Hookes lov og harmoniske svingninger - Rapport i Fysik

Side 1

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 1 ~

HOOKES LOV OG HARMONISKE SVINGNINGER

Formål

Formålet med forsøget er at undersøge om Hookes lov gælder for et sæt stålfjedre (nr.1) og at undersøge de svingninger der opstår når et lod, ophængt i en let fjeder, fjernes fra sin ligevægtsstilling.

Apparatur

- Prytz’ svingningsapparat

- Et sæt fjedre

- Stopur

- Lodder – forskellig vægt

- Ranger – benyttes som afstandsmåler

- Stor fjeder

- CD

Teori

Når man sammentrykker eller strækker en fjeder, så er fjederkraften ifølge Hookes lov proportional med deformationens størrelse:

𝐅=−𝐤 ∙ 𝐱

Det negative fortegn skyldes at kraften er modsat rettet sammentrykningen eller forlængelsen.

Fjederkonstanten k er et udtryk for, hvor stiv den givne fjeder er. En høj fjederkonstant angiver en hård og stiv fjeder, mens en blød fjeder har en lav fjederkonstant.

En kraft som passer til Hookes lov kaldes en elastisk kraft. En fjeder følger Hookes lov og påvirkes derfor af en elastisk kraft.

Et lod ophængt i en let fjeder vil udføre harmoniske svingninger omkring sin ligevægtsstilling hvis, det fjernes fra ligevægt og slippes. Hvis loddets masse er M og man kan se bort fra fjederens masse, er svingningstiden givet ved:

𝐓=𝟐𝛑

√

𝐌 𝐤

Side 2

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 2 ~

Skål og ophæng til loddet skal naturligvis regnes med i den svingende masse. Endelig er en virkelig fjeder naturligvis ikke masseløs, og dens masse skal derfor delvist medregnes til den svingende masse. Da de forskellige dele af fjederen ikke svinger med samme udsving, burde man regne med fjederens ”effektive” masse. Man kan vise at fjederen er ækvivalent med en masseløs fjeder, der

er belastet med m/3, hvor m er fjederens masse.

Forsøgsbeskrivelse

Forsøget udføres i to dele. Først undersøger man, hvordan et sæt skruefjedre forlænges når de belastes med forskellige lodder:

1) Man indstiller fjederen så den passer med linealen. Der ligges et lod på af gangen, og man aflæser, hvor meget den er forlænget. Dette gentages med flere lod så massen øges.

Kraften i newton beregnes, og der tegnes en graf med kraften som funktion af massen.

Sammenhængen forventes at blive proportional og i overensstemmelse med Hookes lov.

2) I anden del af forsøget bringes skålen med lodder til at svinge op og ned med forskellige belastninger på vægtskålen. Herefter trækkes fjederen ned og slippes så den sættes til at fjedre. Når den har stabiliseret sig, tager man tid på 20 svingninger for at se, hvor lang tid det tager. Vægten af skålen øges. Vi tog tid på 20 svingninger og brugte gennemsnittet, som mål for svingningstiden. Husk: det er vigtigt når man tæller fjedringen at starte med 0!

2b) Vi udførte også forsøget på den anden måde: Alternativ udførelse af forsøget: Hæng et lod op i en stor fjeder og anbring en CD eller en papskive på loddet. Læg en elektronisk afstandsmåler (Ranger) ca. 0,5 m under og brug den til at registrere afstanden til loddet, mens fjederen svinger. Man kan lave databehandling ud fra graferne for hver belastning fra loggerpro. Ved at bruge grafen af afstanden som funktion af tiden kan man bestemme svingningstiden for et system og sammenligne, om det passer med den forventede.

Forsøgsopstilling:

Fjederen bevæger sig op og ned, mens man tager tid med stopuret. Der hænges forskellige loder i vægtskålen.

Side 3

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 3 ~

Data/beregninger:

Forsøg 1: Eftervisning af Hookes Lov

Fjerens forlængelse

(cm) 0 0,05 0,01 0,016 0,022 0,028 0,033 0,039 0,045 0,05 0,064 0,077 0,091 0,105

Kraften (N)

– kg*N/kg 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,3 2,8 3,3 3,8

Loddets masse (kg) 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,24 0,29 0,34 0,39

Tegnet graf med fjederens forlængelse ud ad x-aksen og kraften i N op ad y-aksen. Undersøgt om den passer godt med en ret linje (Hookes lov) og aflæs fjederkonstanten k, som hældningskoefficienten af den bedste rette linje.

Fjederkonstanten aflæses ved at læse hældningen på tendenslinjen i forskriften: 34,795N/m
𝐅𝐣𝐞𝐝𝐞𝐫𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐧=𝟑𝟒,𝟕𝟗𝟓𝐍/𝐦

Eksempel på beregning af en svingninstid, anvendes dog ikke i dette forsøg, da det ikke er relevant for påvisningen af Hookes lov som udelukkende koncentrer sig om kraften i forhold til forlængelsen.

𝐒𝐯𝐢𝐧𝐠𝐧𝐢𝐧𝐠𝐬𝐭𝐢𝐝𝐞𝐧=2π √ =0,44s

0,17

34,795

y = 34,795x + 0,1318
R² = 0,9996

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

Kraften (N)

Forlængelse af fjeder (m)

Hookes Lov

Serie1

Lineær (Serie1)

Side 4

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 4 ~

Forsøg 2: Forsøg med lod og vægt

Tiden (s) 19,62 21,9 23,8 26,89 27,13 28,89

Massen (kg) 0,0763 0,0963 0,1163 0,1363 0,1563 0,1763

Svingningstid – beregnet fra målte data 0,981 1,095 1,190 1,345 1,357 1,445

T – teoretisk beregnet 0,99 1,11 1,22 1,32 1,42 1,51

T afvigelse fra T (i procent) 0,91 1,35 2,46 1,89 4,44 4,30 teori målt

For at udregne fjederkonstanten bruges følgende ligning:

𝐊𝐫𝐚𝐟𝐭𝐞𝐧=0,02kg∙ 9,82N/kg=0,1964N

𝐅𝐣𝐞𝐝𝐞𝐫𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐧=

𝑲𝒓𝒂𝒇𝒕𝒆𝒏

𝑭𝒐𝒓𝒍æ𝒏𝒈𝒆𝒍𝒔𝒆

𝐅𝐣𝐞𝐝𝐞𝐫𝐤𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐧= =3,069𝑁/𝑚

0,1964𝑁

(0,204 − 0,14)𝑚

Vi har målt forlængelsen af fjederen ved dette forsøg for at kunne beregne fjederkonstanten, som bruges til videre beregning ved svingningstider. Fjederkonstanten angiver kraften pr længde.

Vurdering af usikkerheden på den målte svingningstiden i forsøg 2:

Eksempel på beregning af den målte svingningstid:

𝐒𝐯𝐢𝐧𝐠𝐧𝐢𝐧𝐠𝐬𝐭𝐢𝐝𝐞𝐧=

𝐬𝐚𝐦𝐥𝐞𝐭 𝐭𝐢𝐝 𝐚𝐧𝐭𝐚𝐥 𝐬𝐯𝐢𝐧𝐠𝐧𝐢𝐧𝐠𝐞𝐫

𝑇= =1,36𝑠𝑒𝑘

27,13𝑠𝑒𝑘

20𝑠𝑡𝑘.

Eksempel på beregning af den teoretiske svingningstid ud fra fjederkonstanten og formlen:

𝐓=𝟐𝛑

√

𝐌 𝐤

𝐒𝐯𝐢𝐧𝐠𝐧𝐢𝐧𝐠𝐬𝐭𝐢𝐝𝐞𝐧 (𝐓)=2π √ =1,42s

0,1563

3,069

Eksempel på beregning af afvigelser fra den målte svingningstid til den teoretiske svingningstid:

𝑚å𝑙𝑡− 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖 0,981 − 0,99

𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖 0,99

= ∙ 100%=−0,91%

Man ser bort fra de negative værdier, da det kun skyldes, at de teoretiske værdier er større end de målte. Derfor er det negative fortegn ikke medtaget i tabellen.

Side 5

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 5 ~

Forsøg 2b: Alternativ med CD - Vi måler ved 20 svingninger, hvor svingningerne måles med LoggerPro.

Tid for 20 svingninger (s)

19,50 20,00 21,5 22,73 23,90 24,90 26,00 29,10 30,90

Masse, vægt på belastning

(kg)

0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,28 0,33

T - Svingningstid – målt

0,975 1,000 1,075 1,137 1,195 1,245 1,300 1,455 1,545

T – ud fra graferne i

LoggerPro

0,954 1,039 (*) 1,223 1,240 1,296 1,381 (*) (*)

Afvigelser: T fra T teori beregnet

2,2% 3,75% 7,03% 3,63% 3,93% 5,78%

(*) Mangler grafer.

For at aflæse svingningstiden ud fra graferne skraverer man i loggerpro den ønskede del fra 1-20 svingninger derved angiver den svingningstiden, T som er indtastet i tabellen.

Beregninger:

Samme som i forsøg 2a:

Vurdering af usikkerheden på den målte svingningstiden i forsøg 2b:

Eksempel på beregning af den målte svingningstid:

𝐒𝐯𝐢𝐧𝐠𝐧𝐢𝐧𝐠𝐬𝐭𝐢𝐝𝐞𝐧=

𝐬𝐚𝐦𝐥𝐞𝐭 𝐭𝐢𝐝 𝐚𝐧𝐭𝐚𝐥 𝐬𝐯𝐢𝐧𝐠𝐧𝐢𝐧𝐠𝐞𝐫

𝑇= =0,975𝑠𝑒𝑘

19,50𝑠𝑒𝑘

20𝑠𝑡𝑘.

Eksempel på beregning af afvigelser fra den målte svingningstid til svingningstid fra Loggerpro:

𝑚å𝑙𝑡− 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖 0,975 − 0,954

𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖 0,954

= ∙ 100%=2,2%

Afvigelserne kommenteres i diskussionen.

Side 6

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 6 ~

Eksempel på sinuskurve i forsøget med LoggerPro for 110g = 0,110kg.

Man kan på grafen fra loggerpro tydeligt se en fjeders svingning for en måling. Amplituden aftager jævnt dvs. fjederens fjedring aftager med tiden. Når en fjeder sættes i gang svinger den kraftigt men efterhånden aftager svingningen. Hvis den bliver ved længe nok vil grafen blive jævn og fjederen vil ikke svinge men stå stille. Den svinger som en sinuskurve.

Fejlkilder:

- Høj vægt: Forsøget med den store fjeder gav stor usikkerhed, når vægten kom for højt. Så ramlede fjederen simpelthen ind i jernstangen som holdte forsøget i højden. Derved får man forlænget tiden og en usikker måling.

- Tælle antal fjedringer: med små vægte gik fjedringen meget hurtigt, og det var svært at holde styr på, hvor mange man havde talt.

- (Ombytning: vi har formodentlig byttet om på nogle fjedre.)

- Fjederens masse: I målingerne er der ikke taget højde for at hele fjederen ikke svinger

med, men kun 1/3, derfor burde man ikke medregne hele fjederens masse, det giver en

usikkerhed.

- Menneskelig fejl: da der i de første målinger er anvendt stopur, kan der godt være et 1-2 sekunders afvigelse for, at man trykker stop på det rigtige tidspunkt.

Side 7

Hookes lov og harmoniske svingninger

[navn fjernet] SAG 3.c

December 2009

~ 7 ~

- Mangel på grafer: fra LoggerPro mangler vi enkelte grafer, hvor der ikke er aflæst svingningstid for den pågældende masse, derfor bruger man værdier fra de andre grafer, og får derved ikke alle målinger med i den samlede vurdering og sammenligning.

Diskussion og Konklusion:

Forsøg 1:

                                                               2
Grafen er tilnærmelsesvis lineær. Punkterne ligger meget flot på en ret linje. R -værdien er meget

tæt på 1 (0,9998) som er en helt acceptabel værdi. Vi kan konkludere, at sammenhængen mellem fjederens forlængelse og kraften i N, er proportional og at Hooks lov gælder. Grafen går ikke helt igennem (0,0), da b-værdien er 0,1065. Men afvigelsen er lille og acceptabel. Ud fra forsøget kan man bekræfte at sammenhængen, beskrevet ved Hooks lov, er proportional. Der er derved en lineær sammenhæng mellem mellem længden af den udtrukkede fjeder og den kraft fjederen yder ved en bestemt påhængt masse.

Hældningskoefficienten er et udtryk for fjederkonstanten for den pågældende fjeder. Vi kan ikke sammenligne forsøg 1 med andre parfjedre, da vi kun havde et sæt fjedre på det pågældende tidspunkt.

Forsøg 2a:

Ud fra afvigelserne kan man se, at de alle er under 5%, hvilket er meget acceptabelt. Det er bemærkelsesværdigt, at når tallene stiger bliver afvigelserne også lidt større. Nogle af de første målingers afvigelser er lige omkring 1, mens det efterhånden bliver lidt mere. Men jeg vil mene, at det er nogenlunde præcist ramt, og afvigelserne kan skyldes fejlkilderne.

Man kan bekræfte, at svingningstiden afhænger af den svingende masse som i formlen: =𝟐𝛑 √^{𝐌}_{𝐤}

Da de teoretisk beregnede svingningstider ud fra formlen stemmer godt overens med svingningstiderne for de målte værdier.

Forsøg 2b:

Ved hjælp fra LoggerPro har vi vist, at når vi varierer massen af loddet passer svingningstiderne herefter. Med en større vægt får man store sinusbuger og ved let vægt små og flere sinusbuger indenfor samme tidsrum. Afvigelserne mellem den beregnede og den angivne værdi fra LoggerPro på svingningstiderne er lidt forskellig. De fleste er under 5 som er en acceptabel afvigelse, mens en stikker ud. Man kan sige at da man arbejder med meget små tal og sekunder kan det være svært at ramme den præcise tid for de antal svingninger og der kan derfor forekomme større afvigelser.

Det første forsøg er pænt påvist, mens der er enkelte større afvigelser i forsøg to. Men samlet set er det et fint udført forsøg.