SOP: GPS (Global Positioning System) i Fysik og Matematik

Side 1

Studieretningsprojekt: GPS-Navigation

Fag: Fysik A & Matematik A

Side Indledning1 af 20

GPS-Navigation

Studieretningsprojekt

Side 2

Side 2 af 25

Abstract

This scientific assignment deals with GPS navigation and its principles, where Albert Einstein's theory of relativity is included. The assignment tells about the basic principles behind the GPS navigation, how the GPS system works overall, but also with the physical and mathematical considerations. In addition the assignment also tells about navigation methods before GPS navigation, as an intro. Be-sides that, it is also described how the theory of relativity has a huge influence on positioning. It is describes how the atmosphere affects and how the clock has an influence. There will be calculations which show how great a distance error one would encounter if you didn’t consider the psychical, but also the mathematical principles behind the GPS, although the satellites aren’t moving with high speed or high accelerations. Possibilities of application are also described; this deals with peaceful and non-peaceful uses, including both military and civilian use.

Side 3

Side 3 af 25

Studieretningsprojektet – 2010

Opgaveformulering

Cpr.nr: Klasse:

Opgaveformulering udleveres

Afleveringsfrist projekt:

Fag 1: Fysik A Vejleder:

Fag 2: Matematik A Vejleder:

Område/tema: GPS-navigation

Opgaveformulering:

1.: Gennemgå et par navigationsmetoder, og beskrive specielt GPS-navigation

2.:Forklar ved hjælp af matematiske betragtninger, hvorfor der skal mindst 3 og i praksis netop 4 satellitter til et velfungerende navigationssystem

3.:Forklar hvorfor relativistiske effekter er afgørende på trods af, at der hverken er tale om specielt store farter eller store accelerationer i forbindelse med satellitternes bevægelse.

4.:Beregn hvor store fejl GPS-systemet ville give, hvis der ikke blev taget højde for specielle- og almen-relativistiske effekter.

5.:Redegør for fredelige og mindre fredelige anvendelsesmuligheder med GPS-navigation.

Bilag:

Vejlederne vil have træffetid til at besvare mail eller vil kunne kontaktes i GA128 på følgende tidspunkter:

Uge 50 Uge 51

Torsdag Fredag Mandag Tirsdag Onsdag

11-12 10-11

Side 4

Side 4 af 25

INDHOLDSFORTEGNELSE

INDLEDNING 1

NAVIGATIONSMETODER OG GPS NAVIGATION 2

SEKSTANTEN 2

GPS -GLOBAL POSITIONING SYSTEM 3

OPBYGNING AF GPS OG SATELLITTERNES FUNKTION 4

KONTROLSTATIONER 5

SIGNALSTRUKTUREN 6

SIGNALFORRINGELSE 6

PRÆCISION OG NØJAGTIGHED 7

PSEUDOAFSTANDE 7

POSITIONERING 9

ATMOSFÆRISKE FORSTYRRELSER 11

PÅVIRKNINGEN AF RELATIVISTISKE EFFEKTER VED GPS MÅLING 13

DEN SPECIELLE RELATIVITETSTEORI 13

TIDSFORLÆNGELSE 13

LÆNGEFORKORTELSE 15

RELATIVITETSTEORIENS TIDSFORLÆNGENDE EFFEKT 15

SAGNAC EFFEKT 16

GENERAL RELATIVITET 17

RESULTAT 18

ANVENDELSESMULIGHEDER FREDELIGE OG UFREDELIGE MED GPS 18

KONKLUSION 20

LITTERATURLISTE 21

WORLD WIDE WEB 21

BØGER SAMT PDF FILER FRA VIDENSKABELIGE INSTITUTTER. 21

Bilag A og B medfølger denne SRP om GPS Navigation (fra side 22)

Side 5

Studieretningsprojekt: GPS-Navigation

Fag: Fysik A & Matematik A

Side Indledning1 af 20

INDLEDNING

Mange har hørt om Global Positioning System navigation(GPS navigation), men der er ikke mange individer der tænker over, hvordan GPS navigation navigerer fra, punkt A til punkt B. GPS navigation bruges i mange sammenhænge lige fra fredelige til mindre fredelige formål. Herunder kan et eksempel være at man bruger GPS navigation til at finde en rumsondes koordinater ude i rummet, eller at man holder styr på flytrafikken i flere tusinde kilometers højde. GPS navigation kan dog også bruges til ufredelige formål som sporing af bestemte personer.

I denne opgave vil jeg beskrive, ud fra den problemformulering jeg har fået, følgende punkter.

1. En introduktion af GPS navigation samt andre navigationsmetoder, herunder vil jeg blandt andet komme ind på GPS princip, satellitter samt funktion.

2. Forklaring og grundviden omkring, hvorfor der mindst skal være 3, men i praksis 4 satellitter til et velfungerende navigationssystem. Herunder en naturvidenskabelig forklaring.

3. Forklaring af nødvendigheden ved relativitetsteorien, herunder også den specielle, trods der hverken er tale om store farter eller store accelerationer i forbindelse med satellitternes bevægelse. Beregning af fejl som GPS systemet vil få, hvis man ikke tager højde for relativitetsteoriens specielle samt almene effekter.

4. Her vil jeg redegøre anvendelsesmulighederne af GPS navigation, herunder fredelige samt ufredelige.

Grundlaget for valget af denne disposition, er fordi jeg vil introducere opgaven om GPS navigation samt andre former for navigation, før jeg går i dybden med mit valgte emne. Jeg vil komme ind på, hvordan GPS navigation fungerer, hvordan GPS har relation til relativitetsteorien, som blandt andet er udledt af Albert Einstein, satellitterne samt funktion. Jeg vil forklare, hvordan matematikken har indflydelse på GPS navigation. Inspirationen til dette studieretningsprojekt stammer fra den teknologiske tankegang, som vi endnu er i gang, som omhandler, hvordan en GPS kan have så stor indflydelse på vores hverdag. Jeg har også undret mig over om GPS egentlig kun bruges til navigation eller om den også bruges til andre formål? Denne studieretningsopgave er skrevet i matematik A og fysik A, hvor fysik A er hovedfaget. Disse to fag kan ikke kombineres, da matematikken bruges til at beskrive fysikken, altså at matematikken er et redskab til at beskrive fysikken. Rapportens længde er på 15,96 normalsider.

Side 6

Side 2 af 25

NAVIGATIONSMETODER OG GPS NAVIGATION

                                                     1
Befolkningen på jorden har brugt utallige metoder til at navigere

fra punkt A til punkt B, om det bare var en lille 3 kilometers vej eller om det var 40 mils søvej. Hvis vi går tilbage i tiden, så har folk brugt stjernerne og himlen som navigation fra et punkt til et andet, men også andre navigationsmetoder, som kompas, sekstanten, radionavigation og ikke mindst GPS navigation. Under dette afsnit vil jeg forklare om princippet bag sekstanten samt beskrive GPS navigation. Grundlaget for jeg har valgt sekstanten er, at det var et meget avanceret navigationsværktøj, som man brugte meget i 1700 tallet.

SEKSTANTEN

Princippet med sekstanten havde man allerede udviklet i 1500-tallet til astronomisk brug (dog uden

teleskop og spejle(Den trehjørnede astronomiske Sekstant^{2} til Bestemmelse af Distancer^{3})). Den

                                                                              4
nautiske sekstant, som var det navigationsmiddel man brugte, blev videreudviklet fra oktanten , som

blev taget i brug omkring år 1769. Det menes, at det var englænderen John Hardley, som opfandt

                        5
instrumentet i 1731(oktanten ), men som senere blev udviklet til sekstanten. Instrumentet bruges til

forskellige ting som breddegrader eller position. Instrumentet måler vinklen mellem solen og horisonten, når solen står højest, og derved kan sekstanten angive, hvor man befinder sig. En

sekstant^{6} er opbygget med en vinkelmåler med vinklen 0^{0} -120^{0} og et lille hjul man kan justere på.

Dette lille hjul angiver antal minutter samt sekunder. Sekstanten er desuden opbygget med to spejle med nogle filtre så solens stråler ikke ødelægger øjet. Man indstiller sekstanten så man i venstre spejl kan se horisontlinjen, og derefter justerer man på minut og sekund hjulet og vinkelmåleren, så solens underkant er lige over horisontlinjen. Ved hjælp af minut og sekund hjulet kan man se, hvor man befinder sig ved breddegraden. Det eneste man nu mangler, er sin position i forhold til længdegraderne, og dette gøres ved hjælp af, at man ved nogle beregninger fra sine målinger med sekstanten kan regne sin position i længdegraden, men som det sidste er det også nødvendigt med et

opslag, som findes i en nautisk almanak^{7}. Nautiske almanakker er tabeller over nogle udregninger som

astronomer har udregnet. Dette indebærer udregningen af astronomiske stedlinjer anvendte

himmellegemers deklination, timevinkel og op- og nedgangstider givet for hver time i året^{8}.

1

http://da.wikipedia.org/wiki/Navigation

2

http://da.wikipedia.org/wiki/Sekstant

3

http://www.cozmo.dk/bio/brahe/instrumenter.html

4

http://da.wikipedia.org/wiki/Oktant

5

http://en.wikipedia.org/wiki/Sextant

6

http://galathea3.emu.dk/tvaerfagligt/sekstant.html

7

http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/nautiske_almanakker

8

direkte fra http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/nautiske_almanakker

Side 7

Side 3 af 25

Almanakkerne indeholder blandt andet også stjernekort, oplysninger om måne og solformørkelse, men også oplysninger om planetens stilling samt månens.

GPS -GLOBAL POSITIONING SYSTEM

For at gå i dybden med GPS-navigation skal vi have en grundviden. Jeg vil i følgende afsnit beskrive, hvordan en GPS fungerer, det vil sige opbygningen af GPS. Jeg vil komme ind på satellitterne, der kredser rundt om vores planet, kontrolstationerne, signal strukturen og signalforringelse.

GPS standarden blev udviklet af det amerikanske forsvarsministerium. NAVSTAR Global Positioning System, som det hed dengang, blev officielt taget i brug i 1973. Det amerikanske forsvarsministerium ville bruge GPS til militære formål, men som vi ved i dag, så blev deres projekt åbnet op, så almene borgere kunne bruge det. Da GPS systemet blev færdigudviklet d. 8. december 1993 blev det lanceret til offentligheden, så private samt kommercielle virksomheder kunne have gavn af dette projekt.

Amerika brugte stadig GPS systemet til militær forbrug.

GPS navigation bruges til mange ting, hvor nogle bruger det til rutevejledning når man kommer til et fremmed land, eller andre prøver at finde den korteste rute fra A til B, men det man ikke tænker over er, at rigtig mange moderne elektroniske apparater egentlig er udstyret med GPS modtager. Men ikke kun det bruger man GPS navigation til. En ny måde at mindske tyveri på, er ved at placere en GPS modtager i for eksempel et tv. Nogle virksomheder bruger det også som en sikkerhedsforanstaltning.

Et eksempel kan være Dansk værdihåndtering, der har GPS antenner i deres varevogne, så man fra centralen kan se, hvor den specifikke bil er henne. Alt dette vil jeg komme meget mere ind på senere henne i denne opgave.

GPS systemet er det amerikanske navigationssystem, men også nationer er i gang med at udvikle deres eget navigeringssystem med deres egne satellitter. Under dette kan nævnes vores eget EU

                  9                               10
projekt kaldet Galileo eller Ruslands projekt kaldet GLONASS . Disse to navigationssystemer er dem,

der er mest fremtræden verden over med hensyn til kommende navigationssystemer. Dog findes der

også andre projekter som er i gang hos andre nationer, her i blandt kan Kina(COMPASS^{11}),

          12             13
Indien(IRNSS ) og Japan(QXZZ ) nævnes.

9

http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_%28satellite_navigation%29

10

http://en.wikipedia.org/wiki/GLONASS

11

http://en.wikipedia.org/wiki/COMPASS_navigation_system

12

http://en.wikipedia.org/wiki/IRNSS

13

http://en.wikipedia.org/wiki/QZSS

Side 8

Side 4 af 25

OPBYGNING AF GPS OG SATELLITTERNES FUNKTION

Da man lancerede NAVSTAR GPS^{14}, som senere hen blev til det vi kalder GPS, så havde man

dimensioneret systemet til 24 satellitter, men i 2002 besluttede det amerikanske forsvar at få yderligere 4 satellitter ind i deres GPS

system, så der var 28 satellitter i alt, så der altid ville være 24 aktive^{15}

                                                  15
satellitter(en illustration til højre viser hvordan satellitterne kredser

om jorden). Grunden var, at hvis nogle satellitter skulle vise sig at gå ned eller fejl estimere en afstand, så har man altid de resterende satellitter til at være en slags ”back up”. Satellitterne bevæger sig rundt om jorden, og de befinder sig på en højde på 20.200 km over jordens Satellitterne følger en bestemt overflade. En satellits omløbstid er 12 timer regnet i stjernetid.

Stjernedøgn er det der svare til 23 timer og 56 min., altså 4 minutter kortere end et døgn målt på jorden. Hver satellit er udstyret med såkaldte atomure, hvilket er meget præcise ure. Der er 4 atomure, hvor

to af atomurene er udstyret med stoffet cæsium^{16}, og de andre to
atomure er udstyret med stoffet rubidium^{17}. Som vi ved er 1 sekund

defineret ved 70 periodetider af den stråling der svarer til skiftet mellem to energiniveauer i elektronernes spin i et cæsium-133-

atom^{18}. Denne præcision er vigtig for satellitterne, hvilket

jeg kommer ind på længere henne. Den største forskel på cæsium og rubidium er, at cæsium har en større stabilitet i lange tidsintervaller, mens rubidium har større stabilitet i kortere tidsintervaller i forhold til cæsium, derfor bruger man to forskellige stoffer. Der findes et mere stabilt stof til atomure, som hedder hydrogen-maser, men det er 5 gange så dyrt i forhold til de to fornævnte stoffer.

                                 − 12
Hydrogen-maser giver en fejl på 0,5 10 s/s pr. sekund ⋅ .

14

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 27-29.

15

http://www.emu.dk/gym/fag/ge/Eksperiment/GISogkort/gps.html

16

http://da.wikipedia.org/wiki/C%C3%A6sium

17

http://da.wikipedia.org/wiki/Rubidium

18

http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock

Figur 1.

Her ses en illustration bestående af satellitter i kredsløb om jorden, de befinder sig i 20.200 kilometers højde.

Disse satellitter kredser i 6 forskellige kredsløbsbaner.

rute, så uanset hvor man befinder sig på jorden vil man mindst kunne modtage 4 satellitters signal.

Figur 2.

Præcision og stabiliteten af de forskellige stoffer. Som man kan se er rubidium meget præcis i de små intervaller mens cæsium er mere præcis i de højere intervaller.

Side 9

Side 5 af 25

Se figur 2 for mere information om stabiliteten^{19} for de forskellige stoffer i et atomur. Grunden til, at

man bruger 4 atomure i stedet for 2 er på grund af stabiliteten, da man vil undgå et svigt. En satellit har to solcelleplader, hvorpå solens stråler kan ramme solcellepladen, som kan omdannes til energi, så satellitten kan sende og modtage signal fra et GPS apparat. En satellit er i sig selv billig i drift mht.

energi, men når satellitten først selv skal bruge kræfter på at flytte sig til en bestemt position, evt.

ændring af omløbsbane, så skal satellitten bruge energi, som den har lageret vha. solcelle pladerne.

                                                                       20
Denne afgørelse om flytning af en satellit tages af det amerikanske forsvarsministerium .

KONTROLSTATIONER

For at vedligeholde GPS nøjagtigheden er det nødvendigt med vedligeholdelse, dette

                                 21
indebærer i, at der er 5 kontrolstationer , der

sørger for at vedligeholde satellitterne. De

røde prikker, der kan ses på figur 3^{22} viser

kontrolstationerne. Hovedkontrolstationen ligger ved Colorado Springs, mens de resterende er spredt rundt i verdenen. De lyserøde prikker er kommende stationer. Det kontrolcentrene har til formål er at modtage de kontinuerlige signaler fra satellitter og beregne afstanden til dem. De beregnede data sendes til hovedstationen, hvor der kontrolleres om satellitten har nogle fejl samt om satellitten holder sin baneposition. Disse fejl kaldes efenerider. Når fejlene er rettet, sendes data fra kontrolstationen til de enkelte satellitter, og derved rettes fejlene.

19

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 37 tabel 4.1

20

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 29-30.

21

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 29-30.

22

http://www.kowoma.de/en/gps/control_segment.htm

Figur 3.

5 hovedstationer er placeret spredt på jorden. De 5 kontrolstationer har til formål at præcisere satellitterne. De ligger hhv. på Hawaii, Kwajalein,

Diego Garcia, Ascension Islands og Colorado

Springs. De lyserøde prikker er kommende kontrolstationer.

Side 10

Side 6 af 25

SIGNALSTRUKTUREN

Satellitterne udsender to slags bærebølger kaldet L1 og L2, som er højfrekvente. Disse bærebølger har

en grundlæggende frekvens, desuden har de to koder en C/A-koden (coarse/acquisition) på 1,023MHz

samt P-koden (precise) på 10,23 MHz. Koderne er dannet ud fra den grundlæggende frekvens på

10,23 MHz men ganget med hhv. 0,1 og 1,0. C/A-kodens resulterende frekvens er således
0,1 10,23MHz 1,023MHz⋅= mens P-koden er dannet ved 1,0 10,23MHz 10,23MHz⋅=. Koden bæres af

, bølgelængdens frekvenser, da satellitternes signaler, som modtager lave frekvenser, bliver meget mere påvirket end, hvis de modtog med høje frekvenser. De lave frekvenser gør signalerne mere følsomme, og dette vil skabe problemer med navigationsapparaternes nøjagtighed. Koderne benyttes

til kodemåling. L2 bærebølgen bærer kun P-koden, mens L1-bærebølgen både indeholder C/A koden
samt P-koden. Hver enkelte satellit bærer en variation af C/A koden, denne variation er bestemt ved

et matematisk udtryk. Deraf kan man blandt andet bestemme hvilken satellit signalet stammer fra.

                                    61 −
Længden af C/A koden er 0,001s 1,023 10 s 293m 300km ⋅ ⋅ ⋅ = , de 293m er bølgelænden på C/A

koden, samt at 0,001s er længden af koden. Længden af P-koden er

6 1 11 ts ts

7dg ,23 10 s 29,3m 1,8 10 km^{−} ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅. 7dg 24 3600 ⋅⋅ svarer til 266 dage, hvilket er

dg dg dg dg længden af koden og 29,3 er bølgelængden på P-koden.

SIGNALFORRINGELSE

Når GPS anvendes så er det bevidst, at civile brugere har et svagere signal end militæret, der har en

                                                                       23
meget præcis måling. Anvendelse af GPS navigation er opdelt i to autorisationsgrupper . SPS står for

standard positioning service og PPS står for precise positioning service. Forskellen på disse to grupper er, at den ene SPS er for civile brugere, den er som regel mindre præcis med et spænd på 2m-40m, mens PPS kan præciseres med en nøjagtighed på under 2cm. Af sikkerhedsmæssige oversager, så har det amerikanske forsvarsministerium valgt at kryptere PPS med P-koden. Forskellen ligger i at P-

koden har ti gange højere opløsning end C/A-koden, hvilket der allerede heri ligger en forringelse på

                                                24
C/A koden. Kryptering af P-koden kaldes Antospoofing(AS) . AS bygger på en matematisk algoritme,

som omformer P-koden til en såkaldt Y-kode. Denne algoritme har civile borgere ikke adgang til, og derfor kan jeg ikke komme nærmere ind på dette. Y-koden kan ikke måles ved pseudoafstande, da

23

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 34-35.

24

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 35

Side 11

Side 7 af 25 koden er krypteret, medmindre modtageren kan genere en kopi af den krypterede kode(hvilket kun

det amerikanske forsvarsministerium kan). C/A koden har også haft en kryptering på, så GPS

apparatet lavede ”fejl” med vilje, men den 2. maj år 2000 valgte man at fjerne denne kryptering, da GPS apparaterne var alt for upræcise, dette medførte til at nøjagtigheden på GPS modulerne blev ti fordoblet. Det amerikanske forsvarsministerium kan til hver en tid tilføje krypteringer, så der sker en forringelse i GPS systemet for eksempel i situationer som krig. Men kun krigsområdet bliver unøjagtig, så almene borgere i andre områder fortsat kan bruge GPS modulet.

PRÆCISION OG NØJAGTIGHED

I dette afsnit vil jeg komme ind på dele af matematikken bag GPS systemet. Blandt andet hvorfor der skal 3 men i praksis 4 satellitter til et velfungerende navigationssystem.

PSEUDOAFSTANDE

P-koden som vi har læst om tidligere er forbeholdt det amerikanske forsvar, hvilket gør at jeg ikke kan beskrive noget om den med hensyn til pseudoafstande. Til gengæld har vi vores

C/A kode som sendes ved hjælp fra en

satellit, hvor modtageren generer en kopi, som er helt unik for den enkelte satellit. Når koden modtages fra satellitten, så forskydes koden med tid, indtil der er maksimal overensstemmelse med den af modtageren genererede kode. Målingen forgår ved, at

C/A koden omdannes til tid^{25} og registreres,

dette sker hvert millisekund, så det vi egentlig måler er et millisekund eller omsat

til afstand, en brøkdel af C/A-kodens længde på ca. de 300km. Vi ved, at satellitterne befinder sig i
20.200km’s højde, men vi ved ikke, hvor mange C/A-kode længder vi skal bruge. Vi formår dog

alligevel at måle med stor præcision, da vores ukendte længde kan løses ved hjælp af foreløbige koordinater. På figur 4 er der illustreret en pseudoafstand mellem en satellit og en modtager. n

betegner antal af hele kodelængder, hvor L betegner kodelængden. T dT+ er den målte forskydning.
                                                             k

25

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 51.

figur 4.^{25}

Pseudoafstanden mellem satellit P og modtager k

Side 12

Side 8 af 25 c er signalets udbredelseshastighed, hvilket svarer til lysets fart i vakuum. Pseudoafstanden kan nu

beregnes således^{p}_{k} = ⋅ + + ⋅ n L T dT c ( )_{k}. Hvis vi nu skal finde ud af den geometriske afstand mellem

r satellit og modtager, så har vi et matematisk udtryk som ser således ud

   2   22
  p    PP
( ) ( ) ( )

p

p = − + − + − X X Y Y Z Z

k k k k

, denne formel kender vi fra vektor i rum, forskellen er bare at denne formel har 3 ubekendte. De ubekendte led er

( )_{,}

X ,Y ,Z k k k mens de kendte led er

( )^{p}^{PP}

X ,Y ,Z

(da det er

GPS modulets koordinater), nu har vi den geometriske afstand og derved kan vi finde ud af, hvad

pseudoafstanden er. Men! vi skal huske at tilføje ledet dT_{k}, som er ur fejlen i GPS modtageren, ganget

                                         p
                                            p
med c. Vi kun nu beskrive pseudoafstanden til = + ⋅ p dT c . Det er nu her vi får forklaringen om
                                            kk
                                         k

r hvorfor vi netop skal bruge 4 satellitter, hvis vi skal have højst præcision og ikke kun 3 satellitter. Hvis

vi udvider p^{p}_{k}, så udtrykket til^{p} og det vil sige, at pseudoafstandens

   2   22
  p    PP
( ) ( ) ( )

p_{k}

= − + − + − X X Y Y Z Z

k k k

formel vil se således ud^{p}_{k}. Vi har nu 4 ubekendte nemlig,

     2   22
    p    PP
r ( ) ( ) ( )

k

= − + − + − + ⋅ X X Y Y Z Z dT c

k k k

( )^{og}

X ,Y ,Z k k k

dT_{k}. Mens vi kender samt c. Derfor er det nødvendigt med 4 satellitter og ikke 3,
( )^{p}^{PP}

X ,Y ,Z for at få en præcis navigation. Hvis vi kun brugte 3 satellitter ville vi ikke have ur fejlen fra GPS modtageren med, og dette ville være et problem, da GPS modtageren normalt har et Quartz ur, som ikke er lige så præcist som et atomur, som findes i satellitterne, og derved ville der være en tidsforskel mellem signalets sender og modtager.

Her har jeg beskrevet den ene faktor for, at GPS navigation kan gøres muligt ved hjælp af matematik.

Jeg vil komme ind på endnu en faktor, der har med matematikken at gøre, nemlig positionering med GPS. Det er også i det kommende afsnit, der fortælles, hvorfor der i princippet kun er brug for 3 satellitter men ikke 4, men af præcisions grunde er det nødvendigt med 4.

Side 13

Side 9 af 25

POSITIONERING

Når et GPS apparat skal finde sin egen position gøres dette ved hjælp af komplekse algoritmer, og derved undgår GPS modulet at have større væsentlige fejlkilder og har nemmere ved at finde sin egen position. I dette afsnit vil jeg gennemgå princippet, da selve beregningerne er meget komplekse. I dette princip lader vi som om, at tiden mellem det præcise atomur og det upræcise Quartz ur i GPS modtageren er total synkroniseret (selvom dette ikke ville lade sig kunne gøre) så den egentlige ur fejl er en faktor vi ikke kigger nærmere på. Som nævnt tidligere så vil GPS modulet kunne beregne afstanden mellem modtager og afsender af

signalet. Denne afstand/signal kalder vi^{1} 26. En satellits

r signal sendes ud i alle retninger, det vil sige at der vil dannes en cirkel rundt om midtpunktet (satellitten),

P1

hvor^{1} er radien. Vi ved at afstanden fra til GPS

r

P1

modulet er^{1}. Det samme gælder de to andre satellitter

r

hhv. og, hvor henholdsvis^{2} og^{3} er radien. Da

P2

P3 r r

GPS modulet befinder sig på et bestemt punkt på overfladen, hvor alle tre kugler skærer hinanden, som ses på figur 5, må man befinde sig på et fælles skæringspunkt for alle tre kugler, det vil sige et punkt hvor alle tre kugler skærer hinanden i samme punktkoordinat. Vi har nu ud fra dette 3 ligninger med 3 ubekendte, og det er ikke bare lige at finde ud af, hvad der er hvad. Vi har dog en metode

               27
kaldet trilateration . Metoden fungerer således, at de tre punkter i rummet ligger i et plan, og derfor

gøre det muligt for os at bestemme vores koordinatsystem, og derefter kan man altid placere centrum af cirklerne i det 2 dimensionale plan, altså xy-planet, hvor den ene cirklens centrum ligger i origo. Dette kan ses på figur 5. Ligningerne til de tre kugler vil således være

( ) 1 r x y z= + +

2 2 2 2

1

( ) 3 r (x i) (y j) z= − + − +

2 2 2 2

3

For at finde x koordinatet trækker jeg nu ligning 2 fra 1.

26

Kilde: http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration & The Mathematics of GPS af Richard B. Langlay, s. 2

27

http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration

figur 5.^{26}

( ) 2 r (x d) y z= − + +

2 2 2 2

2

Side 14

Side 10 af 25

x 2 1 =− ( ) ( )

r r x y z ((x d) y z ) − = + + − − + +
 12

2 2 2

r r 2dx d − = −
 12

2 2 2

r r d −+
 12

x =

2d

Nu siger metoden at jeg skal trække ligning 3 fra 1, for at finde y koordinatet.

y 3 1 =− ( ) ( )

r r x y z ((x i) (y j) z ) − = + + − − + − +
 13

2 2 2 2

r r 2x i i 2y j j − = ⋅ − + ⋅ −
 13

2 2 2 2

r r 2 x i i j 2 y j − − ⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅
 13

1 3 1 3

2 2 2 2 2 2 2

1 3 1 2

r r 2 x i i j r r i j x i − − ⋅ ⋅ + + − + + ⋅
y = = −

2 j 2 j j ⋅⋅

r r i j i (r r d ) − + + ⋅ − +
y =−

2 j 2 j d ⋅ ⋅ ⋅

Nu mangler jeg at isolere Z^{28}, dette gør jeg ud fra den første ligning:

2 2 2 2

r x y z= + +
 1

2 2 2

z r x y = ± − −
      1

          22
  2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r r d r r i j i(r r d ) − + − + + − +

     2
zr = − − −
    1

1 2 1 3 1 2

          22
  2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ r r d r r i j i(r r d ) − + − + + − +

      2
zr = − − − −
      1

1 2 1 3 1 2

2d 2j 2jd

2d 2j 2jd

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∨

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ud fra dette kan vi således se, at vi får to koordinatsæt(da z giver to resultater), hvor det der ligger tættest på jorden er det rigtige koordinat. Ved denne metode antog vi, at tiden mellem GPS modulet og satellitten var synkroniseret, men da dette ikke er tilfældet i virkeligheden bruger man 4 satellitter, og får dermed urfejlen som den sidste ubekendt med. Dette er det grundlæggende princip mht.

matematikken bag positionering.

28

CAS samt http://www.wolframalpha.com/, er brugt til udregninger og udledninger.

Side 15

Side 11 af 25

ATMOSFÆRISKE FORSTYRRELSER

I de forrige afsnit har vi beskrevet om de matematiske betragtninger for, at GPS systemet fungere optimalt med præcisionen og nøjagtigheden, men der også nogle fysiske betragtninger, som man skal

have styr på. Dette indebærer troposfæren og ionosfæren. Figur 6^{29} viser jorden og den GPS

påvirkelige atmosfære. Ionosfæren er den atmosfære, der befinder sig 50-60 km fra jordens overflade og op til ca. 1500 km’s, hvor magnetosfæren ligger. Atmosfæren hedder ionosfære, fordi den ultraviolette stråling fra solen skaber en ionisering af atomerne, så størstedel af atomerne bliver spaltet i ioner og elektroner. Densiteten af de spaltede atomer (ioner og elektroner) varierer efter

                               30
årstid, tidspunkt og solpletaktiviteten over en årrække, derfor er der mange faktorer der spiller ind.

De frie elektroner, der befinder sig i ionosfæren påvirker radiobølgens udbredelse med en faktor, der

svarer til omvendt proportional med kvadratet på frekvensen^{31}. Når vi beskriver om

udbredelseshastighed af signaler taler man om to forskellige hastigheder. Fasehastigheden er den man normalt tænker på som er lig med bølgelængden λ ganget med frekvensen f hvorimod

,

gruppehastigheden er om de overlejrede informationer, for eksempel vores P-kode eller C/A-kode,

hastighedsudbredelse. Begge hastigheder påvirkes lige meget, men med modsat fortegn forskellen er, at fasehastigheden forøges – altså koden formindskes og fasen fremskyndes, mens

gruppehastigheden nedsættes^{32}.

Ionosfærefejlen, som vi antager

som d_{ion}. Ionosfærefejlen kan

måles som afstanden mellem et

GPS modul og en satellit. Dette

kan angives som dN_{ion e} =
f^{2}

40,3

∫^{,}

29

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39

30

http://www.gpsnet.dk/showcontent.php?nID=385&showSingle=1

31 sætning med kursiv direkte fra GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39

32

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39

Figur 6^{29}

Side 16

Side 12 af 25

hvor f som tidligere nævn er frekvensen på radiobølgen og N_{e} er elektrodensiteten, der er langs

                                      33                                          16
signalvejen. Elektrodensiteten angives i TEC værdi. Enheden hedder TECU, som svarer til 10

elektroner pr. kvadratmeter. Siden elektrodensiteten er variabel, kan der forekomme fejlbidrag på 5-

20m. Faktorer der har indflydelse på dette kan være solpletaktiviteten, der ændrer sig med en bølgelængde på 11 år. Jo højere solpletaktiviteten er jo højere er den ultraviolette stråling.

Ionosfæreforsinkelsen, som er omvendt proportional med kvadratet på frekvensen kender vi til nu, men måler man vha. P-koden på de fornævnte bærebølger L1 og L2, så kan man desuden omregne forsinkelsen til en afstandskorrektion som vi benævner som d. Formlen er således

d r r = − ⋅ ( )

f^{2}_{L2}

L1 L1 L2

ff^{22}_{L2 L1} −

, hvor  d  er afstandskorrektion på bærebølgen L2.   r og r er
         L1                                          L1 L2

pseudoafstanden fundet ved hhv. L1 og L2’s bølgelængde samt

f og f
L2 L1

er frekvensen på hhv. L1 og L2.

Troposfærefejlen behandler faktorer, der udsætter signalet for refraktion, der er en funktion af lufttryk, luftfugtighed og temperatur. Da denne atmosfære fejl findes i to atmosfære både stratosfæren og troposfæren har man valgt at omtale det som en samlet fejl kaldet troposfærefejlen.

I denne atmosfære, hvor signalet bliver forringet er det ikke signalets frekvens, der har en indflydelse, og derfor kan troposfærefejlen kun korrigeres vha. modeller. Den mest nøjagtige model man har fundet frem til er Saastamoinen modellen fra 1973. Modellen er således.

f 1 0,00266 cos 2 0,00028H= − ⋅ ϕ − ( )  ( )
s

samt  d 0,002277 f sec 90 elv P 0,05 e = ⋅ ⋅ − ⋅ + + .
       trop s

⎛⎞ 1255

T

⎛⎞

⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠

⎝⎠

Forklaring af leddene på næste side.

T står for temperaturen, angivet i kelvin, ved GPS modulets antenne, P står for tryk i millibar, e er det

                                                   34
partielle tryk for vanddampen i millibar, elv er elevationsvinklen for satellitsignalet(vinklen i forhold

til vandret), står for breddegrad og H står for højde over havniveauet som angives i km. Ledet f_{s} er

ϕ en faktor, der korriger GPS modulets antennes placering på jorden. Hvis vi kigger overordnet på denne model vil der være en restfejl på 3 cm tilbage på satellitternes signaler som modtages i zenit.

Grundet, at det er bedst at modtage signaler i zenit er, fordi siignalet skal gennem mindst atmosfæriske forstyrrelser. Så jo lavere elevationsvinkel der er for signalet, jo højere er usikkerheden.

På bilag A kan der ses en oversigt over nogle fejlbidrag.

33

http://en.wikipedia.org/wiki/Total_electron_content

34

http://da.wikipedia.org/wiki/Koordinatsystem_for_himmelrummet

Side 17

Side 13 af 25

PÅVIRKNINGEN AF RELATIVISTISKE EFFEKTER VED GPS MÅLING

DEN SPECIELLE RELATIVITETSTEORI

                                                                      35
Som 25 årig publicerede Albert Einstein sin artikel om den specielle relativitetsteori . Den specielle

relativitetsteori omhandlede to simple forudsætninger. Den første omhandlede, at alle fysikkens love

forblev de samme i alle inertialsystemer^{36}. Denne teori kaldes speciel, fordi der ses bort fra nogle

faktorer som gravitationen. I det følgende afsnit vil jeg komme ind på hvordan to konsekvenser af den specielle relativitetsteori blev udledt.

TIDSFORLÆNGELSE

For at forstå tidsforlængelse^{37} er det en god ide med et tankeeksperiment. Hvis vi siger at
tændstikmanden L er sammen med et lys ur^{38}. Vi har to inertialsystemer hhv. I^{’} og I. Dette kan
defineres som, at I^{’} bevæger med en fart(v) i forhold til I. De to inertialsystemer har således også en
fælles x-akse. Som vist på figur 7, befinder der sig en_{L}
person L i inertialsystemet I^{’}. Afstanden fra lyskilden til
det spejl, der er opsat har afstanden d, og den tid, som L_{I}^{'}

tager tid på, er den tid det tager for lyset at ramme spejlet og vende tilbage til den oprindelige kilde. Denne

tid kalder vi tΔ_{0} nullet ved delta t viser, at tiden er målt
ved en stilstand i I^{’}. Vi ved desuden, at lyskilden rammer
spejlet og returnere, så det betyder, at lysets længde er_{Figur 7}

2d.

35

http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity

36

http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem

37

http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse

38

http://viden.jp.dk/binaries/an/8106.pdf

Spejl d

Side 18

Side 14 af 25

Vi ved desuden, at c som er lysets fart er den samme i alle inertialsystemer. Nu kan man ifølge L’s

observationer regne sig frem til, hvor lang tid lyset tager om at vende tilbage til sin lyskilde. Δ= t_{0},

2d c

som også kan udledes til d =, hvilket jeg kommer ind på senere hen, hvorfor jeg også skal bruge

ct ⋅Δ_{0}

2 d.

I et andet inertialsystem har vi en person N. Det ville være oplagt at tro, at N ville få samme resultat som L på sidste side.

           ’
Men pga., at I bevæger sig ift. I,

vil der forekomme en lysstråle, som bevæger sig længere end den på figur 7. Dette ses også på figur 8, grundet fordi vi havde den forudsætning, at lysets fart er den samme i alle inertialsystemer. Derfor kan vi

nu således se, at person N’s tid_{Figur 8}

vil blive længere end den L måler. Tiden som N måler må

så være Δ= t.

2l c

Vi kender Pythagoras’ læresætning og kan dermed finde l, som er udtrykt ved d, v og Δt. Vi har desuden fundet frem til, hvad d er, og derved substituere jeg ledet ind i det udtryk vi kommer frem til.

Derefter isolerer jeg Δt.

Isolering af Δt^{39} kan ses til

højre. Jeg har nu fundet frem til tidsforlængelsen vha. mit tænkeeksperiment.

39

http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse

I I^{'}

N d vt⋅Δ

Side 19

Side 15 af 25

LÆNGEFORKORTELSE

Længdeforkortelsens forklaring samt udledning kan ses i bilag B, hvor forklaringen findes.

RELATIVITETSTEORIENS TIDSFORLÆNGENDE EFFEKT

                                           40
Vi har tidligere undersøgt, hvordan tidsforlængelse

med inertialsystemer er, det er dog ikke det samme med GPS. Hvis vi antager satellitternes ure er synkroniseret med GPS modulernes ure og ser

                                                41
bort fra denne fejlkilde, og en satellit bevæger sig i et ECI koordinatsystem (Et ECI koordinatsystem

er hvor origo er i jordens massemidtpunkt, men den rotere således ikke om en akse. En position

beregnet i ECI bliver til WSG-84^{42}.), så kan man således betegne, at satellitten bevæger sig rundt om

centrum, og derved kan man sige, at satellitten er det andet inertialsystemets holdepunkt. Dette indebærer, at satellitten ikke har en konstant hastighed ift. Jordens fikseret jordens fikserede system.

Der er også andre faktorer, der spiller ind som, at satellittens omløbsbane ikke er cirkulær, hvilket kan variere på satellittens fart, men denne sidste påstand ser vi bort fra, da den er minimal, når vi regner et eksempel senere hen. Et argument kan være for, at vi ser bort fra dette er, at omløbsbanen for satellitten er så stor, og at satellittens fart er næsten konstant. Vi har tidligere udledt en formel for

tidsforlængelse: Δ= t. For at forklare, at det er nødvendigt med at tage disse relativistiske
v^{2}

1 −
    2

Δ t c effekter med, så vil jeg give et eksempel på, hvor jeg udregner, hvad tidsforlængelsen er. For at beregne det her er det nødvendigt med nogle data. Jordens masse Jordens radius har en værdi på

6378km. Vi ved at afstande mellem satellit og jordens overflade er 20200km. Vi kan nu regne os frem til tidsforlængelsen(næste side).

40

http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse & http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity

41

earth-centered-inertial http://en.wikipedia.org/wiki/Earth-centered_inertial

🡪

42

http://en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System

Side 20

Side 16 af 25

v^{2}

FF_{res T} =

2

2

2 2 2

3 3 3 jord satelit til jordoverflade

11 2 2

               24
M 5,97223 10 kg =⋅
  jord

a =

R

M m M v M M ⋅

m a G m G G V G ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇔ = ⋅ ⇒ = ⋅

R R R R R

R R d R 6378 10 m 20200 10 m 26578 10 m = + ⇒ = ⋅ + ⋅ = ⋅
G 6,674 10 N m kg^{−−} = ⋅ ⋅

5,97 10 kg ⋅^{24}

2 11 2 2

26578 10 m ⋅^{3}

2

2

v^{2}

1 −
    2

V 6.674 10 N m kg = ⋅ ⋅ ⋅^{−−}

v 203 =

m

v 3872,58 =

s denrelative tidsforskelkan via. denrelative relitivitetsteori udledes til

Δ t 1 1 v

= − ⋅ 1

t 2 c c viskalnuregnehvad det giver af tidsforskelpå1d øgn

1 ( ) 3872,58^{2}

( )

1 ( ) 3872,58^{2}

( )

− 11
Δ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅_{2} t 8,00s
3 10 m / s ⋅^{8}

− 11 8

P 8,00s 3 10 2,3km = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
 afstand
                  2

3 10 m / s ⋅^{8}

2

På1 døgn giver det en fejli afs tandenpå

2

Dog skal dette tal trækkes fra et tal man udregner fra den generelle relativitetsteori, hvilket jeg vil fortælle om efter Sagnac effekten og runde af med, hvor stor den endelige afstand er.

SAGNAC EFFEKT

Side 21

Side 17 af 25

Sagnac effekten^{43} er afgørende for, at urene bliver så præcise som muligt. Fra relativitetsteorien ved

vi, at lyset i vakuum er konstant, men da det ikke er tilfældet her, da vi befinder os i en roterende referenceramme. Hvis vi nu antog, at vi sendte to lysglimt afsted i hver sin retning ved ækvator, så vil vores lysglimts startpunkt være rykket sig. Dette skaber så en tidsforskel, da vores lysglimt ikke befinder sig på det sted de blev sendt ud fra. Vi kan ud fra en formel finde størrelsesforskellen mellem

lysstrålernes ankomst._{2} Δ= t. Forskellen i tid angives som delta t, A står for arealet af den

4A ⋅ ⋅ω c cirkel som lysstrålen har bevæget sig i, mens ω er vinkelhastigheden. For at dække jorden skal man kun sende lyset halvvejs rundt, dvs., at delta t må være divideret med 2. Ved ækvator er

vinkelhastigheden 7,2921 10 s^{51} ⋅^{−−} og jordens radius ved ækvator er bestemt til at være 6378km. Vi

indsætter nu i formlen. Δ = = ⋅ ⇔ Δ = t 207,089 10 s t 207,089ns
                      jord jord
                                       2

( )

2 6378 10 m 7,2921 10^{−} ⋅ ⋅ ⋅π⋅ ⋅^{35}^{2}
− 9

c

Dette er den maksimale afvigelse, da vi har måle ved ækvator, da ækvator har den største fart. Vi kan nu finde frem til ved at indsætte i pseudoafstandsformlen, at dette vil give en afvigelse på

P 207,089ns c= ⋅ ≈ 62m, i afvigelse er også en del, hvilket er vigtigt at tage hensyn til.

GENERAL RELATIVITET

En relativistisk effekt man skal tage højde for er den forskel, der forekommer ved satellitten i forhold til jorden overfladens tyngdefelt. Hvis man skal beregne denne effekt gøres det med Einsteins field

equations^{44}, som består af en række ligninger, som den generelle relativitetsteorien forudsætter. Det

har kun været muligt at løse denne problemstilling i nogle specialtilfælde, hvor tyngdefeltet omkring en centralmasse roterer. Man har desuden vha. dette tilfælde fundet ud af, at uret vil gå hurtigere desto længere man kommer ud i tyngdefeltet, hvis man vel og mærket observerede dette udenfor jordens tyngdefelt. Man kan i princippet sige, at dette er en modsat virkning af tidsforlængelsen, og dette indebærer, at den har større numerisk indvirkning. Dette betyder så, at atomuret vil gå

hurtigere end urene observeret på jorden^{45}. Frekvensen på urene på jorden går med 10,23 MHz,

hvilket GPS signalet også sender med, men pga. denne relativistiske effekt har man ændret

frekvensen på atomurene til at gå med en frekvens på 10,543 MHz^{46}. Herunder vil jeg vise

den generelle relativitets påvirkning af GPS systemet. Til dette skal vi tilbage i et tidligere studie, hvor

vi har fundet ud af at y a x=⋅^{N} som kan udledes til =⋅ N. Uret i satellitten som befinder sig i

ΔΔ yx yx

43

http://en.wikipedia.org/wiki/Sagnac_effect

44

http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations

45

Physical Geodesy by Bernhard Hofmann-Wellenhof and Helmut Moritz (Paperback - 28 Aug. 2006), s. 109-111

46

http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1Color.pdf side 16.

Side 22

Side 18 af 25

rummet, går hurtigere som følge af større E ( E_{pot} =−) Vi kender udtrykket

pot

G M m ⋅⋅

R

     11
E h f og f T = ⋅ = = , deraf kan udtrykkes at = = =                     , sidste led

1 Δ Δ Δ T f E

T T f E m c ⋅^{2}

−

RR_{jord satellit}

G M m G M m ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−+

reduceres nu  =−                , nu kan vi udregne fejlen ved at sætte vores data ind som vi
                  2

⎜⎟_{satellit jord}

Δ⋅ T G M 1 1

T C R R

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠ har fra den specielle relativitetsteori.

( )

11 2 2 24

= ⋅ − = − ⋅ 5.277 10^{−}^{10}

                        2
                   8
T 6378 10 m 20200 10 m 6378 10 m         ⋅ + ⋅ ⋅

⎜⎟ 3 3 3

           −−
T 6,674 10 N m kg 5,97223 10 kg 1 1

3 10 m / s ⋅

vi ganger resultatetmed1 døgn for at fåresultatet idøgn,dog skal videsuden gange med c(lysets fart), da viregner tid tilafstand.

Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎛⎞

⎝⎠

10 2 8 3

Δ T

         −
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⇔ ⋅ 79,17m 13,7 10 m

T

Dette er dog ikke den endelige fejl, da den generelle forlængelse, hvor den specielle er en tidsforkortelse, og derved skal vi for at finde det endelige resultat trække de to resultater fra hinanden, dette viser jeg næste afsnit.

RESULTAT

Resultatet bliver således.

Her kan vi se, at resultatet holder vand ved, at vi også kan sammenligne det fundne resultat med ”Tid

                                   47
- den relative virkelighed” af Ulrik Uggerhøj .

ANVENDELSESMULIGHEDER FREDELIGE OG UFREDELIGE MED GPS

47

Tid - den relative virkelighed af Ulrik Uggerhøj(2005) side 108 nederst.

P fejl afstandpr.døgn −=
 afstand

      33
13,7 10 m 2,3 10 m 11,4km ⋅ − ⋅ =

Δ T

T

Side 23

Side 19 af 25

GPS teknologien bliver mere og mere udviklet og mere avanceret. GPS målingerne bliver mere og mere præcise, og det er en nødvendighed for civile vil have en større nøjagtighed, og derfor er det

vigtigt GPS systemet hele tiden udvikler sig^{48}. Anvendelsesmulighederne indenfor GPS systemet er

enorme. Der findes mange anvendelser man kan bruge GPS til lige fra sporing af sin stjålne båd til, at man skal planlægge at lave noget vejarbejde. En fredelig anvendelse som har haft stor betydning indenfor sikkerhed for sine egne genstande er såkaldte ”Trackers”, disse systemer sporer simpelthen disse ting, hvis de forsvinder. Dog skal det nævnes, at man skal bruge et lille apparat, som man gemmer, så tyven heller ikke opdager apparatet, under en ting eller i sit handskerum. Ved hjælp af disse sporingsapparater kan man spore sine genstande. Dette fungerer således, at signalet sendes til det firma man har købt sit apparat ved, og derved sendes informationerne så videre til mobilen eller en e-mail. En anden smart ting man har gjort med GPS systemet er at integrere det i mobilerne. Dette har været et revolutionerende skridt mod fremtidens teknologi, at man kan integrere en GPS modtager der ikke ændre på mobilens størrelse, men teknologien har simpelthen gjort det muligt, fordi komponenterne bliver mindre og mindre. Men der er mere, HTC Corporation har udviklet et

stykke software, der hedder HTC Sense^{49}. HTC Sense er smart på den måde, at man simpelthen kan

styre sin mobil fra internettet, dette gøres dog ikke vha. fra GPS, men hvis du mister din telefon kan den via. et stykke software finde mobilen med GPS modulet, som mobilerne med det opdaterede HTC Sense, har i sig. Nu er der beskrevet lidt om de fredelige formål om GPS og dens anvendelsesmuligheder, men nu vil jeg fortælle lidt om de lidt mere ufredelige. GPS systemet er et teknisk og teknologisk vidunder, men af alle de gode sider har systemet også nogle negative sider. Her kan nævnes krig, pga. den mere og mere præcise navigation bliver krigsførelse og angrebsmål mere og mere præcise. Både for de ”gode” og de ”onde”. Dette kan være et kæmpe problem, da vi eksempelvis har terrorisme. Jo mere præcis GPS systemet bliver, jo lettere vil de have ved at ramme deres mål. I Krig bruges GPS navigation også, til eksempelvis droner, som fjernestyres. Disse droner, flyver jo uden en bemanding og det er vigtigt at præcisionen samt nøjagtigheden er i top. Men der er også en masse andre ting, som at man har udviklet sporingschip, som man sætter på folk, hvis man vil efterfølge dem. Disse chips er egentlig en blanding af mobilnettet (GSM) og GPS systemet. Disse sporingschips kan også misbruges, hvilket jo kan være risikabelt for vigtige personer, som handelsfolk og lignende, da de evt. kan tages til gidseltagning. Disse ting jeg har nævnt, er blot få af de mange hundrede, hvis ikke tusinde måder man kan bruge navigationssystemet på.

48

GPS Modernization and the Path Forward, s. 15

49

http://www.htc.com/www/press.aspx?id=144266&lang=1033

Side 24

Side 20 af 25

KONKLUSION

Vi har nu været igennem GPS-systemet og fundet ud af, hvordan GPS navigation fungerer. Vi har været igennem, hvordan de gamle navigationsmetoder var, og hvordan GPS navigation fungerer, og hvorfor det i princippet er nok med 3 satellitter, men nødvendigt med den sidste 4. satellit, pga. ur fejlen. Ur fejlen har en stor indflydelse på GPS navigation, som vi fik os regnet frem til, men ikke nok med det, så fandt vi ud af, at urene også skulle være synkroniseret. For at dette kunne være muligt, skulle der beskrives om Albert Einsteins relativitetsteori, både den specielle og den generelle, for begge teorier havde et kæmpe grundlag for eksistensen af det fungerende GPS navigationssystem. Vi har regnet os frem til, hvorfor det er vigtigt med relativitetsteorien og den effekter med, for der kom en fejl afstand på ca. 11 km, hvis man ikke tog denne effekt i betragtning, og det er pr. dag! Man kunne bestemme en satellitmodtagers position vha. 3 ligninger med 3 ubekendte og derved bestemme pseudoafstanden. GPS navigation har en kæmpe indflydelse, den integrere i vores hverdag mere og mere, for jo mere i fremtiden vi kommer, jo mere nøjagtige og præcise målinger er det nødvendigt for den almene borger. Men som nævnt er dette også en risikabel vej at gå, for GPS navigation kan også bruges til ufredelige formål som krigsførelse. Vi har set, hvordan matematikken og fysikken kunne kombineres, hvor matematikken var et redskab til at beskrive fysikken, men stadig have matematikken i sig selv i stor indflydelse, eksempelvis ved positionering. Uden Albert Einsteins relativitetsteorier ville vi aldrig have fået opbygget GPS navigationen, uden kæmpemæssige fejl ville være optrådt.

Side 25

Side 21 af 25

LITTERATURLISTE

WORLD WIDE WEB

http://da.wikipedia.org/wiki/Navigation
http://da.wikipedia.org/wiki/Sekstant
http://www.cozmo.dk/bio/brahe/instrumenter.html
http://da.wikipedia.org/wiki/Oktant
http://en.wikipedia.org/wiki/Sextant
http://galathea3.emu.dk/tvaerfagligt/sekstant.html
http://www.denstoredanske.dk/Bil,_b%C3%A5d,_fly_m.m./S%C3%B8fart/Navigation/nautiske_almanakker
http://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_%28satellite_navigation%29
http://en.wikipedia.org/wiki/GLONASS
http://en.wikipedia.org/wiki/COMPASS_navigation_system
http://en.wikipedia.org/wiki/IRNSS
http://en.wikipedia.org/wiki/QZSS
http://da.wikipedia.org/wiki/C%C3%A6sium
http://da.wikipedia.org/wiki/Rubidium
http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_clock
http://www.kowoma.de/en/gps/control_segment.htm
http://www.emu.dk/gym/fag/ge/Eksperiment/GISogkort/gps.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Trilateration
http://www.wolframalpha.com/
http://www.gpsnet.dk/showcontent.php?nID=385&showSingle=1
http://en.wikipedia.org/wiki/Total_electron_content
http://da.wikipedia.org/wiki/Koordinatsystem_for_himmelrummet
http://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity
http://da.wikipedia.org/wiki/Inertialsystem
http://da.wikipedia.org/wiki/Tidsforl%C3%A6ngelse
http://viden.jp.dk/binaries/an/8106.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Earth-centered_inertial
http://en.wikipedia.org/wiki/World_Geodetic_System
http://en.wikipedia.org/wiki/Sagnac_effect
http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations
http://www.htc.com/www/press.aspx?id=144266&lang=1033

BØGER SAMT PDF FILER FRA VIDENSKABELIGE INSTITUTTER.

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 27-29.

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 29-30.

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 34-35.

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 35

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 37 tabel 4.1

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 39

GPS af Keld Dueholm, Anna B. O. Jensen, Mikkel Laurentzius side 51.

Physical Geodesy by Bernhard Hofmann-Wellenhof and Helmut Moritz (Paperback - 28 Aug 2006), s. 109-111 The Mathematics of GPS af Richard B. Langlay, s. 2

http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2003-1/download/lrr-2003-1Color.pdf

Tid - den relative virkelighed af Ulrik Uggerhøj(2005) side 108 nederst.

GPS Modernization and the Path Forward, s. 15

Side 26

Side 22 af 25

BILAG A: OPSUMMERING AF FEJL BIDRAG

Fejlbidrag | Fejl I pseudoafstand

Satellitur 1 - 2 m (efter modellering)

Banefejl | 1 - 2 m

Ionosfære 1 - 50 m (efter modellering)

Troposfære | Få dm (efter modellering)
Multipath | 1 – 2 m
Korrelation | 0,2 – 1 m

Få cm - dm (med 2 frekvente modtagere)

Tabel er gengivet efter GPS – Dueholm mfl. - s. 48

Side 27

Side 23 af 25

BILAG B: LÆNGDEFORKORTELSE SAMT UDLEDNING

Når begrebet længdeforkortelse skal beskrives, kan det beskrives som når to personer måler en bestemt længde der er lige lang, men ikke får samme resultat, fordi de befinder sig i to forskellige inertialsystemer.

På samme måde, som da vi skulle udlede tidsforlængelsen, så vil vi på samme som først starte med et L tankeeksperiment. Her vil vi kigge på længeforkortelsen i bevægelsesretningen, hvor vi på samme måde som tidligere opstiller to inertialsystemer, i dette tilfælde A og

A^{’}, hvor personerne L og N befinder

sig. I forhold til de to systemer. De

bevæger med en fart, v. Det inertialsystem A^{’} indeholder et instrument (anordning), hvor der befinder

sig en målestok, som i den ene ende har et spejl monteret, mens den anden ende af målestokken er sat sammen med en lyskilde. (Se figur 10)

Den tid som personen L tager tid på, er den tid, tΔ_{0} det tager for lyset at ramme spejlet og vende

tilbage til den oprindelige kilde. Lysets fart, c har en sammenhæng med tiden, ∆𝑡 samt hvilelængden,
                                                                  0

l_{0}.

2l_{0}
Δ= t_{0}

c

I systemet A’ befinder personen N sig, som på samme måde som personen L foretog målinger, men forskellen er blot, at meterstokken har en fart, v, i

forhold til N, som vi er nødt_{A}

til at tage hensyn til.

Personen N indfører

Meterstok

Spejl

Lyskilde

A'

Figur 9

l_{0}

d_{+}

v

l vt ⋅Δ_{+}

A'

Figur 10

L

N

Side 28

Side 24 af 25

størrelserne, som faktisk er længdens l samlede sum, 𝑑_{+} samt ∆𝑡_{+}, som er den ene længde l, som har

flyttet sig ift. en anden længde l’. Ikke nok med det, så indfører personen N også den sidste størrelse,

som N kalder d_{−} denne størrelse er forskellen mellem de to længder, l og l’. Hvis vi kigger på figur 10,

så kan vi se, hvordan lyset bevæger sig i forhold til bevægelsesretningen, samt den strækning, som

lyset bevæger sig i tidsrummet, ∆𝑡_{+}. Derfor kan man faktisk skrive strækningen af lyset, 𝑑_{+} ganget
med tiden, ∆𝑡_{+} samt lysets hastighed, c. Vi får nu følgende:

d l v t = − ⋅Δ
 ++

d t c = Δ ⋅
 ++

Det samme gælder for forskellen mellem længderne, bare med modsat fortegn:

d l v t = − ⋅Δ
 −−

d t c = Δ ⋅
 −−

Vi er faktisk ikke interesseret i lysets strækning samt forskellen af længderne, så derfor vil vi sætte begge ligninger lig med hinanden, så vi får:

l v t c t c − ⋅Δ ⋅ = Δ ⋅
      ++

1

Δ= t_{+}

cv +

Det samme gælder for, 𝑑_{−}:

Hvis vi lægger ∆𝑡_{+} sammen med ∆𝑡_{−}, så får vi den totale tid, ∆𝑡, som faktisk er den tid, som det tager

for lyset at komme fra kilden til spejlet og tilbage til kilden igen.

Δ = Δ + Δ t t t_{−+}

Side 29

Side 25 af 25 l c v l c v ( ) ( ) −−

2 2 2 2

cv^{22} −

⎛⎞ v^{2}

c1 −
      2

ll

Δ = + t

c v c v −+

Δ = + t

c v c v −−

2l c ⋅

Δ= t

2l

Δ= t

c

⎜⎟

⎝⎠

Hvis vi kigger tilbage til afsnittet om tidsforlængelse, så kan vi sætte udtrykket for tiden lig med overstående udtryk. Vi får nu:

Δ t 2l
  0

⎛⎞ v^{2}
v^{2}

c1 −
      2

1 −
    2

v^{2}
c^{2}
v^{2}
v^{2}
c^{2}
c^{2}

Δ = = t

c c

2l 1 ⋅−

2l

Δ = = t

c1 ⋅−

c1 ⋅− ⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

Nu kan vi sætte overstående udtryk lig

2l_{0}

c

, da vi har fundet ud af at delta t er lig med det.

2l 2l
 0

v^{2}
c^{2} ¨
v^{2}

l l 1 = ⋅ −
   0

c^{2}

c c1 ⋅−

=

Nu har vi så fundet frem til længeforkortelsen.