SOP: Elektromagnetiske Kredse i Matematik A og Fysik A

Side 1

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX 3. år

HTX3B

Side 2 af 22

Abstract

The following report is the result of a study project. The purpose of the report is to inform about the aspects of electromagnetic circuits from a join mathematical as well as a physical viewpoint.

Furthermore the report is supposed to describe the LC-circuit and the occultation in which the charges in the circuit move. The report has a mathematical annalistic approach, in the sense that the development from one statement is the result of rearranging, joining, and solving previous statements. To understand the math, you need an understanding of calculus and of logarithms.

The report studies the effects on current when dealing with an inductor, due to the self inductance trying to prevent a change in current. The flow of current at any given point in time has been described for different circuits containing an inductor.

Side 2

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 3 af 22

Indholdsfortegnelse

Abstract ................................................................................................................................................ 2 Indholdsfortegnelse .............................................................................................................................. 3 Indledning ............................................................................................................................................ 4

1. Elektromagnetisme........................................................................................................................... 5

1.1 Magnetisk fluxtæthed ................................................................................................................. 5

1.2 Induktion og induktans ............................................................................................................... 8

1.3 Energi i en spole ...................................................................................................................... 11

2. Kredse ............................................................................................................................................ 12

2.1 RL-kreds ................................................................................................................................... 12

2.2 LC-kreds ................................................................................................................................... 18 Konklusion ......................................................................................................................................... 25 Litteraturliste ................................................................................................................................... 25 Bøger: ............................................................................................................................................. 26 Internetartikler: ............................................................................................................................... 26 Egne Rapporter: ............................................................................................................................. 26

Side 3

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 4 af 22

Indledning

Problemformulering:

”Beskriv begrebet elektromagnetisme og de typiske kredse, hvori dette indgår. Angiv hvorledes spænding, strøm og modstand beregnes i forskellige typer af kredse. Behandl begrebet faseforskydning og de matematiske teorier som muliggør beskrivelse af denne. Beskriv især LC-kredsen og dennes oscillation og resonans.

”Matematisk bør besvarelsen indeholde differentialligninger og evt. komplekse tal.”

Metode

Opgaven vil blive besvaret ved en analytisk gennem gang af området elektromagnetiske kredse. Da opgaven skal være tværfaglig, og derfor både skal ligge vægt på matematik såvel som fysik, vil der blive lagt vægt på at alle trin i beregninger er fortaget, og at alle udsagn er blevet eftervist. Nogle love og definitioner inden for elektromagnetismen, er blevet fundet på baggrund af forsøg, og i disse tilfælde vil de blot blive accepteret, med en kilde anført, og derefter vil de være med til at videre bygge en forståelse for elektromagnetiske kredse. Da viden bliver bearbejdet til ny viden, vil der ikke være kildeangivelser på, med mindre ny viden inddrages i opgaven. Som inspiration til gennemgang og beregning af emnet, er der hovedsagligt blevet anvendt følgende to bøger;

− Hugh D. Young og Roger A. Freedman, University Physics with modern physics, 12.

udgave, Sears and Zemansky’s.

− Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende fysik 2, 3.udgave – 1.oplag, Gyldendal, 1993.

Enkelte steder anvendes rapporter, som er blevet forfattet af undertegnet, som kilde. Det er i tilfælde hvor der bliver lavet en påstand, som forfatteren har grundlag til at lave ud fra tidligere arbejde.

I opgaven behandles kun kredse hvor spændingskilden, hvis til stede, levere jævnspænding. Dette skyldes omfanget af denne opgave. I det tilfælde hvor også kredse med vekselspænding også skulle have været omdiskuteret, ville besvarelsen have været væsentligt mere omfattende.

Side 4

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 5 af 22

Elektromagnetisme

Elektromagnetisme er grundlaget for det meste af nutidens teknologi [1]. Sammenhængen mellem elektricitet og magnetisme blev opdaget af H.C. Ørsted tilbage i 1821, hvor han beviste at en strømførende ledning kan på virke en magnet nål til at give udslag. Senere fandt Laplace ud af at et magnetfelt også kan påvirke en strømførende ledning [2].

1.1 Magnetisk fluxtæthed

For at kunne forstå elektromagnetisme og regne der på, er det nødvendigt at kende til magnetisk fluxtæthed. Til at forstå magnetisk fluxtæthed skal vi betragte Biot og Savarts lov.

( )_{3}_{Ligning 1}

0

2

Is ⋅ Δ ⋅ sin

4

Δ = ⋅ B

r φ µ π

Figur 1^{4} Magnetisk fluxtæthed i et givet punkt med afstand r til ledningsstykket Δs. Magnetisk fluxtæthed

bevæger sig i dette tilfælde ind i papiret.

Hvor ΔB svare til en magnetisk fluxtæthed i et punkt, som ligger strækningen r fra ledningsstykket Δs, hvor vinklen mellem de to bliver beskrevet ved φ

. I beskriver strømmen som bevæger sig

1

Jonatan Nissen, Dynamoen – Teknologi historie, , 2010

2

Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende fysik 2, side 37, 3.udgave – 1.oplag, Gyldendal, 1993

3

Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende fysik 2, side 38, 3.udgave – 1.oplag, Gyldendal, 1993

4

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 96, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007

Side 5

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 6 af 22 gennem ledningsstykket Δs. μ er en konstant kaldet vakuumpermeabilitet, som har størrelsen

0

1,257•10^{-6} Tm/A.

Biot og Savarts lov beskriver, hvor kraftigt et magnetfelt fra en strømførende ledning er i et givet punkt. Vælger man at vikle den strømførende ledning i en cirkel og betragter den magnetiske fluxtæthed i centrum for cirklen, vil man ligge mærke til at hele ledningen bidrager til magnetfeltet i punktet. Anvender man Biot og Savarts lov på en strømførende ledning som er viklet til en cirkel, er man nødt til at bryde ledningen op i mindre stykker. Længden af disse stykker ledning beskrives som tidligere med Δs. For at gøre få ledningen til at minde om en cirkel skal Δs gå mod 0, og ligge som en tangent til cirkelperiferien. En ting man skal bide mærke i når dette forekommer, er at Δs vil ligge vinkelret på r, som svare til radius af cirklen. Da φ er lige med 90°, betyder det at faktoren

sin() = 1, hvilket derfor kan undlades. Længden af en cirkels periferi kan beskrives med

φ

=⋅⋅ 2Lr Ligning 2

π

Da den magnetiske fluxtæthed findes for en masse udsnit af ledningen, må den samlede fluxtæthed i centrum være fluxtætheden for et af ledningsstykkerne ganget med antal ledningsstykker. Antallet af ledningsstykker må kunne findes ved at dividere længden af den samlede ledning, med en af ledningsstykkerne, altså

2Lr ⋅⋅

ΔΔ ss π

= Ligning 3

Hvilket betyder at den samlede magnetiske fluxtæthed i centrum af en cirkulær leder må svare til

( ) ⋅⋅

0

2

Is ⋅ Δ ⋅ sin

                                                               2Lr
Δ = ⋅ B             Ligning 1 ganget med                      =
     4

r φ µ π

ΔΔ ss π

Ligning 3

Side 6

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 7 af 22

Lr 2 ⋅⋅ ( )

0

Δ s 4 r^{3}

I s r ⋅ Δ ⋅ ⋅ sin

2 r

I ⋅_{o}

BB = ⋅ Δ = ⋅ ⋅

Δ s

B =

φ µ π π µ

⇓

Ligning 4

Figur 2^{5} Magnetisk fluxtæthed igennem centrum for en cirkulær leder.

Vikler man ledningen, så den fremstiller mange cirkler, hvor den samme strøm løber igennem, kan man beskrive den magnetiske fluxtæthed på samme måde som i

Lr 2 ⋅⋅ ( )

0

Δ s 4 r^{3}

I s r ⋅ Δ ⋅ ⋅ sin

2 r

I ⋅_{o}

BB = ⋅ Δ = ⋅ ⋅

Δ s

B =

φ µ π π µ

⇓

Ligning 4 ganget med antal vendinger N. Derved bliver

0

2 ⋅ r

IN ⋅⋅

B = Ligning 5

µ

5

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 97, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007

Side 7

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 8 af 22

Figur 3^{6} Magnetisk fluxtæthed igennem centrum af en flad spole.

For at dette kan være sandt kræver det, at hvad der svare til højden på spolen i Figur 3 er mindre en meget mindre end radius r. Hvad der svare til højde af spolen i Figur 3 vil blive beskrevet som spolens længde l. Ved en spole hvor l bliver stor, vil afstanden til punktet i centrum af spolen variere fra vending til vending. Tager man en solenoide, som er en spole der er meget lang i forhold til radius, gøre man op for at spolens vendinger ikke giver det samme bidrag til et punkt i centrum af spolen, ved at dividere med længden af solenoiden frem for 2r, hvilket betyder

0

IN ⋅⋅

B =

l µ

Ligning 6

Figur 4^{7} Magnetisk fluxtæthed i centrum af en solenoide

1.2 Induktion og induktans

6

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 98, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007

7

Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende fysik 2, side 40, 3.udgave – 1.oplag, Gyldendal, 1993

Side 8

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 9 af 22

Problemformuleringen omhandler elektriske kredse, og derfor vil emnet elektromagnetisme ikke blive udtømt, men kun de områder som har værdi for forståelse af hvordan disse kredse agere. Med denne begrundelse vil gennemgangen af elektromagnetisme fortsætte med induktion og induktans.

Induktionsloven d Φ dt ε

=− Ligning 7

8

Siger at den elektromotoriske kraft ε er lige med ændringen af magnetisk flux Φ over tid. For at kunde forstå denne lov er det nødvendigt at definere hvad den magnetiske flux Φ er. Det et nu en magnetiske fluxtæthed kommer ind i billedet, da fluxen defineres ved fluxtætheden gennem et areal A, eller

BAΦ = ⋅ Ligning 8

              d
Fortegnet i =−    Ligning 7 , som beskriver retningen af den inducerede elektromotoriske

dt ε

Φ kraft, skyldes Lenz lov som siger;

>>Den inducerede elektromotoriske kraft har en retning der søger at modvirke en fluxændring<< [9]

Hvilket med andre ord betyder at den elektromotoriske kraft skal have modsat fortegn af fluxændringen.

8

Induktionsloven,

http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Elektromagnetisme%2c_elektron-
_og_ionoptik/induktionsloven, Den store danske – Gyldendals åbne encyklopædi,

9

Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende fysik 2, side 52, 3.udgave – 1.oplag, Gyldendal, 1993

Side 9

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 10 af 22

For en god ordens skyld defineres den elektromotoriske kraft også lige. Den elektromotoriske kraft er netop spændingsforskellen, når der ikke løber en strøm. Fremover vil den elektromotoriske kraft blive skrevet som emk eller ε.

For at der kan blive induceret en spænding, kræver det at der sker en fluxændring. Da flux er beskrevet af en sammenhænge mellem areal og fluxtæthed, betyder det at en af de to skal variere for at inducere en spænding. Da denne opgave omhandler elektriske kredse, hvor man anvender komponenter med en på forhånd defineret størrelse, som desuden er stationære, vil vi antage af arealet ikke vil variere, men det vil fluxtætheden derimod.

Kigger vi på en solenoide kan man se ud fra^{l} Ligning 6, at den eneste faktor

0

IN ⋅⋅

B =

µ som er variabel i forhold til tiden, er strømmen I. Det vil altså sige at den inducerede emk svare til di

=⋅ L Ligning 9

dt ε

L beskriver induktansen for spolen som beskriver, hvor godt en spole inducere strøm. For at

    di                                      d Φ
=⋅ L  Ligning 9 skal stemme over ens med =−    Ligning 7 og        BAΦ = ⋅
    dt                                       dt

ε ε

Ligning 8 sat sammen, må induktansen L være lige med det resterende af fluxtætheden og arealet. Hvilket betyder at

B I N N A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅_{00}
L A A = ⋅ = ⋅ = Ligning 10

I l I l ⋅ µµ

Dette beskriver dog kun induktansen gennem en vending, og derfor er der nødvendigt at gange antal vendinger på

NA^{2} ⋅⋅

0

L = Ligning 11

l µ

Side 10

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 11 af 22

1.3 Energi i en spole

For at få en strøm til at løbe i en spole er det nødvendigt at tildele spolen noget energi. Den energi der er nødvendig for at nå strømmen I kaldes E. Effekten P hvorved der bliver tilført en elektrisk energi, til et givet tidspunkt t, kan beregnes ved

P U i=⋅^{10} Ligning 12

Hvor U svare til spændingsforskellen over spolen. Denne spændingsforskel blev beskrevet i

=⋅ L_{dt}^{di} Ligning 9. Når =⋅ L_{dt}^{di} Ligning 9 bliver indsat i P U i=⋅ Ligning 12 for

ε ε man di

P L i = ⋅ ⋅ Ligning 13

dt

Det er nødvendigt at indse at effekten P svare til ændring i energi over ændring i tid, eller dE

P = Ligning 14

dt

Indsættes dette i P L i = ⋅ ⋅^{di}_{dt} Ligning 13 og løser den for ændringen i energi for man,

dE di

= ⋅ ⋅ Li

dt dt

dE L i di = ⋅ ⋅

⇓

Ligning 15

10

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 55, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007.

Side 11

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 12 af 22

Den energi der skal til for at ændre strøm gennem spolen fra 0 til I, kan altså findes ved at integrere udtrykket.

E L idi L I= = ⋅ ⋅^{2} Ligning 16
∫_{0}

1

2

I

Dette gælder kun for en modstands fri spole, da noget af energien ellers ville være omdannet til varme.

2. Kredse

Der findes forskellige komponenter som man kan sætte sammen i en kreds. Der vil i denne opgave kun blive beskrevet kredse hvor følgende komponenter indgår; en resistor, en kapacitor og en induktor. Grunden til at det kun er kredse hvor disse komponenter indgår som bliver beskrevet, er at de er det er disse kredse som har størst betydning i forhold til området; elektromagnetiske kredsløb.

Af disse komponenter kan følgende kredse, som har relation til elektromagnetisme, dannes; en RL-kreds, en LC-kreds og en LRC-kred. Hvor RL- og LC-kredsen vil blive nævnt.

2.1 RL-kreds

En ting er fælles for de tre kreds, nemlig at strømmen er afhængig af tiden. Der mest simple af de tre kredse er RL-kredsen, som består af en modstand og en spole. Figur 5 viser hvordan en RL-kreds kan se ud. Kontakterne S

1 2 og S

, giver muligheden for at tilslutte og frakoble en spændingskilde.

Side 12

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 13 af 22

Figur 5^{11} RL-kreds med mulig strømforsyning.

Lad os antage at kontakten S blev lukket til tiden t=0. Ved hjælp af Ohms lov er det muligt at

1 beregne spændingsforskellen over modstanden,

U i R=⋅    Ligning 17
  ab

12

Hvor i er strømmen gennem systemet til tiden t efter at kontakten er blevet lukket. Ved hjælp af

Induktionsloven, som er beskrevet i =⋅ L_{dt}^{di} Ligning 9, er det muligt at beregne

ε spændingen over spolen,

UL_{bc} =⋅ Ligning 18

di dt

Anvender vi Kirchoffs anden lov for lukket kreds, som siger at den samlede emk er lige med det

                13
totale spændingsfald , kan vi finde et udtryk det beskriver spændingen i hele kredsen;

11

Hugh D. Young og Roger A. Freedman, University Physics with modern physics, Figur 30.11, 12. udgave, Sears and Zemansky’s.

12

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 54, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007.

13

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 67, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007.

Side 13

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 14 af 22

0 = − ⋅ − ⋅ i R L Ligning 19

di dt ε

Når strømmen gennem systemet når en fast værdi I vil di/dt være 0, og dermed kan man finde

strømmen på samme måde som ved en modstand som beskrevet i U i R=⋅ Ligning 17.
                                                       ab

For at kunne beregne strømmen ’i’ gennem kredsen til et givet tidspunkt t, før at kredsen opnår en

konstant strøm, er det nødvendigt med noget integralregning. Først skal^{di}_{dt} 0 = − ⋅ − ⋅ i R L

ε

Ligning 19 omskrives så ændringen i tid står på den ene side af lighedstegnet og ændringen i strøm på den anden. I samme proces isoleres i også til et led for sig selv.

1 R dt

L di

i − = −

R R dt

L di i −

R di R

=− dt

L i −

R ε ε ε

⇓

=−

⇓

Ligning 20

Begge sider integreres nu i forhold til henholdsvis i og t. Da kontakten blev lukket til ved t = 0, må

strømmen i kredsen også have været 0, dette giver en nedre begrænsning til det bestemte integral.

Formålet med denne beregning er at finde værdien for strømmen i til at tidspunkt t, altså må disse værdier kunne anvendes som øvre grænse. Hvor at kunne skelne mellem de variable og de bestemte

Side 14

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 15 af 22 i og t, vil de variable i udregningen blive nævnt som henholdsvis i’ og t’. En bestemt integration af

1 R dt

L di

i − = −

R R dt

L di i −

R di R

=− dt

L i −

R ε ε ε

⇓

=−

⇓

Ligning 20 vil komme til at se ud som følgende;

∫∫_{00}_{i}_{'}^{di R}_{−}^{'}

0

⎝ ⎠ ⎣ ⎦_{0}

=− dt '

ln ' ' it − = −

ln ln 0 0 it − − − = − −

ln =− t

it i t

L

R

⎡⎤ R

RL

RR

R R L L i −

R

R

L

⎝⎠ R ε ε εε ε ε

⇓

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

⎢⎥ ⎜⎟

⎢⎥

⎣⎦

⇓

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

−

⎜⎟

Ligning 21

Side 15

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 16 af 22

Da det var strømmen i til tiden t vi ønskede skal^{⎝⎠}^{R}

∫∫_{00}_{i}_{'}^{di R}_{−}^{'}

0

⎝ ⎠ ⎣ ⎦_{0}

=− dt '

ln ' ' it − = −

ln ln 0 0 it − − − = − −

ln =− t

it i t

L

R

⎡⎤ R

RL

RR

R R L L i −

R

R

L ε ε εε ε ε

⇓

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

⎢⎥ ⎜⎟

⎢⎥

⎣⎦

⇓

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇓

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

−

⎜⎟

Ligning 21 løses for i. Dette kan gøres ved at regne med den naturlige logaritme;

−= 1 e^{L}

ie =− 1

R

− t
= e^{L}

R

− t

      R
⎛⎞   − t
      L

i −

R

R i

R

R ε ε ε ε

−

⇓

⇓

⎜⎟

⎝⎠

Ligning 22

Side 16

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 17 af 22

−= 1 e^{L}

ie =− 1

R

− t
= e^{L}

R

− t

      R
⎛⎞   − t
      L

i −

R

R i

R

R ε ε ε ε

−

⇓

⇓

⎜⎟

⎝⎠

Ligning 22 beskriver altså strømmen i som løber i kredsen til at tidspunkt t, når ændringen af strøm er positiv. For at finde en funktion for strømmen i til en givet tid t, når ændringen af strøm er negativ, kan vi igen betragte Figur 5. Denne gang antager vi at

kontakten S har været lukket længe nok til at kredsen har opnået en konstant strøm I. Til tiden t = 0

1 lukkes kontakt S

2 1 og i samme handling åbnes S

, det betyder altså at kredsen kun består af en spole og en modstand. Vi anvender Kirchoffs anden lov for en lukket kreds, og indser at den emk som spolen er skyld i på grund af ændring i strøm må være lige med spændingen over modstanden.

Derefter behandler vi udtrykket på samme måde, som da ændringen af strøm var positiv, og ender med følgende udtryk,

Side 17

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 18 af 22

( )_{i}

( ) ( )

( ) ( )

  di R '
    =
∫∫
 i    0
  iL '

0 dt '

⎡⎤ ln ' ' it^{I} =

ln ln I i t −=

ln ln i I t =−

It t

R

− t

L di

R i L ⋅ = ⋅

dt di R

= dt

iL

R

L

R

L

R

L

i I e =⋅

⇓

⇓

⇓

⎡⎤

⎣⎦

⎢⎥

⎣⎦

⇓

⇓

⇓

Ligning 23

Med de to funktionere for strøm i til tiden t, når strømmen enten er aftagende eller tiltagende, kan man finde strømmen, modtanden og spændingen i en RL-kreds, man skal dog være opmærksom på at der formentlig ikke er nogen spænding over kredsløbet nå strømmen er aftagende. Der vil det

være muligt at finde spændingen over spolen ved hjælp af =⋅ L_{dt}^{di} Ligning 9, og over

ε modstanden kan man anvende Ohms lov.

2.2 LC-kreds

LC-kredsen er en lidt speciel kreds, i og med at strømmen ikke bare ændres over tid på en måde som kan beskrives med en eksponentielfunktion, men den bliver ved med at ændre, dens strøm kan beskrives som en oscillation. Da ingen af de to komponenter faktisk bruger energi, betyder det at energien bevares. For at dette er sandt kræver det dog at spolen er modstandsløs, da noget af

Side 18

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 19 af 22 energien ellers ville blive omdannet til varme. Begge komponenter har muligheden for at lager energi, spolen lager energien i sit magnetfelt, hvor kondensatoren lager energien i sit elektriske felt.

Den totale energi i kredsløbet vil være konstant, da ingen af komponenterne afgiver energi til

omgivelserne. Det betyder at den energi der er i systemet til tiden t = 0 må blive i systemet. For at

kunne beskrive energien i systemet til tiden t, er det nødvendigt at have et udtryk for energien i en kondensator. Vi ved at ladningen i en kondensator er beskrevet ved

Q C U=⋅ Ligning 24

14

Vi ved også at strøm bliver defineret ved dq/dt. Energien bliver fundet på samme måde som i

                          dE
P U i=⋅ Ligning 12 og  P =   Ligning 14, og ved at isolere E finder vi hvad energien er i
                           dt

kondensatoren.

2

∫_{0}^{QQ}_{CC}

2

Q dE dQ Q dt dt C

Q

dE dQ =⋅

C

E dQ ==

=⋅

⇓

⇓

Ligning 25

14

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 68, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007.

Side 19

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 20 af 22

                                                               I
                                                                    1
                                                                          2
Vi kan altså nu udtrykke den samlede Energi i kredsløbet ved hjælp af E L idi L I= = ⋅ ⋅
                                                                    2

∫_{0}

Ligning 16 og Ligning 25

2

∫_{0}^{QQ}_{CC}

2

Q dE dQ Q dt dt C

Q

dE dQ =⋅

C

E dQ ==

=⋅

⇓

⇓

1 q^{2}

            2
E L i = ⋅ +
  res

22 C res L C

E E E =+

⇓ Ligning 26

Hvor i beskriver strømmen der løber i kredsen til tiden t, og hvor q beskriver ladningen i

kondensatoren til samme t. Antager vi at alt energien har været i kondensatoren til tiden t = 0, hvor

ladningen i kondensatoren har været Q, kan man finde hvad energien i kondensatoren var, og dermed kender i den samlede energi i systemet.

1 q^{2}

            2
E L i = ⋅ +
  res

22 C res L C

E E E =+

⇓

Ligning 26 kan altså også skrives som følgende,

Qq^{22} 1
= ⋅ + Li^{2} Ligning 27

2 2 2 CC

         22
        Qq  1
                 2
Løser vi   = ⋅ + Li    Ligning 27 for i kan vi finde den strøm der løber gennem
         CC

2 2 2 kredsløbet når ladningen i kondensatoren er lig q.

Side 20

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 21 af 22

Qq^{22} −
i =± Ligning 28

LC

Problemet med i =± Ligning 28 er at hverken q eller i er afhængig af tiden. Da

Qq^{22} −

LC strømmen hele tiden ændre sig, betyder det at det ikke er muligt at måle de to variable, om man er derfor nødt til at betragte kredsløbet på en anden måde, hvis man ønsker en funktion af i til tiden.

For at kunne beregne på hvad det er der sker i et LC-kredsløb, er det nødvendigt først at beskrive hvad der forgår med ord. Når en kondensator er fyldt op med ladning, er der en spændingsforskel over den. Tilslutter man de to sider af en kondensator med hinanden gennem en spole, vil spændingsforskellen over kondensatoren få nogle ladninger til at bevæge sig gennem kredsløbet for at udligne denne spændingsforskel [15]. Strøm er defineret ved ændring af ladning over ændring af tid [16], og spændingsforskellen over kondensatoren er netop skyld i en strøm. Som det er blevet beskrevet tidligere, modvirker spolen en ændring af strøm, ved at generere en modsatrettet spænding som beskrevet i Lenz lov. I takt med at kondensatoren bliver afladt vokser spændingen gennem kredsen altså. På et tidspunkt vil der ikke være mere ladning i kondensatoren og spændingsforskellen over den vil være 0, men strømmen kan ikke pludselig stoppe på grund af spolen. Der er nemlig opbygget en energi i spolen, som bliver afledt over tid. Spolen vil nu være grund til at strømmen mindskes på samme måde som den voksede før. Da strømmen fortsætter vil kondensatoren oplades, den poler vil blot være modsatte. Når strømmen når nul vil kondensatoren have samme ladning som den havde til at begynde med, blot på den anden side. Det hele vil nu gentage sig selv igen og ladningen vil bevæge sig tilbage til den side hvor den oprindeligt var.

15

Jonatan Nissen, Op- og afladning af RC-kreds, , 2010

16

Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, objekt 52, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007.

Side 21

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 22 af 22

For at kunne beskrive strømmen i forhold til tiden vil vi betragte et andet område, nemlig cirkelbevægelse. Hvis du betragter en cirkel bevægelses komposant i x-aksen, så svare det til bevægelsen for ladning [17]. Man finder x-værdien på følgende måde

( )

=⋅ cosxr Ligning 29

θ

Vi kender et udtryk for acceleration, der virker fra punktet mod centrum, som lyder

ar =⋅^{2} Ligning 30

ω

For at få den tilsvarende acceleration i x-aksen skal man gange med cosinus,

( )

( )

ar_{x} = − ⋅ ⋅^{2} cos

aa_{x} = − ⋅ cos

θ ωθ

⇓ Ligning 31

Sammen med =⋅ cosxr ( ) Ligning 29 bliver det,

θ

ax_{x} = − ⋅^{2} Ligning 32

ω

Dette kan over føres til ladningen i kondensatoren i LC-kredsen, men først skal vi udtrykke accelerationen af ladning. Når vi beskriver spændingen i kredsen ved hjælp af Kirchhoffs anden lov, for vi at,

− − = L 0 Ligning 33

di q dt C

17

Hugh D. Young og Roger A. Freedman, University Physics with modern physics, Side 1046, 12. udgave, Sears and Zemansky’s

Side 22

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 23 af 22

Vi ved at strømmen svare til, dq

I = Ligning 34

dt

Som svare til hastigheden af ladningerne. Når i bliver differentieret svare det til at differentiere ladningen to gange. Det svare også til accelerationen af ladningerne. Isolerer vi accelerationen i

− − = L_{dt C}^{di q} 0 Ligning 33 for vi,

2

dt^{2} LC

1dq

=⋅ q Ligning 35

Sammenligner man ax_{x} = − ⋅^{2} Ligning 32 med =⋅_{LC}^{1dq} q Ligning 35 ser

ω

2

dt^{2}

man at, q svare til x og

1

LC ω

= Ligning 36

Funktionen for q komme altså til at minde om den for x dog med nogle modifikationer. Da vi kender vinkelhastigheden, kan vi beskrive vinklen i forhold til tiden. Vinkelhastighed ganget med tid giver nemlig en vinkel. Vinklen er dog også afhængig af forholdene til at begynde med. For at tage højde for forholdene ved begyndelsen, indføres fasevinklen φ

. Radius fra funktion med x skiftes ud med Q, som beskriver ladningen når alt energien er i kondensatoren. Funktionen for q kommer altså til at se ud som følgende,

( )

= ⋅ + cosq Q t Ligning 37

ωφ

For at få et udtryk for i til tiden t, sættes = ⋅ + cosq Q t ( ) Ligning 37 ind i =⋅_{LC}^{1dq} q

ωφ

2

dt^{2}

                                                dq
Ligning 35, hvor vi er opmærksomme på       I =   Ligning 34.
                                                dt

Side 23

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 24 af 22

( )

( )

       2
i Q t dt = ⋅ ⋅ ⋅ + cos

∫_{0}
i Q t = − ⋅ ⋅ ⋅ + sin

t ω ω φ ω ω φ

Ligning 38

Side 24

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 25 af 22

Konklusion

Opgaven har været opbygget om at besvare den første del af problemformuleringen, at beskrive begrebet elektromagnetisme og de typiske kredse, hvori dette indgår. Under denne beskrivelse er det blevet nævnt, hvordan forskellige variable vedrørende kredsen kan beregnes. Der kan for

                        di
eksemplet henvises til =⋅ L Ligning 9,   U i R=⋅  Ligning 17,   UL =⋅
                                           ab                    bc
                        dt

ε di dt

Ligning 18, i =± Ligning 28 og

Qq^{22} −

LC

( )

( )

       2
i Q t dt = ⋅ ⋅ ⋅ + cos

∫_{0}
i Q t = − ⋅ ⋅ ⋅ + sin

t ω ω φ ω ω φ

Ligning 38. Derudover kan også henvises til Kirchoffs anden lov for en lukket kreds.

Der er ikke blevet beskrevet meget om matematiske teorier, der er til gengæld blevet fokuseret på at argumentere alt ting matematisk, og lagt vægt på at gennemføre beregninger med differentialligninger, hvor bøgerne ellers blot viste hvad det skulle ende op med.

Side 25

Jonatan Nissen Elektromagnetiske kredse

HTX3B

Side 26 af 22

Litteraturliste

Bøger:

0. Forfatter, titel, udgave, forlag, udgivelsesår.

1. Hugh D. Young og Roger A. Freedman, University Physics with modern physics, 12.

udgave, Sears and Zemansky’s.

2. H. Elbrønd Jensen, Matematisk analyse 1, 4. oplag, Institut for matematik, november 2007.

3. Erik Øhlenschlæger, Grundlæggende fysik 2, 3.udgave – 1.oplag, Gyldendal, 1993.

4. Lars Pedersen, Fysik 112 – Førstehjælp til formler, 2.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2007.

5. Lars Pedersen, Matematik 112 – Førstehjælp til formler, 3.udgave – 2. rettede oplag, Nyt Teknisk Forlag, 2010.

6. Preben Madsen, Teknisk matematik 3, Erhvervsskolernes forlag, 1997

Internetartikler:

1. Komplekse tal, http://01005.mat.dtu.dk/2010/fileadmin/E-math-
opgaver/KomplekseTal/MiniProj4.pdf, DTU matematik 1,
2. Harmonisk oscillator, http://da.wikipedia.org/wiki/Harmonisk_oscillator, Wikipedia, 31-01-

2011.

3. Biot og Savarts lov,

http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Elektromagnetisme
%2c_elektron-_og_ionoptik/Biot-Savarts_lov, Den store danske – Gyldendals åbne

encyklopædi,

4. Impedans,

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Elektromagnetisme,_ele
ktron-_og_ionoptik/impedans, Den store danske – Gyldendals åbne encyklopædi, 31-01-

2011.

5. Komplekse tal,

http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Re
gning%2c_algebra_og_talteori/komplekse_tal, Den store danske – Gyldendals åbne

encyklopædi,

6. Induktionsloven,

http://www.denstoredanske.dk/It%2c_teknik_og_naturvidenskab/Fysik/Elektromagnetisme
%2c_elektron-_og_ionoptik/induktionsloven, Den store danske – Gyldendals åbne

encyklopædi,

Egne Rapporter:

1. Jonatan Nissen, Op- og afladning af RC-kreds, , 2010

2. Jonatan Nissen, Dynamoen – Teknologi historie, , 2010