68 | -19.1943

659 | 85 | 3 | - | -93 | 79 | -19.5569

660 | 32 | 7 | - | -19 | 16 | -19.9186

661 | 78 | 4 | - | -77 | 63 | -20.2795

662 | 24 | 3 | - | -25 | 06 | -20.6396

663 7 2 - -27 32 -20.9987

664 17 1 - -5 29 -21.357

665 | 63 | 2 | - | -72 | 88 | -21.7144

666 | 09 | 7 | - | -42 | 01 | -22.0709

667 55 8 - -3 61 -22.4264

668 02 4.163285 1 - -2 64 -22.781

669 | 48 | 1 | - | -98 | 07 | -23.1346

670 | 94 | 3 | - | -07 | 88 | -23.4872

671 4 6 -17342.37 -45 08 -23.8388

672 87 - - -61 69 -24.1894

Side 53

Page 53 of 54

673 | 33 | 6 | - | -58 | 74 | -24.5389

674 | 79 | 4 | - | -91 | 29 | -24.8874

675 | 25 | 2 | - | -64 | 41 | -25.2349

676 | 72 | 2 | - | -31 | 19 | -25.5812

677 | 18 | 8 | - | -94 | 73 | -25.9265

678 | 64 | 5 | - | -04 | 15 | -26.2706

679 11 4.162865 8 - -55 58 -26.6136

680 | 57 | 4 | - | -89 | 2 | -26.9554

681 03 - - -92 16 -27.296

682 | 49 | 4 | - | -93 | 66 | -27.6355

683 | 96 | 7 | - | -62 | 9 | -27.9738

684 | 42 | 9 | - | -11 | 11 | -28.3108

685 | 88 | 1 | - | -92 | 53 | -28.6466

686 | 34 | 6 | - | -98 | 42 | -28.9811

687 | 81 | 7 | - | -56 | 06 | -29.3144

688 | 27 | 9 | - | -33 | 73 | -29.6463

689 73 8 - -31 75 -29.977

690 19 4.162445 9 - -87 44 -30.3063

691 66 - - -72 16 -30.6343

692 12 - - -88 27 -30.9609

693 | 58 | 7 | - | -71 | 14 | -31.2861

694 04 3 - -86 18 -31.61

695 51 7 -20411.36 -29 8 -31.9324

696 | 97 | 3 | - | -23 | 45 | -32.2534

697 | 43 | 3 | - | -18 | 56 | -32.5729

698 | 89 | 1 | - | -92 | 61 | -32.8909

699 | 36 | 3 | - | -46 | 1 | -33.2075

700 82 - - -09 52 -33.5226

Side 54

Page 54 of 54

701 28 4.162025 1 - -28 4 -33.8361

702 | 75 | 1 | - | -75 | 29 | -34.1481

703 | 21 | 4 | - | -42 | 74 | -34.4585

704 | 67 | 9 | - | -42 | 33 | -34.7674

705 | 13 | 5 | - | -05 | 67 | -35.0747

706 6 5 - -8 36 -35.3803

707 06 1 - -3 05 -35.6843

708 52 5 -21709.75 -36 38 -35.9867

709 | 98 | 2 | - | -93 | 04 | -36.2873

710 | 45 | 6 | - | -09 | 7 | -36.5863

711 | 91 | 3 | - | -02 | 07 | -36.8836

712 37 4.161605 - - -05 9 -37.1792

713 83 4 - -57 91 -37.473

714 3 4 - -08 89 -37.765

715 | 76 | 7 | - | -48 | 6 | -38.0553

716 | 22 | 5 | - | -22 | 87 | -38.3437

717 | 68 | 8 | - | -91 | 5 | -38.6304

718 | 15 | 7 | - | -93 | 35 | -38.9152

719 61 6 -22591.95 -99 27 -39.1981

720 07 6 - -5.33906E-12 14 -39.4791

Se opgaven i originaldokumentet eller gå til tekstens begyndelse.

Materialet

Fuld skærm

Opgaven åbner, når du ruller ned til den.

.skob-detail__frame > iframe[data-src], .skob-detail__vent { display: none; }

Flere opgaver i samme fag

SRP om Inertimomenter i Matematik A og Fysik A STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 86 sider
SRP om Golfsportens udvikling i Fysik A og Idræt B STX 3.g, SRP, Fysik A, Idræt B, 46 sider
SRP om Komplekse Tal og Vekselstrøm i Matematik A og Fysik A STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 29 sider
SRP om Frembrydningsmodstand i Vand i Idræt B og Fysik A STX 3.g, SRP, Fysik A, Idræt B, 24 sider
SRP: Relativitetsteori og Komplekse tal i Fysik og Matematik STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 21 sider
SRP om Fourieranalyse i Fysik A og Matematik A STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 33 sider
SRP om Lys i Spalter og Cirkulære Huller i Fysik og Matematik STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 25 sider
Exoplaneter | SRP i Fysik A og Matematik A STX 3.g, SRP, Fysik A, Matematik A, 27 sider

Se alle 221 opgaver i Fysik A