Op- og afladning af kondensator

Side 1

, 3x HTX Side 1 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer HTX 3. år

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer

Forsøgsdato:

HTX 3. år

Klasse: 3.x, htx 2002/2003

HTX 3. år

Lærer:

Fag: Fysik A

Side 2

, 3x HTX Side 2 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

Formål

Formålet med dette forsøg var at eftervise formlerne for op- og afladning af kondensatorer, og dermed formlen for kondensatorers halveringstid.

Forsøgsbeskrivelse

Opstilling

Forsøget bestod af to opladninger, samt to afladninger:

5V 5V

V(t) V(t)

C C

R R

O pladning 1 O pladning 2

2k2 22k

470µF 470µF

V(t) V(t)

C C

R R

Afladning 1 Afladning 2

2k2 22k

470µF 470µF

Figur 1: Forsøgsopstilling

Materialer

Apparatur: Væsker / stoffer:

• ADC tilsluttet PC

• 2k2 og 22k modstande

• 470µF kondensator

• 5V spændingsforsyning

• Diverse ledninger

Tabel 1: Materialeliste

Fremgangsmåde

Opladningen foregik ved, at vi satte en modstand og en kondensator i serie. Derefter tilslut-tede vi en ADC til kondensatorens to tilledninger. ADC står for ”Analog to Digital Converter”, hvilket betyder, at den analoge spænding omsættes til et digitalt signal, som en computer kan

Side 3

, 3x HTX Side 3 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

forstå. Nu kunne vi sætte computeren til at måle spændingen over kondensatoren (U_{C}) som

funktion af tiden.

I hver måleserie foretog computeren 1.000 målinger, hvilket er et godt grundlag for en

præcis (t, U_{C})-graf, da tiden varierede mellem 10 og 100 sekunder.

Når computeren var sat til at måle, sluttedes kontakten, så opladningen af kondensatoren begyndte. Efter godt og vel 5τ var computeren færdig med målingerne, da kondensatoren så siges at være opladet.

Afladningen foregik ved, at vi først opladede kondensatoren til præcis 5V. Dette kræver

en forsyningsspænding, der er anelse højere, da U_{C} aldrig når op på forsyningsspændingen.

Dette kommer jeg dog ind på senere.

Den opladede kondensator kortsluttedes nu gennem en modstand, mens computeren målte. Også hér stoppede målingen efter godt og vel 5τ.

Teori

Kondensatorens opbygning

En kondensator består grundlæggende af to ledende plader, der ikke har elektrisk kontakt.

Disse kan være adskilt af luft eller et hvilket som helst isolerende materiale. Dette materiale kaldes undertiden et dielektrikum.

Kondensatoren kan ”gemme” en spænding i form af en ladning – altså en mængde elek-troner. Dette skyldes, at elektronerne i de to metalplader kan ”flyttes” til den ene eller den an-den side:

Tilledninger Tilledninger

Plader Plader

Dielektrikum

Dielektrikum

+ -

e^{-}

Figur 2: Af- og opladet kondensator

Billedet til venstre viser en kondensator, der kunne komme direkte fra fabrikken. Der er nem-lig lige mange frie elektroner i de to plader. Således kan der ikke måles noget spændingsfald over kondensatoren, da tilstanden er stabil.

På billedet til højre er kondensatoren tilsluttet en spændingsforsyning (gennem en mod-stand). Den positive pol er tilsluttet venstre side, hvorfor elektronstrømmen går fra venstre plade til højre (strømmen går jo fra plus til minus, men elektronerne strømmer modsat). Såle-des bliver der et overskud af elektroner på højre side, mens der er underskud på venstre

Side 4

, 3x HTX Side 4 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato: side. Da elektroner har en negativ elementarladning vil højre side da blive negativt ladet i for-hold til venstre side og vice versa.

Eftersom potentialforskellen mellem de to plader bliver større (spændingen over kondensatoren nærmer sig spæn-dingen fra spændingsforsyningen), vil strømmen aftage. Det-te vender jeg dog tilbage til.

Det er her vigtigt at huske på, at der ikke løber nogen strøm gennem det isolerende materiale mellem de to plader.

Det gælder i hvert fald for ideelle kondensatorer. Reelt vil der^{-}

løbe en lille lækstrøm...

Da vi ser bort fra lækstrømmen er kondensatoren stabil i begge tilstande, så det er altså muligt at gemme en ladning i form af en potentialforskel mellem de to plader. Kondensatoren virker altså som et lille, genopladeligt batteri.

Mellem de to plader opstår et elektrisk felt. Feltstyrken i kondensatoren er givet:

     U
EE,U =⇒==⇔==
     d

q q d q q

F_{el}

A ⋅ dF U F

Kapacitans

For enhver kondensator gælder det, at ladningsmængden (strøm pr. tidsenhed) og spændin-gen over denne er ligefremt proportionale:

UCQUQ ⋅=⇒∝ ,
 CC

hvor Q er ladningsmængden i Coulomb og U_{C} er spændingsfaldet over kondensatoren i volt.

Proportionalitetsfaktoren kaldes C og benævnes ”kapacitans”. Denne er altså et udtryk for, hvor stor kapacitet en given kondensator har.

Enheden for kapacitans er givet:

    C
F]C[ =⇒= ,
    V

]U[

]Q[

C hvilket benævnes Farad.

Der gælder endvidere, at kapacitansen er ligefremt proportional med kondensatorplader-nes tværsnitsareal, og omvendte proportional med afstanden mellem pladerne:

CC ⋅ε=⇒∝_{r}_{d}^{A},

d

A hvor A er tværsnitsarealet, mens d er afstanden. Proportionalitetsfaktoren ε er den relative permittivitet for det isolerende materiale.

+

Figur 3: E-felt

Side 5

, 3x HTX Side 5 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

A = tv æ rsn it sae ral

d = pladeafstand

Figur 4: Illustration af kondensator

                                  − 12
                                     F
Vakuumpermitiviteten er:       ⋅=ε 1085,8 . Denne kan bruges, hvis der er luft mellem pla-
                        0
                                     m

derne. Ellers findes permittiviteten ved:

Amateriale0r

ε⋅ε=ε

Erstatningskapacitans

For erstatningskapacitans gælder det modsatte af, hvad der gælder for modstande:

                                              −
                                      1  1   1
Serie:                                ( ) ...C ++=
                                      C  C  C
                                             n21

C_{1} C_{2}

C_{T}

1

T

Parallel:

C        C          C                             C...CCC ++=
 T         1         2
                                                    n21T

Tabel 2: Erstatningskapacitans ved serie- og parallelkobling

Opladning i RC-kredsløb

Det kan være yderst interessant at kigge på et kredsløb som nedenstående:

R C i

U

+ u

u_{R}

Figur 5: RC-kredsløb

I ovenstående har vi i fysik B været vant til at kigge på konstante tilfælde. Dette vil dog sjæl-dent være tilfældet, så vi er nødt til at indblande tiden.

For overskuelighedens skyld har jeg skrevet strømme og spændinger, der ændrer sig med tiden, med små bogstaver. Betegnelser med store bogstaver er således konstanter.

Den samlede spænding er givet:

I: ⋅+=+= iRuuuU

R

Vi kan desuden differentiere ladningen og strømmen med hensyn til tiden:

Side 6

, 3x HTX Side 6 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

II:

   du
Ci ⋅===⇒
    dt

dt dt dq ⋅)uC(d t dt dq

Q

⋅=⇒⋅=∧=⇒= uCqUCQiI

Vi har nu, at strømmen som funktion af tiden er kapacitansen gange differentialkvotienten af spændingen over kondensatoren med hensyn til tiden.

Vi indsætter nu ligning II i ligning I:

                               du
III:                        CRuiRuU ⋅⋅+=⋅+=
                               dt

De variable separeres i denne differentialligning:

IV:

−=+⋅−⇔)uUln(Kt

⋅=+−−⇔ tK)uUln(

∫∫^{1}^{dtdu}

   1
=⇔⋅⋅=− dtduCRuU
  RC

RC

1

RC

1

=⇔_{RC}
− uU

1

dt − uU

du 1

Vi har nu et problem med konstanten K, men det er ikke større end det kan løses. Vi opstiller blot følgende betingelse:

u = 0 for t = 0, hvilket betyder, at spændingen over kondensatoren skal være nul volt til ti-

den 0s. Så kan vi nemlig fortsætte:

V:

=⇒−=+⋅−⇒)Uln(K)0Uln(K0

−=+⋅−)uUln(Kt

RC

1

RC

1

Konstanten kendes nu, og kan indsættes i ligning IV:

VI:

       t
      −
 − uU      − uU
       RC
( )  eln)Uln()uUln(t =⇔=−−=⋅−⇔
 U         U

RC

1

RC

1

−=+⋅−)uUln()Uln(t

Med ovenstående formel har vi nu et udtryk for kondensatorspændingen som funktion af ti-den ved en opladning:

                      t
                     −
                      RC
VII:              −=    )eU(1u

Dette er fundet ved at isolere u i ligning VI.

Afladning i RC-kredsløb

For at finde en forskrift for kondensatorspændingen ved en afladning følger vi ovenstående udregning et stykke af vejen:

Side 7

, 3x HTX Side 7 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

R C i u

u_{R}

Figur 6: RC-kredsløb

Vi starter ved ligning III i ligning, hvor der er en ændring:

                           du
VIII:                   CRu0U ⋅⋅+==
                           dt

Dette skyldes, at spændingsforsyningen nu er erstattet med en kortslutning. Således må det resulterende spændingsfald være lig nul. Vi kan nu separere de variable:

IX:

=+⋅−⇔)uln(Kt

⋅=+−⇔ tK)uln(

∫∫^{1}_{1}^{dtdu}

   1
=⇔⋅⋅=− dtduCRu
  RC

RC

1

RC

=⇔_{RC}
− u

1

dt − u

du 1

For at finde konstanten K opstilles følgende betingelse:

u = U for t = 0, hvilket betyder, at spændingen at hele kredsløbets spænding ligger over

kondensatoren til tiden 0s. Så kan vi nemlig fortsætte:

X:

=⇒=+⋅−⇒)Uln(K)Uln(K0

=+⋅−)uln(Kt

RC

1

RC

1

Konstanten kendes nu, og kan indsættes i ligning IX:

XI:

      t
     −
 u       u
      RC
( ) eln)Uln()uln(t =⇔=−=⋅−⇔
U        U

RC

1

RC

1

=+⋅−)uln()Uln(t

Med ovenstående formel har vi nu et udtryk for kondensatorspændingen som funktion af ti-den ved en afladning:

                    t
                   −
                    RC
XII:             ⋅= eUu

Dette er fundet ved at isolere u i ligning XI.

Både ved af- og opladning er strømmen givet som:

    t
  −
   RC
⋅= eIi ,

der kan findes ved at differentiere strømmen med hensyn til tiden.

Tidskonstanten τ

I de to ovenstående afsnit fandt vi to forskrifter for spændingen over en kondensator som funktion af tiden. Disse kan illustreres:

Side 8

, 3x HTX Side 8 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

Figur 7: U som funktion af tiden t

C

Ovenstående diagram er et såkaldt ”normaliseret” diagram. Som det kan ses, er enheden på y-aksen procent, mens enheden på x-aksen er tau.

”Normaliseret” betyder, at ovenstående diagram gælder for alle op- og afladninger af kondensatorer med konstant spænding. Vi har nemlig kun kigget på konstant spænding (U), da dette er det mest normale. Alternativet er konstant strøm, hvilket kræver en strømgenera-tor. Foregår opladningen gennem en sådan vil opladningen følge den skrå streg.

       U
I,I ==
 start
       R

R

U

.kons

Ifølge Ohms lov gælder ovenstående. For en op- og afladning med konstant spænding følger startstrømmen stadig dette, da strømmen i starten er konstant.

Tiden tau (τ) er defineret som den tid det tager at oplade en kondensator, hvis strømmen er konstant:

CRtRIRU τ=⋅=⇔=⇔⋅===

Q ⋅ tI t

C C C

Enheden for τ er sekunder, da det er en tid.

Da vi ikke skal se på konstante strømme kan man indvende, at τ er overflødig. Det er dog langt fra tilfælde, da en opladning af en kondensator med konstant spænding vil give følgen-de opladningsprocenter:

t = 0τ : 00% (100%)
t = 1τ : 63% (037%)
t = 2τ : 86% (014%)
t = 3τ : 95% (005%)
t = 4τ : 98% (002%)
t = 5τ : 99% (001%)

Dette gælder som sagt for alle opladninger med konstant spænding. Ved afladninger er det tallene i parentes, der gælder.

Strømmen følger – både ved op- og afladning – den aftagende kurve (tal i parentes).

Side 9

, 3x HTX Side 9 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

Halveringstid

Det kan endvidere være interessant at vide, hvornår en kondensator er halvt opladet. Denne tid afhænger udelukkende af kapacitansen C og resistansen R.

Med udgangspunkt i formlen for opladning med konstant spænding (ligning IV):

=⋅− lnt ( )_{U}^{−}^{uU},

RC

1

betegner vi den tid, vi vil finde T_{½}. Vi ved desuden, at spændingen over kondensatoren skal

være halvdelen af forsyningsspændingen (U):

     1
    −
  ⎛
     2          1
=⋅−⇒=  =     = lnlnlnTUu ( )
                2
  ⎝

⎜_{U} ⎟ ⎜_{U} ⎟

⎞ ⎛_{2}^{1}^{U} ⎞

UU

½

2 RC

1 1

⎠ ⎝ ⎠

Da ln(½) = -ln(2) skynder vi os lige at erstatte:
⋅⋅=⇔−=⋅−)2ln(CRT)2ln(T

½½

RC

1

Denne formel er meget anvendt, og dette er bare én af flere metoder til at bevise den.

Halveringstiden svarer altså til ln(2) ⋅ τ ≈ 0,693τ.

Resultater

Forsøget gav – efter lidt modifikationer – følgende resultater:

Tabel 3: Normaliserede forsøgsresultater

Da vi har over 4.000 målinger vil det ikke være relevant at vise nogle hér. Jeg har i stedet valgt at lave ovenstående grafer, som egentlig er meget ”pæne”.

Side 10

, 3x HTX Side 10 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

Af egentlige forsøgsresultater er:

R_{2k2}

2,19 kΩ

Note: Modstandene og forsyningsspændingen blev målt med et universalinstrument.

R_{22k}

21,50 kΩ

U 5,00 V

C 470 µF

τ_{2k2} 1,0293 s
τ_{22k} 10,1050 s

1 (op., 2k2) 2 (op., 22k) 3 (af., 2k2) 4 (af., 22k)

T_{½, teori} 0,7135 s 7,0043 s 0,7135 s 7,0043 s
T_{½, reel} 0,8450 s 8,9475 s 0,8310 s 7,6425 s

%-vis afv. 18,44 % 27,74 % 16,48 % 9,11 %

Tabel 4: Forsøgsresultater

Databehandling

For at lave ovenstående grafer, skulle resultaterne ”normaliseres”. Derfor må vi først og fremmest kende de to tidskonstanter:

ex: =⋅⋅Ω⋅=⋅=τ⇒⋅=τ s0293,1F9,2CRCR

1

− 63

2k22k2

Jeg fjernede nu alle de målinger inden der ”skete noget”. Det vil sige, at de overflødige må-linger er siet fra, og tiden t er tilpasset på ny. Vi startede nemlig med at tilslutte computeren og lade den måle – derefter begyndte vi at op- eller aflade kondensatoren, så der er overflø-dige data, hvor kondensatorspændingen enten er 0V eller 5V.

Herefter normaliserede jeg y-akserne. Dette gjorde jeg ved at finde forholdet mellem for-syningsspændingen og kondensatorspændingen. Dette giver en procentsats:

ex: ⋅=⋅=Δ %100%100U

2

U V5

U U_{CC}

Forholdet findes således ved at indsætte U_{C}, som computeren målte.

x-aksen skulle selvfølgelig også normaliseres. Dette gjorde jeg ved at omregne tiden til tau. Igen er det blot forholdet mellem den målte tid og én tau:

ex: t =Δ_{τ}^{t}

3

Således kunne graferne laves – og vi er nu uafhængige af spændinger, kapacitanser og resi-stanser. Det er da smart.

På graferne kan halveringstiderne nu aflæses halvvejs oppe ad y-aksen. Denne tid er i tau, men ser man i stedet på resultaterne fra computeren fås tallet i sekunder. Dette er benyt-tet, men man kunne også have omregnet en aflæsning på graferne til sekunder.

Den teoretiske halveringstid bestemmes:

Side 11

, 3x HTX Side 11 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

ex: =⋅⋅⋅Ω⋅=⋅⋅=⇒⋅⋅= s7135,0)2ln(F9,2)2ln(CRT)2ln(CRT

4

− 63

2k22k2½,½

Den procentvise afvigelse findes:

ex: %100%100%100% 18,438%=⋅=⋅=⋅=

5

− s7135,0s8450,0

− TT_{teori½,reel½,}
− xx_{teorireel}
x_{teori} T s7135,0

teori½,

Fejlkilder

Ved ethvert forsøg er der nogle fejlkilder og usikkerheder, der kan spille ind. I disse forsøg kunne følgende have indflydelse på resultaterne:

1. Lækstrøm

a. Ikke-ideel kondensator

b. Strøm gennem ADC

2. Afvigelser i komponenter

a. Afvigelser ved modstande

b. Afvigelser ved kondensatoren

3. Upræcise målinger fra computeren

a. Spænding

b. Tid

Vurdering

Af resultat-tabellen kan det ses, at der er nogle rimeligt seriøse afvigelser. Der er dog nogle seriøse fejlkilder, der kan have haft indflydelse. Det drejer sig om ovenstående:

1. Med lækstrøm menes der, at der kan løbe en strøm gennem kondensatoren, som vi ikke tager højde for. Der er følgende to muligheder:

a. I princippet bør der ikke gå nogen strøm gennem en kondensator, da elektro-nerne ikke kan gå gennem isolatoren. Sådan forholder det sig dog ikke i virke-ligheden. Problemet med lækstrømme er størst ved elektrolytkondensatorer, hvilket er den type som vi lavede forsøget med. Det er selvfølgelig lidt uhel-digt, men sådan er det!

b. Når vi sætter ADC’en (spændingsmåleren) over kondensatoren vil der også løbe en strøm derigennem. Dette skyldes, at der skal løbe en vis strøm, før end man kan måle spændingen (Ohms lov). Jeg er ikke klar over, hvor stor modstanden i ADC’en er, men jeg vil skyde på, at den er i omegnen af 50-

100kΩ. Ét er dog sikkert; der vil løbe en strøm gennem måleren.

I begge tilfælde vil der løbe en strøm fra kondensatoren, som vi ikke har med i udreg-ningerne. Det vil resultere i, at opladningerne vil foregå langsommere end den burde.

Side 12

, 3x HTX Side 12 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

Den reelle halveringstid ved opladninger vil altså være længere end den teoretiske.

Det passer meget godt med afvigelserne ved opladninger.

Ved en afladning vil lækstrømme gøre, at kondensatoren aflades hurtigere, end vi regner med. Den reelle halveringstid ved afladninger bliver altså kortere end vi regner med (den teoretiske). Dette stemmer ikke så godt med afvigelserne, men det betyder ikke, at denne fejlkilde ikke har haft indflydelse – den kan blot blive ophævet af en an-den.

2. Enhver elektrisk komponent har en vis afvigelse. Som regel falder denne afvigelse, når prisen stiger. I dette forsøg har vi dog brugt billige komponenter med store afvi-gelser:

a. En almindelig modstand har som regel en afvigelse på 5-10%. I dette tilfælde

brugte vi modstande med afvigelser på ±5%. For at komme udenom proble-

met med afvigelse målte vi dog modstandene på et universalinstrument, og der skulle derfor ikke være nogen tvivl om de to modstandsværdier. Under alle omstændigheder er afvigelsen så lille, at vi kan tillade os at se bort fra den.

I princippet vil en mindre modstand give en mindre halveringstid.

b. En elektrolytkondensator har en afvigelse på hele –10-50%. Vi havde ingen mulighed for at måle kapacitansen, så vi må gå ud fra, at den foreskrevne værdi passer. Det er der dog ikke særlig stor sandsynlighed for.

Er kondensatoren mindre end foreskrevet vil de reelle halveringstider være kortere end de teoretiske. Er den derimod større vil den være længere.

Noget tyder altså på, at vi har fået fat i en kondensator der var ”større” end de foreskrevne 470µF, hvilket ikke er usandsynligt.

3. I forbindelse med målingerne på computeren kan der have været lidt usikkerheder:

a. ADC’en kan måle fra 0-5V i 256 intervaller. Således er hvert interval omkring

19,5 mV. I dette forsøg er selve spændingen dog ikke så vigtig, da vi justerede spændingsforsyningen så computeren viste 5V. Således er forholdet OK, og det er faktisk det eneste vi er interesserede i.

b. Det er muligt, at computeren er lidt upræcis med tiden. Vi ved dog, at 1.000 målinger tog omkring 10 henholdsvis 100 sekunder, så der kan ikke have væ-ret meget afvigelse. Skulle den dog være lidt for langsom vil det resultere i, at den reelle halveringstid bliver kortere end den teoretiske, hvilket ikke var pro-blemet i dette forsøg.

Side 13

, 3x HTX Side 13 af 13

Fysikrapport: Op- og afladning af kondensatorer Afl. dato:

Alt i alt ser det ud til, at det er en for stor kondensator, der har haft størst indflydelse.

Lækstrømme har dog også været et problem ved, hvilket kan ses ved, at op- og afladning med modstanden på 22k svinger mere end ved 2k2.

Anvendelse af teorien

Teorien omkring kondensatorer bruges stort set i alle elektriske kredsløb, der er tidsafhængi-ge. Det være sig timer mm. Desuden kan kondensatorens kapacitans også udnyttes uden hensyntagen til tiden, som det eksempelvis ses i ”udglattere” i spændingsforsyninger.

Kondensatorer bruges desuden i forbindelse med aktive filtre, da en kondensator leder bedre og bedre ved højere og højere frekvenser. Dette er dog ikke relevant i dette forsøg.

Teorien omkring E-felter mellem to ladede plader benyttes også. Det kan for eksempel være i massespektrografer, hvor E-felter fungere som acceleratorer. Desuden er det to gan-ge to ladede plader, der styrer elektrostrålen i et oscilloskop.

Konklusion

Formålet med dette forsøg var at eftervise formlerne for op- og afladning af kondensatorer, og dermed formlen for kondensatorers halveringstid. Dette gjorde vi ved at foretage målinger af kondensatorspændingen som funktion af tiden ved op- og afladninger.

Alt i alt var resultaterne meget pæne, hvis man tager højde for fejlkilderne, og jeg er sik-ker på, at formlerne, der er udledt i denne rapport også passer i virkeligheden.

I det store hele var det et udmærket forsøg; det var let at udføre (selvom det ikke virkede anden gang :), og så var der meget teori.