Pendul: Bestemmelse af Tyngdeaccelerationen

Side 1

Fysikrapport

Penduler
  STX 3.g

Side 2

Formål:

Formålet er at bestemme tyngdeaccelerationen g vha. to forskellige pendultyper (matematisk og

konisk), og at vurdere hvilken af de to metoder der er bedst/mest præcis.

Materialer:

• 2-3 m sytråd (hvid så vidt jeg husker).

• Blylod (så lille og så tungt som muligt, da vi i teorien regner med at det er tungt men ingen udstrækning har).

• Krog af metal, hvorpå snoren er sat fast.

• Målebånd til måling af snorens og radius længder

• Digitalt stopur til måling af svingningstider.

• Metalstativ

Forsøgsopstilling:

Se figuren til højre. Stativet bruges til regulering af længden på det snor stykke som loddet hænger i.

Teori:

I forsøget skal tyngdeaccelerationen g findes vha. to penduler. Teorien bag disse penduler ses på de følgende sider, men først vil jeg lige kort forklare hvad g egentlig er for noget:

Tilbage i 1600-tallet fandt fysikeren Gelilei ud af at alle legemer, fra fjer til blyklumper, i lufttomt rum falder lige hurtigt, dvs. accelererer lige hurtigt mod Jorden.

Denne acceleration kaldes normalt for tyngdeaccelerationen fordi det Jordens tyngdekraft der giver alle legemer denne acceleration.

Tyngdeaccelerationen g afhænger af hvilken planet man befinder sig på, og hvor på planeten man er placeret.

Her er nogle tabelværdier for hvor stor tyngdeaccelerationen er:

Danmark/Jorden Ækvartor/Jorden Månen
9,82 N/kg 9,78 N/kg 1,62 N/kg

Da vores forsøg er foretaget i Danmark er det værdien for tyngdeaccelerationen i Danmark vi vil sammenligne vores resultater med.

Side 3

Matematisk pendul:

Et matematisk pendul er et lod der er hængt op i en snor. Loddet er så lille at der kan ses bort fra, at det har en udstrækning, og snoren er så let at dens masse er ubetydelig. På figur 1 ses de kræfter, der virker på loddet i svingning:

Loddet påvirkes af tyngdekraften F og snorkraften t

F, som tilsammen giver den resulterende kraft.

s

Kalder vi buestykket x og udslagsvinklen med ϕ fås følgende sammenhæng: x

L ϕ

= (ϕ regnes i radianer).

Af figuren kan ses at:

F m g = ⋅ ⋅ sin
 res

ϕ og da vi med et matematisk pendul regner med meget små vinkler er sin ≈: ϕϕ

F m g F x = ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅
 res res

mg ⋅

L ϕ

Da vi regner med meget små vinkler kan vi også erstatte buestykket x med en vandret linje og vi for da følgende formel for F res

(kraften er altid rettet mod ligevægtsstillingen, altså skal der være negativt fortegn):

F k x≈ − ⋅ ,           k ≈
 res

mg ⋅

L

Dette betyder at vores matematiske penduls bevægelse er en harmonisk svingning, for hvilken

svingningstiden t_{0} kan skrives således:

t_{0} = = ⋅ ⋅ 2

2 ⋅ m k π π ω

Hvis vi heri indsætter k ≈, får vi: mg ⋅

L

tt_{00} ≈ ⋅ ⋅ ⇔ ≈ ⋅ ⋅ 22

m L L ⋅ m g g ⋅ ππ

Af den udledte formel kan ses at det kun er snorlængden L der har indflydelse på svingningstiden

(hvilket vi senere vil udnytte til at bestemme g).

Figur 1

Side 4

Konisk pendul:

Et konisk pendul består af et lod og en snor. Loddet er så lille at vi kan regne med at den ikke har nogen udstrækning og snoren er så let at vi kan se bort fra dens masse. Loddet sendes rundt i det der nogenlunde svarer til en jævn cirkelbevægelse. Vi ved at kraften i en jævn cirkelbevægelse peger mod centrum og at den er givet ved (kraften kaldes centripetalkraften):

⎛⎞ 24^{2} ⋅⋅ mr

2

                  2
F m a F m r F m r F = ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⇔ =          [1]

2

tt_{00}

c c c c ππ ω

⎜⎟

⎝⎠

I et konisk pendul er det tyngdekraften og snorkraften der tilsammen giver den resulterende kraft F.

c

Vi ser på figur 2 at:

F m g=⋅ og tan =
 t

F_{c}
F_{t}

ϕ hvilket vi kan skrive sammen til:

F m g = ⋅ ⋅ tan [2]
 c

ϕ

Sættes formel [1] og [2] lig med hinanden kan der udledes en formel for svingningstiden i et konisk pendul:

44^{22} ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ m r m r_{2}

0

 2
t m g         ⋅⋅ tan
 0

m g t ⋅ ⋅ = ⇔ = tan

ππ ϕ ϕ

Ud fra tegningen kan vi se at =⋅ sinrL:

ϕ

  22
4 sin 4 cos ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ m L L L

 22
t t t = ⇔ = ⋅ ⇔ =              cos 2

0 0 0 m g g g ⋅⋅ tan π ϕ π ϕ ϕπ ϕ

og da det kan ses på tegningen at cos ⋅ = ⋅ = L L h:

h

L ϕ

tt_{00} = ⇔ = 22

cos Lh gg ϕ ππ

Vi har nu udledt formlen for svingningstiden t_{0} i et konisk pendul.

Figur 2

Side 5

Fremgangsmåde:

Allerførst sætter vi pendulerne i gang som set på figur 1 og 2 i teorien. Derefter tager vi tid på hvor lang tid det tager for loddet at bevæge sig en ”svingning” (i det matematiske pendul betyder det at loddet skal en gang frem og tilbage før det har lavet én svingning, og for det koniske pendul skal loddet bevæge sig en omgang før det har lavet én svingning). I praksis lader vi lodderne lave 5-10 svingninger for at gøre resultaterne mere nøjagtige. I løbet af forsøgene ændrer vi på snorlængden

og i det koniske pendul ændres også radius. Til hver snorlængde/radius måles der tre gange. Dette

er for at gøre usikkerheden mindre.

Måleresultater:

Målinger for det matematiske pendul:

Snorlængde (L/m) 1,63 1,48 1,33 1,14 0,93

Måling 1 (sekunder) | 25,56 | 24,06 | 22,90 | 21,28 | 19,09
Måling 2 (sekunder) | 25,53 | 24,06 | 22,86 | 21,32 | 18,96
Måling 3 (sekunder) | 25,83 | 24,10 | 22,60 | 21,29 | 19,01

Gennemsnit (t_{0} /sekunder) 2,56 2,41 2,28 2,13 1,90

                          2
Disse tal indsætter jeg i en ( , )-grafLt (se bilag 1).
                         0

Denne graf vil jeg finde hældningen for, og dette gøres ved at indtaste dataene i min TI-83 ( t_{0}^{2} i L

2 og L i L), og herefter bruge funktionen Linreg til at beregne foreskriften for grafen:

1

s^{2}
tL_{0}^{2} = ⋅ − 4,11168 0,210459

m

Hvis vi kigger på teorien fra tidligere, må ligningen for vores graf være:

L 4^{2}

2

t t L = ⇔ = ⋅ 2
 00

gg π π altså kan vi se at hældningskoefficienten er

4^{2}

g π

Hvis vi sætter dette lig med den beregnede hældningskoefficient, kan vi finde tyngdeaccelerationen:

2 2 2

g m s s^{2}

2

44 sm

= ⇔ = = 4,11168 9,60 g

4,11168 m ππ

Dette tal vil jeg så sammenligne med tabelværdien for tyngdeaccelerationen i Danmark og finde afvigelsen i procent:

9,82 9,60 −
     22

9,82_{2}

⋅= 100% 2,24%

mm ss m s

Det fundne resultat er kun 2,24 % mindre end tabelværdien, hvilket må siges at være rimelig godt.

Side 6

Målinger for det koniske pendul:

Højde (h/m) 0,43 0,78 1,67 1,74 1,90

Måling 1 (sekunder) 7,04 9,19 13,07 13,22 13,95

Måling 2 (sekunder) 7,09 9,05 13,16 13,25 13,93

Måling 3 (sekunder) 6,84 9 12,7 13,31 13,31

Gennemsnit (sekunder) 1,3980 1,8160 2,5953 2,6520 2,7460

                          2
Disse tal indsætter jeg i en ( , )-grafht (se bilag 2).
                         0

Denne graf vil jeg finde hældningen for, og dette gøres ved at indtaste dataene i min TI-83 ( t_{0}^{2} i L

1 og h i L), og herefter bruge funktionen Linreg til at beregne foreskriften for grafen:

2

s^{2}
th_{0}^{2} = ⋅ + 3,83626 0,309852

m

Hvis vi kigger på teorien fra tidligere, må ligningen for vores graf være:

h 4^{2}

2

t t h = ⇔ = ⋅ 2
 00

gg π π altså kan vi se at hældningskoefficienten være

4^{2}

g π

Hvis vi sætter dette lig med den beregnede hældningskoefficient, kan vi finde tyngdeaccelerationen:

2 2 2

g m s s^{2}

2

44 sm

= ⇔ = = 3,83626 10,29 g

3,83626 m ππ

Dette tal vil jeg så sammenligne med tabelværdien for tyngdeaccelerationen i Danmark og finde afvigelsen i procent:

10,29 9,82 −
      22

9,82_{2}

⋅= 100% 4,79%

mm ss m s

Det fundne resultat er altså kun 4,79 % større end tabelværdien, hvilket må siges at være rimelig godt.

Fejlkilder:

Den eneste fejlkilde jeg kan komme på, som måske har indflydelse på vores resultater er hvordan man sætter det koniske pendul i gang. Det kan være meget svært at få loddet til at bevæge sig i en perfekt cirkel, men det lykkedes nu meget godt så det gør ikke det store. Der er vist ikke flere fejlkilder ved forsøget og det ses da også på de medfølgende grafer at resultaterne ligger på en pæn ret linje, hvilket på betyde at vi må have gjort et eller andet rigtigt.

Side 7

Usikkerhedsberegning:

Matematisk pendul:

Vi har brugt følgende formel til udregning af vores tyngdeacceleration g:

4 L^{2} ⋅
t_{0}^{2}

g =

π

Usikkerheden på de forskellige variabler er som følger:

L: Jeg finder først snorens gennemsnitslængde, hvilket giver 1,302 m. Usikkerheden på måling af

snorlængder har vi vurderet til at være på 0,01m± altså er usikkerheden på:

0,01 m

Δ = ⋅ = LL / 100% 0,768%

1,302 m

t_{0}^{2}: Her finder jeg gennemsnitlige svingningstid, hvilket giver 2,256 s. Usikkerheden på måling af
svingningstiden har vi vurderet til at være på 0,001s± altså er usikkerheden på:

Δ = ⋅ = tt_{00} / 100% 0,044%

0,001 s

2,256 s

Den samlede usikkerhed på g er derfor:

/ 0,768% 2 0,044% 0,856%ggΔ = + ⋅ =

Konisk pendul:

Usikkerhedsberegningen til det koniske pendul foregår på næsten samme måde som ved det matematiske dog er der den forskel at vi bruger h i stedet for L. h er mere usikker end L idet den beregnes vha. længden af snoren og radius i cirklen. Usikkerheden må altså her være:

0 0 0 0

2 ( / ) ( / ) 2 ( / ) ( / ) ( / )t t h h t t L L r r⋅ Δ + Δ = ⋅ Δ + Δ + Δ

Vi kender jo allerede_{00} /ttΔ og /LLΔ så vi mangler bare den sidste /rrΔ.

r: Her finder jeg først den gennemsnitlige radius, hvilket giver 0,334m. Usikkerheden på måling af

radius har vi vurderet til at være 0,01m±, altså er usikkerheden på:

0,01 m

Δ = ⋅ = rr / 100% 2,994%

0,334 m

Den samlede usikkerhed på g er derfor:

/ 2 0,044% 2,994% 0,768% 3,85%ggΔ = ⋅ + + =

Side 8

Konklusion:

Vi har nu prøvet at bestemme g vha. to forskellige penduler. Begge de fundne resultater ligger inden

                                      2                                 2
for en rimelig grænse fra tabelværdien (9,60m/s for det matematiske pendul og 10,29m/s for det

koniske pendul), hvilket må betyde at vores forsøg har været vellykkede. Den lille afvigelse kan helt sikkert forklares vha. fejlkilderne og usikkerhedsberegningen

Vi kan også konkludere at den mest præcise metode (som vi har prøvet) til at bestemme tyngdeaccelerationen er det matematiske pendul. Denne udtagelse bygger både på usikkerhedsberegningen (matematisk pendul har usikkerhed på 0,856% og det koniske har en på

3,85%), og på de resultater vi fik under forsøget, hvor det matematiske pendul ramte 2,24% fra tabelværdien og det koniske pendul ramte 4,79% fra.

Side 9

Bilag1
T^2 / sekunder
2 4 6 8
L/cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)=4.11168*x+(-0.210459)
Serie1
Bilag2
T^2 / sekunder
2 4 6 8
h/cm
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x)=3.83626*x+0.309852
Serie1