Mekanik: Bestemmelse af tyngdeaccelerationen - luftpudebænk

Side 1

, 2x HTX Side 1 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen HTX 2. år

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen

Forsøgsdato:

HTX 2. år

Klasse: 2.x, htx 2001/2002
HTX 2. år 26/9 2001

Lærer:

Fag: Fysik B

Side 2

, 2x HTX Side 2 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

Formål

Formålet med dette forsøg var, ved hjælp af Newtons 2. lov, at bestemme tyngdeacceleratio-

nen g. Den er 82,9_{s}^{m}_{2} i Danmark.

Teori

Newton 2. lov

Isaac Newton (f. 1687) er kendt for de tre love med de opfindsomme navne: Newton 1., 2. og

3. lov. I dette forsøg skal vi bruge Newton 2. lov, der siger:

Newtons 2. lov

Et legeme med massen m, der påvirkes af en resulterende kraft F_{res}, vil

have en acceleration a som opfylder:

F_{res} = ma

Denne lov gælder kun i et inertialsystem.

En resulterende kraft er den samlede kraft i samme retning som accelerationen. Det vil altså sige, at hvis en båd bliver trukket i to retninger vil den resulterende kraft være den vektor, der betegner bådens bevægelse, mens accelerationen vil være bådens acceleration i samme retning.

Et inertialsystem er egentlig et koordinatsystem, der står stille i forhold til fixstjernerne. Da det i realiteten ikke er muligt at skabe et sådant system, siger men, at jorden er et inertial-system, hvilket egentlig er forkert, men den bedst mulige tilnærmelse.

Hastighed

Figur 1 viser en båd, der på tidspunktet t befinder sig ud for bøje 1. Efter et stykke tid (∆t) befinder båden sig ud for bøje 2. Nu er klokken altså t+∆t, hvilket egentlig er lige-gyldigt, da vi på nuværende tidspunkt kun er interessere-de i tidsforskellen – altså den tid det tog båden at sejle fra den ene bøje til den anden. Afstanden mellem de to bøjer er ∆s. Hastigheden (v) er så defineret som den afstand objektet har bevæget sig divideret med den brugte tid: t s s m

    Δ                             Δ ]s[
v =   , hvilket giver v enheden: ]v[ ==
    Δ                             Δ ]t[

Denne formel gælder dog kun når hastigheden er konstant (a = 0), men vi bruger den allige-

vel. Se afsnittet Fejlkilder for at få uddybet fejlen.

Figur 1: Bevægelse med konstant hastighed

Side 3

, 2x HTX Side 3 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

Acceleration

Figur 2 viser igen en båd, men denne gang ændrer ha-stigheden sig. Igen er båden ud for bøje 1 klokken t, hvor hastigheden er v. Efter ∆t sekunder (klokken er nu t+∆t) befinder båden sig ud for bøje 2 (afstand: ∆s). Da den passerer har den ændret hastigheden med ∆v me-

ter/sekund, hvilket resulterer i en sluthastighed på

v+∆v. Accelerationen defineres da som hastighedsændring i tidsrummet ∆t: t s

v s/m m

    Δ                             Δ ]v[
a =   , hvilket giver a enheden: ]a[ ===
    Δ                             Δ ]t[

s^{2}

Bevægelse med konstant acceleration

Under en konstant acceleration er der to ligninger, der kan lette de til tider besværlige udregninger. Jeg vil her udlede en formel, der giver hastigheden som funktion af tiden, samt en, der fortæller noget om, hvor det bevægende legeme be-finder sig efter et stykke tid.

Vi starter ved starten; en bil har hastigheden v_{0} på tids-
punktet t (=0). Klokken t har den hastigheden v, hvilket be-^{ration}
tyder at hastighedsændringen ∆v = v – v_{0} og tidsændringen ∆t = t – t_{0} = t, da t_{0} = 0. Indsat i

definitionsformlen for acceleration giver det:

+⋅=⇔−=⋅⇔== vtavvvtaa
   00

Δ t t

Δ v − vv_{0}

Igen minder det om forskriften for en ret funktion, som vises på figur 7. Denne ligning kaldes ”1. bevægelsesligning for bevægelse med konstant acceleration”.

Dem vil vi også lige se i et koordinatsystem:

(t,s)-graf (t,v)-graf

Figur 4: (t,s)-graf - konstant acceleration

Figur 5: (t,v)-graf - konstant acceleration

Tabel 1: Grafer - konstant acceleration

Fra før ved vi at arealet under (t,v)-kurven er lig den tilbagelagte strækning ∆s ( = s – s_{0}). Ved

at definere arealet under kurven som en firkant og en trekant, kan man udlede følgende:

Figur 3: Bevægelse med konstant accele-

Figur 2: Bevægelse med konstant acceleration

Side 4

, 2x HTX Side 4 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

statvstatvttatvAAss +⋅+⋅=⇔⋅+⋅=⋅⋅+⋅=+=− ,
 0

2 2

2 2 2

1 1 1

0trefir0 0 0

da firkantens areal er lig t gange v_{0}, mens trekantens areal er en halv a gange t gange t.

Denne formel kaldes ”2. bevægelsesligning for bevægelse med konstant acceleration”.

Nu ved vi altså følgende om bevægelser med konstant hastighed: a konstant: tilbagelagt strækning

v = a · t + v_{0} = areal under (t,v)-kurven

    1
s =              stvta +⋅+⋅
                  00
    2

2

= s – s_{0}

Der er dog også en såkaldt ”hjælpesætning”, der er anvendelig, hvis man ikke lige har brug for at blande tiden ind i udregningerne. Den går i al sin enkelthed ud på at man løser første ligning med hensyn til t, hvorefter man sætter dette ind i anden sætning:

     − vv
       0
tatvv =⇔+=
     a

0

        2
      −−− vv
       0
)(v)(ass =⋅+⋅=−
      a2

2 a a

1 vv vv_{00}

0 0

2

2

Fritlegeme-analyse

Når man har et mekanisk problem, er det en god idé at lave en såkaldt fritlegeme-analyse.

Det er en metode, der består af fire trin, der gør problemløsningen lettere at overskue.

I dette forsøg indgår en trisse. Der er to væsentlige ting man skal huske i forbindelse med trisser. For det første antager man at de er friktionsløse, det vil sige, at de i princippet skulle kunne køre resten af altid(!), hvis de blot sættes i gang. Dette kan selvfølgelig ikke lade sig gøre og er nævnt i Fejlkilder. For det andet følger x-aksen i fritlegeme-analysen snoren. Det vil sige, at vognen og loddet begge bevæger sig parallelt med x-aksen i dette forsøg.

Trinene i fritlegeme-analysen for dette forsøg er som følger.

Trin 1+2 Vogn og lod tegnes frigjort af underlag

og snore, og de indvirkende kræfter indtegnes. Ligeledes tegnes akserne. I dette forsøg er det kun x-aksen, der er interessant, da både vogn og lod be-væger sig parallelt med den (jf. oven-for).

Figur 6: Fritlegeme-analyse - trin 1+2

Side 5

, 2x HTX Side 5 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

Trin 3 Newtons 2. lov opstilles for alle legemerne i begge retninger. I dette tilfælde bliver det som følger:

m , x→ :           FamF ==
  1
                    s1res

m , x↓ :                        FgmFFamF −=−==
  2
                                s2st2res

Trin 4 Nu kan ligningerne adderes og løses. Det bliver:

=+⇔−+=+ gm)mm(a)Fgm(Famam
    221s2s21

Da det er tyngdeaccelerationen vi vil finde, gør vi følgende:

m_{2}

21

+)mm(a
g =

Sådan foretages en fritlegeme-analyse. Formlerne bliver mere komplicerede, hvis legemerne bevæger sig i to retninger, men princippet er som beskrevet ovenfor.

Forsøgsopstilling

Figur 7: Forsøgsopstilling

Forsøgsbeskrivelse

Materialer

Apparatur: Væsker / stoffer:

• luftpudebane m. vogn

• tidsmåler (accelerationsmåler)

• trisse

• lodder

Side 6

, 2x HTX Side 6 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

• snor

• målebånd

Tabel 2: Materialeliste

Fremgangsmåde

Dette forsøg gik ud på at få et faldende lod til at trække en ”vogn”. For at gnidningsmodstan-den ikke skulle få for stor betydning, foregik det hele på en såkaldt luftpudebane, der er et stykke aluminiumsprofil med en masse huller, hvorigennem luft pustes ud. På den måde rø-rer vognen ikke banen, men svæver på luften. Luften fungerer altså som en slags pude mel-lem banen og vognen. Deraf navnet!

Vi lavede i alt seks målinger, hvor vi først varierede vognens masse (m_{1}) og derefter lod-
dets masse (m_{2}). Selve forsøget foregik som følger:

Først forbandt vi vogn og lod med en snor, der kørte gennem en trisse. Herefter trak vi vognen tilbage, så loddet kom op til bordkanten (lidt under). Når vognen så blev sluppet for den forbi begge fotoceller, der var placeret med en indbyrdes afstand på cirka en halv meter.

Denne afstand har ingen betydning. Nu målte tidsmåleren, ved hjælp af de to fotoceller, den

tid det tog vognen at passere cellerne (t_{1} og t_{2}), samt den tid det tog at køre fra den ene foto-

celle til den anden (∆t).

Disse data blev noteret, og vogn og lod blev vejet. Nu var det muligt at finde den hastig-

hed, hvormed vognen bevægede sig forbi fotocellerne (v_{1} og v_{2}), og deraf finde vognens ac-

celeration (a).

Denne metode brugte vi seks gange, med variation af enten m_{1} eller m_{2}.

Til sidst målte vi afstanden s, der var afstanden mellem start- og stoppunkt for fotoceller-ne – og dermed tidsmåleren.

Resultater

I nedenstående tabel fremgår alle målte, aflæste og opslåede størrelser.

Variation af m_{1}
m_{2} 10 g = 0,01 kg
s 20 mm = 0,02 m
g_{teori}
9,82_{s^{2}}^{m}
m_{1} t_{1} t_{2} ∆t v_{1} v_{2} a g_{målt} %-vis

1 | 0,196kg | 0,059s | 0,027s | 0,912s | -7,62%

0,339^{m}_{s} 0,741^{m}_{s} 0,441_{s^{2}}^{m} 9,072_{s^{2}}^{m}

2 | 0,249kg | 0,078s | 0,031s | 1,106s | -7,39%

0,256^{m}_{s} 0,645^{m}_{s} 0,351_{s^{2}}^{m} 9,094_{s^{2}}^{m}

3 | 0,299kg | 0,084s | 0,033s | 1,194s | -3,05%

0,238^{m}_{s} 0,606^{m}_{s} 0,308_{s^{2}}^{m} 9,520_{s^{2}}^{m}

Side 7

, 2x HTX Side 7 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

Variation af m_{2}
m_{1} 195,93 g = 0,19593 kg
s 20 mm = 0,02 m
g_{teori}
9,82_{s^{2}}^{m}
m_{2} t_{1} t_{2} ∆t v_{1} v_{2} a g_{målt} %-vis

1 | 0,04kg | 0,038s | 0,015s | 0,528s | -8,20%

0,526^{m}_{s} 1,333^{m}_{s} 1,528_{s^{2}}^{m} 9,015_{s^{2}}^{m}

2 | 0,03kg | 0,042s | 0,017s | 0,595s | -9,74%

0,476^{m}_{s} 1,176^{m}_{s} 1,177_{s^{2}}^{m} 8,864_{s^{2}}^{m}

3 | 0,02kg | 0,050s | 0,020s | 0,715s | -7,74%

0,400^{m}_{s} 1,000^{m}_{s} 0,839_{s^{2}}^{m} 9,060_{s^{2}}^{m}

Tabel 3: Tabel med alle målte, aflæste og opslåede størrelser

Databehandling

Før vi overhovedet kan begynde at regne på vores måledata, må vi opstille Newtons 2. lov for vognen og loddet. Det har jeg gjort i teoriafsnittet fritlegeme-analyse.

Vi må kende de to hastigheder v_{1} og v_{2} (her med data fra forsøg 1.1):

                                      m
ex     :                       ===⇒= 339,0vv
                                      s

1.1

t t_{1x} s059,0

s s m02,0 x 1

Så finder vi accelerationen a (samme data som ovenstående):

                                        m
ex     :                            441,0a ====
                                        2
                                       s

1.2

        m
−  339,0741,0
        s

s m

Δ v − vv_{12}

Δ t Δ t s912,0

Endelig er det muligt at finde den ”målte” tyngdeacceleration:

                                             m
ex     :                                 072,9g ===
                                             2
                                             s

1.3

2

21 s m

m_{2} kg01,0

+)kg01,0kg19593,0(441,0
+)mm(a

Den procentvise afvigelse bliver da som følger:

ex: =⋅=⋅=⋅= %62,7%100%100%100%

1.4

82,9^{m}_{2}

s

       m
−  82,9072,9
       2

s s

2 m

x_{teori} g_{teori}

xx_{teorimålt} −− gg_{teorimålt}

afv

Fejlkilder

I ethvert fysikforsøg er der måle- og aflæsningsusikkerheder. Der er dog også egentlige fejl-kilder. I dette forsøg drejer det sig om:

• Friktion i trissen

• Ikke et inertialsystem

• Gnidningsmodstand på luftpudebanen

• Luftpudebane ude af lod

• Luftmodstand / aerodynamik

• Fejl i forbindelse med bredden af mærket på vognen (s).

Side 8

, 2x HTX Side 8 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato:

Vurdering

Den procentvise afvigelse var under 10% i samtlige forsøg. Det er for så vidt meget godt – især når der er nogle ”ordentlige” fejlkilder, man kan skyde skylden på! Det er der her:

I fysik er en trisse pr. definition friktionsløs. Det er selvfølgelig ikke rigtigt, men det ville gøre udregningerne langt vanskeligere, hvis man skulle tage hensyn til friktionen. En frikti-onsløs trisse ville i princippet blive ved med at rotere i al evighed, hvilket er fysiks umuligt.

Friktion i trissen resulterer i lavere hastighed. Dette gælder selvfølgelig både vognen og lod-det, da de er forbundet med en snor! Lavere hastighed medfører selvfølge lig lavere accele-ration, hvilket er resultatet i samtlige forsøg. Denne fejlkilde har helt sikkert haft indflydelse, spørgsmålet er bare, hvor meget.

Newtons 2. lov gælder kun i et inertialsystem, der er et koordinatsystem, der står stille i forhold til fixstjernerne. Det er klart, at man ikke lige har adgang til et sådant system, men man har vedtaget, at jorden er et inertialsystem. Det må vi så gå ud fra, men i princippet er det en fejlkilde. Vi har bare ingen mulighed for at beregne den.

Hele idéen med at bruge en luftpudebane er, at nedsætte gnidningsmodstanden. Havde man brugt en lille vogn på hjul, ville vi med sikkerhed ikke have lige så ”pæne” resultater som det er tilfældet. Det kan dog ikke udelukkes, at der er en vis gnidning på luftpudebanen, hvil-ket vil nedsætte hastigheden og dermed accelerationen.

Det er meget vigtigt, at luftpudebanen er vandret. Hælder den ”opad” vil vognen bremses, da den også skal bevæge sig en anelse opad. Hælder banen derimod ”nedad” vil vognen ac-celerere for meget, da det så ikke kun er loddet, men også tyngdekraften, der trækker i den.

Højere hastighed (luftpudebanen hælder opad) giver større acceleration, mens lavere hastig-hed (luftpudebanen hælder nedad) giver mindre acceleration.

Luftmodstand er selvfølgelig en faktor, der spiller ind. Hvis man havde foretaget dette for-søg i vakuum, havde man med stor sandsynlighed fået bedre resultater. Desværre er det utroligt svært at beregne luftmodstanden, så vi må bare acceptere tingene, som de er. Der er jo ikke så meget at gøre ved det, når man ikke lige har adgang til et lufttomt lokale. Luftmod-stand vil, ligesom friktion i trissen, nedsætte hastigheden og dermed accelerationen. I prin-cippet skulle man foretage forsøget i rummet, men der findes Jordens tyngdekraft jo ikke!

Bredden s er lidt af et kompromis. Vi bliver nødt til at antage, at hastigheden er konstant, når de to fotoceller måler den tid det tager vognen at passere. Dette er selvfølgelig ikke rig-tigt, men det er den eneste mulighed. Man kan så sige, at det må gælde om at lave s så lille som overhovedet muligt. Er s eksempelvis 1 millimeter, vil hastigheden være ”mere konstant” end hvis den er 10 eller 25 mm. Problemet er bare, at tidsmåleren kun måler i tusindedele af sekunder, så det ville kun tage noget i retning af 1-2 millisekunder for s at passere en fotocel-

Side 9

, 2x HTX Side 9 af 9

Fysikrapport: Mekanik – bestemmelse af tyngdeaccelerationen Afl. dato: le. En afvigelse på bare ét millisekund ville altså få enorm betydning for det endelige resultat, hvilket ikke er særlig smart. Havde man derimod mulighed for at måle tiden med 5 eller 6 de-cimaler, kunne man med fordel ændre s til 1 millimeter. I princippet er dette slet ikke en fejl-kilde, men jeg valgte at vurdere den alligevel, da den med garanti har haft indflydelse på re-sultatet. Ikke mindst i de forsøg, hvor hastigheden var forholdsvis høj. Det er derimod en usikkerhed, da vi ikke havde den mindste mulighed for at gøre noget ved det.

Konklusion

I dette forsøg målte vi tyngdeaccelerationen til noget mellem:

8,864 ~ 9,52_{s^{2}}^{m}
s^{2}

m

Det var jo meget godt at vide, men jeg tror nu bare jeg vil holde mig til det, der står i fysikbo-

gen (9,82_{s^{2}}^{m}). Det er vist lidt mere præcist!

På vores resultater ser det ud til, at de målinger, hvor loddets masse er 10 gram er de mest præcise. Jeg er sikker på, at det har noget at gøre med, at vi får flere betydende deci-maler på de målte tider, da det tager længere tid for vognen at passere fotocellerne samt til-bagelægge hele strækningen. På den måde vil en lille afvigelse i tiden ikke have så stor be-tydning. Se min vurdering af sidste fejlkilde.

Alt i alt var det et fint forsøg, der kom til at stemme udmærket overens med teorien – altså tabel værdien af g. Den procentvise afvigelse var til at tolerere når man tager fejlkilderne i be-tragtning, så det var jo fint.

Det hele gik som det skulle. På den anden side var der jo heller ikke så mange mulighe-der for at gøre noget galt, da alle tidsmålinger foregik automatisk!